Рис. 1.МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ,
МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ
ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ КОМУНАЛЬНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ «ОДЕССКОЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ УЧИЛИЩЕ»
Реферат
По теоретическим основам математики
На тему:
«История возникновения натуральных чисел»
Студентки группы Ш-22
Специальности 5.01010201
Начальное образование
Гедрович Вероники
План
Арифметика каменного века
Сначала люди научились узнавать число предметов или животных, делая особые зарубки на счетных палочках, вести счет.
Мысль о счете пришла людям в голову раньше, чем появились цифры. Люди могли сообщить друг другу, что в одном стаде животных больше чем в другом, а вот, сколько именно – сосчитать не умели.
Древние люди не умели считать. Да и считать им было нечего, потому что предметов, которыми они пользовались – орудий труда, - было совсем немного: один топор, одно копье… Постепенно количество вещей увеличивалось, обмен ими все усложнялся и возникла потребность в счете.
Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменные топор и нож. И ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникла необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем; сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.
Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные орудия) и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7. Много тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварни, отмечают число фляг такими же зарубками. До сих пор в русском языке сохранилось слово «бирка». Теперь так называют дощечку с номером или надписью, которую привязывают к кулям с товаром, ящикам и тюкам и т.д. А еще двести –триста лет назад это слово означало совсем иное. Так называли куски дерева, на которых зарубками отмечали сумму долга и подати. Бирку с зарубками раскладывали пополам, после чего одна половинка оставалась у должника, а другая у сборщика податей. При счёте
половинки складывали вместе, и это позволяло определить сумму долга или подати без спора и сложных вычислениях.
Римские цифры
Из всех странных нумераций римская является единственной, сохранившейся до сих пор и довольно широко применяемой. Римские цифры употребляются и сейчас для обозначения столетий, нумерации глав в книгах и др.
Для записи чисел в римской нумерации надо запомнить изображение семи чисел .
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
С их помощью можно записать любое число не больше 4000. Некоторые числа записываются при помощи повторения римских цифр:
III = 3 · 1 = 3, XX = 2 · 10 = 20.
Кроме того, используется принцип сложения и вычитания. Если меньшая по значению буква стоит после большей, то их значения складывают:
VI = 5 + 1 = 6, MC = 1000 + 100 = 1100
Если меньшая цифра стоит перед большей, то из большего вычитают меньшее:
IV = 5 – 1 = 4, СМ = 1000 – 100 = 900.
Задание. Какие числа обозначают запись: ХХХVI, СХLV ?
(ХХХVI = 3 · 10 + (5 + 1) = 36,
CXLV = 100 + (50 – 10) + 5 = 145.)
Самые натуральные числа
Ряд чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9… называется натуральным. А сами эти числа натуральными. Возник этот ряд в глубокой древности, когда у людей возникла потребность в счете предметов. С появлением натурального ряда был сделан первый шаг к созданию математики. Сейчас все понимают, что натуральный ряд чисел бесконечен. В древности люди этого не знали. Сначала они умели считать до трех, потом до десяти, до сорока, до ста, а дальше была «тьма». Натуральный ряд был очень коротким. Расширить его удалось великому механику и математику древности Архимеду. Архимед написал знаменитый труд Псаммит, или Исчисление песчинок». В нем он подсчитал число песчинок, которые могли бы заполнить шар радиусом 15.000.000.000.000 километров. До Архимеда в Древней Греции самым большим числом считалось 10.000.000 мириад. Мириадой называлось число 10000, от греческого слова «мирос» - «неисчислимо большое». Архимед начал считать мириадами мириад и в результате вывел свою систему счисления. Наибольшее число его системы содержит 80.000.000.000.000.000 нулей. Это число так велико, что если напечатать его обыкновенным шрифтом на машинке, то этой лентой можно опоясать Земной шар по экватору более 2 миллионов раз. Даже ракете с первой космической скоростью (8км/с) пришлось бы лететь вдоль этой ленты более 300 лет.
Вот до какого огромного числа простирается натуральный ряд. Но и это число не последнее. За ним еще числа, числа, числа, числа… до бесконечности. Если натуральный ряд чисел кажется вам скучным и однообразным, всмотритесь в него повнимательнее, и вы найдете много удивительного и неожиданного.
Например, обыкновенное число 37. А теперь умножьте его на три, потом на шесть и так далее… На этом чудеса числа 37 не кончаются. Возьмем любое трехзначное число, которое делится на 37. Пусть это будет 185. И сделаем в нем круговую перестановку – последнюю цифру поставим на первое место, не изменив порядка остальных. Получим 518. Сделаем еще одну перестановку. Получим 851. Оба эти числа также делятся на 37. Вот вам и диковинка!
Системы счисления
Первые математики считали по пальцам одной руки. До пяти. А если предметов было больше, то говорили «пять и один», «пять и два»… Так возникла пятеричная система счисления. Потом пальцев руки стало недостаточно и появилось десятеричная система счисления
– на пальцах обеих рук. Дальше – больше. Человеку пришлось «разуться» и считать по пальцам рук и ног. Возникла двадцатеричная система счисления.
