Сегодня на уроке мы вспомним, какое отображение плоскости на себя мы называли параллельным переносом, введём понятие параллельного переноса в пространстве. Проверим, будет ли параллельный перенос движением пространства.
Вернёмся в планиметрию и вспомним, что параллельным переносом мы называли преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Мы говорили, что для того, чтобы задать перенос достаточно задать вектор.
Другими словами, параллельным переносом на
вектор 
называется
отображение плоскости на себя, при котором каждая точка 
отображается
в такую точку 
,
что вектор 
равен
вектору .
То, что параллельный перенос является примером движения плоскости, мы уже доказывали. Давайте вспомним это доказательство.
Пусть при параллельном переносе на вектор точки
и
отображаются
в точки и
.
Так как векторы 
и
,
то значит, эти векторы равны между собой 
.
То есть они параллельны 
и
их длины равны, поэтому четырёхугольник 
–
параллелограмм. Следовательно, 
,
то есть расстояние между точками и
равно
расстоянию между точками и
.
Случай, когда точки и
лежат
на прямой параллельной вектору ,
вы можете рассмотреть самостоятельно. Но и в этом случае расстояние между
точками и
будет
равно расстоянию между точками и
.
Таким образом, параллельный перенос сохраняет
расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это
движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного
вектора на
его длину.
В планиметрии мы говорили, что параллельный перенос обладает некоторыми свойствами.
Свойства параллельного переноса:
· При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок.
· Угол переходит в равный ему угол.
· Окружность переходит в равную ей окружность.
· Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник.
· Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
· Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.
Теперь давайте определим, что мы будем понимать под параллельным переносом в пространстве.
Определение:
Параллельным переносом на вектор 
называется
такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит
в такую точку 
что
.
Проверим, будет ли параллельный перенос в пространстве примером движения пространства.
При параллельном переносе точки пространства 
и
переходят
в такие точки 
и
,
что вектора 
и
.
Сложим по правилу треугольника векторы
Поскольку левые части равенств равны, значит, равны и правые части равенств.
Значит, можно записать, что 
.
Заменим вектора 
и
на
вектор 
.
Получим, что 
.
Отсюда получаем, что вектор 
.
Поскольку векторы равны, значит, равны и их длины, то есть 
.
То есть расстояние между точками при параллельном переносе в пространстве
сохраняется, значит, параллельный перенос в пространстве также является
движением, но уже не плоскости, а пространства.
Сформулируем свойства параллельного переноса.
Свойства параллельного переноса:
· Параллельный перенос является примером движения пространства.
· При параллельном переносе точки смещаются по параллельным или совпадающим прямым на одно и то же расстояние.
· При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или сама в себя).
·
Каковы
бы не были две точки и
,
существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка переходит
в точку .
· При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.
Движение в пространстве обладает теми же свойствами, что и движение плоскости.
Свойства движения пространства:
· Движение сохраняет расстояние между точками.
· При любом движении пространства отрезок отображается на отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.
Решим несколько задач.
Задача:
начертить отрезок 
и
вектор .
Построить отрезок 
,
который получится из отрезка 
параллельным
переносом на вектор .
Решение:
для того, чтобы построить отрезок ,
отобразим точку в
точку ,
точку в
точку с
помощью параллельного переноса. Тогда соединив точки ,
мы
получим отрезок .
Задача:
начертить треугольник 
и
вектор .
Построить треугольник 
,
который получится из треугольникa
параллельным
переносом на вектор .
Решение:
отобразим с помощью параллельного переноса точки ,
,
в
точки ,
,
.
Соединив полученные точки, мы получим искомый треугольник .
Задача:
начертить пятиугольник 
и
вектор .
Построить пятиугольник 
,
который получится из пятиугольника 
параллельным
переносом на вектор .
Решение:
решать эту задачу будем аналогично тому, как мы решали предыдущую задачу.
Отобразим каждую вершину пятиугольника с помощью параллельного переноса на
вектор .
Соединим получившиеся точки и получим искомый пятиугольник .
