Реферат: Квадратные корни. Реферат корни

Реферат : Квадратные корни

Квадратные корни

Введение

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.

Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.

И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

По следам открытия пифагорейцев

Как доказать, что число иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.

Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного не существует.

1. Квадратный корень из числа

Зная время t, можно найти путь при свободном падении по формуле: Решим обратную задачу.

Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.

Определение. Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают

Таким образом

Пример. Так как

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение не имеет числового значения.

В записи знак называют знаком радикала (от латинского «радикс» – корень), а число а – подкоренным числом. Например, в записи подкоренное число равно 25. Так как Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями:

= 10…0

2n нулей n нулей

Аналогично доказывается, что 2n нулей n нулей

Например,

2. Вычисление квадратных корней

Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х, где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

Теорема. Если а – положительное число и – приближенное значение для по избытку, то – приближенное значение для по недостатку.

Доказательство.

По условию x1> и потому х12 >a, <1. Но 2 = = a. Т.к. <1, то a<a. Значит, а и - приближенное значение для по недостатку.

Аналогично доказывается, что если – приближенное значение для по недостатку, то – приближенное значение по избытку.

Поскольку и являются приближенными значениями для по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число х2 = . А чтобы получить еще более точное значение для , надо взять среднее арифметическое чисел , т.е. число х3 = . Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие приближенные значения для . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков.

Пример 1. Уточним по формуле х2 = приближение

х1 = 1,414 для .

Решение.

В нашем случае а=2. Поэтому

х1 = (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135…

Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т.е. число верных знаков удвоилось.

Пример 2. Найдем приближенное значение для с точностью до 0,0001.

Решение.

Выберем за первое приближение для число 2. Тогда второе приближение вычисляется так:

х2 = = 2,25

Далее имеем

х3 == 2,2361,

х4==2,2361.

Значит, с точностью до 0,0001 имеем =2,2361.

Ответ:

3. Геометрические приложения

К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии доказывают теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов этого треугольника. Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа.

Рис. 1

Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна , а в другом – . Значит, .

Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками

М (х1; у1) и N (x2; y2) координатной плоскости (рис. 2) выражается формулой

MN= (1)

Пример 1. Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени – 16 м.

Решение. По теореме Пифагора имеем

Так как , т.е. расстояние равно 20 м.

Пример 2. Найдем расстояние между точками М (3; 1) и N (8; -11) координатной плоскости.

Решение.

По формуле (1) имеем MN = = =13

4. Основные тождества для квадратных корней

Из определения квадратного корня вытекает, что равенство=х, где а0, верно в том и только в том случае, когдах2=а, причем х0. Заменяя в равенстве х2=а переменную х на , получаем тождество 2=а, (1)

верное для всех а0. Заменяя в равенстве =х переменную а на х2, получаем тождества

= х, (2)

которое верно для всех х0.

Например, 2 = 25;2 = 8; 2 = 0,11; = 6; =0,24.

Формулы и показывают, что для неотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимно обратны, т.е. если выполнить над каким-нибудь неотрицательным числом сначала одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.

Если а – отрицательное число, то равенство неверно, так как не имеет числового значения. При отрицательных значениях х неверно и равенство . Например, 2 ==5, а не –5. Так как х2 =2, а при х < 0 имеем – х> 0,

то при х< 0 верно равенство =2 = – х (3)

Итак,

x, если х 0,

= – х, если х < 0.

Но мы знаем, что х, если х 0,

=

– х, если х < 0.

Поэтому для всех чисел х верно равенство

= . (4)

Например, ==8, 2 = = 12.

Пример 1. Упростим выражение +2 + - 2.

Р е ш е н и е. Так как 2 = 3, 2 = 2, то +2 + - 2 =2 +

2 + 2 +2 – 2 + 2 =22 + 2 2 = 2 3 + 2 2 = =10.

