rpp.nashaucheba.ru

Проект на тему: «Логарифмы в астрономии и физике»

РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВПО РГУПС) Лискинский техникум железнодорожного транспорта имени И.В. Ковалева – филиал РГУПС (ЛТЖТ – филиал РГУПС) Проект по дисциплине: «Математика» Специальность 23.02.06 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог Студент Гаврилов Виктор Алексеевич Власова Ольга Олеговна Руководитель проекта 2016 Изм Лист № документа Подпись Дата Разраб. Проверил Литера Лист 2 Листов 19 Гаврилов. В А. Власова О.О. Индивидуальный проект по математике «Логарифмы в астрономии и физике» П 23.02.06 Студента группы В-11 ЛТЖТ – филиала РГУПС

Содержание 1. Вводная часть……………………………..……………………………………..3 2. Звезды, шум и логарифмы……………….……………………………………..4 3. Единица громкости……………………………………………………………..7 4. Определение: «Видимые и абсолютные звездные величины» ……………...9

5. Нулевые и отрицательные звездные величины………………………………11 6. Логарифмический потенциал…………………………………………………14 7.Радиоактивный распад ………………………………………………………...15 8.Барометрическая формула……………………………………………………..16 9.Формула Циолковского......................................................................................17 10.Заключение……………………….…………………………………………...18 11. Список литературы…………………………………………………………..19 Введение В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей. Изм. Лист № докум. Подпись Дата Лист 3 П 23.02.06

Определение: Изм Лист № документа Подпись Дата Лист4 П 23.02.06

Логарифмом числа b по основанию, а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. a logab = b (1)Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632). В таблицы Непера вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 900 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными.

Рисунок 1 – Бергу Йост 2. Звёзды, шум и логарифмы Изм Лист № документа Подпись Дата Лист5 П 23.02.06

Этот заголовок связывает, столь, казалось бы, не соединимые вещи. Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом: По логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины; Звезды первой величины, второй и третьей и т.п. Последовательность видимых звездных величин, которые воспринимались глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону:

Рисунок 2 - Звёзды Изм Лист № документа Подпись Дата Лист6 П 23.02.06 Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5 легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм её физической яркости. Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов составленной при основании 2,5. Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда.

Рисунок 3 - Галактика 3. Единица громкости Изм Лист № документа Подпись Дата Лист7 П 23.02.06

Единицей громкости служит «бел», практически - его 10 доля, «децибел». Последовательные степени громкости – 1 бел, 2 бела и т.д. (практически – 10 децибел, 20 децибел и т.д.) – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же сила этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Пример: Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычание льва – в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 106,5 – 1 = 105,5 = 316000 раз; львиное рычание сильнее громкой разговорной речи в 108,7 – 6,5 = 102,2 = 158 раз

Рисунок 4 - Лес Шум, громкость которых более 8 бел, оказывается вредным дляИзм Лист № документа Подпись Дата Лист8 П 23.02.06 человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превышает допустимый предел: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка о стальную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10 – 100 раз громче самого шумного места – Ниагарского водопада (9 бел). Случайность ли то, что при оценке видимой яркости светил и при изменении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью; между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет и то и другое – следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Как, видим, логарифмы вторгаются в область психологии.

Рисунок 5 – Густав Фехнер 4. Видимые и абсолютные звездные величины Изм Лист № документа Подпись Дата Лист9 П 23.02.06

Астрономы делят звезды по степени яркости: видимые и абсолютные звездные величины. Уже из первого знакомства с небом вы знаете о том, что яркость звезд не одинакова. Со времен древнегреческого астронома Гиппарха (II в. до н.э.) используется понятие «звездная величина». Считая, что расстояния до звезд одинаковы, предполагали, что, чем звезда ярче, тем она больше. Наиболее яркие звезды отнесли к звездам первой величины (сокращенное обозначение 1 т, от лат. Magnitude - величина), а едва различимые не вооруженным глазом – к шестой (6т). Сейчас мы знаем, что звездная величина характеризует не размеры звезды, а ее блеск, т.е. освещенность, которую создает на Земле.

Рисунок 6 - Гиппарх Никейский Шкала звездных величин сохранилась и уточнена. Блеск звезды 1т Изм Лист № документа Подпись Дата Лист10 П 23.02.06 больше звезды в 6т ровно в 100 раз. Следовательно, разность в 5 звездных величин соответствует различию в блеске ровно в 100 раз. Обозначим через х число, показывающее различие в блеске в одну звездную величину, тогда x5 = 100. Найдем значение х из этого равенства: 5 lg x = lg 100, отсюда 5 lg x = 2 или lg x = 0,4, тогда х = 2, 512. Если обозначить блеск звезды, звездная величина которой равна m1, через I1, а блеск звезды, звездная величина которой равна m2, через I2, то L`1 / L`2 = 2,512 (m2 – m1)

Рисунок 7 – Шкала звездных величин 5. Нулевые и отрицательные звездные величины Изм Лист № документа Подпись Дата Лист11 П 23.02.06

Светила, блеск которых превосходит блеск звезды 1т, имеют нулевые и отрицательные звездные величины (0т, -1т и т.д.). К ним относятся несколько наиболее ярких звезд и планет, а также конечно, Солнце и Луна. Шкала звездных величин продолжается и в сторону звезд, не видимых невооруженным глазом. Есть звезды 7т, 8т и т.д. Для более точной оценки блеска звезд используются дробные звездные величины 2,3т; 7,1т; 6,2т; 14,5т; и т.д.

Рисунок 8 – Шкала блеска небесных светил

Например, Изм Лист № документа Подпись Дата Лист12 П 23.02.06

Во сколько раз Капелла ярче Денеба? Из таблицы найдем звездную величину Капеллы (m1 = +0,2т) и Денеба (m2 = +1,3т). Задача: Дано: Решение: m1 = +0,2тI1 /I2 = 2,512 (т2-т1) m2 = +1,3тlg I1 /I2 = (m2-m1)

I1 /I2 - ? Lg 2,512 = 0, 4; то для Капеллы и Денеба: Lg I1/I2 = 0, 4 * 1, 1 = 0, 44; I1 / I2 = 2, 75.

Ответ: I1 /I2 = 2,75.

Рисунок 9 – Капелла и Денеба Так как звезды находятся от нас на различных расстояниях, то их видимые звездные величины ничего не говорят о светимостях (мощности излучения) звезд. Поэтому в астрономии, кроме понятия «видимая звездная величина». Изм Лист № документа Подпись Дата Лист 13 П 23.02.06

Звездные величины, которые имели бы звезды, если бы они находились на одинаковом расстоянии (r0 = 10 ПК), называется абсолютными звездными величинами (М).

