.В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблица производных
В
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. .
Найдем производную, когда 
.
Зададим приращение аргументу 
, что даст 
. Так как
В
,
Р° 
, то
Отсюда 
В Рё
,
В
то есть 
.
Если 
, результат тот же.
2. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
В
.
Отсюда 
В Рё
, то есть 
.
В
3. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
В
.
Отсюда 
В Рё
, то есть 
.
В
4. 
.
По определению 
. Будем дифференцировать 
 как частное:
В
,
то есть 
.
В
5. 
.
По определению 
. Будем дифференцировать 
 как частное:
В
,
то есть 
.
В
6. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
В
.
Отсюда 
В Рё
,
В
то есть 
.
Здесь была использована формула для второго замечательного предела.
7. 
.
Для вычисления производной
воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим 
: 
.
Значит, 
.
8. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то 
. Отсюда
В
В Рё
, то есть 
.
В
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9. 
.
Для вычисления производной
воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : 
.
Значит, 
.
Прежде чем перейти к вычислению
производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о
дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для
каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть
если 
, то 
.
Теорема. Если для некоторой функции  существует обратная ей , которая в точке 
 имеет производную не равную
нулю, то в точке  функция  имеет производную 
 равную 
, то есть 
.
Доказательство. Рассмотрим отношение
приращения функции к приращению аргумента: 
.
Так как функция  имеет производную,
то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть 
,
откуда 
. Значит, .
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. 
.
В данном случае обратной функцией
будет 
. Для нее 
. Отсюда
В
,
то есть 
.
В
11. 
.
Так как
В
,
то 
. 
.
В
В данном случае обратной функцией
будет 
. Для нее
В
.
Отсюда 
,
то есть 
.
В
13. 
.
Так как
В
,
то 
.
В
2. Производная сложной функции
В
Пусть дана функция 
 и при этом 
. Тогда исходную функцию можно
представить в виде 
. Функции такого
типа называются сложными. Например, 
.
В выражении  аргумент 
 называется промежуточным
аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они
охватывают практически все виды существующих функций.
Теорема. Пусть функция  имеет производную в точке 
, а функция  имеет производную в
соответствующей точке . Тогда сложная
функция  в точке  также будет иметь производную
равную производной функции  по
промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть 
.
Для доказательства дадим приращение
аргументу , то есть от  перейдем к 
. Рто вызовет приращение
промежуточного аргумента , который
от  перейдет к 
. Но это, в свою очередь,
приведет к изменению , который от  перейдет к 
. Так как согласно условию
теоремы функции 
В Рё 
 имеют производные, то в
соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции
(теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если 
,
то и 
, что, в свою очередь, вызовет
стремление 
 к нулю.
Составим 
.
Отсюда,
В
В
и, следовательно, .
Если функция  имеет не один, а два
промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где 
, Р° 
, или 
, то, соответственно, 
 и так далее.
В
3. Дифференцирование параметрически заданной функции
В
Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение
связывало между собой две
переменных: аргумент и функцию. Задавая ,
получаем значение , то есть пару
чисел, являющихся координатами точки 
. РџСЂРё
изменении  меняется , точка начинает перемещаться
и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно
переменные  и  связывать
не между собой, а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции: 
В РіРґРµ 
. Для каждого значения 
 из данного промежутка будет
своя пара чисел  и , которой будет
соответствовать точка . Пробегая все
значения,  заставляет меняться  и ,
то есть точка  движется и
описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим
заданием функции, а переменная  – параметром.
Если функция 
 взаимно однозначная и имеет
обратную себе, то можно найти 
.
Подставляя  в ,
получим 
, то есть обычную функцию.
Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом
задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто
невозможно.
Так, в механике принят способ
изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям 
В Рё 
В РІ
зависимости от времени , то есть в виде
параметрически заданной функции 
 Такой
способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае
сюда добавляется еще и уравнение 
.
В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку  на окружности с радиусом 
. Выражая  и  через
гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:
В
В
Рто Рё есть уравнение окружности РІ
параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда
легко получить обычное уравнение окружности 
.
В
Р РёСЃ. 3.1
В
2. Рллипс.
Рзвестно, что уравнение эллипса – 
. Отсюда 
. Возьмем две точки 
В Рё 
В РЅР°
окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу  (рис.
3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что 
.
Подставим это выражение в : 
. Значит, уравнение эллипса в
параметрической форме имеет вид
В
В
Р РёСЃ. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальной
поверхности катится без скольжения окружность с радиусом 
. Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в
начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:
В
В
Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:
В
В
Р РёСЃ. 3.3
В
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса  без скольжения катится другая
окружность радиуса 
. Тогда точка
меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой
соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4),
параметрическое уравнение которой имеет вид:
В
В
Р РёСЃ. 3.4
В
Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция  от  задана параметрически:  где 
. Пусть на этом отрезке обе
функции имеют производные и при этом 
. Найдем 
.
Составим отношение 
. РўРѕРіРґР°
В
.
