Реферат: Линейные уравнения и их свойства. Реферат на тему линейные уравнения

Реферат - Линейные уравнения и их свойства

Тема 1. Система линейных уравнений

В общем случае система />линейных уравнений с />неизвестными имеет вид

/>(1)

Через />обозначены неизвестные, подлежащие определению, величины />, называемые коэффициентами системы, и величины />, называемые свободными членами, считаются известными. Решением системы (1) называют такую совокупность />чисел />, которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных />обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений (1) либо не имеет решения, либо имеет единственное решение, либо имеет бесчисленное множество решений. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если решение одной из них является решением другой и наоборот. Коэффициенты системы образуют матрицу, которую называют основной матрицей системы

/>.

Если />, то матрица />является квадратной и ее определитель />называется определителем системы. Если определитель квадратной системы уравнений />то система имеет единственное решение, определяемое по формулам, называемых формулами Крамера:

Здесь /> — определитель системы, />определитель матрицы, получаемой из матрицы />заменой />го столбца столбцом ее свободных членов.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

Решение. Найдем определитель системы

/>/>/>= />

Далее вычислим определитель />, заменив первый столбец матрицы системы на столбец свободных членов

/>/>

Аналогично находим определители />:

Отсюда по формулам Крамера находим решение системы

/>/>/>

Общую систему линейных уравнений вида (1) можно решить методом Гаусса — методом последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестных методом Гаусса удобно выполнять, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов, к которой справа добавлен столбец свободных членов

Полученную матрицу />называют расширенной матрицей системы.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:

Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.

Перестановка строк матрицы.

Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на общее произвольное число.

Метод Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк основную матрицу системы />привести к ступенчатому (или треугольному) виду. Если вернуться к уравнениям, то это означает, что неизвестная />содержится только в первом уравнении, неизвестная /> — только в первом и втором уравнении и т. д. Таким образом, неизвестные системы частично исключаются из исходных уравнений системы, а полученная новая система уравнений является эквивалентной исходной системе. Рассмотрим решение методом Гаусса на примерах.

Пример 2. Решить систему уравнений

/>(2)

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

/>(3)

Поменяем местами первую и вторую строку в матрице (3), чтобы получить

/>(в этом случае упрощаются последующие вычисления).

/>~/>(4)

Символ “~” обозначает эквивалентность матриц. Умножим первую строку полученной матрицы (4) на число (-3) и прибавим соответственно к элементам второй строки, далее первую строку матрицы (4) умножим на число (-5) и прибавим к элементам третьей строки этой матрицы. В результате получим матрицу, которой соответствует система уравнений, содержащая неизвестную />только в первом уравнении

/>~ />. (5)

Так как в матрице (5) />, то, умножая вторую строку этой матрицы на число (-5) и прибавляя ее к третьей строке, получим основную матрицу треугольного вида. Для упрощения разделим элементы последней строки на число (-11):

/>~ />~ />(6)

Расширенной матрице (6) соответствует следующая система уравнений, эквивалентная исходной системе (2)

Отсюда из третьего уравнения получаем />. Подставляя найденное значение />во второе уравнение, определяем неизвестную />:

/>/>

Наконец, после подстановки найденных значений />в первое уравнение, находим неизвестную />: />Таким образом, решение системы единственное: />

--PAGE_BREAK--

Пример 3. Решить систему уравнений

/>(7)

Решение. Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы (7)

/>~ />~

~/>~ />~

~ />~ />.

Расширенная матрица, полученная на последнем шаге путем вычитания из элементов четвертой строки соответствующих элементов третьей строки, содержит нулевую строку и имеет ступенчатый вид. Отсюда следует, что исходной системе уравнений эквивалентна система из трех уравнений с 4 неизвестными

Неизвестную />перенесем в правые части уравнений

Отсюда определяем

/>/>

Задавая переменной />произвольное значение />, найдем бесконечное множество решений системы

Если расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду, когда в нулевой строке основной матрицы свободный член отличен от нуля, то система не имеет решения. Например, последняя строка имеет вид />. Тогда соответствующее уравнение системы привелось к неверному равенству />

Пример 4. Предприятие выпускает три вида товаров, при производстве которых используется три типа ресурсов: рабочая сила, сырье, оборудование. Нормы расхода каждого из них (в условных единицах) на производство единицы каждого товара и объем ресурсов на 1 день заданы таблицей 1.

Таблица 1

Вид

ресурсов

Норма расхода ресурсов

на производство ед. товара

Объем

ресурсов

на 1 день

1 вид

2 вид

3 вид

Рабочая сила

800

Сырье

1700

Оборудование

1100

Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.

Решение. Пусть /> — ежедневный выпуск соответственно товаров 1,2 и 3-го вида. Тогда в соответствии с нормами расхода ресурсов каждого типа имеем систему линейных уравнений, содержащих неизвестные />

Решим ее методом Гаусса.

/>~ />~ />

Отсюда находим />, т.е. предприятие ежедневно выпускает 100 ед. товаров 1-го вида, 300 ед. товаров 2-го вида и 200 ед. товаров 3-го вида.

Задача для контрольной работы

Кондитерская фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов. При этом используется сырье трех типов/>. Нормы расхода каждого из них на одно изделие и общий объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей 2. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия, построив систему линейных уравнений и решая ее методом Гаусса и по формулам Крамера.

