Математика является не только средством количественного расчета, но также методом точного исследования и служит средством ясной и четкой формулировки экономических проблем и понятий. Целью данной работы является выяснить, что такое производная с экономической точки зрения, какие новые возможности открывает дифференциальное исчисление для экономических исследований, а также исследовать применение производной при решении различных видов производственных задач по экономической теории. Экономические задачи достаточно сложны, и чтобы облегчить решения данных задач, существует такое понятие, как «производная». В данной работе попытаемся доказать, что производная действительно помогает решать различные экономические задачи. Особый интерес вызвали такие разделы, как:

• Исследование производственных функций в экономике, а именно различные производственные задачи.

• Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений.

Производная – одно из главных понятий математики, физики и экономики. Само понятие «производная в экономике» тесно связано с производственными задачами, предельным анализом и эластичностью функций.

Исследование поведения различных систем часто не обходится без анализа и решения уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. В экономике очень часто требуется найти значение таких показателей, как максимальная прибыль, максимальный выпуск, предельная производительность труда, минимальные и максимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию от одной или нескольких переменных, нахождение которых сводится к вычислению производной

ГЛАВА 1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть определена на некотором промежутке. Придадим значению аргумента x0ex произвольное приращение ∆x так, чтобы точка x0+∆x также принадлежала X. Тогда получим приращение

∆y =(x0+∆x) – (x0)

Производной функции в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при ∆x→0 . Производная функции в точке х0 обозначается y'(х0) или f '(х0). Определение производной можно записать в виде формулы:

при условии, что этот предел существует. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке множества X, то производная f `(x) также является функцией от аргумента x, определённая на X. Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х0. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, что она дифференцируема на всём этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

1.1.Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной состоит в том, что f `(x0) является тангенсом угла наклона или по-другому угловым коэффициентом. Пусть на кривой y=f(x) зафиксирована точка М0(X0;Y0), где y0=f(x0). Придадим аргументу приращение ∆x, т.е перейдём от значения x=x0 к значению x0+∆x. Получим на кривой точку M(x0+∆x, y0+∆y)

Касательной к графику функции y=f(x) в точке M0 называется предельное положение секущей M0M при стремлении точки M к точке M0 по кривой y=f(x). Из ∆M0MA имеем:

Пусть ∆x→0. Тогда точка М будет перемещаться вдоль кривой и в пределе совпадает с точкой M0. При этом . Производная f `(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику y=f(x) в точке M0(x0; f(x0)). Найдём уравнение касательной к графику в точке M0 (x0; f(x0)) в виде y=kx+b. Должно выполняться равенство f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0) – kx0. Следовательно, касательная задаётся уравнением y=kx+f(x0) – kx0=f(x0)+k(x – x0). Поскольку k=f '(x0), то уравнение касательной имеет вид y=f(x0)+f '(x0)(x – x0).

Очень часто при решении экономических задач возникает необходимость принять решение на основе исследования и анализа функций спроса, предложения, издержек, прибыли и т.д. При этом удобно пользоваться:

Возрастанием и убыванием функции

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых x1ÎX и x2ÎX, x2<x1 выполняется неравенство. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых x1ÎX и x2ÎX, x2<x1 выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b), то есть при x = a и x = b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

Экстремумами функции

Точка x0 называется точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции и обозначается ymax

Точка x0 называется точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают ymin.

Под окрестностью точки понимают интервал (x0 – ε;x0 + ε) , где ε - достаточно малое положительное число. Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Непрерывностью функции

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a. Чаще всего разрыв возникает по двум причинам: функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы; функция не определена в данной точке.

1.2.Экономический смысл производной

В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможным ставить и решать новый вид научных проблем. Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя производительность труда, средняя цена и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

ГЛАВА2.ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y – издержки производства, х –количество продукции, тогда ∆x – прирост продукции, а ∆y – приращение издержек производства.

В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции, где MC – предельные издержки; TC – общие издержки ; Q – количество.

Другой пример: категория предельной выручки — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ой к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки: при этом R=PQ,

где R – выручка ;

P – цена.

Таким образом , ∆MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на формирование цены.

Суть ординалистского (порядкового) подхода состоит в том, что потребители, имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную полезность для конкретного потребителя.

В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n потребительских благ в объемах х1, x2,… хn, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х1, x2,… xn).

Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных производных:

Они показывают, на сколько изменяется полезность всей массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении количества блага i (i=1,2…n)

В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов товаров.

Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией предельной нормы замещения (MRS).

Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы компенсировать потребительскую утрату единицы товара y.

Они определяются так:

Т.к. dy отрицательно, знак "" вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия.

