Читать реферат по математике: "Двоичная система счисления". Реферат по математике система счисления

: :

`

p . p

ppp , p ppp . -

p -

( 10) . , -

. p

- 10 p p -

.

.

p p , -

p , p ppp p . -

.

, -

. p , p

p p p

p . p p p p -

p , .

.

p -

p , p :

1000 . ' p'

p p , p

p .

, p

. p-

p p .

p . p

, p p , - -

. p , -

p , p - . p p

, p pp 60

p p p pp .

, p p

0 . p -

p p .

-p -

, p p - 9 ,

0 () . p 0 -

p p .

, p .

p p-

p , p

, p .

, !!!! p-

p b(i, b - -

.

pp , p p -

p :

D=d(3 b(3 + d(2 b(2 + d(1 b(1 + d(0 b(0 ,

d(i p .

b(i p p-

p . pp -

. p ,

pp b

:

D=d(3 b$3 + d(2 b$2 + d(1 b$1 + d(0 b

d(i , b=10 ,

D :

D=d*10$3 + 4*10$2 + 8*10$1 + 3*10$0 = 5483.

, p p , p

p .

D=d(-1 b$-1 + d(-2 b$-2 = 1*10$-1 + 5*10$-2 = 0.15

-

:

D=d(p-1 b$p-1 +d(p-2 b$p-2 +...+d(1 b$1 +d(0 b$0 .d(-1 b$-1 +d(-2 b$-2 +...+

p-1

+ d(-n b$-n = d(i b$i

i=-n

p- p , p , ࠠ n-

p , p p .

pp :

D=d(2 b$2 +d(1 b$1 +d(0 b$0 .d(-1 b$-1 +d(-2 b$-2 =

= 4*10$2 +2*10$1 +3*10$0 .1*10$-1 +5*10$-2 =432.15(10 .

pp ( b=2):

D=1*2$2 +0*2$1 +1*2$0 +0*2$-2 =101.1(2 =5.5(10 .

p , () -

p p p p . p -

p -

p . , 432.15 p

000423.150. . p

p p p pp , p p-

- p pp .

p -

. p ,

, p p

( ) ,

p 10 p

. p p -

pp . p ,

.. b=2.

p - 0 1 . p -

( binary digit - p).

p p (`b inary digi`t , bit) p

p , pp -

. pp

. pp 1 , -

0 , p p

. -

8-pp (1 )

┌─────────────────┬───┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┐

│p ppࠠ │ 7 │6 │5 │4 │3 │2 │1 │0 │

├─────────────────┼───┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤

│ 蠠 │ 2

├─────────────────┼───┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤

│ │128│64│32│16│ 8│4 │2 │1 │

└─────────────────┴───┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┘

pp p 1 , -

pp . pp p -

:

┌───────────────┬───┬──┬──┬──┬─┬─┬─┬─┐

│ │ 1 │0 │0 │1 │0│0│0│1│

├───────────────┼───┼──┼──┼──┼─┼─┼─┼─┤

│ │128│64│32│16│8│4│2│1│

├───────────────┼─┬─┴──┴──┴┬─┴─┴─┴─┴┬┤

│ , │ │ │ ││

│ ⠠ │ │ │ 1│

│󠠠 │ │ └───────16│

│ │ └───────────────128│

├───────────────┼────────────────────┤

│ │ 145│

└───────────────┴────────────────────┘

p ,

p pp p p

M=2

p 4 , 8 ,16, 32 , -

:

pp⠠

4 15 ()

8 255 ()

16 65535 ()

32 4294967295 ( )

p

p , ,

p , -

. p p pp

p p . -

:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 + 1 - p

蠠 11010

+ 10010

────────

101100

10111

+ 1000

─────

11111

p p p p

p p p

. p p -

p , p .. p .

pp p ,

p . -

p pp . p :

13-5 13+(-5) . p

pp p - p-

pp . pp , pp 0101

1010 . p p -

, p p pp ,

p p . p-

ppp .

p p -

, p .

p , p

-1 0 ? p p -

. , (-

) p 0 (p) , p -1 () . -

pp -

p . 16--

p +32767 , p -32768 .

, pp -

. - p-

p -

.