Но и этого, как вы понимаете, оказалось мало. Тогда придумали шестидесятеричную систему. Стали считать тройками, по числу суставов на каждом пальце левой руки без большого пальца, то есть до двенадцати. Каждый палец левой руки означал 12. Если один палец это 12, то пять пальцев – это 60.
И, наконец, счет так усложнился, что людям пришлось изобрести цифры для обозначения числа, которых становилось все больше и больше. Разные народы изобретали свои цифры для записи чисел.
Следы двадцатеричной системы сохранились в французском языке. Число 80 по-французски звучит как «четырежды двадцать» - guatre – vingt; 90 – как «четырежды двадцать и десять» - guatre – vingtdix; 91 – как «четырежды двадцать и одиннадцать» - guatre - vindt onze.
Шестидесятеричную систему изобрели древние вавилоняне. В наследство от них нам осталось деление суток на 24 или 12 двойных часов, деление часа на 60 минут, а минут на секунды и деление круга на 360 градусов.
А самой удобной оказалась десятеричная система, та самая, которой мы пользуемся и сегодня. Цифры, которыми мы записываем числа, называются арабскими. Их всего 10. Изобретены эти цифры были в Индии, но получили название арабских, потому что в Европу пришли из арабских стран. Многие годы форма цифр совершенствовалась и теперь принята во всем мире. Так постепенно зарождалась математика. Человек незаметно очутился в мире чисел. И оказалось, что в этом мире его ждет много удивительного и даже таинственного…
Когда-то числа служили только для решения практических задач. А потом их стали изучать, узнавать их свойства. С помощью чисел выражали и такие понятия, как справедливость, дружба. Ученые установили, как по записи числа узнавать, на какие другие числа оно делится. Они научились находить простые числа и стали изучать их свойства. Иногда открытия в науке о числах делали совсем юные математики. Математику применяют и для шифрования и для расшифровки донесений разведчиков, сообщений дипломатов, военных приказов. Некоторые методы шифровки и расшифровки сообщений основаны на свойствах чисел, в частности на особой арифметике, которую. Называют арифметикой остатков.
Литература
1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника матема ики. – М.: Просвещение, 1989.
2. Крейг А. и Росни К. Наука. Энциклопедия. – М.: «Росмэн», 1994.
3. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы / Шаврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., М.В. Волков М.В. – М.: Просвещение, 1989.
4. Ризванова Х.Я. Книга для внеклассного чтения по математике. – Уфа: Китап, 1998.
5. Шпорер З. Ох, эта математика! – М.: педагогика, 1985.
6. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.
yaneuch.ru
ПРОЕКТ «ИСТОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»
Выполнил Лободин Максим, 5 класс
ОГЛАВЛЕНИЕ.
1.Введение
2.Как появились цифры и числа
А)Арифметика каменного века
Б). Числа начинают получать имена
В) Римские цифры
Г). Цифры русского народа
Д). Самые натуральные числа
Е). Системы счисления
3. Заключение
Литература
ВВЕДЕНИЕ. В повседневной жизни человеку постоянно приходится выполнять различные вычисления. Вот почему в школе, на уроках математики, мы учимся выполнять действия над числами, изучаем свойства геометрических фигур. Сейчас большую роль в нашей жизни играют электронные вычислительные машины. Работа этих машин обусловлена выполнением действий над числами по заданной программе. Чтобы управлять такими сложными механизмами, нужно знать математику.
Сегодня мы кратко познакомимся с тем, как люди научились считать. Сведенья, которые дошли до нас из глубокой древности, говорят о том, что ещё в далёкие времена человек знал счёт. Уже около 5000 лет назад народы древнего мира (вавилоняне, египтяне) обучали детей началам арифметики и знакомили их с некоторыми сведениями из геометрии.
Число одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Люди так часто пользуются числами и счетом, что трудно даже представить себе, что они существовали не всегда, а были изобретены человеком. На первом уроке математики в пятом классе нам рассказали о возникновении натуральных чисел. Нас это очень заинтересовало, и мы решили глубже изучить этот материал.
Цель работы – изучить и показать, что числа появились в давние времена.
Задачи работы –
1.Установить где, когда и кем были придуманы первые числа;
2. Выявить какие бывают системы счисления;
3. Научиться изображать цифры теми способами, которыми пользовались наши предки.
КАК ПОЯВИЛИСЬ ЦИФРЫ И ЧИСЛА.
1. Арифметика каменного века.
Сначала люди научились узнавать число предметов или животных, делая особые зарубки на счетных палочках, вести счет.
Мысль о счете пришла людям в голову раньше, чем появились цифры. Люди могли сообщить друг другу, что в одном стаде животных больше чем в другом, а вот, сколько именно – сосчитать не умели.
Древние люди не умели считать. Да и считать им было нечего, потому что предметов, которыми они пользовались – орудий труда, - было совсем немного: один топор, одно копье… Постепенно количество вещей увеличивалось, обмен ими все усложнялся и возникла потребность в счете.
Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменные топор и нож. И ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникла необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем; сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.
Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные орудия) и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7. Много тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварни, отмечают число фляг такими же зарубками. До сих пор в русском языке сохранилось слово «бирка». Теперь так называют дощечку с номером или надписью, которую привязывают к кулям с товаром, ящикам и тюкам и т.д. А еще двести –триста лет назад это слово означало совсем иное. Так называли куски дерева, на которых зарубками отмечали сумму долга и подати. Бирку с зарубками раскладывали пополам, после чего одна половинка оставалась у должника, а другая у сборщика податей. При счёте
половинки складывали вместе, и это позволяло определить сумму долга или подати без спора и сложных вычислениях.
2. Числа начинают получать имена.
Они могли представить себе такие числа как один, два, три. Все другие числа они означали понятием «Много». Именно так считают и сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки.
Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» - один, «окоза» - два и умели считать до шести. Островитяне считали так: «окоза-урапун» - три, «окоза-окоза» - четыре, «окоза-окоза-урапун» - пять, «окоза-окоза-окоза» - шесть. О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках как, например, «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» 7 тоже означало «много».
В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по латински означает «камень».
Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги.
Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета (Рис. 1). Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.
Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки (Рис. 2).
После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры.
Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …: (Рис. 3).
7
Рис. 3.
Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы: (Рис.4).
Рис. 4.
Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна.
Похожим образом обозначали числа на острове Крит, расположенном в Средиземном море. В критской письменности единицы обозначались вертикальной чёрточкой |, десятки – горизонтальной - , сотни – кружком ◦, тысячи – знаком ¤.
θθτττθ, например число 92 записывали так: θ Число 60 снова обозначалось знаком θθθ τ τ (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так: τ (1) и лежащий клин θНароды (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин
В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления – двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 – горизонтальной чертой, например, запись ‗‗‗‗‗‗ означала 14. системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.
Г (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.ρ ρ ρВ Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения
Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели (Рис.5):
Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так (Рис.6)
Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся: 0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9.
Постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.
3. Римские цифры.
Из всех странных нумераций римская является единственной, сохранившейся до сих пор и довольно широко применяемой. Римские цифры употребляются и сейчас для обозначения столетий, нумерации глав в книгах и др.
Для записи чисел в римской нумерации надо запомнить изображение семи чисел .
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
С их помощью можно записать любое число не больше 4000. Некоторые числа записываются при помощи повторения римских цифр:
III = 3 · 1 = 3, XX = 2 · 10 = 20.
Кроме того, используется принцип сложения и вычитания. Если меньшая по значению буква стоит после большей, то их значения складывают:
VI = 5 + 1 = 6, MC = 1000 + 100 = 1100
Если меньшая цифра стоит перед большей, то из большего вычитают меньшее:
IV = 5 – 1 = 4, СМ = 1000 – 100 = 900.
Задание. Какие числа обозначают запись: ХХХVI, СХLV ?
(ХХХVI = 3 · 10 + (5 + 1) = 36,
CXLV = 100 + (50 – 10) + 5 = 145.) 4.Цифры русского народа. Наши предки пользовались алфавитной нумерацией, то есть числа изображались буквами, над которыми ставился значок ~ , называемый «титло». Чтобы отделить такие буквы – числа от текста, спереди и сзади ставились точки.
Этот способ обозначения цифр называется цифирью. Он был заимствован славянами от средневековых греков – византийцев. Поэтому цифры обозначались только теми буквами, для которых есть соответствия в греческом алфавите (Рис. 7).
Рис. 7.
Для обозначения больших чисел славяне придумали свой оригинальный способ:
Десять тысяч – тьма,десять тем – легион, десять легионов – леорд, десять леордов – ворон, десять воронов – колода.
Поэтому Пётр ввёл в России привычные для нас десять цифр, отменив буквенную цифирь.ΙТакой способ обозначения чисел по сравнению с принятой в Европе десятичной системой был очень неудобен.
5. САМЫЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. Ряд чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9… называется натуральным. А сами эти числа натуральными. Возник этот ряд в глубокой древности, когда у людей возникла потребность в счете предметов. С появлением натурального ряда был сделан первый шаг к созданию математики. Сейчас все понимают, что натуральный ряд чисел бесконечен. В древности люди этого не знали. Сначала они умели считать до трех, потом до десяти, до сорока, до ста, а дальше была «тьма». Натуральный ряд был очень коротким. Расширить его удалось великому механику и математику древности Архимеду. Архимед написал знаменитый труд Псаммит, или Исчисление песчинок». В нем он подсчитал число песчинок, которые могли бы заполнить шар радиусом 15.000.000.000.000 километров. До Архимеда в Древней Греции самым большим числом считалось 10.000.000 мириад. Мириадой называлось число 10000, от греческого слова «мирос» - «неисчислимо большое». Архимед начал считать мириадами мириад и в результате вывел свою систему счисления. Наибольшее число его системы содержит 80.000.000.000.000.000 нулей. Это число так велико, что если напечатать его обыкновенным шрифтом на машинке, то этой лентой можно опоясать Земной шар по экватору более 2 миллионов раз. Даже ракете с первой космической скоростью (8км/с) пришлось бы лететь вдоль этой ленты более 300 лет.