Итоги:
Сегодня на уроке мы вспомнили, что мы понимали под параллельным переносом в планиметрии. Ввели понятие параллельного переноса в пространстве. Сформулировали основные свойства параллельного переноса, движения пространства.
videouroki.net
Муниципальное Образовательное Учреждение
средняя школа №25
Реферат на тему:
Работу выполнил:
ученик 9А класса
Ишмаков Владислав
Тольятти, 2011
Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.
Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответствие такие точки X' и Y', что XX'=YY' или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.
Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X' и Y' соответственно. Тогда выполняется равенство XX'=YY'. Но из этого равенства по признаку равных векторов следует, что XY=X'Y', откуда получаем, что во-первых XY=X'Y', то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X'Y', то есть при параллельном переносе сохраняются направления.
Это свойство параллельного переноса: параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X'Y' = XY. Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее
направление.
Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A' переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA', и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX' = AA' для всех точек Х.
Доказательство.
Докажем, что параллельный перенос является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние.
Пусть при параллельном переносе на вектор а точки M и N отображаются в точки М и N . Так как ММ = а, NN = а, то ММ = NN. Отсюда следует, что ММ NN и ММ = NN , поэтому четырёхугольник ММ NN – параллелограмм. Следовательно, МN = М N , т.е. расстояние между точками М и N равно расстоянию между точками М и N . Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. Наглядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора а на его длину.
Решение задач.
Даны равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и точка D на прямой АС, такая, что точка С лежит на отрезке АD. а) Постройте отрезок В D, который получается из отрезка ВС параллельным переносом на вектор СD. б) докажите, что четырехугольник АВВ D – равнобедренная трапеция.
Начертите отрезок АВ и вектор ММ . Постройте отрезок А В , который получается из отрезка АВ параллельным переносом на вектор ММ .
Построение:
Список используемой литературы.
1. Атанасян Л.С., В. Ф. Бутузов Геометрия. Ч. 1. – М. : Просвещение, 2004.
2. Вересова Е.Е., Денисова Н.С. Сборник задач по геометрическим преобразованиям. – М. : МГПИ им. В.И. Ленина, 1978.
Сайты:
www.works.tarefer.ru/50/100153/index.html
www.4455.ru/exactscience/ma_MOVE.htm
www.mirslovarei.com/.../parallel-nyj-perenos-45753.html
www.surbor.com/referat/параллельный+перенос
Оглавление.
freepapers.ru
Разделы: Математика
Цели урока
Оборудование
Дидактические средства
Тип урока: объяснение и закрепление нового материала.
Перед уроком класс разбит на 4 группы по 5-6 человек (в каждой группе есть ''продвинутые'' и слабые ученики).
Ход урока
Учитель В курсе планиметрии мы познакомились с движениями плоскости. Движение – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками. Теперь будем рассматривать отображение пространства на себя. Это значит, что каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка М1, причём любая точка М1 пространства оказывается поставленной в соответствие какой-то точке М.
А движение пространства – это такое отображение пространства на себя, при котором сохраняется расстояние между точками.
Какие виды движений вы помните из курса планиметрии? (При этом вопросе можно показать учащимся модели, изготовленные ими в 9 классе при изучении темы “Движения”).
Ученики Центральная симметрия, параллельный перенос, осевая симметрия, поворот.
Учитель Эти отображения и в пространстве являются движениями. И еще мы рассмотрим сегодня зеркальную симметрию-то есть симметрию относительно плоскости. Вы получаете задания каждый по своей теме. Через 10-15 мин. один представитель группы может готовить сообщение по своему виду движения (можно по конспекту). Пока ребята будут готовиться у доски, остальные продолжают работу в группах, решая предложенные вам задачи.
Учитель раздает задания:
На карточках указаны задания по определенному типу движения, которые должны быть разобраны на уроке.
Пока ученики готовятся, учитель консультирует более слабую группу по непонятным ей вопросам. Ученики разбирают доказательство факта, что та или иная симметрия и параллельный перенос есть движения.
Через 10-15 мин. четыре ученика (по одному из каждой группы) выходят и готовят сообщения у доски. Пока они готовят доску, остальные члены группы решают задачи. Потом (через 5 мин.) слушаем по очереди четыре сообщения.
Приведем примерные варианты сообщений. Если класс не математический, или подобная форма работы проводится впервые, то сообщения можно раздать ученикам на карточках или подготовить выступающих заранее. Чертежи в сообщениях сложны для воспроизведения на доске, поэтому целесообразно воспользоваться проектором.
