Реферат на тему "Симметрия - это красота". Реферат симметрия

Реферат "Симметрия в природе" | Социальная сеть работников образования

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №3

Реферат по математике на тему:

«Симметрия в природе»

Подготовила: ученик 6 класса «В» Звягинцев Денис

Учитель: Курбатова И.Г.

с. Безопасное, 2012г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

Раздел I. Симметрия в математике………………………………………………5

Глава 1. Центральная симметрия………………………………………………..5

Глава 2. Осевая симметрия……………………………………………………….6

Глава 4. Зеркальная симметрия…………………………………………………7

Раздел II. Симметрия в живой природе………………………………………….8

Глава 1. Симметрия в живой природе. Асимметрия и симметрия…………8

Глава 2. Симметрия растений…………………………………………………10

Глава 3. Симметрия животных………………………………………………….12

Глава 4. Человек – существо симметричное…………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….16

Введение

Тема реферата была выбрана после изучения раздела «Осевая и центральная симметрия». Остановился именно на этой теме не случайно, хотелось узнать принципы симметрии, её виды, разнообразие её в живой и неживой природе.

Под симметрией (от греч. symmetria — соразмерность) в широком смысле понимают правильность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например, зубчатые колеса.

Было интересно, потому что данная тема затрагивает не только математику, хотя она и лежит в её основе, но и другие области науки, техники, природы. Симметрия, как мне кажется, является фундаментом природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений людей.

Я обратил внимание на то, что во многих вещах, в основе красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды — от простейших до самых сложных. Можно говорить о симметрии, как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», регулярности и упорядоченности.

Нам это важно, потому что для многих людей математика – скучная и сложная наука, но математика – не только цифры, уравнения и решения, но и красота в строении геометрических тел, живых организмов и даже является фундаментом для многих наук от простых до самых сложных.

Цели реферата были следующими:

раскрыть особенности видов симметрии;
показать всю привлекательность математики как науки и её взаимосвязь с природой в целом.

Задачи:

сбор материала по теме реферата и его обработка;
обобщение обработанного материала;
выводы о проделанной работе;
оформление обобщенного материала.

Раздел I. Симметрия в математике

Глава 1. Центральная симметрия

Понятие центральной симметрии следующее: «Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры». Поэтому говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Понятия центра симметрии в «Началах» Евклида нет, однако в 38-ом предложении XI книги содержится понятие пространственной оси симметрии. Впервые понятие центра симметрии встречается в XVI в. В одной из теорем Клавиуса, гласящей: «если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр». Лежандр, который впервые ввёл в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к рёбрам, а другие 6 проходят через диагонали граней.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

В алгебре при изучении чётных и нечётных функций рассматриваются их графики. График чётной функции при построении симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции – относительно начала координат, т.е. точки О. Значит, нечётная функция обладает центральной симметрией, а чётная функция – осевой.

Таким образом, две центрально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить друг на друга, не выводя их из общей плоскости. Для этого достаточно одну из них повернуть на угол 180° около центра симметрии.

Как в случае зеркальной, так и в случае центральной симметрии плоская фигура непременно имеет ось симметрии второго порядка, но в первом случае эта ось лежит в плоскости фигуры, а во втором – перпендикулярна к этой плоскости.

Глава 2. Осевая симметрия

Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

В более узком смысле осью симметрии называют ось симметрии второго порядка и говорят об «осевой симметрии», которую можно определить так: фигура (или тело) обладает осевой симметрией относительно некоторой оси, если каждой её точке Е соответствует такая принадлежащая этой же фигуре точка F, что отрезок EF перпендикулярен к оси, пересекает её и в точке пересечения делится пополам. Рассмотренная выше (гл. 1) пара треугольников обладает (кроме центральной) еще осевой симметрией. Её ось симметрии проходит через точку С перпендикулярно к плоскости чертежа.

Приведём примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник— три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

Глава 3. Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело).

Важно отметить, что два симметричных друг другу тела не могут быть вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.

Рассмотрим пример. Если плоская фигура ABCDE симметрична относительно плоскости Р (что возможно лишь в случае взаимной перпендикулярности плоскостей ABCDE и Р), то прямая KL, по которой пересекаются упомянутые плоскости, служит осью симметрии (второго порядка) фигуры ABCDE. Обратно, если плоская фигура ABCDE имеет ось симметрии KL, лежащую в её плоскости, то эта фигура симметрична относительно плоскости Р, проведённой через KL перпендикулярно к плоскости фигуры. Поэтому ось КЕ можно назвать также зеркальной L прямой плоской фигуры ABCDE.

Две зеркально симметричные плоские фигуры всегда можно наложитьдруг на друга. Однако для этого необходимо вывести одну из них (или обе) из их общей плоскости.

Вообще зеркально равными телами (или фигурами) называются тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела (или фигуры).

Раздел II. Симметрия в живой природе

Глава 1. Симметрия в живой природе. Асимметрия и симметрия

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрии (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии.

Внешняя симметрия может выступить в качестве основания классификации организмов (сферическая, радиальная, осевая и т.д.) Микроорганизмы, живущие в условиях слабого воздействия гравитации, имеют ярко выраженную симметрию формы.

Молекулярная асимметрия открыта Л. Пастером, который первым выделил "правые" и "левые" молекулы винной кислоты: правые молекулы похожи на правый винт, а левые - на левый. Такие молекулы химики называют стереоизомерами.

Молекулы стереоизомеры имеют одинаковый атомный состав, одинаковые размеры, одинаковую структуру - в то же время они различимы, поскольку являются зеркально асимметричными, т.е. объект оказывается нетождественным со своим зеркальным двойником. Поэтому здесь понятия "правый-левый" - условны.

В настоящее время хорошо известно, что молекулы органических веществ, составляющие основу живой материи, имеют асимметричный характер, т.е. в состав живого вещества они входят только либо как правые, либо как левые молекулы. Таким образом, каждое вещество может входить в состав живой материи только в том случае, если оно обладает вполне определенным типом симметрии. Например, молекулы всех аминокислот в любом .живом организме могут быть только левыми, сахара ~ только правыми. Это свойство живого вещества и его продуктов жизнедеятельности называют дисимметрией. Оно имеет совершенно фундаментальный характер. Хотя правые и левые молекулы неразличимы по химическим свойствам, живая материя их не только различает, но и делает выбор. Она отбраковывает и не использует молекулы, не обладающие нужной ей структурой. Как это происходит, пока не ясно. Молекулы противоположной симметрии для нее яд.

Если бы живое существо оказалось в условиях, когда вся пища была бы составлена из молекул противоположной симметрии, не отвечающей дисимметрии этого организма, то оно погибло бы от голода. В неживом веществе правых и левых молекул поровну. Дисимметрия - единственное свойство, благодаря которому мы можем отличить вещество биогенного происхождения от неживого вещества. Мы не можем ответить на вопрос, что такое жизнь, но имеем способ отличить живое от неживого. Таким образом, асимметрию можно рассматривать как разграничительную линию между живой и неживой природой. Для неживой материи характерно преобладание симметрии, при переходе от неживой к живой материи уже на микроуровне преобладает асимметрия. В живой природе асимметрию можно увидеть всюду. Очень удачно это подметил в романе "Жизнь и судьба" В. Гроссман: "В большом миллионе русских деревенских изб нет и не может быть двух неразличимо схожих. Все .живое неповторимо.

Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте. На принципе симметрии основан метод аналогий, предполагающий отыскание общих свойств в различных объектах. На основе аналогий создаются физические модели различных объектов и явлений. Аналогии между процессами позволяют описывать их общими уравнениями.

Глава 2. Симметрия растений

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называется элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120є, для колокольчика – 72є, для нарцисса – 60є . Поворотную ось можно характеризовать и с помощью другой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360є. Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третьего, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка. Это такие полевые цветы как колокольчик, незабудка, зверобой, лапчатка гусиная и др.; цветы плодовых деревьев – вишня, яблоня, груша, мандарин и др., цветы плодово-ягодных растений – земляника, ежевика, малина, шиповник; садовые цветы – настурция, флокс и др.

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т. е. совмещающиеся со своим первоначальным положением после поворота на угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси.

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса, что буквально означает строение листа. Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.

Глава 3. Симметрия животных

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды – от простейших до самых сложных. Симметрия в строение животных – почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила.

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии, такие как радиальную (лучевая) или билатеральную (двусторонняя), которые являются основными типами симметрии. Кстати, склонность к регенерации (восстановление) зависит от типа симметрии животного.

В биологии о радиальной симметрии идёт речь, когда через трёхмерное существо проходят две или более плоскости симметрии. Эти плоскости пересекаются в прямой. Если животное будет вращаться вокруг этой оси на определённый градус, то оно будет отображаться само на себе. В двухмерной проекции радиальная симметрия может сохраняться, если ось симметрии направлена перпендикулярно к проекционной плоскости. Иными словами, сохранение радиальной симметрии зависит от угла наблюдения.

При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Среди них встречается так называемая пентасимметрия, базирующаяся на пяти плоскостях симметрии.

Радиальная симметрия характерна для многих стрекающих, а также для большинства иглокожих, кишечнополостных. Взрослые формы иглокожих приближаются к радиальной симметрии, в то время как их личинки билатерально симметричны.

Лучевую симметрию мы также видим у медуз, кораллов, актиний, морских звёзд. Если вращать их вокруг собственной оси, они несколько раз «совместятся сами с собой». Если отрезать у морской звезды любое из пяти щупалец, оно сумеет восстановить всю звезду. От радиальной симметрии различаются двулучевая радиальная симметрия (две плоскости симметрии, к примеру, гребневики), а также билатеральная симметрия (одна плоскость симметрии, к примеру, двусторонне-симметричные).

При билатеральной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны – брюшная и спинная – друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих. Например, черви, членистоногие, позвоночные. У большинства многоклеточных (у человека в том числе) другой тип симметрии – двусторонняя. Левая половина их тела — это как бы «отражённая в зеркале правая». Этот принцип, однако, не относится к отдельным внутренним органам, что демонстрирует, например, расположение печени или сердца у человека. Плоский червь планария имеет двустороннюю симметрию. Если разрезать его вдоль оси тела или поперёк, из обеих половинок вырастут новые черви. Если же измельчить планарию как-нибудь иначе — скорее всего ничего не выйдет.

Можно сказать также, что каждое животное (будь то насекомое, рыба или птица) состоит из двух энантиоморфов – правой и левой половин. Энантиоморфы – пара зеркально асимметричных объектов (фигур), являющихся зеркальным изображением один другого (например, пара перчаток). Иными словами – это объект и его зазеркальный двойник при условии, что сам объект зеркально асимметричен.

Сферическая симметрия имеет место у радиолярий и солнечников, тело которых сферической формы, а его части распределены вокруг центра сферы и отходят от неё. У таких организмов нет ни передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые половинки.

Губки и пластинчатые не проявляют симметрию.

Глава 4. Человек - существо симметричное

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И всё же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так. Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе.

Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя). В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство высоких людей отличаются удлинённым черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлинённой формы. Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы, в общем, похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчёркивают эту симметрию. И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например, расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа или делая асимметричную стрижку. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или, надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой). Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от неё и придают характерные, индивидуальные черты.И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

Заключение

С симметрией мы встречаемся везде ~ в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике,химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.

Еще одним интересным проявлением симметрии жизненных npoifeccoe являются биологические ритмы (биоритмы), циклические колебания биологических процессов и их характеристик (сокращения сердца, дыхание, колебания интенсивности деления клеток, обмена веществ, двигательной активности, численности растений и животных), зачастую связанные с приспособлением организмов к геофизическим циклам. Исследованием биоритмов занимается особая наука - хронобиология. Помимо симметрии существует также понятие ассиметрии; Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте.

nsportal.ru

Реферат на тему "Симметрия - это красота"

Оглавление

§1. Введение

§2. Понятие симметрия? Виды симметрии в геометрии

§3. Проявление симметрии в живой и неживой природе

§4. Применение законов симметрии человеком

Заключение

Литература

Приложения

§1 Введение

На тему «Симметрия» по геометрии в школьном курсе отведено очень мало времени, а мне кажется эта тема очень интересной. Симметрия - это не только математическое понятие, она проявляется как нечто прекрасное в живой и неживой природе, а также в творениях человека. Поэтому я в своем реферате решила рассказать о таких вопросах:

Как проявляется гармоничность симметрии в природе;
Какие виды симметрий, встречаются в природе;
Как применяет красоту симметрии в своих творениях человек?

Поэтому тема моего реферата «Симметрия — символ красоты».

§2. Понятие симметрия? Виды симметрии в геометрии.

А что же такое симметрия? В толковом словаре С.И. Ожегова симметрия истолковывается, как «соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости». Из этого же словаря я узнала, что слово гармония означает «согласованность, стройность в сочетании чего-нибудь». Мы видим, что симметрия и гармония связаны между собой.

Рассмотрим какие виды симметрии встречаются в школьном курсе геометрии, а это:

центральная (относительно точки)
осевая ( относительно прямой)
зеркальная (относительно плоскости).

Центральная симметрия.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией (см.рис. 1).

Осевая симметрия.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а, также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией (см. рис. 2).

Зеркальная симметрия.

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку М1(см. Рис 3).

Почему мы находим одни вещи красивыми, а другие нет? Почему смотреть на симметричные изображения приятнее, нежели на асимметричные? Хочется об этом рассказать в следующем параграфе.

§3. Проявление симметрии в живой и неживой природе

Красота в природе не создаётся, а лишь фиксируется, выражается. Рассмотрим проявление симметрии с «глобального», а именно с нашей планеты Земля.

То, что Земля — шар, стало известно образованным людям еще в древности. Земля в представлении большинства начитанных людей до эпохи Коперника была центром мироздания. Поэтому прямые, проходящие через центр Земли, они считали центром симметрии Вселенной. Поэтому даже макет Земли – глобус имеет ось симметрии (см. рис. 4).

Почти все живые существа построены по законам симметрии, недаром в переводе с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность».

Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120° (см. рис. 5), для колокольчика – 72° (см. рис. 6), для нарцисса – 60° (см. рис. 7). В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света (см. рис. 8), хотя сами листья тоже имеют ось симметрии (см. рис. 9). Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные (см.рис. 10,11, 12).

Среди бесконечного разнообразия форм неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за красотой природы, можно заметить, что при отражении предметов в лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия.

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы (см.рис.14). Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией (см. рис. 15).

А что такое кристалл? Твердое тело, имеющее естественную форму многогранника. Соль, лед, песок и т.д. состоят из кристаллов. Прежде всего Ромэ-Делиль подчёркивал правильную геометрическую форму кристаллов исходя из закона постоянства углов между их гранями. Он писал: «К разряду кристаллов стали относить все тела минерального царства, для которых находили фигуру геометрического многогранника…» Правильная форма кристаллов возникает по двум причинам. Во-первых, кристаллы состоят из элементарных частичек - молекул, которые сами имеют правильную форму. Во-вторых, «такие молекулы имеют замечательное свойство соединяться между собой в симметричном порядке».

Почему же так красивы и привлекательны кристаллы? Их физические и химические свойства определяются их геометрическим строением. В кристаллографии (науке о кристаллах) существует даже раздел, который называется «Геометрическая кристаллография». В 1867 году генерал от артиллерии, профессор Михайловской академии в Петербурге А.В. Гадолин строго математически вывел все сочетания элементов симметрии, характеризующие кристаллические многогранники. Например, гранат попадает в первую, так называемую кубическую систему, все кристаллы которой имеют те же элементы симметрии, что и куб

(форму куба имеют, например, кристаллы поваренной соли). Всего существует 32 вида симметрий идеальных форм кристалла.

Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия в природе была нарушена!

§4. Применение законов симметрии человеком

Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле — как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Г. Вейль под симметрией понимал «неизменность какого-либо объекта, при определенного, рода преобразованиях; предмет является симметричным, в том случае, когда его можно подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования». Определенную главу Г. Вейль посвятил орнаментной симметрии. Упорядоченность и подчиненность определенному набору правил мы обнаруживаем в узорах и орнаментах (см. рис. 16).

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.).

В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами (см.рис. 17, 18).

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. Примеров использования симметрии в архитектуре множество, одним из них является прекрасный Новосибирский театр оперы и балета (см. рис. 19, 20).

Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике - это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо (см. рис. 21), также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

Симметрию можно заметить даже там, на что никогда не обращал внимание. Например, если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

Симметрия также есть и в числах, например, √12345678987654321=111111111; √123454321=11111 и т.д.

симметрия центральная осевая зеркальная геометрия

Заключение

Изучив тему «Симметрии» я узнала, что помимо осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы изучаем в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе – поворотная, винтовая, в кристаллографии вообще - 32 вида.

Таким образом, изучая симметрию законов природы, рано или поздно удается глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции и дать возможность человеку чаще применять данные законы симметрии в жизни.

