Реферат: Теория хаоса:. Реферат теория хаоса

Реферат Теория хаоса

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Основные сведения
2 Понятие хаоса
- 2.1 Чувствительность к начальным условиям
- 2.2 Топологическое смешивание
- 2.3 Тонкости определения
3 Аттракторы
4 Странные аттракторы
5 Простые хаотические системы
6 Математическая теория
7 Хронология
8 Применение
9 Различия между случайными и хаотическими данными

Введение

Диаграмма раздвоения логистической карты, где x → r x (1 - x). Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор определённого значения r. Диаграмма отображает удвоение периода когда r увеличивается, что в конечном итоге производит хаос

Тео́рия ха́оса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием.

Теория хаоса — область исследований, связывающая математику, физику и философию.

1. Основные сведения

Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.

Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются некоторому строгому закону и, в каком-то смысле, являются упорядоченными. Такое использование слова «хаос» отличается от его обычного значения (см. хаос в мифологии). Существует также такая область физики, как теория квантового хаоса, изучающая недетерминированные системы, подчиняющиеся законам квантовой механики.

Пионерами теории считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд и немецкий математик Ю. К. Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера). Теория вводит понятие аттракторов (в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структур), устойчивых орбит системы (т. н. КАМ-торов).

2. Понятие хаоса

Пример чувствительности системы к первоначальным условиям, где x → 4 x (1 — x) и y → x + y, если x + y <1 (иначе x + y — 1). Здесь четко видно, что ряды значений x и y через какое-то время заметно отклоняются друг от друга хотя в первоначальных состояниях отличия микроскопические

В бытовом контексте слово «хаос» означает «быть в состоянии беспорядка». В теории хаоса прилагательное хаотический определено более точно. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:

она должна быть чувствительна к начальным условиям
она должна иметь свойство топологического смешивания
её периодические орбиты должны быть всюду плотными.

Более точное математические условия возникновения хаоса выглядят так:

Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5 (т.е. порядок дифференциального уравнения не менее 3-го).

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре-Бендиксона (Poincaré-Bendixson), непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

2.1. Чувствительность к начальным условиям

Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. Таким образом, произвольно маленькое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).

Чувствительность к начальным условиям более известна как «Эффект бабочки». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой, что в принципе доказывает определённую линейность системы. Но мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, могут и не вызывать цепочку событий.

2.2. Топологическое смешивание

Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание», как пример хаотической системы, соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкости.

2.3. Тонкости определения

Пример топологического смешивания, где x → 4 x (1 — x) и y → x + y, если x + y <1 (иначе x + y — 1). Здесь синий регион в процессе развития был преобразован сначала в фиолетовый, потом в розовый и красный регионы и в конечном итоге выглядит как облако точек, разбросанных поперек пространства

В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей измерения и определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простую динамическую систему, которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии случайным образом будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к бесконечности, и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.

Даже для закрытых систем, чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотрим тор (геометрическая фигура, поверхность вращения которой имеет форму бублика), заданный парой углов (x, y) со значениями от нуля до 2π. Отображение любой точки (x, y) определяется как (2x, y+a), где значение a/2π является иррациональным. Удвоение первой координаты в отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никаких периодических орбит — следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению.

3. Аттракторы

График аттрактора Лоренца для значений r = 28, σ = 10, b = 8/3

Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры. Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности, это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник — пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.

4. Странные аттракторы

Аттрактор Лоренца как диаграмма хаотической системы. Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от первоначальных условий в пределах занятого аттрактором региона

Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющиеся ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трехмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца (Lorenz) - одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является — отображение Рёслера (Rössler), котороя имеет двойной период, подобно логистическому отображению. Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например отображения Хенона (Hénon)). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру. Теорема Пуанкаре–Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

5. Простые хаотические системы

Хаотическими могут быть и простые системы без дифференциальных уравнений. Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. Ещё один пример — это модель Рикера, которая также описывает динамику населения. Клеточный автомат — это набор клеток, образующих некоторую периодическую решетку с заданными правилами перехода. Клеточный автомат является дискретной динамической системой, поведение которой полностью определяется в терминах локальных зависимостей. Эволюция даже простых дискретных систем, таких как клеточные автоматы может сильно зависеть от начальных условий. Стивен Вольфрам исследовал это свойство клеточного автомата и назвал его Правило № 30. Простую модель консервативного (обратимого) хаотического поведения демонстрирует так называемое отображение "кот Арнольда". В математике отображение "кот Арнольда" является моделью тора, которую он продемонстрировал в 1960 году с использованием образа кошки.

Показать хаос для соответствующих значений параметра может даже одномерное отображение, но для дифференциального уравнения требуется три или больше измерений. Теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень стабильное поведение. Zhang и Heidel доказали, что трехмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя переменными не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что решения таких систем являются асимптотическими по отношению к двумерным плоскостям, и поэтому представляют собой стабильные решения.

6. Математическая теория

Теорема Шарковского — это основа доказательства Ли и Йорке (Li and Yorke) (1975) о том, что одномерная система с регулярным тройным периодом цикла может отобразить регулярные циклы любой другой длины так же, как и полностью хаотических орбит. Математики изобрели много дополнительных способов описать хаотические системы количественными показателями. Сюда входят: рекурсивное измерение аттрактора, экспоненты Ляпунова, графики рекуррентного соотношения, отображение Пуанкаре, диаграммы удвоения и оператор сдвига.

7. Хронология

Фрактальный папоротник, созданный благодаря игре хаоса. Природные формы (папоротники, облака, горы и т.д.) могут быть воссозданы через систему повторяющихся функций

Первым исследователем хаоса был Анри Пуанкаре. В 1880-х, при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются и не приближаются к конкретной точке. В 1898 Жак Адамар издал влиятельную работу о хаотическом движении свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны. В своей работе "бильярд Адамара" он доказал, что все траектории непостоянны и частицы в них отклоняются друг от друга с положительной экспонентой Ляпунова. Почти вся более ранняя теория, под названием эргодическая теория, была разработана только математиками. Позже нелинейные дифференциальные уравнения изучали Г. Биргхоф, A. Колмогоров, M. Каретник, Й. Литлвуд и Стивен Смэйл. Кроме С. Смэйла, на изучение хаоса всех их вдохновила физика: поведение трёх тел в случае с Г. Биргхофом, турбуленция и астрономические исследования в случае с А. Колмогоровым, радиотехника в случае с М. Каретником и Й. Литлвудом. Хотя хаотическое планетарное движение не изучалось, экспериментаторы столкнулись с турбуленцией в жидкости и непериодическими колебаниями в радио-схемах, не имея достаточной теории чтобы это объяснить.

Несмотря на попытки понять хаос в первой половине двадцатого столетия, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда для некоторых учёных стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты подобно логистическому отображению. Чтобы заранее исключить неточности при изучении — простые "помехи" в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы. Основным катализатором для развития теории хаоса стала электронно-вычислительная машина. Большая часть математики в теории хаоса выполняет повторную итерацию простых математических формул, которые делать вручную непрактично. Электронно-вычислительные машины делали такие повторные вычисления достаточно быстро, тогда как рисунки и изображения позволяли визуализировать эти системы.

Одним из первых пионеров в теории хаоса был Эдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Погодное Моделирование Лоренц выполнял на простом цифровом компьютере McBee LGP-30. Когда он захотел увидеть всю последовательность данных, тогда, чтобы сэкономить время, он запустил моделирование с середины процесса. Хотя это можно было сделать введя данные с распечатки, которые он вычислил в прошлый раз. К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от погоды, рассчитанной прежде. Лоренц обратился к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округлила переменные до 3 цифр, например значение 0.506127 было напечатано как 0.506. Это несущественное отличие не должно было иметь фактически никакого эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что Метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели. Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашёл повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что Структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была константа — значит ошибки неизбежны и должны быть запланированы. Мандельброт описал два явления: "эффект Ноя", который возникает, когда происходят внезапные прерывистые изменения, например, изменение цен после плохих новостей" и "эффект Иосифа" в котором значения постоянны некоторое время, но все же внезапно изменяются впоследствии. В 1967 он издал работу "Какой длины побережье Великобритании? Статистические данные подобностей и различий в измерениях" доказывая, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он утверждал, что клубок бечевки кажется точкой, если его рассматривать издалека (0-мерное пространство), он же будет клубком или шаром, если его рассматривать достаточно близко (3-мерное пространство) или может выглядеть замкнутой кривой линией сверху (1-мерное пространство). Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения. Объект, изображения которого являются постоянными в различных масштабах ("самоподобие") является фракталом (например кривая Коха или "снежинка”). В 1975 году Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.

Турбулентные потоки воздуха от крыла самолета, образующиеся во время его посадки. Изучение критической точки, после которой система создает турбулентность, были важны для развития теории Хаоса. Например, советский физик Лев Ландау разработал Ландау-Хопф теорию турбулентности. Позже, Дэвид Руелл и Флорис Тейкнс предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность в жидкости могла развиться через странный аттрактор, т.е. основную концепцию теории хаоса

Явления хаоса наблюдали многие экспериментаторы ещё до того, как его начали исследовать. Например, в 1927 году Ван дер Поль, а в 1958 году П. Ивес. 27 ноября 1961 Й. Уэда, будучи аспирантом в лаборатории Киотского университета, заметил некую закономерность и назвал её "случайные явления превращений", когда экспериментировал с аналоговыми вычислительными машинами. Тем не менее его руководитель не согласился тогда с его выводами и не позволил ему представить свои выводы общественности до 1970 года. В декабре 1977 Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум о теории хаоса, который посетили Дэвид Руелл, Роберт Мей, Джеймс А. Иорк, Роберт Шоу, Й. Даян Фермер, Норман Пакард и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году, Митчелл Феидженбом издал статью "Количественная универсальность для нелинейных преобразований", где он описал логистические отображения. М. Феидженбом применил рекурсивную геометрию к изучению естественных форм, таких как береговые линии. Особенность его работы в том, что он установил универсальность в хаосе и применял теорию хаоса ко многим явлениям. В 1979 Альберт Дж. Либчейбр на симпозиуме в Осине, представил свои экспериментальные наблюдения каскада раздвоения, который ведет к хаосу. Его наградили премией Вольфа в физике вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом в 1986 "за блестящую экспериментальную демонстрацию переходов к хаосу в динамических системах". Тогда же в 1986 Нью-Йоркская Академия Наук вместе с национальным Институтом Мозга и центром Военно-морских исследований организовали первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там, Бернардо Уберман продемонстрировал математическую модель глаза и нарушений его подвижности среди шизофреников. Это привело к широкому применению теории хаоса в физиологии в 1980-х, например в изучении патологии сердечных циклов. В 1987 Пер Бак, Чао Тан и Курт Висенфелд напечатали статью в газете, где впервые описали систему самодостаточности (СС), которая является одним из природных механизмов. Многие исследования тогда были сконцентрированы вокруг крупномасштабных естественных или социальных систем. CC стала сильным претендентом на объяснение множества естественных явлений, включая: землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическая эволюция. Учитывая нестабильное и безмасштабное распределение случаев возникновения, странно, что некоторые исследователи предложили рассмотреть как пример CC возникновение войн. Эти "прикладные" исследования включали в себя две попытки моделирования: разработка новых моделей и приспособление существующих к данной естественной системе.

В тот же самый год Джеймс Глеик издал работу «Хаос: создание новой науки», которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса и её хронологию. Теория хаоса прогрессивно развивалась как межпредметная и университетская дисциплина, главным образом под названием анализ нелинейных систем. Опираясь на концепцию Томаса Куна о парадигме сдвига, много " учёных-хаотиков" (так они сами назвали себя) утверждали, что эта новая теория и есть пример сдвига. Доступность более дешевых, более мощных компьютеров расширяет возможности применения теории хаоса. В настоящее время, теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика, топология, физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т.д.).

8. Применение

Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника. В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например электрические схемы, лазеры, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движении спутников солнечной системы, эволюции магнитного поля астрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов в нейронах и молекулярных колебаниях. Есть сомнения о существовании динамики хаоса в тектонике плит и в экономике.

Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы похожие на модель Рикер использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности. В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма. Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности.

9. Различия между случайными и хаотическими данными

Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс — случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого 'сигнала' отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей. Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс на детерминизм необходимо:

выбрать тестируемое состояние;
найти несколько подобных или почти подобных состояний; и
сравнить их развитие во времени.

Погрешность определяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат) или она будет увеличиваться по экспоненте со временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределенную погрешность.

По существу все методы определения детерминизма основываются на обнаружении состояний, самых близких к данному тестируемому (то есть, измерению корреляции, экспоненты Ляпунова, и т.д.). Чтобы определить состояние системы обычно полагаются на пространственные методы определения стадии развития. Исследователь выбирает диапазон измерения и исследует развитие погрешности между двумя близлежащими состояниями. Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность. Кажется, что это сделать просто, но на деле это не так. Во-первых, сложность состоит в том, что, при увеличении диапазона измерения, поиск близлежащего состояния требует намного большего количества времени для вычислений чтобы найти подходящего претендента. Если диапазон измерения выбран слишком маленьким, то детерминированные данные могут выглядеть случайными, но если диапазон слишком большой, то этого не случится — метод будет работать.