Пример 2. Найдем значения выражения при а = 2,1; b = 3,6

Решение. При любом значении х выполняется равенство

= . Поэтому = . Но == 1,5. Значит, при а = 2,1; b =3,6 имеем =1,5.

5. Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и степени

Выражения и имеют одно и то же значение 6.

В самом деле, = 3, = 2, = 6, поэтому = 3 2 = 6 и = == 6. Равенство = – часный случай общего утверждения.

Теорема 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел, т.е. при а 0, b 0 имеем =

Доказательство.

Пусть числа а и b неотрицательны.

Тогда по правилу возведения в степень имеем

2 = = а b

Кроме того, – неотрицательное число как произведение двух неотрицательных чисел и . Поэтому =

Пример 1. Найдем значения выражения

Решение.

Мы имеем = 25, = 16, = 0,01,

и потому = 25160,01= 4.

Аналогично доказывается, что =

Теорема 2. Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, т.е. при а 0 и b > 0 имеем

Теорема 3. При любом значении а и при любом b 0 верно равенство

6. Преобразование выражений

При преобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула:

= ,

где А2 В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки «плюс» и «минус «). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А 0, В 0, А2 – В 0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства в квадрат. В левой части имеем А , в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем

2 + =

= А 2 = А 2 =

= А 2 = А 2 = А .

Таким образом, квадраты обеих частей равенства оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство доказано.

Пример 1. Упростить выражение .

1-й способ. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А2 – В =

= 52 – 21 = 4, и поэтому по формуле

= – = – .

2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:

5 – = = =

== = .

Поэтому = =

Пример 2. Упростить выражение

1-й способ:

= + =

= + =

2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:

Пример 3. Упростить выражение

Решение.

Ответ: 10.

Пример 4. Упростить

Решение.

1.

2.

3.

Ответ:

Пример 5. Какое из чисел больше: или ?

Решение.

Очевидно, что

Оценим сумму

Так как , а , то

Ответ:

7. Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A. В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.

Найти an, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A, оставаясь меньше последнего.

Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an.

Удвоить an.

Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2an – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.

Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A.

Сравнить полученное число с нулём.

Если полученное число не равно 0, то найти такое 2an − 1, которое, будучи умноженным на , даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.

Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.

После получения количества цифр, равного , прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.

Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.

1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

3. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.

4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.

5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.

6. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Пример. Извлечём корень .

1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .

2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем с недостатком. Цифра 9 – это первая цифра корня.

3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92= 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.

4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем:

¯ 81

18… ¯¯¯¯¯549¯¯¯¯¯

К числу 18 нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93. Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренное число 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколько граней содержит это число.

Аналогично извлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное число разбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влево и вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописыванием к числу нуля.

Заключение

Данная работа посвящена квадратным корням. Рассмотрены правила действий с квадратными корнями, способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни, геометрические приложения. В работе приведены примеры действий с квадратными корнями и преобразования выражений с ними. Рассмотрен алгоритм извлечения квадратного корня.

Таким образом, цель достигнута, задачи выполнены.

Список использованных источников

1. Алгебра: Учеб. пособие для 8 кл. / Е.П. Кузнецова и др; под ред. Л.Б. Шнепермана. – 2 изд. – Мн.: Нар. асвета, 2005.

2. Алгебра: Учеб. для 8 х кл. общеобразоват. шк. с углубл. изучением математики / К.О. Ананченко и др. – Мн.: Нар. асвета, 1994.

3. Петраков И.С. «Математические кружки в 8–10 классах»: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1987 г.

4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Аксенова. М.: Аванта+плюс. 2004 г.

topref.ru

Реферат на тему Квадратные корни

ВведениеВ ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями. Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными. История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1? Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера  можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период. И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число  – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа  не обнаруживает никакой регулярной закономерности. По следам открытия пифагорейцев Как доказать, что число  иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому  и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие. Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного не существует.

