Дифференцирование сложной функции. Реферат сложная функция

Сложная функция

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,4 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

“Сложный, составной, сложенный или составленный из разных частей…”.Толковый словарь В.И. Даля.

Мы часто в повседневной речи считаем слова “сложный” и “трудный” синонимами. Иногда можно услышать от тех учеников, которым нелегко дается математика, что сложная функция потому так называется, что она “трудная”. Но на самом деле “сложный” и “трудный” далеко не всегда означают одно и то же.

Понятие сложной функции встречается в курсе алгебры и начал математического анализа в 10 классе [3]. Для сложной функции выводится формула дифференцирования. Ученики без предварительной подготовки этот материал воспринимают с большим трудом. На чисто формальном уровне можно дать много примеров на нахождение внутренней и внешней функции для данных сложных функций. При определенной практике они начинают хорошо различаться и производную можно вычислять. Беда в том, что при этом учащиеся погружаются в технику дифференцирования, а само понятие сложной функции как композиции нескольких функций отходит на задний план.

Чтобы сложная функция предстала в более наглядном виде, и сделана данная презентация.

В зависимости от подготовленности класса этот материал может быть предложен и на факультативных занятиях, и на уроках, причем в некоторых случаях непосредственно в теме “Производная”, а в некоторых и раньше. Самое главное, чтобы основные свойства функций (в первую очередь – монотонность) к этому времени учащимися были хорошо усвоены и чтобы графики элементарных функций стали легко узнаваемы.

К этому времени учащимся будет и легче воспринимать само понятие функции как соответствие между множествами.

Несмотря на весь абстрактный характер понятия “функция” с ним нужно разобраться, постепенно вводя логические уточнения и учитывая возможности класса. А сложную функцию нужно изучать как композицию двух функций. Это понятие важно для определения взаимно обратных функций. В связи с этим в сильных классах данный материал целесообразно вводить до того, как изучаются обратные функции - например, обратные тригонометрические функции. Для классов со слабой подготовкой, где обратные тригонометрические функции вводятся на более простом уровне, разговор о сложной функции пойдет в теме “Производная”. Но и в этом случае должно быть подробное рассмотрение определения этой функции.

Поведение элементарных функций лучше всего иллюстрируется с помощью графика, поэтому и для исследования сложной функции наилучший, как мне кажется, подход - это дать представление о ее графике, построенном с использованием графиков внутренней и внешней функций.

При построении графиков сложных функций в презентации для большей наглядности используются анимационные эффекты, дающие представление о последовательных шагах, которыми характеризуется композиция нескольких соответствий.

Важно подчеркнуть, что при исследовании функций с помощью производной ученики получают более совершенный аппарат для построения графика, но и элементарные методы имеют свои преимущества: они позволяют учащимся на более простом материале воспринимать основные функциональные изменения и дают возможность “прочувствовать” поведение сложной функции. Построение графиков без производной может осуществляться с разных точек зрения. Примеры получения достаточно трудных графиков описаны, например, в [1]. Те приемы, которые предложены в данной презентации, с одной стороны, касаются именно сложных функций, но с другой демонстрируют достаточно наглядные рассуждения, которые могут помочь в исследовании функций при решении различных задач. Например, изученные приемы могут пригодиться в тех случаях, когда требуется узнать промежутки монотонности сложной функции, множество ее значений. Причем предложенный метод достаточно нагляден и не использует громоздких преобразований с формулами.

В предлагаемой презентации можно выделить три части:

Введение понятия сложной функции.
Построение графиков сложных функций.
Нахождение множества значений сложной функции.

1. Для того чтобы подробно описать, как “действует” сложная функция, сначала нужно повторить определение функции как соответствия между множествами, при котором каждому элементу первого множества соответствует не более одного элемента второго множества. То, что на слайде изображены круги Эйлера, не случайно: на них более ярко можно показать соответствие между элементами множеств.

Понятие функции к 10 классу должно быть сформировано, но ученикам с низкой мотивацией иногда трудно его запоминать, и в данном случае можно подробнее остановиться на контрольных вопросах, например, почему окружность или вертикальная прямая в системе координат не могут быть графиками функций (хотя их и можно задать уравнениями).

Сложную функцию рассматриваем как композицию двух функций, то есть как последовательное выполнение двух соответствий. По рисунку можно проследить, как некоторому элементу множества Х соответствует элемент множества Т, этот закон устанавливается внутренней функцией. А затем для элемента множества Т внешняя функция указывает соответствующее значение элемента из множества У. Таким образом, для первоначального х0 мы находим t0, а затем у0. Устанавливается зависимость: x0t0у0.