Рассматривая архитектуру зданий, предметы украшения и быта, технические изобретения, мы видим в них присутствие центральной, поворотной, переносной, осевой и зеркальной видов симметрии, которые дают ощущение спокойной уверенности и эстетической привлекательности.

Симметрия, проявляясь в самых различных объектах природного мира, несомненно, отражает наиболее общие ее свойства. Поэтому изучение симметрии разнообразных природных объектах и сопоставление его (изучения) результатов удобным и надежным инструментом познания гармонии мира.

Литература

Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.
Гончарова С.Г., Кукин Г.П. Конструктор «В мире симметрии» //Математика в школе. – 1996. - № 3. – С. 60.
Кошелев А.И. Проявление симметрии в различных формах материи.
Вейль Г. Симметрия. М.: Едиториал УРСС, 2003
Климова Н.Т. Народный орнамент в композиции художественных изделий. - М.: Изобразительное искусство, 1993.
О. Иванова. Этот симметричный мир. - Первое сентября. – 2006 № 6.

Размещено на Allbest.ru

Приложения

Симметрия и ее виды в геометрии.

Симметрия в природе

Применение симметрии человеком.

kopilkaurokov.ru

Реферат по математике "Симметрия"

Оглавление

Введение ....................................................................3

Глава 1. Человек — существо симметричное…….5

Глава 2. Безукоризненная симметрия скучна ........6

Глава 3. Что такое подобие? ………………………7

Глава 4. Загляните в словарь …………………….. 9

Глава 5. Точки и линии ……………………………10

Глава 6. Наш мир в зеркале ……………………….12

Глава 7. Как отражает зеркало? …………………..14

Глава 8. От трельяжа до радара…………………...16

Глава 9. Легенды рудокопов………………………19

Глава 10. Асимметрия внутри симметрии…..........21

Глава 11.Асимметрия любой ценой………………24

Заключение…………………………………………28

Литература………………………………………….29

Приложение………………………………………...30

ВВЕДЕНИЕ

Данный реферат посвящён такому понятию современного естествознания как СИММЕТРИЯ.

Лейтмотивом всего реферата является понятие симметрии, играющей (есть мнение) ведущую, хотя и не всегда осознанную, роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни. Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Здесь уместно привести высказывание Дж. Ньюмена, который особенно удачно подчеркнул всеохватывающие и вездесущие проявления симметрии: «Симметрия устанавливает забавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...».

Цель моей работы:

Воспользовавшись различной литературой по геометрии, различными справочными материалами для подробного изучения темы «Симметрия», дать наиболее полное представление по данной теме.

Задачи:

Рассмотреть зеркальную симметрию;
Рассмотреть человека, как существо симметричное.

Достаточно взглянуть на окружающий нас реальный мир, чтобы убедиться в первостепенном значении именно зеркальной симметрии с соответствующим симметричным элементом — плоскостью симметрии. В самом деле, форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее — шагают, плывут, летят, катятся, — обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии. Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направлении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения, симметрия которого моделируется конусом. Главенствующую роль в теории играет плоскость симметрии. Недаром знаменитый русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863—1925) писал (1896) о плоскости симметрии как об «основном элементе симметрии». Комбинируя зеркальные отражения, можно вывести все возможные симметричные операции. Исходя из этих комбинаций, можно полностью вывести все элементы классической симметрии — простые, сложные и винтовые оси, плоскости простого и скользящего отражения, трансляции. Совокупности таких элементов образуют виды симметрии (например, 32 класса для кристаллических многогранников, 230 пространственных групп для кристаллических структур). Как видим, именно плоскость симметрии лежит в основании всего здания симметричной теории.

ЧЕЛОВЕК — СУЩЕСТВО СИММЕТРИЧНОЕ

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно

симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае у большинства людей. И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их.

Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так. Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения здесь и уделяется внимание. Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе. Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи.

Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя).

В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство высоких людей отличаются удлиненным черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлиненной формы. Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы в общем похожи друг на друга.

Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию (рис.1).

БЕЗУКОРИЗНЕННАЯ СИММЕТРИЯ СКУЧНА

И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, права штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния.

Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой).

Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от нее и придают характерные, индивидуальные черты. И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым.

В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

ЧТО ТАКОЕ ПОДОБИЕ?

Нередко мы говорим, что какие-то два человека похожи друг на друга.

Дети обычно похожи на своих родителей(во всяком случае, по мнению их бабушек). Похожи, но не одинаковы! Попробуем разобраться, что понимается под сходством или подобием в математике. У подобных фигур соответствующие отрезки пропорциональны друг другу. В нашем случае мы можем сформулировать это положение так: подобные носы имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. При этом каждому отдельному участку носа (например, переносице) должны быть пропорциональны все остальные.

Этот закон подобия иногда таит в себе подвох. Например, в задаче

такого рода: Высота башни А 10 м. На некотором расстоянии Х от нее находится шестиметровая башня В. Если провести прямые от подножия и от вершины башни А через вершину башни В, то они встретятся соответственно с подножием и вершиной башни С, имеющей высоту 15 м. Каково расстояние от башни А до башни Д?

Казалось бы, для решения достаточно взять в руки циркуль и линейку. Но тут же выяснится, что ответов будет бесконечное множество. Иными словами, на вопрос о значении Х не может быть однозначного ответа. Такого рода задачи, даже если они и не имеют решения, как, например, предложенная выше, касаются какой-либо проблемы, лежащей у пределов нашего знания. Большей частью это те самые пределы, перед которыми пасует знаменитый «здравый смысл», и лишь строго математическое логическое мышление вкупе с естественнонаучным познанием способно привести к правильному решению.

Обратимся снова к человеку: при сравнении живых существ сходство ощущается явно, если совпадают их пропорции. Поэтому могу быть похожи дети и взрослые. Хотя масса и размеры любой из частей тела, будь то нос или рот, различны, но пропорции похожих индивидов совпадают.

Поразительный пример подобия — глазомерная оценка расстояния с помощью большого пальца. Таким способом военные и моряки прикидывают расстояние между двумя пунктами на местности или в море, сопоставляя их с шириной пальца или кулака. В самом простом случае закрывают один глаз и смотрят открытым глазом на палец вытянутой руки, используя его как визир. Если раскрыть прежде закрытый глаз (а второй зажмурить), палец на видимое расстояние переместится в сторону. В градусном выражении это расстояние составляет 6°. И притом величина этого «прыжка» (в пределах допустимой ошибки) одинакова у всех людей! Так, правофланговый роты, парень двухметрового роста, и самый маленький — левофланговый, ростом всего лишь метр шестьдесят, сравнив эти «прыжки» пальца, получат одну и ту же величину.

Причина этого явления в конечном счете кроется в подобии людей и, конечно, в законах оптики, которым подчиняется наше зрение. Известно и «правило кулака» — в самом прямом смысле этого слова — для грубой прикидки величины угла. Если мы посмотрим одним глазом на кулак вытянутой руки (на сей раз одним и тем же глазом), то ширина кулака составит 10°, а расстояние между двумя косточками фаланг 3°. Кулак и оттопыренный в сторону большой палец составят 15°. Комбинируя эти мерки, можно приблизительно измерить все углы на местности. И наконец, еще одна угловая мера нашего тела, которая может пригодиться при домашних работах. Угол между большим пальцем и мизинцем растопыренной ладони составляет 90°.

ЗАГЛЯНИТЕ В СЛОВАРЬ!

В начале реферата человек назвался существом симметричным. В дальнейшем же термин «симметрия» больше не употреблялся. Однако во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела были подобными, но без дополнительных действий совместить их было нельзя, «практически» нельзя, мы встречались с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в «Современный словарь иностранных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра... такое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии...»1 И это еще не все, как часто бывает с иностранными словами, значений у слова «симметрия» существует множество. В том-то и состоит преимущество подобных выражений, что их можно использовать в случае, когда не хотят дать однозначное определение или просто не знают четкого различия между двумя предметами.

Термин «соразмерный» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие несоответствия не позволяют употребить слово «симметричный». Давайте также заглянем в Энциклопедический словарь2 . Мы обнаружим здесь шесть статей, начинающихся со слова «симметрия». Кроме того, это слово встречается во множестве других статей. В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии. Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики ди-симметричны, а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.

Основной интерес для нас будет представлять зеркальная симметрия — симметрия левого и правого. Можно увидеть, что это кажущееся ограничение уведет нас далеко в мир науки и техники и позволит время от времени подвергать испытанию способности нашего мозга (так как именно он запрограммирован на симметрию).

ТОЧКИ И ЛИНИИ

Порассуждаем о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль.

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо. Но то, что здесь выглядит шуткой, в практической жизни доставляет массу сложностей не только детям, но и взрослым. Нередко дети пишут некоторые буквы «навыворот». Латинское N выглядит у них как И, а S и Z получаются наоборот. Если мы внимательно посмотрим на буквы латинского алфавита (а это ведь тоже, в сущности, плоские фигуры!), то увидим среди них симметричные и несимметричные. У таких букв, как N,S , Z, нет ни одной оси симметрии (равно как и у F, G, J, L, Р, О и R). Но N,S и Z особенно легко пишутся «наоборот», так-так имеют центр симметрии. У остальных прописных букв есть как минимум по одной оси симметрии. Буквы А, М, Т, U, V, W и Y можно разделить пополам продольной осью симметрии. Буквы В, С, D, Е, I, К — поперечной осью симметрии. У букв Н, О и Х имеется по две взаимно перпендикулярные оси симметрии. (тот же эксперимент можно провести с любым алфавитом европейской группы). Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Встречаются дети, которые пишут левой рукой, и все буквы получаются у них в зеркальном, отраженном, виде. «Зеркальным шрифтом» написаны дневники

Леонардо да Винчи. Вероятно, не существует веского основания, заставляющего нас писать буквы именно так, как это делаем мы. Вряд ли зеркальным шрифтом труднее овладеть, чем обычным. Правописание от этого не стало бы проще, а некоторые слова, как, например, ОТТО, вообще не изменились бы. Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

НАШ МИР В ЗЕРКАЛЕ

В трехмерном мире пространственных тел, где мы с вами живем, существуют плоскости симметрии. «Зеркало» всегда имеет на одно измерение меньше, чем мир, который оно отражает. При взгляде на круглые тела сразу видно, что они имеют плоскости симметрии, но вот сколько именно — решить не всегда просто. Поставим перед зеркалом шар и начнем его медленно вращать: изображение в зеркале никак не будет отличаться от оригинала, конечно в том случае, если шар не имеет каких-либо отличительных признаков на своей поверхности. Шарик для пинг-понга обнаруживает бессчетное множество плоскостей симметрии. Возьмем нож, отрежем половину шара и поместим ее перед зеркалом. Зеркальное отражение вновь дополнит эту половинку до целого шарика.

Но если мы возьмем глобус и рассмотрим его симметрию, учитывая нанесенные на нем географические контуры, то мы не отыщем ни одной плоскости симметрии.

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. Поэтому нас не должно удивлять, что в. пространстве аналогичные свойства присущи шару. Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым или полусферическим основанием, шар или сегмент шара. Или возьмем примеры из жизни: сигарета, сигара, стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба. Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии.

Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна ось симметрии. Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса- фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру. В целом эти представления вполне приемлемы и по сей день. Далее греческие философы делали вывод о том, что Вселенная, несомненно, должна быть построена по образцу математического идеала. Ясно, что у древних греков еще не было фунтиков с мороженым! Иначе бы такой прозаический предмет, имеющий бесчисленное множество плоскостей симметрии, мог бы нарушить их стройную систему.

Если для сравнения мы рассмотрим куб, то увидим, что он имеет девять плоскостей симметрии. Три из них делят его грани пополам, а шесть проходят через вершины. По сравнению с шаром это, конечно, маловато.

А имеются ли тела, занимающие по числу плоскостей промежуточное положение между шаром и кубом? Без сомнения — да. Стоит только вспомнить, что круг, в сущности, как бы состоит из многоугольников. Мы проходили это в школе при вычислении числа (. Если над каждым n - угольником мы воздвигнем n - угольную пирамиду, то сможем провести через нее n плоскостей симметрии.

Можно было бы придумать 32-гранную сигару, которая имела бы соответствующую симметрию! Но если мы тем не менее воспринимаем куб как более симметричный предмет, чем пресловутый фунтик с мороженым, то это связано со строением поверхности. У шара поверхность всего одна. У куба их шесть — по числу граней, и каждая грань представлена квадратом. Фунтик с мороженым состоит из двух поверхностей: круга и конусообразной оболочки. Более двух тысячелетий (вероятно, благодаря непосредственному восприятию) традиционно отдается предпочтение «соразмерным» геометрическим телам. Греческий философ Платон (427—347 до н. э.) открыл, что из правильных конгруэнтных плоских фигур можно построить только пять объемных тел.

Из четырех правильных (равносторонних) треугольников получается тетраэдр (четырехгранник). Из восьми правильных треугольников можно построить октаэдр (восьмигранник) и, наконец, из двадцати правильных треугольников — икосаэдр. И только из четырех, восьми или двадцати одинаковых треугольников можно получить объемное геометрическое тело. Из квадратов можно составить только одну объемную фигуру — гексаэдр (шестигранник), а из равносторонних пятиугольников — додекаэдр (двенадцатигранник). А что в нашем трехмерном мире полностью лишено зеркальной симметрии? Если на плоскости это была плоская спираль, то в нашем мире таковыми, безусловно, будут винтовая лестница или спиральный бур. Кроме того, существуют еще тысячи асимметричных вещей и предметов в окружающей нас жизни и технике. Как правило, винт имеет правую резьбу. Но иногда встречается и левая. Так, для большей безопасности баллоны с пропаном снабжены левой резьбой, чтобы к ним нельзя было привинтить вентиль- редуктор, предназначенный, например, для баллона с другим газом. Между шаром и кубом, с одной стороны, и винтовой лестницей, с другой, существует еще масса степеней симметрии. От куба можно постепенно отнимать плоскости симметрии, оси и центр, пока мы не придем к состоянию полной асимметрии. Почти у конца этого ряда симметрии стоим, мы, люди, с всего единственной плоскостью симметрии, разделяющей наше тело на левую и правую половины. Степень симметрии у нас такая же, как, например, у обычного полевого шпата (минерала, образующего вместе со слюдой и кварцем гнейс или гранит).

КАК ОТРАЖАЕТ ЗЕРКАЛО

Конечно, все мы знаем, как отражает зеркало, но, если только потребуется описать это точно, несомненно возникнут трудности. Как правило, мы довольны собой, если что-то представляем себе хотя бы «в принципе». А подробности, которые преподаватели физики объясняли нам на доске с помощью мела и линейки, всякий нормальный школьник и студент стараются забыть, и, чем скорее, тем лучше.

Каждый ребенок, исполненный удивления перед окружающим миром, непременно заинтересуется, каким образом зеркало отражает его. Но взрослые обычно отвечают в подобных случаях: «Не задавай глупых вопросов!» Человек сникает, начинает стесняться, удивление его постепенно затухает, и он старается больше не проявлять его до конца жизни (а жаль!).

Но вспомним о словах Бертольда Бреста: «Глупых вопросов не бывает, бывают только глупые ответы». Конечно, людей можно разделить на дураков и умных, на больших и маленьких, они разнятся по языку, вероисповеданию, мировоззрению. Можно представить себе и такой способ подразделения:

1) люди, которые никогда не удивляются;

2) люди, которые удивляются, но не задумываются над удивившим их явлением;

3) люди, которые, удивившись, спрашивают «а почему?»;

4) люди, которые, удивившись, обращаются к числу и мере.

В зависимости от условий жизни, традиций, степени образованности

встречаются и все возможные «промежуточные» ступени. Мыслители античности и средневековья изумлялись миру и думали о его тайнах. Но им лишь изредка выпадал случай измерить какое-либо явление.

Только в эпоху Возрождения, то есть в XVI в., люди пришли к убеждению, что измерение лучше слепой веры или схоластических рассуждений. Этому способствовали экономические интересы, удовлетворить которые можно было только путем развития естественных наук, путем количественных измерений. (Мы видим, что, по существу, меновая стоимость «измерялась» с помощью денег.) Для XVI в. оптика была ультрасовременной наукой. Из стеклянного шара, наполненного водой, которым пользовались как фокусирующей линзой, возникло увеличительное стекло, а из него микроскоп и подзорная труба. Крупнейшей в те времена морской державе Нидерландам требовались для флота хорошие подзорные трубы, чтобы загодя рассмотреть опасный берег или вовремя уйти от врага. Оптика обеспечивала успех и надежность навигации. Поэтому именно в Нидерландах многие ученые занимались ею. Голландец Виллеброрд, Снелль Ван Ройен, именовавший себя Снеллиусом (1580 - 1626), наблюдал (что, впрочем, видели и многие до него), как тонкий луч света отражается в зеркале. Он просто измерил угол падения и угол отражения луча (чего до него не делал никто) и установил закон: угол падения равен углу отражения. Теперь, задним числом, этот закон кажется нам чем-то само собой разумеющимся. Но в те времена он имел огромное, можно сказать, мировоззренческое значение, которое будило философскую мысль вплоть до XIX века.

