Муниципальное общеобразовательное учреждение
Озёрская средняя общеобразовательная школа
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРКЕТЫ
проект
ВЫПОЛНИЛ:
Косарев Алексей Борисович
РУКОВОДИТЕЛЬ:
Жмулюкина Надежда Николаевна
Поселок им. 2-ой Пятилетки
2008 год
СОДЕРЖАНИЕ
· Введение 3
· Основная часть 4
1. История развития движений 4
2. Движения 7
2.1. Виды движений 9
2.2. Параллельный перенос 9
2.3. Осевая симметрия 10
2.4. Центральная симметрия 11
2.5. Поворот 12
3. Аналитическое выражение движения 13
4. Различные виды паркетов 14
4.1. Паркеты из правильных многоугольников 14
4.2. Паркеты из произвольных многоугольников 17
4.3. Паркеты из фигурок животных 18
5. Шевели мозгами 19
6. Графическое представление проекта 21
· Заключение 22
· Используемая литература 23
ВВЕДЕНИЕ
Тема данного проекта возникла в результате изучения темы «Движения» в курсе геометрии 9 класса, когда рассматривался вопрос практического применения движений в повседневной жизни.
Цели и задачи исследования
— Показать практическое применение темы: «Движение».
— Установить все возможные случаи покрытия плоскости многоугольниками.
— Рассмотреть нестандартные приёмы покрытия плоскости.
— Показать применение паркетов в дизайне помещений.
Гипотеза исследования
Существуют многоугольники, которыми можно покрыть плоскость без просветов и двойных покрытий.
Ход исследования
— Паркет (или мозаика) — бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий.
— Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками; в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае — многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование «два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек»; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ДВИЖЕНИЙ
Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547г. до н.э.).
Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало!
Каким же образом проводил Фалес свои доказательства. Для этой цели он использовал движение.
Движение это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.
Именно таким путем Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Если плоскость повернуть как твердое целое вокруг некоторой точки О на 1800, то луч ОА перейдет в его продолжение ОА1. При таком повороте (его еще называют центральной симметрией с центром О) каждая точка А перемещается в такую точку А1, что О является серединой отрезка АА1
Пусть О общая вершина вертикальных углов АОВ и А1 ОВ1. Но тогда ясно, что при повороте на 1800стороны одного из двух вертикальных углов как раз перейдут в стороны другого, т. е. эти два угла совместятся. Значит, вертикальные углы равны.
Доказывая равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией: две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине. Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам.
Применял Фалес и еще одно движение параллельный перенос, при котором все точки фигуры смещаются в определенном направлении на одно и тоже расстояние. С его помощью он доказал теорему, которая сейчас носит его имя: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй стороны угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки.
Во времена античной истории идеей движения пользовался знаменитый Евклид, автор Начал книги, переживший более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея 1, правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305-283 до н.э.
Движения в неявном виде присутствовали, например, в рассуждениях Евклид при доказательстве признаков равенства треугольников: наложим один треугольник на другой таким-то образом. По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть совмещены всеми своими точками, т.е. перемещая одну фигуру как твердое целое, можно точно наложить ее на вторую фигуру. Для Евклида движение не было еще математическим понятием. Впервые изложенная им в началах системах аксиом стала основой геометрической теории, получившей название евклидовой геометрии. В новое время продолжается развитие математических дисциплин. В 11 веке создается аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери (1598-1647) издает сочинение геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру можно рассматривать как совокупность параллельных линий или следов, которые оставляет линия, передвигаясь параллельно самой себе. Аналогично дается представление о телах: они образуются при движении плоскостей.
Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880). В 1837г. он выпускает труд исторический обзор происхождение и развитие геометрических методов в процессе собственных геометрических исследований Шаль доказывает важнейшую теорему:
Всякое меняющие ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом.
Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.
Важным обогащением, которым геометрия обязана 19 веку, является создание теории геометрических преобразований, в частности, математической теорией движений. (перемещений).
К этому времени назрела необходимость дать классификаций всех существующих геометрических систем. Такую задачу решил немецкий математик Кристиан Феликс Клейн(1849 1925).
В 1872 г., выступая в должность профессора эрлангенского университета, Клейн прочитал лекцию сравнительное обозрение новейших геометрических исследований. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название эрлангенская программа.