\* MERGEFORMATРис. 1 Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна , а в другом – . Значит, . Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками М (х1; у1) и N (x2; y2) координатной плоскости (рис. 2) выражается формулой MN= (1) Пример 1. Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени – 16 м. Решение. По теореме Пифагора имеем Так как , т.е. расстояние равно 20 м. Пример 2. Найдем расстояние между точками М (3; 1) и N (8; -11) координатной плоскости. Решение. По формуле (1) имеем MN = = =13

= – х, если х < 0. Поэтому для всех чисел х верно равенство = . (4) Например, ==8, 2 = = 12. Пример 1. Упростим выражение +2 + - 2. Р е ш е н и е. Так как 2 = 3, 2 = 2, то +2 + - 2 =2 + 2 + 2 +2 – 2 + 2 =2 2 + 2  2 = 2  3 + 2  2 = =10. Пример 2. Найдем значения выражения  при а = 2,1; b = 3,6 Решение. При любом значении х выполняется равенство = . Поэтому = . Но == 1,5. Значит, при а = 2,1; b =3,6 имеем  =1,5.

где А2 В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки «плюс» и «минус «). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А 0, В 0, А2 – В  0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства  в квадрат. В левой части имеем А  , в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем   2   + = = А  2 = А  2 = = А  2 = А  2 = А  . Таким образом, квадраты обеих частей равенства  оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство доказано. Пример 1. Упростить выражение . 1-й способ. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А2 – В = = 52 – 21 = 4, и поэтому по формуле =  –  =  – . 2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату: 5 – = = = ==  = .

Поэтому = = Пример 2. Упростить выражение 1-й способ: =  + = =  + = 2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату: Пример 3. Упростить выражение Решение. Ответ: 10. Пример 4. Упростить Решение. 1. 2. 3. Ответ: Пример 5. Какое из чисел больше:  или ? Решение. Очевидно, что Оценим сумму  Так как , а , то Ответ:

bukvasha.ru

Реферат Корень

Реферат на тему:

План:

Введение
• 1 Основные функции корня
• 2 Происхождение корня
• 3 Видоизменения и специализация корней
• 4 Особенности строения корней
• 5 Типы корневых систем
• 6 Зоны молодого корневого окончания
• 7 Анатомическое строение корня
ЛитератураПримечания

Введение

Ко́рень — осевой, (обычно) подземный вегетативный орган высших растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

На корне нет листьев, в клетках корня нет хлоропластов.

Кроме основного корня, многие растения имеют боковые и придаточные корни. Совокупность всех корней растения называют корневой системой. В случае, когда главный корень незначительно выражен, а придаточные корни выражены значительно, корневая система называется мочковатой. Если главный корень выражен значительно, корневая система называется стержневой.

Некоторые растения откладывают в корне запасные питательные вещества, такие образования называют корнеплодами.

1. Основные функции корня

• Закрепление растения в субстрате;
• Всасывание, проведение воды и минеральных веществ;
• Запас питательных веществ;
• Взаимодействие с корнями других растений (симбиоз) , грибами, микроорганизмами, обитающими в почве (микориза, клубеньки бобовых).
• Вегетативное размножение
• Синтез биологически активных веществ

У многих растений корни выполняют особые функции (воздушные корни, корни-присоски).

2. Происхождение корня

Тело первых вышедших на сушу растений ещё не было расчленено на побеги и корни. Оно состояло из ответвлений, одни из которых поднимались вертикально, а другие прижимались к почве и поглощали воду и питательные вещества. Несмотря на примитивное строение, эти растения были обеспечены водой и питательными веществами, так как имели небольшие размеры и жили около воды.