Закон отражения Снеллиуса объясняет явление зеркального отражения. Каждой точке предмета соответствует её отражение в зеркале, и потому в нём наш правый глаз перемещается на левую сторону. Вследствие этого переноса точек предметы, расположенные дальше, в зеркале тоже кажутся уменьшенными в соответствии с законами перспективы. Технически мы можем реконструировать зеркальное изображение так, словно оно расположено за поверхностью стекла. Но это только кажущееся восприятие. Не случайно животные и маленькие дети часто заглядывают за зеркало; они верят, что изображение таится сзади, словно картина, видимая за окном. Факт перестановки левого и правого правильно осознается только взрослыми.

ОТ ТРЕЛЬЯЖА ДО РАДАРА

Должны ли мы считать, что самих себя видим только в «зеркальном отражении» и в лучшем случае лишь на фото и кинопленке можем узнать, как выглядим «на самом деле»?

Конечно нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. Нередко в домах трельяжи имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему, то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие. Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во втором зеркале повторит ваше движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении. Угловое зеркало с прямым углом между составляющими его зеркалами отличается еще некоторыми интересными свойствами. Если смастерить его из двух маленьких зеркал, то можно убедиться в том, что в таком зеркале с прямоугольным раствором (а сейчас речь только о нем) отраженный луч света всегда параллелен падающему лучу. Это очень важное свойство. Но не единственное! При повороте углового зеркала вокруг оси, соединяющей зеркала (в определенных пределах), отраженный луч не изменит своего направления.

В технике обычно не составляют зеркала, а используют прямоугольную призму, у которой соответствующие грани обеспечивают зеркальный ход лучей.

Прямоугольные призмы, как бы «складывающие» ход луча «гармошкой», сохраняя его необходимую длину, заданную фокусным расстоянием линзы, позволяют уменьшать габариты оптических приборов. В призматических биноклях лучи света при помощи таких приборов обращаются на 180°. На старинных картинах можно видеть капитанов и полководцев с непомерно длинными подзорными трубами. Благодаря угловым зеркалам старинные подзорные трубы превратились в современные бинокли.

Игрокам в бильярд издавна знакомо действие отражения. Их «зеркала»— это борта игрового поля, а роль луча света исполняют траектории шаров. Ударившись о борт возле угла, шар катится к стороне, расположенной под прямым углом, и, отразившись от нее, движется обратно параллельно направлению первого удара. Свойство отраженного луча сохранять направление при повороте углового зеркала вокруг оси находит широкое применение в технике. Так, в трехгранном зеркальном уголковом отражателе луч сохраняет постоянное направление, несмотря на весьма сильные качания зеркала. По форме такое зеркало представляет собой кубик с отрезанным уголком. И в этом случае на практике используют не три зеркала, а соответствующую стеклянную призму с зеркальными гранями.

Важной областью применения трехгранного зеркала служит уголковый отражатель (кошачий глаз, катофот) на велосипедах, мотоциклах, сигнальных предохранительных щитах, ограничителях проезжей части улицы. С какой бы стороны ни упал свет на такой отражатель, световой рефлекс всегда сохраняет направление источника света.

Большую роль трехгранные зеркальные уголковые отражатели играют в радиолокационной технике. Самолеты и крупные стальные корабли отражают луч радара. Несмотря на значительное рассеяние его, той небольшой доли отраженных радиоволн, которая возвращается к радару, обычно достаточно для распознания объекта.

Хуже обстоит дело с маленькими суденышками, сигнальными поплавками и пластиковыми парусными яхтами. У небольших предметов отражение слишком слабое. Пластиковые яхты так же «прозрачны» для радиоволн, на которых работает радарная техника, как оконные стекла для солнечного света. Поэтому парусные яхты и сигнальные буйки оснащают металлическими уголковыми отражателями. Длина граней у такого «зеркала» всего около 30 см, но этого довольно, чтобы возвращать достаточно мощное эхо.

Вернемся еще раз к угловому зеркалу из двух соединенных зеркал. Качнем его ось вправо или влево — наше изображение тоже наклонится в сторону. Мы можем даже положить его, если поместим ось зеркала горизонтально. Но, наклонив зеркало еще дальше, мы заметим, что изображение «выпрямляется».

Угловое зеркало имеет плоскость симметрии, которая делит пополам пространство между обоими зеркалами. При соответствующей форме оно может иметь еще одну плоскость, перпендикулярную зеркалам, но она здесь не рассматривается. Нас интересует только плоскость симметрии, проходящая между зеркалами, в которой, так сказать, взаимно отражаются оба зеркала.

Если человек своей продольной осью встанет параллельно моей оси, я поменяю ему правую и левую стороны, но если тот же человек своей продольной осью расположится перпендикулярно моей оси (ибо я всегда остаюсь неизменной), то я поменяю то, что люди называют верхом и низом». Как видим, все зависит от точки зрения. Но в конечном итоге истинно то, что можно измерить и сосчитать.

Сегодня мы не видим особого достижения в том, что Снеллиус измерил углы падения и отражения луча. Но мы не должны забывать, что ученые XVI в. Подобными открытиями ломали более чем двадцативековую традицию. Среди секретов телевидения известен трюк с уменьшением исполнителя, который на фоне всей окружающей обстановки «в натуральную величину» выглядит маленькой куколкой. Иногда зритель может видеть актера одновременно в двух масштабах: на переднем плане в обычную величину, а на заднем в уменьшенном. Тому, кто искушен в фотографии, понятно, как достигается подобный эффект. Сначала снимается уменьшенный вариант, а потом актер играет перед экраном, на который проецируется его уменьшенное изображение.

Известный «чародей» Иохен Цмек в своей увлекательной книге «Волшебный мир магии» описывает, как подобные чудеса можно делать без фотографии.

Когда уменьшенный предмет должен сам собой появиться в пространстве,., с помощью вогнутого зеркала его изображение проецируется таким образом, чтобы он казался стоящим на подставке.

Иллюзионист Александр Фюрст строил этот трюк следующим образом. Зритель видел маленькую сцену с сильно уменьшенными артистами. Чтобы спроецировать их в таком виде на экран, Фюрст использовал в своем сооружении угловое зеркало. Именно перед ним двигались артисты. Но зеркало переворачивало их на 180° и ставило тем самым «на голову», и уже это изображение вогнутое зеркало, еще раз перевернув, отбрасывало на маленькую сцену. Непременным условием эффекта была безупречная чистота всех зеркал.

ЛЕГЕНДЫ РУДОКОПОВ

В старину рудокопы были людьми сугубо практическими. Они не забивали себе голову названиями всевозможных горных пород, которые встречали штольне, а просто делили эти породы и минералы на полезные и бесполезные, ненужные. Нужные они извлекали из недр, из них плавили медь, свинец, серебро и другие металлы, а ненужные сваливали в отвалы. Для полезных (на их взгляд) минералов они подыскивали наглядные и запоминающиеся имена. Можно никогда не видеть копьевидного колчедана, но без особого труда представить его себе по названию. Не сложнее по названию отличить красный железняк от бурого железняка.

Для бесполезных камней (как уже было сказано — на их взгляд) горняки нередко находили названия в преданиях и легендах. Так, например, произошло название руды кобальтовый блеск. Кобальтовые руды похожи на серебряные и при добыче иногда принимались за них. Когда из такой руды не удавалось выплавить серебро, считалось, что она заколдована горными духами — кобольдами.

Когда же минералогия превратилась в науку, было открыто великое множество пород и минералов. И при этом все чаще возникали трудности с изобретением для них наименований. Новые минералы часто называли по месту находки (ильменит — в Ильменских горах) или в честь знаменитого человека (гетит — в честь Гете) или же давали ему греческое или латинское название.

Музеи пополнялись грандиозными коллекциями камней, которые становились уже необозримыми. Не слишком помогали и химические анализы, потому что многие вещества одного и того же состава образуют подчас кристаллы совершенно различного облика. Достаточно вспомнить хотя бы снежинки.

В 1850 г. французский физик Опост Брава (1811—1863) выдвинул геометрический принцип классификации кристаллов, основанный на их внутреннем строении. По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического вещества крошечную элементарную частицу кристалла. Сегодня со школьной скамьи мы знаем, что мир состоит из мельчайших частиц — атомов и молекул.

Но Браве оперировал в своих представлениях крошечным «кирпичиком» кристалла и исследовал, каковы могли быть у него углы между ребрами и в каких соотношениях его стороны могли находиться между собой. В кубе три ребра расположены всегда под углом 90° друг к Другу. Все стороны имеют равную длину. У кирпича углы тоже составляют 90°. Но его стороны различной длины. У снежинок, наоборот, мы не найдем угла 90°, а только 60 или 120°.

В самом скверном случае все три оси и все углы ячейки различны по величине, при этом в ней нет углов ни в 90, ни в 120°. Все в ней косо и криво, и, можно подумать, в мире кристаллов таким не должно быть места. Между тем к ним относится, например, сульфат меди (медный купорос), голубые кристаллы которого обычно всем так нравятся.

В некоторых из этих 7 пространственных решеток элементарные «кирпичики» можно упаковать по-разному. Для нас, знающих сегодня о строении атома, это нетрудно представить и продемонстрировать с помощью шариков для пинг-понга. Но 125 лет назад гениальная идея Браве была новаторской и открывала новые пути в науке. Весьма вероятно, что и Браве исходил из узоров кафеля или мотивов шахматной доски. Если мы разделим квадратные поля диагоналями, то возникает новый рисунок из квадратов, стоящих на углах. В трехмерном пространстве это соответствует кубу, разложенному на шесть пирамид. Каждая такая пирамида составляет половину октаэдра. Те, кто когда-нибудь выращивал кристаллы поваренной соли, знают, что соль может кристаллизоваться в кубах, а может — в октаэдрах. Иными словами, экспериментальные наблюдения совпадают с теоретическими соображениями. Испробовав возможные варианты упаковки для всех семи осевых систем, Браве вывел 14 решеток.

Рассматривая решетки Браве внимательней и пробуя мысленно построить из них кристаллы, мы, вероятно, увидим, как можно провести в них плоскости и оси симметрии. Эти возможности сразу расширятся, если мы в одной из элементарных ячеек образуем новые грани. Возьмем куб, поставим его на угол и обрежем (все так же мысленно) все углы, тогда у него образуются совершенно новые треугольные грани. А из квадратных граней возникнут восьмиугольники: тем самым появятся новые мотивы симметрии.

Анализ элементов симметрии в каждой из осевых систем кристаллических решеток приводит к возникновению 32 классов симметрии. Все многообразие минералов в природе подразделяется на основе 32 классов симметрии. Вооруженные этими знаниями, задумаемся о классификации пяти тел Платона. То, что куб, с его тремя равными осями и тремя прямыми углами, относится к кубической осевой системе (сингонии), не нуждается в доказательстве. В рамках более детального подразделения он принадлежит пентагон - тетраэдрическому классу симметрии1 . Не стану здесь приводить названий других классов из-за их сложности. Однако стоит обратить внимание на термин «тетраэдрический», так как тетраэдр — одно из Платоновых тел.

Тетраэдр можно образовать из куба. Остальные Платоновы тела также относятся к кубической системе. Древние греки, надо думать, ужасно расстроились бы, знай они, что такой прозаический минерал, как серный колчедан, имеет ту же симметрию, что и их «совершенные» тела.

ОБ АССИМЕТРИИ

АССИМЕТРИЯ ВНУТРИ СИММЕТРИИ

Собственно говоря, симметрия и асимметрия должны бы взаимно исключать одна другую — как черное и белое или как день и ночь. Так оно и происходит на самом деле, пока симметрия или ее антипод рассматриваются по отношению к одному и тому же телу.

Ведь в растворе кристаллов нет. Но как в оптически активном кристалле, так и в растворах, обладающих этим свойством, присутствуют молекулы. Кристаллы, построенные — подобно металлам — из одних только атомов, оптически неактивны (кроме того, они непрозрачны!) Высокоупорядоченный кристалл, состоящий из ионов Na+CI- ,тоже не действует на проходящий свет. Однако кварц имеет более сложное строение, чем хлорид натрия. Кварц — это диоксид кремния, химическая формула которого Si02. Кремний, как и углерод, находится в четвертой группе периодической системы. А углерод постоянно изображают со связями: =С= Кремний, принадлежащий к той же группе, что и углерод, также четырехвалентен. Химия кремния, подобно химии углерода, весьма сложна.

Кристаллическая структура кварца представляет собой трехмерный каркас из длинных цепей, построенных в форме винтовых лестниц. Разумеется, винтовые лестницы полностью асимметричны. Однако они бывают лево- и правосторонними, как изображение и его зеркальное отражение. Связанные между собой асимметричные цепи образуют либо левый, либо правый кристалл. Соответственно они оказывают оптическое влияние на свет.

У водо-растворимых кристаллов органических соединений зеркальная симметрия молекул прослеживается как в твердом, так и в растворенном состоянии. Известный пример — винная кислота. Она встречается в виде левых и правых кристаллов. Соответственно ведет себя и ее раствор. Под правым направлением здесь всегда понимается направление по часовой стрелке. Таким образом, левая винная кислота вращает плоскость поляризации против часовой стрелки. Нидерландский физикохимик Якоб Хендрик Вант-Гофф (1852—1911) объяснил такое поведение винной кислоты, исходя из строения ее молекулы. При одном и том же химическом составе можно написать три разные структурные формулы винной кислоты. Каждый из двух центральных атомов углерода в любом случае связан с группой СООН. В органической химии эта группа — отличительный признак кислоты. Проглотив таблетку аспирина или попробовав на язык уксус, вы ощущаете кисловатый вкус, он обусловлен именно присутствием группы СООН. Для нас, однако, важнее правая и левая связи атомов углерода. Они связывают либо атом водорода, либо группу ОН. Именно здесь кроется возможность возникновения двух зеркально-симметричных вариантов их взаимного расположения и, помимо того, третьего варианта, который симметричен сам по себе.

В книгах по химии часто можно встретить обозначения L- и D-винная кислота, производные от латинских слов laevus — левый и dexter — правый.

Теперь нам уже нетрудно сообразить, что вещество, носящее название «декстро- энерген», должно быть оптически активным и притом правовращающим. В молекуле виноградного сахара (торговое наименование которого и есть «декстро-энерген») присутствует цепочка из атомов углерода, «подвески» которой могут быть синтезированы право- или лево- сторонними. Вант-Гофф, впрочем, не пользовался такой простой плоскостной моделью, как мы. Он сразу рисовал ее в объемном изображении, что больше отвечает действительности. Каждый из 4-ёх углеродных атомов винной кислоты расположен в вершине тетраэдра. К этим угловым атомам углерода и привязаны прочие атомы, кислородные и водородные. Вследствие этого из одного совершенного Платонова тела (каким является тетраэдр) возникают две различные, зеркально-симметричные формы.

Однако здесь, как и в любой области естествознания, мы не должны воспринимать такие описания буквально. Речь идет всего лишь о картинках и моделях, назначение которых — помочь нам разобраться в тех или иных явлениях. Чтобы легче представить, как из асимметричных молекул вдруг возникает симметричный кристалл, рассмотрим несколько примеров на плоскости.

Раньше под рубриками вроде «В часы досуга» порой встречались задачи, где предлагается разложить одну плоскую фигуру, скажем шестиугольник и образовать из нее другую плоскую фигуру, например квадрат. В данном случае две высокосимметричные плоские фигуры составляются из одинаковых асимметричных элементов. В свое время ведущим умельцем в такого рода разложениях и сложениях слыл австралиец Гарри Линдгрен. Чтобы еще больше затруднить решение подобных задач, ставится дополнительное условие: обойтись возможно меньшим числом составных элементов. Линдгрен и другие любители, увлекавшиеся разложением фигур, отваживались разлагать даже узоры кафеля. В качестве иллюстрации позаимствуем разложение узора из восьмиугольников с маленькими квадратами в мотив из квадратов той же площади, что и восьмиугольники, причем малые квадраты в новом узоре сохраняются, но в несколько смещенном положении.

как их поместил Вант-Гофф. Однако теория нидерландского профессора давала единственно удовлетворительное объяснение вращению поляризованного света, поэтому она все же получила признание. Тем временем химики разработали методы прямого определения формы молекул. И мы теперь знаем, что Вант-Гофф был прав.

АСИММЕТРИЯ ЛЮБОЙ ЦЕНОЙ

Природа всегда отбирает среди множества вариантов те, которые проще и надежнее всего обеспечивают жизнь и ее продолжение. Естественно, ее действия отличны от действий человека, отыскивающего нужное слово в словаре или решение задачи в учебнике. Она просто вслепую воспроизводит все решения, как верные, так и ложные, полагаясь на то, что наилучшее из них пробьет себе дорогу, выживет в процессе эволюции, на протяжении сотен тысяч или миллионов лет. Подобно тому как это происходит и в технике (здесь уж, конечно, не без помощи человека), в живой природе побеждает то, что наиболее просто и надежно.

