то всё доказано. Если 
то по свойству 2, 
по свойствам взаимно простых чисел 
▲.Если то всё доказано. Если то по свойству 2, по свойствам взаимно простых чисел ▲.
Замечание: использовано следующее свойство взаимно простых чисел:
Доказательство: 
▲.
Следствие: Если произведение нескольких чисел делится на простое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на это число р. (доказательство методом математической индукции по числу п сомножителей).
Теорема 1. (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ). Всякое натуральное число, большее 1, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и два таких разложения могут отличаться только порядком следования сомножителей.
Доказательство: 1. Возможность указанного представления. Применим метод математической индукции.
1) Для числа 2 утверждение теоремы тривиально.
2) Допустим, что теорема верна для всех натуральных чисел, меньших п.
3) Докажем теорему для числа п. Если п — простое число, то всё доказано.
Если п — составное число, то 
Тогда в силу индуктивного предположения 
допускают разложение на простые множители: 
Тогда 
и возможность разложения числа п доказана.
2. Однозначность разложения. Для доказательства однозначности разложения с точностью до порядка следования сомножителей также применим метод математической индукции.
1) Для числа 2 утверждение справедливо, т. к. 2 – простое число.
2) Допустим, что утверждение верно для всех натуральных чисел, меньших п.
3) Докажем утверждение для числа п. Допустим, что п двумя способами разложено в произведение простых сомножителей: 
и 
, где 
простые числа 
.
Тогда 
один из сомножителей произведения 
делится на 
.
Тогда 
Но число 
Тогда по индуктивному предположению для т утверждение справедливо, т. е. два разложения числа т могут отличаться только порядком следования сомножителей. Следовательно, 
простые числа 
только порядком следования. Значит утверждение верно и для числа п.
Итак, по методу математической индукции утверждение верно для любого натурального числа, большего 1. ▲.
Замечание: Среди сомножителей в разложении могут быть равные. Их произведение принято записывать в виде степеней. Пусть 
различные простые сомножители числа п и число 
входит в разложение числа п 
раз 
, тогда число п можно записать в виде: 
. Такое разложение называется каноническим разложением числа п.
Пример: Найдем каноническое разложение числа 1176.
Значит 
Применения основной теоремы арифметики
Если у нас есть канонические разложения двух натуральных чисел, то мы можем считать, что эти разложения состоят из одинаковых простых сомножителей, добавляя сомножители вида 
.
Например, 
Считают, что 
Теорема 2. Пусть 
канонические разложения натуральных чисел п и т. Тогда 
где 
где 
Примеры: 1. 
2. Пусть 
. Найдем их канонические разложения:
matematiku5.ru
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО
Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел
Основная теорема алгебры
Курсовая работа
студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета
Батура Ирина Сергеевна
Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент
Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор
САРАТОВ
2009 год
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
4. Доказательство основной теоремы
5. Список используемой литературы
1. ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле
. Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Целью моей работы является выявления, что полекомплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.
При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.
Множество комплексных чиселможно определить как множество упорядоченных пар
действительных чисел,
,
, в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:
В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.
Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.
Последовательность
называется подпоследовательностью
, если для любого k существует такое натуральное
, что
=
, причем
Б
тогда и только тогда, когда
.
Комплексное число– расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма
, где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению
.
Вещественное число (действительное число)– любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Функция– 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие
между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).
Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех
и всех
выполняется неравенства
Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого
существует такой номер
, что если
, то для всехвыполняется неравенство
. Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
В моей работе полиномы рассматриваются только над полямии
как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля) носит название основной теоремы алгебры.
Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел
. Число
называется ее пределом, если для любого действительного числасуществует такой номер, что привыполняется неравенство
. В этом случае пишут lim
, а=lim
, b=lim
. Предельное соотношение lim
=c равносильно соотношению
, ибо
max
Последовательностьтакая, что
R, при некотором R, называется ограниченной.
Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть
ограниченная последовательность, т.е.
, тогда
, так чтоесть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность
. Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей
. Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность
.
Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен
.
4. Доказательство основной теоремы
Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть
-полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной
.Представим себе "график" функции
, считая , что значенияизображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения
откладываются вверх в направлении оси
. Мы установим, что
являются непрерывными функциями отна всей плоскости комплексной переменной. Функция
от комплексной переменнойназывается непрерывной в точке
, если достаточно близким кзначениямисоответствует сколь угодно близкие к
значения.В более точных терминах - для любогонайдется такое
, что
, как только
.
Непрерывностьдает основания представлять себе графикв виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость
, и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение, в котором
, и, тем самым,
, т.е. что поверхностьдоходит до плоскостив точке. Мы докажем, что если дана точка на поверхности,которая расположена выше плоскости, то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхностисуществует самая низкая точка, скажем, при
. Она не может находиться выше плоскости, ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно,и , следовательно, т.е.корень полинома.
Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.
Лемма 1. Дан полином
c нулевым свободным членом.
Тогда для любогонайдется такое, что
, как только
.
Доказательство: Пусть
. Тогда
Положим
Если
то
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.
Доказательство: Пусть дан полиноми точка.Расположим полином по степеням
,
Тогда
так что
Правая часть есть полином от
с нулевым свободным членом.
По лемме 1 для любогонайдется такое, что
как только
что и требовалось доказать.
Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.
Доказательство: Из неравенства
следует, что для данногото
, которое "обслуживает", подходит и для. Действительно, приимеем
Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если-полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что
M,как только
.
Это означает, что любая горизонтальная плоскость
отрезает от поверхностиконечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.
Доказательство: Пусть
где
полином от
c нулевым свободным членом.
В силу леммы 1 для
найдется такое, что при
, будет
. Модуль
может быть сделан сколь угодно большим, именно, при
будет
. Возьмем
Тогда прибудет
и
так что
Лемма 5. Точная нижняя грань значенийдостигается, т.е. существует такое, что
при всех.
Доказательство: Обозначим точную нижнюю граньчерез
. Возьмем последовательностью
стремящихся ксверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений, ибо-точная нижняя грань. Поэтому найдутся
такие, что
. Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для
найдем такое
, что прибудет
Отсюда следует, что
при все
. Последовательностьюоказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность
. Пусть ее предел равен. Тогда
в силу непрерывности. Кроме того,
. Поэтому
Итак
, что и требовалось доказать.
Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пустьполином отличный от константы, и пусть
. Тогда найдется такая точка
, что
Геометрический смысл этой леммы: если на поверхностидана точка, находящаяся выше плоскости, то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.
Доказательство: Расположим полиномпо степеням
Тогда
Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от
, а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть
– первое отличное от нуля слагаемое после, так что
(если k>1). Такое слагаемое имеется, так какне константа. Тогда
+
+(
+…+
))=
=c0(1++
).
Здесь
=
есть полином от
с нулевым свободным членом. По лемме 1 для
=
найдется такое,что ||<, как только ||<. Положим
=(
) и
. Тогда
.
Выберем
так, что
. Для этого нужно взять
. Далее, положим
, т.е. возьмем
. При таком выборе будет
. Теперь положим
при
и. Тогда
и
|
|=
.
Лемма доказана.
Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять
при
так что при k>1 (т.е. в случае, когда
-корень кратности
полинома
)имеется k направлений спуска по поверхности
. Они разделяютсянаправлениями подъема при
Действительно, в этих направлениях
и
Так что еслиесть корень производной кратности, то поверхностьв окрестности точки"гофрирована" так, что на ней имеется"долин" cпуска, раздельных"хребтами" подъема.
Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле, комплексных чисел алгебраически замкнуто).
Доказательство: Пусть- данный полином, отличный от константы. Пусть, далее,
и- точка, в которой
; Она существует по лемме 5. Тогда
ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка
что
невозможно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во "Высш. Школа", 1981г. – 687с.
А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во "Наука", 1971 г. – 431с.
superbotanik.net
Ее обычно формулируют так:
всякое натуральное число, отличное от 1, единственным образом представляется в виде произведения простых чисел
или так:
всякое натуральное число единственным образом представляется в виде произведения степеней разных простых чисел
последнее разложение часто называют каноническим, хотя и не всегда, требуя при этом, чтобы простые множители входили в это разложение в порядке возрастания.
При этом всегда подразумевается, что порядок этих множителей является несущественным, так что два таких представления, отличающиеся только порядком множителей, считаются совпадающими: например, 12=2x2x3=2x3x2=3x2x2 это одно и то же разложение числа 12, и именно такое понимание позволяет говорить о единственности разложения числа на простые множители. Еще одна тонкость в формулировке основной теоремы, быть может, не слишком заметная, но существенная для ее правильного понимания, рассматривается в статье «Крайние случаи в математике».
Основная теорема арифметики в школьном курсе не доказывается, т.е. принимается без доказательства, но ее можно неограниченно использовать. Более того, разрешается считать очевидными некоторые ее следствия, которые при этом также разрешается не доказывать. Так, очевидным можно считать часто используемое утверждение:
Если произведение двух целых чисел делится на простое число р, то хотя бы одно из этих чисел делится на р.
Это утверждение — одношаговое следствие основной теоремы арифметики: если произведение ab делится на с, то в его каноническом разложении есть множитель р, а попал он в это произведение либо от а, либо от b, а стало быть, р содержится в разложении на простые одного из чисел а и b — оно и делится на р.