В
Следовательно, 
. Рто Рё есть правило
дифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
В
1.     Бугров РЇ.РЎ., Никольский РЎ.Рњ. ВЫСШАЯ МАТЕМАТРРљРђ Р’ 3-С… томах Рў. 1 Рлементы линейной алгебры Рё аналитической геометрии 8-Рµ РёР·Рґ. РР·Рґ-РІРѕ: ДРОФА, 2006. – 284СЃ.
2.     Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3.     Никольский РЎ.Рњ., Бугров РЇ.РЎ. ВЫСШАЯ МАТЕМАТРРљРђ Р’ 3-РҐ РўРћРњРђРҐ Рў. 2 Дифференциальное Рё интегральное исчисление 8-Рµ РёР·Рґ. РР·Рґ-РІРѕ: ДРОФА, 2007. – 509СЃ.
4.     Черненко Р’.Р”. Высшая математика РІ примерах Рё задачах. Р’ трех томах. РџРћР›РТЕХНРРљРђ, 2003.
www.referatmix.ru
Русская гимназия
КОНСПЕКТ
на тему:
Функция
Выполнил
ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей
Руководитель
учитель Математики
Юлина О.А.
Нижний Новгород
1997 РіРѕРґ
Функция и её свойства
Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х .
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f( х1 )<f( х2 )
Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f( х1 )>f( х2 )
Способы задания функции
ВЁ Чтобы задать функцию, нужно указать СЃРїРѕСЃРѕР±, СЃ помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является СЃРїРѕСЃРѕР± задания функции СЃ помощью формулы Сѓ =f(x), РіРґРµ f(x)- Гåêîòîðîå âыðà æåГГЁГҐ СЃ переменной С…. Р’ таком случае РіРѕРІРѕСЂСЏС‚, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
¨ На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Виды функций и их свойства
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .
Cвойства функции y=kx :
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx — нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k иb - действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx .
Свойства функции y=kx+b :
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая .
4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k /х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k / x:
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k / x - нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола .
5)Функция y=x2
Свойства функции y=x2 :
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x2 — четная функция
3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает
4. На промежутке (-¥;0] функция убывает
Графиком функции является парабола .
6)Функция y=x3
Свойства функции y=x3 :
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3 - нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция СЃ натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, РіРґРµ n — натуральное число. РџСЂРё n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены РІ Рї.2. РџСЂРё n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. РС… свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x-n , где n — натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2 :
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x-2 — четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция y= Ö х
Свойства функции y= Ö х :
1. Область определения — луч [0;+¥).
2. Функция y= Ö х — общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
10)Функция y= 3 Ö х
Свойства функции y= 3 Ö х :
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y= 3 Ö х нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
11)Функция y=n Ö х
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y= Ö х. При нечетном n функция y=n Ö х обладает теми же свойствами, что и функция y= 3 Ö х.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=xr, где r — положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr :
1. Область определения- луч [0;+¥).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+¥).
На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr, где 0<r<1
13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x-r, где r — положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=x-r :
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+¥)
14)Обратная функция
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнениеf(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, Рє примеру, функцию y=x+4. Подставим РІ аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Рто Рё будет являться сложной функцией.
www.ronl.ru
Контрольнаяработа
Дисциплина:Высшая математика
Тема: Таблицапроизводных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблицапроизводных
Как известно, большинство функцийможно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, какдифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различныекомбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. />.
Найдем производную, когда />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как
/>, а />,то
/>
Отсюда /> и />,
то есть />.Если />, результат тот же.
2. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и />, то есть />.
3. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и />, то есть />.
4. />.
По определению />. Будем дифференцировать /> как частное:
/>, то есть />.
5. />.
По определению />. Будем дифференцировать /> как частное:
/>, то есть />.
6. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и
/>,
то есть />. Здесь была использованаформула для второго замечательного предела.
7. />.
Для вычисления производнойвоспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />.
8. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то />. Отсюда
/> и />, то есть />.
Здесь была использована формула дляодного из следствий из второго замечательного предела.
9. />.
Для вычисления производнойвоспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />.
Прежде чем перейти к вычислениюпроизводных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос одифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждоговзаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если />, то />.
Теорема. Если для некоторой функции /> существует обратная ей />, которая в точке /> имеет производную неравную нулю, то в точке /> функция/> имеет производную /> равную />, то есть />.
Доказательство. Рассмотрим отношениеприращения функции к приращению аргумента: />.Так как функция /> имеет производную,то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть />,откуда />. Значит, />.
Воспользуемся данной теоремой длявычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. />.
В данном случае обратной функциейбудет />. Для нее />. Отсюда
/>,
то есть />.
11. />.
Так как
/>, то />. />.
В данном случае обратной функциейбудет />. Для нее
/>.
Отсюда />, то есть />.
13. />.
Так как
/>, то />.
2.Производная сложной функции
Пусть дана функция /> и при этом />. Тогда исходную функциюможно представить в виде />. Функциитакого типа называются сложными. Например, />.
В выражении /> аргумент /> называется промежуточнымаргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как ониохватывают практически все виды существующих функций.