┌────────────┬──────────┬──────────┬──────────────┐

│ │ p頠 │ p ││

│  │ 䠠 │ 䠠 │ 䠠 │

├────────────┼──────────┼──────────┼──────────────┤

│ -8 │ - │ - │ 1000 │

│ -7 │ 1111 │ 1000 │ 1001 │

│ -6 │ 1110 │ 1001 │ 1010 │

│ -5 │ 1101 │ 1010 │ 1011 │

│ -4 │ 1100 │ 1011 │ 1110 │

│ -3 │ 1011 │ 1100 │ 1101 │

│ -2 │ 1010 │ 1101 │ 1110 │

│ -1 │ 1001 │ 1110 │ 1111 │

│ │ /1000 │ /1111 │ │

│ 0 │{ │ { │ 0000 │

│ │

stud-baza.ru

Реферат - Системы счисления 4

Цель работы

1. Понять принципы позиционной системы счисления.

2. Научиться переводить числа из одной системы счисления в другую.

3. Уметь производить арифметические действия над числами, представленными в различных системах счисления.

1. Общие сведения о системах счисления

Под системой счисления принято понимать совокупность приемов записи чисел. Условные знаки, которые при этом применяются, называют цифрами. В некоторых системах счисления кроме цифр могут использоваться специальные символы. Таким образом, в системах счислениях числа записываются как последовательность цифр или специальных символов. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

В непозиционной системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа. К непозиционной системе счисления относится, так называемая, Римская система счисления. Например, возьмем число ХХХ из Римской системы счисления. В данном числе цифраХ в любом месте означает число десять.

В позиционных системах счисления значение каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число. Например, в числе 999 (десятичная система счисления) первая справа цифра 9 означает количество единиц, содержащихся в числе, вторая – количество десятков, третья – количество сотен. Принимая за основание системы различные числа можно получить соответствующие системы счисления. ЧислоР единиц одного разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система называетсяР -ичной. Поэтому для записи произвольного числа в какой-либо позиционной системе счисления достаточно иметьР различных цифр. Таким образом, любая позиционная система с любым целым основанием Р (при Р >1) использует Р различных цифр а, которые обозначают последовательный ряд чисел от и кончая числом Р-1. Эти цифры называются базисными.

Число записывается в виде последовательности Р-ичных цифр, которая разделена точкой на целую и дробную части. Если каждый из символов означает некоторую Р -ичную цифру, то запись числа имеет вид. Каждой цифре из этой последовательности принято определенное значение. Цифра, стоящая в некотором разряде, имеет значение в Р раз больше того, которое она имела бы в разряде с номером, меньшим на 1. И наоборот, в Р раз меньшее того, которое она имела бы в разряде с номером, большим на 1.

2. Позиционные системы счисления

Как было сказано, количество различных цифр, применяемых в позиционной системе счисления, называют ее основанием. Принимая за основание системы различные числа можно получить соответствующие системы счисления. К позиционным системам счисления, получившим наибольшее распространение, относятся десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Для того, чтобы отличать в какой системе представлено то или иное число, в дальнейшем будем записывать число с указанием используемой системы счисления. Например, — число 375 в десятичной системе счисления, а число — число 375 в восьмеричной системе счисления.

2.1. Десятичная система счисления

Это наиболее широко распространенная система счисления, которая использует 10 различных базисных цифр для представления любой величины. При записи чисел в десятичной системе счисления используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Несмотря на простоту и привычность десятичной системы счисления использование ее при передачи информации в вычислительных машинах представляется неудобной и технически не экономичной. Поэтому при организации вычислительных процессов в ЭВМ используются системы счисления с другими основаниями.

2.2. Двоичная система счисления

Большинство элементов, из которых строится ЭВМ, по своей физической природе могут находиться лишь в одном из двух состояний. Такие элементы называются двухпозиционными. Одно из устойчивых состояний элемента принимается за изображение цифры 0, а другое за изображение цифры 1. С помощью двухпозиционных элементов легко изображаются разряды двоичного числа. Поэтому двоичная система счисления имеет преимущества, и она оказывается очень удобной для применения в ЭВМ. Двоичная система счисления имеет только две цифры: 0 и 1. Это минимальное количество цифр, которое может быть принято в системе счисления.