Таблица 2

Номер

варианта

Вид

сырья

Норма расхода сырья на 1 изделие

Объем

расхода сырья

Изделие 1

Изделие 2

Изделие 3

2000

продолжение --PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

1200

1600

900

1000

1200

2200

1000

700

2700

1900

1600

Тема 2. Векторная алгебра

Упорядоченную совокупность />вещественных чисел в виде />называют />мерным вектором. Число />называют />ой компонентой вектора />. Для векторов вводят следующие линейные операции.

Суммой двух векторов одинаковой размерности />называют такой вектор />, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. />

Пример 1.

/>, />

Произведением вектора />на число />называют вектор />, компоненты />которого равны произведению числа />на соответствующие компоненты вектора />, т.е. />

Пример 2.

/>/>

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

продолжение --PAGE_BREAK--

Существует нулевой вектор />такой, что />для любого вектора />

Для любого вектора />существует противоположный вектор />такой, что

/>/>

Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам, называется векторным (линейным) пространством и обозначается символом />.

Вектор />называется линейной комбинацией векторов />векторного пространства />, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа

/>.

Векторы />называются линейно зависимыми, если существуют такие числа />, не все равные нулю, что их линейная комбинация является нулевым вектором

/>(1)

В противном случае, т.е. когда равенство (1) справедливо лишь при />векторы />называются линейно независимыми. Можно показать, что если векторы />линейно зависимы, то по крайней мере один их них является линейной комбинацией остальных.

Векторное пространство />называется />мерным, а число />размерностью пространства, если в нем существует />линейно независимых векторов, а любые из />векторов уже являются зависимыми. Таким образом, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Совокупность />линейно независимых векторов />мерного пространства />называется базисом этого пространства. Пусть векторы />образуют произвольный базис />мерного пространства />. Тогда любой вектор />пространства />можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса

/>. (2)

Равенство (2) называют разложением вектора />по базису />, а числа />/>координатами вектора />относительно этого базиса.

Пример 3. Показать, что векторы />,/>образуют базис и найти координаты вектора />в этом базисе.

Решение. Так как каждый вектор задан тремя координатами, то в рассматриваемом векторном пространстве существует базис />и размерность пространства, равная трем, совпадает с числом заданных векторов />. Поэтому векторы />образуют в нем базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство

которое можно записать для соответствующих координат этих векторов

/>(3)

Решим полученную систему линейных уравнений (3) методом Гаусса.

/>~ />~ />~

~/>~ />~ />~

~/>~ />.

Отсюда получаем единственное нулевое решение />, т.е. векторы />являются линейно независимыми и, следовательно, образуют базис пространства. Найдем теперь разложение вектора />по базису />из условия выполнения векторного равенства

/>,

которое для соответствующих координат запишется

Полученную квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных />решим по формулам Крамера. Вычислим определители3-го порядка:

/>/>

Тогда по формулам Крамера находим координаты вектора />в базисе />:

В итоге имеем

Задача для контрольной работы

Показать, что векторы />образуют базис и найти координаты вектора />в этом базисе. Численные данные в зависимости от варианта приводятся в таблице 3.

Таблица 3

№

варианта

продолжение --PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым – 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбирается одно. Оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер?

В двух одинаковых коробках находятся карандаши. Известно, что 1/3 карандашей в первой коробке и 1/4 карандашей во второй – характеризуется твердостью ТМ. Наугад выбирается одна коробка и из нее наугад извлекается один карандаш. Он оказался твердости ТМ. Какова вероятность того. Что он извлечен из первой коробки?

Тема 4. Случайные величины

Задача. Функция распределения спроса на некоторый продуктовый товар для различных микрорайонов города задается выражением:

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметры />и />.

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение спроса.

4. Вероятность того, что в наудачу выбранном микрорайоне спрос находится в пределах от значения />до />.

5. Размер спроса, который для случайного выбранного микрорайона может быть превзойден с вероятностью />.

Параметры />(в млн. руб), />приводятся в таблице 5.

Таблица 5

Значения параметров

0,5

Решение.

1. Плотность распределения вероятностей является производной функции распределения вероятностей, поэтому:

2.Найдем параметр />. Функция распределения />обладает следующим свойством:/>=1. Вычислим предел

/>=/>.

Отсюда />=1.

Далее определим параметр />. Интеграл от плотности вероятности по области реализации случайной величины равен единице. В соответствии с условиями задачи спрос как случайная величина изменяется в пределах от />до />. Поэтому, находя несобственный интеграл, имеем

Таким образом, />=/>.

3.Вычислим математическое ожидание спроса через плотность распределения (с учетом того, что />=/>) как несобственный интеграл:

/>.

Найдем интеграл методом интегрирования по частям. Пусть />/>.

Тогда

/>.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

/>.

Подставив в полученное выражение численные значения параметров, найдем:

По формуле

определим дисперсию спроса. Вначале вычислим несобственный интеграл

также методом интегрирования по частям. Пусть />. Тогда

/>,

/>.

Последний интеграл уже найден при вычислении />, поэтому можно записать:

/>.

Отсюда окончательно получаем:

/>.

