Реферат: Курсовая работа по прикладной математике:. Реферат по прикладной математике

: :

2-

-6-99/2

25

2001.

:

____________________/ /

__________________2001.

2001.

1. .

, . ,

4 0 8 7 316

= 3 2 5 1 = 216 =(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

(1, 2, 3, 4),

z=311+102+413+294

1-

41+02+83+74≤316

2-

31+22+53+4≤216

3-

51+62+33+24≤199

41+02+83+74≤316

31+22+53+4≤216 (1)

51+62+33+24≤199

1≥0, 2≥0, 3≥0, 4≥0. (2)

. (1) 5, 6, 7

41+02+83+74+5=316 (I)

31+22+53+ 4+6=216 (II) (3)

51+62+33+24+7=199 (III)

,

5 1- ,

6 2- ,

7 3- .

(3),

1≥0, 2≥0, 3≥0, 4≥0, 5≥0, 6≥0, 7≥0 (4)

,

z=311+102+413+294

.

z(x) , 3- .

:

bi 316 216 199 316

min ------- = ----- ----- ----- = -----

ai3>0 8 5 3 8

I- . :

:

1=23, 2=0, 3=28, 4=0

:

5=0;

6=7;

7=0

zmax=1861

Q-1

10/56 0 -1/7

Q-1= -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7

567

Q

8 0 4

Q= 5 1 3

3 0 5

3 6 1

.

10/568+05-1/73 10/560+01-1/70 10/564+03-1/75 1 0 0

Q-1 Q= -4/78+15-1/73 -4/70+11-1/70 -4/74+13-1/75 = 0 1 0

-6/568+05+2/73 -6/560+01+2/70 -6/564+03+2/75 0 0 1

10/56316+0216-1/7199 28

Q-1 B= -4/7316+1216-1/7199 = 7

-6/56316+0216+2/7199 23

2. .

, , 3- , , 1 1-

2 2-

3 3- .

,

4 0 8 7 316

= 3 2 5 1 = 216 =(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

1- , 4 1- , 3 2- , 5 3- .

1, 2, 3

41+32+53≥31

, 2- 2-

22+63≥10

, 3- 3-

81+52+33≥41

, 4- 4-

71+2+23≥29

,

3161+2162+1993

, :

=(1, 2, 3)

f=3161+2162+1993

, , , , :

41+32+53≥31

22+63≥10

81+52+33≥41

71+2+23≥29

1≥0, 2≥0, 3≥0

2-

=(1, 2, 3, 4) =(1, 2, 3)

1(41+32+53-31)=0

2(22+63-10)=0

3(81+52+33-41)=0

4(71+2+23-29)=0

, 1>0, x3>0

41+32+53-31=0

81+52+33-41=0

, 2- , , 2=0

41+32+53-31=0

81+52+33-41=0

:

41+53=31

1=(31-53)/4

8((31-53)/4)+33=41

-73=-21

1=(31-15)/4

1=4, 3=3

,

1=4, 2=0, 3=3

f=3161+2162+1993

f=1264+0+597=1861

2.1. .

1- 3- , . .

=(t1, 0, t3) .

,

+ Q-1≥0

=(t1, 0, t3)

w=4t1+3t3

28 10/56 0 -1/7 t1 0

7 + -4/7 1 -1/7 0 ≥ 0

23 -6/56 0 2/7 t3 0

, 1/3

t1 316

0 ≤ 1/3 216

t3 199

t1≥0, t3≥0

10/56t1-1/7t3≥-28

-4/7t1-1/7t3≥-7

-6/56t1+2/7t3≥-23

-10/56t1+1/7t3≤28

4/7t1+1/7t3≤7

6/56t1-2/7t3≤23

t1≤316/3, t3≤199/3

t1≥0, t3≥0

t1=0, t2=0, t3=49

w=4t1+3t3=3∙49=147

:

3. .

:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

∑i=45+60+65=170 .

∑bi=31+40+41+49=161 .

9 , , . 9 . - .

Θ=9 z(x1)=314+145+262+345+73+492+90=535

Θ=25 z(x2)=314+55+352+255+163+492+90=490

z(x3)=314+55+352+251+413+242+90=415

4. . .

:

- .

x4*=x4(700)=0

x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200

x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300

x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200

x1=200

x2=300

x3=200

x4=0

5. .

:

3- : 2 4 6 7 8. , short sale ?

4 49 0

m0=2, = , V=

6 0 64

mp

V

1/49 0

V-1=

0 1/64

4 1

M = I =

6 1

1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49

V-1(M-m0I)= - = =

0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16

2/49

(M-m0I)T V-1(M-m0I)=(2 4) = 65/196

1/16

:

x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2) 0,12

x2*=(mp-2) 49/260=(mp-2) 0,19

:

x0*=1-(mp-2) 0,31

mp, short sale:

(mp-2) 0,31=1

mp-2=1/0,31

mp=3,21+2

mp=5,21

, mp>5,21 x0*<0 short sale.

6. .

Q1, Q2, Q3, Q4. Qi ri . (Qi, ri) , , . .

(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)

(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)

(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)

(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)

Q1=8,4 r1=10,4

Q2=-1,8 r2=4,7

Q3=16 r3=17,4

Q4=2 r4=8,7

j(Q1)=2 Q1-r1=6,4

j(Q2)=2 Q2-r2=-8,3

j(Q3)=2 Q3-r3=14,6

j(Q4)=2 Q4-r4=-4,7

3, 2.

, , .

stud-baza.ru

Реферат - по прикладной математике

____________________/                 /

«___»_______________2001г. Москва 2001г.

Задача №1. Линейная производственная задача.

<img width=«40» height=«89» src=«ref-1_290930015-437.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027"><img width=«175» height=«89» src=«ref-1_290930452-785.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026">Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

            4          0          8          7                                  316

    А=   3          2          5          1                          В=   216                  С=(31, 10, 41, 29)

            5          6          3          2                                  199 Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль

z=31х1+10х2+41х3+29х4 Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу

4х1+0х2+8х3+7х4≤316

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу

            3х1+2х2+5х3+х4≤216

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу

            5х1+6х2+3х3+2х4≤199

<img width=«11» height=«88» src=«ref-1_290931237-343.coolpic» v:shapes="_x0000_s1050">Имеем

            4х1+0х2+8х3+7х4≤316

            3х1+2х2+5х3+х4≤216                           (1)

            5х1+6х2+3х3+2х4≤199

где по смыслу задачи

х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0.                        (2)

<img width=«11» height=«85» src=«ref-1_290931580-347.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028">Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

4х1+0х2+8х3+7х4+х5=316                                            (I)

3х1+2х2+5х3+  х4+х6=216                                           (II)       (3)

            5х1+6х2+3х3+2х4+х7=199                                             (III)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

            х5 – остаток сырья 1-го вида,

х6 – остаток сырья 2-го вида,

х7 – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности

            х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0, х5≥0, х6≥0, х7≥0                                 (4)

надо найти то решение, при котором функция

z=31х1+10х2+41х3+29х4

будет иметь наибольшее значение Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Из функции z(x)видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.