Как и в десятичной системе счисления, в двоичной системе для отделения дробной части от целой используется точка, а перед отрицательным числом ставится минус (-):

2.3 Восьмеричная система счисления

В цифровых схемах и в электронных системах получила распространение восьмеричная система счисления. Данная система удобна тем, что восьмеричная запись какого-либо числа в три раза короче его двоичной записи. В данной системе счисления коэффициенты а принимают восемь различных значений — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Поскольку, то каждый восьмеричный символ может быть представлен трехбитовым числом. Этих чисел восемь, как и символов в восьмеричной системе счисления. Как и в рассмотренных системах счисления, в восьмеричной системе используются дробные и отрицательные числа:

2.4. Шестнадцатеричная система счисления

Для систем счисления с основанием больше “10”, арабских цифр для представления чисел не хватит. Поэтому в этих случаях дополнительно вводят специальные символы. К таким системам счисления относится шестнадцатеричная система счисления.

В шестнадцатеричной системе счисления используются 16 базисных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F. Выбор шестнадцатеричной системы счисления обуславливается тем, что, т.е. эту систему можно использовать как средство сокращенной записи четырехразрядного двоичного числа.

Следует помнить, что шестнадцатеричные и восьмеричные числа – это только способ представления двоичных чисел.

Для представления дробных и отрицательных шестнадцатеричных чисел используется, соответственно, точка и знак минуса (-):

3. Перевод чисел в позиционных системах счисления

3.1. Перевод из десятичной системы счисления

Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо разделить исходное число на основание системы счисления в которое оно переводится. При этом надо определять остатки деления. Остаток первого деления является значением младшего разряда. Затем полученное частное делится на выбранное основание. Процедуру деления продолжают до тех пор пока не станет меньше делителя, т.е. основания системы счисления, в которую осуществляется перевод. Значение последнего частного будет наибольшим разрядом, т.е. запись нового числа производится в обратном порядке: от частного к первому остатку, используя все промежуточные остатки.

При переводе в шестнадцатеричную систему счисления остатки, значения которых больше 9, необходимо заменить соответствующим буквенным эквивалентом: 10-А, 11-В, 12-С, 13-D, 14-E, 15-F.

Пример перевода целого десятичного числа 95:

а) в двоичную систему счисления

95 2

94 47 2

1 46 23 2

1 22 11 2

1 10 5 2

1 4 2 2

1 2 1

0 Место для формулы.

б) в восьмеричную систему счисления

95 8

88 11 8

7 8 1

3

в) в шестнадцатеричную систему счисления

95 16

80 5

15

При переводе правильных десятичных дробей, необходимо умножить значение этой дроби на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Значение целой части результата первого умножения присваивается старшему разряду дробной части. Затем целая часть не рассматривается и производится следующее умножение дробной части. Процедуру умножения повторяют до тех пор, пока результат умножения не будет равен целому числу и этот результат будет младшим разрядом, либо не будет достигнута требуемая точность.

Примеры перевода правильной десятичной дроби 0.36:

а) в двоичную

* 0.36

2

* 0.72

2

* 1.44

2

* 0.88

2

1.76

0.3610 => 0.01012

б) в восьмеричную

* 0.36

8

* 2.88

8

* 7.04

8

* 0.32

8

2.56

0.3610 => 0.27028

в) в шестнадцатеричную

* 0.36

16

* 5.76

16

* 12.16

16

* 2.56

16

8.96

0.3610 => 0.5C281

Для перевода неправильной десятичной дроби, необходимо перевести отдельно дробную и целую часть, а полученные результаты сложить.

Например, перевести в двоичную систему счисления неправильную десятичную дробь 14.375.

1410 => 11102 0.37510 => 0.0112 14.37510 => 1110.0112

3.2. Перевод в десятичную систему счисления

Для перевода из любой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления необходимо записать это число в виде суммы:

где Р – основание системы из которой осуществляется перевод; a – число, соответствующее базисной цифре Р-ичной системы счисления; n – число цифр в целой части; m – число цифр в дробной части.

Например, перевести число 110.101 из двоичной системы счисления в десятичную:

110.1012 = 1*22 + 1*21 + 0*20+ 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 = 6.62510

Для удобства расчета в табл. 1 приведены значения степеней позиционных систем счисления.

Таблица 1.