Когда в нелинейную детерминированную систему вмешиваются внешние помехи, её траектория постоянно искажается. Более того, действия помех усиливаются из-за нелинейности и система показывает полностью новые динамические свойства. Статистические испытания, пытающиеся отделить помехи от детерминированной основы или изолировать их, потерпели неудачу. При наличии взаимодействия между нелинейными детерминированными компонентами и помехами, в результате появляется динамика, которую традиционные испытания на нелинейность иногда не способны фиксировать.

Литература

Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. 3-е изд. М.: УРСС, 2001.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. М.: УРСС, 2006.

wreferat.baza-referat.ru

Реферат - Теория хаоса - Биология

План

Введение

1. Возникновение и история теории хаоса

2. Порядок и беспорядок

3. Прикладной хаос

4. Основные принципы хаоса (аттракторы и фракталы)

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

6. Хаоса в других науках

7. Последствия хаоса

Вывод

1.Начиная с рубежа 1980-х — 1990-х годов в дискуссиях историков-методологов появилось новое направление, связанное с «наукой о сложном» (complexity sciences). Так принято называть новую междисциплинарную область исследований, в центре внимания которой находятся проблемы исследования систем с нелинейной динамикой, неустойчивым поведением, эффектами самоорганизации, наличием хаотических режимов. Единая наука о поведении сложных систем, самоорганизации в Германии названа синергетикой (Г. Хакен), во франкоязычных странах — теорией диссипативных структур (И. Пригожин), в США — теорией динамического хаоса (М. Фейгенбаум). В отечественной литературе принят преимущественно первый термин, наиболее краткий и емкий.

ТЕОРИЯ ХАОСА — раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.

История теории хаоса. Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта. Эдвард Лоренц в свое время рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем". Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир».

Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: " Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно.

Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму.

Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

В 1926–1927 голландский инженер Б.Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации.

В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть

В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса.

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял — и тоже в 1963 году — американский метеоролог Эдвард Лоренц. Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов — достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат — динамический хаос- есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства — его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа — количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.

2. Порядок и беспорядок

Теория хаоса является достаточно общей, чтобы охватить широкий круг явлений нашего мира и при этом будоражит воображение читателей. Ведь оказалось, что порядок возникает именно из хаоса, а не откуда-нибудь еще! С другой стороны, в современных научных представлениях о хаосе есть много моментов, требующих пристального внимания и углубленного изучения. Пожалуй, вопросов тут больше, чем ответов.

Порядок и беспорядок

Из соображений, которые, возможно, станут ясны ниже, вначале мы обратимся к двум исключительно важным понятиям современной науки: «порядок» и «беспорядок». Обычно нам кажется, что здесь все с самого начала ясно и понятно, но на самом деле это далеко не так. И понятие хаоса, в известной мере, становится интересным и важным именно потому, что только порядком и беспорядком нам тут не обойтись.

Прежде всего – что такое порядок и что такое беспорядок? В каком отношении они находятся друг с другом? И как отличить одно от другого? Вопросы эти, оказывается, отнюдь не тривиальны, в чем мы скоро убедимся.

В повседневной жизни принято полагать, что беспорядок – это отсутствие порядка. Такие понятия встречаются довольно часто, например «холод». Мы употребляем его на каждом шагу и понимаем, что имеется в виду. Более того, мы даже «измеряем» его с помощью термометра. И, тем не менее, холода как такового не существует. Существует тепло, а холод на самом деле является его недостатком. Но мы говорим «холод» так, как будто бы он был чем-то реальным (или, как говорят философы, субстанциальным).

Поясним суть дела на конкретном примере, для чего представим себе письменный стол некоего профессора. Глядя на него, мы, вероятно, решим что все, что находится на нем, свалено в беспорядочную кучу. Однако сам профессор, не глядя, протягивая руку, безошибочно находит нужный ему предмет. И напротив, если уборщица разложит все аккуратными стопками, то профессор не сможет работать так же, как не смогла готовить бабушка в романе Рэя Брэдбери «Вино из одуванчиков» после генеральной уборки, устроенной на кухне тетей.

Может быть, следует признать, что то, что мы привыкли называть беспорядком отнюдь не является отсутствием того, что обычно называют порядком? Впрочем, есть и другой путь: оставить за словом «беспорядок» его привычное значение, и ввести в оборот другой термин для обозначения того, что мы часто, не задумываясь, также называем беспорядком, хотя в действительности имеем в виду нечто совершенно иное.

В последнее время на роль такого понятия все чаще претендует слово «хаос».

Строго говоря, следовало бы различать просто «хаос» и «детерминированный хаос». Что это такое – мы увидим ниже, а пока отметим два момента.

Во-первых, по логике вещей детерминированный хаос должен быть частным случаем хаоса, и в этом смысле следовало бы ввести три термина: общее понятие хаоса и как два его частных случая детерминированный и недетерминированный хаос. Тогда недетерминированный хаос мог бы быть эквивалентом беспорядка, а детерминированный хаос обозначал нечто качественно от него отличное (именно то, о чем у нас пойдет речь).

Во-вторых, как выяснится при углубленном анализе, различие между детерминированным и недетерминированным хаосом в действительности не столь фундаментально, как принято считать, и является скорее методическим, нежели физическим. Поэтому в предлагаемых заметках будем просто говорить о хаосе, уточняя предмет обсуждения там, где это действительно нужно. К тому же простое, лаконичное и емкое слово «хаос» обладает определенной эстетической притягательностью, чего не скажешь о строгом, но длинном и скучном «детерминированный хаос». В конце концов, сказал же Пригожин «Порядок из хаоса», а не «Порядок из детерминированного хаоса».

В античном мире слово «хаос» означало неорганизованное состояние материи, в котором она пребывала до мироздания, и в этом смысле вполне может восприниматься как синонимом слова «беспорядок». Но, вместе с тем, такое понимание заключает в себе нечто, порождающее и другие смыслы. Вероятно, при желании хаос можно было бы назвать сверхпорядком, имея в виду, что он потенциально содержит множество различных порядков, каждый из которых при определенных условиях может актуализоваться, создав свой собственный мир.

Однако вернемся к порядку и беспорядку как таковым. Если мы непредубежденно посмотрим на положение вещей, то увидим, что под порядком часто подразумевают не что иное, как пространственную или пространственно-временную регулярность, в основе которой лежит та или иная симметрия. Именно поэтому, глядя на чужой стол, мы хотим увидеть там симметрично разложенные предметы (к своему собственному столу наше отношение обычно несколько иное).

Здесь необходимо отметить исключительно важный момент. Поведение системы, обладающей регулярной структурой, как правило, может быть предсказано (возможно, на вероятностном уровне), причем именно на основании присутствующих в ней элементов симметрии. Если мы знаем, что карандаши лежат в правом дальнем углу стола, то вряд ли мы обнаружим один из них в левом ближнем. Упорядоченность мира – это как раз то, что позволяет нам ориентироваться в нем. Под таким углом зрения главным общим свойством и беспорядочного, и хаотического состояний системы является то, что мы не можем предсказать ее поведение. В данном случае поведение может иметь как временное, так и пространственное истолкование. В первом случае имеется в виду невозможность сказать, в каком состоянии будет находиться система в заданный момент времени, а во втором, – какой окажется ее пространственная конфигурация.

Возможно, именно наше внутреннее (и не всегда осознаваемое) стремление жить в предсказуемом мире придает привлекательность упорядоченным системам. И то, что хаос, по всей видимости, в плане потенциальных возможностей несравненно богаче порядка, не меняет ситуацию. Вольно или невольно, но мы воспринимаем его как нечто пугающее и чуждое нашему обыденному сознанию.

На интеллектуальном уровне нам более или менее ясно, что упорядоченность системы, чем бы она ни был на самом деле, как-то связана с ее сложностью. Построить дом сложнее, чем разрушить его. Созидание предполагает упорядочение, тогда как разрушение – разупорядочение. Построенный дом обладает элементами, имеющими определенные функциональные роли, а груда обломков – нет.

Но всегда ли сложность является очевидной, и всегда ли она определяется симметрией? Снова вспомним стол профессора: расположение предметов на нем совершенно нерегулярно, но достаточно сложно. Если не верите, то попробуйте объяснить, как профессор находит нужный предмет.

Таким образом, следует признать, что существуют системы, обладающие высоким уровнем сложности, но при этом лишенные видимой регулярности. Нам кажется, что между их элементами отсутствуют связи, и они расположены случайным образом, тогда как на самом деле связи существуют, но слишком сложны для того, чтобы мы их увидели. Поэтому не будет ошибкой сказать, что порядок в обычном смысле – это нечто среднее между беспорядком и хаосом. При желании порядок можно определить как хаос с проявленной структурой, а беспорядок – как отсутствие структуры (как только мы начинаем видеть связи между элементами системы, она становится для нас упорядоченной). Именно поэтому хаос и является самостоятельным и самодостаточным понятием, ведь непроявленность чего-то не означает его отсутствия.

Беспорядок и хаос в системе похожи друг на друга тем, что мы не видим закономерностей в расположении ее элементов. Различие же заключается в том, что в случае беспорядка их действительно нет, а в случае хаоса они существуют, но не в актуальном расположении элементов в текущий момент времени, а в тех внутренних механизмах, которые генерируют это расположение. Причем (и это самое замечательное), такие механизмы физически могут быть реализованы вне системы, например в сознании профессора, знающего, где что лежит на его столе. Именно поэтому предметы на столе представляются беспорядочно лежащими всем, кроме самого профессора, поскольку он один знает принцип их размещения.

3. Прикладной хаос

Очень часто дискутируется вопрос: для чего нужен хаос?

Прежде всего, нельзя недооценивать колоссального мировоззренческого значения этой концепции. Окружающий нас мир полон нелинейных явлений и процессов, правильное представление о которых немыслимо без понимания возможности хаоса, а также связанных с этим принципиальных ограничений на предсказуемость поведения сложных систем. Например, становится вполне очевидной несостоятельность учения об однозначной определенности исторического процесса.

Сказанное не мешает обсуждать возможность использования хаоса в системах различной природы для каких-либо конкретных практических целей или же учета тех последствий, к которым может привести возникновение сложной динамики.

Приведем простой пример — задачу о динамике судна или нефтяной платформы при наличии волнения. В известном приближении, это нелинейная динамическая система с внешним периодическим воздействием. Нормальное, рабочее расположение судна отвечает одному аттрактору системы, перевернутое — другому. Можно задаться вопросом, как расположен и как устроен бассейн притяжения второго аттрактора. Как он зависит от интенсивности волнения? Ясно, что попадание в бассейн притяжения второго аттрактора ведет к катастрофе! Подчеркнем, что только нелинейный анализ обеспечивает всестороннее понимание ситуации, выработку условий и рекомендаций по избежанию катастрофы.

Благодаря динамической природе хаотических режимов и их чувствительности по отношению к малым возмущениям они допускают эффективное управление посредством внешнего контролируемого воздействия. Целью такого воздействия может быть реализация в системе периодического режима вместо хаоса или попадание в заданную область фазового пространства. Эта идея, выдвинутая первоначально группой американских исследователей из университета штата Мериленд, представляется очень перспективной и плодотворной в прикладном плане. К настоящему времени по этому предмету имеется обширная литература, проведено множество международных научных конференций.

Успешные примеры управления хаосом реализованы в механических системах, электронных устройствах, лазерах. В качестве примера можно привести работу, где рассматривается применение методики управления хаосом для того, чтобы направить космический аппарат на Луну. Оказывается, что с помощью малых контролируемых воздействий задачу удается решить с очень существенной экономией топлива, правда, ценой увеличения продолжительности полета.

Другое направление применения идей и методов нелинейной динамики связано с проблемой обработки сигналов. Представим себе, что исследуется удаленный и недоступный объект, так что наши возможности ограничиваются анализом поступающего от него сигнала. За последние годы были предложены методики, позволяющие выяснить, произведен ли сигнал динамической системой, а также получить информацию о свойствах и характеристиках этой системы. Таким образом, аппарат нелинейной динамики превращается в инструмент исследования, позволяющий сделать заключение или предположение о структуре объекта, сконструировать его динамическую модель и т. д. Разработку методов и алгоритмов анализа сигналов можно считать важным направлением нелинейной динамики, непосредственно связанным с возможными приложениями.

Очень высоко оцениваются перспективы использования анализа и обработки сигналов, конструирования моделей, а также методик управления хаосом применительно к проблемам медицины и биологии.

В радиотехнике и электронике известен целый ряд приложений, где необходимы генераторы шумоподобных колебаний, в роли которых могут выступать различные устройства, функционирующие в режиме динамического хаоса. Примерами могут служить генераторы с запаздывающей связью на лампе бегущей волны.

Одно из возможных приложений хаоса состоит в использовании генерируемых динамическими системами хаотических сигналов в целях коммуникации. Благодаря хаотической природе сигналов открываются новые возможности кодирования информации, которая становится труднодоступной для перехвата. Предложен целый ряд схем, обеспечивающих связь на хаотических сигналах, проведены демонстрационные эксперименты.

4.Основные принципы. Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация.

Основным понятием теории хаоса является аттракторы и фракталы.

Аттрактор

(от англ. to attract — притягивать) — геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства.

