Числа Фибоначчи. Реферат на тему числа фибоначчи

Числа Фибоначчи. История. Интересные факты. Использование в повседневной жизни

Золотое сечение в теле человека

Золотое сечение в теле человека Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Золотое сечение

Подробнее

Числа Фибоначчи и золотое сечение

МОУ «Малыгинская средняя общеобразовательная школа» Числа Фибоначчи и золотое сечение Выполнила ученица 9 «а» класса Кузнецова Юлия под руководством учителя математики Большаковой О.К. «Числа не управляют

Подробнее

Рис. 1.Золотой квадрат.

Рис. 1.Золотой квадрат. УДК 517.8 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПРИРОДЕ А.А. Куликов, студент группы ЭЭб-152, I курс Научный руководитель: А.В. Чередниченко, ассистент Кузбасский государственный технический университет г. Кемерово Что общего

Подробнее

Уровни Фибоначчи В XIII веке Леонардо Фибоначчи, известный итальянский математик обнаружил простую последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

Уровни Фибоначчи В XIII веке Леонардо Фибоначчи, известный итальянский математик обнаружил простую последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Такая зависимость получилась в результате

Подробнее

Темы проектов по математике для 5 класса

Темы проектов по математике для 5 класса Алгебраические дроби. В мире процентов. В стране рыцарей и лжецов. Виды уравнений, решаемые в 5-м классе. Возникновение чисел. Вокруг обыкновенных дробей. Графический

Подробнее

Золотое сечение и строение человека

1 Городское соревнование юных исследователей «Шаг в будущее Юниор» Золотое сечение и строение человека Россия, г.сургут, Ульянова Виктория Александровна Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Подробнее

Древнекитайский символ

Древнекитайский символ Сравните Некоторые современные здания Золотое сечение «Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник

Подробнее

Глава 4.2. Технический анализ: Фибоначчи

Глава 4.2. Технический анализ: Фибоначчи Глава 4.2 Технический анализ: Фибоначчи ТЕХНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФИБОНАЧЧИ Анализ Фибоначчи - это инструмент, позволяющий выявить потенциальные уровни поддержки и сопротивления, основываясь на прошлых ценовых

Подробнее

Математическая гармония человеческого тела

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 9-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Математическая гармония человеческого

Подробнее

Числа Фибоначчи. Формула красоты.

Научно исследовательская работа Числа Фибоначчи. Формула красоты. Автор: ученик10 класс Шроо Артур Муниципального бюджетного образовательного учреждения Катановской средней общеобразовательной школы Руководитель:

Подробнее

Страничка для влюбленных в математику

Страничка для влюбленных в математику Страницу подготовила учитель математики, директор школы Шмелькова Наталья Александровна Если учитель имеет только любовь к делу, он будет хороший учитель. Если учитель

Подробнее

Проект для учеников 8 классов

Проект для учеников 8 классов «Геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем.

Подробнее

Учебный проект «Золотое сечение» Часть I

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Лицей 7 г. Химки Учебный проект «Золотое сечение» Часть I «Человек венец творения природы» Автор исследования: Мизеровская Анна ученица 10 «А» класса

Подробнее

АСТРОНОМИЯ А С Т Р О Н О М И Я. Кеплер

АСТРОНОМИЯ А С Т Р О Н О М И Я. Кеплер А С Т Р О Н О М И Я Кеплер 243 Золотое сечение в строении Солнечной системы и Вселенной У каждой планеты имеется минимальный радиус орбиты, но есть и максимальный как у всякого эллипса. Если рассмотреть

Подробнее

Содержание курса математики в 5 6 классах

Содержание курса математики в 5 6 классах Натуральные числа и нуль Натуральный ряд чисел и его свойства Натуральное число, множество натуральных чисел и его свойства, изображение натуральных чисел точками

Подробнее

Буква слово, цифра число?

