pochemu4ka.ru

Свойства функций в пословицах и поговорках

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7 г. Соль – Илецка

Оренбургской области»

Муниципальное образовательное учреждение

дополнительного образования детей

«Центр детского творчества Соль – Илецкого района

Оренбургской области»

Реферат по математике:

Свойства функций

в пословицах и поговорках.

(помещен на сайте http: // portfolio.1 september.ru Интернет – фестиваля исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио», проводимом Издательским Домом « Первое сентября»)

Работа ученицы 9акласса,

члена ДТО «Юный математик»

при Центре детского творчества

Соль – Илецкого района

Ивасюк Виктории Сергеевны.

Проверила :

учитель математики школы № 7,

руководитель ДТО «Юный математик»

Кузнецова Надежда Васильевна.

г. Соль – Илецк

2007г.

Содержание:

1. Введение _____________________________стр. 3

2. Из истории возникновения функций.

Определение функции ___________________стр. 4

3. Свойства функций в пословицах

и поговорках __________________________стр. 6

4. Заключение ___________________________стр. 13

5. Литература ____________________________стр. 14

Введение.

Функция– это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

Например, в соотношении y = х2геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y = x2и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y = x2увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

Из истории возникновения функций.

Определение функции.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: « Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

В школьном учебнике математики дается следующееопределение функции:

Зависимость переменной y от переменной x называетсяфункцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной илиаргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуютобласть определения функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуютобласть значений функции.

Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился. Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».

Свойства функции в пословицах и поговорках.

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

1.Возрастание функции.

Определение: Функция y= f(x) называетсявозрастающейна промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)< f(x2) (короче: x1<x2 => f(x1) <

f(x2)).

Иными словами, функция возрастает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

«Чем дальше в лес, тем больше дров», - гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги.

График представит количество дров как функцию пути.

Количество

дров

Продвижение в лес

Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

2.Неубывающая функция.

Определение: Если для любых х1 и х2 из множества Х таких, что х1<х2, справедливо неравенство f(x1) ≤ f(x2) , то функцию f(x) называютнеубывающейна множестве Х.

«Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими.

Качество

каши

Количество масла

3.Убывающая функция.

Определение: Функция y= f(x) называетсяубывающейна промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)> f(x2) (короче: x1<x2 => f (x1) > f(x2)).

Иными словами, функция убывает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

«Дальше кумы – меньше греха».

Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.