Рисунок 10 - Сатурн6.Логарифмический потенциал Изм Лист № документа Подпись Дата Лист14 П 23.02.06

Логарифмический потенциал Логарифмический потенциал – понятие физико-математическое.

Рисунок 11 – И. Ньютон 7.Радиоактивный распад Изм Лист № документа Подпись Дата Лист15 П 23.02.06

Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле N= N0 2-t/T, где N0-масса вещества в момент времени t, T- некоторая константа, смысл которой мы сейчас выясним. Вычислим значение N, при t=T. Так, N (T) =N0*2^-1=N0/2.Это означает, что через время Т после начального момента масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Поэтому число Т называют периодом полураспада. Период полураспада радия равен 1600 лет, урана- 238- 4,5 миллиардов лет, цезия -137 -31 год, йода -131 -8 суток. Закон радиоактивного распада часто записывают в стандартном виде N= No L- t \ T.Связь константы Т с периодом полураспада нетрудно найти: L-t\T=2 –t\ T= -t\T ln2=T\ ln2~ 1.45 Т.

Рисунок 12 – Знак радиоактивности 8.Барометрическая формула Изм Лист № документа Подпись Дата Лист16 П 23.02.06

Барометрическая формула Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону. P=Po L-h\H, где р-давление на уровне h, Н- некоторая константа, зависящая от температуры. Для температуры 20 , величина Н~7.7 километров. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле: D=A log Po\P, где Po- давление звука до поглощения, Р- давление звука, прошедшего через стену, А- некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 ДБ. Если коэффициент звукоизоляции Д равен, например,20 ДБ, то это означает, что Log Po\ P=1 и Po=10p, т. е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь).

Рисунок 13 -Барометр9.Формула Циолковского. Изм Лист № документа Подпись Дата Лист17 П 23.02.06

Эта формула связывающая скорость ракеты V с её массой m, таковы: V=Vr ln mo\m, где Vr- скорость вылетающих газов, mo-стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива V r- невелика (в настоящее время) она меньше или равна 2 км\с. Логарифмический расчет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение mo\m т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.

Рисунок 14 – Космонавт

Изм Лист № документа Подпись Дата Лист18 П 23.02.06 10.Заключение Математику можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считается всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Задача математики состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математического аппарата, то есть формально-логическим способом. Функции математики в равной мере являются функциями гуманитарными, поскольку направлены на совершенствование материальной и духовной сфер человеческого бытия. Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями. Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Одновременно воспитываются волевые качества личности, без которых невозможно овладение научной теорией, формируются навыки самостоятельной исследовательской работы, наконец, воспитывается интеллектуальная честность, которая не позволяет оперировать сомнительными, не доказанными со всей необходимой строгостью фактами. Причем это относится не только к решению математических задач, но и к другим областям человеческой деятельности, в том числе и к анализу явлений общественно-политической жизни. Математическое образование из внешнего по отношению к ученику процесса обучения трансформируется в собственно познавательный процесс. Только совместные действия этих полярных начал, и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки. Учитывая внутреннее логическое единство математики, органическую взаимосвязь ее частей, важнейшим требованием к организации ее преподавания должны стать последовательность и преемственность в обучении, видение на всех его этапах основной цели. Этой целью является накопление специальных знаний, овладение приемами постановки и решения математических задач и на их базе развитие интеллекта учащихся, формирование у них культуры мышления, воспитание волевых качеств личности, умения преодолевать трудности, эстетическое развитие, базирующееся на способности оценить красоту научных построений и радости от обретения нового знания. Таким образом, математика своими специфическими средствами способствует решению целого комплекса задач и имеет большое значение в жизни общества. 11.Список литературы. Изм Лист № документа Подпись Дата Лист19 П 23.02.06

1.Волошинов А. В. Математика и искусство Изд. «Просвещение», 1992 г. – 335 с. 2.Алгебра и начала анализа. // под редакцией Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин – М.: «Просвещение», 1982 г. - 547 с. 3. Мякишев Г. Я., Буховцев Б.Б. Физика: Учеб. для 11 кл. Изд. Просвещение 1999-254 4. Физика. Молекулярная физика. Термодинамика. 10 класс. Учебник для углубленного изучения.  Мякишев Г.Я., Синяков А.З. (2010, 352с.)5. Математический анализ :учебно-методическое пособие/МОиН РФ, ГОУ ВПО Кемеровский государственный универс ; [сост. : А. М. Вайнгауз, В. А. Геллерт].-Томск:издательство ТГПУ. Ч. 1.-2008.-76 

educontest.net

«ЛОГАРИФМЫ В АСТРОНОМИИ» Содержание 1

dok.opredelim.com

Применение логарифмов в различных сферах

План

1.Формулирование тем исследований учащихся (1октября-10 октября).

2.Подбор теоретических материалов в библиотеке колледжа и города (12 октябя-24 октября).

3.Работа с информационными источниками (интернет, википедия, яндекс, гугл)(26 октября-14 ноября).

4.Формирование проекта по главам (16 ноября-30 ноября).

5.Расчет исследовательских задач (1 декабря-12 декабря).

6.Консультация с руководителем по оформлению и написанию проекта (каждые 15 дней - вторник, после 3 пары).

7.Составление мультимедийной презентации проекта (15 января-10 февраля).

8.Защита исследовательского проекта в группе (март месяц).

 

Оглавление

 

стр.

1.Введение 4

2.Основная часть 5

2.1.Историческая справка 5 2.2Определение термины 7

2.3Выводы 14

3.Глоссарий 15

4.Список использованных источников 16

 

Введение

Логарифмы были изобретены шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 1614 г. Его «Канон о логарифмах» начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них».

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера, английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.

Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла. Теория логарифмов связана с именами целого ряда математиков: Г. Бригс, Э. Уингейт, У. Отред, Н. Меркатор, Д. Спейдел, К. Бремикер, Ф. Клейн.

Анализ тематики создание логарифмов достаточно актуален и представляет научный и практический интерес.

Актуальность - использование математики в таких областях, как физика, химия, музыка, сейсмология.

Цель- изучение теоретических основ взаимосвязи математики с другими науками и исследование практики, ее применение в различных сферах жизнедеятельности.

Задачи:

- изучить понятие логарифма, определить его основные элементы;

-обозначить математические методы;

-охарактеризовать применение математики в геометрии;

- предмет исследования: совокупность математических моделей, процессов в природе и обществе;

-объект исследования: междисциплинарные связи математики;

-гипотеза. Если изучить проектирование и связи ее с математикой в геометрии и другими науками.