<img width=«117» height=«60» src=«ref-1_290931927-574.coolpic» v:shapes="_x0000_s1033"><img width=«50» height=«60» src=«ref-1_290932501-472.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032">Найдем ведущее уравнение:

                        bi               316   216      199         316

            min       -------  = ----------     -----     = -----

                        ai3>0          8      5           3             8 Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:

С Базис Н

31

10

41

29

Поясне-ния

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х5

316

4

8

7

1

х6

216

3

2

5

1

1

х7

199

5

6

3

2

1

∆

z-z

0-z

-31

-10

-41

-29

41

х3

39,5

1/2

1

7/8

1/8

<img width=«434» height=«21» src=«ref-1_290932973-350.coolpic» v:shapes="_x0000_s1038">

х6

18,5

1/2

2

-27/8

-5/8

1

х7

80,5

7/2

6

-5/8

-3/8

1

∆

z-z

1619,5

-21/2

-10

55/8

41/8

41

х3

28

-6/7

1

54/56

10/56

-1/7

Все ∆j≥

х6

7

8/7

-23/7

-4/7

1

-1/7

31

х1

23

1

12/7

-10/56

-6/56

2/7

∆

z-z

1861

8

5

4

3     продолжение --PAGE_BREAK--

Оптимальная производственная программа:

х1=23, х2=0, х3=28, х4=0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х5=0;

Второго вида – х6=7;

Третьего вида – х7=0

Максимальная прибыль zmax=1861

<img width=«156» height=«78» src=«ref-1_290933323-730.coolpic» v:shapes="_x0000_s1044">Обращенный базис Q-1

            10/56   0          -1/7

Q-1=     -4/7      1          -1/7

            -6/56    0          2/7

                х5                    х6                    х7

<img width=«146» height=«89» src=«ref-1_290934053-790.coolpic» v:shapes="_x0000_s1043">Базис Q

            8          0          4

Q=       5          1          3

            3          0          5

                х3                    х6                    х1 <img width=«108» height=«79» src=«ref-1_290934843-661.coolpic» v:shapes="_x0000_s1046"><img width=«425» height=«79» src=«ref-1_290935504-809.coolpic» v:shapes="_x0000_s1045">Самопроверка.

               10/56•8+0•5-1/7•3   10/56•0+0•1-1/7•0     10/56•4+0•3-1/7•5            1       0       0

Q-1 •Q=   -4/7•8+1•5-1/7•3     -4/7•0+1•1-1/7•0       -4/7•4+1•3-1/7•5        =    0       1       0

               -6/56•8+0•5+2/7•3   -6/56•0+0•1+2/7•0     -6/56•4+0•3+2/7•5            0       0       1

<img width=«204» height=«79» src=«ref-1_290936313-765.coolpic» v:shapes="_x0000_s1048"> <img width=«31» height=«79» src=«ref-1_290937078-375.coolpic» v:shapes="_x0000_s1049">

                10/56•316+0•216-1/7•199           28

Q-1 •B=    -4/7•316+1•216-1/7•199        =   7

                -6/56•316+0•216+2/7•199           23

Задача № 2 . Двойственная задача.

Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса

у2 за каждую единицу 2-го ресурса

у3 за каждую единицу 3-го ресурса.

<img width=«50» height=«88» src=«ref-1_290937453-484.coolpic» v:shapes="_x0000_s1052"><img width=«175» height=«88» src=«ref-1_290937937-768.coolpic» v:shapes="_x0000_s1051">В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид

            4          0          8          7                                  316

    А=   3          2          5          1                          В=   216                  С=(31, 10, 41, 29)

            5          6          3          2                                  199 для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят

            4у1+3у2+5у3≥31

Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида

            2у2+6у3≥10

Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида

            8у1+5у2+3у3≥41

Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида

            7у1+у2+2у3≥29

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

            316у1+216у2+199у3

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

            У=(у1, у2, у3)

Минимизирующийобщую оценку всех ресурсов

            f=316у1+216у2+199у3

<img width=«11» height=«117» src=«ref-1_290938705-419.coolpic» v:shapes="_x0000_s1053">при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

            4у1+3у2+5у3≥31

            2у2+6у3≥10

            8у1+5у2+3у3≥41

            7у1+у2+2у3≥29 При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у1≥0, у2≥0, у3≥0

На основании 2-й основной теоремы двойственности

Х=(х1, х2, х3, х4) и у=(у1, у2, у3)

<img width=«11» height=«117» src=«ref-1_290939124-399.coolpic» v:shapes="_x0000_s1054">Необходимо и достаточно выполнения условий

х1(4у1+3у2+5у3-31)=0

х2(2у2+6у3-10)=0

х3(8у1+5у2+3у3-41)=0

х4(7у1+у2+2у3-29)=0

Учитывая, что в решении исходной задачи х1>0, x3>0

<img width=«11» height=«59» src=«ref-1_290939523-335.coolpic» v:shapes="_x0000_s1055">Поэтому

4у1+3у2+5у3-31=0

            8у1+5у2+3у3-41=0

Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2=0

<img width=«11» height=«60» src=«ref-1_290939858-333.coolpic» v:shapes="_x0000_s1056">Имеем систему уравнений

4у1+3у2+5у3-31=0

            8у1+5у2+3у3-41=0

Решим систему:

4у1+5у3=31

у1=(31-5у3)/4

8((31-5у3)/4)+3у3=41

-7у3=-21

у1=(31-15)/4 откуда следует

у1=4,    у3=3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у1=4,    у2=0,    у3=3 Общая оценка всех ресурсов

f=316у1+216у2+199у3

            f=1264+0+597=1861

Задача № 2 .1. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t1, 0, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+Q-1Т≥0

Необходимо найти вектор

Т=(t1, 0, t3)

максимизирующийсуммарный прирост прибыли

<img width=«31» height=«88» src=«ref-1_290940191-386.coolpic» v:shapes="_x0000_s1060"><img width=«40» height=«88» src=«ref-1_290940577-429.coolpic» v:shapes="_x0000_s1059"><img width=«146» height=«88» src=«ref-1_290941006-759.coolpic» v:shapes="_x0000_s1058"><img width=«50» height=«88» src=«ref-1_290941765-495.coolpic» v:shapes="_x0000_s1057">            w=4t1+3t3

28                    10/56   0          -1/7            t1                     0

7          +          -4/7      1          -1/7      ·    0       ≥       0

23                    -6/56    0          2/7              t3                    0 <img width=«50» height=«89» src=«ref-1_290942260-500.coolpic» v:shapes="_x0000_s1062"><img width=«31» height=«89» src=«ref-1_290942760-376.coolpic» v:shapes="_x0000_s1061">Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t1                     316

0     ≤1/3     216

t3                     199 <img width=«11» height=«98» src=«ref-1_290943136-393.coolpic» v:shapes="_x0000_s1063">гдеt1≥0,t3≥0