Начальная Windows Commander Far WinNavigator Frigate Norton Commander WinNC Dos Navigator Servant Salamander Turbo Browser Winamp, Skins, Plugins Необходимые Утилиты Текстовые редакторы Юмор		File managers and best utilites Главная » Реферат » Математика в пословицах и поговорках реферат Реферат: по математике: Свойства функций в пословицах и поговорках:. Математика в пословицах и поговорках реферат Реферат - по математике: Свойства функций в пословицах и поговорках Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 7 г. Соль – Илецка Оренбургской области» Муниципальное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр детского творчества Соль – Илецкого района Оренбургской области» Реферат по математике: Свойства функций в пословицах и поговорках. (помещен на сайте http: // portfolio.1 september.ru Интернет – фестиваля исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио», проводимом Издательским Домом « Первое сентября») Работа ученицы 9а класса, члена ДТО «Юный математик» при Центре детского творчества Соль – Илецкого района Ивасюк Виктории Сергеевны. Проверила : учитель математики школы № 7, руководитель ДТО «Юный математик» Кузнецова Надежда Васильевна. г. Соль – Илецк 2007г. Содержание: 1. Введение _____________________________стр. 3 2. Из истории возникновения функций. Определение функции ___________________стр. 4 3. Свойства функций в пословицах и поговорках __________________________стр. 6 4. Заключение ___________________________стр. 13 5. Литература ____________________________стр. 14 Введение. Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. Например, в соотношении y = х2 геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y = x2 и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y = x2 увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам. Из истории возникновения функций. Определение функции. Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере. С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы. Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли. Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: « Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский. В школьном учебнике математики дается следующее определение функции : Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции. Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции . Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции. Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился. Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще». Свойства функции в пословицах и поговорках. Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа. 1. Возрастание функции . Определение: Функция y= f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)< f(x2) (короче: x1<x2 => f(x1 ) < f(x2)). Иными словами, функция возрастает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. «Чем дальше в лес, тем больше дров », — гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя. Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги. График представит количество дров как функцию пути. Количество дров Продвижение в лес Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием. 2. Неубывающая функция . Определение: Если для любых х1 и х2 из множества Х таких, что х1 <х2, справедливо неравенство f(x1) ≤ f(x2), то функцию f(x) называют неубывающей на множестве Х. «Каши маслом не испорт ишь ». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими. Качество каши Количество масла 3. Убывающая функция . Определение: Функция y= f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)> f(x2) (короче: x1<x2 => f (x1) > f(x2)). Иными словами, функция убывает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. «Дальше кумы – меньше греха ». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая. м е р а г р е х а Расстояние до кумы 4.Ограниченные функции. Определение: Функция f, определённая на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х1 Х, если f (x1 ), т.е. множество её значений на множестве Х1, ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, что для всех значений x из Х1 выполняется неравенство m ≤f(x)≤M. В противном случае функция называется неограниченной. Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке Х, если существует такое число k, что для всех выполняется неравенство f(x)≤k (f(x)≥k). Функция ограничена снизу, если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой y=m; Функция ограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=M. «Выше меры конь не скачет ». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой». «Мера» Расстояние 5. Максимум функции . Определение: Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция у =f (x) имеет максимум в точке x0, если существует такая б – окрестность точки x0, что при x0 – б <х< x0 + б выполняется неравенство f (x) < f(x0), т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x0. «Пересев хуже недосева », — издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить её графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни. у у f(a)- максимум р о ж а й а х плотность посева «Недосол на столе – пересол на спине ». Качество пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли – невкусно, много – тоже в рот не возьмёшь. А где-то в промежутке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье становится особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает максимума. Малейший щепотью соли больше или меньше – и дегустатор с утончённым вкусом скажет, что качество пищи снизилось. 6. Вогнутость и выпуклость функции . «Не круто начинай, круто кончай ». Эта пословица заслуживает того, чтобы быть включённой в правила научной организации труда. Тем более что за ней так и видится графическое выражение. Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На нее тоже есть своя пословица: «Горяч на почине, да скоро остыл ». р р а а б б о о т т а а время время Обе функции, представленные на графиках зависящими от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному. Рост одной функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называется вогнутостью. Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента. Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента. 7. Периодичность функции. Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f (x + T) = f(x) = f(x – T). Число Т называется периодом функции y = f(x). «Это сказка про белого бычка ». Так говорят, когда какое-то дело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату. Поговорку знают все, но не каждый знает, как рассказывается сказка. Важная деталь рассказа – реакция слушателя. Сказка представляет собой диалог: — Рассказать тебе сказку про белого бычка? — Расскажи. — Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка? — Так давай же! — Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка? — Ну хватит! — Ты ну хватит… и так далее. Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют цитированием первых слов песни «У попа была собака ». Ради полноты приведём и её. «У попа была собака. Он её любил. Она съела кусок мяса. Он её убил. И в землю закопал. И надпись написал: «У попа была собака. Он её любил…» и так далее. Белый бычок и поповская собака нужны нам для разговора о периодических функциях, для уяснения математического понятия периода и тех искажений, которые привносятся в него обыденной речью. Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Достаточно сравнить между собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни возьми, она обязательно повториться через 89 букв. Про первый текст такого не скажешь. В обыденной речи утвердилось выражение «период солнечной активности». Если бы все явления на Солнце подчинялись строгой периодичности, их можно было бы предсказывать на сколь угодный долгий срок. Стала бы не нужна всемирная служба Солнца с её круглосуточными наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится количество солнечных пятен, интенсивность солнечных вспышек и т.п. Прекрасные примеры периодических функций даёт тригонометрия: синус, косинус, тангенс… Для синуса и косинуса период составляет 3600, для тангенса – 1800. Заключение. Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот. Точно также облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций. Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей. Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни. Литература: 1.Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2004. 2.Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998. 3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982. 4. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. –М. 5. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО «Столетие», 1995 www.ronl.ru Проект "Математика в пословицах, поговорках, сказках, стихах" Слайд 1 Математика вокруг нас. Числа в загадках, пословицах, поговорках, сказках, стихах Работу выполнили: ученики 5-х классов Троснянской СОШ Руководитель Билык Т.В. Тросна 2017 год. Слайд 2 Цель: расширить представления о числах на материале устного народного творчества Задачи: Отбирать загадки, пословицы и поговорки, содержащие числа Собирать и классифицировать информацию по разделам (загадки, пословицы, поговорки) Работать в группе, планировать и распределять работу между ее членами Слайд 3 Давайте ребята, учиться считать, Делить, умножать, прибавлять , вычитать. Запомните все, что без точного счета Не сдвинется с места любая работа. Без счета не будет на улице света. Без счета не сможет подняться ракета, Без счета письмо не найдет адресата И в прятки сыграть не сумеют ребята. Считайте, ребята, точнее считайте, Хорошее дело смелей прибавляйте, Плохие дела поскорей вычитайте. Учебник научит вас точному счету, Скорей за работу, скорей за работу! Слайд 4 Как люди научились считать? Давным –давно наши далекие предки жили племенами. Их жизнь мало чем отличалась от жизни животных. Первобытные люди, так же как и маленькие дети не знали счета. Наблюдая окружающую природу , от которой полностью зависела их жизнь, наши предки из множества различных предметов научились выделять отдельные предметы. Поначалу они определяли это соотношение как «много», «один». Пальцы рук сыграли немалую роль в истории счета. Слайд 5 Сказка о стране Цифирии Далеко-далеко за морями и горами была страна Цифирия. Жили в ней очень честные числа. Только ноль отличался ленью и нечестностью. Однажды все узнали, что королева Арифметика зовет к себе на службу жителей Цифирии. Служить королеве захотели все. Между Цифирией и королевством Арифметики протекали четыре глубокие реки: Сложение, Вычитание, Умножение и Деление. Числа решили объединится все вместе, чтобы добраться до королевства. В пути с ними произошло много удивительных приключений, всем мешал ноль. Но жители Цифирии добрались до королевства. Королева Арифметика примирила все числа с лентяем нулем: она стала приписывать Ноль рядом с числами, которое от этого увеличивались в 10 раз. Слайд 6 На что похожа цифра? Вот один, иль единица Очень тонкая , как спица. Вид ее, как запятая, Хвост крючком, и не секрет: Любит всех она лентяев, А лентяи ее –нет. Слайд 7 А вот это, посмотри, Выступает цифра -3. Тройка –третий из значков- Состоит из двух крючков Гляди, четыре -это стул, Который я перевернул. А вот это цифра 5! До пяти легко считать. Каждый пальчик подержи, Цифру пальчику скажи. Эта цифра-акробатка, То шестерка, то девятка. Вот семерка-кочерга, у нее одна нога. У восьмерки два кольца, без начала и конца. Ноль встает за единицей,цифра 10 на странице Слайд 8 . Загадки в числах Два братца в воду глядятся, ввек не сойдутся. У кого одна нога, да и та без башмака? Один пастух тысячу овец пасет. Два близнеца, два братца На нос верхом садятся. У одной мыши три хвоста. Живет между камнями голова с четырьмя ногами. Пять ступенек- лесенка, на ступеньках песенка. Четыре четырки, две растопырки, седьмой – вертун. Шесть ног , две головы, один хвост. Кто это? Пять пальцев, ни костей , ни мяса. Четыре ноги , а ходить не может? Кто в году четыре раза переодевается? Слайд 9 Крылатые выражения Заблудился в трех соснах. (не суметь разобраться, в чем– нибудь простом) От горшка три вершка (очень низкий, низкого роста) За двумя зайцами погонишься, ни одного не поймаешь. ( когда берешься сразу за несколько дел, и ни одного не доведешь до конца) Семеро одного не ждут ( говорят, когда начинают какое –нибудь дело без того, кто опоздал) Семь пятниц на неделе (говорят, когда часто меняют свои решения) У семи нянек дитя без глазу (без присмотра, дело выполняется плохо, когда за него сразу отвечают несколько человек) Обещанного три года ждут (говорят шутливо, когда не верят в скорое выполнение данного обещания) Плакать в три ручья (очень горько плакать) За семь верст киселя хлебать (далеко и попусту ехать, тащиться) Слайд 10 Числа в пословицах Одно дерево срубишь- десять посади. Одна голова –хорошо, две –лучше. Не узнавай друга в три дня, узнавай в три года. Без четырех углов изба не рубится. Семь раз примерь, один раз- отрежь. Весна да осень, на дню погод восемь. Один в поле не воин. Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Одна весна на Родине лучше, чем сто весен на чужбине. Слайд 11 Скороговорки Три сороки тараторки, тараторили на горке. У четырех черепах по четыре черепашонка. Шесть мышат в шалаше шуршат. По утру мой брат Кирилл трех крольчат травой кормил. Восемь сцепщиков сцепляют цистерны. Сидели, свистели семь свирестелей. Слайд 12 Считалки Раз, два, три, четыре Мы сидели на квартире. Чай пили, булки ели, Позабыли с кем сидели. Раз , два, три, четыре. Кто не спит у нас в квартире? Всем на свете нужен сон, Кто не спит, тот выйдет вон. Раз, два, три , четыре, пять, Будем в прятки мы играть. Небо, звезды, луг, цветы, Ты поди-ка поводи. Раз, два, три , четыре, пять Мы собрались поиграть. К нам сорока прилетела И тебе водить велела. Слайд 13 Спасибо за внимание! nsportal.ru Научно-исследовательский проект "Математика в пословицах и поговорках" - Математика и информатика - Детские исследовательские проекты - Обучение и развитие - ПочемуЧка	Научно-исследовательский проект"Математика в пословицах и поговорках"  Все известные нам народы пользовались теми или иными мерами для измерения расстояний, площадей, объёмов и веса различных предметов.«Без меры и лаптя не сплетешь», говорит русская пословица.Русский народ тысячу лет назад имел не только свою систему мер, но и государственный контроль за мерами. К концу XVIII века эта система превратилась в единственную в мире, по своей научной основе, национальную систему мер.