Реферат на тему
Стереометрия и архитектура
Выполнила:
ученицы 10Б класса
Маликова Диана
Руководитель:
Фазылова В.Г.
Стереометрия в архитектуре города Уфы.
Президент-отель. Уфа.
Архитектура – это искусство создавать здания и сооружения по закону красоты.
Архитектура - явление достаточно сложное и неоднозначное. А особенно - архитектура Уфы, города, расположенного между Европой и Азией, где причудливо переплетаются стили этих стран света: сдержанный, строгий европейский, и пышный, причудливо-помпезный - азиатский.
Начало XX века характеризуется дальнейшим быстрым ростом территории города, уплотнением застройки старых территорий, увеличением этажности зданий, особенно в центре. Новые кварталы возникают в основном в северной части города.
Основным строительным материалом оставалось дерево, однако все более широко применялся кирпич. К 1915 году в городе было 1562 каменных строения (более 20%) застройки. К 1916 году в городе было более 400 двухэтажных и 40 трехэтажных домов.
Современная застройка Уфы - яркое тому доказательство. Как выбрать и воплотить в жизнь такой проект, который не только грамотно и органично впишется в старинную и современную застройку города, но и позволит выразить себя, не затеряться в величии и многообразии других архитектурных шедевров этого города с богатейшей историей?
Разумеется, эта задача - не из простых, но - вполне осуществимая, учитывая разнообразие современных материалов, и технологий строительства. Многие из них являются восстановленными старинными методиками, адаптированными к новым условиям. Следовательно, можно не просто отреставрировать или копировать архитектурные шедевры прошлого, но и создавать свои произведения, беря за основу идеи великих мастеров прошлого, осовременивая и развивая их мысль, обогащая свое творчество.
Порой сложно разобраться, современное перед нами здание, или - старинное. И в этом также проявляется уникальность архитектуры Уфы, в четком балансе и ярком стиле застройки города. Человек всегда стремился к идеализации природных форм, создавая свои творения на основе простых стереометрических фигур.
Гостиница «Айгуль». Уфа
Современная архитектура по сущности создания объектов сложнее, чем, например, классическая. Архитектор, проектируя новое здание, не использует выверенные веками аккорды ордеров – почти для каждого объекта требуются всё новые и новые решения, уникальные выразительные формы. При построении различных зданий и сооружений очень требуются познания в области геометрии, а особенно в таком её разделе, как стереометрия.
Стадион "Динамо".
Очень часто мы встречаем конус в элементах архитектуры. Ярким примером этого наблюдения является конус, который лежит в основании крыш домов. Я хочу проиллюстрировать свои наблюдения.
Фонд страхования. Старая Уфа.
Некоторые архитектурные сооружения имеют довольно простую форму. Например, на фотографии, которая помещена снизу, изображен северный автовокзал, которая является важнейшим объектом г.Уфы. Отвлекаясь от некоторых деталей, можно сказать, что в его конструкции основное место имеет форма прямой четырехугольной призмы, которую еще называют прямоугольным параллелепипедом.
Северный автовокзал.
Но чаще всего в архитектурном сооружении сочетаются различные геометрические фигуры. Например, в сооружении банка «Уралсиб» можно увидеть прямой параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, приближающуюся к цилиндру, завершается же она устремлением в высь. Конечно, можно говорить о соответствии архитектурных форм указанным геометрическим только приближенно, отвлекаясь от мелких деталей.
Рассмотрим яркий архитектурный стиль – средневековая готика. Готические сооружения были устремлены ввысь, поражали величественностью, главным образом за счет высоты. И в их формах также широко использовались геометрические фигуры, которые соответствовали общей идее – стремлению вверх. Характерными деталями для готических сооружений являются стрельчатые арки порталов, высокие стрельчатые окна, закрытые цветными витражами.
Банк «Уралсиб». Банк «Уралсиб» по ул.Ленина.
Наконец, обратимся к стереометрическим формам в современной архитектуре. Во-первых, в архитектурном стиле «Хай-Тек», где вся конструкция открыта для обозрения. Здесь мы можем видеть геометрию линий, которые идут параллельно или пересекаются, образуя ажурное пространство сооружения. Примером, своеобразной прародительницей этого стиля может служить телебашня.
