|
|
|
|
 Far |
| WinNavigator |
| Frigate |
| Norton
Commander |
| WinNC |
| Dos
Navigator |
| Servant
Salamander |
| Turbo
Browser |
|
|
| Winamp,
Skins, Plugins |
| Необходимые
Утилиты |
| Текстовые
редакторы |
| Юмор |
|
|
|
File managers and best utilites |
Реферат: Устойчивость линейной системы авторегулирования:. Устойчивость системы связи реферат
Устойчивость линейных систем автоматического управления
Реферат
на тему:
"Устойчивость линейных систем автоматического управления"
1. Общие понятия устойчивости
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия и прекращения действия возмущения. Устойчивость – это одно из основных требований, предъявляемых к системе. Если система не устойчива, то она не работоспособна. Рассмотрим математическое понятие устойчивости.
Движение линейной системы автоматического управления описывается линейным, неоднородным уравнением:
при этом правая часть – входное воздействие, а левая – реакция выхода.
Решение уравнения можно записать в виде:
(1)
где
- представляет собой общее решение однородного уравнения и определяет переходный процесс;
- представляет собой частное решение неоднородного уравнения и определяет установившийся режим.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
, (2)
где: Ск– постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий;
- корни характеристического уравнения:
Рассмотрим характер решения при различных значениях корней характеристического уравнения.
1. Если корни действительные однократные
2. Если корни действительные кратные
3. Если корни комплексно – сопряженные однократные
4. Пусть корни комплексно – сопряженные кратные
Для того чтобы система была устойчивой решение должно удовлетворять условию
(3)
Это условие выполняется, если корни характеристического уравнения системы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости P.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости P.
Характеристическое уравнение системы можно представить в виде:
(4)
Если уравнение содержит хотя бы один положительный корень, то хотя бы один коэффициент характеристического уравнения будет отрицательным. Необходимое, но недостаточное условие устойчивости (при n > 2) системы – это положительность коэффициентов характеристического уравнения.
Для нахождения корней характеристического уравнения необходимо решать алгебраические уравнения. Аналитическое решение уравнений 3-го и 4-го порядка громоздки, а уравнение выше 4-го порядка не имеют аналитического решения.
В теории автоматического управления разработан ряд так называемых критериев устойчивости, которые позволяют, не решая уравнений определять устойчивость систем.
2. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 определитель Гурвица, составленный для характеристического уравнения
, и все его диагональные миноры были положительны.
Определитель Гурвица имеет вид:
(5)
Диагональные миноры определяются соотношениями
(6)
Рассмотрим частные случаи
1. Для системы первого порядка (n = 1) характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости:
2. Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:
3.
Условие устойчивости:
4. Для системы третьего порядка (n = 3) характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости:
Для систем 1-го и 2-го порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости системы. Для системы 3-го порядка должно выполняться дополнительное условие
Достоинство критерия:
1. Высокая точность, так как это алгебраический критерий.
2. Простота для систем невысокого порядка.
Недостатки критерия:
1. Необходимо иметь математическое описание системы.
2. Сложность применения для систем высокого порядка.
Рассмотрим примеры определения устойчивости по критерию Гурвица.
Пример 1. Определить устойчивость системы, если ее характеристическое уравнение имеет вид:
Условие устойчивости
не выполняется, следовательно, система не устойчива.
Пример 2. Определить устойчивость если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
.
Решение:
1. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
2. Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости
.
Условие устойчивости выполняется, следовательно, система устойчива.
Пример 3. Для заданной системы (рис. 1) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.
 |
Решение:
3. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
4. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
5. Запишем характеристическое уравнение и условие устойчивости
4. Определим критический коэффициент усиления
3. Критерий устойчивости Михайлова
Для оценки устойчивости систем управления кроме алгебраических критериев, используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.
Доказательство частотных критериев базируется на следствии из принципа аргумента.
Допустим, задан полином
(7)
 | |
|
Если система n – го порядка содержит m неустойчивых полюсов, то угол поворота вектора D (jw) равен:
(8)
Формулировка критерия Михайлова:
Замкнутая система автоматического управления устойчива, если характеристическая кривая (годограф Михайлова), начинаясь на положительной вещественной оси в точке an, при изменении частоты 0£w£¥ последовательно проходит число квадрантов равное степени характеристического полинома.
При этом
(9)
Пример 4. Допустим, задан характеристический полином системы
Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3a).
Пример 5. Допустим, задан характеристический полином системы
Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3б).
Пример 6. Допустим, задан характеристический полином системы
Годограф устойчивой системы имеет вид (рис. 3в).
 |
Рис. 3
Пример. Для заданной системы (рис. 4) определить условие устойчивости, частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости.
