- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
- Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…
Подсчёт награды.
Царь удивился скромности просьбы, но велел придворным математикам сделать подсчет количества зерен.
Огромное число зёрен
Утром царю доложили, что такого количества зерна нет во всем государстве.
- Назови же мне это чудовищное число, - сказал он в раздумье старцу, пришедшему с донесением.
Когда мудрец назвал требуемое количество зерен, царь Шерам понял, что он действительно не может выдать Сете обещанную награду.
Что же это за число?
Величина награды
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8… и т.д…всего 64 слагаемых.
Последнее слагаемое будет 2*2*2*2*2*2* и т.д. (перемножить 64 двойки).
Мы долго не могли посчитать, Нам помог учитель математики.
Вот эта сумма:
18 446 744 073 709 551 615 зерен.
— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615 зерен.
Подведем итог легенды
Попробуем представить себе, какое хранилище нужно для этого числа зерен Известно , что 1 куб. метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Это значит, что награда шахматного изобретателя должна была иметь объем примерно около 12 000 000 000 000 куб. м. Поэтому длина амбара при высоте 4 м и ширине 10 м составила бы 300 000 000 км, т. е. в 2 раза больше, чем расстояние от Земли до Солнца.
Вот схема этого амбара.
Числа великаны и мир растений
Числа великаны существует не только в легендах, но и в мире растений.
Спелая маковая головка полна крошечных зернышек; из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Оказывается, одна головка мака содержит 3000 зернышек.
Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки!
Маки в одной головке
Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки , содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее
3000 X 3000 = 9 000 000 растений .
На третий год.
Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать
9 000 000 X 3000 = 27 миллиардов
А на четвертый год
27 000 000 000 X 3000 = 81 триллион
На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным
81 000 000 000 000 X 3000 = 243 квадриллиона .
Очень много маков
Поверхность всех материков и островов земного шара, составляет только
135 миллионов кв. км.
Можно сосчитать, что, если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по 2000 растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!
infourok.ru
Программа по математике для 5-6 классов преподавание по учебникам «Математика 5, 6» серии «МГУ – школе» (С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин)
V класс (5 ч в неделю, всего 1701 ч)
1. Натуральные числа и нуль (46 ч).
Ряд натуральных чисел. Десятичная запись, сравнение, сложение и вычитание натуральных чисел. Законы сложения. Умножение, законы умножения. Степень с натуральным показателем. Деление нацело, деление с остатком. Числовые выражения. Решение текстовых задач арифметическими методами.
Основная цель — систематизировать и обобщить сведения о натуральных числах, о их сравнении, сложении и вычитании, умножении и делении, добиться осознанного овладения приемами вычислений с применением законов сложения и умножения, развивать навыки вычислений с натуральными числами.
При изучении данной темы вычисления выполняются сначала устно с опорой на законы сложения и умножения, на свойство вычитания, а потом столбиком. Большое внимание уделяется переместительному и сочетательному законам умножения и распределительному закону, их использованию для обоснования вычислений столбиком (на простых примерах), для рационализации вычислений. Тем самым закладывается основа осознанного овладения приемами вычислений. Вместе с тем достаточное внимание уделяется закреплению навыков вычисления столбиком, особенно в сложных случаях (нули в записи множителей или частного). Вводится понятие степени с натуральным показателем. При изучении числовых выражений закрепляются правила порядка действий.
С первых уроков начинается систематическая работа по развитию у учащихся умения решать текстовые задачи арифметическими способами. Решение задач требует понимания отношений «больше на …», «меньше на …», «больше в …», «меньше в …» и их связи с арифметическими действиями с натуральными числами, а также понимания стандартных ситуаций, в которых используются слова «всего», «осталось» и т. п. Типовые задачи «на части», на нахождение двух чисел по их сумме и разности рассматриваются в отдельных пунктах. Работа с арифметическими способами решения задач, нацеленная на развитие мышления и речи учащихся, продолжится при изучении следующих тем. При наличии учебных часов рассматривается тема «Вычисления с помощью калькулятора».
^ 2. Измерение величин (30 ч).
Прямая, луч, отрезок. Измерение отрезков и метрические единицы длины. Представление натуральных чисел на координатном луче. Окружность и круг, сфера и шар. Углы, измерение углов. Треугольники и четырехугольники. Прямоугольный параллелепипед. Площадь прямоугольника, объем прямоугольного параллелепипеда. Единицы площади, объема, массы, времени. Решение текстовых задач арифметическими методами.
Основная цель — систематизировать знания учащихся о геометрических фигурах и единицах измерения величин, продолжить их ознакомление с геометрическими фигурами и с соответствующей терминологией.