По Клейну, для построения той или иной геометрии нужно задать множество элементов и группу преобразований. Задача геометрии состоит в изучении тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях данной группы. Например, геометрия Евклида изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при движении. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением, то у этих фигур одинаковые геометрические свойства.
В этом смысле движения составляют основу геометрии, а пять аксиом конгруэнтности выделенные самостоятельной группой в системе аксиом современной геометрии. Эту полную и достаточно строгую систему аксиом, подытожив все предыдущие исследования, предложил немецкий математик Давид гильберт(1862-1943). Его система из двадцати аксиом, разделенный на пять групп, была впервые опубликована в 1899 в книге Основание геометрии.
В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалкса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии основанную на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы аксиом конгруэнтности гильберта предлагается группа из трех аксиом движения.
ДВИЖЕНИЯ
Движением называется отображение плоскости на себя при котором сохраняются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:
Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.
Доказательство: пусть движение переводит точки А, В, С в токи А', В', С'. Тогда выполняются равенства
А'В'=АВ, А'С'=АС, В'С'=ВС (1)
Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна из ни, например точка В лежит между двумя другими. В этом случае АВ+ВС=АС, и из равенства(1) следует, что А'С'+В'С'=А'С'. А из этого следует, что точка В' лежит между точками А' и С'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки А', В', С' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки А, В, С не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:
АВ≤АС+ВС
АС≤АВ+ВС
ВС≤АВ+АС
но из равенства (1) следует что те же неравенства должны выполнятся и для точек А', В', С' следовательно точки А', В', С' должны быть вершинами треугольника, следовательно точки А', В', С' не должны лежать на одной прямой.
Отрезок движения переводится в отрезок.
При движении луч переходит в луч, прямая в прямую.
Треугольник движением переводится в треугольник.
Движение сохраняет величину углов.
При движении сохраняются площади многоугольных фигур.
Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.
Композиция двух движений также является движением.
Используя определение можно дать такое определение равенства фигур: Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.
Виды движений
На плоскости существует четыре типа движений:
Параллельный перенос
Осевая симметрия
Поворот вокруг точки
Центральная симметрия.
Рассмотрим подробнее каждый вид.
Параллельный перенос.
Параллельны переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.
Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости Х и У ставит в соответствие такие точки Х1 и У1, что ХХ1 =УУ1 или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.
Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки Х и У перешли в точки Х1 и У1 соответственно. Тогда выполняется равенство ХХ1 =УУ1, откуда получаем, что во-первых ХУ=Х1 У1, то есть параллельный перенос является движением, и во-вторых, ХУ=Х1 У1, то есть при параллельном переносе сохраняются направления.
Это свойство параллельного переноса – его характерное свойство, то есть справедливо утверждении: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом.
Осевая симметрия
Точки Х и Х1 называются симметричными относительно прямой а, и каждая из них симметрична другой, если а является серединным перпендикуляра отрезка ХХ1. Каждая точка прямой а считается симметрично самой себе( относительно прямой а) если дана прямая а, то каждой точке Х соответствует единственная точка Х1, симметричная Х относительно а.
Симметрией плоскости относительно прямой а называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствии точка, симметричная ей относительно прямой а.
Докажем, что осевая симметрия является движением используя метод координат: примем прямую а за ось х декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (х; у) будет преобразована в точку с координатами (х ,-у).
Возьмем любые две точки А(х1, -у1) и В(х2, -у2) и рассмотрим симметричные АВ и А1 В1, получим АВ =А1 В1 .
Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением.
Центральная симметрия
Можно дать такое определение:
Центральная симметрия с центром в точке О это такое отображение плоскости, при котором любой точке Х сопоставляется такая точка Х1, что точка О является серединой отрезка ХХ1 .
Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки О точка Х перешла в Х1. тогда угол ХОХ1 = 180 градусов, как развернутый, и ХО = ОХ1, следовательно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия также является движением.
Центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположные «движение, изменяющее направление на противоположные, являются центральной симметрией.»
Поворот
Поворот плоскости относительно центра О на данный угол β в данном направлении определяется так: каждой точке Х плоскости ставится в соответствие такая точка Х1, что во-первых, ОХ=ОХ1, во-вторых угол ХОХ1 равен углу поворота β и, в-третьих ОХ1 откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол β – углом поворота. Поворот является движением.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ .
На плоскости собственные движения выражаются аналитически в прямоугольной системе координат (х, у) при помощи следующих формул показывающих,
Х=Х cos φ– Y sin φ+ а,
Y=X sin φ+ cos φ+ в ,
Что совокупность всех собственных движений на плоскости зависит от трех параметров а, b , φ. Первые два параметра характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор (а, b ), а параметр φ — вращение (поворот) плоскости вокруг начала координат. Собственные движения представляют собой произведение (композицию) вращения вокруг начала на угол φ и параллельного переноса на вектор (а, b ). Всякое собственное движение может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки.
Несобственные движения выражаются при помощи формул
X=X cos φ+ Y sin φ+ а ,
Y= X sin φ-Y cos φ+ в ,
показывающих, что несобственное движение есть произведение собственного движения на преобразование симметрии относительно некоторой прямой. Всякое несобственное движение представляет собой произведение параллельного переноса вдоль некоторого направления и симметрии относительно прямой, имеющей то же направление.
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПАРКЕТОВ
Паркеты из правильных многоугольников
Самый простой, но и самый скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты.
(рис 1а)
Здесь два квадрата имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Столь же просты паркеты из правильных шестиугольников.
(рис 1б) (рис 1в)
Паркетом будем называть такое покрытие плоскости правильным многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.
Вероятно, вам случалось видеть паркет, составленный из правильных восьмиугольников и квадратов.
(рис2а)
Красивый паркет можно составить из правильных шестиугольников, квадратов и равносторонних треугольников.
(рис 2б)
Паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен. Фигура называется симметричной, если ее наложить на саму себя не «тривиальным» способом (т.е. не таким, когда все точки останутся на своем месте).
Например, на (рис. 2б,) повернув всю сетку вершин и сторон, образующих паркет из шестиугольников, а 60° вокруг центра одного из шестиугольников, мы получим туже самую сетку вершин и сторон.
С точки зрения симметрии наше определение паркета не слишком удачно. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв обычный паркет из шестиугольников (рис1в), можно «испортить» его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получится вновь паркет в смысле нашего определения. Но можно доказать, что, подразделив, например, три шестиугольника как показано на (рис3) и составив все остальное неподразделенными, мы получим паркет, совсем лишенный симметрии. Чтобы устранить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы введем такое определение: паркет называется правильным, если его можно наложить на самого себя так что любая заданная его вершина наложится любую другую заданную его вершину. Оказывается, что все многообразие правильных паркетов можно описать. Если длина h стороны многоугольников паркета задана, то существует только 11 различных (не накладывающихся друг на друга) правильных паркетов. Все они изображены на рис. 1, 2, 4.
Сумма всех углов n-угольника равна 1800(n-2).Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 1800 (n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·1800должно быть целым кратным числа 1800(n-2)/n. Преобразуем отношение этих чисел:
2πn/π(n-2)=2n/ (n-2)=2+4/(n-2).
Паркеты из произвольных многоугольников
Паркеты из фигурок животных
ШЕВЕЛИ МОЗГАМИ
Задание 1.
На рис 1. показан паркет, т. е. заполнение всей плоскости одинаковыми (равными) фигурами. Как видно из рисунка, этот паркет может быть совмещен сам с собой разными параллельными переносами, например, на три клетки вправо и на одну клетку вверх. Этот параллельный перенос задается парой чисел (3; 1). Данный паркет также совмещается сам с собой параллельным переносом, который характеризуется парой чисел (- 6; — 2), или парой (- 2; 3). Проверьте!
рис.2.
Задание 2.
Рис. 3.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
— Движение широко применяется при покрытии плоскости паркетом.
— Плоскость можно покрыть без просветов двойных покрытий правильными многоугольниками.
— Плоскость покрывается произвольными многоугольниками (невыпуклыми, звездчатыми, выпуклыми неправильными многоугольниками.