продолжение --PAGE_BREAK--

После подстановки численных значений параметров, находим

Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

4. Вероятность нахождения случайной величины в заданном интервале можно найти, используя функцию распределения

При />получаем

Подставляя численные значения параметров, имеем:

Величина />, определяемая равенством />, называется квантилем порядка />. В задаче требуется найти />. Запишем необходимое равенство: />или />. Логарифмируя последнее равенство />, найдем

/>.

При />=0,5 получаем:

Таким образом, с вероятностью 0,5 спрос в случайно выбранном микрорайоне будет больше 1,35 (млн. руб).

Задача для контрольной работы

Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, описывается выражением:

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметры />и />.

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение годового дохода.

4. Вероятность того, что у наудачу выбранного налогоплательщика годовой доход находится в пределах от значения />до />.

5. Размер годового дохода, который для случайного выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью />.

Параметры />для различных вариантов заданий приводятся в таблице 6.

Таблица 6

Параметры

Номер варианта

200

250

300

350

360

370

380

390

400

410

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

210

280

350

400

380

390

410

420

425

440

230

300

400

480

400

420

430

450

460

продолжение --PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

5,3

-0,2

0,04

5,8

0,3

0,09

1,32

По данным таблицы 8 определим выборочное среднее

Выборочное среднее квадратическое отклонение находится:

Исправленную дисперсию />находят для малых значений n (n<30) по значению />:

Исправленное стандартное отклонение />вычисляют путем извлечения квадратного корня из

/>: />

Для оценки математического ожидания />нормально распределенного признака />по выборочной средней />при неизвестном среднем квадратическом отклонении />генеральной совокупности служит доверительный интервал

где />=2,26 находим по таблице ([2], приложение 3) по заданным n=10 и />=0,95.

Вычислим

/>Тогда

/>или />

Оценкой среднего квадратического отклонения />нормально распределенного количественного признака />по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению />служат доверительные интервалы

/>при />

где />находят по таблице ([2], приложение 4) по заданным значениям n=10 и />=0,95. В данном случае />и используется первая формула:

/>или />

Чтобы найти вероятность того, что величина содержания крахмала />в выбранной наудачу пробе окажется в пределе от />до />воспользуемся точечными оценками параметров нормального распределения />и />в формуле:

/>.

Учитывая нечетность функции Лапласа />, имеем ([2], приложение 2)

3. Для того, чтобы при заданном уровне значимости />, проверить нулевую гипотезу />:/>о равенстве неизвестной генеральной средней />гипотетическому значению />при конкурирующей гипотезе />: />, надо вычислить наблюдаемое значение статистического критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному значению/>и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку />. Если справедливо неравенство />, то оснований отвергнуть нулевую гипотезу не имеется. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Найдем наблюдаемое значение критерия

В таблице критических точек распределения Стьюдента ([2], приложение 6) по значению />=0,05 и числу степеней свободы k = n-1 =9 находим />=2,26. Так как выполняется неравенство />, то нулевая гипотеза отвергается и выборочная средняя />=5,5 значимо отличается от генеральной средней />=5,0. Заметим, что если бы проверялась нулевая гипотеза для />=5,3, то наблюдаемое значение критерия было бы />=1,65 и нулевую гипотезу не было бы оснований отвергать и />незначимо отличалась бы от />.

Задача для контрольной работы

При анализе производительности труда />(тыс. руб) на одного работника за отчетный период было обследовано десять магазинов торга.

Требуется:

1. Определить выборочное среднее />, выборочную дисперсию />, среднее квадратическое отклонение />, исправленные дисперсию />и среднее квадратическое отклонение />.

2. Полагая, что изменчивость величины />описывается законом нормального распределения, найти доверительные интервалы для ожидаемого среднего значения />и ожидаемого среднего квадратического отклонения />производительности труда с заданной надежностью />, а также вероятность того, что величина производительности труда />в выбранном наудачу магазине окажется в пределе от />до />.

продолжение --PAGE_BREAK--

3. Проверить на уровне значимости />нулевую гипотезу />:/>при конкурирующей гипотезе />: />.

Выработка на одного работника />(тыс. руб) и параметры />для различных вариантов заданий приводятся в таблице 9.

Таблица 9

Номер варианта

Выработка на одного работника

3,9

4,6

5,6

4,7

4,2

5,1

4,4

4,7

4,5

4,1

4,0

6,2

4,5

3,8

5,9

4,8

4,2

4,8

3,6

3,3

3,8

5,6

3,8

4,8

6,4

5,6

3,7

5,3

4,7

3,2

4,2

4,6

4,9

4,5

5,4

6,7

3,5

4,9

3,8

3,1

4,6

6,3

4,8

5,3

6,2

5,8

4,0

5,7

4,2

2,9

4,5

5,0

5,8

5,2

6,3

4,9

4,6

5,0

5,1

4,2

4,8

4,3

5,1

6,1

5,3

5,0

4,5

6,1

4,6

4,8

4,1

5,2

6,7

5,8

5,5

4,8

6,0

4,3

3,5

5,0

4,4

6,4

3,8

6,4

6,1

3,8

4,9

4,4

4,9

6,3

3,9

4,7

5,7

5,8

4,1

5,2

5,0

Параметр

3,5

4,0

4,5

5,5

4,5

5,5

4,0

5,0

4,0

5,5

5,0

6,0

5,5

6,5

4,5

5,5

5,0

5,2

6,0

6,2

5,8

6,5

6,6

5,2

6,0

5,0

продолжение --PAGE_BREAK--

Правила выполнения и оформления контрольной работы

1. Выбор вариантов осуществляется в соответствии с последней цифрой учебного шифра студента (например, если последняя цифра «3», то выполняется вариант номер 3, если — «0», то — вариант номер 10).

