Числа Фибоначчи. Реферат на тему числа фибоначчи

Числа Фибоначчи. История. Интересные факты. Использование в повседневной жизни

Золотое сечение в теле человека

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Золотое сечение

Числа Фибоначчи и золотое сечение

МОУ «Малыгинская средняя общеобразовательная школа» Числа Фибоначчи и золотое сечение Выполнила ученица 9 «а» класса Кузнецова Юлия под руководством учителя математики Большаковой О.К. «Числа не управляют

Рис. 1.Золотой квадрат.

УДК 517.8 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПРИРОДЕ А.А. Куликов, студент группы ЭЭб-152, I курс Научный руководитель: А.В. Чередниченко, ассистент Кузбасский государственный технический университет г. Кемерово Что общего

Уровни Фибоначчи В XIII веке Леонардо Фибоначчи, известный итальянский математик обнаружил простую последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

Уровни Фибоначчи В XIII веке Леонардо Фибоначчи, известный итальянский математик обнаружил простую последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Такая зависимость получилась в результате

Темы проектов по математике для 5 класса

Темы проектов по математике для 5 класса Алгебраические дроби. В мире процентов. В стране рыцарей и лжецов. Виды уравнений, решаемые в 5-м классе. Возникновение чисел. Вокруг обыкновенных дробей. Графический

Золотое сечение и строение человека

1 Городское соревнование юных исследователей «Шаг в будущее Юниор» Золотое сечение и строение человека Россия, г.сургут, Ульянова Виктория Александровна Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Древнекитайский символ

Древнекитайский символ Сравните Некоторые современные здания Золотое сечение «Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник

Глава 4.2. Технический анализ: Фибоначчи

Глава 4.2 Технический анализ: Фибоначчи ТЕХНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФИБОНАЧЧИ Анализ Фибоначчи - это инструмент, позволяющий выявить потенциальные уровни поддержки и сопротивления, основываясь на прошлых ценовых

Математическая гармония человеческого тела

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 9-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Математическая гармония человеческого

Числа Фибоначчи. Формула красоты.

Научно исследовательская работа Числа Фибоначчи. Формула красоты. Автор: ученик10 класс Шроо Артур Муниципального бюджетного образовательного учреждения Катановской средней общеобразовательной школы Руководитель:

Страничка для влюбленных в математику

Страничка для влюбленных в математику Страницу подготовила учитель математики, директор школы Шмелькова Наталья Александровна Если учитель имеет только любовь к делу, он будет хороший учитель. Если учитель

Проект для учеников 8 классов

Проект для учеников 8 классов «Геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем.

Учебный проект «Золотое сечение» Часть I

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Лицей 7 г. Химки Учебный проект «Золотое сечение» Часть I «Человек венец творения природы» Автор исследования: Мизеровская Анна ученица 10 «А» класса

АСТРОНОМИЯ А С Т Р О Н О М И Я. Кеплер

А С Т Р О Н О М И Я Кеплер 243 Золотое сечение в строении Солнечной системы и Вселенной У каждой планеты имеется минимальный радиус орбиты, но есть и максимальный как у всякого эллипса. Если рассмотреть

Содержание курса математики в 5 6 классах

Содержание курса математики в 5 6 классах Натуральные числа и нуль Натуральный ряд чисел и его свойства Натуральное число, множество натуральных чисел и его свойства, изображение натуральных чисел точками

Буква слово, цифра число?

1 Буква слово, цифра число? Нина Коптюг, кандидат филологических наук, лауреат 1 Всероссийского конкурса «Дистанционный учитель года РФ», победитель конкурса ПНПО «Лучший учитель РФ», представитель РФ

МЕДИЦИНА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ

ВГУЗУ «Украинская медицинская стоматологическая академия» Кафедра социальной медицины, организации и экономики здравоохранения с биостатистикой и медицинским правоведением МЕДИЦИНА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ Лектор:

ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ

ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЭВМ : постановка задачи; математическое описание задачи; выбор и обоснование метода решения; алгоритмизация вычислительного процесса; составление

Урок-игра по теме «Системы счисления»

Урок-игра по теме «Системы счисления» Предмет: информатика и ИКТ Класс: 9 класс Тема учебного занятия: Урок-игра «Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другие, арифметические операции

Создание собственной линейки фэн-шуй

Создание собственной линейки фэн-шуй Ко мне часто обращаются с вопросом: есть ли общие корни у архитектурных и дизайнерских принципов, используемых китайскими мастерами, и священной геометрии масонов и