1 Буква слово, цифра число? Нина Коптюг, кандидат филологических наук, лауреат 1 Всероссийского конкурса «Дистанционный учитель года РФ», победитель конкурса ПНПО «Лучший учитель РФ», представитель РФ

Подробнее

МЕДИЦИНА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ

ВГУЗУ «Украинская медицинская стоматологическая академия» Кафедра социальной медицины, организации и экономики здравоохранения с биостатистикой и медицинским правоведением МЕДИЦИНА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ Лектор:

Подробнее

ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ

ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЭВМ : постановка задачи; математическое описание задачи; выбор и обоснование метода решения; алгоритмизация вычислительного процесса; составление

Подробнее

Урок-игра по теме «Системы счисления»

Урок-игра по теме «Системы счисления» Предмет: информатика и ИКТ Класс: 9 класс Тема учебного занятия: Урок-игра «Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другие, арифметические операции

Подробнее

Создание собственной линейки фэн-шуй

Создание собственной линейки фэн-шуй Ко мне часто обращаются с вопросом: есть ли общие корни у архитектурных и дизайнерских принципов, используемых китайскими мастерами, и священной геометрии масонов и

Подробнее

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или в двоично-десятичной системе счисления. Система счисления это способ наименования и изображения чисел с помощью

Подробнее

S = {1, 1, 1, } (1) N = (N раз). (2)

S = {1, 1, 1, } (1) N = (N раз). (2) 7.5. Новое геометрическое определение числа Что такое число? «Ливийский» период моей жизни, который продолжался с февраля 1995 по август 1997 г., был своеобразным и сознательным «заточением», кода я у

Подробнее

«Золотое сечение» Часть I

Учебный проект «Золотое сечение» Часть I «Человек венец творения природы» Автор исследования Мизеровская Анна, ученица 10 «А» класса МБОУ Лицей 7 г. Химки Провести исследования по теме «Золотое сечение

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Программа по математике разработана, в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами основного общего образования 2-го поколения, Фундаментального ядра

Подробнее

Анкета для индивидуального пошива

Анкета для индивидуального пошива 01 РОСТ Измеряется в сантиметрах от пола до макушки. 02 ОБХВАТ ГОЛОВЫ Измеряется в самом широком месте головы: Горизонтально, по кругу, над ушами и бровями 02-А ДЛИНА ГОЛОВЫ ОТ 7 ШЕЙНОГО ПОЗВОНКА ДО НАДБРОВНЫХ

Подробнее

Семинар 7 Модели динамики популяций

Семинар 7 Модели динамики популяций Модель Мальтуса Модель Ферхюльста Модели Моно и Базыкина Модели с запаздыванием Возрастное распределение Модель смертности Где применяется Главное отличие от физики

Подробнее

Рабочая программа по алгебре

Рабочая программа по алгебре Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 города Пудожа Рассмотрено на заседании МО математики и информатики Протокол 1 от 29.08.2016 Руководитель МО Купцова

Подробнее

по математике для 6 классов

по математике для 6 классов УТВЕРЖДЕНО приказом директора МБОУ «СОШ 32» 153/01-10 от 28.08.2014 СОГЛАСОВАНО с заместителем директора МБОУ «СОШ 32» 27.08.2014 РАССМОТРЕНО на заседании МО учителей математики 27.08.2014, протокол 1

Подробнее

Великая математика

Великая математика 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 «Математика царица наук, арифметика царица математики» МОУ Яринская ООШ Учитель математики Быстрова И.А. К. Ф. Гаусс Физика Математика-это язык,на

Подробнее

docplayer.ru

Реферат Числа Фибоначчи

Опубликовать скачать

Реферат на тему:

План:

1 Происхождение
2 Формула Бине
3 Тождества
4 Свойства
5 Вариации и обобщения
6 В других областях
- 6.1 В природе
- 6.2 В культуре

Введение

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,… (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[1]. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи $\left\{F_n\right\}$ задается линейным рекуррентным соотношением:

$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n\geqslant 2.$

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2 − Fn + 1:

n Fn

−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Легко заметить, что $\! F_{-n} = (-1)^{n+1}F_n$ .

1. Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время только те кролики, которые жили в месяце n-2, являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n-1) + F(n-2).

2. Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:

$F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{2\varphi - 1}$ ,

где $\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — золотое сечение. При этом $\varphi\,\!$ и $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi\,\!$ являются корнями характеристического уравнения $x^2-x-1=0\,\!$ .

Из формулы Бине следует, что для всех $n\geqslant 0$ , Fn есть ближайшее к $\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\,$ целое число, то есть $F_n = \left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil$ . В частности, при $n\to\infty$ справедлива асимптотика $F_n\sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$ .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

$F_z = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^z - \frac{\cos{\pi z}}{\varphi^z} \right)$

При этом соотношение Fz + 2 = Fz + 1 + Fz выполняется для любого комплексного числа z.