Одна из важнейших предпосылок жизни — наследственность. Потомками лошадей снова и снова должны быть лошади. И в своих основных чертах они должны походить на родителей.

Австрийский естествоиспытатель Грегор И. Мендель (1822— 1884) в 1860г. на основании своих знаменитых опытов по гибридизации сортов гороха (!) пришел к выводу, что дети половину наследственных факторов получают от одного из родителей, а половину — от другого. Благодаря успехам современной микробиологии мы довольно отчетливо представляем себе, как это осуществляется с помощью носителей наследственности — генов.

Мы вернулись к модели генной спирали, построенной Уотсоном и Криком. При оплодотворении женского яйца наследственность может передаваться только в материальной форме. При этом однозначно должно указываться, какие именно признаки наследуются. Здесь сразу же намечаются два возможных пути осуществления этой задачи.

Вероятность дважды заменить букву гораздо меньше, чем совершить ошибку один раз. К тому же при таком способе кодирования всегда известно, где начало, а где конец сообщения. Если мы прочитали на ней «топор», то однозначно заключаем, что это никак на «ропот». В силу всех этих преимуществ в природе в ходе естественного отбора для передачи наследственной информации победил принцип «азбуки Морзе». Лента, несущая эту информацию, состоит из молекул сахара и фосфата, построенных в два ряда. В каждом ряду они чередуются через одну: сахар — фосфат — сахар — фосфат. В пределах обоих рядов напротив каждой молекулы сахара располагается тоже молекула сахара, а против каждой молекулы фосфата — молекула фосфата. Промежутки между парами сахар — сахар (но не фосфат — фосфат) заполнены еще четырьмя видами химических соединений, которые получили следующие названия: аденит (А), цитозин (Z), гуанин (G) и тимин (Т). Запомним лишь обозначающие их буквы A, Z ,G и Т. А всегда связано с Т, a Z—с G. Одна из этих групп всякий раз связывает пары сахар— сахар обоих рядов. В наглядном изображении получается полоса, напоминающая лестницу, поручни которой состоят из сахара и фосфата, перекладины (ступеньки) — из групп А—Т или Z—G. Для ступенек возможны комбинации Т—А и А—Т наряду c Z—G и G—Z. Кроме того, последовательность перекладин может быть произвольной: скажем, комбинации Z — G могут следовать подряд несколько раз. Но пока такая лестница, подобно лестнице, которой пользуется электрик, остается прямой, она все еще сохраняет возможность оказаться симметричной. Последствия этого могли бы стать катастрофическими для любого живого существа. Но, к счастью, концы «лестницы» спирально закручены. Такая абсолютная асимметрия исключает всякую генетическую ошибку. Построив свою модель, Уотсон и Крик получили первое доказательство ее правильности. Размеры отдельных молекул были им известны. Действительности могла соответствовать лишь такая модель, к которой свободно подходили бы все структурные элементы. И только двойная спираль удовлетворяла этому требованию. Те кто ближе знакомые с этим предметом, знают, что речь все время идет о дезоксирибонуклеиновой кислоте. Ввиду громоздкости этого слова чаще принято обозначать ее сокращенно — ДНК. Молекула ДНК, помимо способности к безошибочному обозначению наследуемых свойств, имеет и еще одно преимущество: она одинаково пригодна как для блох, так и для слонов и, конечно, для людей тоже. Комбинацией из четырех букв А, Z, Т, G все свойства обозначаются точно так же, как это делается посредством трех знаков при использовании азбуки Морзе. Конечно, «телеграфная лента» в этом случае должна быть достаточно длинной; чтобы на ней могли уместиться все команды будущему живому организму. Мы знаем из биологии, что у человека носителями наследственности служат 46 похожих на палочки хромосом. Если растянуть их двойные спирали, то получится лента длиной около метра. А так как атомы и молекулы очень малы (на одном сантиметре их помещается 100 млн.), то на протяжении одного метра оказывается возможным записать всю необходимую информацию. Хотя спирали и асимметричны, можно представить себе их зеркальные отражения. Так существует ли вероятность того, что в некой семье появятся двое детей, из которых один ребенок окажется зеркальным отражением другого (будет «закручен в другую сторону»), ибо его генные спирали, пусть одинаковые со спиралями генов второго ребенка, зеркально симметричны по отношению к ним? Нет! Все витки ДНК всегда направлены в одну сторону — вправо, как у обычного штопора. Поэтому в природе не существует зеркальных отражений с генными спиралями, закрученными в обратную сторону. Благодаря абсолютной асимметрии и недопущению зеркального отражения вся заключенная в генах информация не может быть перепутана.

Вирусы — белковые соединения, стоящие на пороге живого, — тоже имеют правое направление вращения. Некоторые исключения обнаружены лишь у антибиотиков. Они «закручены» влево; на этом, очевидно, и основано их действие. Вероятно, таков вообще признак жизни — ее стремление образовывать из симметричных молекул асимметричные и затем делать выбор в пользу одного из возможных видов асимметрии. Эта мысль, по-видимому, ведет свое начало от французского химика, биолога и медика Луи Пастера (1822—1895). Уже из одного перечня его профессий видно, что он был человеком поистине универсальных знаний. Человечество обязано ему предохранительными прививками против бешенства и других заболеваний. Ему принадлежит открытие, что кипячение убивает микробов. К Пастеру восходят дезинфекция и методы стерилизации. Он первым привел также весьма важное для философии и естествознания доказательство того, что живое возникает только из живого.

В молодости Пастер занимался винной кислотой — той самой, о которой мы уже рассказывали. Ему было известно, что наряду с винной кислотой существует химически тождественная ей виноградная кислота. Но обе эти кислоты различаются по их оптическим свойствам. Раствор винной кислоты оптически активен, он вращает поляризованный свет. Раствор виноградной кислоты, напротив, совсем не отклоняет света. Рассматривая кристаллы обеих кислот под микроскопом, Пастер обнаружил, что у винной кислоты они являются либо правыми, либо левыми, а у оптически нейтральной виноградной кислоты половина кристаллов — левые и половина — правые. Тогда он проделал весьма трудоемкую работу по сортировке кристаллов виноградной кислоты и перевел в раствор отдельно правые и левые кристаллы. Оба раствора, как и ожидалось, оказались оптически активными. Часть виноградной кислоты вращала световой луч влево, а часть — вправо.

один их вид. Измерить это оказалось очень просто: в ходе опыта по воздействию микробов на растворы нейтральная виноградная кислота становилась оптически активной. Пастер пришел к заключению, что живые существа, предпочитающие асимметричные молекулы, тоже должны быть асимметричными. Теперь мы знаем, что он был прав. Не только в спирали ДНК, но и всюду, где присутствуют белковые молекулы (а микробы — это высокомолекулярные органические белки), мы встречаемся со спиральным строением.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несмотря на кажущуюся простоту формулировки в сочетании с современными теориями физики, химии и других естественных наук, а также новыми открытиями (например нейтрино) в этих областях симметрия пространства (о времени я здесь не говорил) становится всё более запутанной. Но несомненно одно: Мир симметричен! В нём найдены в принципе зеркальное соответствие каждому изображению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гиль-де В. Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982г.

2. Современный словарь иностранных слов. — М.: Русский язык, 1993г.

3. Советский энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, 1980г.

4. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии — М.: Мысль, 1974г.

5. Современный словарь иностранных слов:. — М.; Русский язык 1993, с. 557

6. Советский энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, 1980. с. 1219—1220.

Приложение

Симметрия.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Рисунок 4.

Рисунок 5.

Рисунок 6.

Рисунок 7.

Рисунок 8.

Рисунок 9.

Рисунок 10.

Рисунок 11.

Рисунок 12.

Рисунок 13.

infourok.ru

Реферат - Симметрия - Математика

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ......................................................................................................	2
Человек — существо симметричное ..........................................................	3
Безукоризненная симметрия скучна ....................................................	3
Что такое подобие? ...............................................................................	4
Загляните в словарь ..............................................................................	5
Точки и линии .......................................................................................	6
Наш мир в зеркале ................................................................................	7
Как отражает зеркало? ................................................................................	10
От трельяжа до радара ..........................................................................	11
Легенды рудокопов ...............................................................................	13
Об асимметрии ............................................................................................	16
Асимметрия внутри симметрии ...........................................................	16
Асимметрия любой ценой ....................................................................	18
Заключение ..................................................................................................	21
Литература ..................................................................................................	22

ВВЕДЕНИЕ

Данный реферат посвящён такому понятию современного естествознания как СИММЕТРИЯ.

В данной работе внимание заострено на зеркальной симметрии. Такой подход вполне правомерен. Достаточно взглянуть на окружающий нас реальный мир, чтобы убедиться в первостепенном значении именно зеркальной симметрии с соответствующим симметричным элементом — плоскостью симметрии. В самом деле, форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее — шагают, плывут, летят, катятся, — обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии. Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направлении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения, симметрия которого моделируется конусом.

Главенствующую роль в теории играет плоскость симметрии. Недаром знаменитый русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863—1925) писал (1896) о плоскости симметрии как об «основном элементе симметрии». Комбинируя зеркальные отражения, можно вывести все возможные симметричные операции. Исходя из этих комбинаций, можно полностью вывести все элементы классической симметрии — простые, сложные и винтовые оси, плоскости простого и скользящего отражения, трансляции. Совокупности таких элементов образуют виды симметрии (например, 32 класса для кристаллических многогранников, 230 пространственных групп для кристаллических структур). Как видим, именно плоскость симметрии лежит в основании всего здания симметричной теории.

ЧЕЛОВЕК — СУЩЕСТВО СИММЕТРИЧНОЕ

И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы!

НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так.

Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения здесь и уделяется внимание.

Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе. Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя).

Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы в общем похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.

БЕЗУКОРИЗНЕННАЯ СИММЕТРИЯ СКУЧНА

И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой.

Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния.

Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от нее и придают характерные, индивидуальные черты.

И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

ЧТО ТАКОЕ ПОДОБИЕ?

Нередко мы говорим, что какие-то два человека похожи друг на друга. Дети обычно похожи на своих родителей (во всяком случае, по мнению их бабушек). Похожи, но не одинаковы!

Попробуем разобраться, что понимается под сходством или подобием в математике. У подобных фигур соответствующие отрезки пропорциональны друг другу. В нашем случае мы можем сформулировать это положение так: подобные носы имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. При этом каждому отдельному участку носа (например, переносице) должны быть пропорциональны все остальные.

Этот закон подобия иногда таит в себе подвох. Например, в задаче такого рода:

Высота башни А 10 м. На некотором расстоянии Х от нее находится шестиметровая башня В. Если провести прямые от подножия и от вершины башни А через вершину башни В, то они встретятся соответственно с подножием и вершиной башни С, имеющей высоту 15 м. Каково расстояние от башни А до башни Д?

Такого рода задачи, даже если они и не имеют решения, как, например, предложенная выше, касаются какой-либо проблемы, лежащей у пределов нашего знания. Большей частью это те самые пределы, перед которыми пасует знаменитый «здравый смысл», и лишь строго математическое логическое мышление вкупе с естественнонаучным познанием способно привести к правильному решению.

Обратимся снова к человеку: при сравнении живых существ сходство ощущается явно, если совпадают их пропорции. Поэтому могут быть похожи дети и взрослые. Хотя масса и размеры любой из частей тела, будь то нос или рот, различны, но пропорции похожих индивидов совпадают.

Если раскрыть прежде закрытый глаз (а второй зажмурить), палец на видимое расстояние переместится в сторону. В градусном выражении это расстояние составляет 6°. И притом величина этого «прыжка» (в пределах допустимой ошибки) одинакова у всех людей! Так, правофланговый роты, парень двухметрового роста, и самый маленький — левофланговый, ростом всего лишь метр шестьдесят, сравнив эти «прыжки» пальца, получат одну и ту же величину.

Причина этого явления в конечном счете кроется в подобии людей и, конечно, в законах оптики, которым подчиняется наше зрение.

Известно и «правило кулака» — в самом прямом смысле этого слова — для грубой прикидки величины угла. Если мы посмотрим одним глазом на кулак вытянутой руки (на сей раз одним и тем же глазом), то ширина кулака составит 10°, а расстояние между двумя косточками фаланг 3°. Кулак и оттопыренный в сторону большой палец составят 15°. Комбинируя эти мерки, можно приблизительно измерить все углы на местности.

И наконец, еще одна угловая мера нашего тела, которая может пригодиться при домашних работах. Угол между большим пальцем и мизинцем растопыренной ладони составляет 90°.

ЗАГЛЯНИТЕ В СЛОВАРЬ!

В начале реферата человек назвался существом симметричным. В дальнейшем же термин «симметрия» больше не употреблялся. Однако во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела были подобными, но без дополнительных действий совместить их было нельзя, «практически» нельзя, мы встречались с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в «Современный словарь иностранных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра… такое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии...»1

И это еще не все, как часто бывает с иностранными словами, значений у слова «симметрия» существует множество. В том-то и состоит преимущество подобных выражений, что их можно использовать в случае, когда не хотят дать однозначное определение или просто не знают четкого различия между двумя предметами.

Термин «соразмерный» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие несоответствия не позволяют употребить слово «симметричный».

Давайте также заглянем в Энциклопедический словарь2. Мы обнаружим здесь шесть статей, начинающихся со слова «симметрия». Кроме того, это слово встречается во множестве других статей.

В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии. Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики ди-симметричны, а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.

ТОЧКИ И ЛИНИИ

Но то, что здесь выглядит шуткой, в практической жизни доставляет массу сложностей не только детям, но и взрослым. Нередко дети пишут некоторые буквы «навыворот». Латинское N выглядит у них как И, а S и Z получаются наоборот. Если мы внимательно посмотрим на буквы латинского алфавита (а это ведь тоже, в сущности, плоские фигуры!), то увидим среди них симметричные и несимметричные. У таких букв, как N,S, Z, нет ни одной оси симметрии (равно как и у F, G, J, L, Р, О и R). Но N,S и Z особенно легко пишутся «наоборот», так-так имеют центр симметрии. У остальных прописных букв есть как минимум по одной оси симметрии. Буквы А, М, Т, U, V, W и Y можно разделить пополам продольной осью симметрии. Буквы В, С, D, Е, I, К — поперечной осью симметрии. У букв Н, О и Х имеется по две взаимно перпендикулярные оси симметрии. (тот же эксперимент можно провести с любым алфавитом европейской группы).

Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Встречаются дети, которые пишут левой рукой, и все буквы получаются у них в зеркальном, отраженном, виде. «Зеркальным шрифтом» написаны дневники Леонардо да Винчи. Вероятно, не существует веского основания, заставляющего нас писать буквы именно так, как это делаем мы. Вряд ли зеркальным шрифтом труднее овладеть, чем обычным.

Правописание от этого не стало бы проще, а некоторые слова, как, например, ОТТО, вообще не изменились бы. Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

НАШ МИР В ЗЕРКАЛЕ

Поставим перед зеркалом шар и начнем его медленно вращать: изображение в зеркале никак не будет отличаться от оригинала, конечно в том случае, если шар не имеет каких-либо отличительных признаков на своей поверхности. Шарик для пинг-понга обнаруживает бессчетное множество плоскостей симметрии. Возьмем нож, отрежем половину шара и поместим ее перед зеркалом. Зеркальное отражение вновь дополнит эту половинку до целого шарика.

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна ось симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.

В целом эти представления вполне приемлемы и по сей день. Далее греческие философы делали вывод о том, что Вселенная, несомненно, должна быть построена по образцу математического идеала. Ясно, что у древних греков еще не было фунтиков с мороженым! Иначе бы такой прозаический предмет, имеющий бесчисленное множество плоскостей симметрии, мог бы нарушить их стройную систему.

А имеются ли тела, занимающие по числу плоскостей промежуточное положение между шаром и кубом? Без сомнения — да. Стоит только вспомнить, что круг, в сущности, как бы состоит из многоугольников. Мы проходили это в школе при вычислении числаp. Если над каждым n — угольником мы воздвигнем n — угольную пирамиду, то сможем провести через нее n плоскостей симметрии.

Можно было бы придумать 32-гранную сигару, которая имела бы соответствующую симметрию!

Но если мы тем не менее воспринимаем куб как более симметричный предмет, чем пресловутый фунтик с мороженым, то это связано со строением поверхности. У шара поверхность всего одна. У куба их шесть — по числу граней, и каждая грань представлена квадратом. Фунтик с мороженым состоит из двух поверхностей: круга и конусообразной оболочки.

