Числа Фибоначчи. Реферат на тему числа фибоначчи
Числа Фибоначчи. Рстория. Рнтересные факты. Рспользование РІ повседневной жизни
Золотое сечение в теле человека
Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Золотое сечение
Подробнее Числа Фибоначчи и золотое сечение
МОУ «Малыгинская средняя общеобразовательная школа» Числа Фибоначчи и золотое сечение Выполнила ученица 9 «а» класса Кузнецова Юлия под руководством учителя математики Большаковой О.К. «Числа не управляют
Подробнее Рис. 1.Золотой квадрат.
УДК 517.8 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНРР• Р’ РџР РРОДЕ Рђ.Рђ. Куликов, студент РіСЂСѓРїРїС‹ РРР±-152, I РєСѓСЂСЃ Научный руководитель: Рђ.Р’. Чередниченко, ассистент Кузбасский государственный технический университет Рі. Кемерово Что общего
Подробнее Уровни Фибоначчи В XIII веке Леонардо Фибоначчи, известный итальянский математик обнаружил простую последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
Уровни Фибоначчи В XIII веке Леонардо Фибоначчи, известный итальянский математик обнаружил простую последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Такая зависимость получилась в результате
Подробнее Темы проектов по математике для 5 класса
Темы проектов по математике для 5 класса Алгебраические дроби. В мире процентов. В стране рыцарей и лжецов. Виды уравнений, решаемые в 5-м классе. Возникновение чисел. Вокруг обыкновенных дробей. Графический
Подробнее Золотое сечение и строение человека
1 Городское соревнование юных исследователей «Шаг в будущее Юниор» Золотое сечение и строение человека Россия, г.сургут, Ульянова Виктория Александровна Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Подробнее Древнекитайский символ
Древнекитайский символ Сравните Некоторые современные здания Золотое сечение «Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник
Подробнее Глава 4.2. Технический анализ: Фибоначчи
Глава 4.2 Технический анализ: Фибоначчи ТЕХНРЧЕСКРР™ РђРќРђР›РР—: Р¤РБОНАЧЧРАнализ Фибоначчи - это инструмент, позволяющий выявить потенциальные СѓСЂРѕРІРЅРё поддержки Рё сопротивления, основываясь РЅР° прошлых ценовых
Подробнее Математическая гармония человеческого тела
Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 9-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Математическая гармония человеческого
Подробнее Числа Фибоначчи. Формула красоты.
Научно исследовательская работа Числа Фибоначчи. Формула красоты. Автор: ученик10 класс Шроо Артур Муниципального бюджетного образовательного учреждения Катановской средней общеобразовательной школы Руководитель:
Подробнее Страничка для влюбленных в математику
Страничка для влюбленных в математику Страницу подготовила учитель математики, директор школы Шмелькова Наталья Александровна Если учитель имеет только любовь к делу, он будет хороший учитель. Если учитель
Подробнее Проект для учеников 8 классов
Проект для учеников 8 классов «Геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением. Ресли первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем.
Подробнее Учебный проект «Золотое сечение» Часть I
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Лицей 7 г. Химки Учебный проект «Золотое сечение» Часть I «Человек венец творения природы» Автор исследования: Мизеровская Анна ученица 10 «А» класса
Подробнее РђРЎРўР РћРќРћРњРРЇ Рђ РЎ Рў Р Рћ Рќ Рћ Рњ Р РЇ. Кеплер
А С Т РО Н О М РЯ Кеплер 243 Золотое сечение в строении Солнечной системы и Вселенной У каждой планеты имеется минимальный радиус орбиты, но есть и максимальный как у всякого эллипса. Если рассмотреть
Подробнее Содержание курса математики в 5 6 классах
Содержание курса математики в 5 6 классах Натуральные числа и нуль Натуральный ряд чисел и его свойства Натуральное число, множество натуральных чисел и его свойства, изображение натуральных чисел точками
Подробнее Буква слово, цифра число?