— Для покрытия плоскости можно использовать комбинации различных многоугольников
— В качестве элемента покрытия плоскости можно использовать фигуры животных
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
— Энциклопедия по математике. Издательство «Аванта +», 2006
— Энциклопедия юного математика. М., «Посвящение», 2005
— Математическая энциклопедия. М., «Советская энциклопедия», 1979
— Л.С.Атанасян и др. учебник по геометрии 7-9 класс. Изд. «Просвещение», 2006
— WWW.netnotes.ru
— WWW.peterlife.ru
— Www.log-in.ru
— Www.25parket.ru
www.ronl.ru
Выполнил:
Педагог: <span Arial",«sans-serif»">
<span Arial",«sans-serif»">
2006-2007 г.
Содержание<span Arial",«sans-serif»">1.Отображения, образы,композиции отображений.… с 1
2.Определениедвижения… с 1
3. Общие свойствадвижения… с 1
4. Параллельныйперенос… с 2
5. Центральная симметрия… с 2
6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости)… с 3
7. Поворот вокруг прямой… с3
7.1. Фигуры вращения … <span Arial",«sans-serif»">с 4
7.2. Осевая симметрия… <span Arial",«sans-serif»">с 4
8. Неподвижные точки движений пространства… с 4
<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">8.1. Основные теоремы о задании движений пространства…
с 4<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">9.Два рода движений…
с 4<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">9.1. Базисы и их ориентация…
с 4<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">9.2. Два рода движения …
с 510. Некоторые распространенные композиции… с 5
<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-weight:normal; mso-bidi-font-style:italic">10.1. Композиции отражений в плоскости…
с 5<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">10.2. Винтовые движения…
с 5<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">10.3. Зеркальный поворот…
с 5<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-style:italic">10.4. Скользящие отражения…
с 5Движением в геометрии называетсяотображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, чтоподразумевается под словом «отображение».
1.Отображения, образы, композиции отображений.
Отображениеммножества M в множество N называется соответствие каждому элементу из Mединственного элемента из N.
Мы будемрассматривать только отображение фигур в пространстве. Никакие другиеотображения не рассматриваются, и потому слово «отображение» означаетсоответствие точкам точек.
О точке X',соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она являетсяобразом точки X, и пишут X' = f(X). Множество точек X', соответствующих точкамфигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается M' =f(M).
Если образом Mявляется вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M нафигуру N.
Отображениеназывается взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двухразличных точек различны.
Пусть у нас естьвзаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X'множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M.Поэтому каждой точке X' (N можно поставить в соответствие ту единственную точкуX (M, образом которой при отображении f является точка X'. Тем самым мыопределим отображение множества N на множество M, оно называется обратным дляотображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то ононазывается обратимым.
Неподвижной точкойотображения (называется такая точка A, что ((A) = A.
Из данных определенийнепосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное емуотображение f также обратимо и (f) = f. Поэтому отображения f и f называютсятакже взаимно обратными.
Пусть заданы дваотображения: отображение f множества M в множество N и отображение g множестваN в множество P. Если при отображении f точка X (N перешла в точку X' = f(X)(N, а затем X' при отображении g перешла в точку X'' (P, то тем самым врезультате X перешла в X''.
В результатеполучается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение hназывается композицией отображения f с последующим отображением g.
Если данноеотображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f,вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественноеотображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку.
2. Определение движения.
Движением (илиперемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двумее точкам A и B соответствуют такие точки A' и B', что |A'B'| = |AB|.
Тождественноеотображение является одним из частных случаев движения.
Фигура F' называетсяравной фигуре F, если она может быть получена из F движением.
23. Общие свойства движения.
Свойство 1 (сохранение прямолинейности).
При движении триточки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причемточка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образамидвух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения).
Доказательство. Изпланиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и толькотогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими — точкамиA и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|.
При движениирасстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и дляточек A', B', C': |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|.
Таким образом, точкиA', B', C' лежат на одной прямой, и именно точка B' лежит между A' и C'.
Из данного свойстваследуют также еще несколько свойств:
Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.
Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образомлуча — луч.
Свойство 4. При движении образом треугольника является равный емутреугольник, образом плоскости — плоскость, причем параллельные плоскостиотображаются на п22араллельные плоскости, образом полуплоскости — полуплоскость.
Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр,образом пространства — все пространство, образом полупространства — полупространство.
Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий уголотображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и длядвугранных углов.
Сначала я рассмотрювсе основные виды движений, а затем сведу их в единую систему.