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или в двоично-десятичной системе счисления. Система счисления это способ наименования и изображения чисел с помощью

S = {1, 1, 1, } (1) N = (N раз). (2)

7.5. Новое геометрическое определение числа Что такое число? «Ливийский» период моей жизни, который продолжался с февраля 1995 по август 1997 г., был своеобразным и сознательным «заточением», кода я у

«Золотое сечение» Часть I

Учебный проект «Золотое сечение» Часть I «Человек венец творения природы» Автор исследования Мизеровская Анна, ученица 10 «А» класса МБОУ Лицей 7 г. Химки Провести исследования по теме «Золотое сечение

Пояснительная записка

Пояснительная записка Программа по математике разработана, в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами основного общего образования 2-го поколения, Фундаментального ядра

Анкета для индивидуального пошива

01 РОСТ Измеряется в сантиметрах от пола до макушки. 02 ОБХВАТ ГОЛОВЫ Измеряется в самом широком месте головы: Горизонтально, по кругу, над ушами и бровями 02-А ДЛИНА ГОЛОВЫ ОТ 7 ШЕЙНОГО ПОЗВОНКА ДО НАДБРОВНЫХ

Семинар 7 Модели динамики популяций

Семинар 7 Модели динамики популяций Модель Мальтуса Модель Ферхюльста Модели Моно и Базыкина Модели с запаздыванием Возрастное распределение Модель смертности Где применяется Главное отличие от физики

Рабочая программа по алгебре

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 города Пудожа Рассмотрено на заседании МО математики и информатики Протокол 1 от 29.08.2016 Руководитель МО Купцова

по математике для 6 классов

УТВЕРЖДЕНО приказом директора МБОУ «СОШ 32» 153/01-10 от 28.08.2014 СОГЛАСОВАНО с заместителем директора МБОУ «СОШ 32» 27.08.2014 РАССМОТРЕНО на заседании МО учителей математики 27.08.2014, протокол 1

Великая математика

Великая математика 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 «Математика царица наук, арифметика царица математики» МОУ Яринская ООШ Учитель математики Быстрова И.А. К. Ф. Гаусс Физика Математика-это язык,на

docplayer.ru

Реферат Числа Фибоначчи

Реферат на тему:

План:

Введение
• 1 Происхождение
• 2 Формула Бине
• 3 Тождества
• 4 Свойства
• 5 Вариации Рё обобщения
• 6 Р’ РґСЂСѓРіРёС… областях
  • 6.1 Р’ РїСЂРёСЂРѕРґРµ
  • 6.2 Р’ культуре
ЛитератураПримечания

Введение

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[1]. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2 − Fn + 1:

Легко заметить, что .

1. Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

• Р’ «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
• Р’ первом месяце первая пара РїСЂРѕРёР·РІРѕРґРёС‚ РЅР° свет РґСЂСѓРіСѓСЋ пару (1 новая пара).
• Р’Рѕ втором месяце РѕР±Рµ пары кроликов порождают РґСЂСѓРіРёРµ пары Рё первая пара погибает (2 новые пары).
• Р’ третьем месяце вторая пара Рё РґРІРµ новые пары порождают РІ общем три новые пары, Р° старая вторая пара погибает (3 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время только те кролики, которые жили в месяце n-2, являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n-1) + F(n-2).

2. Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:

где — золотое сечение. При этом и являются корнями характеристического уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех , Fn есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, при справедлива асимптотика .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

При этом соотношение Fz + 2 = Fz + 1 + Fz выполняется для любого комплексного числа z.

3. Тождества

И более общие формулы:

• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант РЅР° наборе единиц: , то есть

• Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышева:

• Следствие. Подсчёт определителей даёт

4. Свойства

• Наибольший общий делитель РґРІСѓС… чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи СЃ индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, С‚.В Рµ. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
  • Fm делится РЅР° Fn тогда Рё только тогда, РєРѕРіРґР° m делится РЅР° n (Р·Р° исключением n = 2). Р’ частности, Fm делится РЅР° F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится РЅР° F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится РЅР° F5 = 5 только для m = 5k Рё С‚. Рґ.
  • Fm может быть простым только для простых m (СЃ единственным исключением m = 4). Например, число F13 = 233 простое, Рё его индекс 13 также РїСЂРѕСЃС‚. Обратное РЅРµ верно, наименьший контрпример — . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

• Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1 имеет РєРѕСЂРЅРё Рё .