Определить устойчивость при T1= T2= 1 c и kv= 1 c-1.
 |
Решение:
1. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
где
2. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
3. Запишем характеристическое уравнение
4. Определим частоту собственных колебаний системы и критический коэффициент усиления из условия границы устойчивости
Откуда частота собственных колебаний системы равна:
Критический коэффициент усиления равен:
5. Определим устойчивость при T1 = T2 = 1 c и kv = 1 c-1.
5. Строим характеристическую кривую
(рис. 5) по данным, приведенным в таблице 1.
 |
Таблица 1
| w | 0 |  | 1 | ¥ |
| X(w) | 1 | 0 | -1 | -¥ |
| Y(w) | 0 |  | 0 | -¥ |
В соответствии с критерием Михайлова, рассматриваемая система является устойчивой.
4. Частотный критерий устойчивости Найквиста
Частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет по виду частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы, т.е. он применим для замкнутых систем.
Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых систем
(6)
где D(p) – характеристический полином замкнутой системы;
A(p) – характеристический полином разомкнутой системы.
При этом степени полиномов A(p) и D(p) одинаковы исходя из условия физической реализуемости системы.
В соответствии со следствием из принципа аргумента
(7)
Рассмотрим разные случаи.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии.
Так как разомкнутая система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т.е. m = 0), для того чтобы и замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:
(8)
Графически это обозначает, что годограф вектора W (jw) не охватывает начала координат, а вектора K (jw) – точку с координатами (-1, j0), как показано на рис. 6. Точка с координатами (-1, j0) называется критической.
Рис. 6.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии.
Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, должно выполняться условие
(9)
Графически это обозначает, что годограф вектора K (jw) охватывает точку с координатами (-1, j0) m/2 – раз.
Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автоматического управления устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой, неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает точку с координатами (–1, j0) m/2-раз.
Иногда по графику трудно определить охватывает ли АФХ критическую точку. В этом случае можно использовать правило переходов. Переходами называются точки пересечения АФХ отрезка оси (-¥.. – 1). Знак перехода определяется по следующему правилу: если фаза убывает – переход отрицательный.
Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автома-тического управления устойчива, если разность положительных и отрицательных переходов равна m/2, где m – количество корней в правой полуплоскости разомкнутой неустойчивой системы, т.е.
|
- S
= m/2.(10)
Пример 8. Для заданной системы (рис. 7) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления.
Определить устойчивость при T1= T2= 1 c и kv= 1 c-1.
 |
Решение:
1. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы
2. Строим АФХ разомкнутой системы
При T1= T2= 1 c и kv= 1 c-1АФХ разомкнутой системы имеет вид
Расчетные данные приведены в таблице 2, а график АФХ на рис. 8.
 |
Таблица 2
| w | 0 | 1 | ¥ |
| P(w) | -2 | -1/2 | 0 |
| Q(w) | -¥ | 0 | 0 |
Как видно из рисунка (8) и таблицы 2, АФХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку, следовательно, замкнутая система, при заданной структуре и параметрах, устойчива.
Определим критический коэффициент усиления из условия:
5. Определение областей устойчивости
Устойчивость систем зависит от структуры и параметров системы. При расчете систем автоматического управления возникает задача опреде-ления диапазона изменения варьируемых параметров системы, при кото-рых она устойчива.
Область устойчивости – это совокупность значений параметров системы, при которых она устойчива.
Коэффициенты характеристического уравнения являются функциями от параметров системы, и они определяют расположение корней в комплексной плоскости, при изменении параметров корни перемещаются в комплексной плоскости и система может стать не устойчивой.
Для определения областей устойчивости можно использовать различные методы, наиболее часто используют метод D – разбиения. D-разбиение может быть выполнено по одному и более параметрам.
Рассмотрим алгоритм определения областей устойчивости с помощью метода D – разбиения по одному параметру на конкретных примерах.
Пример 9. Определить область возможных значений параметра «к», при которых заданная система (рис. 9) устойчива
 |
Порядок определения областей устойчивости
1. Определяем передаточную функцию замкнутой системы
2. Определяем характеристический полином
3. Разрешим уравнение относительно параметра – к
4. Строим кривую D – разбиения (см. таблицу 3 и рис. 10)
 |
Таблица 3
| w | 0 | 1 | Ö2 | 2 | ¥ |
| X(w) | 0 | 1 | 2 | 4 | ¥ |
| Y(w) | 0 | -1 | 0 | 4 | ¥ |
|
Так как параметр является вещественной положительной величиной, то областью устойчивости являются значения параметра – к, расположенные на вещественной положительной оси, т.е.] 0, 2 [, что может быть провере-но по критерию Гурвица.