-методы исследования.

 

 

Основная часть

Историческая справка

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное.

Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos – «отношение» и ariqmo – «число», которое означало «число отношений». Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales - «искусственные числа», в противоположность numeri naturalts – «числам естественным».

В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.

В 1614 году Непер опубликовал в Эдинбурге сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», на латинском языке. Там было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов.

Сочинение было разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая — плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617).

Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега́ появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером.

Термин «натуральный логарифм» ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием «Новые логарифмы» лондонский учитель Джон Спейдел.

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.

Таким образом, прошло 400 лет с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

 

 

Определение, термины

В математике существует такое понятие, как логарифмическая спираль. Спираль – это плоская кривая линия многократно обходящая одну из точек на плоскости.

Иоганн-Вольфганг Гёте считал: "Логарифмическая спираль есть символ жизни и духовного развития".

Уравнение логарифмической спирали в полярной системе координат имеет вид:

p=аФ, где, а>0

Переписав уравнение в виде ф=Loga p, мы видим, что величина полярного угла пропорциональна логарифму радиус-вектора. Отсюда и происходит название логарифмическая спираль.

Спираль в одну сторону развёртывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая.

Так почему мы в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль?

Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем, рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой.

Раковина моллюсков

Раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

Рога козлов

По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Один из наиболее распространённых пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям.

Паутина

В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.

Семечки в подсолнухе

 

По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит солнечная система.

Галактика

Полет бабочки.Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света.

Если они ориентируются на пламя свечи, то инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

 

полет бабочки

 

Молекула ДНК. Её молекулы имеют огромную по молекулярным масштабам длину и состоят из 2-х нитей, сплетённых между собой в двойную спираль. Каждую из нитей можно сравнить с длинной нитки бус. С нитями бус мы сравниваем и белки. У белков «бусинами» являются аминокислоты 20 различных типов. У ДНК-всего 4 типа «бусин» и зовутся они нуклеотидами. «Бусины» двух нитей двойной спирали ДНК связаны между собой и строго друг другу соответствуют. Мы часто встречаем изготовление предметов по шаблону, называемому матрицей. Отливка монет или медалей, типографского шрифта. По аналогии происходящее в живой клетке восстановление двойной спирали по одной её цепи, как по матрице, так же называют матричным синтезом.

молекула ДНК

 

Применение логарифмов в различных сферах

Везде, где есть процессы изменяющиеся во времени, используют логарифмы.

Логарифмы- это математическое понятие, которое применяется во всех отраслях науки: химии, биологии, физике, механике, информатике,географии и многих других.

В физике — интенсивность звука (децибелы) оценивается также уровнем интенсивности по шкале децибел; число децибел N=10lg(I/I0), где I — интенсивность данного звука.

В химии - водородный показатель, "pH ", — это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр.

В музыке -играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах. И действительно так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношении к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Основание этих логарифмов равно 2.

Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел – колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12).

Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой целую часть (характеристику) логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в данной октаве, деленный на 12 – дробную часть (мантиссу) этого логарифма.

В сейсмологии- при вычислении магнитуды. Магнитуда землетрясения — величина, характеризующая энергию, выделившуюся при землетрясении в виде сейсмических волн.

В технике -логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом. На основание этого ее называют равноугольной. Это свойство находит применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращающиеся ножи. Сила с которой они давят на разрезаемый материал , зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направление скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвие ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.

В гидротехнике - по логарифмической спирали изгибают трубу, проводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы, потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.

Яркость звезд -астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом, как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной по основанию 2,5 (по договоренности между астрономами всего мира в настоящее время принимается, что блеск звезды 1-й величины в 2,5 раза превосходит блеск звезды 2-ой величины).

В астрономии -блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Однако коэффициент пропорциональности отрицателен (при основании логарифма больше единицы), поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (26,8 для Солнца), а для самых тусклых — положительная (28 для едва различимых в телескоп звезд).

Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники. Геометрические мотивы нередко присутствуют в картинах великих живописцев. Художник при этом часто действует интуитивно, а искусствовед, исследуя композицию, выявляет её основу, приводя картину к упрощенной геометрической схеме.

Избиение младенцев

Многофигурная композиция, выполненная в 1509-1510 годах Рафаэлем, когда православный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довёл свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован известным итальянским графиком Маркантонио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев».

На подготовленном эскизе Рафаэля мы провели красные линии, идущие от смыслового центра композиции – точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребёнка, - вдоль фигур ребёнка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесённым мячом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается логарифмическая спираль. Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции «Избиение младенцев» или только «чувствовал» её. Однако с уверенностью можно сказать, что гравёр Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные новые элементы композиции, подчёркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребёнка – в её центре. Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассвете своих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творения.

Избиение младенцев

 

 

Выводы

Мы убедились в том, что математика это универсальный язык, используя который, как инструмент познания мира, можно увидеть в нем гармонию, красоту, а самое главное проявление закономерности в вещах, на первый взгляд никак между собой не связанных. Возможно, язык математики станет универсальным ключом к познанию мира и перевернет представление человечества о пространстве и времени.

Логарифмы и логарифмическая функция помогли человеку следовать путём технического прогресса и объяснить многие тайны природы, человеческих ощущений. Быть может человечество стоит на пороге новых революционных открытий, и поможет нам в этом «царица наук»- математика!

 

 

Глоссарий

Сейсмология- наука о распространении сейсмических волн в недрах Земли.

Тригонометрия- микрораздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.

Аминокислоты- органические соединения, в молекуле которых одновременно содержатся карбоксильные и аминные группы.

Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля(например, целых, действительных или

комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

 

Список использованных источников

Основные источники:

 

Интернет-ресурсы:

1. http://textarchive.ru/c-2368686.html- Логарифмическая зависимость в природе

2. http://www.slideshare.net/slavaantipov14/ss-43946309-Применение логарифма в повседневной жизни

3. http://nlobacheva.ru/file/nlobacheva_ru/Logs.doc-

4. http://referat.znate.ru/text/index-33659.html-Исследовательская работа выполнена ученицей

5. http://www.slideshare.net/slavaantipov14/ss-44007647-Логарифмы в жизни

 

 

stydopedia.ru

 

Начальная

Windows Commander
Far
WinNavigator
Frigate
Norton Commander
WinNC
Dos Navigator
Servant Salamander
Turbo Browser

Winamp, Skins, Plugins
Необходимые Утилиты
Текстовые редакторы
Юмор

File managers and best utilites
Главная » Реферат » Логарифмы в астрономии реферат

Исследовательская работа Выполнена ученицей. Логарифмы в астрономии реферат


Тема: «логарифмы в астрономии»

Творческий проект

  • Тема:

  • «ЛОГАРИФМЫ В АСТРОНОМИИ»

Содержание

  • 1. Вводная часть

  • 2. Звезды, шум и логарифмы

  • 3. Единица громкости

  • 4. Определение:

  • «Видимые и абсолютные звездные величины»

  • 5. Нулевые и отрицательные звездные величины

  • 6. Список литературы

Введение

  • В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определения положения судов по звездам и по Солнцу).