Телевизионная башня.
В нынешней Уфе всего около десятка церквей и примерно столько же мечетей, но и те, и другие в основном маленькие и незаметные. Более дальний от центра собор Рождества Богородицы (1902), совершенно нестандартная по своей форме колокольня запоминается надолго. Собор очень красив. Он представляет собой сочетания разных геометрических фигур, основная часть из которых – призмы.
Собор Рождества Богородицы.
Здание Башкирского государственного академического театра драмы имени Мажит Гафури, старейшего храма культуры и национального искусства Башкирии, стало одной из красивейших архитектурных достопримечательностей нашей столицы. Если внимательно вглядеться, то даже не вооруженным глазом видно, что здание напоминает геометрическую форму-призму.
Башдрамтеатр имени Мажита Гафури.
На этой фотографии изображено здание хоккейного клуба «Салават Юлаев». Уфа-Арена является самым большим спортивным сооружением с искусственным льдом в Республике Башкортостан. Это здание открыта в 2007 году. Базовая часть здания представляет собой цилиндрическую форму. Всем хорошо известное здание, уфимский государственный цирк тоже имеет цилиндрическую форму.
Уфа-Арена. Уфимский государственный цирк.
В древности считалось, что в пирамидах заключена космическая энергия. Тем счастливцам, что умели овладеть ею, открывалась возможность общения с богами, проникновения в высшие, духовные сферы. Современные исследователи подтверждают: внутри и вокруг пирамиды действительно создаётся мощный энергетический поток. Поэтому наверно в строительстве религиозных конфессиях г.Уфы применяли пирамиду.
Мечеть Ляля-Тюльпан.
Стереометрия на улицах микрорайона Затон.
Затон — отдалённый жилой спальный район в западной части города Уфы. Расположен вдоль старого русла реки Белой. Входит в состав Ленинского района.
Территория Затона стала заселяться ещё 4 тыс. лет назад. К этому времени относится Затонское поселение (эпоха бронзы, срубная культура). Оно располагалось на юго-западной окраине Затона, на территории усадеб по улице Союзная, на краю первой надпойменной террасы реки белой у заболоченной старицы. Вся территория поселения распахана и занята огородами. Находки: значительное количество керамики.
При изучении стереометрии важное значение имеет изображение пространственных фигур на чертеже. Затон же является микрорайоном стереометрических фигур. Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой.
Затонская развязка на трасу М7.
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами, называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями.
Цистерны. ОАО Филиал «Башкирнефнепродукт».
Наглядным примером являются цистерны наполненные бензином ОАО Филиала Башкирнефтепродукта.
Бензакалонка АЗС по улице Ахметова.
Одним из простейших многогранников является куб. Куб – это параллелепипед, у которого все стороны равны. Куб имеет только один центр симметрии. Куб имеет 9 осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии куба является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Емкости бензакалонок АЗС по улице Ахметова являются наглядным примером.
Русская Православная церковь Уфимская Епархия Храм Великомученика Георгия Победоносца.
Первая православная церковь возникла здесь в 1913 г., она была деревянной и напоминала моленный дом. Построена она была на нечётной стороне Киржацкой улицы (ныне ул. Ахметова) недалеко от судоремонтного завода. В 1923 г. церковь была закрыта и вскоре снесена.
Первая в Уфе церковь во имя великомученика Георгия Победоносца существовала в здании южного корпуса Казарм внутренней стражи уфимского гарнизона на углу Александровской площади и ул. Казарменной (ныне ул. Красина), помещение это сохранилось.
Купола играют особую роль в архитектуре. Геометрия может даже воздействовать на чисто механические физические явления , усиливая их эффект. Если сказать что-нибудь шёпотом под сводами мечети или церкви – слова будут чётко слышны в другом конце здания: звук фокусируется в центре сферы (само здание имеет форму сферы), а затем отражается от стен.
1)Купол – это тело, которое в математике называют телом вращения. Оно имеет ось вращения.
2) Купол - это геометрическое тело, которое имеет ось симметрии, бесконечно много плоскостей симметрии.
3)При построении эскизов куполов
используется понятие «золотого сечения».
Дома по улице Береговая.
