Разделы: Математика
Цели:
Тип: комбинированный.
Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!
Марсилио Сичино
1. Поговорим об измерениях.
«...Потом Мэри Поппинс поставила градусник себе самой, подержала его одно мгновение и вытащила. «Полное совершенство во всех отношениях», - прочитала она, и самодовольная улыбка заиграла на ее лице...»
Трудно сказать, в каких единицах Мэри Поппинс измерила свое совершенство, поэтому мы поговорим о более простом и привычном, а именно об измерении ...
И тема урока сегодня: Длина отрезка. Единицы измерения.
В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением длины высот, расстояний. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.
Один средневековый философ Марсилио Сичино сказал: «Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» Конечно, измерить самого себя и стать настоящим Геометром, настоящим Садовником, настоящим Поэтом и вообще Настоящим очень трудно. Но если говорить о чем-то более простом, то с уверенностью можно сказать что каждому человеку, научившемуся считать и писать, неоднократно приходилось что-то измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка, время бега и многое другое.
И все же давайте подумаем над вопросом: «что значит – измерить какую-то величину?»
2. Единицы измерения длины в разное время и странах.
Любые измерения производят в каких-то единицах: длины – измеряют в единицах длины, вес – в единицах веса и т.д. С незапамятных времен человеку приходилось измерять расстояния в связи с изготовлением простейших орудий труда, со строительством жилищ и с добыванием пищи.
За свою историю человечество придумало огромное количество всевозможных единиц, причем каждый народ имел свои. Как известно, герои одного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. Для обитателей тропического леса, в котором живет попугай, эта единица ни чуть не хуже других. Но длина в попугаях ничего не скажет жителям тайги.
Эта история из мультфильма не такая уж нелепая. Правители разных стран любили устанавливать свои меры, часто связанные с собственной персоной. Например, английский король Генрих I ввел в качестве единиц длины ЯРД – расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой руки.
Более демократична по происхождению другая английская единица длины ФУТ, что по-английски означает «ступня». 16 англичан выстраивались в цепочку таким образом, что каждый следующий касался концами пальцев своих ног пяток предыдущего. 1/16 такой цепочки и составляла 1 фут.
На Руси в старину мерами длины были ШАГ,
ПЯДЬ: Малая пядь равнялась расстоянию между концами растянутых пальцев, большего и указательного (~19 см), большая пядь – расстояние между раздвинутым большим пальцем и мизинцем (~ 23 см),
ЛАДОНЬ – ширина кисти руки, ЛОКОТЬ – расстояние от локтя до конца среднего пальца.
Большие расстояния измерялись ПОЛЕТОМ СТРЕЛЫ. Несколько позже появился АРШИН, с персид. - локоть (? 71 см), существовал персидский аршин, турецкий аршин и др., отсюда и появилась поговорка «Мерить на свой аршин».
Аршин делился на 16 вершков, 3 аршина составляли САЖЕНЬ – расстояние от ступни до конца среднего пальца вытянутой руки,
500 саженей – составляли ВЕРСТУ (или поприще), 7 верст – МИЛЮ. Таким образом, при раздроблении и превращении приходилось умножать, соответственно делить на разные числа: 16, 3, 500, 7... Между тем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации.
Метрическая система мер отвечает этим требованиям. Но о ней мы сегодня говорить не будем, вы можете узнать о ней на уроках физики.
Немного лишь скажу о происхождении метра. Известно, что Земля почти шарообразна. Большие окружности, проходящие через полюсы, - это земные меридианы. Четверть меридиана (расстояние от полюса до экватора) была определена и разделена на 10 000 000. Одну эту часть приняли (во Франции) за основную меру длины и назвали метром (от греч. слова «метрон» - мера).
Многим известно старинное пожелание морякам: «Семь футов под килем!»
А сколько это будет аршин; метров?
3. Эталоны.
С развитием производства и торговли люди убедились в том, что не всегда удобно измерять расстояния шагами или прикладыванием локтя. Кроме того, такое измерение уже не удовлетворяло возросшим требованиям точности. В самом деле, длина локтя или шага у разных людей различная, а мера длины должна быть постоянной. Постоянные образцы мер стали изготавливать из деревянных линеек и металлических стержней.
Образцы мер в настоящее время называются эталонами.
На следующих рисунках представлены - эталон метра и футляры, в которых он хранился.
Вернемся к вопросу, заданному в начале: «Что значит измерить?»
Коротко можно ответить так: «Измерить – значит сравнить с эталоном».
4. Свойства длины отрезка.
Попробуем выяснить некоторые правила длины:
- начертите отрезки длиной 2,5 см, 5 см, -2 см.