10/56t1-1/7t3≥-28

-4/7t1-1/7t3≥-7

-6/56t1+2/7t3≥-23

<img width=«11» height=«88» src=«ref-1_290943529-372.coolpic» v:shapes="_x0000_s1064">

-10/56t1+1/7t3≤28

4/7t1+1/7t3≤7

6/56t1-2/7t3≤23 t1≤316/3,  t3≤199/3

t1≥0,      t3≥0

t1

t3

I

-156,8

I

196

II

12,25

II

49

III

214,66

III

-80,5

IV

105,33

V

66,33

Программа расшивки имеет вид

t1=0, t2=0, t3=49

и прирост прибыли составляет

w=4t1+3t3=3∙49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Сj

31

10

41

29

b

x4+i

yi

ti

aij

4

8

7

316

4

3

2

5

1

216

7

5

6

3

2

199

3

49

xj

23

28

1861

147

∆j

8

5

Задача № 3 . Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

                        31        40        41        49

            45        4          5          8          6

            60        3          2          5          1

            65        5          6          3          2 Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9

a1=45

31

14

*

p1=0

a2=60

26

34

p2=-3

a3=65

7

49

9

p3=-5

q1=4

q2=5

q3=8

q4=7

q5=5

Θ=9     z(x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9

a1=45

31

5

9

p1=0

a2=60

35

25

*

p2=-3

a3=65

16

49

9

p3=-5

q1=4

q2=5

q3=8

q4=7

q5=5

Θ=25   z(x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9

a1=45

31

5

9

p1=0

a2=60

35

25

p2=-3

a3=65

41

24

p3=-2

q1=4

q2=5

q3=5

q4=4

q5=

z(x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача № 4 . Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

xj

100

200

300

400

500

600

700

f1(xj)

10

23

30

38

43

49

52

f2(xj)

13

25

37

48

55

61

66

f3(xj)

16

30

37

44

48

50

49

f4(xj)

10

17

23

29

34

38

41

Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

-x2

100

200

300

400

500

600

700

x2

10

23

30

38

43

49

52

10

23

30

38

43

49

52

100

13

13

23

36

43

51

56

62

200

25

25

35

48

55

63

68

300

37

37

47

60

67

75

400

48

48

58

71

78

500

55

55

65

78

600

61

61

71

700

66

66

100

200

300

400

500

600

700

F2(  )

13

25

37

48

60

71

78

x2(  )

100

200

300

200

300

400

500

-x3

100

200

300

400

500

600

700

x3

13

25

37

48

60

71

78

13

25

37

48

60

71

78

100

16

16

29

41

53

64

76

87

200

30

30

43

55

67

78

90

300

37

37

50

62

74

85

400

44

44

57

69

81

500

48

48

61

73

600

50

50

63

700

49

49

100

200

300

400

500

600

700

F3(  )

16

30

43

55

67

78

90

x3(  )

100

200

200

200

200

200

200

-x4

100

200

300

400

500

600

700

x4

16

30

43

55

67

78

90

90

100

10

88

200

17

84

300

23

78

400

29

72

500

34

64

600

38

54

700

41

41

x4*=x4(700)=0

x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200

x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300

x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200

x1=200

x2=300

x3=200

x4=0

Задача № 5 . Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short saleи с какими ценными бумагами?

<img width=«98» height=«79» src=«ref-1_290943901-670.coolpic» v:shapes="_x0000_s1074">    продолжение --PAGE_BREAK--

www.ronl.ru

Реферат - Курсовая работа по прикладной математике

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Контрольная работа

по дисциплине «Прикладная математика»

Специальность Бухгалтерский учет и аудит

Курс 2-й

Группа БуиА-6-99/2

Студент

Студенческий билет №

ВАРИАНТ №25

« » мая 2001г.

Проверил:

____________________/ /

«___»_______________2001г.

Москва 2001г.

Задача №1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль

z=31х1 +10х2 +41х3 +29х4

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу

4х1 +0х2 +8х3 +7х4 ≤316

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу

3х1 +2х2 +5х3 +х4 ≤216

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу

5х1 +6х2 +3х3 +2х4 ≤199

Имеем

4х1 +0х2 +8х3 +7х4 ≤316

3х1 +2х2 +5х3 +х4 ≤216 (1)

5х1 +6х2 +3х3 +2х4 ≤199

где по смыслу задачи

х1 ≥0, х2 ≥0, х3 ≥0, х4 ≥0. (2)

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

4х1 +0х2 +8х3 +7х4 +х5 =316 (I)

3х1 +2х2 +5х3 + х4 +х6 =216 (II) (3)

5х1 +6х2 +3х3 +2х4 +х7= 199 (III)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х5 – остаток сырья 1-го вида,

х6 – остаток сырья 2-го вида,

х7 – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности

х1 ≥0, х2 ≥0, х3 ≥0, х4 ≥0, х5 ≥0, х6 ≥0, х7 ≥0 (4)

надо найти то решение, при котором функция

z=31х1 +10х2 +41х3 +29х4

будет иметь наибольшее значение

Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.

Найдем ведущее уравнение:

bi 316 216 199 316

min — = — ----- — = -----

ai3 >0 8 5 3 8

Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:

Оптимальная производственная программа:

х1 =23, х2 =0, х3 =28, х4 =0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х5 =0;

Второго вида – х6 =7;

Третьего вида – х7 =0

Максимальная прибыль zmax =1861

Обращенный базис Q-1

10/56 0 -1/7

Q-1 = -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7

х5 х6 х7

Базис Q

8 0 4

Q= 5 1 3

3 0 5

х3 х6 х1

Самопроверка.

10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0

Q-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0

-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1

10/56•316+0•216-1/7•199 28

Q-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7

-6/56•316+0•216+2/7•199 23

Задача № 2 . Двойственная задача.

Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса

у2 за каждую единицу 2-го ресурса

у3 за каждую единицу 3-го ресурса.

В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят

4у1 +3у2 +5у3 ≥31

Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида

2у2 +6у3 ≥10

Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида

8у1 +5у2 +3у3 ≥41

Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида

7у1 +у2 +2у3 ≥29

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

316у1 +216у2 +199у3

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

У=(у1, у2, у3 )

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f=316у1 +216у2 +199у3

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

4у1 +3у2 +5у3 ≥31

2у2 +6у3 ≥10

8у1 +5у2 +3у3 ≥41

7у1 +у2 +2у3 ≥29

При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у1 ≥0, у2 ≥0, у3 ≥0

На основании 2-й основной теоремы двойственности

Х=(х1, х2, х3, х4 ) и у=(у1, у2, у3 )

Необходимо и достаточно выполнения условий

х1 (4у1 +3у2 +5у3 -31)=0

х2 (2у2 +6у3 -10)=0

х3 (8у1 +5у2 +3у3 -41)=0

х4 (7у1 +у2 +2у3 -29)=0

Учитывая, что в решении исходной задачи х1 >0, x3 >0

Поэтому

4у1 +3у2 +5у3 -31=0

8у1 +5у2 +3у3 -41=0

Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2 =0

Имеем систему уравнений

4у1 +3у2 +5у3 -31=0

8у1 +5у2 +3у3 -41=0

Решим систему:

4у1 +5у3 =31

у1 =(31-5у3 )/4

8((31-5у3 )/4)+3у3 =41

-7у3 =-21

у1 =(31-15)/4

откуда следует

у1 =4, у3 =3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у1 =4, у2 =0, у3 =3

Общая оценка всех ресурсов

f=316у1 +216у2 +199у3

f=1264+0+597=1861

Задача № 2 .1. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t1, 0, t3 ) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q-1 Т≥0

Необходимо найти вектор

Т=(t1, 0, t3 )

максимизирующий суммарный прирост прибыли

w=4t1 +3t3

28 10/56 0 -1/7 t1 0

7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0

23 -6/56 0 2/7 t3 0

Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t1 316

0 ≤ 1/3 216

t3 199

где t1 ≥0, t3 ≥0

10/56t1 -1/7t3 ≥-28

-4/7t1 -1/7t3 ≥-7

-6/56t1 +2/7t3 ≥-23

-10/56t1 +1/7t3 ≤28

4/7t1 +1/7t3 ≤7

6/56t1 -2/7t3 ≤23

t1 ≤316/3, t3 ≤199/3

t1 ≥0, t3 ≥0

Программа расшивки имеет вид

t1 =0, t2 =0, t3 =49

и прирост прибыли составляет

w=4t1 +3t3 =3∙49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Задача № 3 . Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

Θ=9 z(x1 )=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

Θ=25 z(x2 )=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

z(x3 )=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача № 4 . Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

x4* =x4 (700)=0

x3* =x3 (700-x4* )=x3 (700)=200

x2* =x2 (700-x4* -x3* )=x2 (700-200)=x2 (500)=300

x1* =700-x4* -x3* -x2* =700-0-200-300=200

x1 =200

x2 =300

x3 =200

x4 =0

Задача № 5 . Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?

4 49 0

m0=2, М=, V=

6 0 64

Зададимся эффективностью портфеля mp

Найдем обратную матрицу к V

1/49 0

V-1 =

0 1/64

далее

4 1

M = I =

6 1

1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49

V-1 (M-m0I)= · — = · =

0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16

2/49

(M-m0I)T V-1 (M-m0I)=(2 4) · = 65/196

1/16

Рисковые доли:

x1* =(mp -2) 8/65=(mp -2) 0,12

x2* =(mp -2) 49/260=(mp -2) 0,19

Безрисковая доля:

x0* =1-(mp -2) 0,31

Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:

(mp -2) 0,31=1

mp -2=1/0,31

mp =3,21+2

mp =5,21

Следовательно, если mp >5,21 то x0* <0 и необходимо провести операцию short sale.

Задача № 6 . Провести анализ доходности и риска финансовых операций.

Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций. Нанести точки (Qi, ri ) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.

(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)

(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)

(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)

(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)

Q1 =8,4 r1 =10,4

Q2 =-1,8 r2 =4,7

Q3 =16 r3 =17,4

Q4 =2 r4 =8,7

j(Q1 )=2 Q1 -r1 =6,4

j(Q2 )=2 Q2 -r2 =-8,3

j(Q3 )=2 Q3 -r3 =14,6

j(Q4 )=2 Q4 -r4 =-4,7

Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.

Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.

www.ronl.ru

Курсовая работа по прикладной математике

Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Контрольная работа

по дисциплине «Прикладная математика»

СпециальностьБухгалтерский учет и аудит

Курс 2-й

ГруппаБуиА-6-99/2

Студент

Студенческий билет №

ВАРИАНТ №25

« » мая 2001г.

Проверил:

____________________/ /

«___»_______________2001г.

Москва 2001г.

Задача №1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль

z=31х1+10х2+41х3+29х4

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу

4х1+0х2+8х3+7х4≤316

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу

3х1+2х2+5х3+х4≤216

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу

5х1+6х2+3х3+2х4≤199

Имеем

4х1+0х2+8х3+7х4≤316

3х1+2х2+5х3+х4≤216 (1)

5х1+6х2+3х3+2х4≤199

где по смыслу задачи

х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0. (2)

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

4х1+0х2+8х3+7х4+х5=316 (I)

3х1+2х2+5х3+ х4+х6=216 (II) (3)

5х1+6х2+3х3+2х4+х7=199 (III)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х5– остаток сырья 1-го вида,

х6– остаток сырья 2-го вида,

х7– остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности

х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0, х5≥0, х6≥0, х7≥0 (4)

надо найти то решение, при котором функция

z=31х1+10х2+41х3+29х4

будет иметь наибольшее значение

Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.

Найдем ведущее уравнение:

bi316 216 199 316

min ------- = ----- ----- ----- = -----

ai3>0 8 5 3 8

Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:

С	Базис	Н	31	10	41	29	0	0	0	Поясне-ния
			х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х5	316	4	0	8	7	1	0	0
0	х6	216	3	2	5	1	0	1	0
0	х7	199	5	6	3	2	0	0	1
∆	z0-z	0-z	-31	-10	-41	-29	0	0	0
41	х3	39,5	1/2	0	1	7/8	1/8	0	0
0	х6	18,5	1/2	2	0	-27/8	-5/8	1	0
0	х7	80,5	7/2	6	0	-5/8	-3/8	0	1
∆	z0-z	1619,5	-21/2	-10	0	55/8	41/8	0	0
41	х3	28	0	-6/7	1	54/56	10/56	0	-1/7	Все ∆j≥0
0	х6	7	0	8/7	0	-23/7	-4/7	1	-1/7
31	х1	23	1	12/7	0	-10/56	-6/56	0	2/7
∆	z0-z	1861	0	8	0	5	4	0	3

Оптимальная производственная программа:

х1=23, х2=0, х3=28, х4=0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х5=0;

Второго вида – х6=7;

Третьего вида – х7=0

Максимальная прибыль zmax=1861

Обращенный базис Q-1

10/56 0 -1/7

Q-1= -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7

х5х6х7

Базис Q

8 0 4

Q= 5 1 3

3 0 5

х3х6х1

Самопроверка.

10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0

Q-1•Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0

-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1

10/56•316+0•216-1/7•199 28

Q-1•B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7

-6/56•316+0•216+2/7•199 23

Задача №2. Двойственная задача.

Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1за каждую единицу 1-го ресурса

у2за каждую единицу 2-го ресурса

у3за каждую единицу 3-го ресурса.