При изучении данной темы учащиеся измеряют отрезки, изображают натуральные числа на координатном луче — это начальный этап освоения ими идеи числа, как длины отрезка, точнее — как координаты точки на координатной прямой. Здесь же они вычисляют площадь прямоугольника и объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которых — натуральные числа.
Здесь вводятся единицы измерения длины, площади и объема, устанавливаются соотношения между единицами длины, единицами площади, единицами объема, изучаются единицы массы и времени.
Введение градусной меры угла сопровождается заданиями на измерение углов и построение углов с заданной градусной мерой.
При изучении данной темы решаются задачи на движение.
При наличии учебных часов рассматривается тема «Многоугольники».
^ 3. Делимость натуральных чисел (19 ч).
Свойства и признаки делимости. Простые и составные числа. Делители натурального числа. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
Основная цель — завершить изучение натуральных чисел рассмотрением свойств и признаков делимости, сформировать у учащихся простейшие доказательные умения.
При изучении данной темы значительное внимание уделяется формированию у учащихся простейших доказательных умений. Доказательства свойств и признаков делимости проводятся на характерных числовых примерах, но методы доказательства могут быть распространены на общий случай. При этом учащиеся получают первый опыт доказательства теоретических положений с ссылкой на другие теоретические положения.
Понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного вводятся традиционно, но следует учесть, что в дальнейшем не всегда требуется сокращать дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя или приводить дроби обязательно к наименьшему общему знаменателю.
При наличии учебных часов рассматривается тема «Использование четности при решении задач».
^ 5. Обыкновенные дроби (65 ч).
Понятие дроби, равенство дробей (основное свойство дроби). Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение, сложение и вычитание дробей. Законы сложения. Умножение дробей, законы умножения. Деление дробей. Смешанные дроби и действия с ними. Представление дробей на координатном луче. Решение текстовых задач арифметическими методами.
Основная цель — сформировать у учащихся умения сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить обыкновенные и смешанные дроби, вычислять значения выражений содержащих обыкновенные и смешанные дроби, решать задачи на сложение и вычитание, на умножение и деление дробей, задачи на дроби, на совместную работу арифметическими методами.
Формирование понятия дроби сопровождается обучением решению простейших задач на нахождение части числа и числа по его части, а также задач, готовящих учащихся к решению задач на совместную работу. При вычислениях с дробями допускается сокращение дроби на любой общий делитель ее числителя и знаменателя (не обязательно наибольший), а также приведение дробей к любому общему знаменателю (не обязательно наименьшему). Но в том и в другом случаях разъясняется, когда вычисления будут наиболее экономными.
При изучении данной темы решаются задачи на сложение и вычитание дробей, основные задачи на дроби.
Операция умножения дробей вводится по определению, из которого получается правило умножения натурального числа на обыкновенную дробь. Особое внимание уделяется доказательствам законов сложения и умножения для дробей. Они проводится на характерных числовых примерах с опорой на соответствующие законы для натуральных чисел, но методы доказательства могут быть распространены на общий случай.
Деление дробей вводится как операция, обратная умножению. Смешанная дробь рассматривается как другая запись обыкновенной неправильной дроби. Отдельно изучаются вычисления со смешанными дробями. На характерных числовых примерах показывается, что площадь прямоугольника и объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которых выражены рациональными числами, вычисляются по тем же правилам, что и для натуральных чисел.
Работу с неотрицательными рациональными числами завершает их изображение на координатном луче.
Здесь решаются задачи на умножение и деление дробей, показывается, что рассмотренные ранее задачи на дроби можно решать с помощью умножения и деления на дробь. Задачи на совместную работу выделены в отдельный пункт.
При наличии учебных часов рассматривается тема «Сложные задачи на движение по реке».
^ 7. Повторение (10 ч).
При организации текущего и итогового повторения используются задания из раздела «Задания для повторения» и другие материалы.
VI класс (5 ч в неделю, всего 1701 ч)
^ 1. Отношения, пропорции, проценты (30 ч).
Отношения, масштаб, пропорции, проценты. Круговые диаграммы. Решение текстовых задач арифметическими методами.
Основная цель — сформировать у учащихся понятия пропорции и процента, научить их решать задачи на деление числа в данном отношении, на прямую и обратную пропорциональность, на проценты.
В начале учебного года восстанавливаются навыки вычислений с натуральными числами и обыкновенными дробями. Повторение проводится на фоне включения в учебный процесс важных прикладных задач, связанных с пропорциями и процентами.