Вот и первое правило: Длина отрезка выражается положительным числом.
- Начертите два равных отрезка, измерьте их длины, сравните.
- Начертите еще два равных отрезка, измерьте и сравните.
Вот и второе: Равные отрезки имеют равные длины.
- Начертите отрезок АВ, между точками А и В поставьте точку С, что получилось? Измерьте АС и СВ, найдите сумму, измерьте АС. Что получили?
И третье: Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
5. Инструменты.
- А чем мы обычно измеряем? Сравниваем?
К древнейшим геометрическим инструментам относятся циркуль и линейка. Употребление линейки берет свое начало с незапамятных времен. Циркуль был изобретен значительно позже. Фигуры папируса Ахмеса, например, свидетельствует о применении линейки, но не циркуля. Согласно римскому поэту Овидию (I век) циркуль был изобретен в древней Греции.
В техническом черчении употребляют масштабную миллиметровую линейку. Для измерения диаметра трубки используют штангенциркуль.
Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой.
«Рулетка» - термин французского происхождения (rouler – свертывать, катать).
6. Решение задач.
В книге Памелы Л. Трэверс «Мэри Поппинс» в одном из эпизодов Кошка задает вопросы Королю. «Первый вопрос: «Высоко ли до неба?» Король удовлетворенно хмыкнул. Это был вопрос как раз в его вкусе, и он улыбнулся с видом превосходства.
- Ну, конечно, - начал он, - это понятие относительное, если мы будем измерять высоту над уровнем моря – результат будет один. Если с вершины горы – другой. И приняв все это в расчет, а также определив широту и долготу, учитывая данные метеорологии, психологии, геологии, топологии и болтологии, а также астрономии и физиологии, статистики, лингвистики, беллетристики и мистики, мы можем...»
К сожалению, я вынуждена прервать цитату. Желающие могут прочесть книгу и узнать, чем закончился этот разговор. Как ни странно, но Король прав. Задача измерения весьма трудная, и одной изобретательности не достаточно. Надо многое знать.
Решим и мы несколько задач на измерение отрезков.
1) На отрезке АС поставлена точка В, АВ=4,2 см, ВС=1,3 см. Найдите длину АС.
2) На отрезке АВ лежит точка С, АС=6,1 см, АВ=8,7 см. Найдите длину СВ.
3) На отрезке LS лежат точки K и R так, что К лежит между L и R, LK=3,5 см, LS=9 см и LK=KR. Найти RS.
4) (Устно) Точка М лежит на прямой ЕF между Е и F. Чему равна длина отрезка МF, если EF=7,2 cм, EM=2,2 cм?
7. «Живой метр».
Приятно и полезно уметь не только измерять расстояния без мерной линейки, шагами, но и оценивать их прямо на глаз. Этот навык можно выработать только путем упражнений.
(Выйдя с товарищами на дорогу, наметить какой-нибудь придорожный предмет и прикинуть - сколько до него шагов. Затем все считают шаги, чтобы определить, чья оценка ближе к истинной – тот и выиграл.
Любопытно, что глазомер как будто не зависит от остроты зрения. И близорукие могут точно определять расстояния.
Можно упражняться в глазомерной оценке в любое время года, в любой обстановке.
Вы заметили, что названия мер у разных народов свидетельствуют об их происхождении от различных частей человеческого тела. Например, слово ДЮЙМ (английская и старая русская мера длины ?2,5 см) означает на голландском языке «большой палец». Слово ФУТ, повторимся – «ступня». А шаг, локоть, ладонь!
Хорошо бы каждому из нас обзавестись таким «живым метром», чтобы в случае нужды пользоваться им для измерения.
Полезно помнить, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту – правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да Винчи. Оно позволяет пользоваться нашими «живыми метрами», ведь свой рост знают почти все.
Давайте измерим себя.
Для обмеривания мелких расстояний следует помнить длину своей «четверти», т.е. расстояния между концами расставленных большого пальца и мизинца.
Далее полезно знать длину своего указательного пальца: от основания среднего пальца и от основания большого.
Должно быть известно вам наибольшее расстояние между концами указательного и среднего пальцев. Надо, наконец, знать и ширину своих пальцев.
Вооружившись всеми этими сведениями, вы сможете довольно удовлетворительно выполнять разнообразные измерения буквально голыми руками, даже в темноте.
Измерьте все перечисленные расстояния и запишите в тетрадь.
8. «Не верь глазам своим...» Геометрические иллюзии.