Литература
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Наука, 1986.
2. Брюханов В.Н. и др. Теория автоматического управления. – М: Высшая школа, 2000.
3. Егупов Н.Д., Пупков К.А., Баркин А.И. Синтез регуляторов систем автоматического управления. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
4. Ким Д.П., Дмитриева Н.Д. Сборник задач по теории автоматического управления. Линейные системы. ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 168 с.
5. Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, 1990. – 416 с.
6. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В.А. Бесекерского. – M.: Наука, 1978.
7. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 198 – 712 с.
superbotanik.net
Реферат - Устойчивость дискретных систем управления
Реферат
Предмет: Теория автоматического управления
Тема: Устойчивость дискретных систем управления
1. Основные понятия устойчивости дискретных систем
Основные определения устойчивости непрерывных систем справедливы и для дискретных систем с учетом некоторых особенностей.
Необходимым и достаточным условием устойчивости непрерывной линейной системы является расположение в левой полуплоскости всех корней ее характеристического уравнения. Сопоставим, как выглядят уравнения для непрерывных и для дискретных систем.
Для непрерывных систем передаточные функции представляют отношение дробно – рациональных функций и имеют вид
. (1)
Характеристическое уравнение представляет собой степенное уравнение, при этом число корней уравнения равно степени полинома — n .
Например, для передаточной функции
Для дискретных систем передаточные функции имеют вид
.(2)
Характеристическое уравнение представляет собой трансцендентное уравнение, при этом число корней уравнения бесконечно, так как они имеют периодический характер.
Например, для передаточной функции
(3)
корни определяются из соотношений
.
Каждому из n корней в плоскости Р, соответствует бесконечное множество периодических корней в плоскости Р*, отстоящих друг от друга на расстоянии частоты квантования и расположенных по группам в каждой полосе. Для анализа свойств системы достаточно анализировать расположение корней в одной, так называемой основной полосе, в качестве которой обычно считают полосу частот .
Расположение корней этого уравнения в комплексной плоскости приведено на рис. 1.
Рис. 1
Дискретная система автоматического управления устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости в пределах основной полосы.
Пример 1. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией
.
Решение: Характеристическое уравнение системы имеет вид
Определим корни характеристического уравнения
.
Система устойчива, так как все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости в пределах основной полосы.
Пример 2. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Определим корни характеристического уравнения заданной системы
.
Система на границе устойчивости, так как один корень расположен на мнимой оси, а второй устойчивый.
2. Определение устойчивости дискретных систем в форме z -преобразования
Использование z -преобразования позволяет преобразовать трансцендентный полином в степенной, что позволяет упростить процесс исследования дискретных систем управления.
Применение z -преобразования (рис. 2.3) отображает основную полосу на плоскость Z, отрезок мнимой оси в окружность единичного радиуса, а левую часть полосы в круг единичного радиуса.
Следовательно, дискретная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости в пределах основной полосы (т. е. условие устойчивости ).
Пример 3. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией
.
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Определим корни характеристического уравнения
Определим модуль корней
.
Система не устойчива, так как модуль корней ее характеристического уравнения меньше единицы.
Пример 4. Определить устойчивость дискретной системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.
-
Рис. 2
Решение: Передаточная функция разомкнутой дискретной системы
.
Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z — преобразования
, где .
Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме z — преобразования
.
Характеристическое уравнение имеет вид .
Определим корни характеристического уравнения
При этом модуль корня при любых допустимых T, следовательно, система устойчива.
3. Определение устойчивости дискретных систем в форме w — преобразования
Из теории функций комплексного переменного известно, что билинейное преобразование (w -преобразование, преобразование Мизеса) отображает круг единичного радиуса в плоскости Z во всю левую полуплоскость плоскости W, при использовании подстановки
или. (4)
Установим связь между плоскостями Z и W (см. рис. 3).
Рис. 3
1. При½z ½ = 1 ,½w+1 ½ = ½w-1 ½, что соответствует оси j.
2. При½z ½ < 1 ,½w+1 ½ < ½w-1 ½ — соответствует левой полуплоскости пл. W .
3. При½z ½ > 1 ,½w+1 ½ > ½w-1 ½ — соответствует правой полуплоскости.
Дискретная система автоматического управления устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости плоскости W .
Следовательно, при использовании билинейного преобразования условия устойчивости непрерывных систем можно использовать для дискретных систем управления.
Пример 5. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией
.