2. Контрольная работа пишется чернилами любого цвета (кроме красного) в тонкой тетради, для замечаний рецензента оставляются поля. На обложке тетради указывают фамилию, имя, отчество студента, номер студенческой группы, учебный шифр (серия и номер зачетной книжки), название кафедры, наименование дисциплины и номер контрольной работы, а также домашний адрес.

3. Решение задач следует располагать в порядке следования номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач. Условия задач выписывать обязательно. Если несколько задач имеют общую формулировку, то при переписывании общие условия заменяют конкретными данными.

4. Решения задач требуется оформлять аккуратно, подробно объясняя все действия и используемые формулы. В конце работы приводится список использованной литературы, указывается дата выполнения работы и ставится подпись исполнителя.

Литература

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа,1977.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1975.

Высшая математика для экономистов. Под ред. Н. Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, 1997.

Талызин В.А. Контрольная работа по высшей математике. Казань: КИ МГУК, 1998.

www.ronl.ru

Реферат на тему "Линейные уравнения с постоянными коэффициентами" Сахарова Анна, 1 курс, туризм, упр

Министерство Образования Российской Федерации

Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена

Факультет управления

Реферат

по дисциплине Математика

на тему:

«ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ»

Выполнила: Сахарова Анна

Руководитель: Светлаков А.Н.

Санкт-Петербург, 2013

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

(1)

где , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение

(2)

и найти его корни . Каждому простому корню соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид , а каждому корню кратности k - решения . Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.

где произвольные постоянные.

Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней . Для каждой пары комплексно сопряженных корней в формулу общего решения включаются слагаемые

если эти корни простые, и слагаемые

если каждый из корней имеет кратность k. Здесь - многочлены степени k-1.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению

Разлагая левую часть уравнения на множители, находим корни:

Следуя выше изложенной теории, выпишем общее решение данного уравнения

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Правая часть	Число, сравниваемое с корнем характеристического уравнения	Вид частного решения
	0 - не корень
	0 - корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k

Здесь -многочлены степени s, а - многочлены степени s, коэффициенты которых нужно найти методом неопределенных коэффициентов. Для того чтобы их найти, нужно функцию, задающую вид частного решения, подставить в исходное дифференциальное уравнение и после приведения подобных слагаемых приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения. В случае, когда для определения вида частного решения нельзя воспользоваться только одной строкой таблицы, применяют принцип суперпозиции.

Теорема (принцип суперпозиции). Пусть - решения уравнений

соответственно. Тогда

есть решение уравнения

Пример 2. Решить уравнение , удовлетворяющее условиям .

Решение.

Сначала найдем общее решение данного неоднородного уравнения второго порядка, а затем среди всех решений выберем то, которое удовлетворяет заданным условиям. Так как характеристическое уравнение имеет корни , то общим решением соответствующего однородного уравнения является функция:

Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида . Найдем методом неопределенных коэффициентов частные решения уравнений

(*)

(**)

соответственно.

Определим частное решение уравнения (*). Правая часть представляет собой произведение многочлена первой степени и . Число, которое нужно сравнивать с корнем характеристического уравнения - это 1. Оно является простым корнем характеристического уравнения кратности 1. Согласуя с параметрами таблицы, имеем , следовательно, частное решение будем искать в виде:

где коэффициенты a и b подлежат определению. Подставляя последнее выражение в (*), и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получим следующую систему:

откуда , а значит

Правая часть уравнения (**) представляет собой произведение многочлена нулевой степени и тригонометрической функции. Число 2i не является корнем характеристического уравнения. Частное решение уравнения (**) ищем в виде ():

Подставляя в (**), и приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x справа и слева, получим систему для определения коэффициентов c и d:

Откуда . Поэтому . Согласно принципу суперпозиции, частное решение первоначального уравнения имеет вид:

а его общее решение определяется функцией:

Чтобы решить задачу Коши, определим значения произвольных постоянных в общем решении. Для этого в решение и его производную подставим x=0. Используя начальные условия , получим:

откуда . Значит решение поставленной задачи Коши есть

Линейное неоднородное уравнение (1) с любой правой частью можно решить методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Тогда решения уравнения (1) ищется в виде

Функции определяются из системы

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение . Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения есть , решениями которого являются . Тогда общим решением однородного уравнения будет функция . Тогда решение заданного уравнения будем искать в виде

Функции определяются из системы

Решая систему, находим

Тогда функция

определяет общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным уравнения с постоянными коэффициентами.