Теорема. Пусть функция /> имеет производную в точке />, а функция /> имеет производную всоответствующей точке />. Тогда сложнаяфункция /> в точке /> также будет иметьпроизводную равную производной функции /> попромежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по />, то есть />.
Для доказательства дадим приращениеаргументу />, то есть РѕС‚ /> перейдем Рє />. Рто вызовет приращениепромежуточного аргумента />,который РѕС‚ /> перейдет Рє />. РќРѕ это, РІ СЃРІРѕСЋ очередь,приведет Рє изменению />, который РѕС‚ /> перейдет Рє />. Так как согласно условиютеоремы функции />В Рё /> имеют производные, то всоответствии СЃ теоремой Рѕ СЃРІСЏР·Рё дифференцируемости Рё непрерывности функции(теорема 11.2.2) РѕРЅРё непрерывны. Значит, если />,то Рё />, что, РІ СЃРІРѕСЋ очередь,вызовет стремление />В Рє нулю.
Составим />. Отсюда,
/>
и, следовательно, />.
Если функция /> имеет не один, а двапромежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде />, где />, а />, или />, то, соответственно, /> и так далее.
3.Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производныеэлементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций,составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций,которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов являетсяпараметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изученииуравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение/>связывало между собой двепеременных: аргумент и функцию. Задавая />,получаем значение />, то есть пару чисел,являющихся координатами точки />. Приизменении /> меняется />, точка начинаетперемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бываетудобно переменные /> и /> связывать не между собой,а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции: /> где />. Для каждого значения /> из данного промежуткабудет своя пара чисел /> и />, которой будетсоответствовать точка />. Пробегая всезначения, /> заставляет меняться /> и />, то есть точка /> движется и описываетнекоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданиемфункции, а переменная /> – параметром.
Если функция /> взаимно однозначная иимеет обратную себе, то можно найти />.Подставляя /> в />, получим />, то есть обычную функцию.Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическомзадании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способизображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям /> и /> в зависимости от времени />, то есть в виде параметрическизаданной функции /> Такой способзначительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюдадобавляется еще и уравнение />.
В качестве примера рассмотримнесколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку /> на окружности с радиусом />. Выражая /> и /> через гипотенузупрямоугольного треугольника, получаем:
/>
Рто Рё есть уравнение окружности впараметрической форме (СЂРёСЃ. 3.1). Р’РѕР·РІРѕРґСЏ каждое уравнение РІ квадрат, отсюдалегко получить обычное уравнение окружности />.
/>
Р РёСЃ. 3.1
2. Рллипс.
Рзвестно, что уравнение эллипса – />. Отсюда />. Возьмем РґРІРµ точки />В Рё />В РЅР° окружности Рё эллипсе,имеющие одинаковую абсциссу />В (СЂРёСЃ.3.2). РўРѕРіРґР° РёР· уравнения окружности следует, что />.Подставим это выражение РІ />: />. Значит, уравнение эллипсав параметрической форме имеет РІРёРґ
/>
/>
Р РёСЃ. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальнойповерхности катится без скольжения окружность с радиусом />. Зафиксируем точку Oее соприкосновения с поверхностью в начальныймомент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C(рис. 3.3). Найдем ее координаты:
/>
Значит, параметрическое уравнениециклоиды имеет вид:
/>
/>
Р РёСЃ. 3.3
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса /> без скольжения катитсядругая окружность радиуса />. Тогдаточка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкойсоприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4),параметрическое уравнение которой имеет вид:
/>
/>
Р РёСЃ. 3.4
Рассмотрев ряд примеров, перейдемтеперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция /> от /> задана параметрически: /> где />. Пусть на этом отрезке обефункции имеют производные и при этом />. Найдем/>.
Составим отношение />. Тогда
/>.
Следовательно, />. Рто Рё есть правилодифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
В
1. Бугров РЇ.РЎ.,Никольский РЎ.Рњ. ВЫСШАЯ МАТЕМАТРРљРђ Р’ 3-С… томах Рў. 1 Рлементы линейной алгебры ианалитической геометрии 8-Рµ РёР·Рґ. РР·Рґ-РІРѕ: ДРОФА, 2006. – 284СЃ.
2. Мироненко Е.С.Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3. Никольский РЎ.Рњ.,Бугров РЇ.РЎ. ВЫСШАЯ МАТЕМАТРРљРђ Р’ 3-РҐ РўРћРњРђРҐ Рў. 2 Дифференциальное Рё интегральноеисчисление 8-Рµ РёР·Рґ. РР·Рґ-РІРѕ: ДРОФА, 2007. – 509СЃ.
4. Черненко Р’.Р”.Высшая математика РІ примерах Рё задачах. Р’ трех томах. РџРћР›РТЕХНРРљРђ, 2003.
www.ronl.ru
Термин сложная функция РІ действительности РІ математическом языке является «чисто рабочим»: так называют функцию, если РѕРЅР° задана РІ РІРёРґРµ Сѓ=f(g(x)) СЃ внешней функцией f Рё внутренней функцией g. РР· самого задания этой функции СЏСЃРЅРѕ, что для вычисления значения Сѓ сложной функции Рє значению аргумента С… сначала применяется функция g, Р° затем Рє полученному значению g(x) применяется функция f — тогда Рё получается значение f(g(x)). 