В ходе дальнейшей эволюции некоторые ответвления стали углубляться в почву и дали начало корням, приспособленным к более совершенному почвенному питанию. Это сопровождалось глубокой перестройкой их структуры и появлением специализированных тканей. Образование корней было крупным эволюционным достижением, благодаря которому растения смогли осваивать более сухие почвы и образовывать крупные побеги, поднятые вверх к свету. Например, у моховидных настоящих корней нет, их вегетативное тело небольших размеров — до 30 см, обитают мхи во влажных местах. У папоротникообразных появляются настоящие корни, это приводит к увеличению размеров вегетативного тела и к расцвету этой группы в каменноугольный период.

3. Видоизменения и специализация корней

Корни некоторых строений имеют склонность к метаморфозу.

Видоизменения корней:

1. Корнеплод — утолщеный придаточный корень. В образовании корнеплода участвуют главный корень и нижняя часть стебля. Большинство корнеплодных растений двулетние. Корнеплоды состоят в основном из запасающей основной ткани (репа, морковь, петрушка).
2. Корневые клубни (корневые шишки) образуются в результате утолщения боковых и придаточных корней.
3. Корни-зацепки — своеобразные придаточные корни. При помощи этих корней растение «приклеивается» к любой опоре.
4. Ходульные корни — выполняют роль опоры.
5. Воздушные корни — боковые корни, растут в надземной части. Поглощают дождевую воду и кислород из воздуха. Образуются у многих тропических растений в условиях повышенной влажности.
6. Микориза — сожительство корней высших растений с гифами грибов. При таком взаимовыгодном сожительстве, называемом симбиозом, растение получает от гриба воду с растворёнными в ней питательными веществами, а гриб — органические вещества. Микориза характерна для корней многих высших растений, особенно древесных. Грибные гифы, оплетающие толстые одревесневшие корни деревьев и кустарников, выполняют функции корневых волосков.
7. Бактериальные клубеньки на корнях высших растений — сожительство высших растений с азотфиксирующими бактериями — представляют собой видоизменённые боковые корни, приспособленные к симбиозу с бактериями. Бактерии проникают через корневые волоски внутрь молодых корней и вызывают у них образование клубеньков. При таком симбиотическом сожительстве бактерии переводят азот, содержащийся в воздухе, в минеральную форму, доступную для растений. А растения, в свою очередь, предоставляют бактериям особое местообитание, в котором отсутствует конкуренция с другими видами почвенных бактерий. Бактерии также используют вещества, находящиеся в корнях высшего растения. Чаще других бактериальные клубеньки образуются на корнях растений семейства Бобовые. В связи с этой особенностью семена бобовых богаты белком, а представителей семейства широко используют в севообороте для обогащения почвы азотом.
8. Дыхательные корни — у тропических растений — выполняют функцию дополнительного дыхания.

4. Особенности строения корней

Совокупность корней одного растения называют корневой системой.

В состав корневых систем входят корни различной природы.

Различают:

• главный корень,
• боковые корни,
• придаточные корни.

Главный корень развивается из зародышевого корешка. Боковые корни возникают на любом корне в качестве бокового ответвления. Придаточные корни образованы побегом и его частями.

Корень

5. Типы корневых систем

В стержневой корневой системе главный корень сильно развит и хорошо заметен среди других корней (характерна для двудольных). В мочковатой корневой системе на ранних этапах развития главный корень, образованный зародышевым корешком, отмирает, а корневая система составляется придаточными корнями (характерна для однодольных). Стержневая корневая система проникает в почву обычно глубже, чем мочковатая, однако мочковатая корневая система лучше оплетает прилегающие частицы грунта,

6. Зоны молодого корневого окончания

Различные части корня выполняют неодинаковые функции и различаются по внешнему виду. Эти части получили название зон.