3. Тождества

$F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1$

$F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}$

$F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1$

$F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n}$

$F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}$

$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$

$F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$

$F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3$

$F_{5n}=25F_{n}^5+25(-1)^{n}F_n^3+5F_{n}$

И более общие формулы:

$F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}$

$F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}$

$F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}$

Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: $F_{n+1} = K_n(1,\dots,1)$ , то есть

$F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ , а также $\ F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 & i & 0 &\cdots & 0 \\ i & 1 & i & \ddots & \vdots\\ 0 & i & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & i \\ 0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix}$ , где матрицы имеют размер $n\times n$ , i — мнимая единица.

Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышева:

$F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i),$ $F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3).$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.$

Следствие. Подсчёт определителей даёт

$(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2.$

4. Свойства

Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
- Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
- Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4). Например, число F13 = 233 простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример — $F_{19}=4181=37\cdot 113$ . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1 имеет корни $~\varphi$ и $-\frac{1}{\varphi}$ .

Отношения $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ являются подходящими дробями золотого сечения φ и, в частности, $\lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi.$
Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы $F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}$ .

В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,[2] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144.

Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является: $0 + x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}$

Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2 − y5 − x4y + 2y,

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.[3]

Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Писано[убрать шаблон] и обозначается π(n). Периоды Писано π(n) образуют последовательность: 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)
- В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.

Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N2 + 4 или 5N2 − 4 является квадратом.[4]

Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.[5]

5. Вариации и обобщения

Числа трибоначчи
Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка , при этом их дополнением являются числа Люка .

6. В других областях

6.1. В природе

Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи. Зерна подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.[6]

[7][8][9]

Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.[6][10]
Молекулу ДНК составляют две вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема и шириной 21 ангстрема. Числа 21 и 34 следуют друг за другом в последовательности Фибоначчи.[11]

6.2. В культуре

Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал последовательность Фибоначчи как «лжешифр».
Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку[12] и главном вокзале Цюриха[13].

Литература

Н. Н. Воробьёв Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
А. И. Маркушевич Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
А. Н. Рудаков Числа Фибоначчи и простота числа 2127-1 // Математическое Просвещение, третья серия. — 2000. — Т. 4.
Дональд Кнут Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4
Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — С. 703. — ISBN 5-94774-560-7

Примечания

Числа Фибоначчи - slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00083/91300.htm — статья из Большой советской энциклопедии
J H E Cohn. Square Fibonacci Numbers Etc - math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html, стр. 109–113.
P. Ribenboim The New Book of Prime Number Records - books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC&pg=PA193. — Springer, 1996. — С. 193.
Ira Gessel Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. — 1972. — Т. 10. — С. 417–419.
В. Серпинский Задача 66 // 250 задач по элементарной теории чисел - ilib.mccme.ru/djvu/serp-250-tch.htm. — М.: Просвещение, 1968. — 168 с.
↑ 12 Золотое сечение в природе - himekoscho.ucoz.ru/load/16-1-0-92
Числа Фибоначчи - elementy.ru/trefil/21136
Числа Фибоначчи - www.diary.ru/~Organon/p19280903.htm
Глава из книги О.Е.Акимова "Конец науки" - kompot.soneta.ru/O-chislah-Fibonachchi-fillotaksise-i-ZS
Г. Манукян. ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ - www.21mm.ru/item/291/
Г. Манукян.ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ - www.21mm.ru/item/291/
Марио Мерц Fibonacci Sequence 1-55 - www.turku.fi/public/default.aspx?contentid=57923&nodeid=13067 (фин.)
Based in Villigen: Fibonacci sequence at the Zürich Hauptbahnhof - basedinvilligen.blogspot.com/2007/02/fibonacci-sequence-at-zrich.html

скачатьДанный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 12.07.11 19:26:18Похожие рефераты: Фибоначчи, Код Фибоначчи, Кодирование Фибоначчи, Дерево Фибоначчи, Метод Фибоначчи с запаздываниями, Метод чисел Фибоначчи.

Категории: Теория чисел, Золотое сечение, Целочисленные последовательности.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.

www.wreferat.baza-referat.ru