Четыре аттрактора формируют основную структуру внешнего мира, характер поведения и движения рынка. Теория хаоса находится в полном противоречии с аналитической теорией. Она даем нам новую метафизику. Она концентрируется на происходящем в данный момент, что значительно важнее при анализе рынка. Теория хаоса дает более полную картину, охватывая всю реку-рынок, в ее течении, со всеми неожиданными поворотами и сюрпризами. Умение замечать происходящие изменения в потоке является задачей действенного рыночного анализа и противоядием от догматизма, роковой «болезни» трейдеров. Рынок часто кажется таким же хаотичным, как и наш внутренний мир, наш поток сознания. Чтобы извлечь из этого хаоса какой-либо смысл, мы должны обнаружить базовую структуру для реальности и рынка — несущую структуру, которая вскрывает порядок, лежащий в основе хаоса.

Рынок, как явление реального мира, — основательно беспорядочен и свободен. Хаос правит над предсказуемостью. Простые линейные подходы к торговле на рынке не работают. Рынок бесконечно сложен. Из хаоса всегда рождается более высокий порядок, но этот порядок возникает спонтанно и непредсказуемо. Подобно погоде, фондовый и товарный рынки, а также и другие хаотичные системы, могут порождать непредсказуемые последствия при пренебрежимо малых изменениях в количествах, помноженных на реакцию на них. В настоящее время биржевые игроки используют нелинейные методы в инвестировании и торговле. Фракталы — это новые игрушки рынка. Фракталы это способ самоорганизации рынков. Специфическая фрактальная организация создается при помощи механизмов, которые в науке о хаосе называются аттракторами.

Чтобы использовать мышление для сортировки явлений и научиться понимать смысл происходящего, мы должны, прежде всего, найти основную структуру реальности. Структуру, вскрывающую порядок, который лежит в основе хаоса. Существует четыре нелинейные функции, которые помогают нам определить этот порядок в нашем собственном сознании. Ученые, исследующие хаос, обнаружили, что кажущиеся хаотичными, не подчиняющимися никаким законам процессы, в действительности, следуют скрытому порядку. Порядок, который они открыли, четырехкратный: все внешние явления действуют в соответствии с тем, что они называют четырьмя аттракторами — силами, которые извлекают порядок из беспорядка. Они называются точечным аттрактором, циклическим аттрактором, аттрактором Торас, и странным аттрактором.

Точечный аттрактор — это простейший способ привнести порядок в хаос. Он живет в первом измерении линии, которая составлена из бесконечного числа точек. Под воздействием этого аттрактора человек испытывает склонность к одной деятельности, и отвращение к другой. Это аттрактор первой размерности, и он может использоваться для торговли на рынках.

Характеристика циклического аттрактора — движение взад-вперед, подобно маятнику или циклическому магниту. Он притягивает, затем отталкивает, затем опять притягивает и т.д. Он живет во втором измерении плоскости, которая состоит из бесконечного числа линий. Им характеризуется рынок, заключенный в коридор, где цена движется вверх и вниз в определенном диапазоне в течение некоторого промежутка времени. Этот аттрактор более сложен, чем точечный, и является основной структурой для более сложного поведения. Одна деятельность автоматически ведет к другой в повторяющемся порядке. На рынке зерна это явление носит годичный характер.

Третий, более сложный, вид аттрактора известен как аттрактор Торас. Он начинает сложную циркуляцию, которая повторяет себя по мере движения вперед. Он живет в третьем измерении, которое состоит из бесконечного числа плоскостей. По сравнению с циклическим и точечным аттракторами, аттрактор Торас вводит большую степень беспорядочности, и его модели более сложны. На этом уровне, предсказания носят более точный характер, а модели имеют тенденцию казаться более законченными. Графически он выглядит как кольцо или рогалик. Он образует спиралевидные круги на ряде различных плоскостей, и иногда возвращается сам к себе, завершая полный оборот. Его основная характеристика — повторяющееся действие. Подобные явления можно также наблюдать в стремлении мировых активов к безопасности. Если ставка по государственным бумагам повышается, они привлекают больше инвесторов. Затем повышаются цены на них, что опускает процентную ставку, и делает их менее привлекательными и т. д.

Странный аттрактор из четвертого измерения — самоорганизующий. Это место рождения свободы и понимания, как в действительности работает рынок. То, что поверхностный взгляд воспринимает как абсолютный хаос, в котором не заметно никакого порядка, имеет определенный порядок, базирующийся на странном аттракторе, когда наблюдение ведется из четвертого измерения. Другая характеристика странного аттрактора -это чувствительность к начальным условиям, которая иногда называется «эффектом бабочки». Малейшее отклонение от изначальных условий может привести к огромным различиям в результате. Различия начальных условий при заключении сделок могут влиять на рентабельность торговой системы в пятикратном размере. Другими словами, заключение сделок при чувствительных начальных условиях может привести к увеличению прибыли на 500 процентов.

Фракталы

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому»

Фракталы:

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис 1. Построение триодной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов — триодную кривую Кох. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) — это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении — это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия — каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят — аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Рис 3. Множество Мандельброта.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. pис.3 и рис.4). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

где Zi и C — комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области — подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке , (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Рис 4. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

По аналогии явлению нерегулярного (хаотического) движения в нелинейных системах был присвоен терминдинамический, или детерминированный ,хаос. Наблюдаемое хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума, не из-за большого числа степеней свободы и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой. Оно порождается собственной динамикой нелинейной детерминированной системы. В фазовом пространстве системы такому поведению соответствует странный аттрактор. Аттрактор (attractor ) в переводе с английского означает «притягиватель»; в данном случае это множество траекторий в фазовом пространстве, к которым притягиваются все остальные траектории из некоторой окрестности аттрактора, называемой также бассейном притяжения. Термин «странный» используется, чтобы подчеркнуть необычность свойств аттрактора, соответствующего хаотическому поведению. Причиной нерегулярности поведения является свойство нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Предсказать поведения траекторий хаотических систем на длительное время невозможно, поскольку чувствительность к начальным условиям высока, а начальные условия, как в физических экспериментах, так и при компьютерном моделировании, можно задать лишь с конечной точностью.

Управление хаосом

На первый взгляд, природа хаоса исключает возможность управлять им. В действительности же дело обстоит с точностью до наоборот: неустойчивость траекторий хаотических систем делает их чрезвычайно чувствительными к управлению.

Пусть, например, имеется система со странным аттрактором, и требуется перевести фазовую траекторию из одной точки аттрактора в другую. Хаотические траектории обладают свойством с течением времени попадать в окрестность любой точки, принадлежащей аттрактору. Если нужно, чтобы это произошло через время, не большее, чем Т, требуемый результат может быть получен за счет одного или серии малозаметных, незначительных возмущений траектории. Каждое из этих возмущений лишь слегка меняет траекторию. Но через некоторое время накопление и экспоненциальное усиление малых возмущений приводит к достаточно сильной коррекции траектории. При правильном выборе возмущений это позволяет решить поставленную задачу, не уводя траекторию с хаотического аттрактора. Таким образом, системы с хаосом демонстрируют одновременно и хорошую управляемость и удивительную пластичность: система чутко реагирует на внешние воздействия, при этом сохраняя тип движения. Комбинация управляемости и пластичности, по мнению многих исследователей, является причиной того, что хаотическая динамика является характерным типом поведения для многих жизненно важных подсистем живых организмов. Например, хаотический характер сердечного ритма позволяет сердцу гибко реагировать на изменение физических и эмоциональных нагрузок, обеспечивая запас динамической прочности.

Хаос, как бы он ни был интересен, — это лишь часть сложного поведения нелинейных систем. Существует также не поддающееся интуитивному осознанию явление, которое можно было бы назвать антихаосом. Оно выражается в том, что некоторые весьма беспорядочные системы спонтанно «кристаллизуются», приобретая высокую степень упорядоченности. Предполагается, что антихаос играет важную роль в биологическом развитии и эволюции.

Есть ряд аргументов в пользу того, что наряду с хорошо изученными тремя типами поведения динамических систем — стационарными состояниями, периодическими и квазипериодическими колебаниями, а также хаосом, существует и четвертый, специфический тип поведения на границе между регулярным движением и хаосом. Было замечено, что на этой границе, которую называют «кромкой хаоса», могут иметь место процессы, подобные процессам эволюции и обработки информации.

Рис1. Пример применения ассоциативной памяти на основе хаотической динамики для целей ориентирования и навигации. Область для ориентирования общей площадью 576 км2 задается географической картой в масштабе М 1:20000. Она разбита на 16 фрагментов, каждый из которых представляет собой цветной графический образ размером 200х200 пикселов в 256-цветном алфавите. Каждый из образов представлен как предельный цикл в одном и том же двумерном кусочно-линейном отображении.

Для определения местоположения пользователю достаточно предъявить любой кусочек фрагмента карты. Если поиск по кусочку успешен (успех регистрировался при предъявлении программе кусочков вплоть до 1 км2, то есть вплоть до 0,2 процента от первоначальной площади), соответствующий фрагмент карты появится на экране.

Программа демонстрирует также возможность идентификации по искаженным кусочкам. В нашем примере уровень искажений в кусочке, предъявляемом для идентификации, может составлять 70-80 процентов.

В противоположность динамическому хаосу, рассматриваемое явление, именуемое иногда комплексностью (complexity), возникает в системах, состоящих из многих взаимодействующих элементов. Такие системы часто не только демонстрируют четвертый тип поведения, но и обладают адаптивными свойствами, если под адаптацией понимать резкое упрощение динамики системы по сравнению с многомерной хаотической динамикой совокупности ее изолированных элементов. Приводимые ниже примеры отражают ряд общих свойств систем на кромке хаоса.

Игра «Жизнь» в клеточных автоматах

Совокупность правил этого клеточного автомата (то есть параметров системы) такова, что его поведение находится в узкой зоне между областями устойчивости и хаоса. В системе наблюдается поведение, похожее на «настоящие» жизненные процессы. Кроме того, при анализе таких объектов, как «глайдеры» и «катапульты», математически доказана эквивалентность игры «Жизнь» машине Тьюринга, и, тем самым, доказано наличие в ней процессов, эквивалентных универсальным вычислениям.

Биологическая эволюция

Со времен Дарвина биологи рассматривали эволюцию как процесс естественного отбора. Однако возможно, что биологический порядок отчасти отражает спонтанную упорядоченность, на фоне которой действовал механизм естественного отбора. Другими словами, в процессе эволюции в пространстве морфологических признаков могут быть реализованы не все комбинации, а только некоторое избранное множество «аттракторов». То есть трудно ожидать, что любые уродства возможны. Кроме того, такой механизм значительно ускоряет процесс эволюции. Он резко сужает множество допустимых траекторий движения и, тем самым, необходимое число «итераций» для появления того или иного биологического вида. Здесь уместна аналогия между скоростью сходимости случайного и градиентного методов поиска экстремума: в первом случае поиск ведется по всей области изменения переменных, а во втором — только вдоль определенной траектории.

С точки зрения биологии, не так важно, какие типы аттракторов в пространстве морфологических возможностей реализуются. Важно, что потоки траекторий «сваливаются» в некоторые ограниченные области, тем самым выделяя в пространстве морфологических признаков островки структурно устойчивых видов. А сами аттракторы могут быть стоками, циклами, странными аттракторами и т. д.

Самоорганизованная критичность

Система с большим числом взаимодействующих элементов естественным образом эволюционирует к критическому состоянию, в котором малое событие может привести к катастрофе. Хотя в составных системах происходит больше незначительных событий, чем катастроф, цепные реакции всех масштабов являются неотъемлемой частью динамики. Как следует из теории критичности, малые события вызывает тот же механизм, что и крупные. Более того, составные части системы никогда не достигают равновесия, а вместо этого эволюционируют от одного метастабильного состояния к другому.

Концепция самоорганизованной критичности предполагает, что глобальные характеристики, такие как относительное число больших и малых событий, не зависят от микроскопических механизмов. Именно поэтому глобальные характеристики системы нельзя понять, анализируя ее части по отдельности.

Как можно себе представить механизм адаптации в связанных динамических системах? Заманчиво выглядит модель эволюционного равновесия (кромки хаоса) как некоего вида хаотической синхронизации. Действительно, процесс синхронизации резко упрощает динамику системы, снижая размерность ее аттрактора. Он напрямую определяется степенью связности системы — «адаптивный механизм» движения к кромке хаоса включается только при наличии достаточно сильных связей.

Порождение информации хаотическими системами

Вернемся к свойствам хаоса в маломерных системах. Итак, поведение хаотических траекторий не может быть предсказано на большие интервалы времени. Прогноз движения вдоль траекторий становится все более и более неопределенным по мере удаления от начальных условий. С точки зрения теории информации это означает, что система сама порождает информацию и скорость создания информации тем выше, чем больше хаотичность системы. Поскольку система создает информацию, то ее содержат и траектории системы.

Рис. 2. Пример применения технологии для поиска информации в неструктурированных текстовых архивах. В качестве архива используется текст книжки «Винни-Пух и все-все-все». В ответ на вопрос Пуха «Зачем пчелы делают мед?» система предлагает фрагмент текста, содержащий фразу: «Единственная причина делать мед — та, чтобы я мог есть его».

Запись, хранение и поиск информации с помощью хаоса

Теперь зададимся вопросом: а нельзя ли сопоставить траектории системы информацию в виде интересующей нас последовательности символов? Если бы это удалось сделать, часть траекторий соответствовала бы нашим информационным последовательностям, и их можно было бы получать, решая уравнения, определяющие динамику системы. Если же взять любой (не слишком малый) фрагмент информационной последовательности, с его помощью можно восстановить всю информационную последовательность, соответствующую данной траектории. Разным траекториям соответствуют разные информационные последовательности, и возникает возможность восстановить любую из них по любому ее небольшому фрагменту. Тем самым реализуется ассоциативный доступ (доступ по содержанию) ко всей информации, записанной в системе. Итак, информация запоминается и хранится в виде траекторий динамической системы и обладает свойствами ассоциативности.