Задачи на проценты рассматриваются и решаются как задачи на дроби, показывается их решение с помощью пропорций. После изучения десятичных дробей появится еще один способ решения задач на проценты, связанный с умножением и делением на десятичную дробь.
В ознакомительном порядке рассматриваются темы: «Задачи на перебор всех возможных вариантов» и «Вероятность события».
^ 2. Целые числа (40 ч).
Отрицательные целые числа. Сравнение целых чисел. Арифметические действия с целыми числами. Законы сложения и умножения. Раскрытие скобок, заключение в скобки и действия с суммами нескольких слагаемых. Представление целых чисел на координатной оси.
Основная цель — сформировать у учащихся представление об отрицательных числах, научить их четырем арифметическим действиям с целыми числами.
Введение отрицательных чисел и правил действий с ними первоначально происходит на множестве целых чисел. Это позволяет сконцентрировать внимание учащихся на определении знака результата и выборе действия с модулями, а сами вычисления с модулями целых чисел — натуральными числами — к этому времени уже хорошо усвоены.
Доказательство законов сложения и умножения для целых чисел проводится на характерных числовых примерах с опорой на соответствующие законы для натуральных чисел. Изучение нового множества чисел завершается изображением целых чисел на координатной прямой.
При наличии учебных часов рассматривается тема «Фигуры на последовательности, симметричные относительно точки».
^ 3. Рациональные числа (45 ч).
Отрицательные дроби. Рациональные числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с дробями произвольного знака. Законы сложения и умножения. Смешанные дроби произвольного знака. Изображение рациональных чисел на координатной оси. Уравнения и решение задач с помощью уравнений.
Основная цель — добиться осознанного владения арифметическими действиями над рациональными числами, научиться решению уравнений и применению уравнений для решения задач.
Основное внимание при изучении данной темы уделяется действиям с рациональными числами. На втором этапе изучения отрицательных чисел соединяются сформированные ранее умения: определять знак результата и действовать с дробями. В то же время, учащиеся должны понимать, что любое действие с рациональными числами можно свести к нескольким действиям с целыми числами. Доказательство законов сложения и умножения для рациональных чисел проводится на характерных числовых примерах с опорой на соответствующие законы для целых чисел.
Изучение рациональных чисел завершается их изображением на координатной прямой, введением уравнений. Учащиеся осваивают новый прием решения задач — с помощью уравнений.
При наличии учебных часов рассматриваются темы «Буквенные выражения», «Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой». При изучении первой темы надо научиться преобразованиям простейших буквенных выражений, что будет способствовать лучшему усвоению этой темы в 7 классе. Изучение второй темы будет способствовать развитию геометрического воображения школьников.
^ 4. Десятичные дроби (41 ч).
Положительные десятичные дроби. Сравнение и арифметические действия с положительными десятичными дробями. Десятичные дроби и проценты. Десятичные дроби любого знака. Приближение десятичных дробей, суммы, разности, произведения и частного двух чисел.
Основная цель — научиться действиям с десятичными дробями и приближенным вычислениям.
Материал, связанный с десятичными дробями, излагается с опорой на уже известные теоретические сведения — сначала для положительных, потом для десятичных дробей любого знака. Десятичные дроби рассматриваются как новая форма записи уже изученных рациональных чисел. Важно обратить внимание учащихся на схожесть правил действий над десятичными дробями и над натуральными числами.
Здесь же показываются новые приемы решения основных задач на проценты, сводящиеся к умножению и делению на десятичную дробь, а также способы решения сложных задач на проценты.
При изучении данной темы вводится понятие приближения десятичной дроби, разъясняются правила приближенных вычислений при сложении и вычитании, при умножении и делении. Появление приближенных вычислений в этом месте связано с тем, что при делении десятичных дробей не всегда получается конечная десятичная дробь, а также с тем, что на практике часто требуется меньше десятичных знаков, чем получается в результате вычислений. Учащиеся должны научиться в случае необходимости правильно округлять сами числа и результаты вычислений.
При наличии учебных часов рассматриваются темы «Вычисления с помощью калькулятора», «Процентные расчеты с помощью калькулятора» и «Фигуры в пространстве, симметричные относительно плоскости».
^ 5. Обыкновенные и десятичные дроби (30 ч).
Периодические и непериодические десятичные дроби (действительные числа). Длина отрезка. Длина окружности. Площадь круга. Координатная ось. Декартова система координат на плоскости. Столбчатые диаграммы и графики.
Основная цель — познакомить учащихся с периодическими и непериодическими десятичными дробями (действительными числами), научить их приближенным вычислениям с ними.