I сообщение.
Центральная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра О.
Докажем, что центральная симметрия является движением.
Обозначим точку О – центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Оxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек:
M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1). Z0 (M) = M1.
Если
M 
0 , то О –
середина ММ1. Тогда (x+x1)/2=0; (y+y1)/2=0;
(z+z1)/2=0.
Значит, x=-x1; y=-y1; z=-z1. (1).
Если М=0, то х = х1 = у = у1 = z = z1 = 0,
т. е. формулы (1) верны.
Рассмотрим А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), А —> А1, В —> В1, тогда А1(-x1; -y1; -z1), В1(-x2; -y2;- z2) (по (1)).
Тогда,
т. е. АВ=А1В1. Тогда Zо - движение.
II сообщение.
Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а.
Докажем, что осевая симметрия есть движение.
Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим ось Оz с осью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1), если Soz (М) = М1.
Если М 
Оz , то Оz 
ММ1 и проходит через
середину.
Т. к.
Оz
ММ1, то z = z1. Т. к. Оz проходит через
середину ММ1 , то х = -х1, у = -у1.
Если точка М лежит на оси Оz, то х1 = х = 0, у1 = у = 0, z1 = z = 0.
Рассмотрим А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), А—> А1, В—> В1, тогда А1(-x1; -y1; z1), В1(-x2; -y2; z2)
тогда АВ=А1В1, т.е. Sоz - движение.
III сообщение.
Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно плоскости a.
Докажем, что зеркальная симметрия есть движение.
Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим плоскость Оxy с плоскостью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1), где Sa (М) = М1.
Если
М не лежит в плоскости Оху, то х =х1, у =у1,
z = -z1.
Если М I Оху , то 
, 
, 
.
Рассмотрим А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), А—> А1, В—> В1 , тогда А1(x1; y1; -z1), В1(x2; y2; -z2), тогда
тогда, АВ=А1В1, т.е.SОху – движение.
IV сообщение.
Параллельный перенос на вектор р - это такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М1, что вектор ММ1 равен вектору р.
Докажем, что параллельный перенос есть движение.
Пусть параллельный перенос переводит: А—> А1, В—> В1, тогда
По
правилу треугольника
, тогда 
.
Тогда 
. Это значит, что АВ = А1В1.
Учитель: Подведем итоги: центральная симметрия, параллельный перенос, осевая симметрия, зеркальная симметрия в пространстве являются движениями. Также справедливы утверждения о том, что при движении отрезок переходит в отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.
Рассмотрим теперь № 480.
Докажем, что при центральной симметрии:
а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость;
б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Дано: Zо (a) = a1
Доказать: a || a1
Решение:
Аa, Вa, С a, точки А, В, С не лежат на одной
прямой, А—> А1, В—> В1 , С—> С1, А1,
В1, С1, не лежат на одной прямой, тогда
(А1, В1, С1) = a1.
Аналогично ВС||В 1С1, тогда a || a1 по признаку.
Теперь вы сможете решить задачи на доказательство, которые получили в начале урока, но сначала послушаем решение задачи № 478
Ученики I, II, III групп (по 1 из группы) объясняют решение задач.
№ 478
а) При центральной симметрии относительно точки О (0;0;0) х2 = -х1; у2 = -у1; z2 = -z1.
А(0;1;2) —> А1(0;-1;-2),
В(3;-1;4) —> В1(-3;1;-4),
С(1;0;-2) —> С1(-1;0;2)
б) При осевой симметрии относительно оси Охх2 = х1; у2 = -у1; z2 = -z1.
А(0;1;2) —> А1(0;-1;-2),
В(3;-1;4) —> В1(3;1;-4),
С(1;0;-2) —> С1(1;0;2)
(Для Soy и Soz рассмотреть дома).
в) При зеркальной симметрии относительно Ozy х2 = -х1; у2 = у1; z2 = z1.
А(0;1;2) —> А1(0;1;2),
В(3;-1;4) —> В1(-3;-1;4),
С(1;0;-2) —> С1(-1;0;-2)
(Для SОхy рассмотреть дома).