• Отношения являются подходящими РґСЂРѕР±СЏРјРё золотого сечения П† Рё, РІ частности,
• РЎСѓРјРјС‹ биномиальных коэффициентов РЅР° диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи РІРІРёРґСѓ формулы .

• Р’ 1964 РіРѕРґСѓ Дж. РљРѕРЅ (J. H. E. Cohn) доказал,[2] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи СЃ индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144.

• Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

• Множество чисел Фибоначчи совпадает СЃ множеством неотрицательных значений многочлена z(x,y) = 2xy4 + x2y3 в€’ 2x3y2 в€’ y5 в€’ x4y + 2y,

• Произведение Рё частное РґРІСѓС… любых различных чисел Фибоначчи, отличных РѕС‚ единицы, РЅРёРєРѕРіРґР° РЅРµ является числом Фибоначчи.

• Период чисел Фибоначчи РїРѕ модулю натурального числа n называется периодом Писано[убрать шаблон] Рё обозначается ПЂ(n). Периоды Писано ПЂ(n) образуют последовательность: 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 РІ OEIS)
  • Р’ частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность СЃ периодом ПЂ(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность СЃ периодом ПЂ(100)=300, последние три цифры — СЃ периодом ПЂ(1000)=1500, последние четыре — СЃ периодом ПЂ(10000)=15000, последние пять — СЃ периодом ПЂ(100000)=150000 Рё С‚. Рґ.

• Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда Рё только тогда, РєРѕРіРґР° 5N2 + 4 или 5N2 в€’ 4 является квадратом.[4]

• РќРµ существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей РёР· чисел Фибоначчи.[5]

5. Вариации и обобщения

• Числа трибоначчи
• Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка , РїСЂРё этом РёС… дополнением являются числа Люка .

6. В других областях

6.1. Р’ РїСЂРёСЂРѕРґРµ

• Филлотаксис (листорасположение) Сѓ растений описывается последовательностью Фибоначчи. Зерна подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.[6]

[7][8][9]

• Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.[6][10]
• Молекулу ДНК составляют РґРІРµ вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема Рё шириной 21 ангстрема. Числа 21 Рё 34 следуют РґСЂСѓРі Р·Р° РґСЂСѓРіРѕРј РІ последовательности Фибоначчи.[11]

6.2. В культуре

• Американский писатель-фантаст Дэн Браун РІ РєРЅРёРіРµ «Код РґР° Винчи» описал последовательность Фибоначчи как «лжешифр».
• Светящиеся числа Фибоначчи РѕС‚ 1 РґРѕ 55 прикреплены РЅР° дымовой трубе Turku Energia РІ РўСѓСЂРєСѓ[12] Рё главном вокзале Цюриха[13].

Литература

• Рќ. Рќ. Воробьёв Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Рў.В 39. — (Популярные лекции РїРѕ математике).
• Рђ. И. Маркушевич Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Рў.В 1. — (Популярные лекции РїРѕ математике).
• Рђ. Рќ. Рудаков Числа Фибоначчи Рё простота числа 2127-1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Рў.В 4.
• Дональд РљРЅСѓС‚ Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-Рµ РёР·Рґ. — Рњ.: «Вильямс», 2006. — РЎ.В 720. — ISBN 0-201-89683-4
• Дональд РљРЅСѓС‚, Роналд Грэхем, Орен Паташник Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — Рњ.: РњРёСЂ; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — РЎ.В 703. — ISBN 5-94774-560-7

Примечания

1. Числа Фибоначчи - slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00083/91300.htm — статья из Большой советской энциклопедии
2. J H E Cohn. Square Fibonacci Numbers Etc - math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html, стр. 109–113.
3. P. Ribenboim The New Book of Prime Number Records - books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC&pg=PA193. — Springer, 1996. — С. 193.
4. Ira Gessel Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. — 1972. — Т. 10. — С. 417–419.
5. В. Серпинский Задача 66 // 250 задач по элементарной теории чисел - ilib.mccme.ru/djvu/serp-250-tch.htm. — М.: Просвещение, 1968. — 168 с.
6. ↑ 12 Золотое сечение в природе - himekoscho.ucoz.ru/load/16-1-0-92
7. Числа Фибоначчи - elementy.ru/trefil/21136
8. Числа Фибоначчи - www.diary.ru/~Organon/p19280903.htm
9. Глава из книги О.Е.Акимова "Конец науки" - kompot.soneta.ru/O-chislah-Fibonachchi-fillotaksise-i-ZS
10. Г. Манукян. ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ - www.21mm.ru/item/291/
11. Г. Манукян.ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ - www.21mm.ru/item/291/
12. Марио Мерц Fibonacci Sequence 1-55 - www.turku.fi/public/default.aspx?contentid=57923&nodeid=13067 (фин.)
13. Based in Villigen: Fibonacci sequence at the ZГјrich Hauptbahnhof - basedinvilligen.blogspot.com/2007/02/fibonacci-sequence-at-zrich.html