При изучении заключительной темы курса арифметики 5-6 классов устанавливается связь между обыкновенными и десятичными дробями. Показывается, что несократимые дроби, знаменатель которых не содержит простых делителей, кроме 2 и 5, и только они, записываются в виде конечных десятичных дробей, остальные в виде бесконечных периодических десятичных дробей. Делается вывод, что любое рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби. Затем приводятся примеры бесконечных непериодических десятичных дробей, которые и называют иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа — это действительные числа.
Введение бесконечных десятичных дробей (не обязательно периодических) позволяет ввести понятие длины произвольного отрезка. Здесь показывается, что длина отрезка как раз и есть бесконечная десятичная дробь, что каждой точке координатной оси соответствует действительное число.
В качестве примера иррационального числа рассмотрено число , и показано, как с его помощью вычисляют длину окружности и площадь круга. Вводится декартова система координат на плоскости, столбчатые диаграммы и графики.
При наличии учебных часов рассматриваются задачи на составление и разрезание фигур, также способствующие развитию школьников. Следует отметить, что тема 5 может изучаться как ознакомительная, так как основное ее содержание повторяется в учебнике для 7 класса тех же авторов.
6. Повторение (14 ч).
При организации текущего и итогового повторения используются задания из раздела «Задания для повторения» и другие материалы.
1 При наличии бóльшего числа учебных часов решаются занимательные задачи, помещенные в конце каждой главы, трудные задачи из учебника и других источников.
1 При наличии бóльшего числа учебных часов изучаются вопросы, отмеченные звездочкой, и тема 5, решаются занимательные и трудные задачи из учебника и других источников.
www.ronl.ru
открытый урок по математике в 5 классе по теме
тип: интегрированный урок
подготовила и провела учитель математики I кв.
категории, руководитель ММО учителей
математики МОУ «Лямбирская СОШ №2»
Одышева О.В.
2005-2006 уч.г.
Эпиграф: «Дела давно минувших дней,
Преданья старины глубокой…»
А.С.Пушкин
Цели:
Повторить и обобщить правила действий с десятичными дробями.
Повторить и обобщить знания о метрической системе мер; дать сведения о старинных мерах длины.
Закрепить умения выражать длины разными единицами.
Совершенствовать вычислительные навыки учащихся, умения решать выражения в несколько действий.
Формировать умение наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.
Развивать математическую речь учащихся.
Содействовать развитию логического мышления и внимания учащихся, их творческих способностей.
Расширять кругозор учащихся, дать сведения из истории математики.
Показать связь математики с другими предметами, такими, как история, литература, иностранный язык и др.
Воспитывать дружеские отношения, чувства долга и ответственности.
Оборудование:
Презентация к уроку.
Сводная таблица мер длин на плакате и на каждую парту.
Игра «Танграм»: треугольники из цветной бумаги, разрезанные на части, на которых записаны примеры с десятичными дробями ( по вариантам ), ответы к которым выражают старинные русские меры длины.
Задачи по литературным произведениям для каждого ученика класса.
Мини-анкеты для каждого ученика класса.
План урока:
Сообщение темы и целей урока.
Устная работа на повторение. Проверка домашнего задания.
Закрепление пройденного и сообщение нового материала. Игра «Колесо истории».
Решение задач по литературным произведениям.
Итог урока. Мини-анкета.
Сообщение темы и цели урока.
Ребята, сегодня у нас не обычный урок. Наша тема – «Старинные меры длины». Сегодня мы с вами отправимся в путешествие на 200 лет назад. Людям издавна приходилось измерять расстояния между городами, определять площадь земельных участков, использовать точные размеры при строительстве зданий, мостов. Как измеряли раньше? Какими пользовались единицами? Об этом мы и поговорим сегодня. А поможет нам в этом наш гость – Архивариус. Он по ходу урока будет давать нам исторические справки.
Устная работа на повторение.
Проверка домашнего задания
Но вначале, как и всегда, проверим домашнее задание и проведём устный счёт на повторение.
Д/З: два ученика у доски пишут по тетрадям. Задания – дифференцированные.
Выполнение домашнего задания проверяют учащиеся с места. Исправляют, если не правильно, на доске цветным красным мелом. Учащимся задают дополнительные вопросы по пройденному материалу.
В это время весь класс работает устно на повторение ( задания – на слайдах презентации ).