После того, как чертеж с тремя множествами и соответствиями подробно разобран, переходим к рассмотрению конкретных сложных функций. Рассматриваем примеры, где сложная функция задается формулой. Ученикам предлагается назвать внутреннюю и внешнюю функцию.

Аналогичные задания приводятся и в учебнике [3], но практика показывает, что если ограничиваться только рассмотрением формул, то от восприятия учеников ускользает структура самой композиции функций, последовательность в переходе от одного шага к другому, в итоге исчезает математическая суть сложной функции.

Восполнить этот пробел помогают графики.

2. Построим график функции (пример 1).

Укажем область определения: D(y) = (-∞; -2] U (2; +∞). Заметим, что это четная функция.

Внутренняя функция: g(x) = x2 – 4, построим график в системе координат (х,t). Для простоты изложения мы строим всю параболу, но в дальнейшем рассматриваем только те х, которые входят в множество D(y).

Внешняя функция: f(t) =, построим график в системе координат (t,y).

График исходной сложной функции будем строить в системе координат (х,у).

Для наглядности на рисунке отмечено некоторое произвольное значение х0, для него с помощью графика g(x) можно указать t0=g(x0), а для t0 по графику внешней функции находим значение у0=f(t0), таким образом получаем цепочку соответствий: x0t0у0, аналогичную той, которая была изображена на рисунке с кругами Эйлера.

После того, как два вспомогательных графика построены, переходим к главной задаче – построению графика сложной функции.

Пусть переменная х изменяется от 2 до бесконечности. По графику g(x) хорошо видно, что при этом переменная t изменяется от 0 до бесконечности. В силу возрастания квадратичной функции на данном участке об этом можно было догадаться и без графика, но график помогает в дальнейших рассуждениях.

Итак, переменная t изменяется от 0 до бесконечности. Переходим в систему координат с графиком внешней функции f(t). Значения функции, то есть у, меняются от 0 до бесконечности.

Все эти изменения приводятся в таблице на слайде.

Значит, для функции при увеличении аргумента от 2 до бесконечности получаем возрастание функции от 0 до бесконечности. И то, что мы выделили этот участок монотонности, уже очень важно! Можно хотя бы схематично изобразить график при х≥2.

Чтобы детям лучше был понятен этот переход, соответствующие участки на чертежах подчинены анимационным эффектам (слайд 10). Участки появляются по щелчку мыши последовательно, друг за другом, в определенном цвете. В результате в системе координат (х,у) выделяется промежуток [2; +∞) на оси абсцисс, а по оси ординат ему соответствует промежуток [0; +∞), функция возрастает. И появляется первый участок искомого графика.

В силу четности исходной функции получаем и второй участок графика, при х≤-2, отражая первый участок относительно оси ординат.

Но можно и другим способом получить ту же линию при х≤-2: рассмотреть изменение х от минус бесконечности до -2, тогда переменная t изменяется от +∞ до 0, а переменная у при этом изменяется от +∞ до 0. Значит, при изменении аргумента от -∞ до -2 значения сложной функции убывают – это мы и видим на графике. Данные рассуждения можно провести устно, но они хорошо иллюстрируются изображениями на слайдах.

Заметим, что в этих рассуждениях приходится намеренно отказываться от термина “промежутки” и от соответствующих скобок для их указания, потому что мы говорим именно об изменении величины, а не просто о множестве, на котором ее рассматриваем, то есть если переменная уменьшается, она изменяется, начиная с большего значения (а в промежутках на первом месте указывается меньшее значение).

Еще один вариант применения указанного способа построения графика – это подготовительный этап в изучении свойств растяжения и сжатия графиков. Например, чтобы ученик осмысленно и “своими руками” получил график у=sin2x, можно рассматривать данную функцию как сложную. Это построение разобрано в презентации (пример 2).

Не исключено, что гармонические колебания будут уже известны ученикам к моменту изучения сложной функции и, в частности, поведение графика у=sin2x. В этом случае можно предложить ученикам самостоятельно найти ответ на вопрос, как пользуясь свойствами внутренней и внешней функции, прийти к итоговому графику. Второй способ решения уже известной задачи ничуть не умаляет первый, а только лучше закрепляет полученную информацию.