Далее еще 5 –10 минут решаем задачи по группам, потом слушаем еще 4 человека (по 1 из каждой группы) с решением более сложных задач.
№ 479
Дано: Zо (a) = a1
Доказать:
а ) a || a1, если О a
б) a = a1, если О 
a
Решение:
а) А —> А1, В —> В1 ,тогда АО =
ОА1, ВО = ОВ1, угол 1 = углу 2, то 
АОВ = А1О
В1, значит, угол В = углу В1, а они
внутренние накрест лежащие, тогда АВ || А1В
1 .
б) А, В, А1, В1 лежат на одной прямой, значит a = a1
№ 481
Дано: Sl (а) = а1
Доказать:
а ) а1 || l , если а || l
б) 
Решение:
№ 482
Дано: Sa(а) = а 1
Доказать: 
Решение:
№ 484
Дано: 
Доказать:
а) а || a1, если а не параллельна вектору р
б) а || a1, если а параллельна вектору р
Решение:
б) Если а параллельна вектору р, то А, В, А1,В1 лежат на одной прямой, значит, а = а1.
Если необходимо, учитель помогает, корректирует решения.
Еще 5-7 минут решаем последнюю задачу из задания по группам, а потом четыре ученика (по одному из каждой группы) показывают свое решение на доске.
№ 488 (а)
Дано: движение, а || b, а —> а1, b—> b1
Доказать: а 1 || b1
Решение:
№ 488 (б)
Дано:
Решение:
№ 489 (а)
Дано: движение, Окр (О; r)
Доказать: Окр(О; r) —> Окр(О1; r1), r = r1
Решение:
Так как движение сохраняет расстояние, то множество точек, расположенных на данном расстоянии r от точки О, отображается на множество точек, расположенных на данном расстоянии (r) от точки О1.
т.е. Окр (О; r) —> Окр(О1; r1) (можно сделать чертеж).
№ 489 (б)
Дано: движение ABCDA1B1C1D1- прямоугольный параллелепипед
Доказать:
ABCDA1B1C1D1 —>A`B`C`D`A`1B`1C`1D`1 (тоже прямоугольный параллелепипед)
Решение:
Так как движение сохраняет расстояние, то все ребра отображаются на равные им отрезки. Так как движение переводит параллельные прямые в параллельные прямые, то все ребра отображаются на параллельные им отрезки, т.е. фигура A`B`C`D`A`1B`1C`1D`1– параллелепипед.
Так как движение сохраняет углы, то боковые ребра, перпендикулярные основанию, отобразятся на отрезки, перпендикулярные отрезкам основания, то есть новая фигура – прямоугольный параллелепипед.
Учитель Итак, мы познакомились с движениями в пространстве (далее объявляет оценки выступающим у доски. Группа может поставить оценку и не отвечавшему, если он активно участвовал в обсуждении).
Домашнее задание: п. 49–52 (прочитать), № 478 (остальные задачи), №483, №485.
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Конспект урока в 11 «Б» классе по теме «Параллельный перенос. Преобразование подобия».
Цель урока: формирование знаний учащихся о параллельном переносе и преобразовании подобия.
Задачи урока:
Образовательные:
- вспомнить определение движения в пространстве, виды симметрии;
-изучение свойств параллельного переноса и преобразования подобия, применение их при решении упражнений.
Развивающие:
-развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;
-развивать память.
Воспитательные:
-воспитывать организованность, внимательность.
Тип урока: ИНМ
План урока:
Организационный момент (2 минуты)
Актуализация знаний (5 минут)
Изучение нового материала (5 минут)
Закрепление нового материала (29 минут)
Подведение итогов урока (2 минуты)
Домашнее задание (2 минуты)
Ход урока
Организационный момент
-Здравствуйте! Садитесь! Назовите отсутствующих, есть вопросы по домашнему заданию?
2) Актуализация знаний
-Что называется движением пространства? (это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками).
-Какие виды движений мы изучили на прошлом уроке? (осевую, зеркальную и центральную симметрию)
-Дайте определение каждому из понятий. (Центральная симметрия - это отображение пространства на себя, при котором, при котором любая точка пространства переходит в симметричную ей точку относительно данного центра. Осевая симметрия с осью а – это отображение пространства на себя, при котором, при котором любая точка пространства переходит в симметричную ей точку относительно данной прямой. Зеркальная симметрия - это отображение пространства на себя, при котором, при котором любая точка пространства переходит в симметричную ей точку относительно данной плоскости).
