Событие
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Достоверное
Возможное
невозможное
Разделы: Математика
ТИП УРОКА: изучение нового материала.
ЦЕЛЬ: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации.
ЗАДАЧИ:
НОВЫЕ ПОНЯТИЯ: достоверные события, случайные
ОБОРУДОВАНИЕ: доска, презентация
ПЛАН УРОКА:
Вы, наверное, не раз слышали или сами говорили “это возможно”, “это не возможно”, это обязательно случиться”, “это маловероятно”
Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти
Случай , случайность – сними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать до бесконечности. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями
Слово “событие” в быту применяют к значительным явлениям ( день рождение, экзамен, свадьба), а в математике – ко всем возможным исходам рассматриваемой ситуации например при бросание игральной кости событие- это выпадение той или иной грани.
а) Вероятность.
События будем обозначать большими латинским буквами А,В,С. вероятность произвольного события (Х) будем обозначать через Р(Х).
События, которые при данных условиях обязательно происходят, называют достоверными (смена дня и ночи) события, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными события, которые при данных условиях иногда происходят, а иногда не происходят, называются возможными или случайными. События, возможности наступления которых одинаковы называются равновозможными или равновероятными (подкидывание монеты)
Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:
Для каждого из перечисленных событий определите, какое оно: достоверное, возможное, невозможное
8–10 придумайте и запишите в тетрадь события, чтобы они соответствовали знакам в таблице например, событие 8 должно быть очень вероятным.
Событие |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Достоверное |
|
|
|
|||||||
Возможное |
|
|
|
|
||||||
невозможное |
|
|
|
ВПЕРВЫЕ ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ В играх вычислили в XVII в. французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма. Они подсчитали число шансов события из общего возможного числа равновероятных исходов. Давайте проследим за их рассуждениями.
Исход какого либо испытания, опыта или
игры выражающийся в событии А, назовем шансом
события А. Например, при бросании игральной кости
возможно 6 равновероятных исходов А1, А2,
А3, А4, А5, А6. – выпадение
1,2,3,4,5,6. пусть событие А (выпадение четного числа
очков т.е.2,4,6) в этом случае Р(А)=
т.е. Р(А)=
такое определение называется
классическим определением вероятности.
Если при каких –либо условиях имеются
m равновероятных исходов и из них m приводят к
событию А, то вероятность события А равна
отношению m n 
Пример 1: хорошо перетусуем колоду
карт случайно вынем 1 карту. Событие А(вытянута
карта червонной масти) и В (вытянут туз) из 36
исходов имеются соответственно 9 и 4 шансов.
Поэтому Р(А)=
;
Р(В)= 
Пример 2: на экзамене -24 билета. Андрей не разобрался в одном билете и очень биться его вытянуть. Какова вероятность. Что Андрею достанется несчастный билет?
А - достанется несчастливый билет:
Исходов -24; Шансы =1, тогда Р(А)=
Пример 3: в лотереи 10 выигрышных билетов и240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет?
А - выиграть: Исходов всего 240+10=250;
Шансы=10; Р(А)=
Пример 4: в лотереи 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность проигрыша?
А - проиграть: Исходов 100; Шанс =100-5=95,
тогда Р(А)=
Пример5:
В ящике лежат 8 красных,2 синих, 20 зеленых карандашей. Вы наугад вынимаете карандаш. Какова вероятность того, что это красный карандаш? желтый карандаш? Не зеленый карандаш? Какое количество карандашей нужно вытянуть, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них был зеленый карандаш?
А - вытянут красный карандаш: Исходов
20+8+2=30;Шансов 8;Р(А)=
В - желтый карандаш: Исходов 30; Шансов 0; Р(В)=0
С - не зеленый карандаш: Шансов 30;
Исходов 30-20=10; Р(С)= 
б) Комбинаторика.
А теперь давайте вспомним знаменитую басню Крылова “Квартет” “проказница Мартышка, Осел, Козел да косолапый мишка” устроили любопытный эксперимент: они исследовали влияние взаимного расположения на качество исполнения. И если бы не вмешался Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы все возможные варианты. Зададим вопрос : сколько существует способов, чтобы рассадить, например в один ряд, четырех музыкантов?
Еще одна ситуация: нас приглашают на некий конкурс с 8 участницами. Одновременно проводиться викторина: нужно угадать, кто займет в конкурсе 1,2,3 место. Сколько всего существует вариантов?
Общее у этих двух задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов “Сколькими способами?