Одна семиклассница делилась со своей подругой-шестиклассницей впечатлениями об уроках геометрии: «Вот чудеса, пришла учительница в класс, нарисовала на доске два равных треугольника, а потом целый урок доказывала нам, что они равны. Никак не пойму: зачем это нужно? Ведь, что фигуры равны, это и так видно». "Чего же тут рассуждать," – думают многие семиклассники, начиная изучать геометрию. «Посмотришь на чертеж, и сразу видно, что доказывать ничего не надо, всё и так видно, что доказывать ничего не надо, всё верно. Глаз не обманет».
Сравните длины отрезков:
А вот два четырехугольника, в них противоположные вершины соединены отрезками.
Сравните длины этих отрезков.
Смотрим дальше.
Установите – прямые, кривые, параллельные ли линии на чертежах?
Мы уже на прошлом уроке сравнивали такие отрезки (иллюзия Мюллера-Лайера):
- Как это называлось?
А вот еще одна иллюзия (Понцо). Какая - синяя или красная черта - длиннее:
- Можно ли решить задачу на основании построенного чертежа?
- Не могут ли наши глаза обманывать нас?
9. Объяснение иллюзий.
Однажды известный математик пытался объяснить своему знакомому поэту, что такое пространство. Тот долго его слушал, а в конце заметил: «Это все не так. Я знаю, что пространство голубое и по нему летают птицы!» К сожалению математики смотрят на пространство более прозаично.
Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур (в пространстве – стереометрия, на плоскости – планиметрия).
С давних пор люди пытались объемные тела изобразить на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских, чтобы чувствовалась глубина пространства. Была разработана научная теория перспективы, позволяющая «обмануть» зрение.
Картинка венгерского художника Виктора Вазарели «Изучение перспективы» - прекрасный тому пример. Линии, уходящие вглубь, сходятся в одной точке, а фигура, находящаяся дальше от нас, изображается в виде формы меньших размеров.
Рассмотрите, как Вазарели с помощью изгибов линий удалось передать вмятины, выпуклости, капли на плоском листе.
Иллюзии рассматривают не только геометры, ими занимаются и физики, и психологи, и художники.
Иштван Орос. Венгерский художник родился в 1951 году. Обучался в Будапеште в Университете Искусств и Дизайна. После окончания обучения в 1975 стал работать в театре художником и участвовал в создании мультипликационных фильмов. Позже стал писать плакаты. В своем творчестве любит использовать иллюзии и визуальные парадоксы.
Жос де Мей (Jos de Mey).
Фламандский художник родился в 1928 году. Обучался в Королевской Академии Искусств в Генте (Бельгия). Около 39 лет преподавал, а после 1968 основным его занятием стало рисование. На многих его работах можно увидеть сову как символ двойственности (по-голландски "сова" является символом теоретических знаний, а также образом глупого человека).Мы воспринимаем окружающее нас как данность: солнечный луч, играющий бликами на поверхности воды, переливы красок осеннего леса, улыбку ребенка... Мы не сомневаемся, что реальный мир именно таков, каким мы его видим. Но так ли это на самом деле? Почему иногда зрение нас подводит? Как мозг человека интерпретирует воспринимаемые объекты?
Иллюзии – это искаженное, неадекватное отражение свойств воспринимаемого объекта. В переводе с латыни слово «иллюзия» означает «ошибка, заблуждение».
На иллюзиях Мюллера-Лайера и Понцо поробуем разобраться. Было предложено много теорий, объясняющих подобные искажения. Одна из более интересных гипотез предполагает, что человек накладывает обе картинки (отрезки) как плоские изображения в перспективе. Стрелочки на концах отрезков, а также схождение косых лучей в одной точке создают признаки перспективы, и человеку кажется, что отрезки расположены на разной глубине относительно наблюдателя.
Учитывая это, зрительная система вынуждена сделать вывод, что они разного размера. Те, которые кажутся удаленными, воспринимаются большими по размеру (вспомните картину В.Вазарели). Косые линии, сходящиеся в одной точке, ассоциируются либо с длинным шоссе, ж/дорожным полотном, на котором лежат два предмета. Зрительные шаблоны, сформированные таким «прямоугольным окружением, и заставляют нас ошибаться при взгляде на рисунки.
Позже мы рассмотрим и те картинки невозможного мира, которые вы уже видели ранее.
- Смогла я хоть немного заставить вас сомневаться в виденном?
Русская поговорка «Лучше один раз увидеть...», как раз и дает возможность осуществляться зрительным иллюзиям.
Иллюзии – результат работы зрительной системы, некий тест. Очень часто люди видят то, что они хотят увидеть. Ищите иллюзии вокруг, и вы больше узнаете о себе.