^ Вычислите устно:
1) 6 м 20 см ( = 620 см ) 2) 1 – 0,2 ( 0,8 )
: 31 ( 20 см ) 10 ( 8 )
+ 30 см ( 50 см ) : 40 ( 0,2 )
4 ( 200 см = 2 м ) + 3,8 ( 4 )
- 1 м 60 см ( 40 см ) : 0,01 ( 400 )^ Ответ: 40 см Ответ: 400
Восстановите цепочку вычислений:
- 0,9 : a ( 8 )
8,1
x
0,9
(7,2)
0,2
c
0,4
b
( 0,04 ) 0,1 + y ( 0,22 ) ( 0,18 )
Ответ: 0,04
Закрепление пройденного и сообщение нового материала. Игра «Колесо истории».
Все знают, что такое метр. Но эта единица длины появилась на свет всего лишь 2 столетия назад. Метр был «рождён» Великой Французской революцией в 1791 году. Так назвали одну сорокамиллионную долю длины окружности Земли. Вместе с метром родилась метрическая система мер. Она включает сам метр и другие единицы длины, которые получаются умножением или делением на 10, 100, 1000 и т.д. В 1918 году метрическая система мер стала обязательной и в нашей стране.
А в старину для определения длины люди нередко использовали части своего тела, которые всегда были под рукой. ( слайд № ) Например, пядь, локоть, сажень, верста.
Архивариус даёт историческую справку:
Локоть – это длина руки от локтевого сгиба до кончика среднего пальца. Такая единица длины применялась многими народами, но, конечно, под разными названиями: «аммату» в Вавилоне, «нелих» в Греции, «кубитус» в Риме. Обычно локоть имел от 42 до 52 см, но у всех он был разный.
Начиная с 11 в в строительных и землемерных работах на Руси использовали сажени. Их было две: маховая сажень – это расстояние между кончиками пальцев вытянутых в стороны рук; косая сажень – это расстояние от пальцев левой ноги до кончиков пальцев поднятой вверх правой руки.
Пядь – это расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами руки.
В более поздние времена установилась мера расстояний верста, приравненная к 500 саженям. Она использовалась, когда речь шла о больших расстояниях, например, о дорогах.
(Уч.) Времена менялись, исчезали одни меры, появлялись другие. В 16 в на смену локтю от восточных купцов пришёл аршин. Это тоже был локоть, но персидский. В то же время был ещё аршин турецкий. Поэтому и возникла поговорка «мерить на свой аршин».
СЦЕНКА: Купец и покупательница.
ПОК. Вы, сударь, не купец вовсе, вы вор!
К. По какому праву вы так меня называете? Что же это такое? Я честный купец, ни копейки ни с кого не взял, всё честным трудом нажито!
ПОК. Да я вчера в турецкой лавке 5 аршин бархата на платье купила, а ваш-то аршин на целую пядь меньше. Вот и получается, что нечестным путём добро вы своё наживаете, нечестным!
К. Так ведь всяк на свой аршин мерит, сударыня!
( уходят )
(Уч.) А чему равны эти старинные меры длины? Давайте вычислим их. Каждый из вас получил конверт. Это игра «Танграм». В конверте – части геометрической фигуры. Её надо вначале составить. Если вы правильно составите фигуру, то получите числовое выражение, решив которое вы найдёте, чему равна одна из старинных мер длины. Запишите, пожалуйста, в свои тетради номер задания, числовое выражение и решите его ( 4 ученика по желанию к доске ).
№1
2,016 : 0,14 – 1333,3 0,01 = 1,067 ( км ) – верста
№2
5,652 : 1,8 – 0,0101 100 = 2,13 ( м ) – сажень
№3
3,982 : 0,1 + 5,634 : 0,18 = 71,12 ( см ) – аршин
№4
652 : 100 + 2,8075 : 0,25 = 17,75 ( см ) – пядь
(Уч.) Итак: (слайд № )
В первом выражении мы получили число 1,067.
1,067 км – это 1 верста.
Во втором выражении мы получили число 2,13.
2,13 м – это 1 сажень.
В третьем выражении мы получили число 71,12.
71,12 см – это 1 аршин.
В четвёртом выражении мы получили число 17,75.
17,75 см – это 1 пядь.
(Уч.) В 18 веке Россия стала больше торговать с Западной Европой. То, что в России были такие разные меры, затрудняло развитие торговли между странами. Для определения длины Пётр I предложил воспользоваться английскими мерами. Они не менялись уже несколько столетий, и ими часто пользовались в торговле.
Сценка ( на английском языке )
Встречаются 3 моряка:
- Здравствуйте, друзья! Капитан, какие новости, далеко ли плавали, что интересного видели?
- Мы проплыли много миль, видели интересных животных: летающих рыб, акул длиной 5 ярдов, огромных китов – больше(почти) 10 ярдов.