После этого рассуждения легко понять, почему для числа р, не являющегося простым, аналогичное утверждение неверно: если р составное, то у него по крайней мере есть два простых множителя, один из которых может входить только в разложение а, а другой — только в разложение b. Соответствующий простейший пример очевиден: р=6, а=2, b=3.
А почему верно утверждение «Если а2 делится на b2, то а делится на b»? Сразу доказать его вряд ли возможно: совсем не ясно, как из равенства а2=kb2 получить равенство вида а=nb. Сделать это позволяет именно основная теорема: все простые множители в канонические разложения чисел а2 и b2 входят с четными показателями, поэтому при а2=kb2 все простые множители в каноническое разложение k также входят с четными показателями и, следовательно, k является точным квадратом: k=n2, а из равенства а2=n2b2 сразу же получаем а=nb, т.е. а делится на b.
Из основной теоремы арифметики следует совершенно необходимое для решения задач утверждение:
если натуральное число а делится на натуральные числа b и с, и числа b и с взаимно просты, то а делится на произведение bс.
В самом деле, в разложении числа а на простые множители имеются все простые множители, входящие в разложение числа b, причем с не меньшими, чем в b, показателями степени, и то же самое касается числа с. Но поскольку числа b и с взаимно просты, т.е. не имеют общих множителей, то в разложении числа а автоматически появляются все множители произведения bс в соответствующих степенях, так что а делится на bс, что и требовалось доказать.
Очень важно помнить, что это утверждение перестает быть истинным, если не предполагать, что b и с взаимно просты: например, 18 делится на 6 и на 9, но не делится на 6×9=54. Можно привести и еще более простой хотя и несколько «вырожденный» пример: 2 делится на 2, но 2 не делится на 2×2=4.
Из основной теоремы арифметики также следует критерий делимости одного числа на другое, основанный на знании канонических разложений этих чисел:
Число а делится на число b тогда и только тогда, когда все простые множители, входящие в разложение числа b, входят и в разложение числа а, причем с показателем степени, не меньшим чем в b.
Например, 23x52x7x114 делится на 23x5x114, но не делится ни на 23x52x114x13, ни на 24x5x7x114.
Из этого критерия, или необходимого и достаточного условия делимости, вытекает формула для числа делителей натурального числа. Именно, если $a={p_{1}}^{\alpha_{1}}{p_{2}}^{\alpha_{2}}…{p_{k}}^{\alpha_{k}}$, то число делителей а равно $(\alpha+1)(\alpha_{2}+1)…(\alpha_{k}+1)$.
В самом деле, чтобы число b было делителем числа a, надо, чтобы оно имело те же простые множители, но с показателями, не большими чем в а. Но тогда первый показатель можно выбрать любым от 0 до $\alpha_{1}$ т.е. числом способов $\alpha_{1}+1$, и точно так же второй показатель можно выбрать числом способов $\alpha_{2}+1$ и т.д., а всего для выбора делителя b имеется именно $(\alpha+1)(\alpha_{2}+1)…(\alpha_{k}+1)$ способов, что и требовалось доказать.
Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Загрузка... matemonline.com
Название это несколько устарело, но сама теорема об однозначном разложении на простые множители не устарела. Теорема эта несколько суховата и аккуратно ее сформулировать не так-то просто. Но на ней, как на фундаменте держится вся арифметика, и все приложения теории чисел. Эта же теорема имеет место и для кольца многочленов над полем, а более широко для всех евклидовых колец. Для них мы ее и докажем.
Однозначность далеко не всегда имеет место. Например, игрушку Лего как не разбирай, простейшие детали окажутся одни и те же. А вот огурец можно разрезать вдоль, а можно и поперек.
Что понимать под однозначностью разложения на простые множители. Например, число 10 можно записать разными способами в виде произведения
.
Можно предложить и другие. Однако, различия в этих представлениях не очень существенные. Минус единица и единица, это единственные обратимые элементы в кольце целых чисел (на обратимые элементы делятся любые элементы), а числа 2 и -2, 5 и -5 – ассоциированные, т.е. отличаются друг от друга на обратимые. То, что 2 и 5 в разных записях числа 10 переставлены местами тоже не существенно, поскольку имеем место коммутативность умножения. Все эти наблюдения подсказывают определение.
Определение. Два разложения элемента “a” коммутативного кольца К на простые множители
называются ассоциированными, если 
- обратимые элементы,n=m, простые элементы pi и qj, возможно после перестановки, попарно ассоциированы, т.е. p1 ассоциирован с q1, p2 ассоциирован с q2 и т.д.