В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у1, у2, у3наши затраты составят

4у1+3у2+5у3≥31

Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида

2у2+6у3≥10

Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида

8у1+5у2+3у3≥41

Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида

7у1+у2+2у3≥29

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

316у1+216у2+199у3

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

У=(у1, у2, у3)

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f=316у1+216у2+199у3

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

4у1+3у2+5у3≥31

2у2+6у3≥10

8у1+5у2+3у3≥41

7у1+у2+2у3≥29

При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у1≥0, у2≥0, у3≥0

На основании 2-й основной теоремы двойственности

Х=(х1, х2, х3, х4) и у=(у1, у2, у3)

Необходимо и достаточно выполнения условий

х1(4у1+3у2+5у3-31)=0

х2(2у2+6у3-10)=0

х3(8у1+5у2+3у3-41)=0

х4(7у1+у2+2у3-29)=0

Учитывая, что в решении исходной задачи х1>0, x3>0

Поэтому

4у1+3у2+5у3-31=0

8у1+5у2+3у3-41=0

Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2=0

Имеем систему уравнений

4у1+3у2+5у3-31=0

8у1+5у2+3у3-41=0

Решим систему:

4у1+5у3=31

у1=(31-5у3)/4

8((31-5у3)/4)+3у3=41

-7у3=-21

у1=(31-15)/4

откуда следует

у1=4, у3=3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у1=4, у2=0, у3=3

Общая оценка всех ресурсов

f=316у1+216у2+199у3

f=1264+0+597=1861

Задача №2.1. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t1, 0, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q-1Т≥0

Необходимо найти вектор

Т=(t1, 0, t3)

максимизирующий суммарный прирост прибыли

w=4t1+3t3

28 10/56 0 -1/7 t10

7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0

23 -6/56 0 2/7 t30

Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t1316

0 ≤ 1/3 216

t3199

где t1≥0, t3≥0

10/56t1-1/7t3≥-28

-4/7t1-1/7t3≥-7

-6/56t1+2/7t3≥-23

-10/56t1+1/7t3≤28

4/7t1+1/7t3≤7

6/56t1-2/7t3≤23

t1≤316/3, t3≤199/3

t1≥0, t3≥0

Программа расшивки имеет вид

t1=0, t2=0, t3=49

и прирост прибыли составляет

w=4t1+3t3=3∙49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Задача №3. Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

Θ=9 z(x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

Θ=25 z(x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

z(x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

x4*=x4(700)=0

x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200

x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300

x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200

x1=200

x2=300

x3=200

x4=0

Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?

4 49 0

m0=2, М= , V=

6 0 64

Зададимся эффективностью портфеля mp

Найдем обратную матрицу к V

1/49 0

V-1=

0 1/64

далее

4 1

M = I =

6 1

1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49

V-1(M-m0I)= · - = · =

0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16

2/49

(M-m0I)TV-1(M-m0I)=(2 4) · = 65/196

1/16

Рисковые доли:

x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2) 0,12

x2*=(mp-2) 49/260=(mp-2) 0,19

Безрисковая доля:

x0*=1-(mp-2) 0,31

Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:

(mp-2) 0,31=1

mp-2=1/0,31

mp=3,21+2

mp=5,21

Следовательно, если mp>5,21 то x0*<0 и необходимо провести операцию short sale.

Задача №6. Провести анализ доходности и риска финансовых операций.

Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы Qiи риски riопераций. Нанести точки (Qi, ri) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.

(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)

(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)

(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)

(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)

Q1=8,4 r1=10,4

Q2=-1,8 r2=4,7

Q3=16 r3=17,4

Q4=2 r4=8,7

j(Q1)=2 Q1-r1=6,4

j(Q2)=2 Q2-r2=-8,3

j(Q3)=2 Q3-r3=14,6

j(Q4)=2 Q4-r4=-4,7

Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.

Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.

superbotanik.net

Доклад - Курсовая работа по прикладной математике

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Контрольная работа

по дисциплине «Прикладная математика»

Специальность Бухгалтерский учет и аудит

Курс 2-й

Группа БуиА-6-99/2

Студент

Студенческий билет №

ВАРИАНТ №25

« » мая 2001г.

Проверил:

____________________/ /

«___»_______________2001г.

Москва 2001г.

Задача №1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль

z=31х1 +10х2 +41х3 +29х4

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу

4х1 +0х2 +8х3 +7х4 ≤316

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу

3х1 +2х2 +5х3 +х4 ≤216

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу

5х1 +6х2 +3х3 +2х4 ≤199

Имеем

4х1 +0х2 +8х3 +7х4 ≤316

3х1 +2х2 +5х3 +х4 ≤216 (1)

5х1 +6х2 +3х3 +2х4 ≤199

где по смыслу задачи

х1 ≥0, х2 ≥0, х3 ≥0, х4 ≥0. (2)

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

4х1 +0х2 +8х3 +7х4 +х5 =316 (I)

3х1 +2х2 +5х3 + х4 +х6 =216 (II) (3)

5х1 +6х2 +3х3 +2х4 +х7= 199 (III)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х5 – остаток сырья 1-го вида,

х6 – остаток сырья 2-го вида,

х7 – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности

х1 ≥0, х2 ≥0, х3 ≥0, х4 ≥0, х5 ≥0, х6 ≥0, х7 ≥0 (4)

надо найти то решение, при котором функция

z=31х1 +10х2 +41х3 +29х4

будет иметь наибольшее значение

Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.

Найдем ведущее уравнение:

bi 316 216 199 316

min — = — ----- — = -----

ai3 >0 8 5 3 8

Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:

Оптимальная производственная программа:

х1 =23, х2 =0, х3 =28, х4 =0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х5 =0;

Второго вида – х6 =7;

Третьего вида – х7 =0

Максимальная прибыль zmax =1861

Обращенный базис Q-1

10/56 0 -1/7

Q-1 = -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7

х5 х6 х7

Базис Q

8 0 4

Q= 5 1 3

3 0 5

х3 х6 х1

Самопроверка.

10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0

Q-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0

-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1

10/56•316+0•216-1/7•199 28

Q-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7

-6/56•316+0•216+2/7•199 23

Задача № 2 . Двойственная задача.

Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса

у2 за каждую единицу 2-го ресурса

у3 за каждую единицу 3-го ресурса.

В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят

4у1 +3у2 +5у3 ≥31

Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида

2у2 +6у3 ≥10

Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида

8у1 +5у2 +3у3 ≥41

Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида

7у1 +у2 +2у3 ≥29

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

316у1 +216у2 +199у3

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

У=(у1, у2, у3 )

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f=316у1 +216у2 +199у3

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

4у1 +3у2 +5у3 ≥31

2у2 +6у3 ≥10

8у1 +5у2 +3у3 ≥41

7у1 +у2 +2у3 ≥29

При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у1 ≥0, у2 ≥0, у3 ≥0

На основании 2-й основной теоремы двойственности

Х=(х1, х2, х3, х4 ) и у=(у1, у2, у3 )

Необходимо и достаточно выполнения условий

х1 (4у1 +3у2 +5у3 -31)=0

х2 (2у2 +6у3 -10)=0

х3 (8у1 +5у2 +3у3 -41)=0

х4 (7у1 +у2 +2у3 -29)=0

Учитывая, что в решении исходной задачи х1 >0, x3 >0

Поэтому

4у1 +3у2 +5у3 -31=0

8у1 +5у2 +3у3 -41=0

Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2 =0

Имеем систему уравнений

4у1 +3у2 +5у3 -31=0

8у1 +5у2 +3у3 -41=0

Решим систему:

4у1 +5у3 =31

у1 =(31-5у3 )/4

8((31-5у3 )/4)+3у3 =41

-7у3 =-21

у1 =(31-15)/4

откуда следует

у1 =4, у3 =3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у1 =4, у2 =0, у3 =3

Общая оценка всех ресурсов

f=316у1 +216у2 +199у3

f=1264+0+597=1861

Задача № 2 .1. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t1, 0, t3 ) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q-1 Т≥0

Необходимо найти вектор

Т=(t1, 0, t3 )

максимизирующий суммарный прирост прибыли

w=4t1 +3t3

28 10/56 0 -1/7 t1 0

7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0

23 -6/56 0 2/7 t3 0

Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t1 316

0 ≤ 1/3 216

t3 199

где t1 ≥0, t3 ≥0

10/56t1 -1/7t3 ≥-28

-4/7t1 -1/7t3 ≥-7

-6/56t1 +2/7t3 ≥-23

-10/56t1 +1/7t3 ≤28

4/7t1 +1/7t3 ≤7

6/56t1 -2/7t3 ≤23

t1 ≤316/3, t3 ≤199/3

t1 ≥0, t3 ≥0

Программа расшивки имеет вид

t1 =0, t2 =0, t3 =49

и прирост прибыли составляет

w=4t1 +3t3 =3∙49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Задача № 3 . Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

Θ=9 z(x1 )=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

Θ=25 z(x2 )=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

z(x3 )=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача № 4 . Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

x4* =x4 (700)=0

x3* =x3 (700-x4* )=x3 (700)=200

x2* =x2 (700-x4* -x3* )=x2 (700-200)=x2 (500)=300

x1* =700-x4* -x3* -x2* =700-0-200-300=200

x1 =200

x2 =300

x3 =200

x4 =0

Задача № 5 . Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?

4 49 0

m0=2, М=, V=

6 0 64

Зададимся эффективностью портфеля mp

Найдем обратную матрицу к V

1/49 0

V-1 =

0 1/64

далее

4 1

M = I =

6 1

1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49

V-1 (M-m0I)= · — = · =

0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16

2/49

(M-m0I)T V-1 (M-m0I)=(2 4) · = 65/196

1/16

Рисковые доли:

x1* =(mp -2) 8/65=(mp -2) 0,12

x2* =(mp -2) 49/260=(mp -2) 0,19

Безрисковая доля:

x0* =1-(mp -2) 0,31

Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:

(mp -2) 0,31=1

mp -2=1/0,31

mp =3,21+2

mp =5,21

Следовательно, если mp >5,21 то x0* <0 и необходимо провести операцию short sale.

Задача № 6 . Провести анализ доходности и риска финансовых операций.

Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций. Нанести точки (Qi, ri ) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.

(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)

(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)

(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)

(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)

Q1 =8,4 r1 =10,4

Q2 =-1,8 r2 =4,7

Q3 =16 r3 =17,4

Q4 =2 r4 =8,7

j(Q1 )=2 Q1 -r1 =6,4

j(Q2 )=2 Q2 -r2 =-8,3

j(Q3 )=2 Q3 -r3 =14,6

j(Q4 )=2 Q4 -r4 =-4,7

Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.

Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.

www.ronl.ru

:

2-

-6-99/2

25

| | || | || | || |

2001.

:____________________/ /__________________2001.

2001.1. ., . ,

4 0 8 7 316

= 3 2 5 1 = 216 =(31, 10,41, 29)

5 6 3 2 199

(1, 2, 3, 4), z=311+102+413+294

1-

41+02+83+74?3162-

31+22+53+4?2163-

51+62+33+24?199

41+02+83+74?316

31+22+53+4?216 (1)

51+62+33+24?199 1?0, 2?0, 3?0, 4?0. (2). (1) 5, 6, 7

41+02+83+74+5=316 (I)

31+22+53+ 4+6=216 (II) (3)

51+62+33+24+7=199 (III) , 5 1- , 6 2- , 7 3- .(3), 1?0, 2?0, 3?0, 4?0, 5?0, 6?0, 7?0 (4) , z=311+102+413+294

.z(x) , 3- .: bi 316 216 199 316 min ------- = ----- ----- ----- = ----- ai3>0 8 5 3 8

I- . :| || |31 |10 |41 |29 |0 |0 |0 ||| | | | | | | | | | |- || | | |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 | ||0 |5 |316 |4 |0 |8 |7 |1 |0 |0 | ||0 |6 |216 |3 |2 |5 |1 |0 |1 |0 | ||0 |7 |199 |5 |6 |3 |2 |0 |0 |1 | ||? |z0-z |0-z |-31 |-10 |-41 |-29 |0 |0 |0 | ||41 |3 |39,5 |1/2 |0 |1 |7/8 |1/8 |0 |0 | ||0 |6 |18,5 |1/2 |2 |0 |-27/8|-5/8 |1 |0 | ||0 |7 |80,5 |7/2 |6 |0 |-5/8 |-3/8 |0 |1 | ||? |z0-z |1619,5|-21/2|-10 |0 |55/8 |41/8 |0 |0 | ||41 |3 |28 |0 |-6/7 |1 |54/56|10/56|0 |-1/7 | || | | | | | | | | | |?j?0 ||0 |6 |7 |0 |8/7 |0 |-23/7|-4/7 |1 |-1/7 | ||31 |1 |23 |1 |12/7 |0 |-10/5|-6/56|0 |2/7 | || | | | | | |6 | | | | ||? |z0-z |1861 |0 |8 |0 |5 |4 |0 |3 | |

: 1=23, 2=0, 3=28, 4=0:

5=0;

6=7;

7=0zmax=1861Q-1

10/56 0 -1/7Q-1= -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7 5 6 7Q

8 0 4Q= 5 1 3

3 0 5 3 6 1

.