Более двух тысячелетий (вероятно, благодаря непосредственному восприятию) традиционно отдается предпочтение «соразмерным» геометрическим телам. Греческий философ Платон (427—347 до н. э.) открыл, что из правильных конгруэнтных плоских фигур можно построить только пять объемных тел.

А что в нашем трехмерном мире полностью лишено зеркальной симметрии?

Если на плоскости это была плоская спираль, то в нашем мире таковыми, безусловно, будут винтовая лестница или спиральный бур. Кроме того, существуют еще тысячи асимметричных вещей и предметов в окружающей нас жизни и технике. Как правило, винт имеет правую резьбу. Но иногда встречается и левая. Так, для большей безопасности баллоны с пропаном снабжены левой резьбой, чтобы к ним нельзя было привинтить вентиль-редуктор, предназначенный, например, для баллона с другим газом.

Между шаром и кубом, с одной стороны, и винтовой лестницей, с другой, существует еще масса степеней симметрии. От куба можно постепенно отнимать плоскости симметрии, оси и центр, пока мы не придем к состоянию полной асимметрии.

Почти у конца этого ряда симметрии стоим, мы, люди, с всего единственной плоскостью симметрии, разделяющей наше тело на левую и правую половины. Степень симметрии у нас такая же, как, например, у обычного полевого шпата (минерала, образующего вместе со слюдой и кварцем гнейс или гранит).

КАК ОТРАЖАЕТ ЗЕРКАЛО

Но вспомним о словах Бертольда Бреста: «Глупых вопросов не бывает, бывают только глупые ответы».

Конечно, людей можно разделить на дураков и умных, на больших и маленьких, они разнятся по языку, вероисповеданию, мировоззрению. Можно представить себе и такой способ подразделения:

1) люди, которые никогда не удивляются;

2) люди, которые удивляются, но не задумываются над удивившимих явлением;

3) люди, которые, удивившись, спрашивают «а почему?»;

4) люди, которые, удивившись, обращаются к числу и мере.

В зависимости от условий жизни, традиций, степени образованности встречаются и все возможные «промежуточные» ступени. Мыслители античности и средневековья изумлялись миру и думали о его тайнах. Но им лишь изредка выпадал случай измерить какое-либо явление.

Только в эпоху Возрождения, то есть в XVI в., люди пришли к убеждению, что измерение лучше слепой веры или схоластических рассуждений. Этому способствовали экономические интересы, удовлетворить которые можно было только путем развития естественных наук, путем количественных измерений. (Мы видим, что, по существу, меновая стоимость «измерялась» с помощью денег.) Для XVI в. оптика была ультрасовременной наукой. Из стеклянного шара, наполненного водой, которым пользовались как фокусирующей линзой, возникло увеличительное стекло, а из него микроскоп и подзорная труба. Крупнейшей в те времена морской державе Нидерландам требовались для флота хорошие подзорные трубы, чтобы загодя рассмотреть опасный берег или вовремя уйти от врага. Оптика обеспечивала успех и надежность навигации. Поэтому именно в Нидерландах многие ученые занимались ею. Голландец Виллеброрд, Снелль ван Ройен, именовавший себя Снеллиусом (1580 — 1626), наблюдал (что, впрочем, видели и многие до него), как тонкий луч света отражается в зеркале. Он просто измерил угол падения и угол отражения луча (чего до него не делал никто) и установил закон: угол падения равен углу отражения.

Теперь, задним числом, этот закон кажется нам чем-то само собой разумеющимся. Но в те времена он имел огромное, можно сказать, мировоззренческое значение, которое будило философскую мысль вплоть до XIX века.

Закон отражения Снеллиуса объясняет явление зеркального отражения.

Каждой точке предмета соответствует её отражение в зеркале, и потому в нём наш правый глаз перемещается на левую сторону. Вследствие этого переноса точек предметы, расположенные дальше, в зеркале тоже кажутся уменьшенными в соответствии с законами перспективы. Технически мы можем реконструировать зеркальное изображение так, словно оно расположено за поверхностью стекла. Но это только кажущееся восприятие. Не случайно животные и маленькие дети часто заглядывают за зеркало; они верят, что изображение таится сзади, словно картина, видимая за окном. Факт перестановки левого и правого правильно осознается только взрослыми.

ОТ ТРЕЛЬЯЖА ДО РАДАРА

Конечно нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. Нередко в домах трельяжи. Они имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему, то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие. Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во втором зеркале повторит ваше движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении.

Угловое зеркало с прямым углом между составляющими его зеркалами отличается еще некоторыми интересными свойствами. Если смастерить его из двух маленьких зеркал, то можно убедиться в том, что в таком зеркале с прямоугольным раствором (а сейчас речь только о нем) отраженный луч света всегда параллелен падающему лучу. Это очень важное свойство. Но не единственное! При повороте углового зеркала вокруг оси, соединяющей зеркала (в определенных пределах), отраженный луч не изменит своего направления.

На старинных картинах можно видеть капитанов и полководцев с непомерно длинными подзорными трубами. Благодаря угловым зеркалам старинные подзорные трубы превратились в современные бинокли.

Свойство отраженного луча сохранять направление при повороте углового зеркала вокруг оси находит широкое применение в технике. Так, в трехгранном зеркальном уголковом отражателе луч сохраняет постоянное направление, несмотря на весьма сильные качания зеркала. По форме такое зеркало представляет собой кубик с отрезанным уголком. И в этом случае на практике используют не три зеркала, а соответствующую стеклянную призму с зеркальными гранями.

Каждая плоскость симметрии меняет, как нам уже известно, правое на левое (и наоборот). Но это несколько упрощенное восприятие. Если бы плоскость симметрии умела говорить, она бы заявила: «Я не меняю ни правое на левое, ни верх на низ. Я вообще не знаю, что это такое. Я лишь точка за точкой отображаю все, что находится по одну или другую сторону от меня. Если человек своей продольной осью встанет параллельно моей оси, я поменяю ему правую и левую стороны, но если тот же человек своей продольной осью расположится перпендикулярно моей оси (ибо я всегда остаюсь неизменной), то я поменяю то, что люди называют верхом и низом». Как видим, все зависит от точки зрения.

Но в конечном итоге истинно то, что можно измерить и сосчитать. Сегодня мы не видим особого достижения в том, что Снеллиус измерил углы падения и отражения луча. Но мы не должны забывать, что ученые XVI в. подобными открытиями ломали более чем двадцативековую традицию.

Среди секретов телевидения известен трюк с уменьшением исполнителя, который на фоне всей окружающей обстановки «в натуральную величину» выглядит маленькой куколкой. Иногда зритель может видеть актера одновременно в двух масштабах: на переднем плане в обычную величину, а на заднем в уменьшенном.

Тому, кто искушен в фотографии, понятно, как достигается подобный эффект. Сначала снимается уменьшенный вариант, а потом актер играет перед экраном, на который проецируется его уменьшенное изображение.

Известный «чародей» Иохен Цмек в своей увлекательной книге «Волшебный мир магии» описывает, как подобные чудеса можно делать без фотографии. Когда уменьшенный предмет должен сам собой появиться в пространстве,., с помощью вогнутого зеркала его изображение проецируется таким образом, чтобы он казался стоящим на подставке.

ЛЕГЕНДЫ РУДОКОПОВ

В старину рудокопы были людьми сугубо практическими. Они не забивали себе голову названиями всевозможных горных пород, которые встречали в штольне, а просто делили эти породы и минералы на полезные и бесполезные, ненужные. Нужные они извлекали из недр, из них плавили медь, свинец, серебро и другие металлы, а ненужные сваливали в отвалы.

Для полезных (на их взгляд) минералов они подыскивали наглядные и запоминающиеся имена. Можно никогда не видеть копьевидного колчедана, но без особого труда представить его себе по названию. Не сложнее по названию отличить красный железняк от бурого железняка.

В 1850 г. французский физик Опост Браве (1811—1863) выдвинул геометрический принцип классификации кристаллов, основанный на их внутреннем строении. По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического вещества крошечную элементарную частицу кристалла. Сегодня со школьной скамьи мы знаем, что мир состоит из мельчайших частиц — атомов и молекул. Но Браве оперировал в своих представлениях крошечным «кирпичиком» кристалла и исследовал, каковы могли быть у него углы между ребрами и в каких соотношениях его стороны могли находиться между собой.

В кубе три ребра расположены всегда под углом 90° друг к Другу. Все стороны имеют равную длину. У кирпича углы тоже составляют 90°. Но его стороны различной длины. У снежинок, наоборот, мы не найдем угла 90°, а только 60 или 120°.

Браве установил, что существуют 7 комбинаций ячеек с одинаковыми или разными сторонами (осями) и углами. Для углов он принял только два варианта: равный 90° и не равный 90°. Только один угол во всей его системе в порядке исключения имеет 120°. В самом скверном случае все три оси и все углы ячейки различны по величине, при этом в ней нет углов ни в 90, ни в 120°. Все в ней косо и криво, и, можно подумать, в мире кристаллов таким не должно быть места. Между тем к ним относится, например, сульфат меди (медный купорос), голубые кристаллы которого обычно всем так нравятся.

Если мы разделим квадратные поля диагоналями, то возникает новый рисунок из квадратов, стоящих на углах. В трехмерном пространстве это соответствует кубу, разложенному на шесть пирамид. Каждая такая пирамида составляет половину октаэдра.

Те, кто когда-нибудь выращивал кристаллы поваренной соли, знают, что соль может кристаллизоваться в кубах, а может — в октаэдрах. Иными словами, экспериментальные наблюдения совпадают с теоретическими соображениями.

Испробовав возможные варианты упаковки для всех семи осевых систем, Браве вывел 14 решеток.

Анализ элементов симметрии в каждой из осевых систем кристаллических решеток приводит к возникновению 32 классов симметрии. Все многообразие минералов в природе подразделяется на основе 32 классов симметрии. Вооруженные этими знаниями, задумаемся о классификации пяти тел Платона. То, что куб, с его тремя равными осями и тремя прямыми углами, относится к кубической осевой системе (сингонии), не нуждается в доказательстве. В рамках более детального подразделения он принадлежит пентагон — тетраэдрическому классу симметрии1. Не стану здесь приводить названий других классов из-за их сложности. Однако стоит обратить внимание на термин «тетраэдрический», так как тетраэдр — одно из платоновых тел.

Тетраэдр можно образовать из куба. Остальные платоновы тела также относятся к кубической системе. Древние греки, надо думать, ужасно расстроились бы, знай они, что такой прозаический минерал, как серный колчедан, имеет ту же симметрию, что и их «совершенные» тела.

ОБ АССИМЕТРИИ

АССИМЕТРИЯ ВНУТРИ СИММЕТРИИ

Тот факт, что растворы оптически активных веществ вращают плоскость поляризации в точности так же, как кристаллы, однозначно доказывает, что само кристаллическое состояние не может служить причиной этого явления. Ведь в растворе кристаллов нет. Но как в оптически активном кристалле, так и в растворах, обладающих этим свойством, присутствуют молекулы. Кристаллы, построенные — подобно металлам — из одних только атомов, оптически неактивны (кроме того, они непрозрачны!) Высокоупорядоченный кристалл, состоящий из ионов Na+CI-, тоже не действует на проходящий свет. Однако кварц имеет более сложное строение, чем хлорид натрия. Кварц — это диоксид кремния, химическая формула которого Si02. Кремний, как и углерод, находится в четвертой группе периодической системы. А углерод постоянно изображают со связями: =С=

Кремний, принадлежащий к той же группе, что и углерод, также четырехвалентен. Химия кремния, подобно химии углерода, весьма сложна. Кристаллическая структура кварца представляет собой трехмерный каркас из длинных цепей, построенных в форме винтовых лестниц. Разумеется, винтовые лестницы полностью асимметричны. Однако они бывают лево- и правосторонними, как изображение и его зеркальное отражение. Связанные между собой асимметричные цепи образуют либо левый, либо правый кристалл. Соответственно они оказывают оптическое влияние на свет.

В книгах по химии часто можно встретить обозначения L- и D-винная кислота, производные от латинских слов laevus — левый и dexter — правый. Теперь нам уже нетрудно сообразить, что вещество, носящее название «декстро-энерген», должно быть оптически активным и притом правовращающим. В молекуле виноградного сахара (торговое наименование которого и есть «декстро-энерген») присутствует цепочка из атомов углерода, «подвески» которой могут быть синтезированы право- или лево- сторонними.

Вант-Гофф, впрочем, не пользовался такой простой плоскостной моделью, как мы. Он сразу рисовал ее в объемном изображении, что больше отвечает действительности. Каждый из 4-ёх углеродных атомов винной кислоты расположен в вершине тетраэдра. К этим угловым атомам углерода и привязаны прочие атомы, кислородные и водородные.

Вследствие этого из одного совершенного платонова тела (каким является тетраэдр) возникают две различные, зеркально-симметричные формы. Однако здесь, как и в любой области естествознания, мы не должны воспринимать такие описания буквально. Речь идет всего лишь о картинках и моделях, назначение которых — помочь нам разобраться в тех или иных явлениях. Чтобы легче представить, как из асимметричных молекул вдруг возникает симметричный кристалл, рассмотрим несколько примеров на плоскости.

Когда Вант-Гофф опубликовал свою теорию о правых и левых молекулах, она была встречена в штыки. Многие из его современников никак не хотели согласиться с тем, что атомы в молекуле должны располагаться именно так, как их поместил Вант-Гофф. Однако теория нидерландского профессора давала единственно удовлетворительное объяснение вращению поляризованного света, поэтому она все же получила признание. Тем временем химики разработали методы прямого определения формы молекул. И мы теперь знаем, что Вант-Гофф был прав.

АСИММЕТРИЯ ЛЮБОЙ ЦЕНОЙ

Первый путь — это образование определенных химических соединений, каждое из которых соответствует наследуемому свойству. Однако он содержит много недостатков. И прежде всего он сопряжен с использованием огромного количества различных соединений для передачи всего набора наследуемых свойств. Вполне вероятно, что для передачи свойства «длинные ноги» лошади потребуется совсем иное химическое соединение, чем для передачи того же свойства блохе или слону. Кроме того, некоторые соединения неоднозначны: достаточно вспомнить о левой и правой винной кислоте. Более простым является другой путь кодирования информации, основанный на том же принципе, что и работа телеграфного аппарата системы Морзе или телетайпа. Телеграф «знает» и использует только три «структурных элемента»: тире, точку и пробел. Но информация, записанная с помощью азбуки Морзе, может содержать ошибки (а при передаче наследственности это недопустимо). Так, увидев на телеграфной ленте бессмысленное слово «зергало», телеграфист, надо думать, поймет из контекста, что имеется в виду зеркало. В случае особых сомнений он может запросить передающую станцию. Однако во избежание подобных недоразумений, чтобы исключить искажения, лучше подстраховаться. Наиболее простой способ — при передаче каждая буква дублируется: «ззееррккааллоо». Вероятность дважды заменить букву гораздо меньше, чем совершить ошибку один раз. К тому же при таком способе кодирования всегда известно, где начало, а где конец сообщения. Если мы прочитали на ней «топор», то однозначно заключаем, что это никак на «ропот». В силу всех этих преимуществ в природе в ходе естественного отбора для передачи наследственной информации победил принцип «азбуки Морзе». Лента, несущая эту информацию, состоит из молекул сахара и фосфата, построенных в два ряда. В каждом ряду они чередуются через одну: сахар — фосфат — сахар — фосфат. В пределах обоих рядов напротив каждой молекулы сахара располагается тоже молекула сахара, а против каждой молекулы фосфата — молекула фосфата. Промежутки между парами сахар — сахар (но не фосфат — фосфат) заполнены еще четырьмя видами химических соединений, которые получили следующие названия: аденин (А), цитозин (Z), гуанин (G) и тимин (Т). Запомним лишь обозначающие их буквы A, Z ,G и Т. А всегда связано с Т, a Z—с G. Одна из этих групп всякий раз связывает пары сахар— сахар обоих рядов. В наглядном изображении получается полоса, напоминающая лестницу, поручни которой состоят из сахара и фосфата, перекладины (ступеньки) — из групп А—Т или Z—G. Для ступенек возможны комбинации Т—А и А—Т наряду c Z—G и G—Z. Кроме того, последовательность перекладин может быть произвольной: скажем, комбинации Z — G могут следовать подряд несколько раз. Но пока такая лестница, подобно лестнице, которой пользуется электрик, остается прямой, она все еще сохраняет возможность оказаться симметричной. Последствия этого могли бы стать катастрофическими для любого живого существа. Но, к счастью, концы «лестницы» спирально закручены. Такая абсолютная асимметрия исключает всякую генетическую ошибку.