- А мы на обед ели большую рыбу длиной 4 фута. Одной рыбы хватило, чтобы накормить всю команду!
- Да, интересное было у вас путешествие!
(уходят)
(Уч.) Ребята, о чём говорили эти моряки? О чём шла речь в сценке? Какие старинные английские меры длины в своём разговоре упомянули эти моряки?
Архивариус даёт историческую справку:
Основные английские меры длины – ярд, фут, дюйм. В одной старой легенде говорится, что ярд был определён в 1101 году как расстояние от кончика носа английского короля Генриха I до кончика среднего пальца его вытянутой руки.
Фут, т.е. ступня, определяли как 1/3 ярда. Но в одно из воскресений 1324 года другой английский король Эдуард II повелел определить 1 фут как среднее арифметическое длин ступней первых 16 человек, выходящих из церкви после заутрени. С тех пор 1 фут = 30,48 см, 1 ярд = 3 футам = 91,44 см.
Дюйм – голландское слово и означает «большой палец», а точнее первую фалангу большого пальца. Поначалу дюйм определяли как длину трёх ячменных зёрен. Но затем установили, что 1 дюйм = 2,54 см.
Именно эти английские меры были положены в основу новых русских мер Петром I.
( Сводная таблица мер длин )
1 верста = 500 саженям = 1,067 км
1 сажень = 3 аршинам = 7 футам = 12 пядям = 2,13 м
1 аршин = 16 вершкам = 28 дюймам = 71,12 см
1 ярд = 3 футам = 91,44 см
1 фут = 12 дюймам = 30,44 см
1 дюйм = 2,54 см
1 миля = 1,852 км
(Уч.) Но, несмотря на царский указ, повсюду применялись самые разнообразные меры длины. Только переход в 1918 году к метрической системе мер положил конец этой неразберихе. С тех пор старинные меры не применяются. Однако по традиции и в настоящее время моряки измеряют расстояния милями и кабельтовыми, а скорость – узлами.
Старые единицы длины уже не используют, но их названия часто вспоминают в поговорках:
«мерит на свой аршин» - о человеке, который других «по себе судит»;
«семи пядей во лбу» - так говорят об очень умном человеке;
о человеке могучего телосложения могут сказать – «косая сажень в плечах»;
о людях небольшого роста – «от горшка два вершка»;
«верста коломенская» - очень высокий человек.
Эти названия нередко можно встретить в рассказах и повестях, в книгах по истории, а чаще – в сказках. Например, в сказке Петра Павловича Ершова «Конёк-горбунок» на странице 14.
Решение задач по литературным произведениям.
(Уч.) Приступаем к решению задач ( стр.298, учебник-собеседник, Шеврин ).
У вас на столах у каждого имеются отпечатанные задачи. Каждая задача – это строчка из какого-нибудь произведения, пословица или поговорка. Решить их нам поможет сводная таблица мер.
№^ 1
Какой рост в миллиметрах у Дюймовочки из одноимённой сказки Г.Х.Андерсена?
№2
А.С.Пушкин говорит, что у царя салтана родился сын «в аршин». Найдите рост будущего князя в дюймах.
№^ 3
Бывают ли люди «семи пядей во лбу»? Ответ объясните.
№4
Есть поговорка: «Пять вёрст до небес, и всё лесом». Сколько мнтров до небес?
№^ 5
Обычное пожелание морякам перед плаванием: «Семь футов под килем!». Сколько это будет в метрах?
№6
Какой рост в метрах у конька-горбунка из одноимённой сказки П.П.Ершова?
№^ 7
Ширина горницы равна 2 саженям, а длина – 4 саженям. Выразите площадь горницы в м2.
№8
Если вы решили заниматься баскетболом, волейболом, прыжками в высоту, то, прежде чем прийти в секцию, рассчитайте, каков будет ваш окончательный рост:
окончательная длина тела мальчиков
( рост отца + рост матери ) 0,54 – 4,5
окончательная длина тела девочки
( рост отца + рост матери ) 0,51 – 7,5
Д/З.
Итог урока.
Спасибо вам, ребята, за урок. Я надеюсь, что сегодня вы узнали много нового, интересного, сделали какие-то открытия для себя. А так же я надеюсь, что после этого урока ваш интерес к новым открытиям ещё больше вырос.
И в оставшееся время для подведения итогов урока я попрошу вас заполнить очень простую небольшую анкету. Анкету вложите в свои тетради и сдайте.
АНКЕТА
Что я запомнил?
Что я не только запомнил, но и понял?