Эта идея возникла и получила развитие при попытках понять, чем может быть полезен хаос в обработке информации живыми системами. Были построены математические модели, которые демонстрировали принципиальную возможность записи, хранения и извлечения информации с помощью траекторий динамических систем с хаосом. Эти модели казались очень простыми, и эксперт одного уважаемого международного журнала написал в своей рецензии: «Это просто игрушечные модели, и на их основе не может быть создана никакая технология ни на Востоке, ни на Западе». Однако вскоре за исследования в этом направлении был присужден Главный приз на конкурсе компании «Хьюлетт-Паккард» по распознаванию образов. Развитие «игрушек» привело к тому, что их потенциальная информационная емкость значительно превысила объем всей информации, имеющейся в Интернете (патент РФ 2050072, патент США US 5774587). И даже на скромных «писишках» стало возможным синтезировать динамические системы с объемом записанной информации, эквивалентной среднему собранию сочинений.

Рис. 3. Источник хаоса, состоящий из нелинейной и линейной систем, замкнутых в кольцо обратной связи. Справа: внешний вид платы электронной схемы (вверху) и фазовый портрет хаотического аттрактора (внизу). Даже небольшие изменения параметров элементов электронной схемы приводят к существенному изменению характера хаотических колебаний.

Разработанная технология позволяет записывать, хранить и извлекать любые типы данных: изображения, тексты, цифровую музыку и речь, сигналы и т. д. Примером использования технологии является персональная система управления факсимильными документами с ассоциативным доступом FacsData Wizard, которая обеспечивает возможность создания архивов неструктурированной информации с полным автоматическим индексированием всей хранимой информации.

Для поиска необходимых документов пользователь составляет запрос путем набора в произвольной форме нескольких строк текста, относящегося к содержанию требуемого документа. В ответ система выдаст искомый документ, если входной информации достаточно для его однозначного поиска, либо предложит набор вариантов. При необходимости можно получить и факсимильную копию найденного документа. Наличие ошибок в запросе и при преобразовании исходной информации в текстовую не сказывается существенным образом на качестве поиска. Создание электронного архива не требует дополнительного дискового пространства. Объем, необходимый для хранения записанных документов, может даже уменьшиться.

Передача и защита информации

В большинстве современных систем связи в качестве носителя информации используются гармонические колебания. Информационный сигнал в передатчике модулирует эти колебания по амплитуде, частоте или фазе, а в приемнике информация выделяется с помощью обратной операции — демодуляции. Модуляция носителя может осуществляться либо за счет модуляции уже сформированных гармонических колебаний, либо путем управления параметрами генератора в процессе формирования колебаний.

Аналогичным образом можно производить модуляцию хаотического сигнала информационным сигналом. Однако возможности здесь значительно шире. Действительно, если в случае гармонических сигналов управляемых характеристик — всего три (амплитуда, фаза и частота), то в случае хаотических колебаний даже небольшое изменение параметра дает надежно фиксируемое изменение характера колебаний. Это означает, что у источников хаоса с изменяемыми параметрами имеется широкий набор схем ввода информационного сигнала в хаотический (то есть модуляции хаотического сигнала информационным ). Кроме того, хаотические сигналы принципиально являются широкополосными, интерес к которым в радиотехнике традиционен и связан с большей информационной емкостью. В системах связи широкая полоса частот несущих сигналов используется как для увеличения скорости передачи информации, так и для повышения устойчивости работы систем при наличии возмущений.

В последнее время в связи с развитием спутниковых, мобильных, сотовых и волоконно-оптических многопользовательских коммуникационных систем большое внимание привлекают сигналы с расширением спектра, где полоса частот передаваемого сигнала может быть значительно шире полосы частот информационного сигнала.

Шумоподобность и самосинхронизируемость систем, основанных на хаосе, дают им потенциальные преимущества над традиционными системами с расширением спектра, базирующимися на псевдослучайных последовательностях. Кроме того, они допускают возможность более простой аппаратной реализации с большей энергетической эффективностью и более высокой скоростью операций.

Рис. 4. Пример схемы связи с использованием хаоса. Передатчик и приемник включают в себя такие же нелинейные и линейные системы, как источник. Дополнительно в передатчик включен сумматор, а в приемник — вычитатель. В сумматоре производится сложение хаотического сигнала источника и информационного сигнала, а вычитатель приемника предназначен для выделения информационного сигнала. Сигнал в канале хаосоподобный и не содержит видимых признаков передаваемой информации, что позволяет передавать конфиденциальную информацию. Сигналы в точках А иА', Б и Б' попарно равны. Поэтому при наличии входного информационного сигнала S на входе сумматора передатчика такой же сигнал будет выделяться на выходе вычитателя приемника.

Сфера применения хаотических сигналов не ограничивается системами с расширением спектра. Они могут быть использованы для маскировки передаваемой информации и без расширения спектра, то есть при совпадении полосы частот информационного и передаваемого сигналов.

Все это стимулировало активные исследования хаотических коммуникационных систем. К настоящему времени на основе хаоса предложено несколько подходов для расширения спектра информационных сигналов, построения самосинхронизующихся приемников и развития простых архитектур передатчиков и приемников. Идея большинства предложенных решений базируется на синхронизации «ведомой системой» (приемником) исходного невозмущенного хаотического сигнала, генерируемого «ведущей системой» (передатчиком). С помощью таких схем связи может передаваться как аналоговая, так и цифровая информация с различными скоростями информационных потоков и разной степенью конфиденциальности. Еще одним потенциальным достоинством схем связи с использованием хаоса является возможность реализации новых методов разделения каналов, что особенно важно в многопользовательских коммуникационных системах.

Если до недавнего времени проблема конфиденциальности передачи информации и более широкая проблема защиты информации относились в основном к военным и специальным применениям, то теперь все важнее становится рынок гражданских приложений. Примерами могут служить защита коммерческой информации в компьютерах и компьютерных сетях, безопасность электронных платежей, защита от пиратского копирования CD-ROM, музыкальных и видеодисков, защита от копирования музыкальной, видео- и другой информации, распространяемой по компьютерным сетям, Интернет-телефония и пр.

К защите коммерческой информации предъявляются требования, существенно отличающиеся от «классических». В частности, типичным требованием становится возможность массового применения и низкая себестоимость на единицу «информационной» продукции. Кроме того, могут меняться и подходы к защите. Так, для защиты музыкальной и видеоинформации на компакт-дисках от пиратского копирования нет необходимости в том, чтобы записанная информация была полностью недоступна для «злоумышленника»: вполне достаточно просто снизить качество воспроизведения до неприемлемого для потребителя уровня.

При решении таких «бытовых» проблем защиты информации в перспективе могут успешно применяться средства, основанные на детерминированном хаосе.

Безусловно, конкретные примеры применения хаоса в информационных и коммуникационных технологиях, приведенные в статье, отражают в первую очередь научные интересы и взгляды автора и коллектива, в котором он работает. Вместе с тем они дают представление о том, как с помощью хаоса можно решать созидательные задачи.

6. Хаоса в других науках

Теория хаоса находит приложения в широком спектре наук. Одним из самых ранних стало ее применение к анализу турбулентности в жидкости. Движение жидкости бывает либо ламинарным (гладким и регулярным), либо турбулентным (сложным и нерегулярным). До появления теории хаоса существовали две конкурирующие теории турбулентности. Первая из них представляла турбулентность как накопление все новых и новых периодических движений; вторая объясняла неприменимость стандартной физической модели невозможностью описания жидкости как сплошной среды в молекулярных масштабах. В 1970 математики Д.Рюэль и Ф.Такенс предложили третью версию: турбулентность – это хаос в жидкости. Их предположение поначалу считалось весьма спорным, но с тех пор оно было подтверждено для нескольких случаев, в частности, для ранних стадий развития турбулентности в течении между двумя вращающимися цилиндрами. Развитая турбулентность по-прежнему остается загадочным явлением, но хаоса вряд ли удается избежать в любом возможном ее объяснении. (гидроаэромеханика)

Движение в Солнечной системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов лет, прежде чем какое-то изменение станет непредсказуемым. Хаос проявляет себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном. Теория хаоса объясняет также распределение тел в поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Оно неравномерно: на одних расстояниях от Солнца существуют сгущения, на других – пустые промежутки. И сгущения, и пустые промежутки их гелиоцентрических орбит находятся на расстояниях, образующих «резонансы» с Юпитером. Теория хаоса показывает, что одни резонансы порождают устойчивое поведение (сгущения), тогда как другие – неустойчивое (пустые промежутки).

Хаос имеет место также в биологии и экологии. В конце 19 в. было установлено, что популяции животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно чередующиеся периоды быстрого роста и почти полного вымирания. Теория хаоса показывает, что простые законы изменения численности популяций могут объяснить эти флуктуации без введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет динамику эпидемий, т.е. флуктуирующих популяций микроорганизмов в организмах людей.

Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования. К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит «хаотическое управление». В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень малым возмущением. В 1990 С.Гребоджи, Э.Отт и Дж.Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини – Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать «интеллектуальный» стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости – метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами.

Британские физики создали систему, которая приводит хаос в порядок

Британские физики из Уорикского университета разработали метод, который позволяет предсказывать возникновение порядка из хаоса в сложных системах, состоящих из множества случайно изменяющихся элементов.

Ученые под руководством Роберта Уикса во время своего исследования пытались понять, как сложные системы вроде плазмы, толпы людей или стаи птиц неожиданно переходят от хаоса к порядку без внешнего вмешательства.

Специалисты предположили, что закономерности самоорганизации могут быть одинаковыми для разных сложных систем. Поэтому, взяв за основу известные данные о поведении больших групп животных и насекомых, они разработали новый математический способ анализа, названный методом взаимной информации.

Этот новый метод позволяет определять закономерности и корреляции на основании очень небольшого количества данных. Для проверки своего метода исследователи использовали несложную модель, разработанную в 90-е годы известным венгерским биофизиком Тамашем Вичеком для описания поведения колоний бактерий, стай скворцов или саранчи.

В результате оказалось, что новый метод взаимной информации в четыре раза точнее при поиске упорядоченного состояния, чем традиционные статистические методы.

Ученые предполагают, что новый метод будет полезен и при изучении фондовой биржи. Вероятно, с его помощью удастся объяснить возникающие порой неожиданные корреляции, когда акции компаний, не имеющих никаких видимых связей, испытывают одинаковые колебания цен.

Математики рассчитали оптимальную стратегию борьбы с эпидемией

Американские и израильские математики рассчитали оптимальную стратегию борьбы с эпидемией при помощи вакцинации.

Традиционно считается, что лучший способ борьбы с заболеванием — вакцинация как можно большего числа людей. В рамках нового исследования ученые установили, что это не так. Если эпидемию рассматривать как динамический процесс, то время вакцинации оказывается не менее важным, чем количество привитых индивидуумов.

Используя вероятностную модель для описания процессов заражения, повторного заражения и распространения заболевания, ученые смогли установить, что при фиксированном количестве доступной вакцины лучшая стратегия — проведение серии интенсивных мероприятий по прививанию. Оказалось, что подобная серия работает эффективнее отдельно взятой массивной вакцинации.

По словам ученых, эффективность стратегии обусловлена тем, что в течение длительного времени количество зараженных в коллективе может оставаться достаточно стабильным. Последовательная вакцинация позволяет уменьшить стабильное количество больных и приводит к экспоненциальному уменьшению количества болеющих.

Ученые подчеркивают, что их модель не привязана к какому-либо конкретному заболеванию и может применяться в самом общем случае. Главной трудностью при этом остается вычисление периодов, с которыми необходимо проводить вакцинацию.

Муравьиные алгоритмы в действии

В компании Pacific Northwest National Laboratory нашли новый подход к анализу безопасности компьютерных сетей. Для борьбы с вредоносным ПО предложено использовать «муравьиные алгоритмы».

При помощи программы, алгоритмы которой копируют механизмы поведения муравьев, в лаборатории пытаются найти «сетевые аномалии».

«Сами по себе муравьи не умны, — утверждает Гленн Финк, возглавляющий необычные исследования, — однако их колония может продемонстрировать удивительно разумное поведение».

По словам ученых, их программа использует распределенные по компьютерным сетям сенсоры, непрерывно собирающие данные. Словно муравьи, передающие своим сородичам информацию о еде или опасности при помощи запахов, эти сенсоры делятся собранной информацией друг с другом. Таким образом, программа может определить своеобразные сетевые аномалии, сигнализирующие о возможной опасности, например о масштабном заражении сети.

Сенсоры бывают различной направленности – по словам Финка, одни могут собирать данные о чрезмерной загрузке центрального процессора компьютеров, а другие – проверять сетевой трафик. Также есть «часовые» — специальные блоки программы, анализирующие информацию, полученную от всех сенсоров-муравьев.

Хотя инновационный антивирусный комплекс находится на ранней стадии разработки, уже сейчас он способен обнаруживать некоторых компьютерных червей. Однако, по словам создателей, искусственному интеллекту их программы еще есть чему научиться.