4. Параллельный перенос.
Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называетсятакое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том женаправлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Yфигуры сопоставляются такие точки X' и Y', что XX' = YY'.
Основное свойство переноса:
Параллельный переноссохраняет расстояния и направления, т.е. X'Y' = XY.
Отсюда выходит, чтопараллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот,движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.
Из этих утвержденийтакже вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельныйперенос.
Параллельный переносфигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, еслиуказано, в какую точку A' переходит данная точка A, то этот перенос заданвектором AA', и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор,т.е. XX' = AA' для всех точек Х.
5. Центральная симметрия.
Определение
1. Точки A и A'называются симметричными относительно точки О, если точки A, A', O лежат наодной прямой и OX = OX'. Точка О считается симметричной сама себе (относительноО).
Две фигуры называютсясимметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры естьсимметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.
Как частный случай,фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О, тогда этаточка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной.
2. Центральной симметриейфигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, котороесопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.
Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет напротивоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуюттакие точки X' и Y', что X'Y' = -XY.
Доказательство. Пустьпри центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X' иY'. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX' = -OX, OY' = -OY.
Вмес2те с тем XY = OY- OX, X'Y' = OY' — OX'.
Поэтому имеем: X'Y' =-OY + OX = -XY.
Отсюда выходит, чтоцентральная симметрия является движением, изменяющим направление напротивоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное,есть центральная симметрия.
Центральная симметрияфигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка Аотображается на А', то центр симметрии это середина отрезка AA'. 22
6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости).
Определение
1. Точки A и A'называются симметричными относительно плоскости (если отрезок AA'перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости(считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.
Две фигуры F и F'называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят източек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждойточки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре.
Если преобразование симметрииотносительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называетсясимметричной относительно плоскости (а плоскость (плоскостью симметрии.
2. Отображениефигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ейотносительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости(или зеркальной симметрией).
Теорема 1.Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.
См. Доказательство 1.
Теорема 2.Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, являетсяотражением в этой плоскости или тождественным отображением.
Зеркальная симметриязадается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскостисимметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющегоэти точки, перпендикулярно к нему.
7. Поворот вокруг прямой.
Для более четкогопредставления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскостиоколо данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такоедвижение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается наодин и тот же угол в одном и том же направлении. Перейдем теперь к повороту впространстве.
Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол (называется такоеотображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a,происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол(в одном и том же направлении. Прямая называется осью поворота, а угол (- угломповорота.
Отсюда видим, чтоповорот всегда задается осью, углом и направлением поворота.
Теорема 1.Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением.
См. Доказательство 2.
Теорема 2.Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, тооно является поворотом вокруг этой прямой.
7.1. Фигуры вращения.
Фигура называетсяфигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которойсовмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя.Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар,прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.
7.2.Осевая симметрия.
Частным случаемповорота вокруг прямой является поворот на 180(. При повороте вокруг прямой aна 180(каждая точка A переходит в такую точку A', что прямая a перпендикулярнаотрезку AA' и пересекает его в середине. Про такие точки A и A' говорят, чтоони симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180 градусов вокругпрямой называется осевой симметрией в пространстве.
8. Неподвижные точки движений пространства.
Важнойхарактеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек.Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев: У движения неподвижныхточек нет (нетождественный параллельный перенос).
Движение имеет лишьодну неподвижную точку (центральная симметрия).
Множество неподвижныхточек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой).
Множество неподвижныхточек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия).
Множество неподвижныхточек движения пространства является всем пространством (тождественноедвижение).
Данная классификацияочень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему.
8.1.Основные теоремы о задании движений пространства.
Теорема 1.Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A'B'C'. Тогдасуществуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A вA', B в B', C в C'. Каждое из этих движений получается из другого с помощьюкомпозиции его с отражением в плоскости A'B'C'.
Теорема 2.Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A'B'C'D'. Тогдасуществует единственное движение пространства (такое, что ((A) = A', ((B) = B',((C) = C', ((D) = D'.
9. Два рода движений.
Следует также знать,что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того, непрерывныони или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятиебазиса и его ориентации.
9.1.Базисы и их ориентация.
Базисом впространстве называется любая тройка векторов, непараллельных одновременноникакой плоскости.