Вот до какого огромного числа простирается натуральный ряд. Но и это число не последнее. За ним еще числа, числа, числа, числа… до бесконечности. Если натуральный ряд чисел кажется вам скучным и однообразным, всмотритесь в него повнимательнее, и вы найдете много удивительного и неожиданного.
Например, обыкновенное число 37. А теперь умножьте его на три, потом на шесть и так далее… На этом чудеса числа 37 не кончаются. Возьмем любое трехзначное число, которое делится на 37. Пусть это будет 185. И сделаем в нем круговую перестановку – последнюю цифру поставим на первое место, не изменив порядка остальных. Получим 518. Сделаем еще одну перестановку. Получим 851. Оба эти числа также делятся на 37. Вот вам и диковинка!
6.Системы счисления.
Первые математики считали по пальцам одной руки. До пяти. А если предметов было больше, то говорили «пять и один», «пять и два»… Так возникла пятеричная система счисления. Потом пальцев руки стало недостаточно и появилось десятеричная система счисления
– на пальцах обеих рук. Дальше – больше. Человеку пришлось «разуться» и считать по пальцам рук и ног. Возникла двадцатеричная система счисления.
Но и этого, как вы понимаете, оказалось мало. Тогда придумали шестидесятеричную систему. Стали считать тройками, по числу суставов на каждом пальце левой руки без большого пальца, то есть до двенадцати. Каждый палец левой руки означал 12. Если один палец это 12, то пять пальцев – это 60.
И, наконец, счет так усложнился, что людям пришлось изобрести цифры для обозначения числа, которых становилось все больше и больше. Разные народы изобретали свои цифры для записи чисел.
Следы двадцатеричной системы сохранились в французском языке. Число 80 по-французски звучит как «четырежды двадцать» - guatre – vingt; 90 – как «четырежды двадцать и десять» - guatre – vingtdix; 91 – как «четырежды двадцать и одиннадцать» - guatre - vindt onze.
Шестидесятеричную систему изобрели древние вавилоняне. В наследство от них нам осталось деление суток на 24 или 12 двойных часов, деление часа на 60 минут, а минут на секунды и деление круга на 360 градусов.
А самой удобной оказалась десятеричная система, та самая, которой мы пользуемся и сегодня. Цифры, которыми мы записываем числа, называются арабскими. Их всего 10. Изобретены эти цифры были в Индии, но получили название арабских, потому что в Европу пришли из арабских стран. Многие годы форма цифр совершенствовалась и теперь принята во всем мире. Так постепенно зарождалась математика. Человек незаметно очутился в мире чисел. И оказалось, что в этом мире его ждет много удивительного и даже таинственного…
Когда-то числа служили только для решения практических задач. А потом их стали изучать, узнавать их свойства. С помощью чисел выражали и такие понятия, как справедливость, дружба. Ученые установили, как по записи числа узнавать, на какие другие числа оно делится. Они научились находить простые числа и стали изучать их свойства. Иногда открытия в науке о числах делали совсем юные математики. Математику применяют и для шифрования и для расшифровки донесений разведчиков, сообщений дипломатов, военных приказов. Некоторые методы шифровки и расшифровки сообщений основаны на свойствах чисел, в частности на особой арифметике, которую. Называют арифметикой остатков.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Из литературных источников, во-первых, я установили – как, когда, где и кем были придуманы цифры.
Во-вторых, выявил, что мы пользуемся десятичной системой счета, потому что у нас десять пальцев.
Система счета, которую мы используем сегодня, была изобретена в Индии тысячу лет назад. Арабские купцы распространили ее по всей Европе к 900 году. В этой системе использовались цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Это десятичная система, построенная на основе десятки.
В-третьих, мы научились изображать числа теми способами, которыми пользовались наши предки.
Теперь мы можем записать свои дни рождения так:
XIII.XI.MCMCXY г.
YIII.II.MCMCXYI г. –римскими цифрами;
13.11.1995г.
8.02.1996г. – современными цифрами. В дальнейшем полученные знания мы будем использовать на уроках математики и информатики. А также будем дальше стараться «открыть» еще какие-либо «секреты», которые связаны с числами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника матема ики. – М.: Просвещение, 1989.
2. Крейг А. и Росни К. Наука. Энциклопедия. – М.: «Росмэн», 1994.
3. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы / Шаврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., М.В. Волков М.В. – М.: Просвещение, 1989.
4. Ризванова Х.Я. Книга для внеклассного чтения по математике. – Уфа: Китап, 1998.
5. Шпорер З. Ох, эта математика! – М.: педагогика, 1985.
6. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.страница 1
nsportal.ru
государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Ростовской области
«Волгодонский педагогический колледж»
Реферат
Тема: «Этапы развития понятий натурального числа и нуля».
Дисциплина: Математика.
Выполнила: Мерикова Эльмира Александровна.
Проверила: Молотова Наталья Евгеньевна.