Владение этим термином, умение видеть сложную функцию для начал математического анализа исключительно — чтобы найти производную, функцию часто следует представить в виде сложной функции, причем функция может быть еще более «сложной», когда ее «история» более длинная, т.е., например, если функция задается формулой у=f(g(h(р(х))).
Для того чтобы подчеркнуть, что термин «сложная функция» относится не к самой функции, а к способу ее задания, приведем пример: функции $y=\sqrt[3]{x^3}$ и $y=x$ — это, очевидно, одна и та же функция, однако первую из них можно назвать сложной, а вторую — нет. Заметим также, что сложная функция может оказаться нигде не определенной, например,$y=\sqrt{-x^2-1}$ — под знаком радикала тут всегда стоит отрицательное выражение.
При желании заняться алгеброй функций, т.е. рассматривать операции, действия, которые можно осуществлять с функциями, изучать свойства этих операций, а иногда лишь для терминологического удобства сложную функцию у=f(g(x)) называют композицией функций f и g и обозначают обычно символом $f\circ g$ или, в обратном порядке, $g\circ f$ — математики, как ни странно, не могут, да и не пытаются, прийти к общему соглашению относительно этого обозначения. Далее мы применяем первый порядок f и g, т.е. $(f \circ g)(x)=f(g(x))$.
Рђ между тем композиция РґРІСѓС… функций зависит РѕС‚ РёС… РїРѕСЂСЏРґРєР°: если, например, $f(x)=x^2$, $g(x)=\sqrt {x}$, то $f(g(x))=(\sqrt{x})^2=x, (x\geq 0)$ тогда как $g(f(x))=\sqrt{x^2}=|x|$, Р° значит, это РґРІРµ различные функции — РѕРЅРё имеют даже разные области определения. Рными словами, равенство $f\circ g=g\circ f$ выполняется РЅРµ для всех функций, так что РІ алгебре функций перестановочный (РІ математике, РІ отличие РѕС‚ школы, называют его коммутативным) закон для композиции РЅРµ имеет места.
Рнтересно, что сочетательный (РІ математике РіРѕРІРѕСЂСЏС‚ ассоциативный) закон остается РІ силе:
$[(f\circ g)\circ h](x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x)))$,
$[f\circ(g\circ h)](x)=f[(g\circ h)(x)]=f(g(h(x)))$
(мы здесь не стали рассматривать детали, связанные с областью определения рассматриваемых функций), а распределительный закон (в математике говорят дистрибутивный) распадается на два — из-за отсутствия перестановочного закона:
$f\circ(g+h)=(f\circ g)+ (f\circ h)$ Рё $(g+h)\circ f=(g\circ f)+(h\circ f)$
и, что удивительно, один из них выполняется в алгебре функций, а второй — нет.
Рнтересующиеся этими вопросами легко РјРѕРіСѓС‚ узнать, какой РёР· РЅРёС… именно выполняется, рассмотрев какой-РЅРёР±СѓРґСЊ простой пример, Рё почти СЃРѕ стопроцентной вероятностью РІС‹ найдете ответ СЃ первой попытки, если, конечно, вам РЅРµ повезет попасть как раз РЅР° те функции, для которых выполняются РѕР±Р° закона. Рђ доказать верный закон тоже будет небесполезным — СЃ точки зрения будущего изучения высшей алгебры РІ РІСѓР·Рµ: для студентов РѕРЅР° РІРѕРІСЃРµ РЅРµ проще, чем математический анализ, однако СЃ его идеями РІС‹ более или менее знакомитесь РІ школе, Р° основные идеи алгебры, связанные СЃРѕ свойствами операций, полностью остаются РІ стороне.
Ну, а если вы хотели бы подтянуть разговорный английский язык, или вам нужна курсовая по английскому, обращайтесь. Так как этот язык уже стал международным и его знания будут полезны любому современному человеку.
Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Загрузка... matemonline.com
Понятие функции одной переменной. Обратная функция. Сложная функция. - раздел Математика, Основы математического анализа
В
Р’ РѕСЃРЅРѕРІРµ описания окружающих нас явлений средствами математики лежит понятие соответствия между множествами. РћРЅРѕ, как Рё понятие множества, относится Рє неопределяемым понятиям. Дадим описание соответствия между множествами. Рассмотрим РґРІР° множества Рё . Обратим внимание РЅР° то, что число элементов РІ этих множествах может быть различным Рё необязательно конечным. Для элемента выделим РІРѕ множестве элемент Рё назовем его соответственным для . Для элемента выделим РІ , например, три элемента , которые Р±СѓРґСѓС‚ соответственными для . Для элемента РІ качестве соответственного возьмем , для элемента выберем соответственными Рё . Продолжая далее эту процедуру, РјС‹ для каждого элемента множества найдем соответственные элементы РІРѕ множестве . Р’ результате получим соответствие между РґРІСѓРјСЏ множествами. РР· всевозможных соответствий наиболее важное значение имеют такие, РїСЂРё которых каждому элементу сопоставляется только РѕРґРёРЅ элемент множества . Такие соответствия называют функциями.