Многогранник, составленный из n -угольника и n треугольников, называется пирамидой. Она называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой. Ярым представлением пирамид являются крыши домов по улице Береговая, которая актуальна при строительстве зданий.
Но наш микрорайон растет. И наше поколение увидит новые архитектурные творения, созданные на основе простых стереометрических фигур.
Заключение.
В моей работе я исследовала, какие стереометрические фигуры и тела окружают нас, и убедилась, сколько самых разных стереометрических линий и поверхностей использует человек в своей деятельности – при строительстве различных зданий, мостов, машин.
А природные творения не просто красивы, их форма целесообразна, то есть наиболее удобна. А человеку остается только учиться у природы – самого гениального изобретателя.
Следует отметить до начала работы над темой, не замечала или мало задумывалась о геометрии окружающего нас мира, теперь же не только смотрю или восхищаюсь творениями человека или природы. Из всего сказанного делаю вывод, что геометрия в нашей жизни на каждом шагу и играет очень большую роль. Она нужна не только для того, чтобы называть части строений или формы окружающего нас мира. С помощью геометрии мы можем решить многие задачи.
infourok.ru
Реферат на тему:
«Введение в стереометрию»
В стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
Первая-аксиома выхода в пространство- придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:
·Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)
Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой-аксиомой плоскости:·Через любые три точки проходит плоскость.
С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
Аксиома пересечения плоскостейзвучит так:
·
Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.·(рис.2)
Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.
Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.
Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.
В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.
Путем несложных доказательств мы находим, что:
·На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
II. Прямые, плоскости, параллельность.
Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:
·Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.
Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности:
·Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.
Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.
На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:·Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.
·Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.
Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:
·Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.
А вот признак параллельности плоскостей:
·Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.
Часто используется и такая простая теорема:
·Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.
Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.
superbotanik.net
«Средняя общеобразовательная школа №83»
Реферат по геометрии
«Стереометрия»
Выполнила Давлетшина Р.А.
ученица 10 класса
Северск
2009г
Оглавление стр. Введение 3
Основные аксиомы стереометрии 4
Из истории конуса 6
Конус 7
Площадь поверхности конуса 8Усеченный конус 9
Сечение конуса 10
Дополнительная информация о конусе 12
Цилиндр 13
Сечение цилиндра 14
Вписанный и описанный цилиндр 15
Цилиндры фараона 16
Пирамида в геометрии 18
Усеченная пирамида 20
Теоремы 21
Эзотерика пирамид 22
Сфера и шар 23
Правильные многоугольники 24
Теорема 26
Заключение 27
Список литературы 28
Введение
В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно.
Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
Первая - аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:
ТРис. 1 аким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:
С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
Аксиома пересечения плоскостей звучит так:
Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.
Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планиметрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.
В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.
.C
.
.
A
B
Рис. 3
α
β
Путем несложных доказательств мы находим, что:
Из истории конуса
Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда(287-212 гг. до. н.э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470-380гг. до. н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.
Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
Конус
Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью (рис. 141), а сами отрезки — образующими конической поверхности.
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом (рис. 141). Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг — основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности — образующими конуса (на рисунке 142 изображены образующие РА, РВ и др.).
Все образующие конуса равны друг другу. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса
перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 146,а,б). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (см. рис.146), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора — длине окружности основания конуса.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь Sбок боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.Площадь кругового сектора — развертки боковой поверхности конуса (рис.146,б) —равна (Пl2а)/360, где а — градусная мера дуги ABA', поэтому
Sбок = (Пl2а)/360. (*)
Выразим а через l и r. Так как длина дуги ABA' равна 2Пr (длине окружности основания конуса), то 2Пr = Пlа/180, откуда a=360r/l. Подставив это выражение в формулу (*), получим:
Sбок = Пrl. (**)
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади Sкон полной поверхности конуса получается формула:Sкон = Пr (l + r). (***)
Усеченный конус
Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называется основанием усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усеченного конуса.
Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую:
Sбок = П (r + r1) l.
Сечение конуса
3.Сечение проходящее через верщину конуса –
равнобедренный треугольник (рис. 3)
4.Параболическое и гиперболическое сечения. (рис. 4 )
В конус всегда можно вписать шар. Его центр на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанно в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.
Rш = Rк * tg a/2 = H*Rк/Rк +LОколо конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, описаной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса.