Читая литературные произведения, мы не раз сталкивались со старинными измерениями длины, веса, объема. Осознание этих мер всегда вызывает трудности. В современном языке мы их почти не используем. Лишь при чтении художественных произведений сталкиваемся с этими понятиями. Но, тем не менее, значения мер мы должны знать. Ведь это наша история.Международная метрическая система мер и весов, которой пользуются в настоящее время почти во всех странах мира, была введена на территории бывшего СССР 14 сентября 1918 года декретом Совета Народных Комиссаров. Вводилась эта система в жизнь постепенно. Наряду с новой системой использовались и старые меры. Только с 1927 года был осуществлён переход на новую метрическую систему мер и весов, она окончательно. Гипотеза:Пословицы и поговорки с старинными русскими мерами исчезают из разговорной речи и быта у подрастающего поколения. Цель:Изучить старинные русские меры и применение в пословицах и поговорках математические выражения.  Задачи:Найти и изучить пословицы, где применяются старинные русские меры и математические выражения.Изучить смысловую характеристику пословиц и поговорок с математическими терминами и старинными русскими мерами на практике.Провести практическую работу среди учащихся 7-8 классов на знание пословиц и поговорок с математическими терминами и старинными русскими мерами.   Из истории математики и старинных русских мерТрудно себе представить в наше время какую бы то ни было отрасль деятельности, где бы не приходилось считать, измерять или выполнять хотя бы простейшие вычисления. Мы не всегда задумываемся над тем, благодаря чему можно записывать любые числа, имея всего десять цифр. Между тем пройден очень большой путь, чтобы дойти до современных компьютеров.Кем же тогда было положено начало счёту? Авторы многих произведений вплоть до 19 в. приписывали изобретение числа богам, народным героям, философам. Например, известный математик прошлого столетия Кронекер говорил, что «целые числа создал бог, все другие - дело рук человеческих». Но всё же истинные шаги человечества в развитии понятия числа следует искать в повседневной практике первобытного человека.При изучении культуры народов можно говорить о том, что человек сначала пришёл не к понятию натурального числа и счёта, а к сопоставлению множеств чисел. О численности группы из пяти вещей, например, говорили: «Столько же, сколько пальцев на одной руке». Греческий историк Геродот приводит следующее описание. Царь Дарий после похода на Дунай выделил воинов для охраны построенного моста. Он приказал им вернуться домой только после того, как они развяжут последний узел в оставленном им ремешке, развязывая по одному узлу в день. Сопоставление численности множеств для народов было делом нелегким. Этнографы, изучавшие культуры племен в лесах Амазонки, папуасов Новой Гвинеи и других, отмечали наличие в счете этих народов не более двух числительных. Причем часто употреблялись названия пересчитываемых предметов, в частности части тела человека, прежде всего пальцы рук. Например, число 6 зулусы выражают словом «татиступа», что буквально означает «взять большой палец руки».Использование пальцев рук как счётного инструмента послужило причиной того, что у многих народов распространилась десятичная система счисления. Египтяне записывали числа при помощи рисунков. Так единица – кол, 10 – две руки, 100 – свёрнутый листок пальмы, 1000 – цветок лотоса. Нуля они не знали, что вносило значительные затруднения. В создании современной десятичной системы огромная заслуга принадлежит народу Индии.Древними русскими мерами длины, употреблявшимися уже в 11 – 12 веках были пядь, локоть, сажень. Малая пядь равнялась расстоянию между концами вытянутых больших и указательных пальцев (=19см), большая пядь - расстоянию между раздвинутыми большими и мизинцами (=23см). Сажень - расстояние от ступни до конца среднего пальца поднятой руки. Это слово раньше писалось «сяжень», вероятно, в смысле достигаемого человеческой рукой высоты. Различали простую (=152см, или 4 локтя), маховую (=176 см) и косую (= 213 см) сажени.Локоть древнейшая мера длины, которой пользовались во многих странах мира. Локоть – расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки или сжатого кулака до локтевого сгиба. Его длина колебалась от 38 см до 46 см или 11- 16 вершков. Как мера длины на Руси встречается с 11 века. Её применяли в крестьянском хозяйстве, когда нужно было измерить длину изготовленной в домашних условиях шерстяной пряжи или пеньковой верёвки (такую продукцию наматывали на локоть).Говорят, «Близок локоть, да не укусишь» - о каком-нибудь простом, но невыполненном деле.«Сам с ноготок, а борода - с локоток». До Петра I борода, особенно у бояр, служила признаком знатности рода и происхождения. Чем больше и длиннее была борода, тем больше должно было быть уважение к ее хозяину.С развитием производства и торговли люди убедились в том, что не всегда удобно измерять расстояние шагами или прикладыванием локтя.Кроме того, такое измерение уже не удовлетворяло возросшим требованиям точности. В самом деле, длина локтя или шага у разных людей различна, а мера длины должна быть постоянной. Постоянные образцы мер стали изготовлять из деревянных линеек и металлических стержней. Образцы мер в настоящее время называются эталонами.Старой русской мерой длины был аршин (от персидского слова «арш»- «локоть») =71 см. Отсюда поговорка «Мерить на свой аршин». Аршин делился на 16 вершков. Когда говорили о росте человека, то указывали лишь, на сколько вершков он превышает 2 аршина. Поэтому слова «человек 12 вершков роста» означали, что его рост равен 2 аршинам 12 вершкам, то есть 196 см. 3 аршина составляли сажень, 500 саженей - версту, 7 вёрст – милю. Таким образом, при раздроблении и превращении приходилось умножать или соответственно делить на разные числа:16, 3, 500, 7, а это было не очень удобно.Русские меры длины были уточнены в 18 веке указом Петра I:1 миля = 7 вёрст » 7,469км,1 верста = 500 саженей » 1,0668км,1сажень = 3 аршина = 7 футов » 2,1336м,1аршин = 16 вершков » 0,7112м,1 фут = 12 дюймов » 30,48см,1 дюйм = 10 линий » 2,54см,1 линия = 10 точек » 2,54мм.Миля (от латинского слова милия – тысяча (шагов)) – русская мера длины. Использовалась как единица для измерения больших расстояний, равна семи верстам или 7,468 км.Говорят, «Хозяйство развивается семимильными шагами», то есть очень быстро и хорошо.Верста - от слова вертеть. Первоначально – расстояние от одного поворота плуга до другого во время пахоты. Длина версты - 1060 м. Верста, как мера длины, на Руси встречается с 11 века.Коломенская верста – «верзила» - шутливое название очень высокого человека. Она берёт своё начало со времён царя Алексея Михайловича, царствовавшего с 1545 по 1576 год. Он повелел расставить вдоль дороги, ведшей от Калужской заставы Москвы до летнего дворца в селе Коломенском, столбы с ордами наверху на расстояние 700 саженей друг от друга. Высота каждого из них была равна приблизительно двум саженям (4метра).Межевая верста существовала на Руси до 18 века для определения расстояния между населенными пунктами и для межевания (от слова межа – граница земельных владений в виде узкой полосы). Длина такой версты 1000 саженей, или 2,13 км.