Вывод

Первое и самое важное — теория хаоса — это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые — вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени — представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные — т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего — от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована — рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как например очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600:1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики. Сегодня поиски исследователей – главным образом математиков – направлены на то, чтобы выявить все типы нелинейных уравнений, решение которых приводит к детерминированному хаосу. Активный интерес к нему вызван тем, что одни и те же его закономерности могут проявляться в самых разных природных явлениях и технических процессах: при турбулентности в потоках, неустойчивости электронных и электрических сетей, при взаимодействии видов в живой природе, при химических реакциях и даже, по-видимому, в человеческом обществе. Отсюда следует фундаментальная значимость хаоса – его изучение может привести к созданию мощного математического аппарата, обладающего большой общностью и обширными возможностями для приложений. Теория хаоса идет своим, особым путем от самых основ. Возможно, это новый, независимый путь к пониманию универсальности мира!

И, конечно, теория хаоса дает людям удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний день.

Список литературы

1. Пайтген Х. О., Рихтер П. Х. «Красота фракталов».

2. В. И. Кувшинов, А. В. Кузьмин «Калибровочные поля и теория детерминированного хаоса»

3. Шустер Г. «Детерминированный хаос: введение».

4. Рюэль Д. «Случайность и хаос». – Ижевск: НИЦ, 2001, 192стр.

5. Кроновер Р.М. «Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории».

6. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. «Новые методы хаотической динамики». — М.: Едиториал УРСС, 2004, 320 с.

www.ronl.ru

Теория хаоса

План

Введение

1. Возникновение и история теории хаоса

2. Порядок и беспорядок

3. Прикладной хаос

4. Основные принципы хаоса (аттракторы и фракталы)

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

6. Хаоса в других науках

7. Последствия хаоса

Вывод

1.Начиная с рубежа 1980-х - 1990-х годов в дискуссиях историков-методологов появилось новое направление, связанное с "наукой о сложном" (complexity sciences). Так принято называть новую междисциплинарную область исследований, в центре внимания которой находятся проблемы исследования систем с нелинейной динамикой, неустойчивым поведением, эффектами самоорганизации, наличием хаотических режимов. Единая наука о поведении сложных систем, самоорганизации в Германии названа синергетикой (Г. Хакен), во франкоязычных странах - теорией диссипативных структур (И. Пригожин), в США - теорией динамического хаоса (М. Фейгенбаум). В отечественной литературе принят преимущественно первый термин, наиболее краткий и емкий.

ТЕОРИЯ ХАОСА - раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем". Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир".

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: "Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял - и тоже в 1963 году - американский метеоролог Эдвард Лоренц. Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов - достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат - динамический хаос- есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства - его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа - количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве. 2. Порядок и беспорядок

Порядок и беспорядок

А вот с понятием «беспорядок» все, в известном смысле, обстоит наоборот. Мы используем это слово как обозначение отсутствия чего-то (порядка), что именно и существует само по себе. Но возникает вопрос: а так ли это?Поясним суть дела на конкретном примере, для чего представим себе письменный стол некоего профессора. Глядя на него, мы, вероятно, решим что все, что находится на нем, свалено в беспорядочную кучу. Однако сам профессор, не глядя, протягивая руку, безошибочно находит нужный ему предмет. И напротив, если уборщица разложит все аккуратными стопками, то профессор не сможет работать так же, как не смогла готовить бабушка в романе Рэя Брэдбери «Вино из одуванчиков» после генеральной уборки, устроенной на кухне тетей.

В последнее время на роль такого понятия все чаще претендует слово «хаос».

3. Прикладной хаос

Очень часто дискутируется вопрос: для чего нужен хаос?

Приведем простой пример — задачу о динамике судна или нефтяной платформы при наличии волнения . В известном приближении, это нелинейная динамическая система с внешним периодическим воздействием. Нормальное, рабочее расположение судна отвечает одному аттрактору системы, перевернутое — другому. Можно задаться вопросом, как расположен и как устроен бассейн притяжения второго аттрактора. Как он зависит от интенсивности волнения? Ясно, что попадание в бассейн притяжения второго аттрактора ведет к катастрофе! Подчеркнем, что только нелинейный анализ обеспечивает всестороннее понимание ситуации, выработку условий и рекомендаций по избежанию катастрофы.

Результаты, полученные в нелинейной динамике, открывают новые нетривиальные возможности для сжатия и хранения, а также обработки информации. Интересным примером такого рода может служить предложенная в Институте радиотехники и электроники РАН схема кодирования и обработки информации с использованием одномерных отображений . Эффективные методы сжатия информации разработаны на основании идей фрактальной геометрии. Прорабатывается вопрос о реализации вычислительных процессов в системах, отличных от традиционной компьютерной архитектуры и опирающихся на феномены нелинейной динамики. 4.Основные принципы. Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация.

Основным понятием теории хаоса является аттракторы и фракталы.Аттрактор

(от англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства.

Четыре аттрактора формируют основную структуру внешнего мира, характер поведения и движения рынка. Теория хаоса находится в полном противоречии с аналитической теорией. Она даем нам новую метафизику. Она концентрируется на происходящем в данный момент, что значительно важнее при анализе рынка. Теория хаоса дает более полную картину, охватывая всю реку-рынок, в ее течении, со всеми неожиданными поворотами и сюрпризами. Умение замечать происходящие изменения в потоке является задачей действенного рыночного анализа и противоядием от догматизма, роковой "болезни" трейдеров. Рынок часто кажется таким же хаотичным, как и наш внутренний мир, наш поток сознания. Чтобы извлечь из этого хаоса какой-либо смысл, мы должны обнаружить базовую структуру для реальности и рынка - несущую структуру, которая вскрывает порядок, лежащий в основе хаоса.

Рынок, как явление реального мира, - основательно беспорядочен и свободен. Хаос правит над предсказуемостью. Простые линейные подходы к торговле на рынке не работают. Рынок бесконечно сложен. Из хаоса всегда рождается более высокий порядок, но этот порядок возникает спонтанно и непредсказуемо. Подобно погоде, фондовый и товарный рынки, а также и другие хаотичные системы, могут порождать непредсказуемые последствия при пренебрежимо малых изменениях в количествах, помноженных на реакцию на них. В настоящее время биржевые игроки используют нелинейные методы в инвестировании и торговле. Фракталы - это новые игрушки рынка. Фракталы это способ самоорганизации рынков. Специфическая фрактальная организация создается при помощи механизмов, которые в науке о хаосе называются аттракторами.

Чтобы использовать мышление для сортировки явлений и научиться понимать смысл происходящего, мы должны, прежде всего, найти основную структуру реальности. Структуру, вскрывающую порядок, который лежит в основе хаоса. Существует четыре нелинейные функции, которые помогают нам определить этот порядок в нашем собственном сознании. Ученые, исследующие хаос, обнаружили, что кажущиеся хаотичными, не подчиняющимися никаким законам процессы, в действительности, следуют скрытому порядку. Порядок, который они открыли, четырехкратный: все внешние явления действуют в соответствии с тем, что они называют четырьмя аттракторами - силами, которые извлекают порядок из беспорядка. Они называются точечным аттрактором, циклическим аттрактором, аттрактором Торас, и странным аттрактором.

Точечный аттрактор - это простейший способ привнести порядок в хаос. Он живет в первом измерении линии, которая составлена из бесконечного числа точек. Под воздействием этого аттрактора человек испытывает склонность к одной деятельности, и отвращение к другой. Это аттрактор первой размерности, и он может использоваться для торговли на рынках.

Характеристика циклического аттрактора - движение взад-вперед, подобно маятнику или циклическому магниту. Он притягивает, затем отталкивает, затем опять притягивает и т.д. Он живет во втором измерении плоскости, которая состоит из бесконечного числа линий. Им характеризуется рынок, заключенный в коридор, где цена движется вверх и вниз в определенном диапазоне в течение некоторого промежутка времени. Этот аттрактор более сложен, чем точечный, и является основной структурой для более сложного поведения. Одна деятельность автоматически ведет к другой в повторяющемся порядке. На рынке зерна это явление носит годичный характер.

Третий, более сложный, вид аттрактора известен как аттрактор Торас. Он начинает сложную циркуляцию, которая повторяет себя по мере движения вперед. Он живет в третьем измерении, которое состоит из бесконечного числа плоскостей. По сравнению с циклическим и точечным аттракторами, аттрактор Торас вводит большую степень беспорядочности, и его модели более сложны. На этом уровне, предсказания носят более точный характер, а модели имеют тенденцию казаться более законченными. Графически он выглядит как кольцо или рогалик. Он образует спиралевидные круги на ряде различных плоскостей, и иногда возвращается сам к себе, завершая полный оборот. Его основная характеристика - повторяющееся действие. Подобные явления можно также наблюдать в стремлении мировых активов к безопасности. Если ставка по государственным бумагам повышается, они привлекают больше инвесторов. Затем повышаются цены на них, что опускает процентную ставку, и делает их менее привлекательными и т. д.

Странный аттрактор из четвертого измерения - самоорганизующий. Это место рождения свободы и понимания, как в действительности работает рынок. То, что поверхностный взгляд воспринимает как абсолютный хаос, в котором не заметно никакого порядка, имеет определенный порядок, базирующийся на странном аттракторе, когда наблюдение ведется из четвертого измерения. Другая характеристика странного аттрактора -это чувствительность к начальным условиям, которая иногда называется "эффектом бабочки". Малейшее отклонение от изначальных условий может привести к огромным различиям в результате. Различия начальных условий при заключении сделок могут влиять на рентабельность торговой системы в пятикратном размере. Другими словами, заключение сделок при чувствительных начальных условиях может привести к увеличению прибыли на 500 процентов. Фракталы

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"

www.coolreferat.com

Реферат: Теория хаоса

План

Введение

1. Возникновение и история теории хаоса

2. Порядок и беспорядок

3. Прикладной хаос

4. Основные принципы хаоса (аттракторы и фракталы)

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

6. Хаоса в других науках

7. Последствия хаоса

Вывод

ТЕОРИЯ ХАОСА- раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем". Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир".

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал:"Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял - и тоже в 1963 году - американский метеорологЭдвард Лоренц. Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов - достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат - динамический хаос- есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства - его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа - количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.

2. Порядок и беспорядок

Порядок и беспорядок

В последнее время на роль такого понятия все чаще претендует слово «хаос».

3. Прикладной хаос

Очень часто дискутируется вопрос: для чего нужен хаос?

Приведем простой пример — задачу о динамике судна или нефтяной платформы при наличии волнения . В известном приближении, это нелинейная динамическая система с внешним периодическим воздействием. Нормальное, рабочее расположение судна отвечает одному аттрактору системы, перевернутое — другому. Можно задаться вопросом, как расположен и как устроен бассейн притяжения второго аттрактора. Как он зависит от интенсивности волнения? Ясно, что попадание в бассейн притяжения второго аттрактора ведет к катастрофе! Подчеркнем, что только нелинейный анализ обеспечивает всестороннее понимание ситуации, выработку условий и рекомендаций по избежанию катастрофы.

Основным понятием теории хаоса является аттракторы и фракталы.

Аттрактор

Четыре аттрактора формируют основную структуру внешнего мира, характер поведения и движения рынка. Теория хаоса находится в полном противоречии с аналитической теорией. Она даем нам новую метафизику. Она концентрируется на происходящем в данный момент, что значительно важнее при анализе рынка. Теория хаоса дает более полную картину, охватывая всю реку-рынок, в ее течении, со всеми неожиданными поворотами и сюрпризами. Умение замечать происходящие изменения в потоке является задачей действенного рыночного анализа и противоядием от догматизма, роковой "болезни" трейдеров. Рынок часто кажется таким же хаотичным, как и наш внутренний мир, наш поток сознания. Чтобы извлечь из этого хаоса какой-либо смысл, мы должны обнаружить базовую структуру для реальности и рынка - несущую структуру, которая вскрывает порядок, лежащий в основе хаоса.

Чтобы использовать мышление для сортировки явлений и научиться понимать смысл происходящего, мы должны, прежде всего, найти основную структуру реальности. Структуру, вскрывающую порядок, который лежит в основе хаоса. Существует четыре нелинейные функции, которые помогают нам определить этот порядок в нашем собственном сознании. Ученые, исследующие хаос, обнаружили, что кажущиеся хаотичными, не подчиняющимися никаким законам процессы, в действительности, следуют скрытому порядку. Порядок, который они открыли, четырехкратный: все внешние явления действуют в соответствии с тем, что они называют четырьмя аттракторами - силами, которые извлекают порядок из беспорядка. Они называются точечным аттрактором, циклическим аттрактором, аттрактором Торас, и странным аттрактором.

Третий, более сложный, вид аттрактора известен как аттрактор Торас. Он начинает сложную циркуляцию, которая повторяет себя по мере движения вперед. Он живет в третьем измерении, которое состоит из бесконечного числа плоскостей. По сравнению с циклическим и точечным аттракторами, аттрактор Торас вводит большую степень беспорядочности, и его модели более сложны. На этом уровне, предсказания носят более точный характер, а модели имеют тенденцию казаться более законченными. Графически он выглядит как кольцо или рогалик. Он образует спиралевидные круги на ряде различных плоскостей, и иногда возвращается сам к себе, завершая полный оборот. Его основная характеристика - повторяющееся действие. Подобные явления можно также наблюдать в стремлении мировых активов к безопасности. Если ставка по государственным бумагам повышается, они привлекают больше инвесторов. Затем повышаются цены на них, что опускает процентную ставку, и делает их менее привлекательными и т. д.