  • Наибольшие проблемы возникали при выполнения операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили.

  • Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

  • Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

2. Звёзды, шум и логарифмы.

  • Этот заголовок связывает, столь казалось бы, несоедимые вещи. Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом:

  • По логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины;

  • Звезды первой величины, второй и третьей и т.п. Последовательность видимых звездных величин, которые воспринимались глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону:

Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5 легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости.

  • Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5 легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости.

  • Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов составленной при основании 2,5.

  • Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда.

Единица громкости

  • Единицей громкости служит «бел», практически - его 10 доля, «децибел». Последовательные степени громкости – 1 бел, 2 бела и т.д. (практически – 10 децибел, 20 децибел и т.д.) – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию.

  • Физическая же сила этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Пример:

  • Пример:

  • Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел,

  • громкая разговорная речь – в 6,5 бела,

  • рычание льва – в 8,7 бела.

  • Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 106,5 – 1 = 105,5 = 316000 раз; львиное рычание сильнее громкой разговорной речи в 108,7 – 6,5 = 102,2 = 158 раз.

Шум, громкость которых более 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превышает допустимый предел: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка о стальную плиту порождают шум в 11 бел.

  • Шум, громкость которых более 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превышает допустимый предел: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка о стальную плиту порождают шум в 11 бел.

  • Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10 – 100 раз громче самого шумного места – Ниагарского водопада (9 бел). Случайность ли то, что при оценке видимой яркости светил и при изменении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью; между величиной ощущения и порождающего его раздражения?

  • Нет и то и другое – следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

  • Как, видим, логарифмы вторгаются в область психологии.

Астрономы делят звезды по степени яркости: видимые и абсолютные звездные величины. Уже из первого знакомства с небом вы знаете о том, что яркость звезд не одинакова.

  • Астрономы делят звезды по степени яркости: видимые и абсолютные звездные величины. Уже из первого знакомства с небом вы знаете о том, что яркость звезд не одинакова.

  • Со времен древнегреческого астронома Гиппарха (II в. до н.э.) используется понятие «звездная величина».

  • Считая, что расстояния до звезд одинаковы, предполагали, что, чем звезда ярче, тем она больше. Наиболее яркие звезды отнесли к звездам первой величины (сокращенное обозначение 1 т, от лат. magnitude - величина), а едва различимые не вооруженным глазом – к шестой (6т).

  • Сейчас мы знаем, что звездная величина характеризует не размеры звезды, а ее блеск, т.е. освещенность, которую создает на Земле.

Шкала звездных величин сохранилась и уточнена. Блеск звезды 1т больше звезды в 6т ровно в 100 раз. Следовательно, разность в 5 звездных величин соответствует различию в блеске ровно в 100 раз.

  • Шкала звездных величин сохранилась и уточнена. Блеск звезды 1т больше звезды в 6т ровно в 100 раз. Следовательно, разность в 5 звездных величин соответствует различию в блеске ровно в 100 раз.

  • Обозначим через х число, показывающее различие в блеске в одну звездную величину, тогда x5 = 100.

  • Найдем значение х из этого равенства:

  • 5 lg x = lg 100, отсюда 5 lg x = 2 или lg x = 0,4,

  • тогда х = 2, 512.

  • Если обозначить блеск звезды, звездная величина которой равна m1, через I1, а блеск звезды, звездная величина которой равна m2, через I2, то

  • L`1 / L`2 = 2,512 (m2 – m1)

Нулевые и отрицательные звездные величины

  • Светила, блеск которых превосходит блеск звезды 1т, имеют нулевые и отрицательные звездные величины (0т, -1т и т.д.). К ним относятся несколько наиболее ярких звезд и планет, а также конечно, Солнце и Луна. Шкала звездных величин продолжается и в сторону звезд, не видимых невооруженным глазом. Есть звезды 7т, 8т и т.д.

  • Для более точной оценке блеска звезд используются дробные звездные величины 2,3т; 7,1т; 6,2т; 14,5т; и т.д.

Например:

  • Во сколько раз Капелла ярче Денеба? Из таблицы найдем звездную величину Капеллы (m1 = +0,2т) и Денеба (m2 = +1,3т).

  • Задача: Дано: Решение:

  • m1 = +0,2т I1 /I2 = 2,512 (т2-т1)

  • m2 = +1,3т lg I1 /I2 = (m2-m1)

  • lg 2,512 = 0,4; то для Капеллы и Денеба:

  • I1 /I2 - ? Lg I1/I2 = 0,4 * 1,1 = 0,44; I1 / I2 = 2,75.

  • Ответ: I1 /I2 = 2,75.

Так как звезды находятся от нас на различных расстояниях, то их видимые звездные величины ничего не говорят о светимостях (мощности излучения) звезд. Поэтому в астрономии, кроме понятия «видимая звездная величина».

  • Так как звезды находятся от нас на различных расстояниях, то их видимые звездные величины ничего не говорят о светимостях (мощности излучения) звезд. Поэтому в астрономии, кроме понятия «видимая звездная величина».

  • Звездные величины, которые имели бы звезды, если бы они находились на одинаковом расстоянии (r0 = 10 ПК), называется абсолютными звездными величинами (М).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

  • Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

  • a logab = b

Список литературы

  • Волошинов А. В. Математика и искусство Изд. «Просвещение», 1992 г. – 335 с.

  • Алгебра и начала анализа. // под редакцией Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин – М.: «Просвещение», 1982 г. - 547 с.

shkolageo.ru 1

Творческий проект

  • Тема:

  • «ЛОГАРИФМЫ В АСТРОНОМИИ»

Содержание

  • 1. Вводная часть

  • 2. Звезды, шум и логарифмы

  • 3. Единица громкости

  • 4. Определение:

  • «Видимые и абсолютные звездные величины»

  • 5. Нулевые и отрицательные звездные величины

  • 6. Список литературы

Введение

  • В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определения положения судов по звездам и по Солнцу).

  • Наибольшие проблемы возникали при выполнения операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили.

  • Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

  • Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

2. Звёзды, шум и логарифмы.

  • Этот заголовок связывает, столь казалось бы, несоедимые вещи. Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом:

  • По логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины;

  • Звезды первой величины, второй и третьей и т.п. Последовательность видимых звездных величин, которые воспринимались глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону:

Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5 легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости.

  • Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5 легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости.

  • Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов составленной при основании 2,5.

  • Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда.

Единица громкости

  • Единицей громкости служит «бел», практически - его 10 доля, «децибел». Последовательные степени громкости – 1 бел, 2 бела и т.д. (практически – 10 децибел, 20 децибел и т.д.) – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию.

  • Физическая же сила этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Пример:

  • Пример:

  • Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел,

  • громкая разговорная речь – в 6,5 бела,

  • рычание льва – в 8,7 бела.

  • Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 106,5 – 1 = 105,5 = 316000 раз; львиное рычание сильнее громкой разговорной речи в 108,7 – 6,5 = 102,2 = 158 раз.

Шум, громкость которых более 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превышает допустимый предел: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка о стальную плиту порождают шум в 11 бел.

  • Шум, громкость которых более 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превышает допустимый предел: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка о стальную плиту порождают шум в 11 бел.

  • Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10 – 100 раз громче самого шумного места – Ниагарского водопада (9 бел). Случайность ли то, что при оценке видимой яркости светил и при изменении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью; между величиной ощущения и порождающего его раздражения?

  • Нет и то и другое – следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

  • Как, видим, логарифмы вторгаются в область психологии.

Астрономы делят звезды по степени яркости: видимые и абсолютные звездные величины. Уже из первого знакомства с небом вы знаете о том, что яркость звезд не одинакова.

  • Астрономы делят звезды по степени яркости: видимые и абсолютные звездные величины. Уже из первого знакомства с небом вы знаете о том, что яркость звезд не одинакова.

  • Со времен древнегреческого астронома Гиппарха (II в. до н.э.) используется понятие «звездная величина».

  • Считая, что расстояния до звезд одинаковы, предполагали, что, чем звезда ярче, тем она больше. Наиболее яркие звезды отнесли к звездам первой величины (сокращенное обозначение 1 т, от лат. magnitude - величина), а едва различимые не вооруженным глазом – к шестой (6т).

  • Сейчас мы знаем, что звездная величина характеризует не размеры звезды, а ее блеск, т.е. освещенность, которую создает на Земле.

Шкала звездных величин сохранилась и уточнена. Блеск звезды 1т больше звезды в 6т ровно в 100 раз. Следовательно, разность в 5 звездных величин соответствует различию в блеске ровно в 100 раз.

  • Шкала звездных величин сохранилась и уточнена. Блеск звезды 1т больше звезды в 6т ровно в 100 раз. Следовательно, разность в 5 звездных величин соответствует различию в блеске ровно в 100 раз.

  • Обозначим через х число, показывающее различие в блеске в одну звездную величину, тогда x5 = 100.

  • Найдем значение х из этого равенства:

  • 5 lg x = lg 100, отсюда 5 lg x = 2 или lg x = 0,4,

  • тогда х = 2, 512.

  • Если обозначить блеск звезды, звездная величина которой равна m1, через I1, а блеск звезды, звездная величина которой равна m2, через I2, то

  • L`1 / L`2 = 2,512 (m2 – m1)

Нулевые и отрицательные звездные величины

  • Светила, блеск которых превосходит блеск звезды 1т, имеют нулевые и отрицательные звездные величины (0т, -1т и т.д.). К ним относятся несколько наиболее ярких звезд и планет, а также конечно, Солнце и Луна. Шкала звездных величин продолжается и в сторону звезд, не видимых невооруженным глазом. Есть звезды 7т, 8т и т.д.

  • Для более точной оценке блеска звезд используются дробные звездные величины 2,3т; 7,1т; 6,2т; 14,5т; и т.д.

Например:

  • Во сколько раз Капелла ярче Денеба? Из таблицы найдем звездную величину Капеллы (m1 = +0,2т) и Денеба (m2 = +1,3т).

  • Задача: Дано: Решение:

  • m1 = +0,2т I1 /I2 = 2,512 (т2-т1)

  • m2 = +1,3т lg I1 /I2 = (m2-m1)

  • lg 2,512 = 0,4; то для Капеллы и Денеба:

  • I1 /I2 - ? Lg I1/I2 = 0,4 * 1,1 = 0,44; I1 / I2 = 2,75.

  • Ответ: I1 /I2 = 2,75.

Так как звезды находятся от нас на различных расстояниях, то их видимые звездные величины ничего не говорят о светимостях (мощности излучения) звезд. Поэтому в астрономии, кроме понятия «видимая звездная величина».

  • Так как звезды находятся от нас на различных расстояниях, то их видимые звездные величины ничего не говорят о светимостях (мощности излучения) звезд. Поэтому в астрономии, кроме понятия «видимая звездная величина».

  • Звездные величины, которые имели бы звезды, если бы они находились на одинаковом расстоянии (r0 = 10 ПК), называется абсолютными звездными величинами (М).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

  • Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

  • a logab = b

Список литературы

  • Волошинов А. В. Математика и искусство Изд. «Просвещение», 1992 г. – 335 с.

  • Алгебра и начала анализа. // под редакцией Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин – М.: «Просвещение», 1982 г. - 547 с.

shkolageo.ru

Исследовательская работа Выполнена ученицей

В поисках логарифма.

Исследовательская работа
Выполнена ученицей
11 класса

МОУ СОШ №28

г. Старый Оскол

Ворошилова Екатерина

Научный руководитель –

Лобачева Н.В. – учитель

математики

Нестерова Н.А. – учитель

информатики и ИКТСтарый Оскол

Оглавление

  1. Введение
  2. Основная часть
    1. История логарифма
    2. Логарифмы в природе
    3. Применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека
  3. Заключение
  4. Список использованных источников и литературы

Введение.

На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.

Логарифмы были изобретены шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 1614 г. Его «Канон о логарифмах» начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них».

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.

Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла. Теория логарифмов связана с именами целого ряда математиков: Генри Бригс, Эдмунд Уингейт, Уильям Отред, Н. Меркатор, Джон Спейдел, К. Бремикер, Ф. Клейн.

Анализ тематики создание логарифмов достаточно актуален и представляет научный и практический интерес.

Характеризуя степень научной разработанности проблематики, следует учесть, что данная тема уже анализировалась у различных авторов в различных изданиях: учебниках, монографиях, периодических изданиях и в интернете. Тем не менее, при изучении литературы и источников отмечается недостаточное количество полных и явных исследований тематики.