В классах, где тригонометрические сведения усвоены не достаточно хорошо, весьма полезной будет повторение значений синуса для определенных углов и заполнение предложенной таблицы. В классах с высокой мотивацией в обучении эта работа достаточно легкая, таблицу можно заполнять устно, а в тетрадях только построить сам график, но действовать поэтапно.

Итак, рассматриваем функцию у=sin2x.

Замечаем, что она всюду определена, нечетная, периодична с наименьшим положительным периодом π.

Изображаем графики внутренней и внешней функции.

Начинаем с анализа изменения переменной х. Для каждого участка изменения указываем, как изменяется переменная t, а затем переменная у.

Рассматриваем участки изменения для переменной х: от 0 до π/4; от π/4 до π/2; от π/2 до 3π/4; от 3π/4 до π.

То, что нужны именно эти участки, можно объяснить поведением рассматриваемых функций. Мы должны указать такой участок для x, на котором характер изменения t не меняется – либо только увеличивается, либо только уменьшается, то есть важна монотонность внутренней функции, а при соответствующих t монотонность внешней функции тоже дает однозначный ответ, то есть можно определенно указать, что значения у либо увеличиваются, либо уменьшаются. Для простоты расчетов участки монотонности иногда дробятся на два - в данном случае учитываются нули - пересечение графика с осью абсцисс. Но характер монотонности на каждом отдельном участке постоянен.

Если у учеников появляются вопросы, то графические иллюстрации позволяют быстрее их разрешить, поэтому показ слайдов очень удобен – каждый участок можно проследить на подробном чертеже, выделение цветом помогает концентрировать внимание на обсуждаемом участке. Например, указывая изменение переменной х от 0 до π/4, мы видим, что t изменяется от 0 до π/2, а при этом изменении t значения синуса возрастают от 0 до 1 – соответствующий столбец таблицы приведен рядом с графиками на слайде.

Поскольку для большинства детей эта работа может оказаться непростой, в презентации сделаны отдельные слайды для каждого столбца с иллюстрациями на графиках. Таблица заполняется постепенно, один столбец следует за другим.

В итоге мы получаем заполненную таблицу (она приведена на отдельном слайде) и можем изобразить график у=sin2x сначала на участке от 0 до π, а затем, учитывая периодичность, и весь график.

С сильными учениками можно значительно сэкономить время, рассмотрев подробно один или два участка, а затем перейти к итоговому графику. Но в некоторых классах пригодится и более подробная работа. Учитель регулирует скорость изложения, учитывая состав и подготовленность учащихся.

В зависимости от того, какой материал по тригонометрии к этому моменту пройден в классе, можно подчеркнуть особенность сжатия графика, роль частоты и пр.

Общий вид графиков различных функций, в том числе и сложных, прекрасно можно получить, например, с помощью программы “АвтоГраф”. Они не требуют почти никаких затрат, если программа уже установлена. Когда ученики хорошо поймут сам принцип задания сложной функции и смогут хотя бы схематично указывать ее график, то для корректировки сделанного чертежа можно показать график, построенный более точно с помощью “АвтоГрафа”.

Такую работу я проводила уже на следующих уроках, когда проверяли домашнее задание и дети самостоятельно строили графики других сложных функций. Приятно было видеть, что они с большим азартом строили даже такие трудные графики, как .

Подчеркнем, что настоящая презентация ставит главную цель дать ученикам представление о самой сложной функции как композиции двух функций, о графике сложной функции, полученном с помощью внешней и внутренней функции. Эта работа требует осмысленного восприятия материала. “При осмысленном восприятии я вижу в предмете нечто большее, чем содержится в непосредственном зрительном акте, и восприятие предмета является уже в известной степени абстракцией, и в восприятии содержатся следы обобщения”, – эти слова Л.С. Выготского [2] характеризуют общие психологические особенности восприятия, но они, в частности, прекрасно иллюстрируют процесс изучения математики.

И сразу, без теоретической подготовки, предлагать ученикам только готовые графики преждевременно. С другой стороны, чисто формальные рассуждения, без графических иллюстраций затрудняют восприятие. Поэтому при изучении данного раздела нужно как можно больше наглядности и поэтапного погружения в материал.

После того, как в сознании учеников понятие сложной функции будет сформировано, можно проводить уроки по теме “Взаимно обратные функции” (в профильных классах), а также переходить к формуле производной сложной функции (если уже изучается тема “Производная”).

3. Как дополнительный вопрос в данной теме предлагается рассмотреть задачу о нахождении множества значений сложной функции. Эту задачу можно решить графически.

