? То-то, а вот достаточно представить эти числа арабскими цифрами и мы легко сможем посчитать в столбик
.Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Геоинформационных систем
по дисциплине Информатика
Выполнили:
студенты гр. ИСТ-111
Абрамов С. А.
Проверил преподаватель:
Васильева М.И.
Уфа 2007
Содержание.
1 Введение_____________________________________________________3
2 Непозиционные системы счисления______________________________3
3 Позиционные системы счисления________________________________3
3.1 Введение___________________________________________________3
3.2 Преобразование чисел________________________________________4
3.3 Шестидесятеричная система счисления__________________________6
4 Двоичная система счисления____________________________________7
5 Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений____________10
6 Перевод из одной системы счисления в другую____________________12
7 Список используемой литературы_______________________________14
Для начала проведем границу между числом и цифрой. Число это некоторая абстрактная сущность для описания количества. Цифры это знаки используемые для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространенными являются арабские цифры, они представляются известными знаками от нуля (0) до девяти (9), еще распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или в обозначении века (IXX век).
Итак запомним: число, это абстрактная мера количества, цифра это знак для записи числа.
Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы грубо можно разделить на две части:
Позиционные системы счислений мы рассмотрим более подробно ниже. Расскажем вкратце о непозиционных системах счислениях.
В непозиционной системе счисления величина числа не зависит от положения цифры в представлении числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять сколько стоит пылесос, в непозиционной системе такого не случиться. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система.
Чем хороши позиционные системы счисления? Тем, что они позволяют легко производить арифметические расчеты. Попробуйте считать используя, например римские цифры. Сколько будет ? То-то, а вот достаточно представить эти числа арабскими цифрами и мы легко сможем посчитать в столбик.
Представление чисел с помощью арабских цифр самая распространенная позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр. Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Внимательно их пересчитайте – их ровно десять. Замете: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).
Компьютер, в отличии от человека, хорошо разбирается в двоичной системе, он использует цифры: 0 и 1. Обратите внимание, что и здесь: система двоичная, а максимальная цифра 1.
Программисты пользуются, для упрощения себе жизни, еще восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.
Количество цифр используемых в системе счисления называется «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе основание равно двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно восьми и шестнадцати.
В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: (anan − 1...a0)f, где a0,a1,...,an - цифры, а f - основание системы счисления. Если используется десятичная система, то f – можно опустить.
Примеры чисел:
110012 - число в двоичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 0,a2 = 0,a3 = 1,a4 = 1;
2213 - число в троичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 2,a2 = 2;
318 - число в восьмеричной системе счисления, a0 = 1,a1 = 3;
2510 - число в десятичной системе счисления, a0 = 5,a1 = 2;
studfiles.net
Содержание
Что такое система счисления?
Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Сложение в различных системах счисления
Вычитание в различных системах счисления
Умножение в различных системах счисления
Деление в различных системах счисления
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.
Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.
Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел
· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
· в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
| Двоичная система | Четверичная система | Восьмеричная система | Десятичная система | Шестнадцатиричная система |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 10 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 11 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 100 | 10 | 4 | 4 | 4 |
| 101 | 11 | 5 | 5 | 5 |
| 110 | 12 | 6 | 6 | 6 |
| 111 | 13 | 7 | 7 | 7 |
| 1000 | 20 | 10 | 8 | 8 |
| 1001 | 21 | 11 | 9 | 9 |
| 1010 | 22 | 12 | 10 | A |
| 1011 | 23 | 13 | 11 | B |
| 1100 | 30 | 14 | 12 | C |
| 1101 | 31 | 15 | 13 | D |
| 1110 | 32 | 16 | 14 | E |
| 1111 | 33 | 17 | 15 | F |
| 10000 | 40 | 20 | 16 | 10 |
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво ;
· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
· двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – "p ". Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p :
N = an pn +an-1 pn-1 +… +a1 p+a0+a-1 p-1 +a-2 p-2 +… (1.1)
здесь N – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p >1 ). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:
N = an an -1 ... a 1 a . a -1 a -2 ...
Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16 .
Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.125102 с.с.
| 1. Переведем целую часть: | 2. Переведем дробную часть: | 3. Таким образом: |
2310 = 101112 ; 0.12510 = 0.0012 . Результат: 23.12510 = 10111.0012 . |
Системы счисления называются кратными, если выполняется соотношение: S = RN, где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).
Для перевода числа из системы счисления R в кратную ей систему счисления S поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S .
Таблица
| Перевести 1101111001.11012«8» с.с. | Перевести 11111111011.1001112«16» с.c. |
Для перевода числа из системы счисления S в кратную ей систему счисления R достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00 512) и младших (15,124000 ) разрядах.
| Перевести 305.48«2» с.с. | Перевести 7B2.E16«2» с.с. |
Если требуется выполнить перевод из системы счисления S в R , при условии что они не являются кратными, тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что: S = K N и R = K N .
Перевести 175.248«16» с.с.
Результат: 175.248 = 7D.516 .
Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следует выполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную систему счисления.
Для всего этого примеры
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
Например:
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:
Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
Вычитание в различных системах счисления
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
www.ronl.ru
В ведение.
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами ), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.
Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Запись произвольного числа x в P -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x = an Pn + an -1Pn -1+ … + a 1P 1+ a 0P 0+ a -1P -1+ … + a-m P-m
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.
Постановка задачи.
Программа должна считывать из файла вещественные числа с фиксированной точкой в десятиричной системе. Затем, следуя заданию, необходимо перевести числа в шестнадцатеричную систему счисления и вывести результат в файл. Далее осуществляется перевод в восьмеричную систему счисления и выполняются две операции: сложение и вычитание. Результаты этих действий перевести обратно в шестнадцатиричнуюсистему счисления, а затем в десятичную и вывести в файл.
Правила перевода чисел.
Правило перевода из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления.
Оптимальный способ перевода числа из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления будет следующим. Т.к. шестнадцатеричное число имеет основание системы счисления 16=24, а восьмеричное 8=23, то шестнадцатеричное число переводим в двоичное: каждую цифру заменяем на группу из 4-х двоичных цифр ( тетраду ) соответственно данной таблице:
С и с т е м а с ч и с л е н и я | С и с т е м а с ч и с л е н и я | ||
| 2 | 16 | 2 | 16 |
| 0000 | 1000 | 8 | |
| 0001 | 1 | 1001 | 9 |
| 0010 | 2 | 1010 | A |
| 0011 | 3 | 1011 | B |
| 0100 | 4 | 1100 | C |
| 0101 | 5 | 1101 | D |
| 0110 | 6 | 1110 | E |
| 0111 | 7 | 1111 | F |
| Таблица №1 |
Затем получившееся двоичное число разбиваем на группы по 3 цифры (триады). Далее заменяем эти триады цифры соответствующими восьмеричными цифрами. При необходимости добавить нули слева от числа для дробной части, и справа для целой части числа.
С и с т е м а с ч и с л е н и я | С и с т е м а с ч и с л е н и я | ||
| 2 | 8 | 2 | 8 |
| 000 | 100 | 4 | |
| 001 | 1 | 101 | 5 |
| 010 | 2 | 110 | 6 |
| 011 | 3 | 111 | 7 |
| Таблица №2 |
Правило перевода из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления.
Данный перевод осуществляется аналогично описанному в п. 3.1. с тем отличием, что восьмеричное число переводится в двоичное: каждая восьмеричная цифра заменяется двоичной триадой согласно таблице №2.
Затем двоичное число разбивается на тетрады (при необходимости добавить нули справа и слева от числа) которые заменяются шестнадцатеричными цифрами согласно таблице №1
Правило перевода из десятичной в любую другую систему счисления.
Перевод числа из десятичной системы в другую осуществляется с помощью деления десятичного числа на основание системы счисления, в которую переводится число. Полученные остатки от деления необходимо записать в обратном порядке. Полученное из остатков от деления число и будет являтся передставленим данного числа в системы, на основание которой делили.
Укрупненная схема алгоритма.
www.ronl.ru