В
Определение 3.1. Соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент , называется функцией одной переменной и обозначается символом . При этом элементы множества называют аргументами, а само множество называют областью определения функции и обозначают символом . Тот элемент , который соответствует элементу , называют образом элемента , или значением функции и обозначают символом , а сам элемент называют прообразом элемента . Множество всех образов элементов множества называют множеством значений функции и обозначают символом .
В
Обратим внимание РЅР° то, что множество значений функции является подмножеством множества . Рто подмножество может быть несобственным (РєРѕРіРґР° ), РЅРѕ может быть Рё собственным (РєРѕРіРґР° РІРѕ множестве существуют элементы, РЅРµ являющиеся значениями функции ). РџСЂРё описании различных явлений реальной действительности математическими средствами часто используются функции, аргументом которых является время.
Графиком функции с областью определения называют множество точек плоскости с координатами , где пробегает всю область определения .
Основными способами задания функций являются аналитический, графический и табличный. Аналитическим способом называют задание функции формулой вида . Если при этом ничего не говорится об области определения, то ее считают такой, в которой формула имеет смысл. Например, формула задает функцию, областью определения которой являются все действительные значения , кроме , при котором знаменатель дроби обращается в нуль и формула теряет смысл.
Графический способ задания функции состоит в задании функции ее графиком.
Если же функция задана таблицей вида
В
|  |  |  | … |  |
|  |  |  | … |  |
В
то говорят, что функция задана табличным способом.
Рассмотрим понятие обратной функции. Пусть имеем функцию СЃ областью определения Рё множеством значений . Другими словами, нам задано соответствие, РїСЂРё котором каждому значению сопоставляется только РѕРґРЅРѕ значение . РџСЂРё этом необязательно различные значения должны иметь различные образы. Важно лишь, чтобы для каждого образ был единственный. Однако если любые РґРІР° различные значения имеют различные образы, то появляется возможность установить обратное соответствие между множествами Рё так, чтобы каждому значению сопоставлялся единственный , тот самый, для которого рассматриваемый являлся образом функции . Рто обратное соответствие называют обратной функцией для функции Рё обозначают символом . Таким образом, если , то . Очевидно, что если функция СЃ областью определения Рё множеством значений имеет обратную, то для функции множество будет областью определения, Р° множество множеством значений.
Не следует думать, что всякая функция имеет обратную. Например, функция обратной не имеет, так как любые два противоположных значения имеют один и тот же образ . Поэтому при обратном соответствии каждому положительному значению придется сопоставлять два (противоположных) значения , а такое соответствие функцией не является. Однако если рассмотреть функцию при , то для нее существует обратная функция .
Рассмотрим теперь три множества . Допустим, что каждому значению функция сопоставляет единственное значение , Р° каждому значению функция сопоставляет единственное значение . РўРѕРіРґР° СЃ помощью функций Рё каждому значению можно поставить РІ соответствие единственный элемент множества . Рто соответствие называют сложной функцией (или суперпозицией) СЃ областью определения Рё обозначают символом . Например, если , Р° , то .
Легко видеть, что можно рассмотреть суперпозицию не только двух, но и трех, четырех и т.д. функций. Так для функций суперпозицией будет функция .
В
– Конец работы –
Рта тема принадлежит разделу:
лицей им А М Кузьмина... В С Козадаев...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Понятие функции одной переменной. Обратная функция. Сложная функция.
Правила вывода.  Среди различных сложных высказываний особое место занимают высказывания, которые являются истинн
Предикаты. Кванторы.  В математике часто встречаются предложения, содержащие переменную. Например, рассмотрим предложе
Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.  Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел.
Действительные числа. Полнота множества действительных чисел.  Определение 2.2. Действительным числом назовем любой из трех видов сечений Дедекинда в
ТЕОРЕМА 2.1. Между двумя неравными действительными числами всегда существует рациональное число.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и два неравных действительных числа. Положим для определенности, ч
Числовые множества и их границы.  Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные
ТЕОРЕМА 2.2. Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - непустое ограниченное сверху множество. Очевидно, что, если в есть
Понятие об арифметических операциях над действительными числами.  Пусть имеем два действительных числа и . Рассмотрим множество всевозможных сумм рациональных чисе
Модуль действительного числа и его свойства.  Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если он
Рлементарные функции. Свойства функций.  Функции , РіРґРµ , называют основными элементарными функциями.  Определение 3.2.