Научная значимость данной работы состоит в оптимизации и упорядочивании существующей научно-методологической базы по исследуемой проблематике – еще одним независимым авторским исследованием. Практическая значимость темы состоит в анализе проблем как во временном, так и в пространственном разрезах.

С одной стороны, тематика исследования получает интерес в научных кругах, в другой стороны, как было показано, существует недостаточная разработанность и нерешенные вопросы. Это значит, что данная работа помимо учебной, будет иметь теоретическую, так и практическую значимость. Определенная значимость и недостаточная научная разработанность проблемы определяют научную новизну данной работы.

Объект исследования - «история» логарифмов.

Предмет исследования – частные вопросы создание логарифмов.

Цель работы – изучение темы, как с российской, так и с зарубежной точек зрения.

Задача нашего исследования выяснить:

  1. Как возникли логарифмы?
  2. Исследовать природную сущность логарифмов.
  3. Рассмотреть практическое применение логарифмов человеком.
  4. В каких сферах жизнедеятельности человека применяются логарифмы?
  5. Где в природе встречаются логарифмы?

Основная часть.

п.1.1. История логарифма.

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное.

Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos – «отношение» и ariqmo – «число», которое означало «число отношений». Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales - «искусственные числа», в противоположность numeri naturalts – «числам естественным».

В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.

В 1614 году Непер опубликовал в Эдинбурге сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», на латинском языке. Там было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'.

Сочинение было разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая — плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой. Более развёрнутое описание содержалось в другом труде, изданном посмертно его сыном; там же Непер пояснил, как он составлял свои таблицы.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617).

Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году.

Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега́ появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером.

Термин «натуральный логарифм» ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием «Новые логарифмы» лондонский учитель Джон Спейдел.

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).

Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.

С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов.

В своих лекциях «Элементарная математика с высшей точки зрения», прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории логарифмов.

Таким образом, прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.

п.1.2. Логарифмы в природе.

В ходе исследования были обнародованы следующие факты:

Яркость звезд. Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом, как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной по основанию 2,5 (по договоренности между астрономами всего мира в настоящее время принимается, что блеск звезды 1-й величины в 2,5 раза превосходит блеск звезды 2-ой величины).

Логарифмы и зрение. Физиолог Альфред Лукьянович Ярбус открыл следующий факт. Наша сетчатка окаймлена полоской, которая генерирует один и тот же цвет – «светло-серый ». Он назвал ее полоской «нуль - цвета». Именно в сравнении с «нуль - цветом» постигается всякий цвет. Сравнение осуществляется на границе поля зрения с периферийной полоской нуль - цвета так, как будто выполняется соответствующее математическое действие над двумя числами. Первое из которых число – сигнал, который характеризует степень возбуждения фоторецепторов сетчатки, второе – сигнал рецепторов периферии. Количественное сравнение таких чисел – сигналов осуществляется с помощью вычитания их логарифмов. Светло – красный, светло – зеленый, и светло – синий цвета считаются основными красками положительной яркости. Каждому их них соответствует положительная разность логарифмов. Если эти три положительный яркости одинаковы - мы видим белый цвет. Тона отрицательной яркости - черно-сине-зеленый, черно-пурпурный, черно-оранжевый. Каждому из них соответствует отрицательная разность логарифмов. Равенство трех отрицательных разностей создает восприятие черного цвета. Все остальные цвета – это комбинации положительных и отрицательных логарифмов. Итак, два математических действия логарифмирование и вычитание вписались в модель физиологического восприятия человеческим глазом цветов радуги.

Например, на сетчатку проецировался синий цвет, однако на периферию сетчатки он не попадает, так как там всегда «нуль-цвет». Синий цвет сравнивается с «нуль - цветом» и мгновенно вырабатываются сведения о разности логарифмов чисел – сигналов, и наш мозг выполняет команду выработать синий цвет.

Барометрическая формула. Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону , где p0 – давление на уровне моря (h = 0), p – давление на высоте h, H – некоторая константа, зависящая от температуры.

Для температуры 200С H ≈ 7,7 м.

Логарифмическая спираль. В математике существует понятие логарифмической спирали. Спираль – это плоская кривая линия многократно обходящая одну из точек на плоскости, эта точка называется полюсом спирали. Полюсом логарифмической спирали является начало координат. Спираль называется логарифмической, потому что уравнение, описывающее эту спираль, содержит логарифмы. Эта спираль имеет бесконечное множество витков, она не проходит через свой полюс. Логарифмическую спираль называют равноудаленной спиралью, это связано с тем, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус – вектором сохраняет постоянное значение.

Раковина улитки. Немецкий биолог Румблер в 1910 году выдвинул теорию постоянного краевого угла при построении раковин улиток. Он исходил из того, что материал, из которого строятся раковины, вначале должен быть жидким, и в жидком состоянии попадает на край уже существующей части раковины где, естественно, всегда образуется постоянный краевой угол. Под этим углом жидкость затвердевает, и снова начинается та же игра. Раковина улитки представляет собой логарифмическую спираль.

Полет бабочки. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света.

Если они ориентируются на пламя свечи, то инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Звездные галактики. 1845 г. английский астроном лорд Росс (Уильям Парсонс) с помощью телескопа со 180-сантиметровым металлическим зеркалом обнаружил целый класс туманностей в виде логарифмической спирали, самым ярким примером которых явилась туманность в созвездии Гончих Псов. Природа этих туманностей была установлена лишь в первой половине XX столетия. Спиральные туманности - это огромные звездные системы, сравнимые с нашей Галактикой. С тех пор их и стали называть галактиками. Немало усилий пришлось приложить астрономам, чтобы описать свойства спиральных галактик с помощью логарифмов. В спиральных ветвях наблюдается повышение плотности, как звезд, так и межзвездного вещества - пыли и газа. Повышенная плотность газа ускоряет образование и последующее сжатие газовых облаков и тем самым стимулирует рождение новых звезд. Поэтому спиральные ветви являются местом интенсивного звездообразования.

п. 1.3. Применение логарифмов в различных

сферах жизнедеятельности человека

Цели исследования:

  1. Рассмотреть практическое применение логарифмов человеком.
  2. Познакомиться с формулами, описывающими радиоактивный распад, изменение количества людей в стране, формулой зависимости скорости ракеты от ее массы, формулой измерения коэффициента звукоизоляции.
  3. Выяснить, как взаимосвязаны логарифмы и рояль.
Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле , где m0 – где масса вещества в начальный период времени t=0, m – масса вещества в момент времени t,

.

T - период полураспада.