Значения степеней позиционных систем счисления

3.3. Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

Основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления (q) являются степенью основания двоичной системы (p): q = pk, где k – целое число, равное 3 для восьмеричной системы счисления и 4 для шестнадцатеричной. Поэтому перевод из двоичной системы осуществляется разбиением двоичного числа на группы по три цифры в каждой для восьмеричной и по четыре для шестнадцатеричной. Отчет ведется от точки разделяющей целую часть от дробной в обе стороны. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой из соответствующих систем счисления (см. табл. 2 и 3). Недостающие биты двоичного числа дополняются нулями: впереди – для целой части и в конце – для дробной части. Например, необходимо перевести двоичное число 1010001110.00111 в восьмеричное и шестнадцатеричное число:

а) в восьмеричное

1010001100.001112 = 001 010 001 100.001 1102 = 1214.168

б) в шестнадцатеричное

1010001100.001112 = 0010 1000 1100.0011 10002 = 28С.3816

Таблица 2. Таблица 3.

Двоичные – восьмеричные Двоичные – шестнадцатеричные

3.4. Перевод в двоичную систему счисления

из восьмеричной и шестнадцатеричной

Для перевода в двоичную систему из восьмеричной или шестнадцатеричной систем счисления необходимо каждое число заменить двоичным эквивалентом (см. табл.2 и 3). Например: 34.58 = 011 100.1012; A3.E16 = 1010 0011.11102 .

3.5. Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную

Для перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления необходимо представить это число в виде двоичного числа. Затем объединить в группы по 4 бита и заменить соответствующим числом из шестнадцатеричной системы счисления (см. табл.2 и 3). Например: 3458 = 011 100 1012 = 0111001012 = Е516

3.6. Перевод из шестнадцатеричной системы в восьмеричную

Для перевода шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную необходимо представить это число в виде двоичного числа. Затем объединить в группы по 3 бита и заменить соответствующим числом из восьмеричной системы счисления (см. табл.2 и 3). Например: В516 = 1011 01012 = 010 110 1012 = 2658

4. Арифметические действия в позиционных системах счисления

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) над числами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются с использованием таблиц сложения и умножения подобно тому, как это делается в десятичной системе счисления.

Таблицы 4 и 5 предназначены для выполнения сложения и умножения в двоичной системе счисления, таблицы 6 и 7 – в восьмеричной системе счисления, а таблицы 8 и 9 – в шестнадцатеричной системе счисления. Ниже приведены примеры сложения и умножения в различных системах счисления.

а) сложение и умножение в двоичной системе счисления

+ 1100111.011

10011.111

1111011.010

* 11001

11

+ 11001

11001

1001011

б) сложение и умножение в восьмеричной системе счисления

+ 327.71102

35.67735

365.61037

* 732.6

6.3

+ 262.02

5440.4

5722.42

в) сложение и умножение в шестнадцатеричной системе счисления

+ 1А.787

9С.271

В6.9F8

* 10F.A2

0.F1

10F A2

A9C5 4

AA.D4 E2

Этими же таблицами можно пользоваться при решении примеров на вычитание и деление.

Таблица 4.

Таблица 5.

Таблица 6.

Таблица 7.

Таблица 8.

Таблица 9.

5. Порядок выполнения работы

Для выполнения работы по системам счисления необходимо изучить теоретический материал и получить номер варианта и из таблицы 10 выбрать числовые данные и выполнить перевод из одной системы счисления в другую по следующей схеме:

1. Перевод из десятичной системы в двоичную.

2. Перевод из десятичной системы в восьмеричную.

3. Перевод из десятичной системы в шестнадцатеричную.

4. Перевод из двоичной системы в восьмеричную.

5. Перевод из двоичной системы в десятичную.

6. Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную.

7. Перевод из восьмеричной системы в двоичную.

8. Перевод из восьмеричной системы в десятичную.

9. Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную.

10. Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную.

11. Перевод из шестнадцатеричной системы в восьмеричную.

12. Перевод из шестнадцатеричной системы в десятичную.

Из таблицы 11 в соответствии с номером варианта необходимо выбрать для проведения арифметических действий в системах счисления по следующей схеме:

1. Произвести сложение в двоичной системе.

2. Произвести умножение в двоичной системе.

3. Произвести сложение в восьмеричной системе.

4. Произвести умножение в восьмеричной системе.

5. Произвести сложение в шестнадцатеричной системе.

6. Произвести умножение в шестнадцатеричной системе.

6. Содержание отчета

1. Представить результаты переводов из одной системы счисления в другую.

2. Предоставить результаты арифметических действий.

7. Контрольные вопросы

1. Различие позиционных и непозиционных систем счисления.