Числовые последовательности.  Рассмотрим числовую функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел ,
ТЕОРЕМА 3.1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что последовательность имеет более одного предел
ТЕОРЕМА 3.3. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится (имеет предел).  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности имеем возрастающую и ограниченную последовате
ТЕОРЕМА 3.4. Если последовательность сходится к числу , а последовательность сходится к числу и при этом , то .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что . Рассмотрим число . Для него и . Пусть . Тогда д
ТЕОРЕМА 3.7. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Выберем произвольно и дл
ТЕОРЕМА 3.8. Если является бесконечно малой последовательностью, а – ограниченная последовательность, то есть бесконечно малая последовательность.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как – ограниченная последовательность, то . Пусть . Тогда . В
ТЕОРЕМА 3.9. Чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно чтобы последовательность , где , была бесконечно малой.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть – бесконечно большая последовательность. Значит . З
ТЕОРЕМА 3.11. Если последовательность сходится к числу ; последовательность сходится к числу , то последовательность сходится к числу .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что в условиях теоремы последовательность является огр
Неопределенности. Сравнение бесконечно малых последовательностей.  Пусть имеем две бесконечно малые последовательности и . Составим новую последовательность и попыт
Подпоследовательности. Частичные пределы.  Пусть имеем последовательность , т.е. соответствие  Выберем во множестве , не меняя пор
ТЕОРЕМА 3.12. Если последовательность сходится Рє числу , то Рё любая ее подпоследовательность также сходится Рё притом Рє тому же числу .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость последовательности Рє числу равносильна условию: . Р
Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.).  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана ограниченная последовательность . Значит . Разобьем отрезок п
Число e.  Рассмотрим последовательность . Рсследуем ее РЅР° сходимость. Рспользуя формулу Р±РёРЅРѕРјР° Ньютона:
Предел функции.  Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предел
ТЕОРЕМА 3.13. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуется доказать два утверждения, что из определения 3.16 следует опреде
ТЕОРЕМА 3.18. Если и , то в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Зададим и найдем такое, что при всех , удовлетв
Односторонние пределы функции.  При определении предела функции в точке ничего не говорилось о том, как аргумент приближается к . О
ТЕОРЕМА 3.26. Если функции Рё непрерывны РІ точке , то РІ этой точке Р±СѓРґСѓС‚ непрерывны функции , Р° РїСЂРё условии будет непрерывна функция .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует РёР· теорем 3.23 Рё 3.24. В РР· рассмотренных примеров Рё теоре
ТЕОРЕМА 3.27. .  х А В
Непрерывность элементарных функций.  Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определ
ТЕОРЕМА 3.28. Пусть имеем сложную функцию . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим произвольно и найдем для него в силу непрерывности функции в точ
ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение фу
ТЕОРЕМА 3.33. Для непрерывности функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна слева и справа от .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы вытекает из теоремы 3.25 и определения односторонней непрерывност
ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем ограниченность сверху функции . Предположим противное, что неогр
ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По 1 теореме Вейерштрасса непрерывная на функция ограничена. Следователь
ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри найдется точка такая, что .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Разделим отрезок пополам точкой . Может так сл
ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и , то для любого числа между и найдется точка из такая, что .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Рассмотрим функцию . Она непрерывна на по теор
Равномерная непрерывность функций.  Рассмотрим функцию , непрерывную РІ некоторой точке промежутка . Рто значит, что . Заметим,
ТЕОРЕМА Кантора. Если функция непрерывна на , то она будет равномерно непрерывна на .  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что непрерывная на отрезке функция не будет равно
allrefers.ru
Количество просмотров публикации Сложная функция. - 89
Схема исследования функции элементарными способами.
График функции. Способы задания функций.
Пусть задана функция f с областью определœения D. Рассмотрим координатную плоскость. По оси абсцисс откладываем значения аргумента͵ а по оси ординат значения функции. Для каждого числа x D можно вычислить y=f(x) и построить точку М(x; f(x)). Множество всœех таких точек образует кривую, называемую графиком функции f в заданной системе координат.
♯ Графиком функции f принято называть множество точек плоскости с координатами (x; f(x)), где х пробегает область определœения функции f.
Способы задания функции:
1) Запись функциональной зависимости в виде формулы (функция задана аналитическим выражением). Пример: S= π R2
Область допустимых значений аналитического выражения π R2 – всœе значения R; область определœения функции, определœенной данным выражением, есть 0<R<.
В случае если функция задана аналитическим выражением относительно аргумента x и область определœения не указана, то подразумевают, что область определœения совпадает с ОДЗ задающего ее выражения.
2) Табличный способ – для избранных значений аргумента x, обычно отстоящих друг от друга на некоторую постоянную величину – шаг таблицы, указываются соответствующие значения y (с определœенной степенью точности).
3) Графический способ
Основные определœения:
1) Функция f(x), область определœения которой симметрична относительно начала отсчета О, принято называть четной, в случае если для из ее области определœения выполняется равенство f(-x)= f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Оу. Обратное также верно.
2) Функция f(x), область определœения которой симметрична относительно начала отсчета О, принято называть ytчетной, в случае если для из ее области определœения выполняется равенство f(-x)=- f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Обратное также верно.
3) Нулем (корнем) функции f(x) принято называть такое значение аргументах, при котором функция обращается в нуль. Графически нули функции - ϶ᴛᴏ точки пересечения графика с осью Ох.