Тройка базисныхвекторов называется правой (левой), если эти векторы, отложенные от однойточки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательныйи средний пальцы правой (левой) руки.
Если имеются двеправые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированыодинаково. Если одна тройка является правой, а вторая — левой, то ониориентированы противоположно.
9.2.Два рода движения.
Движения первого рода- такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могутбыть реализованы непрерывными движениями.
Движения второго рода- такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Онине могут быть реализованы непрерывными движениями.
Примерами движенийпервого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второгорода — центральная и зеркальная симметрии.
Композицией любогочисла движений первого рода является движение первого рода.
Композиция четногочисла движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числадвижений 2 рода — движение 2 рода.
10. Некоторые распространенные композиции.
Рассмотрим теперьнекоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но, не уделяя имособого внимания.
10.1.Композиции отражений в плоскости.
Движение пространства первого рода представимов виде композиции двух или четырех отражений в плоскости.
Движение пространствавторого вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в видекомпозиции трех отражений в плоскости.
Отсюда мы можемобъяснить уже известные нам движения так: Композиция отражения в 2 параллельныхплоскостях есть параллельный перенос.
Композиция отраженияв 2 пересекающихся плоскостях есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей.
Центральная симметрияотносительно данной точки является композицией 3 отражений относительно любых 3взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в этой точке.
10.2.Винтовые движения.
Определение. Винтовым движением называется композиция поворота и переноса навектор, параллельный оси поворота. Представление о таком движении даетввинчивающийся или вывинчивающийся винт.
Теорема 2.Любое движение пространства первого рода — винтовое движение (в частности поворотвокруг прямой или перенос).
10.3.Зеркальный поворот.
Определение. Зеркальным поворотом вокруг оси a на угол (называется композицияповорота вокруг оси a на угол (и отражения в плоскости, перпендикулярной осиповорота.
Теорема 3.Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, являетсязеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной илизеркальной симметрией.
10.4.Скользящие отражения.
Определение. Скользящим отражением называется композиция отражения в некоейплоскости и переноса на вектор, параллельный этой плоскости.
Теорема 4.Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, естьскользящее отражение.
Теорема Шаля. Движение плоскости первого рода является либо поворотом, либопараллельным переносом.
www.ronl.ru
Что делает мир единым? Пытались найти основу всего сущего. Основа всего сущего–субстанция(категория философии).
Понятие субстанции сформировалось не сразу. Первоначально субстанция–субстрат. Сегодняшнее понимание–многообразие вещей, явлений, которые существуют через субстанцию, благодаря ей, но сами субстанцией не являются.
В зависимости от того, что понималось под С., легко классифицировать все философские течения:
Плюралисты–монисты(материальные, идеальные).(Плюрализм–в основе всего сущего–множество изолированных равнозначных сущностей, не сводимых к единому началу; монизм–в основе всего сущего одно начало)
Идеализм.
Тоже говорили о материи. Понятие материи использовали. Чтобы оттенить понятие идеального. «Нет в мире вещи, которую оно обозначает».
Материализм
Материалистический монизм–под субстанцией бытия понимается некоторое материальное начало–элементы природы(воздух, вода), абстрактная материя–апейрон.
Материалистический плюрализм–в основе–несколько сущностей.
Ньютон: время, пространство, движение–три состояния.
Античная философия: сложилось направление–стихийный материализм(К.Маркс). Они исходят из понятия первоматерии(вода, воздух, земля, огонь) или у Демокрита–атом. Античные философы считали материю основой чувственно материального мира. Это понимание материи было субстратным. Первоматерия–причина материальности предметов, любой предмет каким–либо образом сделан из первоматерии. «Материальный» значит вещественный. Платон ввел название материи hyle. Но разработал это понятие Аристотель: «Материя есть возможность того, действительностью чего является форма». Но уже в то время от такого понимания материи пытались отказаться.(Пифагор–в основе–число). Далее- Теория атомизма(Евклид, Демокрит).
К 17 веку материя представлена в классическом виде, «как субстанция»- материя–сущность вещей, но материя вещью не является. Это понимание важно тем, что такая материя является причиной всех тех изменений, которые происходят в мире. Материя развивается из себя по своим собственным законам. Не нужно обращаться к богу, а нужно обращаться к самой природе.