Волгодонск 2017
Содержание
Введение…………………………………………………………………………….3
1.Зарождение счета в глубокой древности……………………………………….4
2.История возникновения понятия натурального числа………………..……….5
3.Счет как основа арифметики. Натуральный ряд чисел…………………..……9
4.Натуральные числа, основные функции натуральных чисел………………..10
5.История возникновения нуля………………..……………………………..…..11
Заключение…………………………………………………………….………….12
Список литературы……………………………………………………………….13
Введение
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами. Что же понимается под словом "число"? Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было "привязано" к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Первое научное определение числа дал Эвклид в своих "Началах", которое он, очевидно унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского: "Единица есть то, в соответствии с чем каждая из соответствующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял понятие числа и математик Магницкий в своей "Арифметике" (1703г.). Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: "Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц". В своей "Общей арифметике" (1707г.) Исаак Ньютон пишет: "Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу…. Целое число есть то, что измеряется единицей…". В настоящее время, математик С.Ф. Клюйков также внес свой вклад в определение числа: "Числа - это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания".
Считается, что термин "натуральное число" впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480-524г. г.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно пользовался французский математик Даламбер (1717-1783г. г.).
Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо простых понятий. При работе над рефератом появилась возможность подробнее узнать историю возникновения числа, и понятия натурального числа.
Зарождение счета в глубокой древности.
Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века - палеолита. Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия "много". Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисления Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество.
Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами "один" и "много". Появление элемента "два" объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой, "три" характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие "четыре", так как с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой - возможность поместить по одному предмету у каждой ноги.
Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудия. Эти обстоятельства вынудили человека так или иначе вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями. Процесс счета уже не мог остановиться на четырех и должен был развиваться далее и далее.
На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов, сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними китайский суан-пан.
История возникновения понятия натурального числа.
Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, "три человека", "три озера" и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово "три" в контекстах "три человека", "три лодки" передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием ("много") о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как "толпа", "стадо", "куча" и т.д.
Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.
У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы (пальцевой счет, о котором говорилось ранее), что без сомнений подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея - обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов - десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.
С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней "римские цифры", ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков - цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов (в устной речи) и в форме обозначения специальными знаками (в письменной).
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.
Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких - либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматическогометода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа - с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность.
Числа возникли из потребности счета и измерения и претерпели длительный путь исторического развития.
Было время, когда люди не умели считать. Чтобы сравнить конечные множества, устанавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами или между одним из множеств и подмножеством другого множества, т.е. на этом этапе человек воспринимал численность предметов без их пересчета. Например, о численности группы из двух предметов он мог говорить: "Столько же, сколько рук у человека", о множестве из пяти предметов - "столько же, сколько пальцев на руке". При таком способе сравниваемые множества должны были быть одновременно обозримы.
В результате очень долгого периода развития человек пришел к следующему этапу создания натуральных чисел - для сравнения множеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки, раковины, пальцы. Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых предметов: речь шла, например, о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе "пять" вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом "рука", а численность множества из 20 предметов - словами "весь человек".
Только после того как человек научился оперировать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, т.е. когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок, не перечислялись уже "одно яблоко", "два яблока" и т.д., а проговаривались слова "один", "два" и т.д. Это был важнейший этап в развитии понятия числа. Историки считают, что произошло это в каменном веке, в эпоху первобытнообщинного строя, примерно в 10-5 тысячелетии до н.э.
Возникновение понятия натурального числа было важнейшим моментом в развитии математики. Появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. С развитием понятия натурального числа как результата счета предметов в обиход включаются действия над числом. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счета равными частями (по два, по три…), деление - как деление совокупности на равные части. Лишь во многовековом опыте сложилось представление об отвлеченном характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т.е. начинается развитие науки о числе. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название "арифметика". Слово "арифметика" происходит от греческого arithmos, что значит "число". Следовательно, арифметика - это наука о числе.
Термин "натуральное число" впервые употребил в V в. римский ученый А. Боэций, который известен как переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык и как автор книги "О введении в арифметику", которая до XVI века была образцом для всей европейской математики.
Во второй половине XIX века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика XIX века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказала и созданная в XIX веке теория множеств. Конечно, в созданных теориях понятия натурального числа и действий над ними получили большую абстрактность, но этим всегда сопровождается процесс обобщения и систематизации отдельных фактов.
Дальнейшие расширения понятия числа обусловлены уже не непосредственными потребностями счета и измерения, но явились следствием развития математики.
Счет как основа арифметики. Натуральный ряд чисел
Как мы ранее рассмотрели, арифметика - это наука, изучающая числа и действия над ними. Счет является основой арифметики. Прежде чем научиться вычислять, надо научиться считать и уметь записывать числа. Для счета люди пользуются названиями чисел и особыми знаками для краткого их обозначения. Знаки для изображения чисел называются цифрами. Практически на всем земном шаре алфавитом в языке цифр служат десять цифр (от 0 до 9), эти цифры называются арабскими. Девять из них используются для обозначения первых девяти натуральных чисел, а для обозначения отсутствия предметов употребляется число нуль, которое изображается цифрой 0. Все числа: 1, 2, 3, 4,…17,18 и т.д. без конца называют натуральным рядом чисел, а сами числа - натуральными числами. В натуральном ряду каждое число, начиная с 2, на единицу больше предыдущего. Натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляются числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на него был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.