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Определим корни характеристического уравнения
Система устойчива, так как корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости.
Пример 6. Определить устойчивость дискретной системы, структурная схема которой представлена на рис. 4.
-
Рис. 4
Решение: Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z – преобразования
, где .
Передаточная функция замкнутой дискретной системы
.
Характеристическое уравнение системы имеет вид
.
Выполнив билинейное преобразование, получим
Условие устойчивости: 1 – b > 0, 1 + b +d > 0, где b = [k(1-d)-(1+d)].
4. Применение критериев устойчивости для дискретных систем
Все критерии устойчивости, которые используются для анализа устойчивости непрерывных систем, могут быть использованы для дискретных систем с учетом некоторых особенностей.
Критерий Гурвица
Критерий устойчивости Гурвица можно использовать при применении билинейного преобразования. Рассмотри алгоритм его использования.
1. Записываем характеристическое уравнение D(z) = 0
.(5)
2. Выполняем подстановку , при этом получим характеристическое уравнение D(w) = 0, т. е. в форме билинейного преобразования
. (6)
3. Составляем определитель Гурвица
. (7)
4. Определяем устойчивость также как и для непрерывных систем.
Линейная дискретная система устойчива, если при определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны.
Рассмотрим частные случаи.
При n = 1 характеристическое уравнение имеет вид
Условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, а также: a0 — a1 > 0.
При n = 2 характеристическое уравнение имеет вид
Условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, а также:
a0 — a1 + a2 > 0, a0 — a2 > 0.
Пример Определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция разомкнутой системы в форме z – преобразования, имеет вид
.
Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме z – преобразования
.
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Выполним билинейное преобразование
Система не устойчива.
Критерий устойчивости Михайлова
Доказательство частотных критериев устойчивости базируется на следствии из принципа аргумента. Рассмотрим, как он формулируется для дискретных систем.
Пусть задано характеристическое уравнение замкнутой системы
. (8)
Рассмотрим комплексную плоскость Z (рис. 7), пусть z2 расположен внутри круга единичного радиуса, а z1 вне него.
При этом
(9)
Если замкнутая система устойчива, то все корни расположены в пределах окружности единичного радиуса, а значит
(10)
Замкнутая дискретная система устойчива, если характеристическая кривая D*(jw) при изменении частоты 0 £w£p/T последовательно проходит 2n квадрантов.
Порядок построения характеристической кривой: определяем D(z); выполняем подстановку ; определяем выражение
;
изменяя 0 £ w £ p /T строим D*(j w ) (рис. 5).
а) б)
Рис. 5
Пример 8. Определить устойчивость по критерию Михайлова системы, схема которой приведена на рис. 6, если T = 1 с, kv = 2 c-1 .
-
Рис.6
Решение: Передаточная функция разомкнутой системы
.
Передаточная функция разомкнутой дискретной системы
.
Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z – преобразования
Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме z – преобразования
.
Характеристический полином имеет вид
.
Определяем выражение
Изменяя частоту в пределах 0 £w£p (0 £w£p/T) строим годограф Михайлова (рис. 7).
Таблица 1
\| w | p/4 | p/2 | p3/4 | p |
| X*(w) | 2 | 1+Ö2/2 | 1 | 1-Ö2/2 |
| Y*(w) | Ö2/2 | 1 | Ö2/2 |
Как видно из рисунка система находится на границе устойчивости.
Проверим по критерию Гурвица при
kv T = 2; z+1 = 0; z1 = -1; 1 z1 1=1.
Корень находится на окружности единичного радиуса, следовательно, система находится на границе устойчивости.
Критерий устойчивости Михайлова с использованием билинейного преобразования
При этом исходным является характеристический полином в форме z -преобразования. Выполним подстановку
z = (1+w)/(1-w) .
(11)
Пусть: w = j l, где l –фиктивная частота (0 £ l £ ¥ ).
При этом критерий Михайлова для дискретных систем применяется в таком же виде, как и для непрерывных систем.
Пример 9. Определить условие устойчивости по критерию Михайлова дискретной системы, схема которой приведена на рис. 6.
Решение:
Характеристический полином имеет вид
.
Выполнив подстановкуz = (1+w)/(1-w), в характеристический полином получим
.
Выполнив подстановку w = j l, в характеристический полином получим
Строим график рис. 8. Система устойчива при kv T > 2. Критический коэффициент усиления равен kv кр = 2/T.
Рис. 8
Критерий устойчивости Найквиста
Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых дискретных систем
(12)
где D*(p) – характеристический полином замкнутой системы;
A*(p) – характеристический полином разомкнутой системы.
