В процессе изучения систем счисления особый интерес представляет так называемая "вавилонская", или шестидесятеричная система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне.

Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся.

Существуют две гипотезы.

Первая исходит из того, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое – десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса.

Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например: 1 час = 60 минутам, 1° = 60‘.

В целом шестидесятеричная система счисления громоздка.

Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей.

То, что первобытные люди сначала знали только "один", "два" и "много", подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми.

Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово "три" использовалось только в сочетаниях "три дерева" или "три человека"; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее - понятие троичности - требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова "один" и "первый", равно как "два" и "второй", во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета "один", "два", "много", слова "три" и "третий", "четыре" и "четвертый" ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались.

Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово "двадцать три" - не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий "два раза по десять и три". Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать.

На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерения или вычислений использовались основания 12 и 60. Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

Вавилонская система счисления появилась в Древнем Вавилоне за 2000 лет до н.э. Она очень сильно повлияла на письменность в целом будущего мира.

Вавилонская система (шестидесятеричная) одна из первых известных систем счисления мира, основанная на позиционном принципе. Система счисления Вавилона сыграла огромную роль в развитии математики, астрономии и других точных наук будущего мира, ее следы находят по наши дни.

В наше время мы делим один час на 60 минут, а минуту делим на 60 секунд. Также окружность мы делим на 360 частей. Оказывается теми простыми делениями мы следуем примеру Вавилона!

В своем развитии человечество старалось совершенствовать запись чисел, которыми им приходилось пользоваться все чаще и чаще, у разных народов в разные времена употреблялись самые различные системы счета. В этой системе счисления числа составлялись из двух видов знаков. Прямой клин использовался для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков. Клинья в этой системе счисления использовались как цифры. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1. Тем же знаком обозначались числа 3600 и 602, 216000 и 603, и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления называется шестидесятеричной.

Для того чтобы определить значения знака, надо было изображение этого числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп имеющие одинаковые знаки соответствовало чередованию разрядов. Значение числа определялось по составляющим значениям его цифр, но с тем учетом, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех цифр в предыдущем разряде. В конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании.

Таблицу умножения в Вавилоне запомнить было практически невозможно. Вавилоняне пользовались готовыми таблицами умножения при вычислениях. В целом вавилонская система была очень громоздка и неудобна. Эта системы дала очень сильный толчок к развитию будущих систем счисления... Сейчас можно сказать с уверенностью, что если бы не было вавилонской системы счисления, то возможно мы бы сейчас либо пользовались другими системами, либо не могли просто считать.

В Древнем Вавилоне, ок. 1650 до н.э., система счисления была псевдопозиционной или лишь относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции. Обозначал ли символ

число 1*(60)2 + 1 или 1*(60)2 + 1*(60), приходилось догадываться из контекста. Однако в период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность. Например, символ

означал число 3601, т.е. 1*(60)2 + 0*(60) + 1. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа.

Именно поэтому вавилонскую систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60. Тем не менее изобретение вавилонянами позиционной системы счисления с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней гипотезой Коперника в астрономии.

Символы для обозначения чисел на вавилонских глиняных табличках не столь точны, как символы для обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип.

В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы записи, иногда - с новыми символами для обозначения чисел 100 и 1000, или использовали принципы умножения или вычитания. Однако превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте - величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты - на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления."

Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип - одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел - принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 102, и 103, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на "места", или "позиции", и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Например, число 6789 можно было записать так:

, т.е. 1*(60)2 + 53*(60) + 9.

1. Берман Н.Г. Счет и число. М., 2001.

2. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959 Данн-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. СПб.:Питер, 2000.

3. Всевозможные нумерации и системы счисления (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)

4. Глейзер Г. И. История математики в школе. Спб..: Питер,1999.

5. Юшкевич А.П. История математики, Том 1, М.,1999.