10/568+05-1/73 10/560+01-1/70 10/564+03-1/75

1 0 0Q-1 Q= -4/78+15-1/73 -4/70+11-1/70 -4/74+13-1/75 = 0

1 0

-6/568+05+2/73 -6/560+01+2/70 -6/564+03+2/75

0 0 1

10/56316+0216-1/7199 28Q-1 B= -4/7316+1216-1/7199 = 7

-6/56316+0216+2/7199 232. ., , 3- , , 1 1- 2 2- 3 3- .,

4 0 8 7 316

= 3 2 5 1 = 216 =(31, 10,41, 29)

5 6 3 2 199

1- , 4 1- , 3 2- , 5 3- .1, 2, 3

41+32+53?31, 2- 2-

22+63?10, 3- 3-

81+52+33?41, 4- 4-

71+2+23?29,

3161+2162+1993, :

=(1, 2, 3)f=3161+2162+1993 , , , , :

41+32+53?31

22+63?10

81+52+33?41

71+2+23?29

1?0, 2?0, 3?02-

=(1, 2, 3, 4) =(1, 2, 3)1(41+32+53-31)=0 2(22+63-10)=0 3(81+52+33-41)=0 4(71+2+23-29)=0, 1>0, x3>0

41+32+53-31=0

81+52+33-41=0, 2- , , 2=0

41+32+53-31=0

81+52+33-41=0:41+53=31 1=(31-53)/48((31-53)/4)+33=41-73=-21 1=(31-15)/4

1=4, 3=3, 1=4, 2=0, 3=3

f=3161+2162+1993 f=1264+0+597=1861

2.1. .1- 3- , . .=(t1, 0, t3) .,

+ Q-1?0

=(t1, 0, t3) w=4t1+3t3

28 10/56 0 -1/7 t1 0

7 + -4/7 1 -1/7 0 ? 0

23 -6/56 0 2/7 t3 0

, 1/3 t1 316

0 ? 1/3 216 t3 199

t1?0, t3?0

10/56t1-1/7t3?-28

-4/7t1-1/7t3?-7

-6/56t1+2/7t3?-23

-10/56t1+1/7t3?28

4/7t1+1/7t3?7

6/56t1-2/7t3?23

t1?316/3, t3?199/3 t1?0, t3?0

| |t1 |t3 ||I |-156,8 |0 ||I |0 |196 ||II |12,25 |0 ||II |0 |49 ||III|214,66 |0 ||III|0 |-80,5 ||IV |105,33 |0 ||V |0 |66,33 |

t1=0, t2=0, t3=49 w=4t1+3t3=3?49=147:|j |31 |10 |41 |29 |b |x4+i |yi |ti || |4 |0 |8 |7 |316 |0 |4 |0 ||aij | | | | | | | | || |3 |2 |5 |1 |216 |7 |0 |0 || |5 |6 |3 |2 |199 |0 |3 |49 ||xj |23 |0 |28 |0 |1861 | | |147 ||?j |0 |8 |0 |5 | | | | |

3. .:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Si=45+60+65=170 .Sbi=31+40+41+49=161 .9 , , . 9 . - .| |b1=31 |b2=40 |b3=41 |b4=49 |b5=9 | ||a1=45 |31 |14 | | |* |p1=0 ||a2=60 | |26 |34 | | |p2=-3 ||a3=65 | | |7 |49 |9 |p3=-5 || |q1=4 |q2=5 |q3=8 |q4=7 |q5=5 | |

?=9 z(x1)=314+145+262+345+73+492+90=535| |b1=31 |b2=40 |b3=41 |b4=49 |b5=9 | ||a1=45 |31 |5 | | |9 |p1=0 ||a2=60 | |35 |25 |* | |p2=-3 ||a3=65 | | |16 |49 |9 |p3=-5 || |q1=4 |q2=5 |q3=8 |q4=7 |q5=5 | |

?=25 z(x2)=314+55+352+255+163+492+90=490| |b1=31 |b2=40 |b3=41 |b4=49 |b5=9 | ||a1=45 |31 |5 | | |9 |p1=0 ||a2=60 | |35 | |25 | |p2=-3 ||a3=65 | | |41 |24 | |p3=-2 || |q1=4 |q2=5 |q3=5 |q4=4 |q5= | |

z(x3)=314+55+352+251+413+242+90=4154. . .:|xj |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 ||f1(xj) |0 |10 |23 |30 |38 |43 |49 |52 ||f2(xj) |0 |13 |25 |37 |48 |55 |61 |66 ||f3(xj) |0 |16 |30 |37 |44 |48 |50 |49 ||f4(xj) |0 |10 |17 |23 |29 |34 |38 |41 |

- .| |-x2 |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 ||x2 | |0 |10 |23 |30 |38 |43 |49 |52 ||0 |0 |0 |10 |23 |30 |38 |43 |49 |52 ||100 |13 |13 |23 |36 |43 |51 |56 |62 | ||200 |25 |25 |35 |48 |55 |63 |68 | | ||300 |37 |37 |47 |60 |67 |75 | | | ||400 |48 |48 |58 |71 |78 | | | | ||500 |55 |55 |65 |78 | | | | | ||600 |61 |61 |71 | | | | | | ||700 |66 |66 | | | | | | | |

| |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 ||F2( ) |0 |13 |25 |37 |48 |60 |71 |78 ||x2( ) |0 |100 |200 |300 |200 |300 |400 |500 |

| |-x3 |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 ||x3 | |0 |13 |25 |37 |48 |60 |71 |78 ||0 |0 |0 |13 |25 |37 |48 |60 |71 |78 ||100 |16 |16 |29 |41 |53 |64 |76 |87 | ||200 |30 |30 |43 |55 |67 |78 |90 | | ||300 |37 |37 |50 |62 |74 |85 | | | ||400 |44 |44 |57 |69 |81 | | | | ||500 |48 |48 |61 |73 | | | | | ||600 |50 |50 |63 | | | | | | ||700 |49 |49 | | | | | | | |

| |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 ||F3( ) |0 |16 |30 |43 |55 |67 |78 |90 ||x3( ) |0 |100 |200 |200 |200 |200 |200 |200 |

| |-x4 |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 ||x4 | |0 |16 |30 |43 |55 |67 |78 |90 ||0 |0 |0 | | | | | | |90 ||100 |10 | | | | | | |88 | ||200 |17 | | | | | |84 | | ||300 |23 | | | | |78 | | | ||400 |29 | | | |72 | | | | ||500 |34 | | |64 | | | | | ||600 |38 | |54 | | | | | | ||700 |41 |41 | | | | | | | |

x4*=x4(700)=0 x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200 x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300 x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200 x1=200 x2=300 x3=200 x4=0

5. .:|m0 |m1 |m2 |(1 |(2 ||2 |4 |6 |7 |8 |

3- : 2 4 6 7 8. , short sale ?

4 49 0 m0=2, = , V=

6 0 64

mpV

1/49 0

V-1=

0 1/64

4 1

M = I =

6 1

1/49 0 4 2 1/49 0 2

2/49V-1(M-m0I)= ( - = ( =

0 1/64 6 2 0 1/64 4

1/16

2/49(M-m0I)T V-1(M-m0I)=(2 4) ( = 65/196

1/16: x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2) 0,12 x2*=(mp-2) 49/260=(mp-2) 0,19

: x0*=1-(mp-2) 0,31mp, short sale:(mp-2) 0,31=1 mp-2=1/0,31 mp=3,21+2 mp=5,21, mp>5,21 x0*

:

skachat-referaty.ru

Курсовая работа - Курсовая работа по прикладной математике

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Контрольная работа

по дисциплине «Прикладная математика»

Специальность Бухгалтерский учет и аудит

Курс 2-й

Группа БуиА-6-99/2

Студент

Студенческий билет №

ВАРИАНТ №25

« » мая 2001г.

Проверил:

____________________/ /

«___»_______________2001г.

Москва 2001г.