Фракталы

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означаетсостоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта`The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так:"Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"

Фракталы:

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемойгенератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рис 1. Построение триодной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триодную кривую Кох . Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется наобразующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называетсяпредфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем:фазовый портрет,установившийся процесс,аттрактори т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается наобласти притяженияаттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получитьцветовой фазовый портретэтой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Рис 3. Множество Мандельброта.

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, покане выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке, (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500)сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которыхоставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (еслиостается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Рис 4. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течениебесконечногочисла итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря .

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

По аналогии явлению нерегулярного (хаотического) движения в нелинейных системах был присвоен терминдинамический,илидетерминированный,хаос.Наблюдаемое хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума, не из-за большого числа степеней свободы и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой. Оно порождается собственной динамикой нелинейной детерминированной системы. В фазовом пространстве системы такому поведению соответствуетстранный аттрактор. Аттрактор(attractor) в переводе с английского означает "притягиватель"; в данном случае это множество траекторий в фазовом пространстве, к которым притягиваются все остальные траектории из некоторой окрестности аттрактора, называемой такжебассейном притяжения. Термин "странный" используется, чтобы подчеркнуть необычность свойств аттрактора, соответствующего хаотическому поведению. Причиной нерегулярности поведения является свойство нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Предсказать поведения траекторий хаотических систем на длительное время невозможно, поскольку чувствительность к начальным условиям высока, а начальные условия, как в физических экспериментах, так и при компьютерном моделировании, можно задать лишь с конечной точностью.

Управление хаосом

Пусть, например, имеется система со странным аттрактором, и требуется перевести фазовую траекторию из одной точки аттрактора в другую. Хаотические траектории обладают свойством с течением времени попадать в окрестностьлюбойточки, принадлежащей аттрактору. Если нужно, чтобы это произошло через время, не большее, чем Т, требуемый результат может быть получен за счет одного или серии малозаметных, незначительных возмущений траектории. Каждое из этих возмущений лишь слегка меняет траекторию. Но через некоторое время накопление и экспоненциальное усиление малых возмущений приводит к достаточно сильной коррекции траектории. При правильном выборе возмущений это позволяет решить поставленную задачу, не уводя траекторию с хаотического аттрактора. Таким образом, системы с хаосом демонстрируют одновременно и хорошую управляемость и удивительную пластичность: система чутко реагирует на внешние воздействия, при этом сохраняя тип движения. Комбинация управляемости и пластичности, по мнению многих исследователей, является причиной того, что хаотическая динамика является характерным типом поведения для многих жизненно важных подсистем живых организмов. Например, хаотический характер сердечного ритма позволяет сердцу гибко реагировать на изменение физических и эмоциональных нагрузок, обеспечивая запас динамической прочности.

Хаос, как бы он ни был интересен, - это лишь часть сложного поведениянелинейных систем. Существует также не поддающееся интуитивному осознанию явление, которое можно было бы назватьантихаосом. Оно выражается в том, что некоторые весьма беспорядочные системы спонтанно "кристаллизуются", приобретая высокую степень упорядоченности. Предполагается, что антихаос играет важную роль в биологическом развитии и эволюции.

Есть ряд аргументов в пользу того, что наряду с хорошо изученными тремя типами поведения динамических систем - стационарными состояниями, периодическими и квазипериодическими колебаниями, а также хаосом, существует и четвертый, специфический тип поведения на границе между регулярным движением и хаосом. Было замечено, что на этой границе, которую называют "кромкой хаоса", могут иметь место процессы, подобные процессам эволюции и обработки информации.

Рис1. Пример применения ассоциативной памяти на основе хаотической динамики для целей ориентирования и навигации. Область для ориентирования общей площадью 576 км2задается географической картой в масштабе М 1:20000. Она разбита на 16 фрагментов, каждый из которых представляет собой цветной графический образ размером 200х200 пикселов в 256-цветном алфавите. Каждый из образов представлен как предельный цикл в одном и том же двумерном кусочно-линейном отображении.

В противоположность динамическому хаосу, рассматриваемое явление, именуемое иногдакомплексностью(complexity), возникает в системах, состоящих из многих взаимодействующих элементов. Такие системы часто не только демонстрируют четвертый тип поведения, но и обладают адаптивными свойствами, если под адаптацией понимать резкое упрощение динамикисистемыпо сравнению с многомерной хаотической динамикойсовокупности ее изолированных элементов. Приводимые ниже примеры отражают ряд общих свойств систем на кромке хаоса.

Игра "Жизнь" в клеточных автоматах

Совокупность правил этого клеточного автомата (то есть параметров системы) такова, что его поведение находится в узкой зоне между областями устойчивости и хаоса. В системе наблюдается поведение, похожее на "настоящие" жизненные процессы. Кроме того, при анализе таких объектов, как "глайдеры" и "катапульты", математически доказана эквивалентность игры "Жизнь" машине Тьюринга, и, тем самым, доказано наличие в ней процессов, эквивалентных универсальным вычислениям.

Биологическая эволюция

Со времен Дарвина биологи рассматривали эволюцию как процесс естественного отбора. Однако возможно, что биологический порядок отчасти отражает спонтанную упорядоченность, на фоне которой действовал механизм естественного отбора. Другими словами, в процессе эволюции в пространстве морфологических признаков могут быть реализованы не все комбинации, а только некоторое избранное множество "аттракторов". То есть трудно ожидать, что любые уродства возможны. Кроме того, такой механизм значительно ускоряет процесс эволюции. Он резко сужает множество допустимых траекторий движения и, тем самым, необходимое число "итераций" для появления того или иного биологического вида. Здесь уместна аналогия между скоростью сходимости случайного и градиентного методов поиска экстремума: в первом случае поиск ведется по всей области изменения переменных, а во втором - только вдоль определенной траектории.

С точки зрения биологии, не так важно, какие типы аттракторов в пространстве морфологических возможностей реализуются. Важно, что потоки траекторий "сваливаются" в некоторые ограниченные области, тем самым выделяя в пространстве морфологических признаков островки структурно устойчивых видов. А сами аттракторы могут быть стоками, циклами, странными аттракторами и т. д.

Самоорганизованная критичность

Как можно себе представить механизм адаптации в связанных динамических системах? Заманчиво выглядит модель эволюционного равновесия (кромки хаоса) как некоего вида хаотической синхронизации. Действительно, процесс синхронизации резко упрощает динамику системы, снижая размерность ее аттрактора. Он напрямую определяется степенью связности системы - "адаптивный механизм" движения к кромке хаоса включается только при наличии достаточно сильных связей.

Порождение информации хаотическими системами

Рис. 2.Пример применения технологии для поиска информации в неструктурированных текстовых архивах. В качестве архива используется текст книжки "Винни-Пух и все-все-все". В ответ на вопрос Пуха "Зачем пчелы делают мед?" система предлагает фрагмент текста, содержащий фразу: "Единственная причина делать мед - та, чтобы я мог есть его".

Запись, хранение и поиск информации с помощью хаоса

Эта идея возникла и получила развитие при попытках понять, чем может быть полезен хаос в обработке информации живыми системами. Были построены математические модели, которые демонстрировали принципиальную возможность записи, хранения и извлечения информации с помощью траекторий динамических систем с хаосом. Эти модели казались очень простыми, и эксперт одного уважаемого международного журнала написал в своей рецензии: "Это просто игрушечные модели, и на их основе не может быть создана никакая технология ни на Востоке, ни на Западе". Однако вскоре за исследования в этом направлении был присужден Главный приз на конкурсе компании "Хьюлетт-Паккард" по распознаванию образов. Развитие "игрушек" привело к тому, что их потенциальная информационная емкость значительно превысила объем всей информации, имеющейся в Интернете (патент РФ 2050072, патент США US 5774587). И даже на скромных "писишках" стало возможным синтезировать динамические системы с объемом записанной информации, эквивалентной среднему собранию сочинений.

Рис. 3.Источник хаоса, состоящий из нелинейной и линейной систем, замкнутых в кольцо обратной связи. Справа: внешний вид платы электронной схемы (вверху) и фазовый портрет хаотического аттрактора (внизу). Даже небольшие изменения параметров элементов электронной схемы приводят к существенному изменению характера хаотических колебаний.

Передача и защита информации

В большинстве современных систем связи в качестве носителя информации используются гармонические колебания. Информационный сигнал в передатчике модулирует эти колебания по амплитуде, частоте или фазе, а в приемнике информация выделяется с помощью обратной операции - демодуляции. Модуляция носителя может осуществляться либо за счет модуляции уже сформированных гармонических колебаний, либо путем управления параметрами генератора в процессе формирования колебаний.

Аналогичным образом можно производить модуляцию хаотического сигнала информационным сигналом. Однако возможности здесь значительно шире. Действительно, если в случае гармонических сигналов управляемых характеристик - всего три (амплитуда, фаза и частота), то в случае хаотических колебаний даже небольшое изменение параметра даетнадежно фиксируемоеизменение характера колебаний. Это означает, что у источников хаоса с изменяемыми параметрами имеется широкий набор схем ввода информационного сигнала в хаотический (то естьмодуляции хаотического сигнала информационным). Кроме того, хаотические сигналы принципиально являются широкополосными, интерес к которым в радиотехнике традиционен и связан с большей информационной емкостью. В системах связи широкая полоса частот несущих сигналов используется как для увеличения скорости передачи информации, так и для повышения устойчивости работы систем при наличии возмущений.

В последнее время в связи с развитием спутниковых, мобильных, сотовых и волоконно-оптических многопользовательских коммуникационных систем большое внимание привлекаютсигналы с расширением спектра, где полоса частот передаваемого сигнала может быть значительно шире полосы частот информационного сигнала.

Рис. 4.Пример схемы связи с использованием хаоса. Передатчик и приемник включают в себя такие же нелинейные и линейные системы, как источник. Дополнительно в передатчик включен сумматор, а в приемник - вычитатель. В сумматоре производится сложение хаотического сигнала источника и информационного сигнала, а вычитатель приемника предназначен для выделения информационного сигнала. Сигнал в канале хаосоподобный и не содержит видимых признаков передаваемой информации, что позволяет передавать конфиденциальную информацию. Сигналы в точкахАиА', БиБ'попарно равны. Поэтому при наличии входного информационного сигналаSна входе сумматора передатчика такой же сигнал будет выделяться на выходе вычитателя приемника.

Сфера применения хаотических сигналов не ограничивается системами с расширением спектра. Они могут быть использованы для маскировки передаваемой информации ибезрасширения спектра, то есть при совпадении полосы частот информационного и передаваемого сигналов.

Все это стимулировало активные исследования хаотических коммуникационных систем. К настоящему времени на основе хаоса предложено несколько подходов для расширения спектра информационных сигналов, построения самосинхронизующихся приемников и развития простых архитектур передатчиков и приемников. Идея большинства предложенных решений базируется на синхронизации "ведомой системой" (приемником) исходного невозмущенного хаотического сигнала, генерируемого "ведущей системой" (передатчиком). С помощью таких схем связи может передаваться как аналоговая, так и цифровая информация с различными скоростями информационных потоков и разной степенью конфиденциальности. Еще одним потенциальным достоинством схем связи с использованием хаоса является возможность реализации новых методов разделения каналов, что особенно важно в многопользовательских коммуникационных системах.

Если до недавнего времени проблемаконфиденциальностипередачи информации и более широкая проблемазащиты информацииотносились в основном к военным и специальным применениям, то теперь все важнее становится рынок гражданских приложений. Примерами могут служить защита коммерческой информации в компьютерах и компьютерных сетях, безопасность электронных платежей, защита от пиратского копирования CD-ROM, музыкальных и видеодисков, защита от копирования музыкальной, видео- и другой информации, распространяемой по компьютерным сетям, Интернет-телефония и пр.

К защите коммерческой информации предъявляются требования, существенно отличающиеся от "классических". В частности, типичным требованием становится возможность массового применения и низкая себестоимость на единицу "информационной" продукции. Кроме того, могут меняться и подходы к защите. Так, для защиты музыкальной и видеоинформации на компакт-дисках от пиратского копирования нет необходимости в том, чтобы записанная информация была полностью недоступна для "злоумышленника": вполне достаточно просто снизить качество воспроизведения до неприемлемого для потребителя уровня.

При решении таких "бытовых" проблем защиты информации в перспективе могут успешно применяться средства, основанные на детерминированном хаосе.

Безусловно, конкретные примеры применения хаоса в информационных и коммуникационных технологиях, приведенные в статье, отражают в первую очередь научные интересы и взгляды автора и коллектива, в котором он работает. Вместе с тем они дают представление о том, как с помощьюхаосаможно решать созидательные задачи.

6.Хаоса в других науках

Британские физики создали систему, которая приводит хаос в порядок

Математики рассчитали оптимальную стратегию борьбы с эпидемией

Традиционно считается, что лучший способ борьбы с заболеванием - вакцинация как можно большего числа людей. В рамках нового исследования ученые установили, что это не так. Если эпидемию рассматривать как динамический процесс, то время вакцинации оказывается не менее важным, чем количество привитых индивидуумов.

Используя вероятностную модель для описания процессов заражения, повторного заражения и распространения заболевания, ученые смогли установить, что при фиксированном количестве доступной вакцины лучшая стратегия - проведение серии интенсивных мероприятий по прививанию. Оказалось, что подобная серия работает эффективнее отдельно взятой массивной вакцинации.