Обозначения чисел в Вавилонской системе счисления

Стенд - числа вавилонян

ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ

xn--80aaowabp5a6h2a.xn--p1ai

Вавилонская система счисления: принцип построения и примеры

Вавилонская система счисления, возникшая за тысячи лет до наступления новой эры, была началом начала математики. Несмотря на свой древнейший возраст, она поддалась расшифровке и раскрыла исследователям множество тайн Древнего Востока. Мы тоже сейчас окунемся в прошлое и узнаем, как считали древние.

Основные характеристики

Итак, самое важное, что нужно знать – вавилонская система счисления является позиционной. Это значит, что запись чисел производится справа налево и в порядке убывания. На первом месте стоит сотня, затем десяток, а потом единица. Для древней математики данный аспект крайне важен, так как в Египте, например, система была непозиционной, и цифры в числе записывались в хаотичном порядке, что вызывало путаницу. Вторая характеристика – в вавилонской системе присутствовала шестидесятеричная цикличность. Отсчет заканчивался на каждом шестом десятке, а чтобы продолжить числовой ряд отмечался новый разряд, и запись снова начиналась с единицы. В целом вавилонская система счисления совсем не сложная, ее сможет освоить даже школьник.

вавилонская система счисления

История возникновения

Достоверно известно, что Вавилонское царство было построено на руинах двух могущественных держав – Шумера и Аккада. От этих цивилизаций осталось много культурного наследия, которым очень мудро распорядились вавилоняне. У шумеров они позаимствовали шестеричный числовой ряд, в котором присутствовали разряды, а у аккадцев – десятки. Объединив наработки своих предков, жители нового государства стали создателями новой науки, которая получила название «математика». Вавилонская шестидесятеричная система счисления дала понять, что позиционность – крайне важный фактор в записи чисел, потому в дальнейшем по данному принципу были созданы римские, греческие и арабские цифры. До сих пор мы отмеряем величины десятками, будто бы разделяя с их помощью число на разряды. Ну а что касается шестеричного цикла, то взгляните на циферблат часов.

вавилонская шестидесятеричная система счисления

Запись вавилонских цифр

Чтобы запомнить числовой ряд древних вавилонян, особых усилий прикладывать не придется. В математике они использовали лишь два знака – вертикальный клин, который обозначал единицу, и «лежачий» или горизонтальный клин, показывающий десяток. Подобные цифры имеют нечто общее с римскими, где встречаются палочки, галочки и крестики. Количество тех или иных клиньев показывало, сколько десятков и единиц в конкретном числе. В подобной технике отсчет производился до 59-ти, после чего перед числом записывали новый вертикальный клин, который на этот раз уже считался как 60, и отмечался разряд в виде маленькой запятой вверху. Имея в своем арсенале разряды, жители Вавилонского царства избавили себя от невероятно длинных и запутанных чисел-иероглифов. Достаточно было посчитать количество маленьких запятых и клиньев, которые находились между ними, как сразу становилось понятно, какое число перед вами.

вавилонская система счисления примеры

Математические операции

Исходя из того, что вавилонская система счисления была позиционной, сложение и вычитание происходило по знакомой нам схеме. Нужно было сосчитать количество разрядов, десятков и единиц в каждом числе и после сложить их или отнять от большего меньшее. Занятно, что и принцип умножения в то время был таким же, как сегодня. Если необходимо было умножить небольшие числа, пользовались многократным прибавлением. Если же в примере стояли трех и более значные показатели, пользовались специальной таблицей. Вавилоняне изобрели множество таблиц умножения, в каждой из которых одним из множителей был определенный десяток (20, 30, 50, 70 и т.д.).

От предков к современникам

Прочитав все это, вы наверняка зададитесь вопросом: «Каким образом вавилонская система счисления, примеры, которыми пользовались древние, и задачи дошли в подобной точности до рук современных археологов?» Все дело в том, что в отличие от других цивилизаций, которые пользовались папирусом и клочками ткани, вавилоняне использовали глиняные таблички, на которых записывали все свои наработки, в том числе и математические открытия. Данная техника получила название «клинопись», так как на свежей глине специально заточенным клинком выводились символы, цифры и рисунки. По завершении работы таблички высушивали и складывали в хранилища, в которых они смогли продержаться до наших дней.