1. Уравнение Эйлера. Это уравнение вида

где . Заменой (при ) уравнение сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. На практике решение уравнения Эйлера ищут в виде . Для нахождения r получают характеристическое уравнение. Простому корню характеристического уравнения соответствует решение , а m - кратному корню - m линейно независимых решений вида . Если коэффициенты уравнения действительны, а характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни кратности , то уравнение Эйлера имеет линейно независимых решений вида

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Решение будем искать в виде , для нахождения r получаем характеристическое уравнение

решая которое, находим . В итоге получаем общее решение исходного уравнения

2. Уравнение Лагранжа. Это уравнение вида

где . Заменой уравнение Лагранжа сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Решение будем искать в виде , для нахождения r получаем характеристическое уравнение

решая которое, находим . В итоге получаем общее решение исходного уравнения

3. Уравнение Чебышева. Это уравнение вида

Заменой (при ) уравнение Чебышева сводится к уравнению

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

Заменой исходное уравнение сводится к

Решая которое, и переходя к старым переменным получаем общее решение данного уравнения

annettesa.livejournal.com

Курсовая работа - Линейные уравнения и их свойства

Тема 1. Система линейных уравнений

В общем случае система />линейных уравнений с />неизвестными имеет вид

/>(1)

/>.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

Решение. Найдем определитель системы

/>/>/>= />

Далее вычислим определитель />, заменив первый столбец матрицы системы на столбец свободных членов

/>/>

Аналогично находим определители />:

Отсюда по формулам Крамера находим решение системы

/>/>/>

Полученную матрицу />называют расширенной матрицей системы.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:

Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.

Перестановка строк матрицы.

Пример 2. Решить систему уравнений

/>(2)

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

/>(3)

Поменяем местами первую и вторую строку в матрице (3), чтобы получить

/>(в этом случае упрощаются последующие вычисления).

/>~/>(4)

/>~ />. (5)

/>~ />~ />(6)

Расширенной матрице (6) соответствует следующая система уравнений, эквивалентная исходной системе (2)

/>/>

--PAGE_BREAK--

Пример 3. Решить систему уравнений

/>(7)

Решение. Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы (7)

/>~ />~

~/>~ />~

~ />~ />.

Неизвестную />перенесем в правые части уравнений

Отсюда определяем

/>/>

Задавая переменной />произвольное значение />, найдем бесконечное множество решений системы

Таблица 1

Вид

ресурсов

Норма расхода ресурсов

на производство ед. товара

Объем

ресурсов

на 1 день

1 вид

2 вид

3 вид

Рабочая сила

800

Сырье

1700

Оборудование

1100

Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.

Решим ее методом Гаусса.

/>~ />~ />

Задача для контрольной работы

Таблица 2

Номер

варианта

Вид

сырья

Норма расхода сырья на 1 изделие

Объем

расхода сырья

Изделие 1

Изделие 2

Изделие 3

2000

продолжение --PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

1200

1600

900

1000

1200

2200

1000

700

2700

1900

1600

Тема 2. Векторная алгебра

Пример 1.

/>, />

Пример 2.

/>/>

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

продолжение --PAGE_BREAK--

Существует нулевой вектор />такой, что />для любого вектора />

Для любого вектора />существует противоположный вектор />такой, что

/>/>

/>.

/>(1)

/>. (2)

Пример 3. Показать, что векторы />,/>образуют базис и найти координаты вектора />в этом базисе.

которое можно записать для соответствующих координат этих векторов

/>(3)

Решим полученную систему линейных уравнений (3) методом Гаусса.

/>~ />~ />~

~/>~ />~ />~

~/>~ />.

/>,

которое для соответствующих координат запишется

/>/>

Тогда по формулам Крамера находим координаты вектора />в базисе />:

В итоге имеем

Задача для контрольной работы

Таблица 3

№

варианта

продолжение --PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

Тема 4. Случайные величины

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметры />и />.

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение спроса.

4. Вероятность того, что в наудачу выбранном микрорайоне спрос находится в пределах от значения />до />.

5. Размер спроса, который для случайного выбранного микрорайона может быть превзойден с вероятностью />.

Параметры />(в млн. руб), />приводятся в таблице 5.

Таблица 5

Значения параметров

0,5

Решение.

1. Плотность распределения вероятностей является производной функции распределения вероятностей, поэтому:

2.Найдем параметр />. Функция распределения />обладает следующим свойством:/>=1. Вычислим предел

/>=/>.

Отсюда />=1.

Таким образом, />=/>.

/>.

Найдем интеграл методом интегрирования по частям. Пусть />/>.

Тогда

/>.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

/>.

Подставив в полученное выражение численные значения параметров, найдем:

По формуле

определим дисперсию спроса. Вначале вычислим несобственный интеграл

также методом интегрирования по частям. Пусть />. Тогда

/>,

/>.

Последний интеграл уже найден при вычислении />, поэтому можно записать:

/>.

Отсюда окончательно получаем:

/>.

продолжение --PAGE_BREAK--

После подстановки численных значений параметров, находим

Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

При />получаем

Подставляя численные значения параметров, имеем:

/>.

При />=0,5 получаем:

Таким образом, с вероятностью 0,5 спрос в случайно выбранном микрорайоне будет больше 1,35 (млн. руб).

Задача для контрольной работы

Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, описывается выражением:

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметры />и />.

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение годового дохода.

Параметры />для различных вариантов заданий приводятся в таблице 6.

Таблица 6

Параметры

Номер варианта

200

250

300

350

360

370

380

390

400

410

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

210

280

350

400

380

390

410

420

425

440

230

300

400

480

400

420

430

450

460

продолжение --PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--

5,3

-0,2

0,04

5,8

0,3

0,09

1,32

По данным таблицы 8 определим выборочное среднее

Выборочное среднее квадратическое отклонение находится:

Исправленную дисперсию />находят для малых значений n (n<30) по значению />:

Исправленное стандартное отклонение />вычисляют путем извлечения квадратного корня из

/>: />

где />=2,26 находим по таблице ([2], приложение 3) по заданным n=10 и />=0,95.