Кончик корня снаружи всегда прикрыт корневым чехликом, защищающим нежные клетки меристемы. Чехлик состоит из живых клеток, которые постоянно обновляются. Клетки корневого чехлика выделяют слизь, она покрывает поверхность молодого корня. Благодаря слизи снижается трение о почву, её частицы легко прилипают к корневым окончаниям и корневым волоскам. В редких случаях корни лишены корневого чехлика (водные растения, некоторые растения-паразиты). Под чехликом располагается зона деления, представленная образовательной тканью — меристемой. Если эта апикальная меристема обособлена и образует только клетки корневого чехлика (как у большинства однодольных растений), её называют калиптрогеном. У большинства двудольных меристематическая ткань кончика корня сливается с меристемой, образующей зону всасывания, и называется дерматокалиптрогеном.

Клетки зоны деления тонкостенные и заполнены цитоплазмой, вакуоли отсутствуют. Зону деления можно отличить на живом корешке по желтоватой окраске, длина её около 1 мм. Вслед за зоной деления располагается зона растяжения. Она также невелика по протяжённости: составляет всего несколько миллиметров, выделяется светлой окраской и как бы прозрачна. Клетки зоны роста уже не делятся, но способны растягиваться в продольном направлении, проталкивая корневое окончание вглубь почвы. В пределах зоны роста происходит разделение клеток на ткани.

Окончание зоны роста хорошо заметно по появлению многочисленных корневых волосков. Корневые волоски располагаются в зоне всасывания, функция которой понятна из её названия. Длина её от нескольких миллиметров до нескольких сантиметров. В отличие от зоны роста участки этой зоны уже не смещаются относительно частиц почвы. Основную массу воды и питательных веществ молодые корни всасывают с помощью корневых волосков.

Корневые волоски — это выросты клеток поверхностной ткани поглощающей зоны корня растения. Они увеличивают всасывающую поверхность корня, выделяют продукты обмена; находятся чуть выше корневого чехлика. Все вместе они создают впечатление белого пушка вокруг корня. У растения, только что вынутого из почвы, всегда можно увидеть прилипшие к корневым волоскам комочки почвы. Они содержат слой протоплазмы, ядро, крупную вакуоль; их тонкие, легко проницаемые для воды оболочки плотно склеиваются с комочками почвы. Корневые волоски выделяют в почву различные вещества. Длина варьируется у разных видов растений от 0,06 до 10 мм. С увеличением влажности почвы образование замедляется; не образуются они и в очень сухой почве. Корневые волоски появляются в виде небольших сосочков — выростов клеток. По прошествии определённого времени корневой волосок отмирает. Продолжительность его жизни не превышает 10—20 дней

Выше зоны всасывания, там, где исчезают корневые волоски, начинается зона проведения. По этой части корня вода и растворы минеральных солей, поглощённые корневыми волосками, транспортируются в вышележащие отделы растения.

7. Анатомическое строение корня

Для того чтобы познакомиться с системой поглощения и передвижения воды по корню, необходимо рассмотреть внутреннее строение корня. В зоне роста клетки начинают дифференцироваться на ткани и в зоне всасывания и проведения формируются проводящие ткани, обеспечивающие подъем питательных растворов в надземную часть растения.

Уже в самом начале зоны роста корня масса клеток дифференцируется на три зоны: ризодерму, кору и осевой цилиндр.

Ризодерма — покровная ткань, которой снаружи покрыты молодые корневые окончания. Она содержит корневые волоски и участвует в процессах всасывания. В зоне всасывания ризодерма пассивно или активно поглощает элементы минерального питания, затрачивая в последнем случае энергию. В связи с этим клетки ризодермы богаты митохондриями.

Экзодерма — опробковевшая покровная ткань, приходящая на смену отмирающей ризодерме.

Веламен, как и ризодерма, относится к первичным покровным тканям и происходит из поверхностного слоя апикальной меристемы корня. Состоит из пустотелых клеток с тонкими, опробковевшими оболочками.