2. Принцип перевода неправильных десятичных дробей в другие системы счисления.

3. Принцип перевода в десятичную систему счисления.

4. Как осуществляется перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и наоборот.

8. Литература

1. Микропроцессоры. / Под ред. Л. Н. Преснухина. М.: Высш. школа, 1986. Т. 1. 347 с.

2. Левенталь Л. Введение в микропроцессоры. М.: Энергоатомиздат, 1983. 463 с.

3. К. А. Нешумова. Электронно-вычислительные машины и системы. М.: Высшая школа, 1989. – 366 с.

4. А. М. Кириличев. Основы вычислительной техники. – М.: Недра, 1988. – 350 с.

www.ronl.ru

Читать реферат по математике: "Двоичная система счисления"

(Назад) (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Федеральное государственное

автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Новосибирский Государственный Педагогический Университет

Факультет Технологии и Предпринимательства

Кафедра информационных систем и технологий Р Е Ф Е Р А Т

на тему:

Двоичная система счисления Кожемякин Владимир Николаевич Новосибирск, 2014 г. Введение Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связана с тем фактом, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную систему счисления.

Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений младшеклассника, выполняемых карандашом на бумаге, кончая вычислениями, выполняемыми на компьютерах. В работе изложена и занимательно описана одна из наиболее популярных систем счисления - двоичная, а также ее применения, как старые, так и новые, как забавные, так и серьёзные.

Главное достоинство двоичной системы - простота алгоритмов сложения, вычитания умножения и деления. Изучение двоичной системы счисления, которая используется в компьютерах, важно для понимания того, каким образом производится обработка числовых данных в ЭВМ. Поэтому данная тема является актуальной. Понятие систем счисления

система двоичный счисление кодирование

Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Люди всегда считали и записывали числа, даже 5 тысяч лет назад. Но записывали их по другим правилам, хотя в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые назывались цифрами.

Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр - от 0 до 9. Это десятичная система счисления.

Системой счисления - это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.

Системы счисления делятся на различные группы:

Анатомического происхождения: десятеричная, пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная.

Алфавитные: древнеармянская, древнегрузинская, древнегреческая, ионическая, славянская.

Машинные: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Прочие: Римская, Вавилонская, Египетская нумерация, Китайская нумерация и другие.

Также различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления значение числа определяется как сумма или разность цифр в числе. В непозиционных системах счисления считать трудно. Древние греки построили геометрию, которую сегодня изучают в школе, доказали важные теоремы теории чисел, но считать они не умели.

Примеры непозиционных систем счисления:

. У многих народов использовалась система, алфавит которой состоял из одного символа - палочки. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать определенное множество палочек, равное данному числу: ||||| - число пять.

. Египтяне применяли для записи чисел иероглифы. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Если штрихов нужно изобразить несколько, то их объединяли в группы из трех или четырех черт и изображали в несколько рядов, причем в нижнем должно быть столько же штрихов сколько и в верхнем, или на одну больше.

Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку.

Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.

Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1 000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев - волнистой линией и десять волнистых линий - фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона.

Рис 3. Египетская система счисления Самым распространенным примером непозиционной системы счисления является римская система счисления

Рис 4. Римская система счисления Позиционные системы счисления. Позиционной называется такая система счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе - шестидесятeричная вавилонская. Например, число 59 в данной системе записывается следующим образом: , т.е. 59 = 5 · 10 + 9. Запись чисел в позиционных системах счисления осуществляется следующим образом: множество цифр, используемых для записи чисел в позиционных системах счисления, образует алфавит. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе - позиция. Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой форме записи числа.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления - система счисления, построенная на позиционном принципе записи чисел, с использованием только двух знаков - цифр 0 и 1. Главное достоинство двоичной системы - простота алгоритмов сложения, вычитания умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требует ничего запоминать: ведь любое число, умноженное на нуль равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе. Таблица деления сводится к двум равенствам 0/1 = 0, 1/1 = 1, благодаря чему деление столбиком многозначных двоичных чисел делается гораздо проще, чем в десятичной системе, и по существу сводится к многократному вычитанию.