1 Буква слово, цифра число? Нина Коптюг, кандидат филологических наук, лауреат 1 Всероссийского конкурса «Дистанционный учитель года РФ», победитель конкурса ПНПО «Лучший учитель РФ», представитель РФ
Подробнее МЕДРР¦РРќРђ РПОХРВОЗРОЖДЕНРРЇ
ВГУЗУ «Украинская медицинская стоматологическая академия» Кафедра социальной медицины, организации Рё СЌРєРѕРЅРѕРјРёРєРё здравоохранения СЃ биостатистикой Рё медицинским правоведением МЕДРР¦РРќРђ РПОХРВОЗРОЖДЕНРРЇ Лектор:
Подробнее ОСНОВНЫЕ АЛГОРРРўРњРЧЕСКРР• РљРћРќРЎРўР РЈРљР¦РР
ОСНОВНЫЕ АЛГОРРРўРњРЧЕСКРР• РљРћРќРЎРўР РЈРљР¦РР РРўРђРџР« РЕШЕНРРЇ ЗАДАЧ РќРђ РР’Рњ : постановка задачи; математическое описание задачи; выбор Рё обоснование метода решения; алгоритмизация вычислительного процесса; составление
Подробнее Урок-игра по теме «Системы счисления»
РЈСЂРѕРє-РёРіСЂР° РїРѕ теме «Системы счисления» Предмет: информатика Рё РРљРў Класс: 9 класс Тема учебного занятия: РЈСЂРѕРє-РёРіСЂР° «Системы счисления. Перевод РёР· РѕРґРЅРѕР№ системы счисления РІ РґСЂСѓРіРёРµ, арифметические операции
Подробнее Создание собственной линейки фэн-шуй
Создание собственной линейки фэн-шуй Ко мне часто обращаются с вопросом: есть ли общие корни у архитектурных и дизайнерских принципов, используемых китайскими мастерами, и священной геометрии масонов и
Подробнее ПРЕДСТАВЛЕНРР• РНФОРМАЦРР Р’ КОМПЬЮТЕРЕ
ПРЕДСТАВЛЕНРР• РНФОРМАЦРР Р’ КОМПЬЮТЕРЕ Рнформация РІ РР’Рњ кодируется, как правило, РІ двоичной или РІ двоично-десятичной системе счисления. Система счисления это СЃРїРѕСЃРѕР± наименования Рё изображения чисел СЃ помощью
Подробнее S = {1, 1, 1, } (1) N = (N раз). (2)
7.5. Новое геометрическое определение числа Что такое число? «Ливийский» период моей жизни, который продолжался с февраля 1995 по август 1997 г., был своеобразным и сознательным «заточением», кода я у
Подробнее «Золотое сечение» Часть I
Учебный проект «Золотое сечение» Часть I «Человек венец творения природы» Автор исследования Мизеровская Анна, ученица 10 «А» класса МБОУ Лицей 7 г. Химки Провести исследования по теме «Золотое сечение
Подробнее Пояснительная записка
Пояснительная записка Программа по математике разработана, в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами основного общего образования 2-го поколения, Фундаментального ядра
Подробнее Анкета для индивидуального пошива
01 Р РћРЎРў Рзмеряется РІ сантиметрах РѕС‚ пола РґРѕ макушки. 02 ОБХВАТ ГОЛОВЫ Рзмеряется РІ самом широком месте головы: Горизонтально, РїРѕ РєСЂСѓРіСѓ, над ушами Рё Р±СЂРѕРІСЏРјРё 02-Рђ ДЛРРќРђ ГОЛОВЫ РћРў 7 ШЕЙНОГО РџРћР—Р’РћРќРљРђ ДО НАДБРОВНЫХ
Подробнее Семинар 7 Модели динамики популяций
Семинар 7 Модели динамики популяций Модель Мальтуса Модель Ферхюльста Модели Моно и Базыкина Модели с запаздыванием Возрастное распределение Модель смертности Где применяется Главное отличие от физики
Подробнее Рабочая программа по алгебре
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 города Пудожа Рассмотрено на заседании МО математики и информатики Протокол 1 от 29.08.2016 Руководитель МО Купцова
Подробнее по математике для 6 классов
УТВЕРЖДЕНО приказом директора МБОУ «СОШ 32» 153/01-10 от 28.08.2014 СОГЛАСОВАНО с заместителем директора МБОУ «СОШ 32» 27.08.2014 РАССМОТРЕНО на заседании МО учителей математики 27.08.2014, протокол 1
Подробнее Великая математика
Великая математика 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 «Математика царица наук, арифметика царица математики» РњРћРЈ Яринская РћРћРЁ Учитель математики Быстрова Р.Рђ. Рљ. Р¤. Гаусс Физика Математика-это язык,РЅР°
Подробнее docplayer.ru
Реферат Числа Фибоначчи
Опубликовать скачатьРеферат на тему:
План:
Введение- 1 Происхождение
- 2 Формула Бине
- 3 Тождества
- 4 Свойства
- 5 Вариации и обобщения
- 6 В других областях
- 6.1 Р’ РїСЂРёСЂРѕРґРµ
- 6.2 В культуре
ЛитератураПримечания
Введение
Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,… (последовательность A000045 РІ OEIS) РІ которой каждое последующее число равно СЃСѓРјРјРµ РґРІСѓС… предыдущих чисел. Название РїРѕ имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[1]. РРЅРѕРіРґР° число 0 РЅРµ рассматривается как член последовательности.