Категории: Теория чисел, Золотое сечение, Целочисленные последовательности.

www.wreferat.baza-referat.ru

Реферат Число Фибоначчи

Реферат на тему:

План:

Введение
• 1 Происхождение
• 2 Формула Бине
• 3 Тождества
• 4 Свойства
• 5 Вариации Рё обобщения
• 6 Р’ РґСЂСѓРіРёС… областях
  • 6.1 Р’ РїСЂРёСЂРѕРґРµ
  • 6.2 Р’ культуре
ЛитератураПримечания

Введение

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[1]. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2 − Fn + 1:

Легко заметить, что .

1. Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

• Р’ «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
• Р’ первом месяце первая пара РїСЂРѕРёР·РІРѕРґРёС‚ РЅР° свет РґСЂСѓРіСѓСЋ пару (1 новая пара).
• Р’Рѕ втором месяце РѕР±Рµ пары кроликов порождают РґСЂСѓРіРёРµ пары Рё первая пара погибает (2 новые пары).
• Р’ третьем месяце вторая пара Рё РґРІРµ новые пары порождают РІ общем три новые пары, Р° старая вторая пара погибает (3 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время только те кролики, которые жили в месяце n-2, являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n-1) + F(n-2).

2. Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:

где — золотое сечение. При этом и являются корнями характеристического уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех , Fn есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, при справедлива асимптотика .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

При этом соотношение Fz + 2 = Fz + 1 + Fz выполняется для любого комплексного числа z.

3. Тождества

И более общие формулы:

• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант РЅР° наборе единиц: , то есть

• Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышева:

• Следствие. Подсчёт определителей даёт

4. Свойства

• Наибольший общий делитель РґРІСѓС… чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи СЃ индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, С‚.В Рµ. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
  • Fm делится РЅР° Fn тогда Рё только тогда, РєРѕРіРґР° m делится РЅР° n (Р·Р° исключением n = 2). Р’ частности, Fm делится РЅР° F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится РЅР° F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится РЅР° F5 = 5 только для m = 5k Рё С‚. Рґ.
  • Fm может быть простым только для простых m (СЃ единственным исключением m = 4). Например, число F13 = 233 простое, Рё его индекс 13 также РїСЂРѕСЃС‚. Обратное РЅРµ верно, наименьший контрпример — . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

• Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1 имеет РєРѕСЂРЅРё Рё .

• Отношения являются подходящими РґСЂРѕР±СЏРјРё золотого сечения П† Рё, РІ частности,
• РЎСѓРјРјС‹ биномиальных коэффициентов РЅР° диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи РІРІРёРґСѓ формулы .

• Р’ 1964 РіРѕРґСѓ Дж. РљРѕРЅ (J. H. E. Cohn) доказал,[2] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи СЃ индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144.

• Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

• Множество чисел Фибоначчи совпадает СЃ множеством неотрицательных значений многочлена z(x,y) = 2xy4 + x2y3 в€’ 2x3y2 в€’ y5 в€’ x4y + 2y,

• Произведение Рё частное РґРІСѓС… любых различных чисел Фибоначчи, отличных РѕС‚ единицы, РЅРёРєРѕРіРґР° РЅРµ является числом Фибоначчи.

• Период чисел Фибоначчи РїРѕ модулю натурального числа n называется периодом Писано[убрать шаблон] Рё обозначается ПЂ(n). Периоды Писано ПЂ(n) образуют последовательность: 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 РІ OEIS)
  • Р’ частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность СЃ периодом ПЂ(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность СЃ периодом ПЂ(100)=300, последние три цифры — СЃ периодом ПЂ(1000)=1500, последние четыре — СЃ периодом ПЂ(10000)=15000, последние пять — СЃ периодом ПЂ(100000)=150000 Рё С‚. Рґ.

• Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда Рё только тогда, РєРѕРіРґР° 5N2 + 4 или 5N2 в€’ 4 является квадратом.[4]

• РќРµ существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей РёР· чисел Фибоначчи.[5]

5. Вариации и обобщения

• Числа трибоначчи
• Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка , РїСЂРё этом РёС… дополнением являются числа Люка .

6. В других областях

6.1. Р’ РїСЂРёСЂРѕРґРµ

• Филлотаксис (листорасположение) Сѓ растений описывается последовательностью Фибоначчи. Зерна подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.[6]

[7][8][9]

• Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.[6][10]
• Молекулу ДНК составляют РґРІРµ вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема Рё шириной 21 ангстрема. Числа 21 Рё 34 следуют РґСЂСѓРі Р·Р° РґСЂСѓРіРѕРј РІ последовательности Фибоначчи.[11]

6.2. В культуре

• Американский писатель-фантаст Дэн Браун РІ РєРЅРёРіРµ «Код РґР° Винчи» описал последовательность Фибоначчи как «лжешифр».
• Светящиеся числа Фибоначчи РѕС‚ 1 РґРѕ 55 прикреплены РЅР° дымовой трубе Turku Energia РІ РўСѓСЂРєСѓ[12] Рё главном вокзале Цюриха[13].

Литература

• Рќ. Рќ. Воробьёв Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Рў.В 39. — (Популярные лекции РїРѕ математике).
• Рђ. И. Маркушевич Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Рў.В 1. — (Популярные лекции РїРѕ математике).
• Рђ. Рќ. Рудаков Числа Фибоначчи Рё простота числа 2127-1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Рў.В 4.
• Дональд РљРЅСѓС‚ Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-Рµ РёР·Рґ. — Рњ.: «Вильямс», 2006. — РЎ.В 720. — ISBN 0-201-89683-4
• Дональд РљРЅСѓС‚, Роналд Грэхем, Орен Паташник Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — Рњ.: РњРёСЂ; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — РЎ.В 703. — ISBN 5-94774-560-7

Примечания

1. Числа Фибоначчи - slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00083/91300.htm — статья из Большой советской энциклопедии
2. J H E Cohn. Square Fibonacci Numbers Etc - math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html, стр. 109–113.
3. P. Ribenboim The New Book of Prime Number Records - books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC&pg=PA193. — Springer, 1996. — С. 193.
4. Ira Gessel Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. — 1972. — Т. 10. — С. 417–419.
5. В. Серпинский Задача 66 // 250 задач по элементарной теории чисел - ilib.mccme.ru/djvu/serp-250-tch.htm. — М.: Просвещение, 1968. — 168 с.
6. ↑ 12 Золотое сечение в природе - himekoscho.ucoz.ru/load/16-1-0-92
7. Числа Фибоначчи - elementy.ru/trefil/21136
8. Числа Фибоначчи - www.diary.ru/~Organon/p19280903.htm
9. Глава из книги О.Е.Акимова "Конец науки" - kompot.soneta.ru/O-chislah-Fibonachchi-fillotaksise-i-ZS
10. Г. Манукян. ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ - www.21mm.ru/item/291/
11. Г. Манукян.ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ - www.21mm.ru/item/291/
12. Марио Мерц Fibonacci Sequence 1-55 - www.turku.fi/public/default.aspx?contentid=57923&nodeid=13067 (фин.)
13. Based in Villigen: Fibonacci sequence at the ZГјrich Hauptbahnhof - basedinvilligen.blogspot.com/2007/02/fibonacci-sequence-at-zrich.html

Категории: Теория чисел, Золотое сечение, Целочисленные последовательности.

wreferat.baza-referat.ru

Смотрите также

• 
  Реферат на тему натурфилософия античности
• 
  Развитие гимнастики в ссср реферат
• 
  Краеведы донбасса реферат для детей
• 
  Реферат проблема личности в философии
• 
  Реферат на тему иррациональные числа
• 
  Реферат искусство как феномен культуры
• 
  Отличие контрольной работы от реферата
• 
  Профессиональные заболевания органа зрения реферат
• 
  Стояние на реке угре реферат
• 
  Реферат стояние на реке угре
• 
  Реферат переливание крови и кровезаменителей