-Выполните следующее упражнение, которое вы видите на слайде.
Найдите координаты точек, в которые переходят точки А(1; 4;-5), В(0;-2;3), С(-2;5;6) при
а) центральной симметрии относительно начала координат
б) осевой симметрии относительно осей координат
в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.
3) Изучение нового материала
Тема нашего урока «Параллельный перенос. Преобразование подобия» открываем тетради, записываем число, классная работа и тему урока. Данная тема также затрагивается в ЕГЭ. Она позволяет упростить вам жизнь при решении заданий на нахождение углов и расстояний и при работе в правильных фигурах. 14, 16 задание (профильный уровень), 16 задание (базовый уровень).
Параллельным переносом на вектор p называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М1, что векторы ММ1 = р.
Доказательство этого. При параллельном переносе отрезок переходит в отрезок, прямая в прямую, плоскость в плоскость.
Центральным подобием с центром в точке О и коэффициентом подобия к≠0 называется отображение пространства на себя, при котором каждая точка М переходит в такую точку , что
Преобразованием подобия с коэффициентом подобия к>0 называется отображение пространства на себя, при котором любые две точки А и В переходят в такие точки и , что =кАВ.
4) Закрепление нового материала
Будем выполнять упражнения №485, задача , 484(б)
5)Подведение итогов урока
- Вам было легко или были трудности?
- Что у вас получилось лучше всего и без ошибок?
- Какое задание было самым интересным и почему?
- Как бы вы оценили свою работу?
6) Домашнее задание
П. 57-58, № 484(б), В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны, точка E —середина ребра SC. Найдите тангенс угла между прямыми SA и BE.
infourok.ru
... N`N – параллелограмм => MN = M`N`. Свойство параллельного переноса z Теорема : Параллельный перенос есть движение. Доказательство : Пусть есть две произвольные т. ... точек ( x ; y ), где aточек и b –( одни называется параллельным переносом Параллельный перенос задается формулами: x1 = x + a y1 = y + a ...
1 652
... ММ1N1N. M1 N1 a M N Параллельный перенос Таким образом: Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на ... точками и поэтому представляет собой движение. Свойства параллельного переноса: Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или пространства на ...
1 760
Параллельный перенос Урок геометрии в 9 классе Слайды к уроку Учитель математики ...
864
... вектор ММ1 равен вектору а. Параллельный перенос является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние. Параллельный перенос. Параллельный перенос. Параллельный перенос. Параллельный перенос. Поворот. Отметим на плоскости точку ...
1 687
... в геометрии Выполнила ученица 9 «А» класса Полухина Любовь Параллельный перенос Параллельный перенос ― частный случай движения, при котором все точки пространства ... и то же расстояние в одном и том же направлении. Параллельный перенос 1) Осевая симметрия Осевая симметрия — вид движения (зеркального ...
313
Параллельный перенос вдоль оси OY y f (x) y f ( x) a ... -4 -2 0 -1 -2 -2 -4 2 4 6 Параллельный перенос вдоль оси OX y f (x) y f ( x a ...
214
Параллельный перенос вдоль оси OY y f (x) y f ( x) a ... -4 -2 0 -1 -2 -2 -4 2 4 6 Параллельный перенос вдоль оси OX y f (x) y f ( x a ...
123
... Анны Преподаватель: Бутова Александра Владимировна октябрь 2013 Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя ... направлении. При параллельном переносе прямая переходит либо в себя, либо в параллельную ей прямую. Параллельный перенос задается парой соответствующих ...
964
... 1 a то говорят что задан параллельный перенос на вектор a a M1 M Докажем, что параллельный перенос является движением. a Возьмем две ... некоторый вектор переходят заданные фигуры? a В какие фигуры при параллельном переносе на некоторый вектор переходят заданные фигуры? a В каких ...
413
... 2 Докажите, что композиция (последовательное выполнение двух параллельных переносов является параллельным переносом. Доказательство. Легко видеть, что композиция параллельных переносов на векторы a и b является вектор ...
2 807
www.docme.ru