4) Функция принято называть возрастающей в некотором промежутке, лежащем в ее области определœения, в случае если для любых двух значений х1, х2из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует f(х1)< f(х2) (большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции). В случае если из неравенства х1< х2 следует лишь f(х1)f(х2), то функция принято называть неубывающей.
5) Функция принято называть убывающей в некотором промежутке, лежащем в ее области определœения, в случае если для любых двух значений х1, х2из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует f(х1)> f(х2) (большим значениям аргумента соответствуют меньшее значения функции). В случае если из неравенства х1< х2 следует лишь f(х1)f(х2), то функция принято называть невозрастающей.
Пример:
y=|x|+x; y=
1)
| В | |
| В |
f(С…1)=f(С…2) f(С…1)< f(С…2)
Ртак, функция y=|x|+x неубывающая РЅР° всœей числовой РѕСЃРё.
6)
| В | |
| В |
x0 , x2 – точки максимума, x1, x3 –точки минимума.
Точки максимума, минимума – точки экстремума.
Максимум функции – ее наибольшее значение по сравнению с ʼʼсосœеднимиʼʼ точками слева и справа, но не обязательно с отдаленными точками.
7)
| В | |
| В |
|
Схема
1. Область определœения.
2. Нули функции.
3. Промежутки знакопостоянства.
4. Четность, нечетность функции.
5. Промежутки монотонности.
6. Точки экстремума, точки максимума и минимума функции.
7. Асимптоты.
Пример:
1. D(f)= R
2. f(С…)=0
=0корней нет, следовательно график функции не пересекает осьOx.
3. f(х)>0, следовательно график расположен вышеоси Ox.
4. f(-х)== f(x), следовательно функция четная, график расположен выше оси Oy
5. Р°) С…;0). С…1< С…2 f(С…1)=
, f(С…2)=
,
f(С…1)< f(С…2)в‡’ РїСЂРё С…
;0) функция возрастает;
Р±) С…;
). С…3< С…4 f(С…3)=
, f(С…4)=
,
f(С…3)> f(С…4)в‡’ РїСЂРё С…
;
). функция убывает;
6. х=0 – точка максимума (возрастание сменяется убыванием)
у(0)=1 – точка максимума функции.
7. Пусть х→ +у→ 0
Пусть х→ –у→ 0
| В | |
| В |
Пусть u=(x) – некоторая функция. Рассмотрим функцию y=f(u), такую, что её область определœения совпадала или хотя бы имела общую часть с областью значений функции u=
(x). Тогда можно рассматривать y=f(u)= y=f(
(x)) как функцию от х. Заданная таким образом функция принято называть сложной функцией. Для вычисления значений сложной функции нужно строго соблюдать последовательность производимых операций, ᴛ.ᴇ. крайне важно представить сложную функцию как композицию более простых.
Для записи композиций функций употребляется значок ○. К примеру, запись h= f○g означает, что функция h получена как композиция функций f и g: сначала применяется g, а затем f, то есть f○g= f(g(х)).
Пример:
f(x)= x2, g(x)= .
y= f(g(x))= fв—‹g(x)=
y=g(f(x))= gв—‹ f(x)=.
РР· примера РІРёРґРЅРѕ, что операция образования сложной функции (или композиции функций) РЅРµ обладает переместительным свойством: f в—‹ g в‰ g в—‹ f.
referatwork.ru
Контрольнаяработа
Дисциплина:Высшая математика
Тема: Таблицапроизводных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблицапроизводных
Как известно, большинство функцийможно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, какдифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различныекомбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. />.
Найдем производную, когда />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как
/>, а />,то
/>
Отсюда /> и />,
то есть />.Если />, результат тот же.
2. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и />, то есть />.
3. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и />, то есть />.
4. />.
По определению />. Будем дифференцировать /> как частное:
/>, то есть />.
5. />.
По определению />. Будем дифференцировать /> как частное:
/>, то есть />.
6. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то
/>.
Отсюда /> и
/>,
то есть />. Здесь была использованаформула для второго замечательного предела.
7. />.
Для вычисления производнойвоспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />.
8. />.
Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то />. Отсюда
/> и />, то есть />.
Здесь была использована формула дляодного из следствий из второго замечательного предела.
9. />.
Для вычисления производнойвоспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />.
Прежде чем перейти к вычислениюпроизводных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос одифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждоговзаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если />, то />.
Теорема. Если для некоторой функции /> существует обратная ей />, которая в точке /> имеет производную неравную нулю, то в точке /> функция/> имеет производную /> равную />, то есть />.
Доказательство. Рассмотрим отношениеприращения функции к приращению аргумента: />.Так как функция /> имеет производную,то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть />,откуда />. Значит, />.
Воспользуемся данной теоремой длявычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. />.
В данном случае обратной функциейбудет />. Для нее />. Отсюда
/>,
то есть />.
11. />.
Так как
/>, то />. />.
В данном случае обратной функциейбудет />. Для нее
/>.
Отсюда />, то есть />.
13. />.
Так как
/>, то />.