В соответствии со следствием из принципа аргумента
(13)
Рассмотрим разные случаи.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии
Так как разомкнутая дискретная система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т. е. m = 0), для того чтобы и замкнутая дискретная система была устойчива, должно выполняться условие
(14)
Формулировка критерия Найквиста:
Замкнутая дискретная система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой устойчивой системы не охватывает току с координатами (–1,j0).
Графически это обозначает, что годограф вектора W*(j w ) не охватывает начала координат, а вектора K*(j w ) -точку с координатами (-1, j0 ).
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии
Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того чтобы замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:
Графически это обозначает, что годограф вектора K(j w ) охватывает точку с координатами (-1, j0 ) m –раз.
Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая дискретная система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает току с координатами (–1, j0) m раз.
Пример 10. Определить условия устойчивости и величину критического коэффициента усиления по критерию Найквиста дискретной системы, схема которой приведена на рис. 6.
Решение: Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z – преобразования
При этом выражение для частотной характеристики имеет вид
Строим частотную характеристику дискретной системы в соответствии с таблицами 2 и 3 (рис. 9).
Характеристику строим на интервале частот 0 £ w £ p /T в дальнейшем характеристики повторяются, так как они носят периодический характер.
Условие устойчивости данной дискретной системы определяется соотношением kv T/2 = 1. 0 £w£p/T
Таблица 2
| w | p/2T | p/T | |
| P*(w) | -kv T/2 | -kv T/2 | -kv T/2 |
| Q*(w) | -¥ | -kv T/2 |
Таблица 3
| a | 30 | 45 | 60 | 90 |
| ctga | -¥ | Ö3 | 1 | 1/Ö3 |
Критический коэффициент усиления системы равен kv кр = 2/Т .
Литература
1. Дорф Р., Бишоп Р. Автоматика. Современные системы управления. 2002г. – 832с.
2. Харазов В. Г. Интегрированные системы управления технологическими процессами: Справочник. Издательство: ПРОФЕССИЯ, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2009. – 550с.
3. Чебурахин И. Синтез дискретных управляющих систем и математическое моделирование: теория, алгоритмы, программы. Изд-во: НИЦ РХД, ФИЗМАТЛИТ®, 2004. – 248c.
www.ronl.ru
Реферат: Устойчивость линейной системы авторегулирования
Введение
Современная теория автоматического регулирования является основной частью теории управления. Система автоматического регулирования состоит из регулируемого объекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущения), изменяются регулируемые переменные. Цель же регулирования заключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи во многих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех). При этом необходимо выбирать такой закон регулирования, при котором сигналы управления проходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналы шума практически не пропускались.
Теория автоматического регулирования прошла значительный путь своего развития. На начальном этапе были созданы методы анализа устойчивости, качества и точности регулирования непрерывных линейных систем. Затем получили развитие методы анализа дискретных и дискретно-непрерывных систем. Можно отметить, что способы расчета непрерывных систем базируются на частотных методах, а расчета дискретных и дискретно-непрерывных — на методах z-преобразования.
В настоящее время развиваются методы анализа нелинейных систем автоматического регулирования. Нарушение принципа суперпозиции в нелинейных системах, наличие целого ряда чередующихся (в зависимости от воздействия) режимов устойчивого, неустойчивого движений и автоколебаний затрудняют их анализ. Еще с большими трудностями встречается проектировщик при расчете экстремальных и самонастраивающихся систем регулирования.
1.Устойчивость линейной системы авторегулирования. Общие сведения
Устойчивость системы означает, что она принципиально может выполнять свои функции. Для линейных систем можно пользоваться следующим определением устойчивости: линейная система устойчива, если при ограниченном входном воздействии выходной процесс тоже ограничен.
Прямым методом анализа устойчивости является решение дифференциального уравнения, описывающего систему:
где
и
- соответственно выходной и входной процессы в системе.
Устойчивость линейной системы не зависит от вида входного воздействия, и можно взять его любым, в том числе и нулевым, но удобнее принятьx(t) = 1(t). В этом случае решением дифференциального уравнения будет переходная характеристика. И по виду ее можно определить устойчивость системы. Если переходная характеристика стремится к постоянному значению, то система устойчива. Если же переходная характеристика уходит в бесконечность, то неустойчива. Из решения дифференциального уравнения следует, что выходной процесс ограничен, если корни характеристического уравнения располагаются в левой полуплоскости.
anpn+an-1pn-1+…+a0= 0
При анализе устойчивости систем авторегулирования наиболее часто используется критерий устойчивости Найквиста. Согласно этому критерию замкнутая система устойчива при устойчивой разомкнутой, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точки с координатами (-1, 0).Типовой вид годографа частотной характеристики разомкнутой системы, описываемой передаточной функцией
,(3)
Годограф начинается на действительной оси, так как на нулевой частоте коэффициент передачи разомкнутой системы является действительной величинойКр(0) =К. С ростом частоты модуль коэффициента передачиКр(w) уменьшается и вносится отрицательный фазовый сдвиг jр(w), поэтому векторКр(jw) поворачивается по часовой стрелке. При w = ¥Кр(w) = 0 и jр(w) = - 3p¤2. Для устойчивой системы точка ( -1, 0) должна лежать вне фигуры, образованной годографом частотной характеристики и действительной положительной полуосью.