Это означает, что через время Т после начального момента времени, масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое.

Народонаселение. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой , где N0 – число людей при t=0, N – число людей в момент t, λ – некоторая константа.

Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты V с ее массой m: , где Vr – скорость вылетающих газов, m0 – стартовая масса ракеты.

Скорость истечения газа при сгорании топлива Vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.

Звукоизоляция стен. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле

, где p0 – давление звука до поглощения, p – давление звука, прошедшего через стену, А – некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 децибелам.

Если коэффициент звукоизоляции D равен, например 20 децибел, то это означает, что

и p0 =10p, т.е. стена снижает давление звука в 10 раз. Такую изоляцию имеет деревянная дверь.

Логарифмы в музыке. Играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах. И действительно так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношении к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Основание этих логарифмов равно 2.

Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел – колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12).

Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой целую часть (характеристику) логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в данной октаве, деленный на 12 – дробную часть (мантиссу) этого логарифма.

Заключение.

С нашей точки зрения, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы счисления.

При проведении исследования были использованы следующие методы исследования:

  • анализ существующей литературы по рассматриваемой проблематике (метод научного анализа).
  • обобщение и синтез точек зрения, представленных в литературе (метод научного синтеза и обобщения).
  • моделирование на основе полученных данных авторского видения в раскрытии поставленной проблематики (метод моделирования).
Работа состоит из введения, глав основной части, заключения, списка литературы.

Во введении обоснована актуальность выбора темы, определены предмет, объект, цель и соответствующие ей задачи, охарактеризованы методы исследования и источники информации, показаны научная и практическая значимость, выявлена проблема и поставлена гипотеза.

В основной части рассмотрены общетеоретические сведения о логарифмах. Определяются основные понятия, обуславливается актуальность создания логарифмов, дан анализ современного состояния изучения темы Логарифмы, сделаны выводы и предложения.

Результаты нашего исследования следующие:

  1. В ходе исследовательской работы мы нашли подтверждение словам Галилео Галилея «Великая книга природы написана математическими символами»;
  2. Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;
  3. Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами.
  4. Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках.
  5. Логарифм является инструментом для вычисления радиоактивного распада, изменения количества людей в стране, зависимости скорости ракеты от ее массы, коэффициента звукоизоляции.
  6. Выяснили, что, играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах.
Материалы исследования имеют практическую значимость и могут быть использованы для дальнейшего изучения данной столь увлекательной на наш взгляд темы «В поисках логарифма».

Список использованной литературы.

  1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998.
  2. Шахмейстер А.Х. Логарифмы.-2-е изд., исправленное и дополненное - СПб.: «ЧеРо-наНеве»,2005.
  3. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.:Просвещение,1981.
  4. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,1994.
  5. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа.- М.:Просвещение,1994.
  6. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ.- М.:Мнемозина,2004.
  1. Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий»: 2004

referat.znate.ru

ЛОГАРИФМЫ В НАШЕЙ ЖИЗНИ | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Негосударственное общеобразовательное учреждение «Школа-интернат №9 среднего (полного) общего образования открытого акционерного общества «Российские железный дороги»

Слайд 2

Логарифмы в нашей жизни Автор: Маслова Кристина, учащаяся 11 класса Школы-интерната № 9 ОАО « РЖД » Руководитель Степанова Ольга Алексеевна

Слайд 4

«Гениальное изобретение логарифмов, упрощает арифметические операции… В математике протяженность и усложнение чисто практических вычислений имеют предел, который ни время, ни даже силы не позволяют переходить, и без помощи этих удачных сокращений время отметило бы границы самой науки и предел, который усилия гения не могли бы преодолеть» Ж. КОНДОР

Слайд 5

Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметической прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмические таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейцарским математиком И. Бюрги (1620). Важный шаг в теоретическом изучении Л. сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668), нашедшим, что In (1+ x ) = x Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение ln . Этот ряд очень быстро сходится, если М = N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера . Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень . Из истории логарифмов

Слайд 6

Логарифмическая спираль Первым учёным, открывшим эту удивительную кривую, был Р. Декарт Логарифмическую спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Если выражаться точнее, то в логарифмической спирали углу поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой, а логарифм этого расстояния. Эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс, под одним и тем же углом.

Слайд 7

Уравнение логарифмической спирали

Слайд 8

Логарифмические мотивы в литературе Что любят, то находят повсюду, и было бы странно не встретиться с логарифмами в литературе. Почему странно? Потому что, как верно заметил А. Блок, сама истинная поэзия, сами настоящие стихи – это «математика слова». Так многообразие применения функций вдохновили английского поэта Элмера Брилла, он написал «Оду», Есть поэты, которые не посвящали од логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Так, например, в своём стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал строки: Потому – то, словно пена, Опадают наши рифмы. И величие степенно Отступает в логарифмы…».

Слайд 9

Логарифмы и архитектура Дом, построенный в виде морской раковины в Мехико, основывается на формуле логарифмической спирали. Создатели Наутилуса - так называется проект - попытались создать ощущение четвертого измерения, которое должно возникать, если находиться внутри строения.

Слайд 10

Логарифм и биология Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Её геометрические свойства, в частности инвариантность (сохранение угла), удивляет и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы. Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

Слайд 11

Логарифм в сельском хозяйстве Как оказалось и в сельском хозяйстве не обошлось без логарифмов. Например, исследовав рождение телят, оказалось, что их вес можно вычислять и с помощью логарифмов. В литературе я нашла формулу m = m 0 e kt – закон, по которому происходит рост животных, где m –масса в полмесяца, m 0 -масса при рождении, e – экспонента, k – коэффициент относительной скорости роста, t – период времени.

Слайд 12

Логарифм в ухе Схема строения уха:1-наружныйслуховой проход, 2- барабанная перепонка,3 – плоскость среднего уха, 4 – молоточек, 5 – наковальня, 6 – стремечко, 7- полукружные каналы, 8 – «улитка», 9 – евстахиева труба. улиткой представляет собой спирально закрученную трубку, образованную из 2,5 витка.

Слайд 13

Звезды, шум и логарифмы Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале. По логарифмической спирали закручена Галактика, которой принадлежит Солнечная система. «величина» звезды представляет собой логарифм её физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звёзд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины

Слайд 14

Область применения логарифмов весьма разнообразна: математика, литература, биология, психология, сельское хозяйство, музыка, астрономия, физика и т. д. Неспроста великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал логарифмическую спираль даже математическим символом жизни и духовного развития. Математика не только формулы, графики, но и логическое объяснение многих явлений, происходящих вокруг нас.