Долго и трудно добиралось человечество до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, вещи, животные.
Натуральные числа, основные функции натуральных чисел.
Натуральные числа являются целыми числами. К целым числам относится и нуль, но оно не принадлежит к натуральным числам. Не следует смешивать понятия "числа" и "цифры". Различных чисел можно записать сколько угодно, а цифр - только десять. Любое натуральное число мы записываем с помощью этих десяти цифр. Производя счет предметов, используют натуральное число как характеристику порядка. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает как значение величины при выбранной единице, т.е. как мера величины. Большое внимание уделяется еще одной роли числа - как компоненту вычислений. Таким образом, натуральное число имеет много функций.
Основными функциями натуральных чисел являются:
1. Характеристика количества предметов;
2. Характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.
В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т. т.) и количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).
История возникновения нуля.
Ноль (нуль) (от лат. Nullus - никакой) - название первой (по порядку) цифры в стандартных системах исчисления, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (соответственно, в десятичной системе счисления, умножает на десять.).
В Индии.
Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие.
Индийцы называли знак, обозначающий отсутствие какого-либо разряда в числе, словом "сунья", что значит пустой (разряд, место). Арабы перевели это слово по смыслу и получили слово "сыфр", от него и ведет происхождение слово "цифра". Впервые цифру ноль использовал в своих рассказах Харязми. Первое достоверное сведение о записи нуля относится к 876г.; в настенной надписи из Гвалиора (Индия) имеется число 270. Некоторые исследователи предполагают, что нуль был заимствован у греков, которые ввели в качестве нуля букву "о" в шестидесятеричную систему счисления, употребляемую ими в астрономии. Другие, наоборот, считают, что ноль пришел в Индию с востока, он был изобретен на границе индийской и китайской культур. Обнаружены более ранние надписи от 683 и 686г. г. в нынешних Камбодже в Индонезии, где нуль изображен в виде точки и малого кружка. Индийцы вначале изображали нуль точкой. Когда индийцы в V веке н.э. ввели знак нуля, они смогли оставить поразрядную систему счисления и развить абсолютную позиционную десятичную систему счисления, превосходство которой при счете если и не осознают, то повседневно используют сотни миллионов людей.
математика число нуль натуральный.
Заключение
На первых ступенях развития, понятие числа определялось потребностями счета и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки. Мир полон тайн и загадок. Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.
Рассмотрев данную тему, можно с уверенностью сказать, что исторические сведения изменчивы, и со временем мы можем узнать много нового о том, что, казалось бы, уже известно, а также будет открыто что-то не менее интересное и, в настоящее время, неизученное.
Список литературы
1. Задачник-практикум по математике. Пособие для студентов-заочников факультетов подготовки учителей начальных классов пединститутов под ред. Н.Я. Виленкина. Москва "Просвещение", 1977. (132-135 стр.).
2. Марков С.Н. Курс истории математики: Учебное пособие. - Иркутск: Издательство иркутского университета, 1995. 248 с.
3. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н. Математика. В 2ч. Ч1. Для студентов - заочников 1-2 курсов фак. подгот. учителей нач. классов пед. ин-тов; Моск. Гос. Пед. Ин-т. М.: Просвещение, 1990. (93-119 стр.).
4. http://www.cultinfo.ru/ fulltext/1/001/008/122/518. Htm.
5. http://ru. wikipedia.org/wiki.
videouroki.net
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Шумерлинская СОШ» Шумерлинского района
Чувашской Республики
ПРОЕКТ
«ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»
Выполнили: Николаев Сергей,
Сидоров Владимир
ученики 6 класса
Руководитель: учитель математики
Николаева Т.А.
д.Шумерля, 2007г. 2 ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение ………………………………………………………2
Как появились цифры и числа
1. Арифметика каменного века ………………………………..3
2. Числа начинают получать имена …………………………...3
3. Римские цифры ………………………………………………7
4. Цифры русского народа …………………………………….7
5. Самые натуральные числа ………………………………….8
6. Системы счисления …………………………………………8
Заключение ……………………………………………………9
Литература …………………………………………………….10
ВВЕДЕНИЕ.
Можно ли представить мир без чисел? Вспомните, что мы с вами делаем изо дня в день: без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие достижения! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.
Число одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.
Люди так часто пользуются числами и счетом, что трудно даже представить себе, что они существовали не всегда, а были изобретены человеком.
На первом уроке математики в пятом классе нам рассказали о возникновении натуральных чисел. Нас это очень заинтересовало, и мы решили глубже изучить этот материал.
Цель работы – доказать, что числа появились в давние времена.
Задачи работы –
1.установить где, когда и кем были придуманы первые числа;
2. выявить какие бывают системы счисления;
3. научиться изображать цифры теми способами, которыми пользовались наши предки.
3
КАК ПОЯВИЛИСЬ ЦИФРЫ И ЧИСЛА.
1. Арифметика каменного века.
Сначала люди научились узнавать число предметов или животных, делая особые зарубки на счетных палочках, вести счет.