В это же время–механистический взгляд на материю. Все явления объяснялись действием сил притяжения и отталкивания. Это толкование исходило из состояния науки.
В 18 веке появились попытки определить материю как философскую абстракцию(Гольбах). Определение: «Материя–все то, что каким–либо образом воздействует на наши чувства»(не укрепилось).
Середина 19 века. Максвелл, Фарадей- о существовании невещественной материи(появление электричества).
Конец 19 века. Укрепилось определение: «Материальное тело состоит из неделимых атомов, а телесность и протяжение неотъемлемые атрибуты материи». В 19 веке получил развитие вульгарный материализм 0 отрицали специфику идеального( мозг выделяет мысль как желудок–желудочный сок).
Вещественное представление о материи поддерживалось до конца 19 века. Физики вновь пытались поднять вопрос о первоматерии. Но все многообразие свести к материальной частице было нельзя. Открытия того времени: рентгеновские лучи(отвергло понятие о непроницаемости атома), открытие электрона в атоме(отвергло понятие о неделимости атома). Понятие поля–как самостоятельной физической реальности, которая существует независимо от материального объекта. В заключение Эйнштейн: Е= mc2.
Конец 19 века–начало 20 века–кризис в науке. Это кризис мировоззренческих установок ученых–исчезла материя. Постепенно появились новые теории.
В.И.Ленин дал классическое определение материи: «Материя–это философская категория для обозначения объективной реальности, которая дана человеку в ощущениях его, которая копируется, отображается, фотографируется нашими ощущениями, существуя независимо от них».
Это определение–в основе диалектического материализма. Здесь дается определение материи через идеальное. Но сущность сознания–в отражении окружающей действительности. Парадокс: ученые, независимо от их убеждений, должны были согласиться с этим определением. Наука не может развиваться, если не согласиться с ним. Сейчас говорят, что это определение–естественно–научного материализма.
Исходя из марксистской философии материя наряду с главным свойством «быть объективной реальностью» обладает атрибутивными свойствами: структурность, системность, взаимодействие, изменчивость, самоорганизация, протяженность(пространство), длительность(время), самоотражение.
Этот принцип- в основе современных представлений о мире. Мир–как особая целостность, состоящая из элементов и связей между этими элементами.
Система–«целое»–объединение некоторого разнообразия в единое и четко расчлененное целое, элементы которого по отношению к целому и другим частям занимают соответствующие им места.
Структура- «строение, связь, порядок»- совокупность устойчивых связей объекта, обеспечивающих его целостность. Структура–скелет объекта, обеспечивающий его устойчивость.
Структурность–системная организованность внутренне расчлененного материального мира. Выделяем принципы организации материальных объектов:
Неживая(неорганическая) природа.
Ядерный уровень
Атомарный уровень
Макротела(кристаллы) и т.д.
Живая(органическая ) природа.
Доклеточный уровень(ДНК)
Клетки, организмы
Многоклеточные организмы
Популяция
Биоценоз и т.д.
Социум(общество)
Индивид
семья
коллектив
нация
государство
мировое сообщество
Взаимодействие–процесс взаимодействия объектов друг на друга(в мире все связано). Если изолированно рассматриваем объект, мы абстрагируемся от связей.
Взаимодействие в неживой природе–процесс передачи вещества либо энергии.
Взаимодействие в живой природе–связи и взаимодействия заключаются в том, что они вступают в отношения с окружающей средой и между собой(Биоценоз: продукты жизнедеятельности одних организмов- результат жизнедеятельности других).
Духовная компонента определяет сущность личностных отношений. Взаимодействие–онтологическая база принципа всеобщей связи и взаимообусловленности явлений.
Частный элемент взаимодействия- отражение–способность материальных систем воспроизводить в своих свойствах особенности взаимодействующих с ними систем.
В философии движение–любое изменение вообще. Быть–это значит быть в движении. Незнание движения необходимо влечет за собой незнание природы.
Гераклит: «Все течет, в одну реку нельзя войти дважды».
В 19–20 вв. движение как способ бытия материи. У Эйнштейна: материя и движение немыслимы друг без друга(Е=mc2)/
Иногда движение соотносят с покоем. Покой–отсутствие движения–понятие относительное. Движение–понятие абсолютное.