Муравьиные алгоритмы в действии

В компании Pacific Northwest National Laboratory нашли новый подход к анализу безопасности компьютерных сетей. Для борьбы с вредоносным ПО предложено использовать "муравьиные алгоритмы".

Вывод

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Список литературы

1. Пайтген Х. О., Рихтер П. Х. «Красота фракталов».

2. В. И. Кувшинов, А. В. Кузьмин «Калибровочные поля и теория детерминированного хаоса»

3. Шустер Г. «Детерминированный хаос: введение».

4. Рюэль Д. «Случайность и хаос». – Ижевск: НИЦ, 2001, 192стр.

5. Кроновер Р.М. «Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории».

6. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. «Новые методы хаотической динамики». — М.: Едиториал УРСС, 2004, 320 с.

superbotanik.net

Реферат - Теория хаоса - это учение о сложных нелинейных динамических системах

СИНЕРГЕТИКА

Теория хаоса

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ХАОСА

2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ХАОСА В РЕАЛЬНОМ МИРЕ

3. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

4. ДВИЖЕНИЕ БИЛЛИАРДНОГО ШАРИКА

5. ИНТЕГРАЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ФРАКТАЛОВ И ХАОС

ВВЕДЕНИЕ

Что означает “синергетика”? Термин «синергетика» происходит от греческого «синергена» — содействие, сотрудничество. Предложенный Г. Хакеном, этот термин акцентирует внимание на согласованности взаимодействия частей при образовании структуры как единого целого.

Большинство существующих ныне учебников, справочников и словарей обходят неологизм Хакена молчанием. Заглянув в энциклопедии последних изданий, мы с вероятностью, близкой к единице, обнаружим в них не синергетику, а «синергизм» 1.Совместное и однородное функционирование органов (например, мышц) и систем; 2. Комбинированное действие лекарственных веществ на организм, при котором суммарный эффект превышает действие, оказываемое каждым компонентом в отдельности.

Фигура умолчания объясняется не только новизной термина «синергетика», но и тем, что X — наука, занимающаяся изучением процессов самоорганизации и возникновения, поддержания, устойчивости и распада структур самой различной природы, еще далека от завершения и единой общепринятой терминологии (в том числе и единого названия всей теории) пока не существует. Бурные темпы развития новой области, переживающей период «штурма и натиска», не оставляют времени на унификацию понятий и приведение в стройную систему всей суммы накопленных фактов. Кроме того, исследования в новой области ввиду ее специфики ведутся силами и средствами многих современных наук, каждая из которых обладает свойственными ей методами и сложившейся терминологией. Параллелизм и разнобой в терминологии и системах основных понятий в значительной мере обусловлены также различием в подходе и взглядах отдельных научных школ и направлений и в акцентировании ими различных аспектов сложного и многообразного процесса самоорганизации.

Теория хаоса — это учение о сложных нелинейных динамических системах. Ниже рассматривается истинное положение вещей, как ответ многим ошибочным представлениям об этой области науки.

1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ХАОСА

ЧТО ТАКОЕ ТЕОРИЯ ХАОСА?

Формально, теория хаоса определяется как учение о сложных нелинейных динамических системах. Под термином сложные это и понимается, а под термином нелинейные понимается рекурсия и алгоритмы из высшей математики, и, наконец, динамические — означает непостоянные и непериодические. Таким образом,

это учение о постоянно изменяющихся сложных системах, основанное не математических концепциях рекурсии, в форме ли рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему.

НЕПРАВИЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ТЕОРИИ ХАОСА

Широкая общественность обратила внимание на теорию хаоса благодаря таким фильмам, как Парк юрского периода, и благодаря им же, постоянно увеличивается опасение теории хаоса со стороны общества. Однако, как и в отношении любой вещи, освещаемой средствами массовой информации, в отношении теории хаоса возникло много неправильных представлений.

ТЕОРИЯ ХАОСА О БЕСПОРЯДКЕ

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса — это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок — и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это, правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы — наследственной непредсказуемости системы — а на унаследованном ей порядке — общем в поведении похожих систем.

Рис 1. Аттрактор Лоренца

Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца. Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.

ТЕОРИЯ ХАОСА О БЕСПОРЯДКЕ

Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с колебаниями числа Авогадро (очень маленькое число порядка 1024 ), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.

Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т.к. он выражает общее поведение системы.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы — в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

2 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ХАОСА В РЕАЛЬНОМ МИРЕ

При появлении новых теорий, все хотят узнать, что же в них хорошего. И так что хорошего в теории хаоса?

Первое и самое важное — теория хаоса — это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые — вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени — представляют общее поведение системы. Вместо того чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные — т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

Однако согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех, что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего — от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как, например, очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как, например коэффициента сжатия 600:1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики.

3 БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

Рис 2. Частотная диаграмма

Броуновское движение — это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму, которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи Броуновского движения.

Частотные диаграммы, созданные при построении графика на основе Броуновских чисел так же можно преобразовать в музыку. Конечно, этот тип фрактальной музыки совсем не музыкален и может действительно утомить слушателя. Занося на график случайно Броуновские числа, можно получить Пылевой Фрактал наподобие того, что приведен здесь в качестве примера.

Кроме применения Броуновского движения для получения фракталов из фракталов, оно может использоваться и для создания ландшафтов. Во многих фантастических фильмах, как, например Star Trek техника Броуновского движения была использована для создания инопланетных ландшафтов таких, как холмы и топологические картины высокогорных плато. Эти техники очень эффективны, и их можно найти в книге Мандельброта Фрактальная геометрия природы. Мандельброт использовал Броуновские линии для создания фрактальных линий побережья и карт островов (которые на самом деле были просто в случайном порядке изображенные точки) с высоты птичьего полета.

4 ДВИЖЕНИЕ БИЛЛИАРДНОГО ШАРИКА

Любой, кто когда-либо брал в руки кий для бильярда, знает, что ключ к игре — точность. Малейшая ошибка в угле начального удара может быстро привести к огромной ошибке в положении шарика всего после нескольких столкновений. Эта чувствительность к начальным условиям называемая хаосом возникает непреодолимым барьером для любого, кто надеется предсказать или управлять траекторией движения шарика больше чем после шести или семи столкновений. И не стоит думать, что проблема заключается в пыли на столе или в нетвердой руке. Фактически, если вы используете ваш компьютер для построения модели, содержащей бильярдный стол, не обладающий ни каким трением, нечеловеческим контролем точности позиционирования кия, вам все равно не удастся предсказывать траекторию шарика достаточно долго!

Насколько долго? Это зависит частично от точности вашего компьютера, но в большей степени от формы стола. Для совершенно круглого стола, можно просчитать приблизительно до 500 положений столкновений с ошибкой около 0.1 процента. Но стоит изменить форму стола так, чтобы она стала хотя бы немножко неправильной (овальной), и непредсказуемость траектории может превышать 90 градусов уже после 10 столкновений! Единственный путь получить картинку общего поведения бильярдного шарика, отскакивающего от чистого стола — это изобразить угол отскока или длину дуги соответствующую каждому удару. Здесь приведены два последовательных увеличения такой фазово-пространственной картины.

Каждая отдельная петля или область разброса точек представляет поведение шарика, происходящее от одного набора начальных условий. Область картинки, на которой отображаются результаты какого-то одного конкретного эксперимента, называется аттракторной областью для данного набора начальных условий. Как можно видеть форма стола, использованного для этих экспериментов является, основной частью аттракторных областей, которые повторяются последовательно в уменьшающемся масштабе. Теоретически, такое самоподобие должно продолжаться вечно и если мы будем увеличивать рисунок все больше и больше, мы бы получали все те же формы. Это называется очень популярным сегодня, словом фрактал.

5 ИНТЕГРАЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ФРАКТАЛОВ И ХАОС

Из рассмотренных примеров детерминистских фракталов можно увидеть, что они не проявляют никакого хаотического поведения и что они на самом деле очень даже предсказуемы. Как известно, теория хаоса использует фрактал для того, чтобы воссоздать или найти закономерности с целью предсказания поведения многих систем в природе, таких как, например, проблема миграции птиц.

Теперь давайте посмотрим, как это в действительности происходит. Используя фрактал, называемый Деревом Пифагора, не рассматриваемого здесь (который, кстати, не изобретен Пифагором и никак не связан с теоремой Пифагора) и Броуновского движения (которое хаотично), давайте, попытаемся сделать имитацию реального дерева. Упорядочение листьев и веток на дереве довольно сложно и случайно и, вероятно не является чем-то достаточно простым, что может эмулировать короткая программа из 12 строк.

Для начала нужно сгенерировать Дерево Пифагора (слева). Результат напоминает те старые детсадовские рисунки… Так что давайте, сделаем ствол толще. На этой стадии Броуновское движение не используется. Вместо этого, каждый отрезок линии теперь стал линией симметрии прямоугольника, который становится стволом, и веток снаружи.

Но результат все еще выглядит слишком формальным и упорядоченным. Дерево еще не смотрится как живое. Попробуем применить некоторые из тех знаний в области детерминированных фракталов, которые мы только что приобрели.

Теперь можно использовать Броуновское движение для создания некоторой случайной беспорядочности, которая изменяет числа, округляя их до двух разрядов. В оригинале были использованы 39 разрядные десятичные числа. Результат (слева) не выглядит как дерево. Вместо этого, он выглядит как хитроумный рыболовный крючок!

Может быть округление до 2 разрядов было слишком уж много? Снова применяем Броуновское движение, округленное на этот раз до 7 разрядов. Результат по-прежнему выглядит как рыболовный крючок, но на этот раз в форме логарифмической спирали!

Так как левая сторона (содержащая все нечетные числа) не производит эффект крючка, случайные беспорядочности, произведенные Броуновским движением применяются дважды ко всем числам с левой стороны и только один раз к числам справа. Может быть этого будет достаточно чтобы исключить или уменьшить эффект логарифмической спирали. Итак, числа округляются до 24 разрядов. На этот раз, результат — приятно выглядящая компьютеризированная хаотическая эмуляция реального дерева.

www.ronl.ru

Реферат: Теория хаоса

План

Введение

1. Возникновение и история теории хаоса

2. Порядок и беспорядок

3. Прикладной хаос

4. Основные принципы хаоса (аттракторы и фракталы)

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

6. Хаоса в других науках

7. Последствия хаоса

Вывод

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем". Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир".

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: "Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства - его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа - количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.

2. Порядок и беспорядок

Порядок и беспорядок

В последнее время на роль такого понятия все чаще претендует слово «хаос».

3. Прикладной хаос

Очень часто дискутируется вопрос: для чего нужен хаос?

Приведем простой пример — задачу о динамике судна или нефтяной платформы при наличии волнения . В известном приближении, это нелинейная динамическая система с внешним периодическим воздействием. Нормальное, рабочее расположение судна отвечает одному аттрактору системы, перевернутое — другому. Можно задаться вопросом, как расположен и как устроен бассейн притяжения второго аттрактора. Как он зависит от интенсивности волнения? Ясно, что попадание в бассейн притяжения второго аттрактора ведет к катастрофе! Подчеркнем, что только нелинейный анализ обеспечивает всестороннее понимание ситуации, выработку условий и рекомендаций по избежанию катастрофы.

Основным понятием теории хаоса является аттракторы и фракталы.

Аттрактор

Четыре аттрактора формируют основную структуру внешнего мира, характер поведения и движения рынка. Теория хаоса находится в полном противоречии с аналитической теорией. Она даем нам новую метафизику. Она концентрируется на происходящем в данный момент, что значительно важнее при анализе рынка. Теория хаоса дает более полную картину, охватывая всю реку-рынок, в ее течении, со всеми неожиданными поворотами и сюрпризами. Умение замечать происходящие изменения в потоке является задачей действенного рыночного анализа и противоядием от догматизма, роковой "болезни" трейдеров. Рынок часто кажется таким же хаотичным, как и наш внутренний мир, наш поток сознания. Чтобы извлечь из этого хаоса какой-либо смысл, мы должны обнаружить базовую структуру для реальности и рынка - несущую структуру, которая вскрывает порядок, лежащий в основе хаоса.

Чтобы использовать мышление для сортировки явлений и научиться понимать смысл происходящего, мы должны, прежде всего, найти основную структуру реальности. Структуру, вскрывающую порядок, который лежит в основе хаоса. Существует четыре нелинейные функции, которые помогают нам определить этот порядок в нашем собственном сознании. Ученые, исследующие хаос, обнаружили, что кажущиеся хаотичными, не подчиняющимися никаким законам процессы, в действительности, следуют скрытому порядку. Порядок, который они открыли, четырехкратный: все внешние явления действуют в соответствии с тем, что они называют четырьмя аттракторами - силами, которые извлекают порядок из беспорядка. Они называются точечным аттрактором, циклическим аттрактором, аттрактором Торас, и странным аттрактором.

Третий, более сложный, вид аттрактора известен как аттрактор Торас. Он начинает сложную циркуляцию, которая повторяет себя по мере движения вперед. Он живет в третьем измерении, которое состоит из бесконечного числа плоскостей. По сравнению с циклическим и точечным аттракторами, аттрактор Торас вводит большую степень беспорядочности, и его модели более сложны. На этом уровне, предсказания носят более точный характер, а модели имеют тенденцию казаться более законченными. Графически он выглядит как кольцо или рогалик. Он образует спиралевидные круги на ряде различных плоскостей, и иногда возвращается сам к себе, завершая полный оборот. Его основная характеристика - повторяющееся действие. Подобные явления можно также наблюдать в стремлении мировых активов к безопасности. Если ставка по государственным бумагам повышается, они привлекают больше инвесторов. Затем повышаются цены на них, что опускает процентную ставку, и делает их менее привлекательными и т. д.