Построив свою модель, Уотсон и Крик получили первое доказательство ее правильности. Размеры отдельных молекул были им известны. Действительности могла соответствовать лишь такая модель, к которой свободно подходили бы все структурные элементы. И только двойная спираль удовлетворяла этому требованию. Те кто ближе знакомые с этим предметом, знают, что речь все время идет о дезоксирибонуклеиновой кислоте. Ввиду громоздкости этого слова чаще принято обозначать ее сокращенно — ДНК. Молекула ДНК, помимо способности к безошибочному обозначению наследуемых свойств, имеет и еще одно преимущество: она одинаково пригодна как для блох, так и для слонов и, конечно, для людей тоже. Комбинацией из четырех букв А, Z, Т, G все свойства обозначаются точно так же, как это делается посредством трех знаков при использовании азбуки Морзе. Конечно, «телеграфная лента» в этом случае должна быть достаточно длинной; чтобы на ней могли уместиться все команды будущему живому организму. Мы знаем из биологии, что у человека носителями наследственности служат 46 похожих на палочки хромосом. Если растянуть их двойные спирали, то получится лента длиной около метра. А так как атомы и молекулы очень малы (на одном сантиметре их помещается 100 млн.), то на протяжении одного метра оказывается возможным записать всю необходимую информацию. Хотя спирали и асимметричны, можно представить себе их зеркальные отражения. Так существует ли вероятность того, что в некой семье появятся двое детей, из которых один ребенок окажется зеркальным отражением другого (будет «закручен в другую сторону»), ибо его генные спирали, пусть одинаковые со спиралями генов второго ребенка, зеркально симметричны по отношению к ним? Нет! Все витки ДНК всегда направлены в одну сторону — вправо, как у обычного штопора. Поэтому в природе не существует зеркальных отражений с генными спиралями, закрученными в обратную сторону. Благодаря абсолютной асимметрии и недопущению зеркального отражения вся заключенная в генах информация не может быть перепутана.

Вероятно, таков вообще признак жизни — ее стремление образовывать из симметричных молекул асимметричные и затем делать выбор в пользу одного из возможных видов асимметрии. Эта мысль, по-видимому, ведет свое начало от французского химика, биолога и медика Луи Пастера (1822—1895). Уже из одного перечня его профессий видно, что он был человеком поистине универсальных знаний. Человечество обязано ему предохранительными прививками против бешенства и других заболеваний. Ему принадлежит открытие, что кипячение убивает микробов. К Пастеру восходят дезинфекция и методы стерилизации. Он первым привел также весьма важное для философии и естествознания доказательство того, что живое возникает только из живого.

Эти явления лишь 50 лет спустя объяснил Вант-Гофф. Однако и Пастер был уже весьма близок к их объяснению. Он продолжил свои эксперименты, помещая микробов в растворы виноградной кислоты. Выяснилось, что микробы способны различать левые и правые молекулы. Они избирательно поедали лишь один их вид. Измерить это оказалось очень просто: в ходе опыта по воздействию микробов на растворы нейтральная виноградная кислота становилась оптически активной. Пастер пришел к заключению, что живые существа, предпочитающие асимметричные молекулы, тоже должны быть асимметричными. Теперь мы знаем, что он был прав. Не только в спирали ДНК, но и всюду, где присутствуют белковые молекулы (а микробы — это высокомолекулярные органические белки), мы встречаемся со спиральным строением.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В нём найдены в принципе зеркальное соответствие каждому изображению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гильде В. Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982г.

2. Современный словарь иностранных слов. — М.: Русский язык, 1993г.

3. Советский энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, 1980г.

4. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии — М.: Мысль, 1974г.

1 Современный словарь иностранных слов:. — М.; Русский язык 1993, с. 557

2 Советский энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, 1980. с. 1219—1220.

1 К кубической системе относятся 5 из 32 классов кристаллографической симметрии. К ним принадлежат 5 разновидностей куба, различающихся по симметрии. Наиболее симметричный куб имеет 9 плоскостей симметрии, 3 четверные, 4 тройные и 6 двойных осей симметрии. Наименее симметричный куб, о котором и идет речь в тексте, обладает лишь тремя двойными и четырьмя тройными осями симметрии.

www.ronl.ru

Доклад - Симметрия в природе и искусстве

Реферат на тему «Симметрия в природе и искусстве»

Понятие симметрии нам хорошо знакомо, ведь мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку, т.е. асимметрии. В словаре симметрия определяется как «красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью». Симметрия (от греческого symmetria — «соразмерность») — понятие, означающее сохраняемость, повторяемость, «инвариантность» каких-либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований.

Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества.

Существуют, в принципе, две группы симметрий: к первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией. Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Для начала мне бы хотелось поподробнее поговорить о симметрии в природе. Мы ежеднвно сталкиваемся с ней — это смена дня и ночи, смена времен года, пространственно-временная симметрия (неизменность действия законов природы для всех моментов времени).

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией — поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

А что такое кристалл? Твердое тело, имеющие естественную форму многогранника. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образов кристаллов одного и того же вещества.

Идея симметрии часто являлась отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлого. Вносимая симметрией упорядоченность проявляется, прежде всего, в ограничении многообразия возможных структур, в сокращении числа возможных вариантов. В качестве важного физического примера можно привести факт существования определяемых симметрией ограничений разнообразия структур (о чем уже говорилось в примерах) молекул и кристаллов. Принцип симметрии также применим при рассмотрении проблем мироздания. Наблюдая хаотическую россыпь звезд на ночном небе, мы понимаем, что за внешним хаосом скрываются вполне симметричные спиральные структуры галактик, а в них — симметричные структуры планетных систем. Симметрия внешней формы кристалла является следствием ее внутренней симметрии – упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул). Иначе говоря, симметрия кристалла связана с существованием пространственной решетки из атомов, так называемой кристаллической решетки. Кроме того, множество законов физики основаны на свойствах симметрии. Например, ваш будильник одинаково звенит в любом углу комнаты, что иллюстрирует важную физическую симметрию — однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Благодаря этой симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства, если, конечно, не изменяются окружающие физические условия. Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии.

Пристальное внимание уделяли симметрии Пифагор и его ученики. Основное положение пифагорейской философии, согласно Аристотелю, состоит в том, «что число есть сущность всех вещей и организация вселенной в ее определениях представляет собою вообще гармоническую систему чисел и их отношений». Исходя из учения о числе пифагорейцы дали первую математическую трактовку гармонии, симметрии, которая не потеряла своего значения и в наши дни.

Среди более поздних естествоиспытателей и философов, занимавшихся разработкой категории симметрии, следует назвать Р. Декарта и Г. Спенсера.

Р.Декарт писал: «Каково бы ни было то неравенство и беспорядок, которое, как мы можем предположить, были с самого начала установлены богом между частицами материи, почти все эти частицы должны по законам природы приблизиться к средней величине и среднему движению». Таким образом, по Декарту, бог, создав асимметричные тела, придал им «естественное» круговое движение, в результате которого они совершенствовались в тела симметричные.

Характерно, что к наиболее интересным результатам наука приходила именно тогда, когда устанавливала факты нарушения симметрии. Следствия, вытекающие из принципа симметрии, интенсивно разрабатывались физикам в прошлом веке и привели к ряду важных результатов. Такими следствиями законов симметрии являются прежде всего законы сохранения классической физики.

Но принципы симметрии лежат не только в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических. Примером биологического закона сохранения может служить закон наследования. В основе его лежат инвариантность биологических свойств по отношению к переходу от одного поколения к другому. Вполне очевидно, что без законов сохранения (физических, биологических и прочих) наш мир попросту не смог бы существовать. Следует выделить аспекты, без которых симметрия невозможна:1) объект — носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступатьвещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живыеорганизмы и т.д.2) некоторые признаки — величины, свойства, отношения, процессы, явления -объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; ихназывают инвариантными или инвариантами.3 )изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе поинвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиямисимметрии;4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя послесоответствующих его изменений.Важно подчеркнуть, что инвариант вторичен по отношению к изменению; покойотносителен, движение абсолютно. Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям – к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т.д. В связи с этим выделяют разные типы симметрии.

www.ronl.ru

Реферат: Симметрия в природе

ВВЕДЕНИЕ :Проблеме симметрии посвящена поистине необозримая литература. Отучебников и научных монографий до произведений, апеллирующих не столько к чертежу и формуле, сколько к художественному образу, и сочетающих в себе научную достоверность с литературной отточенностью. В "Кратком Оксфордском словаре" симметрия определяется как "красота,обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого,равновесием, подобием, гармонией, согласованностью" (сам термин "симметрия" по-гречески означает "соразмерность", которую древние философы понимали как частный случай гармонии - согласования частей в рамках целого) . Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С симметрией мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир? Существуют, в принципе, две группы симметрий. К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией. Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией. На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, а с другой - к их нарушению. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии. «Симметрия, - пишет известный ученый Дж. Ньюмен, - устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...". Слово «симметрия» имеет двойственное толкование. В одном смысле симметричное означает нечто весьма пропорциональное, сбалансированное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова - равновесие. Еще Аристотель говорил о симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей Природы - закономерности о ее двойственности. Характерно, что к наиболее интересным результатам наука приходила именно тогда, когда устанавливались факты нарушения симметрии. Следствия, вытекающие из принципа симметрии, интенсивно разрабатывались физиками в прошлом веке и привели к ряду важных результатов. Такими следствиями законов симметрии являются, прежде всего, законы сохранения классической физики. В настоящее время в естествознании преобладают определения категорий симметрии и асимметрии на основании перечисления определенных признаков. Например, симметрия определяется как совокупность свойств: порядка, однородности, соразмерности, гармоничности. Все признаки симметрии во многих ее определениях рассматриваются равноправными, одинаково существенными, и в отдельных конкретных случаях, при установлении симметрии какого-то явления, можно пользоваться любым из них. Так, в одних случаях симметрия - это однородность, в других - соразмерность и т. д. То же самое можно сказать и о существующих в частных науках определениях асимметрии.ЗНАЧЕНИЕ СИММЕТРИИ В ПОЗНАНИИ ПРИРОДЫИдея симметрии часто являлась отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлого. Вносимая симметрией упорядоченность проявляется, прежде всего, в ограничении многообразия возможных структур, в сокращении числа возможных вариантов. В качестве важного физического примера можно привести факт существования определяемых симметрией ограничений разнообразия структур молекул и кристаллов. Поясним эту мысль на следующем примере. Допустим, что в некоторой отдаленной галактике обитают высокоразвитые существа, увлекающиеся среди прочих занятий также играми. Мы можем ничего не знать о вкусах этих существ, о строении их тела и особенностях психики. Однако достоверно, что их игральные кости имеют одну из пяти форм - тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Всякая иная форма игральной кости в принципе исключена, поскольку требование равновероятности выпадения при игре любой грани предопределяет использование формы правильного многогранника, а таких форм только пять. Идея симметрии часто служила ученым путеводной нитью при рассмотрении проблем мироздания. Наблюдая хаотическую россыпь звезд на ночном небе, мы понимаем, что за внешним хаосом скрываются вполне симметричные спиральные структуры галактик, а в них - симметричные структуры планетных систем. Симметрия внешней формы кристалла является следствием ее внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул). Иначе говоря, симметрия кристалла связана с существованием пространственной решетки из атомов, так называемой кристаллической решетки. Согласно современной точке зрения, наиболее фундаментальные законы природы носят характер запретов. Они определяют, что может, а что не может происходить в природе. Так, законы сохранения в физике элементарных частиц являются законами запрета. Они запрещают любое явление, при котором изменялась бы "сохраняющаяся величина", являющаяся собственной «абсолютной» константой (собственным значением) соответствующего объекта и характеризующая его «вес» в системе других объектов. И эти значения являются абсолютными до тех пор, пока такой объект существует. В современной науке все законы сохранения рассматриваются именно как законы запрета. Так, в мире элементарных частиц многие законы сохранения получены как правила, запрещающие те явления, которые никогда не наблюдаются в экспериментах. Видный советский ученый академик В. И. Вернадский писал в 1927 году: "Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности". Действительно, всеобщность симметрии поразительна. Симметрия устанавливает внутренние связи между объектами и явлениями, которые внешне никак не связаны. Всеобщность симметрии не только в том, что она обнаруживается в разнообразных объектах и явлениях. Всеобщим является сам принцип симметрии, без которого по сути дела нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы, будь то проблема жизни или проблема контактов с внеземными цивилизациями. Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических. Примером биологического закона сохранения может служить закон наследования. В основе его лежат инвариантность биологических свойств по отношению к переходу от одного поколения к другому. Вполне очевидно, что без законов сохранения (физических, биологических и прочих) наш мир попросту не смог бы существовать.

Следует выделить аспекты, без которых симметрия невозможна:

1) объект - носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т.д.

2) некоторые признаки - величины, свойства, отношения, процессы, явления - объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными или инвариантами.

3 )изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии;

4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений.

Важно подчеркнуть, что инвариант вторичен по отношению к изменению; покой относителен, движение абсолютно.

Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям - к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т.д. В связи с этим выделяют разные типы симметрии.

ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ.Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте на угол 2?/n, где n может равняться 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности. Ось симметрии называется ось осью n-го порядка.

ПЕРЕНОСНАЯ (ТРАНСЛЯЦИОННАЯ) СИММЕТРИЯ. О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние а либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой.Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние а - элементарным переносом или периодом. С данным типом симметрии связано понятие периодических структур или решеток, которые могут быть и плоскими, и пространственными.

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые являются зеркальными двойниками по отношению друг к другу.Трехмерный объект преобразуется сам в себя при отражении в зеркальной плоскости, которую называют плоскостью симметрии.

СИММЕТРИИ ПОДОБИЯпредставляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрий с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки. Иногда фигуры могут обладать разными типами симметрии.Например, поворотной и зеркальной симметрией обладают некоторые буквы: Ж, Н, Ф, О, Х. Выше перечислены так называемые геометрические симметрии.

Существует много других видов симметрий, имеющих абстрактный характер. Например,ПЕРЕСТАНОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ,которая состоит в том, что если тождественные частицы поменять местами, то никаких изменений не происходит;НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ- это тоже определенная симметрия.

КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИММЕТРИИсвязаны с изменением масштаба.

В неживой природе симметрия прежде всего возникает в таком явлении природы, как кристаллы, из которых состоят практически все твердые тела.Именно она и определяет их свойства. Самый очевидный пример красоты и совершенства кристаллов - это известная всем снежинка.

СИММЕТРИЯ В ЖИВОЙ ПРИРОДЕ. СИММЕТРИЯ И АСИММЕТРИЯ.

В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрий (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии.

Асимметрия присутствует уже на уровне элементарных частиц и проявляется в абсолютном преобладании в нашей Вселенной частиц над античастицами. Известный физик Ф. Дайсон писал: "Открытия последних десятилетий в области физики элементарных частиц заставляют нас обратить особое внимание на концепцию нарушения симметрии. Развитие Вселенной с момента ее зарождения выглядит как непрерывная последовательность нарушений симметрии.В момент своего возникновения при грандиозном взрыве Вселенная была симметрична и однородна. По мере остывания в ней нарушается одна симметрия за другой, что создает возможности для существования все большего и большего разнообразия структур. Феномен жизни естественно вписывается в эту картину. Жизнь - это тоже нарушение симметрии"Молекулярная асимметрия открыта Л. Пастером, который первым выделил "правые" и "левые" молекулы винной кислоты: правые молекулы похожи на правый винт, а левые - на левый. Такие молекулы химики называют стереоизомерами. Молекулыстереоизомеры имеют одинаковый атомный состав, одинаковые размеры, одинаковую структуру - в то же время они различимы, поскольку являются зеркально асимметричными, т.е. объект оказывается нетождественным со своим зеркальным двойником. 67 Поэтому здесь понятия "правый-левый" - условны.В настоящее время хорошо известно, что молекулы органических веществ, составляющие основу живой материи, имеют асимметричный характер, т.е. в состав живого вещества они входят только либо как правые, либо как левые молекулы. Таким образом, каждое вещество может входить в состав живой материи только в том случае, если оно обладает вполне определенным типом симметрии. Например, молекулы всех аминокислот в любом живом организме могут быть только левыми, сахара - только правыми.Это свойство живого вещества и его продуктов жизнедеятельности называют дисимметрией. Оно имеет совершенно фундаментальный характер. Хотя правые и левые молекулы неразличимы по химическим свойствам, живая материя их не только различает, но и делает выбор. Она отбраковывает и не использует молекулы, не обладающие нужной ей структурой. Как это происходит, пока не ясно. Молекулы противоположной симметрии для нее яд.Если бы живое существо оказалось в условиях, когда вся пища была бы составлена из молекул противоположной симметрии, не отвечающей дисимметрии этого организма, то оно погибло бы от голода. В неживом веществе правых и левых молекул поровну. Дисимметрия - единственное свойство, благодаря которому мы можем отличить вещество биогенного происхождения от неживого вещества. Мы не можем ответить на вопрос, что такое жизнь, но имеем способ отличить живое от неживого.Таким образом, асимметрию можно рассматривать как разграничительную линию между живой и неживой природой. Для неживой материи характерно преобладание симметрии, при переходе от неживой к живой материи уже на микроуровне преобладает асимметрия. В живой природе асимметрию можно увидеть всюду. Очень удачно это подметил в романе "Жизнь и судьба" В. Гроссман: "В большом миллионе русских деревенских изб нет и не может быть двух неразличимо схожих. Все живое неповторимо.