Задача №1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль

z=31х1 +10х2 +41х3 +29х4

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу

4х1 +0х2 +8х3 +7х4 ≤316

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу

3х1 +2х2 +5х3 +х4 ≤216

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу

5х1 +6х2 +3х3 +2х4 ≤199

Имеем

4х1 +0х2 +8х3 +7х4 ≤316

3х1 +2х2 +5х3 +х4 ≤216 (1)

5х1 +6х2 +3х3 +2х4 ≤199

где по смыслу задачи

х1 ≥0, х2 ≥0, х3 ≥0, х4 ≥0. (2)

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

4х1 +0х2 +8х3 +7х4 +х5 =316 (I)

3х1 +2х2 +5х3 + х4 +х6 =216 (II) (3)

5х1 +6х2 +3х3 +2х4 +х7= 199 (III)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х5 – остаток сырья 1-го вида,

х6 – остаток сырья 2-го вида,

х7 – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности

х1 ≥0, х2 ≥0, х3 ≥0, х4 ≥0, х5 ≥0, х6 ≥0, х7 ≥0 (4)

надо найти то решение, при котором функция

z=31х1 +10х2 +41х3 +29х4

будет иметь наибольшее значение

Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.

Найдем ведущее уравнение:

bi 316 216 199 316

min — = — ----- — = -----

ai3 >0 8 5 3 8

Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:

Оптимальная производственная программа:

х1 =23, х2 =0, х3 =28, х4 =0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х5 =0;

Второго вида – х6 =7;

Третьего вида – х7 =0

Максимальная прибыль zmax =1861

Обращенный базис Q-1

10/56 0 -1/7

Q-1 = -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7

х5 х6 х7

Базис Q

8 0 4

Q= 5 1 3

3 0 5

х3 х6 х1

Самопроверка.

10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0

Q-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0

-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1

10/56•316+0•216-1/7•199 28

Q-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7

-6/56•316+0•216+2/7•199 23

Задача № 2 . Двойственная задача.

Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса

у2 за каждую единицу 2-го ресурса

у3 за каждую единицу 3-го ресурса.

В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят

4у1 +3у2 +5у3 ≥31

Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида

2у2 +6у3 ≥10

Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида

8у1 +5у2 +3у3 ≥41

Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида

7у1 +у2 +2у3 ≥29

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

316у1 +216у2 +199у3

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

У=(у1, у2, у3 )

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f=316у1 +216у2 +199у3

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

4у1 +3у2 +5у3 ≥31

2у2 +6у3 ≥10

8у1 +5у2 +3у3 ≥41

7у1 +у2 +2у3 ≥29

При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у1 ≥0, у2 ≥0, у3 ≥0

На основании 2-й основной теоремы двойственности

Х=(х1, х2, х3, х4 ) и у=(у1, у2, у3 )

Необходимо и достаточно выполнения условий

х1 (4у1 +3у2 +5у3 -31)=0

х2 (2у2 +6у3 -10)=0

х3 (8у1 +5у2 +3у3 -41)=0

х4 (7у1 +у2 +2у3 -29)=0

Учитывая, что в решении исходной задачи х1 >0, x3 >0

Поэтому

4у1 +3у2 +5у3 -31=0

8у1 +5у2 +3у3 -41=0

Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2 =0

Имеем систему уравнений

4у1 +3у2 +5у3 -31=0

8у1 +5у2 +3у3 -41=0

Решим систему:

4у1 +5у3 =31

у1 =(31-5у3 )/4

8((31-5у3 )/4)+3у3 =41

-7у3 =-21

у1 =(31-15)/4

откуда следует

у1 =4, у3 =3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у1 =4, у2 =0, у3 =3

Общая оценка всех ресурсов

f=316у1 +216у2 +199у3

f=1264+0+597=1861

Задача № 2 .1. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t1, 0, t3 ) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q-1 Т≥0

Необходимо найти вектор

Т=(t1, 0, t3 )

максимизирующий суммарный прирост прибыли

w=4t1 +3t3

28 10/56 0 -1/7 t1 0

7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0

23 -6/56 0 2/7 t3 0

Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t1 316

0 ≤ 1/3 216

t3 199

где t1 ≥0, t3 ≥0

10/56t1 -1/7t3 ≥-28

-4/7t1 -1/7t3 ≥-7

-6/56t1 +2/7t3 ≥-23

-10/56t1 +1/7t3 ≤28

4/7t1 +1/7t3 ≤7

6/56t1 -2/7t3 ≤23

t1 ≤316/3, t3 ≤199/3

t1 ≥0, t3 ≥0

Программа расшивки имеет вид

t1 =0, t2 =0, t3 =49

и прирост прибыли составляет

w=4t1 +3t3 =3∙49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Задача № 3 . Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

Θ=9 z(x1 )=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

Θ=25 z(x2 )=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

z(x3 )=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача № 4 . Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

x4* =x4 (700)=0

x3* =x3 (700-x4* )=x3 (700)=200

x2* =x2 (700-x4* -x3* )=x2 (700-200)=x2 (500)=300

x1* =700-x4* -x3* -x2* =700-0-200-300=200

x1 =200

x2 =300

x3 =200

x4 =0

Задача № 5 . Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?

4 49 0

m0=2, М=, V=

6 0 64

Зададимся эффективностью портфеля mp

Найдем обратную матрицу к V

1/49 0

V-1 =

0 1/64

далее

4 1

M = I =

6 1

1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49

V-1 (M-m0I)= · — = · =

0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16

2/49

(M-m0I)T V-1 (M-m0I)=(2 4) · = 65/196

1/16

Рисковые доли:

x1* =(mp -2) 8/65=(mp -2) 0,12

x2* =(mp -2) 49/260=(mp -2) 0,19

Безрисковая доля:

x0* =1-(mp -2) 0,31

Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:

(mp -2) 0,31=1

mp -2=1/0,31

mp =3,21+2

mp =5,21

Следовательно, если mp >5,21 то x0* <0 и необходимо провести операцию short sale.

Задача № 6 . Провести анализ доходности и риска финансовых операций.

Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций. Нанести точки (Qi, ri ) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.

(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)

(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)

(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)

(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)

Q1 =8,4 r1 =10,4

Q2 =-1,8 r2 =4,7

Q3 =16 r3 =17,4

Q4 =2 r4 =8,7

j(Q1 )=2 Q1 -r1 =6,4

j(Q2 )=2 Q2 -r2 =-8,3

j(Q3 )=2 Q3 -r3 =14,6

j(Q4 )=2 Q4 -r4 =-4,7

Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.

Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.

www.ronl.ru

Смотрите также

• 
  Религия и язык реферат
• 
  Япония реферат по географии
• 
  Эмоции и здоровье реферат
• 
  Реферат фельдшера скорой помощи
• 
  Реферат на тему оксиды
• 
  Поражающие факторы чс реферат
• 
  Реферат модели корпоративного управления
• 
  Обработка графической информации реферат
• 
  Стимулирование и мотивация реферат
• 
  Реферат трактор мтз 80
• 
  Реферат строение нервной системы