Rш = Rк / sinb ; R²ш= (H-Rш) ² + Rк²Rш =L/2H ; (2Rш - Hк)Hк = Rк²
reftop.ru
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №83»
Реферат по геометрии
«Стереометрия»
Выполнила Давлетшина Р.А.
ученица 10 класса
Северск
2009г
Оглавление стр.
Введение 3
Основные аксиомы стереометрии 4
Из истории конуса 6
Конус 7
Площадь поверхности конуса 8
Усеченный конус 9
Сечение конуса 10
Дополнительная информация о конусе 12
Цилиндр 13
Сечение цилиндра 14
Вписанный и описанный цилиндр 15
Цилиндры фараона 16
Пирамида в геометрии 18
Усеченная пирамида 20
Теоремы 21
Эзотерика пирамид 22
Сфера и шар 23
Правильные многоугольники 24
Теорема 26
Заключение 27
Список литературы 28
Введение
В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).
Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно.
Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
Первая - аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:
Т
Рис. 1
аким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
Аксиома пересечения плоскостей звучит так:
Е
Рис. 2
сли две плоскости имеют общую точку, то их пересечение это прямая.(рис. 2)Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.
Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планиметрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.
В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.
l
.C
.
.
A
B
Рис. 3
α
β
Путем несложных доказательств мы находим, что:
Из истории конуса
Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда(287-212 гг. до. н.э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470-380гг. до. н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.
Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.
Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
Конус
Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью (рис. 141), а сами отрезки — образующими конической поверхности.
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом (рис. 141). Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг — основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности — образующими конуса (на рисунке 142 изображены образующие РА, РВ и др.).
Все образующие конуса равны друг другу. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса
перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 146,а,б). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (см. рис.146), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора — длине окружности основания конуса.За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь Sбок боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.
Площадь кругового сектора — развертки боковой поверхности конуса (рис.146,б) —равна (Пl2а)/360, где а — градусная мера дуги ABA', поэтому
Sбок = (Пl2а)/360. (*)
Выразим а через l и r. Так как длина дуги ABA' равна 2Пr (длине окружности основания конуса), то 2Пr = Пlа/180, откуда a=360r/l. Подставив это выражение в формулу (*), получим:
Sбок = Пrl. (**)
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади Sкон полной поверхности конуса получается формула:
Sкон = Пr (l + r). (***)
uchebana5.ru
Реферат на тему:
«Введение в стереометрию»
В стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:
· Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)
Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости :· Через любые три точки проходит плоскость.
С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
Аксиома пересечения плоскостей звучит так:
·
Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.· (рис.2)
Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.
Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.
Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.
В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.
Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α (рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А ,В и С можно провести плоскостьβ . Она отлична от плоскости α , так как содержит С и имеет с α две общие точки. Значит,β пересекается сα по прямой, которой, как и l , принадлежат А , В . По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l . Но эта линия лежит в плоскости α , что и требовалось доказать.Путем несложных доказательств мы находим, что:
· На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
II . Прямые, плоскости, параллельность.
Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:
· Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.
Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности:
· Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.
Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.
На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов. В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:· Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.
· Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.
Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:
· Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.
А вот признак параллельности плоскостей:
· Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.
Часто используется и такая простая теорема:
· Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.
Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.