Мысль о счете пришла людям в голову раньше, чем появились цифры. Люди могли сообщить друг другу, что в одном стаде животных больше чем в другом, а вот, сколько именно – сосчитать не умели.
Древние люди не умели считать. Да и считать им было нечего, потому что предметов, которыми они пользовались – орудий труда, - было совсем немного: один топор, одно копье… Постепенно количество вещей увеличивалось, обмен ими все усложнялся и возникла потребность в счете.
Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменные топор и нож. И ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникла необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем; сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.
Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные орудия) и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7. Много тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварни, отмечают число фляг такими же зарубками. До сих пор в русском языке сохранилось слово «бирка». Теперь так называют дощечку с номером или надписью, которую привязывают к кулям с товаром, ящикам и тюкам и т.д. А еще двести –триста лет назад это слово означало совсем иное. Так называли куски дерева, на которых зарубками отмечали сумму долга и подати. Бирку с зарубками раскладывали пополам, после чего одна половинка оставалась у должника, а другая у сборщика податей. При счёте
половинки складывали вместе, и это позволяло определить сумму долга или подати без спора и сложных вычислениях.
2. Числа начинают получать имена.
Они могли представить себе такие числа как один, два, три. Все другие числа они означали понятием «Много». Именно так считают и сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки.
Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» - один, «окоза» - два и умели считать до шести. Островитяне считали так: «окоза-урапун» - три, «окоза-окоза» - четыре, «окоза-окоза-урапун» - пять, «окоза-окоза-окоза» - шесть. О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках как, например, «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» 7 тоже означало «много».
В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по латински означает «камень».
Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги.
Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета (Рис. 1). Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.
Рис. 1.
Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки (Рис. 2).
Рис. 2. После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры.
Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …: (Рис. 3).
7 
Рис. 3.
Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы: (Рис.4).
Рис. 4.
Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна.Похожим образом обозначали числа на острове Крит, расположенном в Средиземном море. В критской письменности единицы обозначались вертикальной чёрточкой |, десятки – горизонтальной - , сотни – кружком ◦, тысячи – знаком ¤.
Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин (1) и лежащий клин (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так: Число 60 снова обозначалось знаком , например число 92 записывали так:
В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления – двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 – горизонтальной чертой, например, запись ‗‗‗‗‗‗ означала 14. системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.
В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения Г (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.
Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели (Рис.5):
Рис. 5.
Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так (Рис.6)
Рис. 6.
Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся: 0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9.
Постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.
3. Римские цифры.
Из всех странных нумераций римская является единственной, сохранившейся до сих пор и довольно широко применяемой. Римские цифры употребляются и сейчас для обозначения столетий, нумерации глав в книгах и др.
Для записи чисел в римской нумерации надо запомнить изображение семи чисел .
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
С их помощью можно записать любое число не больше 4000. Некоторые числа записываются при помощи повторения римских цифр:
III = 3 · 1 = 3, XX = 2 · 10 = 20.
Кроме того, используется принцип сложения и вычитания. Если меньшая по значению буква стоит после большей, то их значения складывают:
VI = 5 + 1 = 6, MC = 1000 + 100 = 1100
Если меньшая цифра стоит перед большей, то из большего вычитают меньшее:
IV = 5 – 1 = 4, СМ = 1000 – 100 = 900.
Задание. Какие числа обозначают запись: ХХХVI, СХLV ?
(ХХХVI = 3 · 10 + (5 + 1) = 36,
CXLV = 100 + (50 – 10) + 5 = 145.) 4.Цифры русского народа. Наши предки пользовались алфавитной нумерацией, то есть числа изображались буквами, над которыми ставился значок ~ , называемый «титло». Чтобы отделить такие буквы – числа от текста, спереди и сзади ставились точки.
Этот способ обозначения цифр называется цифирью. Он был заимствован славянами от средневековых греков – византийцев. Поэтому цифры обозначались только теми буквами, для которых есть соответствия в греческом алфавите (Рис. 7).
Рис. 7.
Для обозначения больших чисел славяне придумали свой оригинальный способ:
Десять тысяч – тьма,
десять тем – легион, десять легионов – леорд, десять леордов – ворон, десять воронов – колода.Такой способ обозначения чисел по сравнению с принятой в Европе десятичной системой был очень неудобен. Поэтому Пётр ввёл в России привычные для нас десять цифр, отменив буквенную цифирь.
5. САМЫЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. Ряд чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9… называется натуральным. А сами эти числа натуральными. Возник этот ряд в глубокой древности, когда у людей возникла потребность в счете предметов. С появлением натурального ряда был сделан первый шаг к созданию математики. Сейчас все понимают, что натуральный ряд чисел бесконечен. В древности люди этого не знали. Сначала они умели считать до трех, потом до десяти, до сорока, до ста, а дальше была «тьма». Натуральный ряд был очень коротким. Расширить его удалось великому механику и математику древности Архимеду. Архимед написал знаменитый труд Псаммит, или Исчисление песчинок». В нем он подсчитал число песчинок, которые могли бы заполнить шар радиусом 15.000.000.000.000 километров. До Архимеда в Древней Греции самым большим числом считалось 10.000.000 мириад. Мириадой называлось число 10000, от греческого слова «мирос» - «неисчислимо большое». Архимед начал считать мириадами мириад и в результате вывел свою систему счисления. Наибольшее число его системы содержит 80.000.000.000.000.000 нулей. Это число так велико, что если напечатать его обыкновенным шрифтом на машинке, то этой лентой можно опоясать Земной шар по экватору более 2 миллионов раз. Даже ракете с первой космической скоростью (8км/с) пришлось бы лететь вдоль этой ленты более 300 лет.