Если в разомкнутую систему входят интеграторы, то годограф частотной характеристики разомкнутой системы начинается в бесконечности. Такие системы называются астатическими. Количество интеграторов равно порядку астатизма. Для системы с одним интегратором, имеющей передаточную функцию годограф начинается в третьем квадранте (рис. 2), а для системы с двумя интеграторами с передаточной функцией
,(4)
- (5)
во втором квадранте, т.к. уже на нулевой частоте интегратор вносит фазовый сдвиг, равный p¤2.
Для построения замкнутого контура в этих случаях требуется к годографу добавить столько четвертей окружности бесконечного радиуса, сколько интеграторов в разомкнутой системе. На рис. 2 и рис. 3 это добавление условно показано пунктирной линией. Замкнутая система с годографомКр(jw), изображенном на рис. 2, устойчива, а на рис. 3 – неустойчива. Причем последняя является структурно-неустойчивой, т.е. неустойчивой при любом коэффициенте передачи разомкнутой системы.
По годографу частотной характеристики разомкнутой системы можно оценить степень устойчивости. Для этого вводится понятие запасов устойчивости по усилению и по фазе. Запас устойчивости по усилению DКпоказывает, во сколько раз нужно изменить коэффициент передачи разомкнутой системы, чтобы замкнутая из устойчивой стала неустойчивой. Запас устойчивости по фазе Dj показывает, какой фазовый сдвиг нужно ввести в разомкнутую систему, чтобы замкнутая из устойчивой стала неустойчивой. На рис. 4 показано, как эти запасы определяются по годографу частотной характеристики разомкнутой системы. Запас устойчивости по усилению DК= =1¤К1, гдеК1– коэффициент передачи разомкнутой системы на частоте, для которой jр(w) = -p.Запас устойчивости по фазе равен углу Dj между отрицательной действительной полуосью и линией, соединяющей начало координат с точкой пересечения годографа с окружностью единичного радиуса.
На практике удобнее пользоваться не годографом частотной характеристики, а амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками. И еще более удобно использовать логарифмические АЧХ и ФЧХ, т.е. ЛАХ и ЛФХ. Критерий Найквиста в этом случае формулируется так: замкнутая линейная система устойчива при устойчивой разомкнутой, если в области частот, где ЛАХ разомкнутой системы положительна, ЛФХ разомкнутой системы или не пересекает значения -p, или пересекает его сверху вниз и снизу вверх одинаковое количество раз. При монотонной ЛФХ разомкнутой системы устойчивость можно определить, сравнивая две характерные частоты: частоту среза wср, на которой ЛАХ пересекает ось частот, и критическую частоту wкр, на которой ЛФХ пересекает значение -p. Для устойчивой системы wкр>wср. Запас устойчивости по усилению DLопределяется на критической частоте как расстояние от ЛАХ до оси частот, а запас устойчивости по фазе – на частоте среза как расстояние от -p до ЛФХ (рис.5).
Логарифмические частотные характеристики позволяют легко и наглядно исследовать влияние параметров системы на ее устойчивость. Рассмотрим это на примере системы с передаточной функцией (3).
На рис. 6 изображены ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы для следующих значений постоянных времени:Т1= 10-1с,Т2= 10-2с,Т3= =10-3с и различных значений коэффициента передачиК= 10; 100; 103. ПриК= 10 замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе: 45 град, по усилению: 20 дБ. ПриК= 100 система находится на грани устойчивости и приК= 1000 неустойчива.
На рис.7 изображены логарифмические характеристики разомкнутой системы приК= 100,Т2= 10-2с,Т3= 10-3с и различных значенийТ1: 1 с; 0,1 с и 0,01 с. Видно, что увеличение постоянной времениТ1делает систему устойчивой и чем большеТ1,тем больше запасы устойчивости. УменьшениеТ1приведет к неустойчивости системы. Наиболее неблагоприятной будет ситуация, когда все постоянные времени максимально близки друг к другу, т.е. приТ1= (Т2+Т3) ¤ 2. При дальнейшем уменьше- нииТ1ЛФХ приподнимается в области частот, близких к частоте среза, и склонность системы к неустойчивости будет уменьшаться. ПриТ1= 0 ЛФХ не будет пересекать значения -p, и система будет устойчивой при любом коэффициенте передачи.