СИММЕТРИЯ В МИРЕ РАСТЕНИЙ:

Специфика строения растений и животных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии.Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины). Интересно, что в цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка, которая принципиально невозможна в периодических структурах неживой природы.Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой" Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко.

	Соты- настоящий конструкторский шедевр. Они состоят из ряда шестигранных ячеек.
Это самая плотная упаковка, позволяющая наивыгоднейшим образом разместить в ячейке личинку и при максимально возможном объеме наиболее экономно использовать строительный материал-воск.
Листья на стебле расположены не по прямой, а окружают ветку по спирали. Сумма всех предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага А+В=С, В+С=Д и т.д.
Расположение семянок в головке подсолнуха или листьев в побегах вьющихся растений соответствует логарифмической спирали

СИММЕТРИЯ В МИРЕ НАСЕКОМЫХ, РЫБ, ПТИЦ, ЖИВОТНЫХ

Типы симметрии у животных

1-центральная	2-осевая	3-радиальная	4-билатеральная

5-двулучевая	6-поступательная (метамерия)		7-поступательно-вращательная

Плоскость симметрии.Плоскость симметрии- это плоскость, проходящая через ось симметрии, совпадающая с ней и рассекающая тело на две зеркальные половины. Эти половины, расположенные друг против друга, называютантимерами(anti – против; mer – часть). Например, у гидры плоскость симметрии должна пройти через ротовое отверстие и через подошву. Антимеры противоположных половин должны иметь равное число щупалец, расположенных вокруг рта гидры. У гидры можно провести несколько плоскостей симметрии, число которых будет кратно числу щупалец. У актиний с очень большим числом щупалец можно провести много плоскостей симметрии. У медузы с четырьмя щупальцами на колоколе число плоскостей симметрии будет ограничено числом, кратным четырём. У гребневиков только две плоскости симметрии - глоточная и щупальцевая (рис.1, 5). Наконец, у двусторонне-симметричных организмов только одна плоскость и только две зеркальные антимеры – соответственно правая и левая стороны животного (рис.1, 4,6,7 ).

Типы симметрии.Известны всего два основных типа симметрии –вращательная и поступательная.Кроме того, встречается модификация из совмещения этих двух основных типов симметрии –вращательно-поступательная симметрия.

Вращательная симметрия.Любой организм обладает вращательной симметрией Для вращательной симметрии существенным характерным элементом являютсяантимеры. Важно знать, при повороте на какой градус контуры тела совпадут с исходным положением. Минимальный градус совпадения контура имеет шар, вращающийся около центра симметрии. Максимальный градус поворота 360 , когда при повороте на эту величину контуры тела совпадут.

Если тело вращается вокруг центра симметрии, то через центр симметрии можно провести множество осей и плоскостей симметрии. Если тело вращается вокруг одной гетерополярной оси, то через эту ось можно провести столько плоскостей, сколько антимер имеет данное тело. В зависимости от этого условия говорят о вращательной симметрии определённого порядка. Например, у шестилучевых кораллов будет вращательная симметрия шестого порядка. У гребневиков две плоскости симметрии, и они имеют симметрию второго порядка. Симметрию гребневиков также называют двулучевой (рис.1, 5 ). Наконец, если организм имеет только одну плоскость симметрии и соответственно две антимеры, то такую симметрию называютдвусторонней или билатеральной(рис.1, 4 ). Лучеобразно отходят тонкие иглы. Это помогает простейшим «парить» в толще воды. Шарообразны и другие представители простейших – лучевики (радиолярии) и солнечники с лучевидными отростками-псевдоподиями.« Глядя на них, так и кажется, что эти кружевные сплетения – не часть живых существ, а тончайшие ювелирные изделия, предназначенные украшать наряды морских

Поступательная симметрия.Для поступательной симметрии характерным элементом являютсяметамеры(meta – один за другим; mer – часть). В этом случае части тела расположены не зеркально друг против друга, а последовательно друг за другом вдоль главной оси тела.

Метамерия –одна из форм поступательной симметрии. Она особенно ярко выражена у кольчатых червей, длинное тело которых состоит из большого числа почти одинаковых сегментов. Этот случай сегментации называютгомономной(рис.1, 6 ). У членистоногих животных число сегментов может быть относительно небольшим, но каждый сегмент несколько отличается от соседних или формой, или придатками ( грудные сегменты с ногами или крыльями, брюшные сегменты). Такую сегментацию называютгетерономной.

Вращательно-поступательная симметрия.Этот тип симметрии имеет ограниченное распространение в животном мире. Эта симметрия характерна тем, что при повороте на определённый угол часть тела немного проступает вперед и её размеры каждый следующий логарифмически увеличивает на определённую величину. Таким образом, происходит совмещение актов вращения и поступательного движения. Примером могут служить спиральные камерные раковины фораминифер, а также спиральные камерные раковины некоторых головоногих моллюсков ( современный наутилус или ископаемые раковины аммонитов, рис. 1, 7 ). С некоторым условием к этой группе можно отнести также и некамерные спиральные раковины брюхоногих моллюсков.

Тип симметрии непременно входит в характеристику животных наряду с другими морфоэкологическими и физиологическими признаками, благодаря которым мы отличаем одни группы животных от других.

Всех животных делят наодноклеточных и многоклеточных. Наличие форм симметрии прослеживается уже у простейших – одноклеточных (инфузории, амёбы).

Многоклеточные подразделяются на Лучистых и Двусторонне-симметричных или Билатеральных.

Значение формы симметрии для животного легко понять, если поставить её в связь с образом жизни, экологическими условиями. Если окружающая животное среда со всех сторон более или менее однородна и животное равномерно соприкасается с нею всеми частями своей поверхности, то форма тела обычношарообразна, а повторяющиеся части располагаютсяпо радиальным направлениям.Шарообразны многиерадиолярии,входящие в состав так называемогопланктона, т.е. совокупности организмов, взвешенных в толще воды и неспособных к активному плаванию; шарообразные камеры имеют немногочисленные планктонные представители фораминифер ( простейшие, обитатели морей, морские раковинные амёбы. http://sbiryukova.narod.ru/Seminar_02_03/Sem_5_02_03/Akimova/Pis.htmФораминеферызаключены в раковинки разнообразной, причудливой формы. Раковинки обычно многокамерные, построенные из двуокиси кремния), причём от этих камер принцесс»,- так писал о радиоляриях П.Е.Васильковский.Лучевики- исключительно морские животные, ведущие планктонный образ жизни. Они «парят» в толще морской воды и идеально к этому приспособлены. Именно для этого «парения» служат иглы их скелета, увеличивающие площадь тела. Лучевики обладают минеральным сложно устроенным внутренним скелетом , который, с одной стороны, защищает тело простейшего, а с другой, способствует «парению» в воде в результате увеличения поверхности путём образования многочисленных игл. От тела во все стороны отходят многочисленные нитевидные отростки-псевдоподии. Солнечники, в общем походят на лучевиков, но встречаются преимущественно в пресных водах. Шаровидное тело солнечников посылает во все стороны многочисленные тонкие, нитевидные радиально расположенные псевдоподии , тело лишено минерального скелета. Такой тип симметрии называютравноосным, так как он характеризуется наличием многих одинаковых осей симметрии .Равноосная симметрия должна превратиться воднооснуювместе с переходом к сидячему или мало подвижному донному образу жизни; если, например, шарообразное тело приобретает стебелёк для прикрепления к субстрату, то ось симметрии должна будет проходить через стебелёк и сделается, таким образом, единственной. Примерами такой симметрии могут служить сидячие солнечники, жгутиковые, сосущиеинфузории, бокалообразныегубки. Тот же результат может получиться и при отсутствии стебелька, если животное постоянно обращено одним полюсом к субстрату а другим кверху. При активном плавании одной стороною тела вперёд эта сторона также может дифференцироваться в передний конец тела, и симметрия сложится одноосная (например, овальные или веретенообразные жгутиковые и инфузории).

Равноосный и полисимметрическийтипы встречаются преимущественно среди низкоорганизованных и малодифференцированных животных. Сидячиеодноосные полисимметрическиеживотные, усложняя свою организацию и приобретая различные органы, приобретаютлучевую или радиальную симметрию тела,выражающуюся в том, что органы располагаются в радиальных (лучистых) направлениях вокруг одной главной продольной оси. От числа повторяющихся органов зависит порядок радиальной симметрии. Так, если вокруг продольной оси располагается 4 одинаковых органа, то радиальная симметрия в этом случае называетсячетырёхлучевой.Если таких органов шесть, то и порядок симметрии будетшестилучевым, и т.д. Так как количество таких органов ограничено (часто 2,4,8 или кратное от 6), то и плоскостей симметрии можно провести всегда несколько, сответствующее количеству этих органов. Плоскости делят тело животного на одинаковые участки с повторяющимися органами. В этом заключается отличие радиальной симметрии от полисимметрического типа. Радиальная симметрия характерна для малоподвижных и прикрепленных форм (двух-, четырёх-, восьми – и шести -лучевыекораллы, гидра, медузы, актинии). Экологическое значение лучевой симметрии легко понятно: сидячее животное окружено со всех боковых сторон одинаковой средою и должно вступать во взаимоотношения с этой средой при помощи одинаковых, повторяющихся в радиальных направлениях органов. Именно сидячий образ жизни способствует развитию лучистой симметрии.

Переход от лучевой или радиальной кдвусторонней или билатеральной симметриисвязан с переходом от сидячего образа жизни к активному передвижению в среде (от сидячести к ползанию по субстрату постоянно одним и тем же концом тела вперёд). Для сидячих форм отношения со средой равноценны во всех направлениях: радиальная симметрия точно соответствует такому образу жизни. У активно перемещающихся животных передний конец тела становится биологически не равноценным остальной части туловища, происходит формирование головы, становятся различимы правая и левая сторона тела. Благодаря этому теряется радиальная симметрия , и через тело животного можно провести лишь одну плоскость симметрии, делящую тело на правую и левую стороны.Двусторонняя симметрияозначает, что одна сторона тела животного представляет собой зеркальное отражение другой стороны. Такой тип организации характерен для большинства беспозвоночных, в особенности длякольчатых червей и для членистоногих– ракообразных, паукообразных, насекомых, бабочек; для позвоночных – рыб, птиц, млекопитающих. Впервые двусторонняя симметрия появляется у плоских червей, у которых передний и задний концы тела различаются между собой.

Укольчатых червей и членистоногихнаблюдается ещё иметамерия –одна из формпоступательной симметрии,когда части тела располагаются последовательно друг за другом вдоль главной оси тела. Особенно ярко она выражена у кольчатых червей (дождевой червь). Кольчатые черви обязаны своим названием тому, что их тело состоит из ряда колец или сегментов (члеников). Сегментированы как внутренние органы, так и стенки тела. Так что животное состоит примерно из сотни более или менее сходных единиц –метамеров, каждая из которых содержит по одному или по паре органов каждой системы. Членики отделены друг от друга поперечными перегородками. У дождевого червя почти все членики сходны между собой. К кольчатым червям относятся полихеты – морские формы, которые свободно плавают в воде, роются в песке. На каждом сегменте их тела имеется пара боковых выступов, несущих по плотному пучку щетинок. Членистоногие получили своё название за характерные для них членистые парные придатки (как органы плавания, ходильные конечности, ротовые части). Для всех них характерно сегментированное тело. Каждое членистоногое имеет строго определённое число сегментов, которое остаётся неизменным в течение всей жизни. Зеркальная симметрия хорошо видна у бабочки; симметрия левого и правого проявляется здесь с почти математической строгостью. Можно сказать, что каждое животное, насекомое, рыба, птица состоит из двухэнантиоморфов– правой и левой половин. Так, энантиоморфами являются правое и левое ухо, правый и левый глаз, правый и левый рог и т.д.

Упрощение условий жизни может привести к нарушению двусторонней симметрии, и животные из двусторонне-симметричных становятся радиально-симметричными. Это относится киглокожим(морские звёзды, морские ежи, морские лилии, офиуры). Все морские животные имеют радиальную симметрию, при которой части тела отходят по радиусам от центральной оси, подобно спицам колеса. Степень активности животных коррелирует с их типом симметрии. Радиально-симметричные иглокожие обычно мало подвижны, перемещаются медленно или же прикреплены к морскому дну. Тело морской звезды состоит из центрального диска и 5-20 или большего числа радиально отходящих от него лучей. На математическом языке эту симметрию называютповоротной симметрией.У морской звезды и панциря морского ежа –поворотная симметрия5-го порядка. Это симметрия, при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг поворотной оси 5 раз. Вся кожа морских звёзд как бы инкрустирована мелкими пластинками из углекислого кальция, от некоторых пластинок отходят иглы, часть которых подвижна. У офиур лучи длинные и тонкие. Морские ежи похожи на живые подушечки для булавок; шаровидное тело их несёт длинные и подвижные иголки. У этих животных известковые пластинки кожи слились и образовали сферическую раковину панцирь. В центре нижней поверхности имеется рот. Амбулакральные ножки (воднососудистая система) собраны в 5 полос на поверхности раковины.

Рассмотрим ещё один тип симметрии, который встречается в животном мире. Этовинтовая или спиральная симметрия. Винтовая симметрияесть симметрия относительно комбинации двух преобразований - поворота и переноса вдоль оси поворота, т.е. идёт перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта. Встречаютсялевые иправые винты. Примерами природных винтов являются: бивень нарвала (небольшого китообразного, обитающего в северных морях) – левый винт; http://sbiryukova.narod.ru/Seminar_02_03/Sem_5_02_03/Akimova/Pis.htmраковина улитки– правый винт; рога памирского барана – энантиоморфы (один рог закручен по левой, а другой по правой спирали). Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина у моллюсков сужается или расширяется на конце.

Хотя внешняя спиральная симметрия у многоклеточных животных встречается редко, зато спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы – белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты - ДНК. Подлинным царством природных винтов является мир «живых молекул» - молекул, играющих принципиально важную роль в жизненных процессах. К таким молекулам относятся прежде всегомолекулыбелков. В человеческом теле насчитывают до 10 типов белков. Все части тела, включая кости, кровь, мышцы, сухожилия, волосы, содержат белки. Молекула белка представляет собой цепочку, составленную из отдельных блоков, и закрученную по правой спирали. Её называютальфа-спиралью.За открытие альфа-спирали американский учёный Лайнус Полинг получил Нобелевскую премию, самую высшую награду в научном мире. Молекулы волокон сухожилий представляют собой тройные альфа-спирали. Скрученные многократно друг с другом альфа-спирали образуют молекулярные винты, которые обнаруживаются в волосах, рогах, копытах.

Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты –ДНК, являющейся носителем наследственной информации в живом организме. Молекула ДНК имеет структурудвойной правой спирали, открытой американскими учёными Уотсоном и Криком. За её открытие они были удостоены Нобелевской премии. Двойная спираль молекулы ДНК есть главный природный винт.

Отметим, наконец,билатеральнуюсимметриючеловеческого тела(речь идёт о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом. Наша собственная зеркальная симметрия очень удобна для нас, она позволяет нам двигаться прямолинейно и с одинаковой лёгкостью поворачиваться вправо и влево. Столь же удобна зеркальная симметрия для птиц, рыб и других активно движущихся существ.

ПРИШЕЛЬЦЫ ИЗ ДРУГИХ МИРОВ

Во многих фантастических произведениях обсуждается возможный облик пришельцев из других миров. Одни писатели считают, что пришельцы могут сильно отличаться по своему облику от людей; другие, напротив, полагают, что разумные существа во всей Вселенной должны походить друг на друга. Не останавливаясь подробно на обсуждении этого вопроса, приведем лишь некоторые соображения, связанные с симметрией. Каким бы не был пришелец, его внешний облик должен характеризоваться билатеральной симметрией: ведь на любой планете живое существо должно иметь выделенное направление движения и на любой планете действует сила тяжести. Пришелец может походить на сказочного дракона, но он не может походить на Тянитолкая. Он неможет быть левоглазым или правоухим. Число конечностей слева и справа должно быть одинаковым. Требования симметрии позволяют существенным образом сократить число возможных вариантов облика пришельцев. И хотя мы не можем определенно указать, каким должен быть этот облик, мы в состоянии заключить, каким он не может быть.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира

Еще одним интересным проявлением симметрии жизненных процессов являются биологические ритмы (биоритмы), циклические колебания биологических процессов и их характеристик (сокращения сердца, дыхание, колебания интенсивности деления клеток, обмена веществ, двигательной активности, численности растений и животных), зачастую связанные с приспособлением организмов к геофизическим циклам. Исследованием биоритмов занимается особая наука - хронобиология.