Таблица сложения, как ни странно, чуть сложнее, потому что 1+1 = 10 и возникает перенос в следующий разряд. В общем виде операцию сложения однобитовых чисел можно записать в виде x+y = 2w+v, где w, v - биты результата. Внимательно посмотрев на таблицу сложения, можно заметить, что бит переноса w - это просто произведение xy, потому что он равен единице лишь когда x и y равны единице. А вот бит v равен x+y, за исключением случая x = y = 1, когда он равен не 2, а 0. Операцию, с помощью которой по битам x, y вычисляют бит v, называют по-разному. Мы будем использовать для неё название «сложение по модулю 2» и символ . Таким образом, сложение битов выполняется фактически не одной, а двумя операциями.

Если отвлечься от технических деталей, то именно с помощью этих операций и выполняются все операции в компьютере.

Для выполнения сложения однобитовых чисел делают обычно даже специальный логический элемент с двумя входами x, y и двумя выходами w, v, как бы составленный из элемента умножения (его часто называют конъюнкцией, чтобы не путать с умножением многозначных чисел) и элемента сложения по модулю 2. Этот элемент часто называют полусумматором. Применения

referat.co

Читать реферат по математике: "Позиционные системы счисления"

(Назад) (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Позиционные системы счисления Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют системы позиционные и непозиционные.В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная сиситема характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогочно тому, как это делается для восьмеричной системы.

Почему люди пользуются десятичной системой счисления, а ЭВМ - двоичной?Подготовил Садовой Игорь по материалам газеты "Информатика" 1998 N24 и книги Л.З.Шауцуковой, "Основы информатики в вопросах и ответах", Издательский центр "Эль-Фа", Нальчик, 1994.

Операционные системы Операционная система определяет общие правила запуска программ, управления данными и доступа к ресурсам компьютера.

Наиболее широко распространенной и универсальной операционной системой для большинства типов ЭВМ с начала 1970-х годов является многозадачная и многопользовательская операционная система UNIX, разработанная компанией Bell Labs, подразделением AT&ampT. UNIX существует в десятках версий для компьютерных систем различных производителей.

Первой широко распространенной операционной системой для 8-разрядных персональных компьютеров, основанных на микропроцессоре Intel 8080, стала в 1970-е годы система CP/M-80 фирмы Digital Research.

Основной операционной системой компьютеров IBM PC и совместимых с ними, изначально основанных на микропроцессоре Intel 8088, а в дальнейшем — на последующих моделях микропроцесссоров Intel, стала (с 1981 г.) MS-DOS фирмы Microsoft. Существовали операционные системы, совместимые с MS-DOS, такие, как PC-DOS фирмы IBM, DR-DOS фирмы Digital Research (впоследствие стала продуктом фирмы Novell под маркой Novell DOS).

Попыткой уйти от стандарта MS-DOS была совместно разработанная фирмами Microsoft и IBM операционная система OS/2 (1987 г.). С 1990 года фирма Microsoft отошла от разработки OS/2 и полностью сконцентрировалась на линии операционных систем Windows, которые являются в настоящее время весьма популярными. OS/2 остается продуктом IBM и продолжает развиваться этой фирмой. Операционная система Microsoft DOS В настоящее время MS-DOS (Microsoft Disk Operatting System - "дисковая операционная система фирмы Microsoft) остается самой популярной в мире операционной системой для IBMPC-совместимых персональных компьютеров. Ее поставки начались в 1981 году вместе с компьютерами IBM PC (под названием PC—DOS). Многие черты MS—DOS были унаследованы от операционной системы CP/M—80 фирмы Digital Research, применявшейся в 8—разрядных персональных компьютерах.

Операционная система MS—DOS позволяет использовать программное обеспечение, созданное для MS—DOS, и предоставляет пользователю ряд возможностей по работе с файлами данных, их организации в каталоги и использованию устройств ввода-вывода. MS—DOS является однозадачной однопользовательской операционной системой, работающей в реальном режиме микропроцессоров x86, использующей 640 Кбайт памяти компьютера и поддерживающей сравнительно простую файловую систему (File Allocation Table, FAT). Изначально MS—DOS ориентирована на работу с микропроцессорами 8086 и 8088, имевшими только один режим работы — так называемый реальный. Защищенный режим работы микропроцессоров Intel 80286 и выше (с адресацией до 16 Мбайт памяти) могут использовать только некоторые драйверы MS—DOS, с виртуальной памятью система не работает.

Самой совершенной версией операционной системы MS—DOS, выпущенной отдельно, является MS—DOS 6.22 (1994 г.).