Что вызвало интерес и эмоции?
www.ronl.ru
Фигурные числа
Работа ученицы 5 «а» классаМАОУ СОШ № 18Поповой ПолиныРуководитель: Кулиш Ирина Сергеевна
2016 год
Содержание
Введение ..1Глава 1. Фигурные числа .. 2Глава 2. Виды фигурных чисел .4Линейные числа .5Плоские числа ..5 Телесные числа 5Треугольные числа ..6Квадратные числа..6Пятиугольные числа .6Пирамидальные числа9Заключение 10Список литературы . 11
ВведениеДавным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". А что если складывать треугольник? Треугольник получается из трех камушков: два в нижнем ряду, один в верхнем, в ложбинке, образованной двумя нижними камнями. Если добавить камень в нижний ряд, появится еще одна ложбинка; заполнив ее, мы получим ложбинку, образованную двумя камушками второго ряда; положив в нее камень, мы наконец получим треугольник. Итак, нам пришлось добавить три камушка. Следующий треугольник получится, если добавить четыре камушка. Выходит, что на каждом шаге мы добавляем столько камней, сколько их становится в нижнем ряду. Если теперь считать, что один камень - это тоже треугольник, самый маленький, у нас получится такая последовательность чисел: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.
-1-ГЛАВА 1. Фигурные числа
Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
абак Пифагор
По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа.. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц .Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть -2-единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Т.о. пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа. Числа камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами.В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д. Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Паскаль и П. Ферма.
Б. Паскаль П. Ферма-3-Даже в XVII века, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со знаками действий, многие считали ее варварской наукой, пригодной для низменных целей- бытовых расчетов, вспомогательных вычислений , - но никак не для благородных научных трудов.
Один из крупнейших математиков того времени, Бонавентура Кавальери, пользовался алгеброй, ибо вычислять с ее помощью проще, но для обоснования своих научных результатов все алгебраические выкладки заменял рассуждениями с геометрическими фигурами.
-4-ГЛАВА 2. Виды фигурных чиселСреди фигурных чисел мы рассмотрим несколько видов:13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Линейные телесные квадратные пирамидальныеПлоские треугольные пятиугольные
*Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию:
(линейное число 5)
*Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:
(плоское число 6)
*Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей:
(телесное число 8)
-5-
*Треугольные числа:
(треугольные числа 3,6,10)
*Квадратные числа:
(квадратные числа 4,9,16)
*Пятиугольные числа:
(пятиугольные числа 5,12)
Именно от фигурных числе пошло выражение "Возвести число в квадрат или куб". -6-Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n-угольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел 1+2+3+...+n, достаточно дополнить это число до прямоугольного числа n(n+1) и увидеть равенство (именно глазами!)
Написав последовательность квадратных чисел, опять-таки легко увидеть глазами выражение для суммы n нечетных чисел:
Наконец, разбивая n-е пятиугольное число на три (n-1) треугольных (после чего остается еше n "камешков"), легко найти его общее выражение
Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n-го k-угольного числа:
При k=3 мы получаем треугольные числа, а k=4 – квадратные числа и т.д. Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис.), а для числа 13 – лишь расположив все предметы в одну линию. Такое древние не считали прямоугольным. Таким образом, прямоугольными числами являются все составные числа, а не прямоугольными – простые числа. -7-Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов.Так, представляя число 10 в двух формах:
5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.
В том же числе 10:
(2+3)*2=2*2+3*2=10 можно "разглядеть" и распределительный закон сложения относительно умножения: (a+b)c=ac+bc. Наконец, если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab: ...... автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S=ab.
-8-К фигурным числам также относятся и пирамидальные числа.*Пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел – от первого до n-го. Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид:
-9-Заключение.Изучая тему фигурных чисел, я сделала вывод, что фигурные числа – это общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Раньше я и предположить не могла, что существуют фигурные числа. Мне показалось интересно, что кроме чисел, которые мы применяем при изучении предмета математика и вообще в жизни –не единственные. Я познакомилась с историей развития математики. Мне хотелось бы в будущем продолжить тему развития математики.
-10-Список использованной литературы 1. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова: Под общ. ред. О. Г. Хинн; Худож. А. В. Кардашук, А.Е. Шабельник, А. О. Хоменко.- М. : ACT, 1996. - 450с.2. Фигурные числа. А.Бендукидзе. Физико-математический журнал ,,Квант,, 1974г., №6.3. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.
-11-
weburok.com
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧУДЕСА И ТАЙНЫ
Автор работы:
Штайц Егор
Учащийся 5 класса
Руководитель работы:
Учайкина Светлана Николаевна
Преподаватель математики
Г. Уяр.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Как люди научились считать.
3. Как люди научились записывать цифры.