www.yurii.ru
Движения. Преобразования фигур. При создании реферата были использованы следующие книги: 1. "Геометрия для 9-10 классов". А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. 2. "Геометрия". Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. 3. "Математика". В.А.Гусев, А.Г.Мордкович. Все рисунки находятся на отдельном листе, приложенном к реферату. Решения задач также на отдельном листе. Доказательства основных теорем, связанных с движением, я также привожу на отдельных листках. В реферате - только определения и классификация. Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом "отображение". 1. Отображения, образы, композиции отображений. Отображением множества M в множество N называется соответствие каждому элементу из M единственного элемента из N. Мы будем рассматривать только отображение фигур в пространстве. Никакие другие отображения не рассматриваются, и потому слово "отображение" означает соответствие точкам точек. О точке X', соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она является образом точки X, и пишут X' = f(X). Множество точек X', соответствующих точкам фигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается M' = f(M). Если образом M является вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M на фигуру N. Отображение называется взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двух различных точек различны. Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X' множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M. Поэтому каждой точке X' М N можно поставить в соответствие ту единственную точку X М M, образом которой при отображении f является точка X'. Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым. Неподвижной точкой отображения j называется такая точка A, что j(A) = A. Из данных определений непосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное ему отображение f также обратимо и (f ) = f. Поэтому отображения f и f называются также взаимно обратными. Пусть заданы два отображения: отображение f множества M в множество N и отображение g множества N в множество P. Если при отображении f точка X М N перешла в точку X' = f(X) М N, а затем X' при отображении g перешла в точку X'' М P, то тем самым в результате X перешла в X'' (рис.1). В результате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение h называется композицией отображения f с последующим отображением g. Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f, вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественное отображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку. 2. Определение движения. Движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A' и B', что |A'B'| = |AB|. (рис.2). Тождественное отображение является одним из частных случаев движения. Фигура F' называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением. 3. Общие свойства движения. Свойство 1 (сохранение прямолинейности). При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения). Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|. При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек A', B', C': |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|. Таким образом, точки A', B', C' лежат на одной прямой и именно точка B' лежит между A' и C'. Из данного свойства следуют также еще несколько свойств: Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок. Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч. Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость. Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство. Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов. Сначала я рассмотрю все основные виды движений, а затем сведу их в единую систему. 4. Параллельный перенос. Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния (рис.3), т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X' и Y', что XX' = YY'. Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X'Y' = XY. Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос. Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос. Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A' переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA', и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX' = AA' для всех точек Х. 5. Центральная симметрия. Определение 1. Точки A и A' называются симметричными относительно точки О, если точки A, A', O лежат на одной прямой и OX = OX'. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О). Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно. Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура - центрально-симметричной. Определение 2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О. Основное свойство : Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X' и Y', что X'Y' = -XY. Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X' и Y'. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии (рис.4), OX' = -OX, OY' = -OY. Вместе с тем XY = OY - OX, X'Y' = OY' - OX'. Поэтому имеем: X'Y' = -OY + OX = -XY. Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия. Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А', то центр симметрии - это середина отрезка AA'. 6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости). Определение 1. Точки A и A' называются симметричными относительно плоскости a, если отрезок AA' перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости a считается симметричной самой себе относительно этой плоскости (рис.5). Две фигуры F и F' называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости a, а плоскость a - плоскостью симметрии. Определение 2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией). Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением. См. Доказательство 1. Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением. Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему. 7. Поворот вокруг прямой. Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (рис.6). Перейдем теперь к повороту в пространстве. Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол j называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол j в одном и том же направлении (рис. 7). Прямая a называется осью поворота, а угол j - углом поворота. Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота. Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением. См. Доказательство 2. Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой. 7.1. Фигуры вращения. Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения : шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус. 7.2. Осевая симметрия. Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180°. При повороте вокруг прямой a на 180° каждая точка A переходит в такую точку A', что прямая a перпендикулярна отрезку AA' и пересекает его в середине. Про такие точки A и A' говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180° вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве. 8.1. Неподвижные точки движений пространства. Важной характеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек. Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев: 1.У движения неподвижных точек нет (нетождественный параллельный перенос). 2.Движение имеет лишь одну неподвижную точку (центральная симметрия). 3.Множество неподвижных точек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой). 4.Множество неподвижных точек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия). 5.Множество неподвижных точек движения пространства является всем пространством (тождественное движение). Данная классификация очень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему. 8.2. Основные теоремы о задании движений пространства. Теорема 1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A'B'C'. Тогда существуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A в A', B в B', C в C'. Каждое из этих движений получается из другого с помощью композиции его с отражением в плоскости A'B'C'. Теорема 2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A'B'C'D'. Тогда существует единственное движение пространства j, такое, что j (A) = A', j (B) = B', j (C) = C', j (D) = D'. 9. Два рода движений. Следует также знать, что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того, непрерывны они или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятие базиса и его ориентации. 9.1. Базисы и их ориентация. Базисом в пространстве называется любая тройка векторов, непараллельных одновременно никакой плоскости. Тройка базисных векторов называется правой (левой), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки. Если имеются две правые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированы одинаково. Если одна тройка является правой, а вторая - левой, то они ориентированы противоположно. 9.2. Два рода движения. Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями. Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движениями. Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии. Композицией любого числа движений первого рода является движение первого рода. Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода. 10. Некоторые распространенные композиции. Рассмотрим теперь некоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но не уделяя им особого внимания. 10.1. Композиции отражений в плоскости. Теорема 1. Движение пространства первого рода представимо в виде композиции двух или четырех отражений в плоскости. Движение пространства второго вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в виде композиции трех отражений в плоскости. Отсюда мы можем объяснить уже известные нам движения так: ?