Давайте рассмотрим первую задачу:
Давайте расставим наших участников квартета в ряд, такое упорядоченное положение назовем перестановкой. Попытаемся ответить на вопрос сколько всего возможных перестановок ? число перестановок обозначим Рп, где п - количество объектов( в нашем случае это будет 4) сначала возьмем п=1 ( Мартышку) – имеется 1 способ
П=2 ( мартышка, Осел) – имеется 2 перестановки Р2 = Р1*2 =1*2, добавим теперь Козла, к каждой из перестановок дух объектов можно пристроить третий, тремя различными способами: спереди, сзади, посередине отсюда Р3 = Р2 *3=2*3=6 , и добавим нашего косолапого Мишку Р4= Р3 *4=1*2*3*4=24. значит способов “усесться чинно в ряд” существует 24. давайте запишем общую формулу: Рп =1*2*3*4….*п=п! восклицательным знаком( в математике он называется факториалом) принято обозначать произведение всех натуральных чисел от 1 до п, мы не просто вывили формулу, но одновременно указали способ, как получить все возможные перестановки. Надо отметить, что этот способ далеко не единственный. 0!=1
Давайте попробуем решить задачу про участниц.
Нам в этой задаче нужно отобрать из имеющихся объектов n= 8, произвольное m=3 штук(m<=n) и расположить их в некотором порядке. Каждое такое упорядоченное расположение называется размещением. Сколько существует размещений при заданных n,m. Ответ на этот вопрос мы дадим основываясь на знание перестановок(задача про квартет)
Обозначим искомое число Аnm.
Сначала возьмем любую перестановку всех n(8)
объектов и рассмотрим первые m(3) из них. Они
образуют размещение m(3) объектов из n(8) имеющихся,
тогда как последние n-m(8-3=5) объектов могут быть
переставлены Р5 способами. Значит каждому
способу можно “пришить” Р5, что порождает
столько же перестановок всех n объектов Рn=
Аnm* Рn-m отсюда Аnm=
получается А83=
Решение задач
1.У нас есть 9 разных книг из серии “Занимательная математика”. Сколькими способами можно:
Решение.
Р9 =9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=362880,
2.Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь к билетной кассе.
3.В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места.
Проверочная работа.
1 вариант.
1. В 10-м классе изучается 14 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день 7 уроков и все разные. Как называется такая комбинация в комбинаторике.
2. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута? Как называется такая комбинация в комбинаторике.
2 вариант.
1. На книжную полку влезает только 5 книг из 8. Сколькими способами можно заполнить этими книгами такую полку. Как называется такая комбинация в комбинаторике.
2. В магазине имеется четыре типа диванных подушек: круглые, овальные, прямоугольные и треугольные. Сколькими способами можно расставить их в ряд. Как называется такая комбинация в комбинаторике.
Домашнее задание: Составить по 2 задачи на вероятность, перестановку и размещение.
Презентация
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Содержание
Введение...........................................................................................................................4
Глава 1. Теоретическая часть........................................................................................8
1.1. Историческая справка..............................................................................................8
1.2. Предмет комбинаторики........................................................................................12
1.3. Основные понятия и теоремы комбинаторики.....................................................12
1.3.1. Основные правила комбинаторики..............................................................13
1.3.2. Размещения с повторениями.........................................................................13
1.3.3. Размещения без повторений..........................................................................15
1.3.4. Перестановки без повторений........................................................................16
1.3.5. Перестановки с повторениями.....................................................................17
1.3.6. Сочетания без повторений...........................................................................17
1.3.7. Сочетания с повторениями..........................................................................19
1.3.8. Свойства чисел сочетаний..........................................................................20
1.4.1. Главная теорема комбинаторики (Теорема о включениях и исключениях)..........................................................................................................21
1.4.2. Частный случай теоремы о включениях и исключениях...........................23
1.4.3. Комбинаторные задачи с ограничениями.....................................................24
1.4.4. Задачи о смещениях (о беспорядках).......................................................25
1.4.5. Задача о караване.......................................................................................25
1.4.6.Комбинаторика разбиений.............................................................................26
1.4.7. Количество делителей числа N ..................................................................27
1.4.8. Раскладка предметов в несколько ящиков....................................................30
1.4.9. Задача: Флаги на мачтах..................................................................................31
1.4.10. Задача: Покупка билетов.............................................................................31
1.4.11. Рекуррентные соотношения в комбинаторике........................................32
1.5. Связь комбинаторики с другими разделами математики....................................34
1.5.1. Теория групп.......................................................................................................34
1.5.2. Теория вероятностей.....................................................................................35
1.5.3. Криптография..................................................................................................37
1.5.4. Экономика.........................................................................................................38
1.5.5. Теория информации...........................................................................................39
1.5.6. Теория графов.................................................................................................40
Глава 2. Методические разработки для элективного курса...................41
2.1. Анализ изложения темы в школьных учебниках............................41
2.2. Тематическое планирование..........................................................51
2.2.1. Введение.......................................................................................................51
2.2.2. Содержание программы спецкурса...........................................................55
2.2.3. Поурочное планирование...........................................................................56
2.3. Разработки занятий........................................................................58
2.4. Электронный учебник....................................................................93
Заключение..........................................................................................96
Список использованной литературы.....................................................97
Введение
Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой .
Комбинаторика возникла в XVI веке. Вопросы, касающиеся азартных игр, явились движущей силой в ее развитии. Комбинаторика является разделом дискретной математики, ориентированным на решение задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами и ограничениями. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой комбинаторной конфигурации, поэтому комбинаторный анализ (комбинаторика) занимается изучением свойств комбинаторных конфигураций, условиями их существования, алгоритмами построения и оптимизацией этих алгоритмов.
Этот раздел математики тесно связан с рядом других разделов дискретной математики: теорией вероятностей, теорией графов, теорией чисел, теорией групп и т. д.
Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.
Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне её – теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.
В школьном курсе комбинаторика преподается в совокупности с теорией вероятностей и статистикой. В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной .
В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость включения вероятностно-статистической линии в школьный курс математики. О необходимости изучения в школе элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление комбинаторики, теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире.
Но внедрение вероятностно-статистической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.
Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.
Согласно данным ученых-физиологов и психологов в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в основной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.
Знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между однозначными «да» и «нет» существует еще и «быть может» (причем это «может быть» поддается строгой количественной оценке), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Учащиеся видят непосредственную связь математики с окружающей действительностью, реальной жизнью.
В большинстве учебников комбинаторные формулы рассматривается лишь как средство для подсчета вероятности, это сказывается на содержании этого материала в учебниках, и места его изучения. Но комбинаторика ставит и другие цели: в первую очередь – это развитие мышления, и использование комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера.
Цель дипломной работы : на основе изучения школьной литературы и имеющегося материала, разработать элективный курс по «Основам комбинаторики и теории вероятностей» для старших классов физико-математического профиля.
Исходя из этого можно выделить следующие задачи , реализация которых позволяет достичь поставленную цель:
· Необходимо определить содержание материала по каждому из направлений: комбинаторика, статистика, теория вероятностей.
· Проанализировать связи между этими направлениями и определить последовательность или параллельность их изучения.
· Определить содержание каждых из названных разделов.
Для реализации данных задач используются следующие средства :
· Изучение школьных учебников и методической литературы по данной теме.
· Изучение стандартов образования по данной теме.
· Анализ школьной литературы.
Дипломная работа состоит из двух частей, это как теоретическая часть, так и
методические разработки элективного курса.
В теоретической части рассматриваются такие основные элементы классической комбинаторики как, размещения, перестановки и сочетания, а так же рассматриваются некоторые классы наиболее часто встречающихся задач: комбинаторные задачи с ограничениями, комбинаторные задачи раскладок и разбиений, комбинаторные задачи, решаемые с помощью рекуррентных соотношений.
Во второй главе представлен анализ изложения данной темы в школьных учебниках и дополнительной школьной литературе, а так же поурочное планирование на два полугодия для 10 – 11 класса физико-математического профиля (32 часов) с разработанными конспектами к теме данного диплома – «Комбинаторика».
Глава 1. Теоретическая часть
1.1. Историческая справка
Разрозненные комбинаторные задачи человечество решало с незапамятных времён. К концу XVI века накопились знания, относящиеся к:
mirznanii.com
Реферат на тему:
Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.
Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:
Примерами комбинаторных задач являются:
Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.
Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.
Типичным примером задач данного раздела является подсчёт количества перестановок. Другой пример — известная Задача о письмах.
К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов, а также теории матроидов.
Примером этого раздела может служить следующая задача: какова наибольшая размерность графа, удовлетворяющего определённым свойствам.
Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:
в группе из 6 человек всегда можно найти трёх человек, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так:
в любом графе с 6 вершинами найдётся либо клика, либо независимое множество размера 3.Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определённого свойства у заданного множества.
Аналоги комбинаторных концепций и методов используются и в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.
Комбинаторика, и в частности, теория Рамсея, содержит много известных открытых проблем, подчас с весьма несложной формулировкой. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, либо попарно знакомых друг с другом, либо попарно незнакомых (хотя известно, что 49 человек достаточно).[1]
wreferat.baza-referat.ru