Позднее, при Петре I, была введена верста длиной 500 саженей, именно на таком расстоянии друг от друга ставили вдоль дорог столбы. В начале 19 века вдоль основных дорог России появились черно – белые полосатые столбы. Отсюда название - столбовая дорога. Со второй половины 19 столетия на всех столбах, расставленных вдоль железной дороги от Петербурга до Москвы, расстояния стали обозначать в верстах.Верста длиной в 500 саженей, как мера длины, сохранилась в России до введения метрической системы.ГОВОРЯТ, «Москва верстой далека, а сердцу рядом».«Любовь не верстами меряется». «От слова до дела - целая верста». «Верстой ближе, пятаком дешевле». «На версту отстанешь, на десять не догонишь». «Семь верст молодцу не крюк». «Его за версту видно» - о хорошем или плохом человеке, дела которого заметны далеко.Для измерения площадей применялись квадратные меры: сажень, аршин, фут, дюйм, вершок. Основной земельной мерой, начиная с 16 века, служила десятина, равная 2400 кв. саженей 1,1 га.Десятина – мера земельной площади – десятая часть. В старину десятую часть доходов отдавали церкви. Введена в обиход в 16 веке. В России существовали различные виды десятины. Они отличались друг от друга как по площади, так и названием. В словаре В.Даля приводятся следующие виды десятины:казенная – тридцатка или сороковка: 80 умножить на 30 = 2400 кв. саженей или 60 на 40 = 2400 кв. саженей;круглая: 60 умножить на 60 = 3600 кв. саженей;сотенная: 100 умножить на 100 = 10000 кв. саженей;астраханская: 100 умножить на 10 = 1000 кв. саженей;бахчевая: 80 умножить на 10 = 800 кв. саженей.В 18 – 19 веках пользовались владельческой (хозяйственной) десятиной. Её площадь равна, 80 умножить на 40 = 3200 (кв. саженей).Говорят, «Перемерял журавль десятину, говорит: верно».Объёмы жидких тел (масло, мёд, молоко и т. п.) и сыпучих тел (зерно, мука и т.п.) люди с древних времён измеряли особыми сосудами. На Руси мерой зерна была кадь, вмещавшая 14 пудов ржи (1пуд 16,38 кг). В 17 веке основной мерой становится четверть, вмещавшая около 6 пудов ржи. В первой половине 19 века была установлена следующая система мер сыпучих тел:1четверть = 8 четвериков » 209,91 л,1четверик = 8 гарнец » 26,239 л,1 гарнец = 200,15 куб. дюймов » 3,228 л.Тогда же была установлена система мер жидкости:1 бочка = 40 вёдер » 491,96 л,1ведро = 10 штофов » 12, 299 л,1штоф = 2 бутыли » 1,2299 л,1 бутыль = 5 соток (чарок) » 0,651 л,1сотка (чарка) = 2 шкалика » 0,123 л.Система русских мер веса, общепринятая с 18 века, была следующая:1ласт = 72 пуда » 1,179 т,1берковец = 10 пудов » 1,636 Ц.,1пуд = 40 фунтов » 16,38 кг,1фунт = 32 лота » 409,512 г,1 лот = 3 золотника » 12, 797 г,1золотник = 96 долей » 4,266 г.Золотник – старинная русская мера веса (массы), около 4,3 г. Происхождение слова «золотник» не ясно. Предполагается, что оно происходит от слова златник – название монеты во время правления князя Владимира Святославича (10 век). С конца 16 века служил единицей веса драгоценных металлов и камней. Равен 1/96 фунта.До 1927 года в России была принята золотниковая система определения содержания драгоценных металлов (платина, золото, серебра) в сплаве (проба). Например, 1 фунт сплава серебра 84-й пробы содержит 84 золотника или 84 умножить на 4,3 = 361,2 (г) чистого серебра.Говорят, «Мал золотник, да дорог» - о чем-нибудь незначительном на вид, но очень ценном. «Здоровье (слава) приходит золотниками, а уходит пудами». «Мал золотник, да золото им весят, велик верблюд, да воду на нем возят». «Беда (горе, несчастье, недоля) приходит пудами, а уходит золотниками».Пуд - старинная русская мера веса (массы), равная 40 фунтам или 16 килограммам.Говорят, «Зёрнышко пуд бережет», «Человека узнаешь, когда с ним пуд соли съешь», «Сено – на пуды, а золото – на золотники», т. е. каждая вещь имеет свою определенную ценность. «Пудовое горе с плеч свалишь, а золотниковым подавишься», т. е. не следует пренебрегать даже ничтожной опасностью.Фунт (от немецкого слова пфунд или латинского пондус – вес, тяжесть, гиря) - старая русская мера веса (массы). Он равен 409,5г или 96 золотникам.Аптекарский фунт содержит 358,8 г.Как и аршин, в дореволюционной России почти в каждой губернии существовал свой фунт. Например, были нижегородский, астраханский и другие фунты, значительно отличающиеся друг от друга по весу. Для устранения разнобоя в определении веса различных предметов был введён казанный фунт. Его копии - обыкновенные гири, с впаянным или обозначенным на корпусе государственным клеймом выдавались всем предприятиям, где происходило взвешивание.Говорят: «Вот так фунт!», - выражая разочарование или удивление. «Это тебе не фунт изюму», - шутливое выражение о каком – нибудь непростом деле. «Фунт пуду должен уступить», т. е. надо иметь уважение к старшим, более сведущим, опытным.На практике между массой и весом долгое время не делали различия, поэтому килограмм применяли для измерения веса, а также его принимали за единицу массы. Разграничение единицы массы и веса установлено в 1901 году. За единицу массы один килограмм в настоящее время принимают массу эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов.В древности мера веса часто совпадала с мерой стоимости товара, т.е. с денежной единицей. Это объясняется тем, что деньги выражались в весе серебра или золота. У вавилонян денежная единица «шекель» (слово, означавшее «весомое») была и единицей веса. У римлян «асс» служил единицей веса и денег. Следы такого совмещения единиц остались и поныне, например, в названии английской денежной единицы «фут стерлингов». В Древней Руси основная весовая единица гривна служила одновременно и денежной единицей. Гривна – слиток серебра, вес которого был приблизительно равен позднейшему фунту, содержащему 96 золотников. Во второй половине 13 века гривну стали рубить пополам, и новый слиток вполовину денежной гривны, названный рублём, стал в 15 веке основной денежной единицей.Согласно летописи, от маленьких монет, выпущенных в 16 веке, с рисунком всадника с копьём происходит название «копейка».При Петре I появились гривенники (десятикопеечные монеты) и полтинники (пятидесятикопеечные монеты).Метрическая система мер родилась во Франции. Одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана во Франции приняли за основную меру длины и назвали метром (от греческого слова «метром», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учёными П.А. Мишенном (1744 – 1804) и Ж.Б. Деламбром (1749 – 1822), был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Идея применить в качестве эталона длины часть земного меридиана родилась в России ещё в самом начале 18 века. В 1719 году Пётр I особым указом поручил Я.Брюсу провести измерение части дуги меридиана по льду Ладожского озера. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер оказалась связанной с десятичными дробями. Единица измерения площадей – квадратный метр, объемов – кубический метр. Мера веса и другие были связаны с мерой длины таким образом: за основную меру веса принят 1 килограмм, равный весу 1 куб. дм воды при температуре 4 градуса, т.е. при наибольшей плотности. Основная мера вместимости 1литр, равен он по объему одному кубическому дециметру. Благодаря своим преимуществам метрическая система мер распространилась во второй половине 19 века далеко за приделы Франции. Так эти меры попали в Россию.