Фракталы

Фракталы:

Геометрические фракталы

Рис 1. Построение триодной кривой Кох.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триодную кривую Кох . Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом

Алгебраические фракталы

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Рис 3. Множество Мандельброта.

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке , (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Рис 4. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря .

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

По аналогии явлению нерегулярного (хаотического) движения в нелинейных системах был присвоен терминдинамический, или детерминированный, хаос. Наблюдаемое хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума, не из-за большого числа степеней свободы и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой. Оно порождается собственной динамикой нелинейной детерминированной системы. В фазовом пространстве системы такому поведению соответствует странный аттрактор. Аттрактор (attractor) в переводе с английского означает "притягиватель"; в данном случае это множество траекторий в фазовом пространстве, к которым притягиваются все остальные траектории из некоторой окрестности аттрактора, называемой также бассейном притяжения. Термин "странный" используется, чтобы подчеркнуть необычность свойств аттрактора, соответствующего хаотическому поведению. Причиной нерегулярности поведения является свойство нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Предсказать поведения траекторий хаотических систем на длительное время невозможно, поскольку чувствительность к начальным условиям высока, а начальные условия, как в физических экспериментах, так и при компьютерном моделировании, можно задать лишь с конечной точностью.

Управление хаосом

Пусть, например, имеется система со странным аттрактором, и требуется перевести фазовую траекторию из одной точки аттрактора в другую. Хаотические траектории обладают свойством с течением времени попадать в окрестность любойточки, принадлежащей аттрактору. Если нужно, чтобы это произошло через время, не большее, чем Т, требуемый результат может быть получен за счет одного или серии малозаметных, незначительных возмущений траектории. Каждое из этих возмущений лишь слегка меняет траекторию. Но через некоторое время накопление и экспоненциальное усиление малых возмущений приводит к достаточно сильной коррекции траектории. При правильном выборе возмущений это позволяет решить поставленную задачу, не уводя траекторию с хаотического аттрактора. Таким образом, системы с хаосом демонстрируют одновременно и хорошую управляемость и удивительную пластичность: система чутко реагирует на внешние воздействия, при этом сохраняя тип движения. Комбинация управляемости и пластичности, по мнению многих исследователей, является причиной того, что хаотическая динамика является характерным типом поведения для многих жизненно важных подсистем живых организмов. Например, хаотический характер сердечного ритма позволяет сердцу гибко реагировать на изменение физических и эмоциональных нагрузок, обеспечивая запас динамической прочности.

Хаос, как бы он ни был интересен, - это лишь часть сложного поведения нелинейных систем. Существует также не поддающееся интуитивному осознанию явление, которое можно было бы назвать антихаосом. Оно выражается в том, что некоторые весьма беспорядочные системы спонтанно "кристаллизуются", приобретая высокую степень упорядоченности. Предполагается, что антихаос играет важную роль в биологическом развитии и эволюции.

Игра "Жизнь" в клеточных автоматах

Совокупность правил этого клеточного автомата (то есть параметров системы) такова, что его поведение находится в узкой зоне между областями устойчивости и хаоса. В системе наблюдается поведение, похожее на "настоящие" жизненные процессы. Кроме того, при анализе таких объектов, как "глайдеры" и "катапульты", математически доказана эквивалентность игры "Жизнь" машине Тьюринга, и, тем самым, доказано наличие в ней процессов, эквивалентных универсальным вычислениям.

Биологическая эволюция

Со времен Дарвина биологи рассматривали эволюцию как процесс естественного отбора. Однако возможно, что биологический порядок отчасти отражает спонтанную упорядоченность, на фоне которой действовал механизм естественного отбора. Другими словами, в процессе эволюции в пространстве морфологических признаков могут быть реализованы не все комбинации, а только некоторое избранное множество "аттракторов". То есть трудно ожидать, что любые уродства возможны. Кроме того, такой механизм значительно ускоряет процесс эволюции. Он резко сужает множество допустимых траекторий движения и, тем самым, необходимое число "итераций" для появления того или иного биологического вида. Здесь уместна аналогия между скоростью сходимости случайного и градиентного методов поиска экстремума: в первом случае поиск ведется по всей области изменения переменных, а во втором - только вдоль определенной траектории.

Самоорганизованная критичность

Как можно себе представить механизм адаптации в связанных динамических системах? Заманчиво выглядит модель эволюционного равновесия (кромки хаоса) как некоего вида хаотической синхронизации. Действительно, процесс синхронизации резко упрощает динамику системы, снижая размерность ее аттрактора. Он напрямую определяется степенью связности системы - "адаптивный механизм" движения к кромке хаоса включается только при наличии достаточно сильных связей.

Порождение информации хаотическими системами

Рис.

Рис. 2. Пример применения технологии для поиска информации в неструктурированных текстовых архивах. В качестве архива используется текст книжки "Винни-Пух и все-все-все". В ответ на вопрос Пуха "Зачем пчелы делают мед?" система предлагает фрагмент текста, содержащий фразу: "Единственная причина делать мед - та, чтобы я мог есть его".

Запись, хранение и поиск информации с помощью хаоса

Эта идея возникла и получила развитие при попытках понять, чем может быть полезен хаос в обработке информации живыми системами. Были построены математические модели, которые демонстрировали принципиальную возможность записи, хранения и извлечения информации с помощью траекторий динамических систем с хаосом. Эти модели казались очень простыми, и эксперт одного уважаемого международного журнала написал в своей рецензии: "Это просто игрушечные модели, и на их основе не может быть создана никакая технология ни на Востоке, ни на Западе". Однако вскоре за исследования в этом направлении был присужден Главный приз на конкурсе компании "Хьюлетт-Паккард" по распознаванию образов. Развитие "игрушек" привело к тому, что их потенциальная информационная емкость значительно превысила объем всей информации, имеющейся в Интернете (патент РФ 2050072, патент США US 5774587). И даже на скромных "писишках" стало возможным синтезировать динамические системы с объемом записанной информации, эквивалентной среднему собранию сочинений.

Рис.

Передача и защита информации

В большинстве современных систем связи в качестве носителя информации используются гармонические колебания. Информационный сигнал в передатчике модулирует эти колебания по амплитуде, частоте или фазе, а в приемнике информация выделяется с помощью обратной операции - демодуляции. Модуляция носителя может осуществляться либо за счет модуляции уже сформированных гармонических колебаний, либо путем управления параметрами генератора в процессе формирования колебаний.

Аналогичным образом можно производить модуляцию хаотического сигнала информационным сигналом. Однако возможности здесь значительно шире. Действительно, если в случае гармонических сигналов управляемых характеристик - всего три (амплитуда, фаза и частота), то в случае хаотических колебаний даже небольшое изменение параметра дает надежно фиксируемое изменение характера колебаний. Это означает, что у источников хаоса с изменяемыми параметрами имеется широкий набор схем ввода информационного сигнала в хаотический (то есть модуляции хаотического сигнала информационным). Кроме того, хаотические сигналы принципиально являются широкополосными, интерес к которым в радиотехнике традиционен и связан с большей информационной емкостью. В системах связи широкая полоса частот несущих сигналов используется как для увеличения скорости передачи информации, так и для повышения устойчивости работы систем при наличии возмущений.

Рис.

Рис. 4. Пример схемы связи с использованием хаоса. Передатчик и приемник включают в себя такие же нелинейные и линейные системы, как источник. Дополнительно в передатчик включен сумматор, а в приемник - вычитатель. В сумматоре производится сложение хаотического сигнала источника и информационного сигнала, а вычитатель приемника предназначен для выделения информационного сигнала. Сигнал в канале хаосоподобный и не содержит видимых признаков передаваемой информации, что позволяет передавать конфиденциальную информацию. Сигналы в точках А и А', Б и Б' попарно равны. Поэтому при наличии входного информационного сигнала Sна входе сумматора передатчика такой же сигнал будет выделяться на выходе вычитателя приемника.

Все это стимулировало активные исследования хаотических коммуникационных систем. К настоящему времени на основе хаоса предложено несколько подходов для расширения спектра информационных сигналов, построения самосинхронизующихся приемников и развития простых архитектур передатчиков и приемников. Идея большинства предложенных решений базируется на синхронизации "ведомой системой" (приемником) исходного невозмущенного хаотического сигнала, генерируемого "ведущей системой" (передатчиком). С помощью таких схем связи может передаваться как аналоговая, так и цифровая информация с различными скоростями информационных потоков и разной степенью конфиденциальности. Еще одним потенциальным достоинством схем связи с использованием хаоса является возможность реализации новых методов разделения каналов, что особенно важно в многопользовательских коммуникационных системах.

6. Хаоса в других науках

Британские физики создали систему, которая приводит хаос в порядок

Математики рассчитали оптимальную стратегию борьбы с эпидемией

Используя вероятностную модель для описания процессов заражения, повторного заражения и распространения заболевания, ученые смогли установить, что при фиксированном количестве доступной вакцины лучшая стратегия - проведение серии интенсивных мероприятий по прививанию. Оказалось, что подобная серия работает эффективнее отдельно взятой массивной вакцинации.

Муравьиные алгоритмы в действии

Вывод

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Список литературы

1. Пайтген Х. О., Рихтер П. Х. «Красота фракталов».

2. В. И. Кувшинов, А. В. Кузьмин «Калибровочные поля и теория детерминированного хаоса»

3. Шустер Г. «Детерминированный хаос: введение».

4. Рюэль Д. «Случайность и хаос». – Ижевск: НИЦ, 2001, 192стр.

5. Кроновер Р.М. «Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории».

6. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. «Новые методы хаотической динамики». — М.: Едиториал УРСС, 2004, 320 с.

www.referatmix.ru

Реферат Теория хаоса

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Основные сведения
2 Понятие хаоса
- 2.1 Чувствительность к начальным условиям
- 2.2 Топологическое смешивание
- 2.3 Тонкости определения
3 Аттракторы
4 Странные аттракторы
5 Простые хаотические системы
6 Математическая теория
7 Хронология
8 Применение
9 Различия между случайными и хаотическими данными

Введение

Теория хаоса — область исследований, связывающая математику, физику и философию.

1. Основные сведения

2. Понятие хаоса

она должна быть чувствительна к начальным условиям
она должна иметь свойство топологического смешивания
её периодические орбиты должны быть всюду плотными.

Более точное математические условия возникновения хаоса выглядят так:

Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5 (т.е. порядок дифференциального уравнения не менее 3-го).

2.1. Чувствительность к начальным условиям

2.2. Топологическое смешивание

2.3. Тонкости определения

3. Аттракторы

График аттрактора Лоренца для значений r = 28, σ = 10, b = 8/3

4. Странные аттракторы

5. Простые хаотические системы

6. Математическая теория

7. Хронология

8. Применение

9. Различия между случайными и хаотическими данными

выбрать тестируемое состояние;
найти несколько подобных или почти подобных состояний; и
сравнить их развитие во времени.

Литература

Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. 3-е изд. М.: УРСС, 2001.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. М.: УРСС, 2006.

www.wreferat.baza-referat.ru

Реферат: Теория хаоса:. Реферат теория хаоса

Реферат Теория хаоса

План:

Введение

1. Основные сведения

2. Понятие хаоса

2.1. Чувствительность к начальным условиям

2.2. Топологическое смешивание

2.3. Тонкости определения

3. Аттракторы

4. Странные аттракторы

5. Простые хаотические системы

6. Математическая теория

7. Хронология

8. Применение

9. Различия между случайными и хаотическими данными

Литература

Реферат - Теория хаоса - Биология

Фракталы:

Геометрические фракталы

Алгебраические фракталы

Стохастические фракталы

Управление хаосом

Игра «Жизнь» в клеточных автоматах

Биологическая эволюция

Самоорганизованная критичность

Порождение информации хаотическими системами

Запись, хранение и поиск информации с помощью хаоса

Передача и защита информации

Теория хаоса

Реферат: Теория хаоса

Фракталы:

Геометрические фракталы

Алгебраические фракталы

Стохастические фракталы

Управление хаосом

Игра "Жизнь" в клеточных автоматах

Биологическая эволюция

Самоорганизованная критичность

Порождение информации хаотическими системами

Запись, хранение и поиск информации с помощью хаоса

Передача и защита информации

Реферат - Теория хаоса - это учение о сложных нелинейных динамических системах

Реферат: Теория хаоса

Фракталы:

Геометрические фракталы

Алгебраические фракталы

Стохастические фракталы

Управление хаосом

Игра "Жизнь" в клеточных автоматах

Биологическая эволюция

Самоорганизованная критичность

Порождение информации хаотическими системами

Запись, хранение и поиск информации с помощью хаоса

Передача и защита информации

Реферат Теория хаоса

План:

Введение

1. Основные сведения

2. Понятие хаоса

2.1. Чувствительность к начальным условиям

2.2. Топологическое смешивание

2.3. Тонкости определения

3. Аттракторы

4. Странные аттракторы

5. Простые хаотические системы

6. Математическая теория

7. Хронология

8. Применение

9. Различия между случайными и хаотическими данными

Литература

Смотрите также