4. Таинственные знаки.
5. Искусство отгадывать числа.
6. Упражнения со спичками.
7. В какой руке монета?
8. Парадоксы.
9. Волшебная таблица.
12.Используемая литература
ВВЕДЕНИЕ
Математика может рассматриваться как наука о мышлении. Точность причинно – следственных математических отношений является практической основой для освоения логики. Но математика обладает потенциалом и для формирования таких видов мышления, как конструкторское, пространственное, дивергентное, парадоксальное, творческое.
Математические фокусы – очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. Именно поэтому вместо отвлечённых чисел используются различные предметы или наборы предметов, связанные с числами: домино, спички, часы, календарь, шахматы, монеты и др. Математические чудеса, подобно шахматам, имеют свою особую прелесть. В шахматах объединено изящество математических построений с удовольствием, которое может доставить игра. В математических же фокусах изящество математических построений соединяется с занимательностью.
В любой творческой деятельности (в учёбе, в труде, в игре) внимание, смекалка, умение логически и неформально мыслить, необходимы человеку, ибо помогают находить выход из сложных ситуаций.
«Мир построен на силе чисел» — сказал Пифагор. Вот я и хочу познакомить Вас с некоторыми тайнами чисел, загадками и диковинками в мире математике, которые для меня стали открытиями.
КАК ЛЮДИ НАУЧИЛИСЬ СЧИТАТЬ
Сколько тебе лет? Сколько у тебя друзей? Сколько лап у кота? Чтобы все подсчитать, нужно знать цифры. А как считали древние люди, которые их не знали? Вот послушайте.
Давным-давно, многие тысячи лет назад, наши далекие предки жили небольшими племенами. Они бродили по полям и лесам, по долинам рек и ручьев, разыскивая себе пищу. Питались листьями, плодами и корнями различных растений. Иногда ловили рыбу, собирали ракушки или охотились. Одевались в шкуры убитых зверей.
Жизнь первобытных людей мало чем отличалась от жизни животных. Да и сами люди отличались от животных только тем, что владели речью и умели пользоваться простейшими орудиями труда: палкой, камнем или камнем, привязанным к палке.
Первобытные люди, так же как и современные маленькие дети, не знали счета. Но нас учат считать родители или учителя, старшие братья и сестры, товарищи. А первобытным людям не у кого было учиться. Их учителями была сама жизнь. Поэтому и обучение шло медленно.
Наблюдая окружающую природу, от которой полностью зависела жизнь, наш далекий предок из множества различных предметов сначала научился выделять отдельные предметы. Из стаи волков — вожака стаи, из стада оленей — одного оленя, из выводка плавающих уток — одну птицу, из колоса с зернами — одно зерно.
Поначалу они определяли это соотношение как «один» и «много».
Частые наблюдения множеств, состоявших из пары предметов (глаза, уши, рога, крылья, руки), привели человека к представлению о числе. Наш далекий предок, рассказывая о том, что видел двух уток, сравнивал их с парой глаз. А если он видел их больше, то говорил: «Много». Лишь постепенно человек научился выделять три предмета, ну а затем четыре, пять, шесть и т.д.
Учиться считать требовала жизнь. Добывая пищу, людям приходилось охотиться на крупных зверей: лося, медведя, зубра. Охотились наши предки большими группами, иногда всем племенем. Чтобы охота была удачной, нужно было уметь окружить зверя. Обычно старший ставил двух охотников за берлогой медведя, четырех с рогатинами — против берлоги, трех — с одной стороны и трех — с другой стороны берлоги. Для этого он должен был уметь считать, а так как названий чисел тогда еще не было, он показывал число на пальцах.
Кстати сказать, пальцы сыграли немалую роль в истории счета, особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая обменять сделанное им, копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого пальца его руки нужно положить шкурку. Одна пятерня обозначала — 5, две — 10. Когда рук не хватало, в ход и ноги. Две руки и одна нога — 15, две руки и две ноги – 20.
Следы счета на пальцах сохранились во многих странах.
Так, в Китае и Японии предметы домашнего обихода (чашки, тарелки и др.) считают не дюжинами и полудюжинами, а пятерками и десятками. Во Франции и в Англии и поныне в ходу счет двадцатками.
Специальные названия чисел имелись поначалу только для одного и двух. Числа же больше двух называли с помощью сложения: 3 — это два и один, 4 — это два да два, 5 — это два, еще два и один.
Названия чисел у многих народов указывают на их происхождение.
Так, у индейцев два — глаза, у тибетцев — крылья, у других народов один — луна, пять — рука и т.д.
www.ronl.ru