В кольце многочленов простые элементы обычно называют неприводимыми многочленами. Так сложилось исторически, поскольку в прежние времена, разложение многочленов на множители называлось приведением к простому виду. Поэтому, если разложить не удавалось, то и называли неприводимым. Это примерно то же самое, почему у моряков не повар, а кок. Поскольку говорить, что неприводимые элемент кольца многочленов – это простой элемент кольца многочленов, излишний педантизм, то приведем и явное определение.
Определение. Многочлен называется неприводимым, если он не раскладывается в произведение многочленов меньшей степени.
Поиск простых элементов, в том числе и простых чисел и неприводимых многочленов, весьма нетривиальная задача, над которой в мире работают тысячи специалистов и миллионы микропроцессоров. Нам нужно доказать, что в кольце целых чисел Z и кольце P[x] многочленов над полем имеет место однозначное разложение на простые множители. Кстати, на этом факте держится вся криптография с открытым ключом, в том числе и знаменитый RSA.
Как обычно, сделаем это сразу для всех евклидовых колец.
Определение. Говорят, что кольца К является кольцом с однозначным разложением на простые множители, если в нем любой элемент имеет хотя бы одно разложение на простые множители и любые два такие разложения ассоциированы.
Кратко такие кольца называются факториальными. Но можно это слово и не запоминать. Некоторые племена Африки не знают слова зонтик, они просто говорят: “Домик, который белый человек носит в руках и раскрывает над головой, когда идет дождь.”
Фраза в определении факториального кольца о том, что каждый элемент должен иметь хотя бы одно разложение, не ритуальная. Не факт, что такие разложения есть вообще, а про то, чего нет можно доказать все что угодно. Например, я утверждаю, что все алмазы, хранящиеся у меня в доме, имеют вес больше 10 кг. (50 тыс. карат). Что бы меня опровергнуть требуется найти хотя бы один алмаз, который бы весил меньше 10 кг. Такого алмаза найти невозможно потому, что алмазов у меня нет вообще!
Теорема.
В евклидовом кольце любой элемент имеет разложение на простые множители.
Доказательство.
Идея доказательства очень проста. Поскольку каждый элемент евклидова кольца имеет степень, а степень сомножителя не больше чем степень произведения, то мы не сможем бесконечно раскладывать на множители. Неразложимые множители и будут простыми элементами. Теперь реализуем эту идею аккуратно. Запустим индукцию по степени 
элемента “a”. База индукции – неразложимые элементы (независимо от их степени, так что, фактически, имеет место двойная индукция).
Шаг индукции. Пусть 
, тогда, по предположению индукции сомножителиb и c имеют разложение на простые множители, а значит, разложим и исходный элемент “a”.
Самый трудный случай. Пусть 
, т.е. один из сомножителей не уменьшил свою степень, это допускается определением степени. Тогда применим деление с остатком, «непокорный» элемент “b” поделим на элемент a: 
.
Следовательно, 
. Чтобы не возникло противоречия 
, остается согласиться, что 1–cq=0, т.е. cq=1. Значит элементы a и b ассоциированы, т.е., “а” – и принадлежит базе индукции.
□
Для кольца с разложением на простые множители есть простой критерий, когда оно является факториальным. Доказательство критерия можно посмотреть, например, в учебнике А.И. Кострикина Введение в алгебру.
Теорема. (Критерий факториальности)
Если кольцо имеет разложение на простые множители, то оно факториально тогда и только тогда, когда для любого простого элемента p из того, что p\(ab) следует, что p\a или p\b.
Критерий кажется очевидным и даже несколько наивным. Однако, если Петю (p) смогли поднять вдвоем Антон (a) и Борис (b) не обязательно, что это они смогут сделать по отдельности.
Теорема (факториальность евклидовых колец).
Любое евклидово кольцо, в частности кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем, являются кольцам с однозначным разложением на простые множители.
Доказательство.
Применим критерий факториальности. Пусть простой элемент p делит произведение ab, но не делит элемент a. Так как элемент p простой, то НОД(p,a) = 1 и, значит, в силу алгоритма Эвклида найдутся элементы 
такие, что ua+vp=1. Умножая это равенство почленно на элемент b, получаем uab+vpb=b. Так как оба слагаемых в левой части равенства делятся на элемент p, то и правая часть делится на p. Значит p\b. Если элемент p не делит b, то аналогично получим, что p\a.
□
Следствие. В евклидовом кольце число простых элементов бесконечно. В частности, бесконечно число простых чисел и неприводимых многочленов.
Идея использовать метод Евклида для получения новых простых чисел не безнадежна, но мало эффективна. Начнем с первых трех простых чисел 2, 3, 5. Далее получаем 
, имея четыре числа 2, 3, 5, 31 получим
. Вновь появляющиеся числа не только не обязаны быть простыми, но даже и не обязательно дают простые множители, превосходящие предыдущие.
studfiles.net