Схема моделирования показана на рис. 8.
Рис.8
Исследование устойчивости для удобства сравнения проводится на трех моделях, отличающихся структурой или параметрами.
2.Оптимальные линейные САР
Задача оптимального синтеза линейной системы авторегулирования при случайных воздействиях заключается в определении такой структуры и параметров системы, при которых ошибки минимальны. Это так называемая задача оптимальной линейной фильтрации. Она была решена Колмогоровым, Винером, Калманом. В постановке Винера и Колмогорова входные процессы задаются их энергетическими спектрами. Для САР входными процессами являются задающееxз(t) и возмущающееxв(t) воздействия с энергетическими спектрамиSxз(w) иSxв(w). Оптимальная частотная характеристика без учета физической реализуемости системы имеет вид:
Копт(jw) =Sxз(w)/[Sxз(w) +Sxв(w)].
Объясняется такая форма частотной характеристики просто. В области частот, гдеSxв(w) = 0 АЧХ замкнутой системы равна 1, что и требуется для безошибочного слежения. В области частот, занятых спектром возмущающего воздействия, коэффициент передачи должен быть тем меньше, чем больше интенсивность помехи.
Неудобство данного подхода для синтеза САР заключается в том, что определяется только частотная характеристика замкнутой системы, а структура системы неочевидна. В этом отношении удобнее подход Калмана, определяющий структуру оптимальной системы. В отличие от предыдущего подхода, описывающего задающее воздействие энергетическим спектром, в подходе Калмана задающее воздействие образуется пропусканием белого шума через формирующий фильтр, который строится как устройство с обратной связью. Формирующий фильтр описывается векторным дифференциальным уравнением, которое называется уравнением состояния:
dXз(t)/dt=AXз(t) + Bn(t),
гдеn(t) – белый шум,
Xз(t) – вектор-столбец переменных состояния, которыми обычно являются сам процессxз(t) и его производные,
А– матрица системы,
В– матрица управления.
Для формирования задающего воздействия к уравнению состояния добавляется уравнение наблюдения:
xз(t) =CXз(t),
гдеС– матрица наблюдения, устанавливающая связь процессаxз(t) с вектором переменных состоянияXз(t).
По этим уравнениям построена модель, представленная на рис. 9. Сформированное таким образом задающее воздействие поступает на вход САР вместе с возмущающим воздействием, которое считается белым шумом. Доказано, что оптимальный фильтр Калмана повторяет структуру формирующего фильтра с точностью до матричного коэффициента передачиК(рис. 10).Элементы матрицыКи определяют оптимальность системы.
Проиллюстрируем сказанное на примере системы первого порядка. Пусть в качестве формирующего фильтра используется интегрирующая цепь с постоянной времениТф. Ее передаточная функция:Кф(р) = 1/(1 +рТф). Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение в операторной форме:
(рТф+ 1)xp(t) =n(t).
В обычной форме оно записывается так:
.
Отсюда
.
Модель, построенная по этому уравнению, изображена на рис. 31
Оптимальная система представлена на рис. 12.
Оптимальное значение коэффициента передачи:
, (13)
где r - отношение спектральных плотностей случайных процессовn(t) иxв(t).
Дисперсия ошибки слежения в оптимальной системе:
.(14)
Рассмотрим ошибки в системе, отличающейся от оптимальной. Отличие системы от оптимальной может заключаться как в отличии коэффициентаКот оптимального при оптимальной структуре системы, так и в неоптимальности самой структуры.
Отличие коэффициента передачиКот оптимального приведет к увеличению ошибки. Ошибка складывается из динамической ошибки и ошибки по возмущению. Дисперсия динамической ошибки
.
Спектральная плотность задающего воздействия
.
Дисперсия задающего воздействия
.
Выразим спектральную плотностьSn0процессаn(t) через дисперсию задающего воздействия:Sn0= 2Tфs2xз.
Частотная характеристика разомкнутой системы для схемы, изображенной на рис. 32, имеет вид:
.
И соответственно,
.
Тогда
. (15)
Для пояснения причины уменьшения динамической ошибки с ростом коэффициента передачиКобратимся к рис. 13, на котором представлены энергетический спектр процессаxз(t) (пунктирная линия) и АЧХ замкнутой системы при различных значенияхКТф(сплошные линии). Видим, что чем большеКТф, тем меньше отличие коэффициента передачи замкнутой системы от 1 в области частот, занятых спектром задающего воздействия.