м

е

р

а

г

р

е

х

а

Расстояние до кумы

4.Ограниченные функции.

Определение: Функция f, определённая на множестве Х, называетсяограниченнойна множестве Х1Х, если f (x1), т.е. множество её значений на множестве Х1, ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, что для всех значений x из Х1 выполняется неравенство

m ≤f(x)≤M.

В противном случае функция называется неограниченной.

Функция y=f(x) называетсяограниченной сверху (снизу)на промежутке Х, если существует такое число k, что для всехвыполняется неравенство f(x)≤k (f(x)≥k).

Функцияограничена снизу, если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой y=m;

Функцияограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=M.

«Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

«Мера»

Расстояние

5.Максимум функции.

Определение: Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция у =f (x) имеетмаксимумв точке x0, если существует такая б – окрестность точки x0, что при x0 – б <х< x0 + б выполняется неравенство f (x) < f(x0),т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x0.

«Пересев хуже недосева», - издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга.

Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить её графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

у у f(a)- максимум

р

о

ж

а

й

ах

плотность посева

«Недосол на столе – пересол на спине». Качество пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли – невкусно, много – тоже в рот не возьмёшь. А где-то в промежутке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье становится особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция достигаетмаксимума. Малейший щепотью соли больше или меньше – и дегустатор с утончённым вкусом скажет, что качество пищи снизилось.

6.Вогнутость и выпуклость функции.

«Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица заслуживает того, чтобы быть включённой в правила научной организации труда. Тем более что за ней так и видится графическое выражение.

Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На нее тоже есть своя пословица:

«Горяч на почине, да скоро остыл».

р

р а

а б

б о

о т

т а

а

время время

Обе функции, представленные на графиках зависящими от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.

Рост одной функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называетсявогнутостью. Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента.

Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называетсявыпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента.

7.Периодичность функции.

Определение: Функция y = f(x) называетсяпериодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f (x + T) = f(x) = f(x – T). Число Т называется периодом функции y = f(x).

«Это сказка про белого бычка». Так говорят, когда

какое-то дело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.

Поговорку знают все, но не каждый знает, как рассказывается сказка. Важная деталь рассказа – реакция слушателя. Сказка представляет собой диалог:

- Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Расскажи.

- Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Так давай же!

- Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Ну хватит!

- Ты ну хватит… и так далее.

Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют цитированием первых слов песни «У попа была собака». Ради полноты приведём и её.

«У попа была собака. Он её любил. Она съела кусок мяса. Он её убил. И в землю закопал. И надпись написал: «У попа была собака. Он её любил…» и так далее.

Белый бычок и поповская собака нужны нам для разговора о периодических функциях, для уяснения математического понятия периода и тех искажений, которые привносятся в него обыденной речью.

Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Достаточно сравнить между собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни возьми, она обязательно повториться через 89 букв. Про первый текст такого не скажешь.

В обыденной речи утвердилось выражение «период солнечной активности». Если бы все явления на Солнце подчинялись строгой периодичности, их можно было бы предсказывать на сколь угодный долгий срок. Стала бы не нужна всемирная служба Солнца с её круглосуточными наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится количество солнечных пятен, интенсивность солнечных вспышек и т.п.

Прекрасные примеры периодических функций даёт тригонометрия: синус, косинус, тангенс… Для синуса и косинуса период составляет 3600, для тангенса – 1800.

Заключение.

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.

Точно также облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.

Литература:

1.Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9 кл.:

Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2004.

2.Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.

4. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. –М.

5. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО «Столетие», 1995

superbotanik.net

Свойства функций в пословицах и поговорках

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7 г. Соль – Илецка

Оренбургской области»

Муниципальное образовательное учреждение

дополнительного образования детей

«Центр детского творчества Соль – Илецкого района

Оренбургской области»

Реферат по математике:

Свойства функций

в пословицах и поговорках.

(помещен на сайте http: // portfolio.1 september.ru Интернет – фестиваля исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио», проводимом Издательским Домом « Первое сентября»)

Работа ученицы 9а класса,

члена ДТО «Юный математик»

при Центре детского творчества

Соль – Илецкого района

Ивасюк Виктории Сергеевны.

Проверила :

учитель математики школы № 7,

руководитель ДТО «Юный математик»

Кузнецова Надежда Васильевна.

г. Соль – Илецк

2007г.

Содержание:

1. Введение _____________________________стр. 3

2. Из истории возникновения функций.

3. Свойства функций в пословицах

и поговорках __________________________стр. 6

4. Заключение ___________________________стр. 13

5. Литература ____________________________стр. 14

Введение.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

Например, в соотношении y = х2 геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y = x2 и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y = x2 увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

^

Определение функции.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: « Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

В школьном учебнике математики дается следующее определение функции:

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции.

Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился. Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».

^

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

1. ^ .

Определение: Функция y= f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 f(x1)

f(x2)).

Иными словами, функция возрастает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

«^ », - гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги.

График представит количество дров как функцию пути.

Количество

дров

Продвижение в лес

Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

2. ^ .

«^ ». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими.

Качество

каши

Количество масла

3. ^

Иными словами, функция убывает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

«^ ».

Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.

м

е

р

а

г

р

е

х

а

Расстояние до кумы

4.Ограниченные функции.