Для использования системой —MSDOS диск должен быть не только размечен на стандартные сектора и дорожки. При форматировании дисков в системе MS—DOS на них записывается стандартная служебная информация, необходимая для работы, и создаются структуры данных, входящие в системную область диска.

Системной областью диска в MS—DOS называется служебная область, в которой не могут храниться файлы данных. Системная область состоит из трех частей: загрузочной записи, таблицы размещения файлов и корневого каталога.

Загрузочная запись (Boot Record) размещается на каждом диске в логическом секторе с номером 0. Она содержит данные о формате диска, а также короткую программу, используемую в процедуре начальной загрузки операционной системы.

Таблица размещения файлов (File Allocation Table, FAT) находится после загрузочного сектора и содержит описание физического расположения всех файлов на диске; за FAT следует ее точная копия — такое дублирование повышает надежность хранения данных на диске.

Корневой каталог (Root Directory) всегда находится за копией FAT, и количество записей в нем никогда не превышает определенной величины, а именно: 112 на дискетах двойной плотности, 224 на дискетах высокой плотности и 512 на жестких дисках.

Все логические тома хранятся под общей физической “обложкой” одного жесткого диска. Информация о разбиении на тома фиксируется в самом первом физическом секторе диска, то есть в секторе 1 дорожки 0 стороны 0, в главной загрузочной записи (Master Boot Record).

Загрузочный код из загрузочной записи диска считывается программой начального загрузчика ROM BIOS (записанной на ПЗУ базовой системы ввода-вывода) компьютера и получает управление после включения компьютера. Загрузочная программа определяет, являются ли первые два файла на диске файлами IO.SYS и MSDOS.SYS (в системе MS—DOS). Если это так, то происходит загрузка операционной системы MS—DOS, в противном случае загрузочная программа выводит на

referat.co

Реферат - Системы счисления 2

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления — это способ записи чисел.

64, \/

Системы счисления

Позиционные-

— Позиционные системы счисления — системы записи чисел, в которых значение каждой цифры числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр.

Примеры: двоичная(101101),

десятичная(123, 15).

Непозиционные —

каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа

Пример: римская( XXI, IV)

Десятичная

— Система счисления с основанием 10.

— Возникла примерно в V веке нашей эры в Индии.

Двоичная

— Позиционная система счисления с основанием два.

Перевод чисел из одной СС в другую.

Для перевода целого числа из СС с основанием 10 в СС с любым основанием необходимо:

— 1 способ Последовательное деление числа и последующих целых частных на n — новое основание СС. Это число разделить на n, полученное частное вновь делят на n и так до тех пор пока последнее частное не окажется меньше n. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Для перевода целого числа из СС с основанием 10 в СС с любым основанием необходимо:

— 2 способ Метод разностей. Берем степень числа 2 ближайшую к исходному числу. Представляем это число в виде суммы степени 2 и остатка. Далее остаток представляем в виде ближайшей степени 2 и остатка и так до тех пор пока находится степень 2. Далее записываем все степени 2 в порядке убывания, если нет каких, то ставим 0. Записываем число в развернутой форме. Последовательно записанные слева направо коэффициенты перед степенями –0 и 1 – это и есть ответ

Для перевода правильной дроби из СС с основанием 10 в СС с основанием n необходимо:

— эту дробь умножить на n, затем дробную часть, полученного произведения вновь умножить на n и так до тех пор пока в дробной части не окажутся все нули, либо не будет достигнута заданная степень точности. Целые части, полученных произведений взятые по схеме сверху вниз, и дадут результат перевода.

Для перевода смешанной дроби из одной СС в другую необходимо:

— представить эту дробь в виде суммы целого числа и десятичной дроби, а затем произвести перевод каждой части отдельно по соответствующим правилам.

Перевести 25,2510 в двоичную СС

Рассмотрим пример:

Сначала- переводим целую часть

2510 =110012

Затем- перевод дробной части

0,2510 =0,012

Соединили целую и дробную части и получили:

25,25=11001,012

Перевод чисел из СС с основанием q, кратным 2 (т.е. 2n ) в двоичную СС (из 8-й в 2-ю, из 16 в 2-ю, из 2-й в 8-ю и т.д.) и обратно

— Для того, чтобы произвольное число в СС с основанием q=2n, перевести в 2-ую СС, нужно каждую цифру исходного числа заменить ее n-значным эквивалентом в 2-й системе счисления.