Помимо симметрии существует также понятие ассиметрии:

ЛИТЕРАТУРА:

1. Гильде В. Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982г.

2. Современный словарь иностранных слов. — М.: Русский язык, 1993г.

3. Советский энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, 1980г.

4. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии — М.: Мысль, 1974г

СОДЕРЖАНИЕ

1 Введение

2 Понятие симметрии

2.1 Значение симметрии в познании природы

2.2 Виды симметрии

3 Симметрия в живой природе. Симметрия и ассиметрия

3.1 Симметрия в мире растений

3.2 Симметрия в мире животных

4 Заключение

5 Литература

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЛАДИМИРСКИЙ ФИЛИАЛ

КАФЕДРА

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу: «Концепции современного естествознания».

на тему: «Симметрия в природе».

Выполнил:

Низов Павел Александрович

студент заочного обучения,

курс 3 гр. ВГ-410 ,

специальность «Государственное и

муниципальное управление»

Владимир 2010

superbotanik.net

Реферат - Реферат по геометрии: «Симметрия в природе»

МОУ «Советская средняя общеобразовательная школа №2»

Реферат по геометрии:

«Симметрия в природе»

Выполнила ученица 10 класса Волкова Ксения

2009 год.

Общие сведения о симметрии.

Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?

Существуют две группы симметрии:

к первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия .которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией;

вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

^ Виды симметрии:

Поворотная симметрия: говорят, что объект обладает поворотной симметрией ,если он совмещается сам с собою при повороте на угол 2п,где п может равняться 2,3,4 и т.д. до бесконечности. Ось симметрии называется осью п-го порядка.

Переносная (трансляционная) симметрия: О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние, а либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собою.

Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние а - элементарным переносом или периодом. С данным типом симметрии связано понятие периодических структур или решеток, которые могут быть и плоскими, и пространственными.

Зеркальная симметрия: Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые являются зеркальными двойниками по отношению друг к другу.

Трехмерный объект преобразуется сам в себя при отражении в зеркальной плоскости, которую называют плоскостью симметрии. Достаточно взглянуть на окружающий нас реальный мир, чтобы убедиться в первостепенном значении именно зеркальной симметрии с соответствующим симметричным элементом — плоскостью симметрии. В самом деле, форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее — шагают, плывут, летят, катятся, — обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии. Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направлении характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения, симметрия которого моделируется конусом.

Симметрия подобия: представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрии с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки. Иногда фигуры могут обладать разными типами симметрии,

Калибровочные симметрии связаны с изменением масштаба. В неживой природе симметрия прежде всего возникает в таком явлении природы, как кристаллы, из которых состоят практически все твердые тела. Именно она и определяет их свойства. Самый очевидный пример красоты и совершенства кристаллов - это известная всем снежинка.

^ Симметрия в мире растений.

^ Значение симметрии в познание природы.

Идея симметрии часто служила ученым путеводной нитью при рассмотрении проблем мироздания. Наблюдая хаотическую россыпь звезд на ночном небе, мы понимаем, что за внешним хаосом скрываются вполне симметричные спиральные структуры галактик, а в них - симметричные структуры планетных систем. Симметрия внешней формы кристалла является следствием ее внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул). Иначе говоря, симметрия кристалла связана с существованием пространственной решетки из атомов, так называемой кристаллической решетки.

Согласно современной точке зрения, наиболее фундаментальные законы природы носят характер запретов. Они определяют, что может, а что не может происходить в природе. Так, законы сохранения в физике элементарных частиц являются законами запрета. Они запрещают любое явление, при котором изменялась бы "сохраняющаяся величина", являющаяся собственной «абсолютной» константой (собственным значением) соответствующего объекта и характеризующая его «вес» в системе других объектов. Эти значения являются абсолютными до тех пор, пока такой объект существует.

В современной науке все законы сохранения рассматриваются именно как законы запрета. Так, в мире элементарных частиц многие законы сохранения получены как правила, запрещающие те явления, которые никогда не наблюдаются в экспериментах.

Видный советский ученый академик В. И. Вернадский писал в 1927 году: "Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности". Действительно, всеобщность симметрии поразительна. Симметрия устанавливает внутренние связи между объектами и явлениями, которые внешне никак не связаны.

Всеобщность симметрии не только в том, что она обнаруживается в разнообразных объектах и явлениях. Всеобщим является сам принцип симметрии, без которого по сути дела нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы, будь то проблема жизни или проблема контактов с внеземными цивилизациями.

Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических. Примером биологического закона сохранения может служить закон наследования. В основе его лежат инвариантность биологических свойств по отношению к переходу от одного поколения к другому. Вполне очевидно, что без законов сохранения (физических, биологических и прочих) наш мир попросту не смог бы существовать.

Симметрия в живой природе. Асимметрия и симметрия. Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В живой природе огромное большинство живых, организмов обнаруживает различные виды симметрии (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии.

Типы симметрии:

Известны всего два основных типа симметрии - вращательная ипоступательная. Кроме того, встречается модификация из совмещенияэтих двух основных типов симметрии - вращательно-поступателънаясимметрия. Вращательная симметрия. Любой организм обладает

вращательной симметрией. Для вращательной симметрии существенным характерным элементом являются антимеры. Важно знать, при повороте на какой градус контуры тела совпадут с исходным положением. Минимальный градус совпадения контура имеет шар, вращающийся около центра симметрии. Максимальный градус поворота 360 , когда при повороте на эту величину контуры тела совпадут. Если тело вращается вокруг центра симметрии, то через центр симметрии можно провести множество осей и плоскостей симметрии. Если тело вращается вокруг одной гетерополярной оси, то через эту ось можно провести столько плоскостей, сколько антимер имеет данное тело. В зависимости от этого условия говорят о вращательной симметрии определённого порядка. Например, у шестилучевых кораллов будет вращательная симметрия шестого порядка. У гребневиков две плоскости симметрии, и они имеют симметрию второго порядка. Симметрию гребневиков также называют двулучевой. Наконец, если организм имеет только одну плоскость симметрии и соответственно две антимеры, то такую симметрию называют двусторонней или билатеральной. Лучеобразно отходят тонкие иглы. Это помогает простейшим «парить» в толще воды. Шарообразны и другие представители простейших - лучевики (радиолярии) и солнечники с лучевидными отростками-псевдоподиями. « Глядя на них, так и кажется, что эти кружевные сплетения — не часть живых существ, а тончайшие ювелирные изделия, предназначенные украшать наряды морских.

Поступательная симметрия. Для поступательной симметрии характерным элементом являются метамеры (meta - один за другим; тег -часть). В этом случае части тела расположены не зеркально друг против друга, а последовательно друг за другом вдоль главной оси тела.

Метамерия - одна из форм поступательной симметрии. Она особенно ярко выражена у кольчатых червей, длинное тело которых состоит из большого числа почти одинаковых сегментов. Этот случай сегментации называют гомономной . У членистоногих животных число сегментов может быть относительно небольшим, но каждый сегмент несколько отличается от соседних или формой, или придатками ( грудные сегменты с ногами или крыльями, брюшные сегменты). Такую сегментацию называют гетерономной.

Вращательно-поступателъная симметрия. Этот тип симметрии имеет ограниченное распространение в животном мире. Эта симметрия характерна тем, что при повороте на определённый угол часть тела немного проступает вперед и её размеры каждый следующий логарифмически увеличивает на определённую

величину. Таким образом, происходит совмещение актов вращения и поступательного движения. Примером могут служить спиральные камерные раковины фораминифер, а также спиральные камерные раковины некоторых головоногих моллюсков ( современный наутилус или ископаемые раковины аммонитов). С некоторым условием к этой группе можно отнести также и некамерные спиральные раковины брюхоногих моллюсков.

Всех животных делят на одноклеточных и многоклеточных. Наличие форм симметрии прослеживается уже у простейших - одноклеточных (инфузории, амёбы).

Многоклеточные подразделяются на Лучистых и Двусторонне- симметричных или Билатеральных.

Шарообразны многие радиолярии, входящие в состав так называемого планктона, т.е. совокупности организмов, взвешенных в толще воды и неспособных к активному плаванию; шарообразные камеры имеют немногочисленные планктонные представители фораминифер (простейшие, обитатели морей, морские раковинные амёбы). Фораминеферы заключены в раковинки разнообразной, причудливой формы. Раковинки обычно многокамерные, построенные из двуокиси кремния.

Лучевики - исключительно морские животные, ведущие планктонный образ жизни. Они «парят» в толще морской воды и идеально к этому

приспособлены. Именно для этого «парения» служат иглы их скелета, увеличивающие площадь тела. Лучевики обладают минеральным сложно устроенным внутренним скелетом , который, с одной стороны, защищает тело простейшего, а с другой, способствует «парению» в воде в результате увеличения поверхности путём образования многочисленных игл. От тела во все стороны отходят многочисленные нитевидные отростки-псевдоподии.

Солнечники, в общем походят на лучевиков, но встречаются

преимущественно в пресных водах. Шаровидное тело солнечников посылает во все стороны многочисленные тонкие, нитевидные радиально расположенные псевдоподии, тело лишено минерального скелета. Такой тип симметрии называют равноосным, так как он характеризуется наличием многих одинаковых осей симметрии Равноосная симметрия должна превратиться в одноосную вместе с переходом к сидячему или мало подвижному донному образу жизни; если, например, шарообразное тело приобретает стебелёк для прикрепления к субстрату, то ось симметрии должна будет проходить через стебелёк и сделается, таким образом, единственной. Примерами такой симметрии могут служить сидячие солнечники, жгутиковые, сосущие инфузории, бокалообразные губки. Тот же результат может получиться и при отсутствии стебелька, если животное постоянно обращено одним полюсом к субстрату а другим кверху. При активном плавании одной стороною тела вперёд эта сторона также может дифференцироваться в передний конец тела, и симметрия сложится одноосная (например, овальные или веретенообразные жгутиковые и инфузории).

Во всех этих случаях соединяемые осью полюса тела находятся в неодинаковых экологических условиях и функционируют по-разному. Присутствие одной только оси симметрии не столь ещё характерно для данного типа (так как и в других типах симметрии, кроме равноосного, ось также одна), но весьма характерно, то что через эту ось можно провести много плоскостей симметрии, из которых каждая разделит тело на две одинаковые половины; поэтому данный тип симметрии называют полисимметрическим. Равноосный и полисимметрический типы встречаются преимущественно среди низкоорганизованных и малодифференцированных животных. Сидячие одноосные полисимметрические животные, усложняя свою организациюприобретая различные органы, приобретают лучевую или радиальную симметрию тела, выражающуюся в том, что органы располагаются в радиальных (лучистых) направлениях вокруг одной главной продольной оси. От числа повторяющихся органов зависит порядок радиальной симметрии. Так, если вокруг продольной оси располагается 4 одинаковых органа, то радиальная симметрия в этом случае называется четырёхлучевой. Если таких органов шесть, то и порядок симметрии будет шестилучевым, и т.д. Так как количество таких органов ограничено (часто 2,4,8 или кратное от 6), то и плоскостей симметрии можно провести всегда несколько, сответствующее количеству этих органов. Плоскости делят тело животного на одинаковые участки с повторяющимися органами. В этом заключается отличие радиальной симметрии от полисимметрического ипа. Радиальная симметрия характерна для малоподвижных и прикрепленных форм (двух-, четырёх-, восьми - и шести -лучевые кораллы, гидра, медузы, актинии). Экологическое значение лучевой симметрии легко понятно: сидячее животное окружено со всех боковых сторон одинаковой средою и должно вступать во взаимоотношения с этой средой при помощи одинаковых, повторяющихся в радиальных направлениях органов. Именно сидячий образ жизни способствует развитию лучистой симметрии.

Для сидячих форм отношения со средой равноценны во всех направлениях: радиальная симметрия точно соответствует такому образу жизни. У активно перемещающихся животных передний конец тела становится биологически не равноценным остальной части туловища, происходит формирование головы, становятся различимы правая и левая сторона тела. Благодаря этому теряется радиальная симметрия, и через тело животного можно провести лишь одну плоскость симметрии, делящую тело на правую и левую стороны. Двусторонняя

симметрия означает, что одна сторона тела животного представляет собой зеркальное отражение другой стороны. Такой тип организации характерен для большинства беспозвоночных, в особенности для кольчатых червей и для членистоногих - ракообразных, паукообразных, насекомых, бабочек; для позвоночных - рыб, птиц, млекопитающих. Впервые двусторонняя симметрия появляется у плоских червей, у которых передний и задний концы тела различаются между собой. У кольчатых червей и членистоногих наблюдается ещё и метамерия - одна из форм поступательной симметрии, когда части тела располагаются последовательно друг за другом вдоль главной оси тела. Особенно ярко она выражена у кольчатых червей (дождевой червь). Кольчатые черви обязаны своим названием тому, что их тело состоит из ряда колец или сегментов (члеников). Сегментированы как внутренние органы, так и стенки тела. Так что животное состоит примерно из сотни более или менее сходных единиц -метамеров , каждая из которых содержит по одному или по паре органов каждой системы. Членики отделены друг от друга поперечными перегородками. У дождевого червя почти все членики сходны между собой. К кольчатым червям относятся полихеты - морские формы, которые свободно плавают в воде, роются в песке. На каждом сегменте их тела имеется пара боковых выступов, несущих по плотному пучку щетинок. Членистоногие получили своё название за характерные для них членистые парные придатки (как органы плавания, ходильные конечности, ротовые части). Для всех них характерно сегментированное тело. Каждое членистоногое имеет строго определённое число сегментов, которое остаётся неизменным в течение всей жизни.

Зеркальная симметрия хорошо видна у бабочки; симметрия левого и правого проявляется здесь с почти математической строгостью. Можно сказать, что каждое животное, насекомое, рыба, птица состоит из двух энантиоморфов - правой и левой половин. Так, элантиоморфами являются правое и левое ухо, правый и левый глаз, правый и левый рог и т.д.

Упрощение условий жизни может привести к нарушению двусторонней симметрии, и животные из двусторонне-симметричных становятся радиально-симметричнъши. Это относится к иглокожим (морские звёзды, морские ежи, морские лилии, офиуры). Все морские животные имеют радиальную симметрию, при которой части тела отходят по радиусам от центральной оси, подобно спицам колеса. Степень активности животных коррелирует с их типом симметрии. Радиалъно-симметричные иглокожие обычно мало подвижны, перемещаются медленно или же прикреплены к морскому дну. Тело морской звезды состоит из центрального диска и 5-20 или большего числа радиально отходящих от него лучей. На математическом языке эту симметрию называют поворотной симметрией. У морской звезды и панциря морского ежа - поворотная симметрия 5-го порядка. Это симметрия, при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг поворотной оси 5 раз. Вся кожа морских звёзд как бы инкрустирована мелкими пластинками из углекислого кальция, от некоторых пластинок отходят иглы, часть которых подвижна. У офиур лучи длинные и тонкие. Морские ежи похожи на живые подушечки для булавок; шаровидное тело их несёт длинные и подвижные иголки. У этих животных известковые пластинки кожи слились и образовали сферическую раковину панцирь. В центре нижней поверхности имеется рот. Амбулакральные ножки (воднососудистая система) собраны в 5 полос на поверхности раковины.

химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.

Литература:

http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F+%D0%B2+%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5&stype=image

http://images.yandex.ru/yandsearch?p=18&ed=1&text=%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5&spsite=www.fotokritik.ru&img_url=www.fotokritik.ru%2Fphotos%2Fbig%2F2006%2F06%2F20%2F96665.jpg&rpt=simage

http://images.yandex.ru/yandsearch?p=1&ed=1&text=%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F%20% D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5&stype=image

http://images.google.ru/imglanding?imgurl=http://verbatem.ru/image/photo/4.jpg&imgrefurl=http://www.verbatem.ru/%3Fp%3D14&usg=__ldDCxHBg3sRsKZRsegcDA1ATUi4%3D&h=592&w=800&sz=112&hl=ru&tbnid=4Vjk6QGXv2a6QM:&tbnh=106&tbnw=143&prev=/images%3Fq%3D%25D1%2581%25D0%25B8%25D0%25BC%25D0%25BC%25D0%25B5%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%258F%2B%25D0%25B2%2B%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25B5%26hl%3Dru%26newwindow%3D1&q=%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F+%D0%B2+%D0%BF%D1%80%D0%B

www.ronl.ru

Реферат на тему "Симметрия - это красота". Реферат симметрия

Реферат "Симметрия в природе" | Социальная сеть работников образования

Реферат на тему "Симметрия - это красота"

Реферат по математике "Симметрия"

Реферат - Симметрия - Математика

Доклад - Симметрия в природе и искусстве

Реферат: Симметрия в природе

Реферат - Реферат по геометрии: «Симметрия в природе»

Смотрите также