Вот до какого огромного числа простирается натуральный ряд. Но и это число не последнее. За ним еще числа, числа, числа, числа… до бесконечности. Если натуральный ряд чисел кажется вам скучным и однообразным, всмотритесь в него повнимательнее, и вы найдете много удивительного и неожиданного.
Например, обыкновенное число 37. А теперь умножьте его на три, потом на шесть и так далее… На этом чудеса числа 37 не кончаются. Возьмем любое трехзначное число, которое делится на 37. Пусть это будет 185. И сделаем в нем круговую перестановку – последнюю цифру поставим на первое место, не изменив порядка остальных. Получим 518. Сделаем еще одну перестановку. Получим 851. Оба эти числа также делятся на 37. Вот вам и диковинка!
6.Системы счисления.
Первые математики считали по пальцам одной руки. До пяти. А если предметов было больше, то говорили «пять и один», «пять и два»… Так возникла пятеричная система счисления. Потом пальцев руки стало недостаточно и появилось десятеричная система счисления
– на пальцах обеих рук. Дальше – больше. Человеку пришлось «разуться» и считать по пальцам рук и ног. Возникла двадцатеричная система счисления.
Но и этого, как вы понимаете, оказалось мало. Тогда придумали шестидесятеричную систему. Стали считать тройками, по числу суставов на каждом пальце левой руки без большого пальца, то есть до двенадцати. Каждый палец левой руки означал 12. Если один палец это 12, то пять пальцев – это 60.
И, наконец, счет так усложнился, что людям пришлось изобрести цифры для обозначения числа, которых становилось все больше и больше. Разные народы изобретали свои цифры для записи чисел.
Следы двадцатеричной системы сохранились в французском языке. Число 80 по-французски звучит как «четырежды двадцать» - guatre – vingt; 90 – как «четырежды двадцать и десять» - guatre – vingtdix; 91 – как «четырежды двадцать и одиннадцать» - guatre - vindt onze.
Шестидесятеричную систему изобрели древние вавилоняне. В наследство от них нам осталось деление суток на 24 или 12 двойных часов, деление часа на 60 минут, а минут на секунды и деление круга на 360 градусов.
А самой удобной оказалась десятеричная система, та самая, которой мы пользуемся и сегодня. Цифры, которыми мы записываем числа, называются арабскими. Их всего 10. Изобретены эти цифры были в Индии, но получили название арабских, потому что в Европу пришли из арабских стран. Многие годы форма цифр совершенствовалась и теперь принята во всем мире. Так постепенно зарождалась математика. Человек незаметно очутился в мире чисел. И оказалось, что в этом мире его ждет много удивительного и даже таинственного…
Когда-то числа служили только для решения практических задач. А потом их стали изучать, узнавать их свойства. С помощью чисел выражали и такие понятия, как справедливость, дружба. Ученые установили, как по записи числа узнавать, на какие другие числа оно делится. Они научились находить простые числа и стали изучать их свойства. Иногда открытия в науке о числах делали совсем юные математики. Математику применяют и для шифрования и для расшифровки донесений разведчиков, сообщений дипломатов, военных приказов. Некоторые методы шифровки и расшифровки сообщений основаны на свойствах чисел, в частности на особой арифметике, которую. Называют арифметикой остатков.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Из литературных источников, во-первых, мы установили – как, когда, где и кем были придуманы цифры.
Во-вторых, выявили, что мы пользуемся десятичной системой счета, потому что у нас десять пальцев.
Система счета, которую мы используем сегодня, была изобретена в Индии тысячу лет назад. Арабские купцы распространили ее по всей Европе к 900 году. В этой системе использовались цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Это десятичная система, построенная на основе десятки.
В-третьих, мы научились изображать числа теми способами, которыми пользовались наши предки.
Теперь мы можем записать свои дни рождения так:
XIII.XI.MCMCXY г.
YIII.II.MCMCXYI г. –римскими цифрами;
13.11.1995г.
8.02.1996г. – современными цифрами.
В дальнейшем полученные знания мы будем использовать на уроках математики и информатики. А также будем дальше стараться «открыть» еще какие-либо «секреты», которые связаны с числами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника матема ики. – М.: Просвещение, 1989.
2. Крейг А. и Росни К. Наука. Энциклопедия. – М.: «Росмэн», 1994.
3. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы / Шаврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., М.В. Волков М.В. – М.: Просвещение, 1989.
4. Ризванова Х.Я. Книга для внеклассного чтения по математике. – Уфа: Китап, 1998.
5. Шпорер З. Ох, эта математика! – М.: педагогика, 1985.
6. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.страница 1
|
|
zaeto.ru