— Пример1. 15FC16 =Х2

— Исходная СС – это 16, т.е. 24, значит n=4, т.е. двухзначный эквивалент содержит четыре 0 и 1

— 1-> 0001

— 5 –> 0101

— F=16 –> 1111

— С=12 –> 1100

— ОТВЕТ 0001 0101 1111 1100

Записать в тетради Двоично- шестнадцатеричная таблица

Перевод чисел из СС с основанием q, кратной 2 (т.е. 2n ) в двоичную СС и обратно (из 8-й в 2-ю, из 16 в 2-ю, из 2-й в 8-ю и т.д.)

Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в СС с основанием q=2n, нужно:

— 2-е число разбить слева и справа от запятой (разделитель дробной части) на группы по n цифр

— Если в последних правой и левой группах окажется меньше чем n цифр, то дополнить нулями слева и справа

— Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать его соответствующей цифрой в системе счисления

Пример2. 10101111111002 = Х16

— СС, в которую переводим – это 16, т.е. 24, значит n=4, т.е. двухзначный эквивалент содержит в каждой группе по четыре 0 и 1

— Разбиваем на группы по 4 справа налево и слева направо приписываем три 0 и получаем 0001 0101 1111 1100

— 1 5 F C

Пример 3 111100101,01112 =Х8

— Ответ 745,34

Пример 4 Перевести 8-е и 16-е числа в 2-ю СС

1)2668

2) 12708

3) 10,238

4) 26616

5) 2А1916

6) 10,2316

Задания для самост. решения

— 1. Переведите из 10-й в 2-ю

— 1)513 2)600 3)602 4) 1000

— 5)2304 6)501 7) 7000 8)8192

— 2. Переведите 10-е дроби в 2-ю СС (ответ записать с 6-ю двоичными знаками)

— 1) 0,4622 2) 0,5198 3)0,5803 4) 0,6124

— 5) 0,7351 6) 0,7982 7) 0,8544 8) 0,9321

— 3. Переведите смешанные десятичные дроби в 2-ю СС

— 1)40,5 2)31,75 3) 124,25

— 4. Переведите целые числа из 10-й в 8-ую

— 1) 8700 2) 8888 3) 8900 4) 9300

— 5. Переведите целые числа из 10-й в 16-ую

— 1) 266 2) 1023 3) 1280 4) 2041

— 6*. Переведите числа из 10-й в 8-ую 1) 0,43 2) 37,41 3) 2936

— 7. Переведите двоичные числа в 8-ую СС

— 1) 1010001001011 2) 1011001101111 3) 110001000100

Задания из ЕГЭ

Задания из ЕГЭ

Задания из ЕГЭ

Ответы

12. Сколько единиц в двоичной записи числа 195 1)5 2)2 3)3 4)4

13. Сколько единиц в двоичной записи числа 197? 1)5 2)'2 3)3 4)4

14. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно:

1)5 2)6 3)7 4)4

15. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно:

1)5 2)6 3)7 4)4

16. Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 126 равно:

1)1 2)2 3)3 4)0

17. Вычислите сумму чисел х и у, при х =В416, у =468. Результат представьте в двоичной системе счисления.

1)110110102 2)100000102 3)11100102 4)10111010г

18. Значение выражения 1016+ 108 — 102 в двоичной системе счисления равно:

1) 1010 2) 11010 3) 100000 4) 110000

19. Вычислите сумму чисел х и у, при х =А716, у =568 Результат представьте в двоичной системе счисления.1)110101012 2)110010012 3)10001111, 4)10000101о

20. Вычислите сумму чисел х и у, при х = 1016, у = 728. Результат представьте в двоичной системе счисления.

1)10001Ш2 2)11001012 3)1010112 4)10101112

21. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4. 6 , 9 , 18

22. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3. 7 , 21

www.ronl.ru

Смотрите также

• 
  Реферат по бжд чрезвычайные ситуации
• 
  Реферат местное самоуправление в рф
• 
  Силы в природе реферат физика
• 
  Философия культуры реферат по философии
• 
  Реферат 2 класс окружающий мир
• 
  Реферат физика в профессии механика
• 
  Реферат этапы развития информационных технологий
• 
  Реферат острое нарушение мозгового кровообращения
• 
  Комплексные числа реферат по математике
• 
  Реферат воспитание в педагогическом процессе
• 
  Спортивные игры реферат по физкультуре