Например, требуется найти множество значений функции y=(3+sinx)-1.

Выделяем внешнюю и внутреннюю функции. Замечаем, что внутренняя функция изменяется от 2 до 4 (так как -1≤sinx≤1). Значит, 2≤t≤4.

Отсюда следует важный факт: внешняя функция определена только для значений аргумента от 2 до 4.

Изображаем график внешней функции, выделяя соответствующий участок на гиперболе. И тогда легко видеть, что значения у находятся на промежутке [0,25; 0,5].

Значит, Е(у)= [0,25; 0,5].

Заметим, что в этой задаче участки монотонности не важны! Важно только множество значений внутренней функции для перехода к области определения внешней функции.

Итак, мы рассмотрели понятие сложной функции как композицию двух функций, внешней и внутренней. Научились выделять эти функции в конкретно заданной сложной функции. С помощью графиков внешней и внутренней функции строим график сложной функции. А также находим множество ее значений.

И в заключение отметим, что “сложный”, “сложенный” связаны с глаголами “сложить”, “складывать”. В словаре Даля читаем, что склад - это стройность, красота, порядок, устройство. “Складный ум – логичный, ясный и верный”. И я старалась, чтобы сложная функция для моих учеников оказалась в первую очередь не трудной, а интересно устроенной.

Работа учителя математики посвящена тому, чтобы не только облегчить ученикам восприятие трудного материала, но и дать им возможность почувствовать ту упорядоченность и красоту, которая всегда встречается в математике.

Литература.

Виленкин Н.Я.и др. Алгебра для 9 класса. – М.: Просвещение, 1996.
Выготский Л.С. Вопросы детской (возрастной) психологии // Собрание сочинений: в 6 т. – М.: Педагогика, 1984. – Т.4.
Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. – М.: Просвещение, 2009.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций

1. Таблица производных

Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.

1. .

Найдем производную, когда .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как

, а , то

Отсюда и ,

то есть . Если , результат тот же.

2. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

Отсюда и , то есть .

3. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

Отсюда и , то есть .

4. .

По определению . Будем дифференцировать как частное:

, то есть .

5. .

По определению . Будем дифференцировать как частное:

, то есть .

6. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

Отсюда и

то есть . Здесь была использована формула для второго замечательного предела.

7. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

8. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда

и , то есть .

Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.

9. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если , то .

Теорема. Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную равную , то есть .

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть , откуда . Значит, .

Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.

10. .

В данном случае обратной функцией будет . Для нее . Отсюда

то есть .

11. .

Так как

, то . .

В данном случае обратной функцией будет . Для нее

Отсюда , то есть .

13. .

Так как

, то .

2. Производная сложной функции

Пусть дана функция и при этом . Тогда исходную функцию можно представить в виде . Функции такого типа называются сложными. Например, .

В выражении аргумент называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.

Теорема. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную равную производной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть .

Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от перейдем к . Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от перейдет к . Но это, в свою очередь, приведет к изменению , который от перейдет к . Так как согласно условию теоремы функции и имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если , то и , что, в свою очередь, вызовет стремление к нулю.

Составим . Отсюда,

и, следовательно, .

Если функция имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где , а , или , то, соответственно, и так далее.

3. Дифференцирование параметрически заданной функции

Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.

При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая , получаем значение , то есть пару чисел, являющихся координатами точки . При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.

Пусть даны две функции: где . Для каждого значения из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и

geum.ru

Реферат Дифференцирование сложной функции

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Одномерный случай
- 1.1 Замечание
- 1.2 Инвариантность формы первого дифференциала
- 1.3 Пример
2 Многомерный случай

Введение

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0.

1. Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $f:U(x_0) \to V(y_0),$ где y0 = f(x0), и $g:V(y_0) \to \R$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция также дифференцируема: $h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0),$ и её производная имеет вид:

$h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).$

1.1. Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид:

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.$

1.2. Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции z = g(y) в точке y0 имеет вид:

$dz = g'(y_0) \, dy,$

где dy — дифференциал тождественного отображения $y \to y$ :

$dy(h) = h,\quad h \in \R.$

Пусть теперь $y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0).$ Тогда $dy = f'(x_0)\, dx$ , и согласно цепному правилу:

$dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.$

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

1.3. Пример

Пусть $h(x) = (3x^2 - 5x)^7.\;$ Тогда функция $h\;$ может быть записана в виде композиции $h = g \circ f ,$ где

$f(x) = 3x^2-5x,\;$ $g(y) = y^7.\;$

Дифференцируя эти функции отдельно:

$f'(x) = 6x - 5,\;$ $g'(y) = 7y^6,\;$

получаем

$h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).$

2. Многомерный случай

Пусть даны функции $f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n,$ где y0 = f(x0), и $g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p.$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in \mathcal{D}(x_0)$ и $g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh(x0) = dg(y0) * df(x0).