Вычислим

/>Тогда

/>или />

/>при />

/>или />

/>.

Учитывая нечетность функции Лапласа />, имеем ([2], приложение 2)

Найдем наблюдаемое значение критерия

Задача для контрольной работы

Требуется:

продолжение --PAGE_BREAK--

3. Проверить на уровне значимости />нулевую гипотезу />:/>при конкурирующей гипотезе />: />.

Таблица 9

Номер варианта

Выработка на одного работника

3,9

4,6

5,6

4,7

4,2

5,1

4,4

4,7

4,5

4,1

4,0

6,2

4,5

3,8

5,9

4,8

4,2

4,8

3,6

3,3

3,8

5,6

3,8

4,8

6,4

5,6

3,7

5,3

4,7

3,2

4,2

4,6

4,9

4,5

5,4

6,7

3,5

4,9

3,8

3,1

4,6

6,3

4,8

5,3

6,2

5,8

4,0

5,7

4,2

2,9

4,5

5,0

5,8

5,2

6,3

4,9

4,6

5,0

5,1

4,2

4,8

4,3

5,1

6,1

5,3

5,0

4,5

6,1

4,6

4,8

4,1

5,2

6,7

5,8

5,5

4,8

6,0

4,3

3,5

5,0

4,4

6,4

3,8

6,4

6,1

3,8

4,9

4,4

4,9

6,3

3,9

4,7

5,7

5,8

4,1

5,2

5,0

Параметр

3,5

4,0

4,5

5,5

4,5

5,5

4,0

5,0

4,0

5,5

5,0

6,0

5,5

6,5

4,5

5,5

5,0

5,2

6,0

6,2

5,8

6,5

6,6

5,2

6,0

5,0

продолжение --PAGE_BREAK--

Правила выполнения и оформления контрольной работы

Литература

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа,1977.

Высшая математика для экономистов. Под ред. Н. Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, 1997.

Талызин В.А. Контрольная работа по высшей математике. Казань: КИ МГУК, 1998.

www.ronl.ru

Линейные системы уравнений

Реферат Тема: «Линейные системы уравнений» Содержание 1. Уравнения, векторы, матрицы, алгебра 2. Умножение матриц как внешнее произведение векторов 3. Нормы векторов и матриц 4. Матрицы и определители 5. Собственные значения и собственные векторы 6. Ортогональные матрицы из собственных векторов 7. Функции с матричным аргументом 8. Вычисление проекторов матрицы Пример использования числовых характеристик матриц 10. Оценка величины и нахождение собственных значений Литература

1. Уравнения, векторы, матрицы, линейная алгебра Многие из рассмотренных нами задач сводились к формированию систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений, которые требовалось решить. Пока системы включали в себя не более трех-четырех переменных, их несложно было решать известными классическими методами: методом определителей (Крамера) или методом исключения переменных (Гаусса). С появлением цифровых вычислительных машин порядок алгебраических уравнений, решаемых методом исключений вырос в несколько десятков раз. Однако выявилось множество причин, по которым решение таких систем получить не удавалось. Появившиеся различные модификации метода исключения не привели к существенным улучшениям ситуации с получением решений. Появление же систем с количеством переменных более многих сотен и тысяч заставили обратиться и развивать итерационные методы и методы эквивалентных векторно-матричных преобразований применительно к решению линейных систем алгебраических уравнений. Основные теоретические результаты были получены путем обобщения известных классических методов функционального анализа и алгебры конечномерных линейных пространств на векторно-матричные представления систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Общая форма записи линейной системы алгебраических уравнений с n неизвестными может быть представлена следующим образом: Здесь – неизвестные, – заданные числа, – заданные числовые коэффициенты. Последовательность записи уравнений в системе и обозначение неизвестных в последней не играет роли. В этом плане удобно при анализе и исследованиях системы использовать упорядоченную индексацию натурального ряда для неизвестных, значений правых частей и коэффициентов в уравнениях, однозначно привязывая, тем самым, каждое слагаемое и каждое уравнение к определенной позиции в общей записи. В результате можно выделить в данной записи уравнений три позиционно упорядоченных неделимых объекта: список переменных – , список правых частей – и матрицу коэффициентов – . Первые два объекта в линейной алгебре называют вектором-строкой, а второй – квадратной матрицей. Операции с векторами, матрицами должны быть определены так, чтобы однозначно отображать допустимые эквивалентные преобразования исходной системы алгебраических уравнений. В предельных случаях задания векторов и матриц: , – аддитивные и мультипликативные операции должны переходить в аналогичные операции со скалярными величинами. Если рассмотреть i-тую строку исходной системы ,