www.ronl.ru
Реферат по стереометрии
Ученика 11 “В” класса
Алексеенко Николая
Тема :
Движение.
Спасибо за внимание !
29.10.1995 г.
Школа # 1278, кл. 11 “В”. Движения. Преобразования фигур.При создании реферата были использованы следующие книги:1. “Геометрия для 9-10 классов”. А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик.
2. “Геометрия”. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.
3. “Математика”. В.А.Гусев, А.Г.Мордкович.Все рисунки находятся на отдельном листе, приложенном к реферату. Решения задач также на отдельном листе. Доказательства основных теорем, связанных с движением, я также привожу на отдельных листках. В реферате - только определения и классификация.Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом “отображение”.1. Отображения, образы, композиции отображений. Отображением множества M в множество N называется соответствие каждому элементу из M единственного элемента из N.
Мы будем рассматривать только отображение фигур в пространстве. Никакие другие отображения не рассматриваются, и потому слово “отображение” означает соответствие точкам точек.
О точке X’, соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она является образом точки X, и пишут X’ = f(X). Множество точек X’, соответствующих точкам фигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается M’ = f(M).
Если образом M является вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M на фигуру N.
Отображение называется взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двух различных точек различны.
Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X’ множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M. Поэтому каждой точке X’ Ì N можно поставить в соответствие ту единственную точку X Ì M, образом которой при отображении f является точка X’. Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.
Неподвижной точкой отображения j называется такая точка A, что
j(A) = A.
Из данных определений непосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное ему отображение f также обратимо и (f ) = f. Поэтому отображения f и f называются также взаимно обратными.
Пусть заданы два отображения: отображение f множества M в множество N и отображение g множества N в множество P. Если при отображении f точка
X Ì N перешла в точку X’ = f(X) Ì N, а затем X’ при отображении g перешла в точку X’’ Ì P, то тем самым в результате X перешла в X’’ (рис.1).
В результате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение h называется композицией отображения f с последующим отображением g.
Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f , вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественное отображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку.2. Определение движения. Движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A’ и B’, что |A’B’| = |AB|. (рис.2).
Тождественное отображение является одним из частных случаев движения.
Фигура F’ называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением.3. Общие свойства движения. Свойство 1 (сохранение прямолинейности).
При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения).
Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство
|AB| + |BC| = |AC|.
При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек A’, B’, C’:
|A’B’| + |B’C’| = |A’C’|.
Таким образом, точки A’, B’, C’ лежат на одной прямой и именно точка B’ лежит между A’ и C’.
Из данного свойства следуют также еще несколько свойств:
Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.
Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.
Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.
Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство.
Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов. Сначала я рассмотрю все основные виды движений, а затем сведу их в единую систему.4. Параллельный перенос. Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния (рис.3), т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X’ и Y’, что
XX’ = YY’.
Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е.
X’Y’ = XY.
Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.
Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос.
Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A’ переходит
данная точка A, то этот перенос задан вектором AA’, и это означает, что все точки
смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX’ = AA’ для всех точек Х.5. Центральная симметрия. Определение 1. Точки A и A’ называются симметричными относительно точки О, если точки A, A’, O лежат на одной прямой и OX = OX’. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О).
Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.
Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура - центрально-симметричной.
Определение 2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.
Основное свойство : Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X’ и Y’, что
X’Y’ = -XY.
Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X’ и Y’. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии (рис.4),
OX’ = -OX, OY’ = -OY.
Вместе с тем
XY = OY - OX, X’Y’ = OY’ - OX’.
Поэтому имеем:
X’Y’ = -OY + OX = -XY.
Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.
Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А’, то центр симметрии - это середина отрезка AA’.6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости). Определение 1. Точки A и A’ называются симметричными относительно плоскости a, если отрезок AA’ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости a считается симметричной самой себе относительно этой плоскости (рис.5).
Две фигуры F и F’ называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре.
Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости a, а плоскость a - плоскостью симметрии.
Определение 2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией).
Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.
См. Доказательство 1.
Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением.
Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.7. Поворот вокруг прямой. Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (рис.6). Перейдем теперь к повороту в пространстве.
Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол j называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол j в одном и том же направлении (рис. 7). Прямая a называется осью поворота, а угол j - углом поворота.
Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота.
Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением.
См. Доказательство 2.
Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой.
7.1. Фигуры вращения. Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения : шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.7.2. Осевая симметрия. Частнымслучаем поворота вокруг прямой является поворот на 180°. При повороте вокруг прямой a на 180° каждая точка A переходит в такую точку A’, что прямая a перпендикулярна отрезку AA’ и пересекает его в середине. Про такие точки A и A’ говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180° вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве.8.1. Неподвижные точки движений пространства. Важной характеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек. Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев:
1. У движения неподвижных точек нет (нетождественный параллельный перенос).
2. Движение имеет лишь одну неподвижную точку (центральная симметрия).
3. Множество неподвижных точек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой).
4. Множество неподвижных точек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия).
5. Множество неподвижных точек движения пространства является всем пространством (тождественное движение).
Данная классификация очень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему.8.2. Основные теоремы о задании движений пространства. Теорема 1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A’B’C’. Тогда существуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A в A’, B в B’, C в C’. Каждое из этих движений получается из другого с помощью композиции его с отражением в плоскости A’B’C’.
Теорема 2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A’B’C’D’. Тогда существует единственное движение пространства j, такое, что j (A) = A’, j (B) = B’, j (C) = C’, j (D) = D’.
9. Два рода движений. Следует также знать, что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того, непрерывны они или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятие базиса и его ориентации.9.1. Базисы и их ориентация.
Базисом в пространстве называется любая тройка векторов, непараллельных одновременно никакой плоскости.
Тройка базисных векторов называется правой (левой), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
Если имеются две правые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированы одинаково. Если одна тройка является правой, а вторая - левой, то они ориентированы противоположно.9.2. Два рода движения. Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями.
Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движениями.
Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии.
Композицией любого числа движений первого рода является движение первого рода.
Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода.
10. Некоторые распространенные композиции. Рассмотрим теперь некоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но не уделяя им особого внимания.10.1. Композиции отражений в плоскости. Теорема 1. Движение пространства первого рода представимо в виде композиции двух или четырех отражений в плоскости.
Движение пространства второго вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в виде композиции трех отражений в плоскости.
Отсюда мы можем объяснить уже известные нам движения так:
· Композиция отражения в 2 параллельных плоскостях есть параллельный перенос.
· Композиция отражения в 2 пересекающихся плоскостях есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей.
· Центральная симметрия относительно данной точки является композицией 3 отражений относительно любых 3 взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в этой точке.
10.2. Винтовые движения. Определение. Винтовым движением называется композиция поворота и переноса на вектор, параллельный оси поворота. Представление о таком движении дает ввинчивающийся или вывинчивающийся винт.
Теорема 2. Любое движение пространства первого рода - винтовое движение (в частности поворот вокруг прямой или перенос).10.3. Зеркальный поворот. Определение. Зеркальным поворотом вокруг оси a на угол j называется композиция поворота вокруг оси a на угол j и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота.
Теорема 3. Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной или зеркальной симметрией.10.4. Скользящие отражения. Определение. Скользящим отражением называется композиция отражения в некоей плоскости и переноса на вектор, параллельный этой плоскости.
Теорема 4. Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, есть скользящее отражение. Теорема Шаля. Движение плоскости первого рода является либо поворотом, либо параллельным переносом.
Движение плоскости второго рода является скользящим отражением.Примечание: К реферату прилагаются 7 рисунков, 2 письменных доказательства теорем и решения задач.СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !Реферат составлен и напечатан Николаем Алексеенко в редакторе Word for Windows 6.0.
bukvasha.ru