Дисперсия ошибки по возмущению вычисляется по формуле:
.
Так как спектральная плотность возмущающего воздействия в r раз меньше спектральной плотностиSn0, то
и
. (16)
Дисперсия ошибки по возмущению увеличивается с ростомКТф, так как увеличивается площадь под АЧХ замкнутой системы. Зависимость дисперсии суммарной ошибки s2= s2дин+ s2возотКТфпоказана на рис. 14 для различных значений r. Минимум достигается при оптимальном значении коэффициента передачи. Следует отметить, что оптимум не очень критичен и при двукратном отличии коэффициента передачи от оптимального дисперсия ошибки увеличивается на 15 – 20 %.
Рис.
Рассмотрим теперь, к какому увеличению дисперсии приведет отличие структуры системы от оптимальной. Допустим, что система первого порядка (рис. 32) осуществляет слежение за процессомxз(t), образованным из белого шума формирующим фильтром второго порядка с пере-даточной функциейКф(р) = =1/(1 +рТф1)2. ПодберемТф1так, чтобы площади под |Кф(jw)½2для однозвенного и двухзвенного фильтров были одинаковыми. Тогда будет соблюдаться равенство дисперсий выходных процессов обоих фильтров при одинаковой спектральной плотности входного белого шума. Это условие выполняется приТф1=Тф/2. На рис. 15 представлены АЧХ фильтров: однозвенного (сплошная линия) и двухзвенного (пунктирная линия). Из-за отличия спектров задающего воздействия изменится динамическая ошибка. Дисперсия динамической ошибки станет равной:
.
Дисперсия ошибки по возмущению останется прежней, так как частотная характеристика замкнутой системы не изменилась. На рис. 36 показано, во сколько раз увеличивается минимальная дисперсия суммарной ошибки в системе с неоптимальной структурой по сравнению с дисперсией ошибки в оптимальной системе в зависимости от r.
Дисперсия ошибки в оптимальной системе рассчитана по формуле:
.
Исследуемая модель, содержащая формирующий фильтр и оптимальную систему, приведена на рис. 17.
Рис. 17
В верхней части модели расположен формирующий фильтр: одно- и двухзвенный, а в нижней части – оптимальная система для задающего воздействия, сформированного однозвенным фильтром.
Заключение
Формирование систем автоматического регулирования, как правило, выполняют на основе аналитических методов анализа или синтеза. На этом этапе проектирования систем регулирования на основе принятые допущений составляют математическую модель системы и выбирают предварительную ее структуру. В зависимости от типа модели (линейная или нелинейная) выбирают метод расчета для определения параметров, обеспечивающих заданные показатели устойчивости, точности и качества. После этого уточняют математическую модель и с использованием средств математического моделирования определяют динамические процессы в системе. При действии различных входных сигналов снимают частотные характеристики и сравнивают с расчетными. Затем окончательно устанавливают запасы устойчивости системы по фазе и модулю и находят основные показатели качества.
Далее, задавая на модель типовые управляющие воздействия; снимают характеристики точности. На основании математического моделирования составляют технические требования на аппаратуру системы. Из изготовленной аппаратуры собирают регулятор и передают его на полунатурное моделирование, при котором объект регулирования набирают в виде математической модели.
Развитие теории автоматического регулирования на основе уравнений состояния и z-преобразований, принципа максимума и метода динамического программирования совершенствует методику проектирования систем регулирования и позволяет создавать высокоэффективные автоматические системы для самых различных отраслей народного хозяйства. Полученные таким образом системы автоматического регулирования обеспечивают высокое качество выпускаемой продукции, снижают ее себестоимость и увеличивают производительность труда.
Список литературы
1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. М.: Радиотехника, 2003. 288 с.
2. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1982. 296 с.
3. Радиоавтоматика: Учебное пособие / Под ред. В.А.Бесекерского. М.: Высшая школа, 1985.271 с.
4. Системы радиоавтоматики и их модели: Учеб. пособие / Ю.Н.Гришаев; Рязан. радиотехн. институт. Рязань, 1977. 46 с.
5. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972.448 с.
6. Синтез частотных характеристик линейных систем автоматического регулирования: Метод. указания / Рязан. гос. Радиотехн.акад.; Сост. Ю.Н.Гришаев. Рязань, 2000. 12 с.
автоматический регулирование линейный система
superbotanik.net
|
|
..:::Счетчики:::.. |
|
|
|
|
|
|
|
|