Кора — образована паренхимой, обычно дифференцируется на уровне зоны растяжения. Она рыхлая и имеет систему межклетников, по которой вдоль оси корня циркулируют газы, необходимые для дыхания и поддержания обмена веществ. У болотных и водных растений межклетники коры особенно обширны. Кора является той частью корня, через которую активно проходит радиальный (ближний) транспорт воды и растворенных солей от ризодермы к осевому цилиндру. В тканях коры осуществляется активный синтез метаболитов и откладываются запасные питательные вещества.

Осевой цилиндр — представляет собой сложный комплекс из проводящей, образовательной и основной тканей.

Литература

• Фёдоров Ал. А., Кирпичников М. Э. и Артюшенко З. Т. Атлас по описательной морфологии высших растений. Стебель и корень / Академия наук СССР. Ботанический институт им. В. Л. Комарова. Под общ. ред. чл.-корр. АН СССР П. А. Баранова. Фотографии М. Б. Журманова. — М.—Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1962. — 352 с. — 3 000 экз.
• В. Чуб. Подземная жизнь растений. Корни // Цветоводство : журнал. — 2007. — № 6. — С. 46—51.

Примечания

wreferat.baza-referat.ru

Реферат: Реферат: Квадратные корни

Квадратные корни

Введение

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.

Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера  можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.

И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число  – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа  не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

По следам открытия пифагорейцев

Как доказать, что число  иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому  и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.

Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного не существует.

Зная время t, можно найти путь при свободном падении по формуле:  Решим обратную задачу.

Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение  Из него находим, что  Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как  Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.

Определение. Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают

Таким образом

Пример. Так как

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение  не имеет числового значения.

В записи  знак  называют знаком радикала (от латинского «радикс» – корень), а число а – подкоренным числом. Например, в записи  подкоренное число равно 25. Так как  Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями:

 = 10…0

2n нулей n нулей

Аналогично доказывается, что  2n нулей n нулей

Например,

Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что  не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х, где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение  с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу  – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

Теорема. Если а – положительное число и  – приближенное значение для  по избытку, то  – приближенное значение для  по недостатку.

Доказательство.

По условию x1> и потому х12 >a, <1. Но 2 =  = a. Т.к. <1, то a<a. Значит, а и - приближенное значение для  по недостатку.

Аналогично доказывается, что если  – приближенное значение для  по недостатку, то  – приближенное значение  по избытку.

Поскольку  и  являются приближенными значениями для  по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для  естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число х2 = . А чтобы получить еще более точное значение для , надо взять среднее арифметическое чисел , т.е. число х3 = . Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие приближенные значения для . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения  не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков.

Пример 1. Уточним по формуле х2 =  приближение

х1 = 1,414 для .

Решение.

В нашем случае а=2. Поэтому

х1 = (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135…

Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т.е. число верных знаков удвоилось.

Пример 2. Найдем приближенное значение для  с точностью до 0,0001.

Решение.

Выберем за первое приближение для  число 2. Тогда второе приближение вычисляется так:

х2 = = 2,25

Далее имеем

х3 == 2,2361,

х4==2,2361.

Значит, с точностью до 0,0001 имеем =2,2361.

Ответ:

К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии доказывают теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов этого треугольника. Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа.

Рис. 1

Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна , а в другом – . Значит, .

Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками

М (х1; у1) и N (x2; y2) координатной плоскости (рис. 2) выражается формулой

MN= (1)

Пример 1. Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени – 16 м.

Решение. По теореме Пифагора имеем

Так как , т.е. расстояние равно 20 м.

Пример 2. Найдем расстояние между точками М (3; 1) и N (8; -11) координатной плоскости.

Решение.

По формуле (1) имеем MN = = =13

Из определения квадратного корня вытекает, что равенство=х, где а0, верно в том и только в том случае, когдах2=а, причем х0. Заменяя в равенстве х2=а переменную х на , получаем тождество 2=а, (1)

верное для всех а0. Заменяя в равенстве =х переменную а на х2, получаем тождества

= х, (2)

которое верно для всех х0.

Например, 2 = 25;2 = 8; 2 = 0,11; = 6; =0,24.