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.

Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией потребления.

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC, показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода:

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к сбережению или функцию сбережения. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS:

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Еще одним примером использования производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию - предельный продукт труда MPL– это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L) при неизменной величине капитала:

myunivercity.ru

Применение производной в экономике — курсовая работа

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………… … .3

Глава 1. Основные определения производной……………….…………………4

1.1. Геометрический смысл производной……………….…………..….……….4

1.2.Экономический смысл производной……………………..………………….6

Глава 2. Применение производной в экономике……………………………… .8

Глава 3. Примеры экономических задач с использованием производной… . 14

Заключение…………………………………………..……………………….…..19

Список использованных источников………...…………………........................20

ВВЕДЕНИЕ

• Исследование производственных функций в экономике, а именно различные производственные задачи.

ГЛАВА 1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

∆y =(x0+∆x) – (x0)

1.1.Геометрический смысл производной

Возрастанием и убыванием функции

Экстремумами функции

Непрерывностью функции

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если .

1.2.Экономический смысл производной

ГЛАВА2.ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ

где R – выручка ;

P – цена.

Таким образом , ∆MR= P.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

U= U(х1, x2,… xn).

Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных производных:

Они определяются так:

Т.к. dy отрицательно, знак "" вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.

Y= C(Y) + S(Y).

С увеличением доходов MPS увеличивается.

yaneuch.ru

Применение производной в экономике — курсовая работа

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то , т.к. dY - результат, dL - затраты, то MPL – предельная производительность труда.

Аналогично, MPk - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:

Если вложения осуществляются малыми порциями, то .

MPk - характеризует предельную производительность капитала.

Нетрудно заметить, что многие, в том числе базовые законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f ’(x0) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если MC(Qo)=MR(Qo), где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo) = MC(Qo).

Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы. Средние издержки AC(Q) определяются как , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".

Иными словами, величина , где Dy - приращение выпуска продукции, а Dx - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности

U= U(x),

где х - товар,

U – полезность.

Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ

Задача 1

Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 40 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 100 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К= . Удельные затраты составят

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции y = на промежутке [40;100].

Находим производную данной функции . Приравниваем её к нулю. =0.

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутка и в критической точке.

f(40)=2620

f(49)=2701

f(100)=100

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 100 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача2

Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x) =. Исследуйте потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Производная функции будет равна . Приравниваем производную к нулю. Получаем, что при x=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 59000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3

Объем продукции u, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением , 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания. Производительность труда выражается производной

, а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной z`(t) и логарифмической производной `

z`(t) = -5t+15 (ед./ч2)

(ед./ч)

В заданные моменты времени t1 = 1 и t2 =8 – 1 соответственно имеем:

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака z`(t) и логарифмической производной с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Задача 4

Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией ,

Данная функция исследуется с помощью производной:

Производная меньше нуля, если P≥0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P<0,5 спрос убывает медленнее, а при P>0,5 спрос убывает все быстрее.(рис.1)

Рис1

Задача 5

Выручка от реализации товара по цене p составляет:

(Денежных единиц), где . Исследуем эту функцию с помощью производной.

Производная этой функции: положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.

темп положительный темп отрицательный

На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.

Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим график.(табл.1)

p	(0, 1/2)	1/2
U'(p)	+	0	-	-0,47	-
U''(p)	-		-	0	+
U (p)	возрастает выпукла	0,3 max	убывает выпукла	0,2 точка перегиба	убывает вогнута

Табл.1

Вывод:

На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.

Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом , а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке график перегибается (рис.2):

Рис.2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы мы рассмотрели различные производственные задачи, функции, анализы и доказали, что производная действительно помогает решать экономические задачи.

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.
Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.
Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем
Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике 5-е изд., М.: Дело и Сервис, 2009.
Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике. В 2-х ч. — М.: Финансы и статистика, 2011
Воронов М. В., Мещерякова Г. П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.
Розен В. В. Математические модели принятия решений в экономике. — М.: Книжный дом «Университет». Высш. шк., 2008
Малыхин В. Л. Математика в экономике. — М.: ИНФРА-М, 2001.

myunivercity.ru

Смотрите также

..:::Новинки:::..

Windows Commander 5.11 Свежая версия.

Новая версия
IrfanView 3.75 (рус)

Обновление текстового редактора TextEd, уже 1.75a

System mechanic 3.7f
Новая версия

Обновление плагинов для WC, смотрим :-)

Весь Winamp
Посетите новый сайт.

WinRaR 3.00
Релиз уже здесь

PowerDesk 4.0 free
Просто - напросто сильный upgrade проводника.

..:::Счетчики:::..