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи
задается линейным рекуррентным соотношением:
РРЅРѕРіРґР° числа Фибоначчи рассматривают Рё для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Члены СЃ такими номерами легко получить СЃ помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2 в€’ Fn + 1:
n Fn в€’10 | в€’9 | в€’8 | в€’7 | в€’6 | в€’5 | в€’4 | в€’3 | в€’2 | в€’1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
в€’55 | 34 | в€’21 | 13 | в€’8 | 5 | в€’3 | 2 | в€’1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
Легко заметить, что
.
1. Происхождение
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна РІ древней РРЅРґРёРё, РіРґРµ РѕРЅР° применялась РІ метрических науках (РїСЂРѕСЃРѕРґРёРё, РґСЂСѓРіРёРјРё словами — стихосложении), намного раньше, чем РѕРЅР° стала известна РІ Европе.
Образец длиной n может быть построен путём добавления S Рє образцу длиной n-1, либо L Рє образцу длиной n-2; Рё просодицисты показали, что число образцов длиною n является СЃСѓРјРјРѕР№ РґРІСѓС… предыдущих чисел РІ последовательности. Дональд РљРЅСѓС‚ рассматривает этот эффект РІ РєРЅРёРіРµ В«Рскусство программирования».
На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:
- В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
- В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
- Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
- В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).
Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.
Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время только те кролики, которые жили в месяце n-2, являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n-1) + F(n-2).
2. Формула Бине
Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:
, РіРґРµ
— золотое сечение. При этом
Рё
являются корнями характеристического уравнения
.
РР· формулы Бине следует, что для всех
, Fn есть ближайшее к
целое число, то есть
. В частности, при
справедлива асимптотика
.
Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:
При этом соотношение Fz + 2 = Fz + 1 + Fz выполняется для любого комплексного числа z.
3. Тождества
Рболее общие формулы:
- Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц:
, то есть
, а также
, где матрицы имеют размер
, i — мнимая единица. - Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышева:
- Следствие. Подсчёт определителей даёт
4. Свойства
- Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
- Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
- Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4). Например, число F13 = 233 простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример —
. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
- Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1 имеет корни
Рё
.
- Отношения
являются подходящими дробями золотого сечения φ и, в частности, 
- Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы
.
- В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,[2] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144.
- Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:
- Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2 − y5 − x4y + 2y,
на множестве неотрицательных целых чисел x и y.[3] - Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
- Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Писано[убрать шаблон] и обозначается π(n). Периоды Писано π(n) образуют последовательность: 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)
- В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.
- Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N2 + 4 или 5N2 − 4 является квадратом.[4]
- Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.[5]
5. Вариации и обобщения
- Числа трибоначчи
- Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка
, при этом их дополнением являются числа Люка
.
6. В других областях
6.1. Р’ РїСЂРёСЂРѕРґРµ
- Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи. Зерна подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.[6]
[7][8][9]
- Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.[6][10]
- Молекулу ДНК составляют две вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема и шириной 21 ангстрема. Числа 21 и 34 следуют друг за другом в последовательности Фибоначчи.[11]
6.2. В культуре
- Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал последовательность Фибоначчи как «лжешифр».
- Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку[12] и главном вокзале Цюриха[13].
Литература
- Н. Н. Воробьёв Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
- Рђ. Р. Маркушевич Возвратные последовательности. — Гос. Рздательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Рў.В 1. — (Популярные лекции РїРѕ математике).