Формулы  и  показывают, что для неотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимно обратны, т.е. если выполнить над каким-нибудь неотрицательным числом сначала одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.

Если а – отрицательное число, то равенство  неверно, так как  не имеет числового значения. При отрицательных значениях х неверно и равенство . Например, 2 ==5, а не –5. Так как х2 =2, а при х < 0 имеем – х> 0,

то при х< 0 верно равенство =2 = – х (3)

Итак,

x, если х 0,

= – х, если х < 0.

Но мы знаем, что х, если х  0,

=

– х, если х < 0.

Поэтому для всех чисел х верно равенство

= . (4)

Например, ==8, 2 = = 12.

Пример 1. Упростим выражение +2 + - 2.

Р е ш е н и е. Так как 2 = 3, 2 = 2, то +2 + - 2 =2 +

2 + 2 +2 – 2 + 2 =2 2 + 2  2 = 2  3 + 2  2 = =10.

Пример 2. Найдем значения выражения  при а = 2,1; b = 3,6

Решение. При любом значении х выполняется равенство

= . Поэтому = . Но == 1,5. Значит, при а = 2,1; b =3,6 имеем  =1,5.

Выражения  и  имеют одно и то же значение 6.

В самом деле, = 3, = 2,  = 6, поэтому = 3  2 = 6 и = == 6. Равенство = – часный случай общего утверждения.

Теорема 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел, т.е. при а  0, b  0 имеем =   

Доказательство.

Пусть числа а и b неотрицательны.

Тогда по правилу возведения в степень имеем

  2 =  = а  b

Кроме того,    – неотрицательное число как произведение двух неотрицательных чисел  и . Поэтому   =

Пример 1. Найдем значения выражения

Решение.

Мы имеем  = 25, = 16, = 0,01,

и потому  = 25160,01= 4.

Аналогично доказывается, что  =

Теорема 2. Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, т.е. при а  0 и b > 0 имеем

Теорема 3. При любом значении а и при любом b  0 верно равенство

При преобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула:

=   ,

где А2 В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки «плюс» и «минус «). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А 0, В 0, А2 – В  0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства  в квадрат. В левой части имеем А  , в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем

  2   + =

= А  2 = А  2 =

= А  2 = А  2 = А  .

Таким образом, квадраты обеих частей равенства  оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство доказано.

Пример 1. Упростить выражение .

1-й способ. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А2 – В =

= 52 – 21 = 4, и поэтому по формуле

=  –  =  – .

2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:

5 – = = =

==  = .

Поэтому = =

Пример 2. Упростить выражение

1-й способ:

=  + =

=  + =

2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:

Пример 3. Упростить выражение

Решение.

Ответ: 10.

Пример 4. Упростить

Решение.

1.

2.

3.

Ответ:

Пример 5. Какое из чисел больше:  или ?

Решение.

Очевидно, что

Оценим сумму  

Так как , а , то

Ответ:

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A. В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.

Найти an, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A, оставаясь меньше последнего.

Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an.

Удвоить an.

Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2an – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.

Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A.

Сравнить полученное число с нулём.

Если полученное число не равно 0, то найти такое 2an − 1, которое, будучи умноженным на , даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.

Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.

После получения количества цифр, равного , прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.

Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.

1.         Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

2.         Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

3.         Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.

4.         Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.

5.         Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.

6.         Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Пример. Извлечём корень .

1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .

2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем  с недостатком. Цифра 9 – это первая цифра корня.

3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92= 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.

4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем:

¯ 81

18… ¯¯¯¯¯549¯¯¯¯¯

К числу 18 нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93. Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренное число 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколько граней содержит это число.

Аналогично извлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное число разбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влево и вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописыванием к числу нуля.

Заключение

Данная работа посвящена квадратным корням. Рассмотрены правила действий с квадратными корнями, способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни, геометрические приложения. В работе приведены примеры действий с квадратными корнями и преобразования выражений с ними. Рассмотрен алгоритм извлечения квадратного корня.