Слайд 15

Информационные ресурсы:

nsportal.ru

Тема: «логарифмы в астрономии»

Творческий проект

  • Тема:

  • «ЛОГАРИФМЫ В АСТРОНОМИИ»

Содержание

  • 1. Вводная часть

  • 2. Звезды, шум и логарифмы

  • 3. Единица громкости

  • 4. Определение:

  • «Видимые и абсолютные звездные величины»

  • 5. Нулевые и отрицательные звездные величины

  • 6. Список литературы

Введение

  • В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определения положения судов по звездам и по Солнцу).

  • Наибольшие проблемы возникали при выполнения операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили.

  • Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

  • Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

2. Звёзды, шум и логарифмы.

  • Этот заголовок связывает, столь казалось бы, несоедимые вещи. Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом:

  • По логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины;

  • Звезды первой величины, второй и третьей и т.п. Последовательность видимых звездных величин, которые воспринимались глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону:

Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5 легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости.

  • Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5 легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости.

  • Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов составленной при основании 2,5.

  • Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда.

Единица громкости

  • Единицей громкости служит «бел», практически - его 10 доля, «децибел». Последовательные степени громкости – 1 бел, 2 бела и т.д. (практически – 10 децибел, 20 децибел и т.д.) – составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию.

  • Физическая же сила этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Пример:

  • Пример:

  • Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел,

  • громкая разговорная речь – в 6,5 бела,

  • рычание льва – в 8,7 бела.

  • Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 106,5 – 1 = 105,5 = 316000 раз; львиное рычание сильнее громкой разговорной речи в 108,7 – 6,5 = 102,2 = 158 раз.

Шум, громкость которых более 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превышает допустимый предел: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка о стальную плиту порождают шум в 11 бел.

  • Шум, громкость которых более 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превышает допустимый предел: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка о стальную плиту порождают шум в 11 бел.

  • Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы и в 10 – 100 раз громче самого шумного места – Ниагарского водопада (9 бел). Случайность ли то, что при оценке видимой яркости светил и при изменении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью; между величиной ощущения и порождающего его раздражения?

  • Нет и то и другое – следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

  • Как, видим, логарифмы вторгаются в область психологии.

Астрономы делят звезды по степени яркости: видимые и абсолютные звездные величины. Уже из первого знакомства с небом вы знаете о том, что яркость звезд не одинакова.

  • Астрономы делят звезды по степени яркости: видимые и абсолютные звездные величины. Уже из первого знакомства с небом вы знаете о том, что яркость звезд не одинакова.

  • Со времен древнегреческого астронома Гиппарха (II в. до н.э.) используется понятие «звездная величина».

  • Считая, что расстояния до звезд одинаковы, предполагали, что, чем звезда ярче, тем она больше. Наиболее яркие звезды отнесли к звездам первой величины (сокращенное обозначение 1 т, от лат. magnitude - величина), а едва различимые не вооруженным глазом – к шестой (6т).

  • Сейчас мы знаем, что звездная величина характеризует не размеры звезды, а ее блеск, т.е. освещенность, которую создает на Земле.

Шкала звездных величин сохранилась и уточнена. Блеск звезды 1т больше звезды в 6т ровно в 100 раз. Следовательно, разность в 5 звездных величин соответствует различию в блеске ровно в 100 раз.

  • Шкала звездных величин сохранилась и уточнена. Блеск звезды 1т больше звезды в 6т ровно в 100 раз. Следовательно, разность в 5 звездных величин соответствует различию в блеске ровно в 100 раз.

  • Обозначим через х число, показывающее различие в блеске в одну звездную величину, тогда x5 = 100.

  • Найдем значение х из этого равенства:

  • 5 lg x = lg 100, отсюда 5 lg x = 2 или lg x = 0,4,

  • тогда х = 2, 512.

  • Если обозначить блеск звезды, звездная величина которой равна m1, через I1, а блеск звезды, звездная величина которой равна m2, через I2, то

  • L`1 / L`2 = 2,512 (m2 – m1)

Нулевые и отрицательные звездные величины

  • Светила, блеск которых превосходит блеск звезды 1т, имеют нулевые и отрицательные звездные величины (0т, -1т и т.д.). К ним относятся несколько наиболее ярких звезд и планет, а также конечно, Солнце и Луна. Шкала звездных величин продолжается и в сторону звезд, не видимых невооруженным глазом. Есть звезды 7т, 8т и т.д.

  • Для более точной оценке блеска звезд используются дробные звездные величины 2,3т; 7,1т; 6,2т; 14,5т; и т.д.

Например:

  • Во сколько раз Капелла ярче Денеба? Из таблицы найдем звездную величину Капеллы (m1 = +0,2т) и Денеба (m2 = +1,3т).

  • Задача: Дано: Решение:

  • m1 = +0,2т I1 /I2 = 2,512 (т2-т1)

  • m2 = +1,3т lg I1 /I2 = (m2-m1)

  • lg 2,512 = 0,4; то для Капеллы и Денеба:

  • I1 /I2 - ? Lg I1/I2 = 0,4 * 1,1 = 0,44; I1 / I2 = 2,75.

  • Ответ: I1 /I2 = 2,75.

Так как звезды находятся от нас на различных расстояниях, то их видимые звездные величины ничего не говорят о светимостях (мощности излучения) звезд. Поэтому в астрономии, кроме понятия «видимая звездная величина».

  • Так как звезды находятся от нас на различных расстояниях, то их видимые звездные величины ничего не говорят о светимостях (мощности излучения) звезд. Поэтому в астрономии, кроме понятия «видимая звездная величина».

  • Звездные величины, которые имели бы звезды, если бы они находились на одинаковом расстоянии (r0 = 10 ПК), называется абсолютными звездными величинами (М).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

  • Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

  • a logab = b

Список литературы

  • Волошинов А. В. Математика и искусство Изд. «Просвещение», 1992 г. – 335 с.

  • Алгебра и начала анализа. // под редакцией Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин – М.: «Просвещение», 1982 г. - 547 с.

Смотрите также

 

..:::Новинки:::..

Windows Commander 5.11 Свежая версия.

Новая версия
IrfanView 3.75 (рус)

Обновление текстового редактора TextEd, уже 1.75a

System mechanic 3.7f
Новая версия

Обновление плагинов для WC, смотрим :-)

Весь Winamp
Посетите новый сайт.

WinRaR 3.00
Релиз уже здесь

PowerDesk 4.0 free
Просто - напросто сильный upgrade проводника.

..:::Счетчики:::..

 

     

 

 

Webdistr | Все права защищены © 2018 | Карта сайта

.