то в ней кроме упорядоченного расположения компонент присутствует упорядоченное по индексу j размещение коэффициентов , которые могут рассматриваться как вектор-строка . Результатом суммы покомпонентного перемножения двух векторов-строк должно быть число. В линейной алгебре такая операция с векторами определена и названа скалярным или внутренним произведением векторов: . Скалярное произведение линейно, так как обладает основными свойствами линейных преобразований , и коммутативно. Определение скалярного произведения позволяет переписать исходную систему уравнений в виде вектора с компонентами из скалярных произведений: или . Вторая форма представления векторов в форме столбцов более наглядна в смысле зрительного установления покомпонентного равенства двух векторов: стоящего слева от знака равенства и справа. Эта форма, форма вектора-столбца принята за каноническую (основную). Левый вектор-столбец в записи каждой строки содержит вектор неизвестных и естественно желание вынести его за прямые скобки. Оставшиеся коэффициенты упорядочены, как в матрице . Теперь для представления исходной системы уравнений в виде несложно определить векторно-матричную операцию , результатом которой является вектор с i-той компонентой, равной . Аксиоматическое построение линейной (векторной) алгебры с рассмотренными базовыми операциями позволило установить важные и полезные свойства, как самих объектов алгебры, так и их алгебраических выражений. 2. Умножение векторов и матриц Среди n-мерных векторов и векторных операций над ними важно выделить сумму n векторов, умноженных на числовые константы: , которая при произвольном выборе в частности может оказаться нулевым вектором (с нулевыми компонентами) или одним из суммируемых векторов . Если нулевой вектор при суммировании не нулевых векторов можно получить лишь в случае, когда все , то такие векторы в наборе называют линейно независимыми. Такими векторами в частности будут единичные векторы , у которых все компоненты нулевые, кроме единичной компоненты, расположенной на j-строке. Линейно независимый набор единичных векторов с геометрической точки зрения можно рассматривать как n-мерную систему координат. Набор компонент любого вектора в этой n-мерной системе определяет координаты точки конца вектора, исходящего из начала координат, а также являются длинами проекций вектора на координатных осях. Среди матриц размера и операций с ними в первую очередь необходимо отметить операцию умножения матрицы на матрицу. Необходимость введения операции умножения матриц возникает уже при первом взгляде на полученную векторную форму записи линейного уравнения . Векторы слева и справа имеют равные компоненты. Так как коэффициенты в строках матрицы в общем произвольны по величине, то соответствующие компоненты вектора x не обязаны быть равными компонентам вектора y. Последнее означает, что умножение вектора x на матрицу A вызвало изменение длины и направления вектора x. Если аналогичное преобразование выполняется над вектором правой части до решения уравнения, то вектор левой части должен быть преобразован так же: . Фактически мы имеем дело с заменой системы координат. Рассмотрим методику вычисления коэффициентов результирующей матрицы уравнения: , где – элемент матрицы С, равный скалярному произведению вектор-строки матрицы В на вектор-столбец матрицы А. Произведение матриц в общем случае не коммутативно. Ассоциативный и распределительный законы в матричных выражениях выполняются. 3. Нормы векторов и матриц Интерпретация упорядоченного набора чисел, как вектора в многомерном пространстве, позволяет говорить и о его длине. В прямоугольной системе координат по известным длинам проекций на координатные оси длину самого вектора вычисляют, как корень квадратный из суммы квадратов проекций: , где – компоненты вектора , – евклидова норма вектора, его длина. В качестве нормы в литературе иногда используют квадрат длины вектора или другое выражение с компонентами вектора, лишь бы оно обладало свойствами расстояния: было положительным, линейным и удовлетворяло неравенству треугольника. Деление вектора на величину его нормы называют нормированием, т.е. приведением вектора к единичной длине. Норма матрицы в принципе тоже может быть определена в виде корня квадратного из суммы квадратов ее элементов или другими выражениями со свойствами расстояний. Однако в ряде случаев работы с векторно-матричными выражениями нормы векторов и матриц должны быть согласованными ввиду того, что результатом произведения матрицы на вектор является опять же вектор. Если выражение для нормы вектора принято, то , где функция sup говорит о том, что из всех отношений норм, стоящих в числителе и знаменателе, взятых при любом векторе x, кроме нулевого, выбирается наименьшее, т.е. это функция выбора нижней границы значений. Согласованная матричная норма для евклидовой нормы вектора удовлетворяет неравенству . Нормы вектора и матрицы служат, в основном, для сопоставительной оценки матриц и векторов, указывая на возможный диапазон представления строгих числовых характеристик. К числу последних, в первую очередь, нужно отнести определители матриц, собственные значения и собственные векторы матриц и ряд других. 4. Матрицы и определители Упорядоченный набор коэффициентов из системы линейных алгебраических уравнений используется для получения числовой характеристики, величина которой инвариантна по отношению к эквивалентным преобразованиям системы. Речь идет об определителе матрицы. Важное свойство определителей матрицы обнаруживается в связи с вычислением произведения матриц: Учитывая это свойство и зная, что определитель единичной матрицы det(E)=1, можно найти матрицу B и ее определитель из уравнения: откуда следует, что и . Из свойств определителей нелишне помнить и такие: где – транспонированная матрица A, n – размер квадратной матрицы A, – матрица перестановки строк или столбцов, s, c=0,1,…, n – число выполненных перестановок строк и / или столбцов. Если обратная матрица исходной системы уравнений определена, то, используя эквивалентные преобразования их векторно-матричной записи, решение уравнений можно представить в следующем виде:

Умножив вектор правых частей на обратную матрицу, получим вектор решения. Классический способ вычисления обратной матрицы использует определители и осуществляется по формуле: , где – алгебраическое дополнение, а – минор матрицы A, получаемый вычислением определителя матрицы A, в которой вычеркнуты j-тая строка и i-тый столбец. Такой способ вычисления определителя представляет в основном теоретический интерес, так как требует выполнения неоправданно большого числа операций. Очень просто вычисляется определитель, если матрица диагональная или треугольная. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов. Кстати и решения уравнений, имеющих такие матрицы коэффициентов, получаются тривиально. Поэтому основные усилия разработчиков методов решения алгебраических уравнений направлены на поиск и обоснование эквивалентных преобразований матрицы с сохранением всех ее числовых характеристик, но имеющих в конце преобразований диагональную или треугольную форму. 5. Собственные значения и собственные векторы Рассмотрим теоретические основы и методы, позволяющие выполнять эквивалентные матричные преобразования. Найдем вектор, который под воздействием матрицы A изменяет только свою величину, но не направление. Для системы уравнений это означает, что вектор решения должен быть пропорционален с некоторым коэффициентом вектору правой части: В результате несложных преобразований получены однородные векторно-матричные уравнения в столбцовой и в строчной формах с некоторым числовым параметром и неизвестным вектором-столбцом x и вектором-строкой , представляющих собственное состояние системы. Однородная система может иметь отличное от нуля решение лишь в том случае, когда определитель ее равен нулю. Это следует из формул получения решения методом определителей (Крамера), в которых и определитель знаменателя, и определитель числителя оказываются равными нулю. Полагая, что решение все же существует, т.е. и , удовлетворить уравнению можно только за счет приравнивания нулю определителя однородной системы: Раскрыв определитель и сгруппировав слагаемые при одинаковых степенях неизвестного параметра, получим алгебраическое уравнение степени n относительно : Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы и имеет в общем случае n корней, возможно комплексных, которые называются собственными значениями матрицы и в совокупности составляют спектр матрицы. Относительно n корней различают два случая: все корни различные или некоторые корни кратные. Важным свойством характеристического уравнения матрицы A является то, что согласно теореме Гамильтона-Кели, матрица A удовлетворяет ему: где – k-тая степень матрицы. Подставляя каждое в однородную систему, получим векторно-матричные уравнения для нахождения векторов или векторов-строк . Эти векторы называются соответственно правыми собственными векторами и левыми собственными векторами матрицы. Решение однородных уравнений имеет некоторую специфику. Если (как в равной мере и ) является решением, то, будучи умноженным на произвольную константу, оно тоже будет являться решением. Поэтому в качестве собственных векторов берут такие векторы, которые имеют норму, равную единице, и тогда: Если все собственные числа различны, то собственные векторы матрицы A образуют систему n линейно независимых векторов таких, что

6. Ортогональные матрицы из собственных векторов Из правых собственных векторов можно составить матрицу T, а из левых – матрицу , которые обладают уникальными свойствами по отношению к матрице A. Умножив матрицу A слева на матрицу , а справа – на матрицу T, после несложных преобразований получим: .

Каждое скалярное произведение в матрице, принимая во внимание линейную независимость собственных векторов, полученных для различных собственных значений, можно преобразовать так: Поэтому, результатом преобразования матрицы A будет диагональная матрица с собственными значениями, расположенными на диагонали: Если вместо A взять единичную матрицу и проделать аналогичные преобразования, то станет очевидным равенство , откуда следует . Последнее позволяет для преобразования матрицы A в диагональную обходиться только системой правых собственных векторов-столбцов: Последнее показывает, что умножение матрицы A на слева и на S справа, где S – произвольная не особая матрица, преобразует ее в некоторую матрицу B, которая имеет определитель, равный определителю матрицы A. Такие преобразования матриц называют эквивалентными (подобными). Продолжая использовать T-матрицу, несложно получить следующие важные результаты:

. 7. Функции с матричным аргументом Пусть теперь задана некоторая матричная функция от матрицы A: . С другой стороны очевидно и обратное , где – матрица с одной единицей на i-том месте диагонали ().

где – проекторы матрицы A, образуемые умножением одноименных правых и левых собственных векторов по правилам умножения прямоугольных матриц с размерами соответственно и . Сумма проекторов . Проекторы обладают свойствами идемпотентных матриц, т.е. матриц, все степени которых равны первой. Для невырожденных проекторов () матрицы A () справедливо: Представление функции от матрицы A в виде взвешенной суммы проекций называется спектральным разложением матричной функции по собственным значениям матрицы A: .

Если в качестве матричных функций взять и , то их спектральные разложения будут следующими: 8. Вычисление проекторов матрицы Проекторы матрицы можно также вычислить, воспользовавшись интерполяционным многочленом Лагранжа с матричным аргументом: По известному спектру проекторы матрицы можно найти и методом неопределенных коэффициентов. Для чего выбирают такие функции от матрицы A, которые вычисляются очевидным образом, например, такие: Записывая разложение для каждой функции, получим следующую систему линейных уравнений относительно проекторов:

www.coolreferat.com

реферат на тему "Линейные уравнения с постоянными коэффициентами" (Семёнов 1 УП)

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

(1)

где , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае -неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

(2)

где произвольные постоянные.

если эти корни простые, и слагаемые

если каждый из корней имеет кратность k. Здесь - многочлены степени k-1.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению

Разлагая левую часть уравнения на множители, находим корни:

Следуя выше изложенной теории, выпишем общее решение данного уравнения

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искатьметодом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Правая часть	Число, сравниваемое с корнем характеристического уравнения	Вид частного решения
	0 - не корень
	0 - корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k