Определение: Функция f, определённая на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х1 Х, если f (x1), т.е. множество её значений на множестве Х1, ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, что для всех значений x из Х1 выполняется неравенство

m ≤f(x)≤M.

В противном случае функция называется неограниченной.

Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке Х, если существует такое число k, что для всех выполняется неравенство f(x)≤k (f(x)≥k).

Функция ограничена снизу, если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой y=m;

Функция ограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=M.

«^ ». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

«Мера»

Расстояние

5. Максимум функции.

Определение: Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция у =f (x) имеет максимум в точке x0, если существует такая б – окрестность точки x0, что при x0 – б

«^ », - издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга.

Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить её графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

у у f(a)- максимум

р

о

ж

а

й

а х

плотность посева

«^ ». Качество пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли – невкусно, много – тоже в рот не возьмёшь. А где-то в промежутке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье становится особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает максимума. Малейший щепотью соли больше или меньше – и дегустатор с утончённым вкусом скажет, что качество пищи снизилось.

6. ^

Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На нее тоже есть своя пословица:

«^ ».

р

р а

а б

б о

о т

т а

а

время время

Обе функции, представленные на графиках зависящими от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.

Рост одной функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называется вогнутостью. Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента.

Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента.

6. ^

«^ ». Так говорят, когда

какое-то дело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.

Поговорку знают все, но не каждый знает, как рассказывается сказка. Важная деталь рассказа – реакция слушателя. Сказка представляет собой диалог:

- Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Расскажи.

- Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Так давай же!

- Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Ну хватит!

- Ты ну хватит… и так далее.

Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют цитированием первых слов песни «^ ». Ради полноты приведём и её.

«У попа была собака. Он её любил. Она съела кусок мяса. Он её убил. И в землю закопал. И надпись написал: «У попа была собака. Он её любил…» и так далее.

Белый бычок и поповская собака нужны нам для разговора о периодических функциях, для уяснения математического понятия периода и тех искажений, которые привносятся в него обыденной речью.

Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Достаточно сравнить между собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни возьми, она обязательно повториться через 89 букв. Про первый текст такого не скажешь.

В обыденной речи утвердилось выражение «период солнечной активности». Если бы все явления на Солнце подчинялись строгой периодичности, их можно было бы предсказывать на сколь угодный долгий срок. Стала бы не нужна всемирная служба Солнца с её круглосуточными наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится количество солнечных пятен, интенсивность солнечных вспышек и т.п.

Прекрасные примеры периодических функций даёт тригонометрия: синус, косинус, тангенс… Для синуса и косинуса период составляет 3600, для тангенса – 1800.

Заключение.

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.

Точно также облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.

Литература:

1.Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9 кл.:

Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2004.

2.Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.

4. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. –М.

5. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО «Столетие», 1995

База данных защищена авторским правом © kursovaya-referat.ru 2017При копировании материала укажите ссылку

kursovaya-referat.ru

Свойства функций в пословицах и поговорках

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7 г. Соль – Илецка

Оренбургской области»

Муниципальное образовательное учреждение

дополнительного образования детей

«Центр детского творчества Соль – Илецкого района

Оренбургской области»

Реферат по математике:

Свойства функций

в пословицах и поговорках.

(помещен на сайте http: // portfolio.1 september.ru Интернет – фестиваля исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио», проводимом Издательским Домом « Первое сентября»)

Работа ученицы 9а класса,

члена ДТО «Юный математик»

при Центре детского творчества

Соль – Илецкого района

Ивасюк Виктории Сергеевны.

Проверила :

учитель математики школы № 7,

руководитель ДТО «Юный математик»

Кузнецова Надежда Васильевна.

г. Соль – Илецк

2007г.

Содержание:

1. Введение _____________________________стр. 3

2. Из истории возникновения функций.

Определение функции ___________________стр. 4

3. Свойства функций в пословицах

и поговорках __________________________стр. 6

4. Заключение ___________________________стр. 13

5. Литература ____________________________стр. 14

Введение.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

Например, в соотношении y = х2 геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y = x2 и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y = x2 увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

Из истории возникновения функций.

Определение функции.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: « Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

В школьном учебнике математики дается следующее определение функции :

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией , если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом , а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции .

Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции.

Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился. Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».

Свойства функции в пословицах и поговорках.

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

1. Возрастание функции .

Определение : Функция y= f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)< f(x2) (короче: x1<x2 => f(x1 ) <

f(x2)).

Иными словами, функция возрастает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

«Чем дальше в лес, тем больше дров », - гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги.

График представит количество дров как функцию пути.

Количество

дров

Продвижение в лес

Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

2. Неубывающая функция .

Определение : Если для любых х1 и х2 из множества Х таких, что х1 <х2 , справедливо неравенство f(x1) ≤ f(x2) , то функцию f(x) называют неубывающей на множестве Х.

«Каши маслом не испорт ишь ». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими.

Качество

каши

Количество масла

3. Убывающая функция .

Определение : Функция y= f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)> f(x2) (короче: x1<x2 => f (x1) > f(x2)).

Иными словами, функция убывает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

«Дальше кумы – меньше греха ».

Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.

м

е

р

а

г

р

е

х

а

Расстояние до кумы

4.Ограниченные функции.

Определение : Функция f, определённая на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х1 Х, если f (x1 ), т.е. множество её значений на множестве Х1, ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, что для всех значений x из Х1 выполняется неравенство

m ≤f(x)≤M.

В противном случае функция называется неограниченной.

Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке Х, если существует такое число k, что для всех выполняется неравенство f(x)≤k (f(x)≥k).

Функция ограничена снизу , если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой y=m;

Функция ограничена сверху , если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=M.