Типы движения:
Движение, при котором сохраняются качества предмета.
Движение, которое связано с переходом от одного качества в другое–такой процесс характеризуется как развитие(переход одного качества в другое).
Формы движения:
Механическое движение
Физическое движение
Химическое движение
Биологическое движение
Социальное движение
Биологическое движение нельзя представить как сумму движений(в редукционизме–представление высшей формы через сумму низших форм, он не учитывает качественных преобразований). Физика: атом H=электрон+протон, изучив е и протон–будем знать, что такое атом H–это неверно. Выводы:
Каждому уровню организации материи соответствуют специфические формы движения.
Между уровнями движения существует связь.
Высшие формы движения качественноспецифичны и несводимы к низшим(можно суммировать, если движение принадлежит к одному уровню).
Что является причиной движения? В зависимости от ответа на данный вопрос идут различные концепции.
Объективные идеалисты. Гегель: «Существует внешняя сила как источник движения».
Синергетика(«синергия»–содружество, сотрудничество)- Пригожин, Ккнязев–проблема самоорганизации.
Самоорганизация- создание, совершенствование, воспроизводство самой себя без участия внешних сил.
Сущность синергетики(учении о самоорганизации материи): порядок из хаоса(однообразный беспорядок–это уже порядок). Хаос материальных объектов- причина установления определенного порядка(есть доказательства в квантовой физике, в химии–само возобновление химических реакций и т.д.). Из синергетики можно объяснить образование мира. Синергетику нельзя абсолютизировать, необходимо рассматривать наряду с другими принципами.
Взаимодействие различных видов энергии приводит к флуктуациям(колебаниям). Случайно возникшие в результате флуктуации структурное отклонение системы(диссипативная структура, неустойчивая) после закрепляется и становится устойчивым(превращается в новый вид материи). Вопрос: почему в одном случае–устойчивая структура, а в другом–нет? Эта устойчивость возможна в том случае, если она поддерживается притоком из внешней среды. Энтропия–обмен энергиями между двумя системами–все системы уравновешиваются. Принцип самоорганизации не дает энтропии проявить себя.
Расположение во времени и пространстве. Философами выдвигалось два основных подхода:
Субстанциональный- Демокрит, Эпикур–считали время и пространство отдельной реальностью, наряду с материей самостоятельной субстанцией, а отношения между материей и пространсвом и временем рассматривались как межсубстанциональные.
Реляционный–Аристотель, Лейбниц, Гегель–воспринимали время и пространство как отношения, образуемые взаимодействием материальных объектов.
В настоящее время более достоверной(исходя из достижений науки) является реляционная теория, исходя из которой:
Время–форма бытия материи, которая выражает длительность существования материальных объектов и последовательность изменений(смены состояний) данных объектов в процессе их развития.
Пространство- форма бытия материи, которая характеризует ее протяженность, структуру, взаимодействие элементов внутри материальных объектов между собой.
Время и пространство тесно переплетены между собой. То, что совершается в пространстве, одновременно соверщается и во времени, а то, что происходит во времени, находится в пространстве.
Теория относительности, открытая в середине 20 века Альбертом Эйнштейном:
Подтвердила правильность реляционной теории–то есть понимание времени пространства как отношений внутри материи.
Перевернула прежние взгляды на время и пространство как вечные, неизменные истины.
С помощью сложных физико–математических расчетов Эйнштейном было доказано, что если какой–либо объект будет двигаться со скоростью, превышающей скорость света, то внутри данного объекта время и пространство изменятся–пространство(материальные объекты) уменьшится, а время замедлится.
Таким образом, пространство и время относительны, и относительны они в зависимости от условий взаимодействия материальных тел.
Отражение–способность материальных систем воспроизводить в самих себе свойства взаимодействующих с ними других материальных систем. Материальным доказательством отражения может служить наличие следов–человека на грунте, царапины, эхо, отражение предметов в зеркале и т.д. Отражение бывает: физическим, химическим, механическим. Особый вид отражения–биологический, который включает в себя стадии: раздраженности, чувствительности, психического отражения.
Высшим уровнем(видом) отражения является сознание. Согласно материалистической концепциии сознание-свойство высокоорганизованной материи отражать материю.
bukvasha.ru