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

$\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}.$

2.1. Следствия

Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций: $\left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.$

Для частных производных сложной функции справедливо

$\frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.$

wreferat.baza-referat.ru

Таблица производных Дифференцирование сложных функций - реферат

Контрольная работа Дисциплина: Высшая математика Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций 1. Таблица производных Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций. 1. />. Найдем производную, когда />. Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то /> Отсюда /> и />, то есть />. Если />, результат тот же. 2. />. Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то />. Отсюда /> и />, то есть />. 3. />. Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то />. Отсюда /> и />, то есть />. 4. />. По определению />. Будем дифференцировать /> как частное: />, то есть />. 5. />. По определению />. Будем дифференцировать /> как частное: />, то есть />. 6. />. Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то />. Отсюда /> и />, то есть />. Здесь была использована формула для второго замечательного предела. 7. />. Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />. 8. />. Зададим приращение аргументу />, что даст />. Так как />, а />, то />. Отсюда />и />, то есть />. Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела. 9. />. Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим />: />. Значит, />. Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если />, то />. Теорема. Если для некоторой функции /> существует обратная ей />, которая в точке /> имеет производную не равную нулю, то в точке /> функция /> имеет производную /> равную />, то есть />. Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: />. Так как функция /> имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть />, откуда />. Значит, />. Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций. 10. />. В данном случае обратной функцией будет />. Для нее />. Отсюда />, то есть />. 11. />. Так как />, то />. />.--PAGE_BREAK--В данном случае обратной функцией будет />. Для нее />. Отсюда />, то есть />. 13. />. Так как />, то />. 2. Производная сложной функции Пусть дана функция /> и при этом />. Тогда исходную функцию можно представить в виде />. Функции такого типа называются сложными. Например, />. В выражении /> аргумент /> называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций. Теорема. Пусть функция /> имеет производную в точке />, а функция /> имеет производную в соответствующей точке />. Тогда сложная функция /> в точке /> также будет иметь производную равную производной функции /> по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по />, то есть />. Для доказательства дадим приращение аргументу />, то есть от /> перейдем к />. Это вызовет приращение промежуточного аргумента />, который от /> перейдет к />. Но это, в свою очередь, приведет к изменению />, который от /> перейдет к />. Так как согласно условию теоремы функции /> и /> имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если />, то и />, что, в свою очередь, вызовет стремление /> к нулю. Составим />. Отсюда, /> и, следовательно, />. Если функция /> имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде />, где />, а />, или />, то, соответственно, /> и так далее. 3. Дифференцирование параметрически заданной функции Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии. При обычном задании функции уравнение />связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая />, получаем значение />, то есть пару чисел, являющихся координатами точки />. При изменении /> меняется />, точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные /> и /> связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину. Пусть даны две функции: /> где />. Для каждого значения /> из данного промежутка будет своя пара чисел /> и />, которой будет соответствовать точка />. Пробегая все значения, /> заставляет меняться /> и />, то есть точка /> движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная /> – параметром. Если функция /> взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти />. Подставляя /> в />, получим />, то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно. Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям /> и /> в зависимости от времени />, то есть в виде параметрически заданной функции /> Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение />. В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых. 1. Окружность. Возьмем точку /> на окружности с радиусом />. Выражая /> и /> через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем: /> Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности />. /> Рис. 3.1 2. Эллипс. Известно, что уравнение эллипса – />. Отсюда />. Возьмем две точки /> и /> на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу /> (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что />. Подставим это выражение в />: />. Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид /> /> Рис. 3.2 3. Циклоида. Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом />. Зафиксируем точку Oее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты: /> Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид: /> /> Рис. 3.3 4. Астроида. Пусть внутри окружности радиуса /> без скольжения катится другая окружность радиуса />. Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид: /> /> Рис. 3.4 Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций. Пусть функция /> от /> задана параметрически: /> где />. Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом />. Найдем />. Составим отношение />. Тогда />. Следовательно, />. Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций. Литература Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.

2dip.su