- А. Н. Рудаков Числа Фибоначчи и простота числа 2127-1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
- Дональд РљРЅСѓС‚ Рскусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-Рµ РёР·Рґ. — Рњ.: «Вильямс», 2006. — РЎ.В 720. — ISBN 0-201-89683-4
- Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7
Примечания
- Числа Фибоначчи - slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00083/91300.htm — статья из Большой советской энциклопедии
- J H E Cohn. Square Fibonacci Numbers Etc - math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html, стр. 109–113.
- P. Ribenboim The New Book of Prime Number Records - books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC&pg=PA193. — Springer, 1996. — С. 193.
- Ira Gessel Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. — 1972. — Т. 10. — С. 417–419.
- В. Серпинский Задача 66 // 250 задач по элементарной теории чисел - ilib.mccme.ru/djvu/serp-250-tch.htm. — М.: Просвещение, 1968. — 168 с.
- ↑ 12 Золотое сечение в природе - himekoscho.ucoz.ru/load/16-1-0-92
- Числа Фибоначчи - elementy.ru/trefil/21136
- Числа Фибоначчи - www.diary.ru/~Organon/p19280903.htm
- Глава из книги О.Е.Акимова "Конец науки" - kompot.soneta.ru/O-chislah-Fibonachchi-fillotaksise-i-ZS
- Р“. Манукян. РџРћРР—РРЇ Р§РСЕЛ Р¤РБОНАЧЧР- www.21mm.ru/item/291/
- Р“. Манукян.РџРћРР—РРЇ Р§РСЕЛ Р¤РБОНАЧЧР- www.21mm.ru/item/291/
- Марио Мерц Fibonacci Sequence 1-55 - www.turku.fi/public/default.aspx?contentid=57923&nodeid=13067 (фин.)
- Based in Villigen: Fibonacci sequence at the ZГјrich Hauptbahnhof - basedinvilligen.blogspot.com/2007/02/fibonacci-sequence-at-zrich.html
скачатьДанный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 12.07.11 19:26:18Похожие рефераты: Фибоначчи, Код Фибоначчи, Кодирование Фибоначчи, Дерево Фибоначчи, Метод Фибоначчи с запаздываниями, Метод чисел Фибоначчи.Категории: Теория чисел, Золотое сечение, Целочисленные последовательности.
Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.www.wreferat.baza-referat.ru
Реферат Число Фибоначчи
Опубликовать скачатьРеферат на тему:
План:
Введение- 1 Происхождение
- 2 Формула Бине
- 3 Тождества
- 4 Свойства
- 5 Вариации и обобщения
- 6 В других областях
- 6.1 Р’ РїСЂРёСЂРѕРґРµ
- 6.2 В культуре
ЛитератураПримечания
Введение
Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,… (последовательность A000045 РІ OEIS) РІ которой каждое последующее число равно СЃСѓРјРјРµ РґРІСѓС… предыдущих чисел. Название РїРѕ имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[1]. РРЅРѕРіРґР° число 0 РЅРµ рассматривается как член последовательности.
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи
задается линейным рекуррентным соотношением:
РРЅРѕРіРґР° числа Фибоначчи рассматривают Рё для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Члены СЃ такими номерами легко получить СЃ помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2 в€’ Fn + 1:
n Fn в€’10 | в€’9 | в€’8 | в€’7 | в€’6 | в€’5 | в€’4 | в€’3 | в€’2 | в€’1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
в€’55 | 34 | в€’21 | 13 | в€’8 | 5 | в€’3 | 2 | в€’1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
Легко заметить, что
.
1. Происхождение
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна РІ древней РРЅРґРёРё, РіРґРµ РѕРЅР° применялась РІ метрических науках (РїСЂРѕСЃРѕРґРёРё, РґСЂСѓРіРёРјРё словами — стихосложении), намного раньше, чем РѕРЅР° стала известна РІ Европе.
Образец длиной n может быть построен путём добавления S Рє образцу длиной n-1, либо L Рє образцу длиной n-2; Рё просодицисты показали, что число образцов длиною n является СЃСѓРјРјРѕР№ РґРІСѓС… предыдущих чисел РІ последовательности. Дональд РљРЅСѓС‚ рассматривает этот эффект РІ РєРЅРёРіРµ В«Рскусство программирования».
На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:
- В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
- В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
- Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
- В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).
Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.
Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время только те кролики, которые жили в месяце n-2, являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n-1) + F(n-2).