вавилонская система счисления фото

Подведение итогов

В выше представленных изображениях мы четко видим, что из себя представляла и как записывалась вавилонская система счисления. Фото глиняных табличек, которые создавались в древние времена, немного отличаются от современных так сказать «расшифровок», но принцип остается прежним. Для Вавилона возникновение математики было неминуемым фактором, так как эта цивилизация была одной из ведущих в мире. Они возводили колоссальные на те времена постройки, делали немыслимые астрономические открытия и строили экономику, благодаря которой государство становилось процветающим и благополучным.

fb.ru

Реферат Шестидесятиричная система счисления

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Исторический очерк
2 Структура шестидесятеричного числа
3 Примеры использования
4 Вавилонская система счисления

Введение

Шестидесятери́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 60. Использовалась в древние времена на Ближнем Востоке.

1. Исторический очерк

Происхождение шестидесятеричной системы неясно. Возможно, она связана с двенадцатеричной системой счисления (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке). Возможно, с тем, что окружность делится циркулем на шесть частей. Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927)[1] о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.

Вавилонское государство также унаследовало шестидесятеричную систему и передало её, вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим астрономам. В более позднее время шестидесятеричная система использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими».

В XIII веке влиятельный ректор Парижского университета Пётр Филомен (он же Petrus de Dacia, то есть датчанин [2]) выступил за повсеместное внедрение шестидесятеричной системы в Европе. В XV веке с аналогичным призывом выступил Иоганн Гмунден, профессор математики Венского университета. Обе инициативы остались без последствий.

Начиная с XVI века, десятичные дроби в Европе полностью вытесняют шестидесятеричные. Сейчас остатки шестидесятеричной системы используются в измерении углов и времени.

2. Структура шестидесятеричного числа

Первый шестидесятеричный знак после запятой называется минута (′), второй — секунда (″). Ранее использовались названия терция (‴) для третьего знака, кварта (IV) для четвёртого знака, квинта (V) для пятого знака и т. д. Название «минута» происходит от того же слова, что и «минимум» — обозначает «малая часть», а «секунда», «терция» и остальные являются порядковыми — «второе» деление на части, «третье» деление на части и т. п. Частей традиционно берётся по 60.

3. Примеры использования

1 радиан ≈ 57°17′45″ = $57 + \frac{17}{60} +\frac{45}{60^2}$ градусов.

Николай Коперник в знаменитой работе «О вращениях небесных сфер» даёт значение сидерического года 365;15′24″10‴ дней, приблизительно 365,25671 дней.

4. Вавилонская система счисления

Вавилонская система счисления применялась за две тысячи лет до н. э. Для записи чисел использовались всего два знака: прямой клин ↓ для обозначения единиц и лежачий клин ← для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда. Новый шестидесятеричный разряд начинался с появлением прямого клина после лежачего клина, если рассматривать число справа налево:

↓↓ ←↓↓ = (60*2)+(10*1+2) = 13210 2-й 1-й разряды

Вначале нуля не было. Позже ввели обозначение для пропущенных шестидесятеричных разрядов, что соответствует появлению нуля, но в первом разряде справа этот знак не ставился, что приводило к неоднозначности записи чисел и для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения.[3]

Примечания

Г. И. Глейзер История математики в школе - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
Smith D. E. History of mathematics - books.google.ru/books?id=12qdOZ0gsWoC&pg=PA238&lpg=PA238&dq=Petrus de Dacia mathematician&source=bl&ots=4VK-QlwIUo&sig=xZiL7BCvC2pSkM-4AGkU7kr-oM0&hl=ru&ei=TuL8TOOTK4ntOZ6fzdQK&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&ved=0CEsQ6AEwBg#v=onepage&q=Petrus de Dacia mathematician&f=false, p. 238.
Системы счисления. Как считали в Древней Руси. Алфавитные системы счисления. - lukped.narod.ru/internet/binary/theor.htm

Литература

Ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — 456 с.

wreferat.baza-referat.ru

Реферат Шестидесятеричная система счисления