2.Производная сложной функции
Пусть дана функция /> и при этом />. Тогда исходную функциюможно представить в виде />. Функциитакого типа называются сложными. Например, />.
В выражении /> аргумент /> называется промежуточнымаргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как ониохватывают практически все виды существующих функций.
Теорема. Пусть функция /> имеет производную в точке />, а функция /> имеет производную всоответствующей точке />. Тогда сложнаяфункция /> в точке /> также будет иметьпроизводную равную производной функции /> попромежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по />, то есть />.
Для доказательства дадим приращениеаргументу />, то есть РѕС‚ /> перейдем Рє />. Рто вызовет приращениепромежуточного аргумента />,который РѕС‚ /> перейдет Рє />. РќРѕ это, РІ СЃРІРѕСЋ очередь,приведет Рє изменению />, который РѕС‚ /> перейдет Рє />. Так как согласно условиютеоремы функции />В Рё /> имеют производные, то всоответствии СЃ теоремой Рѕ СЃРІСЏР·Рё дифференцируемости Рё непрерывности функции(теорема 11.2.2) РѕРЅРё непрерывны. Значит, если />,то Рё />, что, РІ СЃРІРѕСЋ очередь,вызовет стремление />В Рє нулю.
Составим />. Отсюда,
/>
и, следовательно, />.
Если функция /> имеет не один, а двапромежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде />, где />, а />, или />, то, соответственно, /> и так далее.
3.Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производныеэлементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций,составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций,которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов являетсяпараметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изученииуравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение/>связывало между собой двепеременных: аргумент и функцию. Задавая />,получаем значение />, то есть пару чисел,являющихся координатами точки />. Приизменении /> меняется />, точка начинаетперемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бываетудобно переменные /> и /> связывать не между собой,а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции: /> где />. Для каждого значения /> из данного промежуткабудет своя пара чисел /> и />, которой будетсоответствовать точка />. Пробегая всезначения, /> заставляет меняться /> и />, то есть точка /> движется и описываетнекоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданиемфункции, а переменная /> – параметром.
Если функция /> взаимно однозначная иимеет обратную себе, то можно найти />.Подставляя /> в />, получим />, то есть обычную функцию.Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическомзадании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способизображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям /> и /> в зависимости от времени />, то есть в виде параметрическизаданной функции /> Такой способзначительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюдадобавляется еще и уравнение />.
В качестве примера рассмотримнесколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку /> на окружности с радиусом />. Выражая /> и /> через гипотенузупрямоугольного треугольника, получаем:
/>
Рто Рё есть уравнение окружности впараметрической форме (СЂРёСЃ. 3.1). Р’РѕР·РІРѕРґСЏ каждое уравнение РІ квадрат, отсюдалегко получить обычное уравнение окружности />.
/>
Р РёСЃ. 3.1
2. Рллипс.
Рзвестно, что уравнение эллипса – />. Отсюда />. Возьмем РґРІРµ точки />В Рё />В РЅР° окружности Рё эллипсе,имеющие одинаковую абсциссу />В (СЂРёСЃ.3.2). РўРѕРіРґР° РёР· уравнения окружности следует, что />.Подставим это выражение РІ />: />. Значит, уравнение эллипсав параметрической форме имеет РІРёРґ
/>
/>
Р РёСЃ. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальнойповерхности катится без скольжения окружность с радиусом />. Зафиксируем точку Oее соприкосновения с поверхностью в начальныймомент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C(рис. 3.3). Найдем ее координаты:
/>
Значит, параметрическое уравнениециклоиды имеет вид:
/>
/>
Р РёСЃ. 3.3
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса /> без скольжения катитсядругая окружность радиуса />. Тогдаточка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкойсоприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4),параметрическое уравнение которой имеет вид:
/>
/>
Р РёСЃ. 3.4
Рассмотрев ряд примеров, перейдемтеперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция /> от /> задана параметрически: /> где />. Пусть на этом отрезке обефункции имеют производные и при этом />. Найдем/>.
Составим отношение />. Тогда
/>.
Следовательно, />. Рто Рё есть правилодифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
В
1. Бугров РЇ.РЎ.,Никольский РЎ.Рњ. ВЫСШАЯ МАТЕМАТРРљРђ Р’ 3-С… томах Рў. 1 Рлементы линейной алгебры ианалитической геометрии 8-Рµ РёР·Рґ. РР·Рґ-РІРѕ: ДРОФА, 2006. – 284СЃ.
2. Мироненко Е.С.Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3. Никольский РЎ.Рњ.,Бугров РЇ.РЎ. ВЫСШАЯ МАТЕМАТРРљРђ Р’ 3-РҐ РўРћРњРђРҐ Рў. 2 Дифференциальное Рё интегральноеисчисление 8-Рµ РёР·Рґ. РР·Рґ-РІРѕ: ДРОФА, 2007. – 509СЃ.
4. Черненко Р’.Р”.Высшая математика РІ примерах Рё задачах. Р’ трех томах. РџРћР›РТЕХНРРљРђ, 2003.
www.ronl.ru