2. Формула Бине
Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:
, РіРґРµ
— золотое сечение. При этом
Рё
являются корнями характеристического уравнения
.
РР· формулы Бине следует, что для всех
, Fn есть ближайшее к
целое число, то есть
. В частности, при
справедлива асимптотика
.
Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:
При этом соотношение Fz + 2 = Fz + 1 + Fz выполняется для любого комплексного числа z.
3. Тождества
Рболее общие формулы:
- Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц:
, то есть
, а также
, где матрицы имеют размер
, i — мнимая единица. - Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышева:
- Следствие. Подсчёт определителей даёт
4. Свойства
- Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
- Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
- Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4). Например, число F13 = 233 простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример —
. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
- Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1 имеет корни
Рё
.
- Отношения
являются подходящими дробями золотого сечения φ и, в частности, 
- Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы
.
- В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,[2] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144.
- Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:
- Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2 − y5 − x4y + 2y,
на множестве неотрицательных целых чисел x и y.[3] - Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
- Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Писано[убрать шаблон] и обозначается π(n). Периоды Писано π(n) образуют последовательность: 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)
- В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.
- Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N2 + 4 или 5N2 − 4 является квадратом.[4]
- Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.[5]
5. Вариации и обобщения
- Числа трибоначчи
- Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка
, при этом их дополнением являются числа Люка
.
6. В других областях
6.1. Р’ РїСЂРёСЂРѕРґРµ
- Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи. Зерна подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.[6]
[7][8][9]
- Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.[6][10]
- Молекулу ДНК составляют две вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема и шириной 21 ангстрема. Числа 21 и 34 следуют друг за другом в последовательности Фибоначчи.[11]
6.2. В культуре
- Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал последовательность Фибоначчи как «лжешифр».
- Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку[12] и главном вокзале Цюриха[13].
Литература
- Н. Н. Воробьёв Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
- Рђ. Р. Маркушевич Возвратные последовательности. — Гос. Рздательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Рў.В 1. — (Популярные лекции РїРѕ математике).
- А. Н. Рудаков Числа Фибоначчи и простота числа 2127-1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
- Дональд РљРЅСѓС‚ Рскусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-Рµ РёР·Рґ. — Рњ.: «Вильямс», 2006. — РЎ.В 720. — ISBN 0-201-89683-4
- Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7
Примечания
- Числа Фибоначчи - slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00083/91300.htm — статья из Большой советской энциклопедии
- J H E Cohn. Square Fibonacci Numbers Etc - math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html, стр. 109–113.
- P. Ribenboim The New Book of Prime Number Records - books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC&pg=PA193. — Springer, 1996. — С. 193.
- Ira Gessel Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. — 1972. — Т. 10. — С. 417–419.
- В. Серпинский Задача 66 // 250 задач по элементарной теории чисел - ilib.mccme.ru/djvu/serp-250-tch.htm. — М.: Просвещение, 1968. — 168 с.
- ↑ 12 Золотое сечение в природе - himekoscho.ucoz.ru/load/16-1-0-92
- Числа Фибоначчи - elementy.ru/trefil/21136
- Числа Фибоначчи - www.diary.ru/~Organon/p19280903.htm
- Глава из книги О.Е.Акимова "Конец науки" - kompot.soneta.ru/O-chislah-Fibonachchi-fillotaksise-i-ZS
- Р“. Манукян. РџРћРР—РРЇ Р§РСЕЛ Р¤РБОНАЧЧР- www.21mm.ru/item/291/
- Р“. Манукян.РџРћРР—РРЇ Р§РСЕЛ Р¤РБОНАЧЧР- www.21mm.ru/item/291/
- Марио Мерц Fibonacci Sequence 1-55 - www.turku.fi/public/default.aspx?contentid=57923&nodeid=13067 (фин.)
- Based in Villigen: Fibonacci sequence at the ZГјrich Hauptbahnhof - basedinvilligen.blogspot.com/2007/02/fibonacci-sequence-at-zrich.html
скачатьДанный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 12.07.11 19:26:18Похожие рефераты: Фибоначчи, Код Фибоначчи, Кодирование Фибоначчи, Дерево Фибоначчи, Метод Фибоначчи с запаздываниями, Метод чисел Фибоначчи.Категории: Теория чисел, Золотое сечение, Целочисленные последовательности.
Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.wreferat.baza-referat.ru
Смотрите также