- Определите самое важное, что вы взяли для себя с урока.
10. Домашняя работа. Выставление оценок.
Стр. 13-16, №25, 33,
Вспомните пословицы, поговорки, в которых фигурируют меры длины.
Найти еще единицы измерения длины, которые не были перечислены на уроке.
Придумать и нарисовать картинку в стиле Вазарели.
Конечно, в этой разработке представлено лишь небольшое количество рисунков урока, в последующем далее списке литературы можно подобрать еще огромное количество иллюстративного материала к уроку.
Литература:
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы
7 класс Глава I Начальные геометрические сведения
Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов
Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.
Луч-часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.
Угол-часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Равные фигуры-фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.
Середина отрезка-точка на отрезке, делящая его пополам.
Биссектриса угла-луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.
Единицы измерения углов: градус, минуты, секунды.
Длина отрезка-количество единиц измерения длины, вмещающихся между двумя концами отрезка.
Градусная мера угла-количество единиц измерения углов, вмещающихся между сторонами угла.
Прямой угол-угол,градусная мера которого равна 900.
Острый угол-угол,градусная мера которого меньше 900.
Тупой угол-угол,градусная мера которого больше 900,но меньше 1800.
Развёрнутый угол-угол,градусная мера которого равна 1800.
Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая,а две других образуют прямую линию.
Свойство: сумма смежных углов равна 1800.
Вертикальные углы-два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.
Свойство: вертикальные углы равны.
Перпендикулярные прямые-прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.
Параллельные прямые-прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Глава II Треугольники
Треугольник-фигура, состоящая из трёх точек, соединённых между собой отрезками.Точки-вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.
Периметр – сумма длин всех сторон.
Теорема(первый признак равенства треугольников): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема: из точки,не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Медиана треугольника- это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника- отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Высота треугольника- перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Равнобедренный треугольник-треугольник, у которого две стороны равные. Равные стороны – боковые, третья сторона – основание.
Равносторонний треугольник- треугольник, у которого все стороны равны.
Свойство:в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Свойство:в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Теорема(второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема(третий признак равенства треугольников): если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Окружность-геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки-центра.
Радиус окружности-отрезок,соединяющий любую точку окружности с её центром.
Хорда-отрезок, соединяющий две любые точки окружности.
Диаметр-хорда, проходящая через центр.
Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.
Основные задачи на построение циркулем и линейкой:
построение отрезка, равного данному
построение угла, равного данному
построение биссектрисы угла
построение середины отрезка
построение перпендикулярных прямых
Глава III Параллельные прямые
При пересечении двух прямых третьей прямо-секущей образуются следующие виды углов:
накрест лежащие углы
односторонние углы
соответственные углы
Теорема(первый признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Теорема(второй признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Теорема(третий признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна углы равна 1800, то прямые параллельны.
Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Теорема:если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Теорема:если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 1800.
Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника
Теорема: сумма внутренних углов треугольника равна 1800.
Внешний угол треугольника-угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.
Остроугольный треугольник-это треугольник, все внутренние углы которого острые.
Тупоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов тупой.
Прямоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов прямой.
Гипотенуза-это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.
Катеты-это стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.
Теорема:в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Теорема:в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Следствие:в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.
Теорема(признак равнобедренного треугольника):если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Теорема(неравенство треугольника):каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Свойство:сумма двух острых углов треугольника равна 900.
Свойство:катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.
Свойство:если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то он лежит напротив угла в 300.
Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Теорема:все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
8 класс. Глава V Четырёхугольники
Многоугольник-фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.
Диагональ-это отрезок, соединяющий две несоседних вершины многоугольника.
Выпуклый многоугольник- это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Теорема:Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*1800.
Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Трапеция-это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.
Равнобедренная трапеция-это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Прямоугольная трапеция-это трапеция, у которой один из углов прямой.
Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Прямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойство: диагонали прямоугольника равны.
Теорема(признак прямоугольника):если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Глава VI Площадь
Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.
Единицы измерения площади: мм2,см2, дм2, м2, ар=100м2, км2 , га=100км2.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.
Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теорема(обр.):если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.
Глава VII Подобные треугольники
Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m1и n1,если отношения их длин равны m:m1= n: n1.
Подобные треугольники- это треугольники,у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Коэффициент подобия- это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Теорема(первый признак подобия треугольников):если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема(второй признак подобия треугольников):если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Теорема(первый признак подобия треугольников):если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.
С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
Синус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к прилежащему .
Котангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к противолежащему .
Глава VIII Окружность
Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.
Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.
Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
9 класс
Средняя линия трапеции- это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Теорема:средняя линия трапеции равна полусумме её оснований и параллельна им.
infourok.ru
Работу выполнила
ученица
7»А» класса
Рекк Юлия.
Проверила учитель
математики
Попова О. В.
Определение угла
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.
∟ВОС – угол с вершиной в точке О и со сторонами ОВ и ОС. Определение развёрнутого угла
Угол называется развёрнутым, если обе его стороны kежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением другой стороны.
∟АВС – развёрнутый угол с вершиной в точке В и со сторонами ВА и ВС.
Понятия внутренней и внешней областей угла
Л
юбой угол разделяет плоскость на 2 части. Если угол неразвёрнутый, то одна из частей называется внутренней, а другая внешней областью этого угла.
Если угол развёрнутый, то любую из двух частей, на которые она разделяет плоскость можно считать внутренней областью угла.
Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, так же называют углом.
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла.
∟СОВ разделен лучом ОА на два угла ∟СОА и ∟ВОА.
Сравнение углов
Чтобы установить, равны углы или нет, нужно наложить один из них на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон.
Если две другие стороны совместятся, то углы полностью совместятся и, значит, они равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого.
На рисунке угол 1 составляет часть угла 2, ∟1∟2.
Неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого угла, поэтому развёрнутый угол больше неразвёрнутого угла. Любые два развёрнутых угла, очевидно, равны.
Неразвёрнутый угол АОВ составляет часть развёрнутого угла СОВ.
Определение биссектрисы угла
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.
∟
1=∟2
Луч I – биссектриса угла hk.
∟
4=∟3.
Луч s является биссектрисой угла mn.
Измерение углов
Измерение углов аналогично измерению отрезков – оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус – угол, равный 1\180 части развёрнутого угла. Эта единица измерения углов была введена много веков назад, ещё до нашей эры. Определённые части градуса носят специальные названия: 1\60 часть градуса называется минутой, 1\60 часть минуты называется секундой. Минуты обозначаются знаком «’», а секунды – знаком «”». Например, угол в 60 градусов, 32 минуты и 17 секунд обозначается так: 60°32’17”.
Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла. Для измерения углов используется транспортир.
Если два угла равны, то градус и его части укладываются в этих углах одинаковое количество раз, т.е. равные углы имеют равные градусные меры.
Если же один угол меньше другого, то в нём градус (или его часть) укладывается меньшее число раз, чем в другом угле, т.е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.
∟
1
Так как градус составляет 1\180 часть развёрнутого угла, то он укладывается в развёрнутом угле ровно 180 раз, т.е. развёрнутый угол равен 180°.
Неразвёрнутый угол меньше развернутого угла, поэтому неразвёрнутый угол меньше 180°.
Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.
∟
АВО+∟СВО=∟АВС
Виды углов
Угол называется прямым, если он равен 90°, острым, если он меньше прямого угла, т.е. меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°, т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого угла.
Измерение углов на местности
Измерение углов на местности производится с помощью специальных приборов. Простейшим из них является астролябия. Она состоит из двух частей: диска, разделённого на градус, и вращающийся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады находятся два узких окошечка, которые используются для установки её в определённом направлении. Для того чтобы измерить угол АОВ на местности, треножник с астролябией ставят так, чтобы отвес, подвешенный к центру диска, находился точно над точкой О. Затем устанавливают алидаду вдоль одной из сторон ОА или ОВ, и отмечают деление, против которого находится указатель алидады. Разность отсчёты и даёт градусную меру угла АОВ.
Измерения углов проводятся в различных исследованиях, например в астрономии при определении положения небесных тел. Очень важно с достаточной точностью измерять углы при определении положения искусственных спутников на орбитах. Для этой цели конструируют специальные приборы. Данные, полученные помощью этих приборов, обрабатываются на компьютерах.
Понятие смежных углов Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
Угол FSV и угол DSV – смежные, так как лучи SF и SD образуют развёрнутый угол. ∟FSV+∟DSV=∟FSD=180°
Сумма смежных углов равна 180°.
Понятие вертикальных углов
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
∟1 и ∟3 – вертикальные, а так же ∟2 и ∟4 тоже являются вертикальными. ∟2 является смежным с ∟1, а так же ∟2 является с ∟3. По свойству смежных углов : ∟1+∟2=180° и ∟2+∟3=180°.
∟1+∟2=180°
∟2=180° -∟1
180° -∟1=180°-∟3 ∟1=∟3
∟2+∟3=180° ∟2=180°-∟3
Работа выполнена по материалам учебника геометрии, 7-9 класс,
Л.С. Атанасян и др.
скачатьnenuda.ru