«Выше меры конь не скачет ». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

«Мера»

Расстояние

5. Максимум функции .

Определение : Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция у =f (x) имеет максимум в точке x0, если существует такая б – окрестность точки x0, что при x0 – б <х< x0 + б выполняется неравенство f (x) < f(x0),т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x0.

«Пересев хуже недосева », - издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга.

Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить её графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

у у f(a)- максимум

р

о

ж

а

й

а х

плотность посева

«Недосол на столе – пересол на спине ». Качество пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли – невкусно, много – тоже в рот не возьмёшь. А где-то в промежутке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье становится особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает максимума . Малейший щепотью соли больше или меньше – и дегустатор с утончённым вкусом скажет, что качество пищи снизилось.

6. Вогнутость и выпуклость функции .

«Не круто начинай, круто кончай ». Эта пословица заслуживает того, чтобы быть включённой в правила научной организации труда. Тем более что за ней так и видится графическое выражение.

Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На нее тоже есть своя пословица:

«Горяч на почине, да скоро остыл ».

р

р а

а б

б о

о т

т а

а

время время

Обе функции, представленные на графиках зависящими от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.

Рост одной функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называется вогнутостью . Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента.

Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью . Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента.

7. Периодичность функции.

Определение : Функция y = f(x) называется периодической , если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f (x + T) = f(x) = f(x – T). Число Т называется периодом функции y = f(x).

«Это сказка про белого бычка ». Так говорят, когда

какое-то дело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.

Поговорку знают все, но не каждый знает, как рассказывается сказка. Важная деталь рассказа – реакция слушателя. Сказка представляет собой диалог:

- Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Расскажи.

- Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Так давай же!

- Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Ну хватит!

- Ты ну хватит… и так далее.

Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют цитированием первых слов песни «У попа была собака ». Ради полноты приведём и её.

«У попа была собака. Он её любил. Она съела кусок мяса. Он её убил. И в землю закопал. И надпись написал: «У попа была собака. Он её любил…» и так далее.

Белый бычок и поповская собака нужны нам для разговора о периодических функциях, для уяснения математического понятия периода и тех искажений, которые привносятся в него обыденной речью.

Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Достаточно сравнить между собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни возьми, она обязательно повториться через 89 букв. Про первый текст такого не скажешь.

В обыденной речи утвердилось выражение «период солнечной активности». Если бы все явления на Солнце подчинялись строгой периодичности, их можно было бы предсказывать на сколь угодный долгий срок. Стала бы не нужна всемирная служба Солнца с её круглосуточными наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится количество солнечных пятен, интенсивность солнечных вспышек и т.п.

Прекрасные примеры периодических функций даёт тригонометрия: синус, косинус, тангенс… Для синуса и косинуса период составляет 3600 , для тангенса – 1800 .

Заключение.

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.

Точно также облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.

Литература:

1.Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9 кл.:

Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2004.

2.Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.

4. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. –М.

5. Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. – М.: АО «Столетие», 1995

www.yurii.ru

Свойства функций в пословицах и поговорках

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7 г. Соль – Илецка

Оренбургской области»

Муниципальное образовательное учреждение

дополнительного образования детей

«Центр детского творчества Соль – Илецкого района

Оренбургской области»

Реферат по математике:

Свойства функций

в пословицах и поговорках.

(помещен на сайте http: // portfolio.1 september.ru Интернет – фестиваля исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио», проводимом Издательским Домом « Первое сентября»)

Работа ученицы 9а класса,

члена ДТО «Юный математик»

при Центре детского творчества

Соль – Илецкого района

Ивасюк Виктории Сергеевны.

Проверила :

учитель математики школы № 7,

руководитель ДТО «Юный математик»

Кузнецова Надежда Васильевна.

г. Соль – Илецк

2007г.

Содержание:

1. Введение _____________________________стр. 3

2. Из истории возникновения функций.

Определение функции ___________________стр. 4

3. Свойства функций в пословицах

и поговорках __________________________стр. 6

4. Заключение ___________________________стр. 13

5. Литература ____________________________стр. 14

Введение.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

Например, в соотношении y = х2 геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y = x2 и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y = x2 увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

Из истории возникновения функций.

Определение функции.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: « Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

В школьном учебнике математики дается следующее определение функции :

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией , если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом , а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции .

Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции.

Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился. Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».

Свойства функции в пословицах и поговорках.

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

1. Возрастание функции .

Определение : Функция y= f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)< f(x2) (короче: x1<x2 => f(x1 ) <

f(x2)).

Иными словами, функция возрастает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

«Чем дальше в лес, тем больше дров », - гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги.

График представит количество дров как функцию пути.

Количество

дров

Продвижение в лес

Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

2. Неубывающая функция .

Определение : Если для любых х1 и х2 из множества Х таких, что х1 <х2 , справедливо неравенство f(x1) ≤ f(x2) , то функцию f(x) называют неубывающей на множестве Х.

«Каши маслом не испорт ишь ». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими.

Качество

каши

Количество масла

3. Убывающая функция .

Определение : Функция y= f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)> f(x2) (короче: x1<x2 => f (x1) > f(x2)).

mirznanii.com

Смотрите также

• 
  Реферат на тему выдающиеся ученые русисты
• 
  Лицензирование пассажирских перевозок автомобильным транспортом реферат
• 
  Питание беременных и кормящих матерей реферат
• 
  Древнейшие поселения земледельцев и скотоводов реферат
• 
  Реферат на тему симметрия вокруг нас
• 
  Мир природы в народном творчестве реферат
• 
  Реферат русская правда как исторический источник
• 
  Реферат на тему борьба за существование
• 
  Инородные тела верхних дыхательных путей реферат
• 
  Живой организм как среда жизни реферат
• 
  Влияние спорта на здоровье человека реферат