Таким образом, цель достигнута, задачи выполнены.

1.  Алгебра: Учеб. пособие для 8 кл. / Е.П. Кузнецова и др; под ред. Л.Б. Шнепермана. – 2 изд. – Мн.: Нар. асвета, 2005.

2.  Алгебра: Учеб. для 8‑х кл. общеобразоват. шк. с углубл. изучением математики / К.О. Ананченко и др. – Мн.: Нар. асвета, 1994.

3.  Петраков И.С. «Математические кружки в 8–10 классах»: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1987 г.

4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Аксенова. М.: Аванта+плюс. 2004 г.

www.neuch.ru

Видоизменения корней | Ботаника. Реферат, доклад, сообщение, кратко, презентация, лекция, шпаргалка, конспект, ГДЗ, тест

Нередко корни растений выполняют помимо главных другие функции и образовываются в несвойственных для них условиях, это приводит к всевозможным их видоизменениям. Так, при выполнении функции хранилища запасных питательных веществ, они сильно разрастаются в толщину.

При разрастании главного корня формируются корнеплоды (свёкла, морковь, брюква). При этом верхняя часть корнеплода образуется из стебля (рис.19). При разрастании боковых и придаточных   корней образуются корневые клубни (георгин (рис. 20), чистяк, любка двулистная).

Своеобразные изменения происходят в корнях, вступающих в симбиоз с грибами и бактериями. Клубеньковые бактерии, поселяющиеся на корнях бобовых растений, проникая в коровую паренхиму корня, стимулируют деление клеток перицикла, что приводит к образованию клубеньков на поверхности корней.

Рис. 19. Корнеплоды редиса (Raphanus sativus var radicula)

Рис. 20. Корневые клубни георгина (Dahlia variabilis)

Симбиоз корней высших растений с грибами называется микоризой. Растения из почвы при помощи гриба получают воду и минеральные соли, а гриб от растения — органические вещества. Большинство древесных растений в лесных условиях образуют микоризу. Корни, участвующие в образовании микоризы, обычно вильчато ветвятся, кончики их утолщаются, корневые волоски на них не образуются. Микориза может быть наружная, внутренняя и наружно-внутренняя (рис. 21).

Рис. 21. Типы микоризы: эктомикориза: 1,2 — у дуба (Quercus), 3 — поперечный разрез эктомикоризы бука (Fagus), 4 — поперечный разрез эндомикоризы — поперечный срез у ясеня (Fraxinus)

У лиан для прикрепления к стволам других растений, к стенам образуются корни-прицепки (плющ) (рис. 22).

Рис. 22. Корни-прицепки плюща (Hedera)

Рис. 23. Воздушные корни фикуса (Ficus)

У тропических растений из семейства орхидных часто на стеблях развиваются воздушные корни (рис. 23), способные улавливать атмосферную влагу. У некоторых корневищных и луковичных растений (тюльпана, нарцисса) как приспособление к перенесению неблагоприятных условий зимы образуются втягивающие корни, способные сильно сокращаться в продольном направлении. Материал с сайта http://doklad-referat.ru

Некоторые тропические растения имеют ходульные корни, служащие опорой (рис. 24). При недостатке в почве кислорода у некоторых растений развиваются дыхательные корни, выступающие над водой (болотный кипарис, кукуруза) (рис. 25).

Рис. 24. Опорные корни фикуса-баньяна (Ficus benghalensis)

Рис. 25. Дыхательные корни кукурузы (Zea mays)

• Реферат на тему видоизменения корней

• Доклад о видоизменение корней

• Доклад по теме видоизменение корней

• Реферат видоизменения корня

• Доклад видоизменение корня у кукурузы

• Какие видоизменения корней известны у культурных растений?

• Какие функции они выполняют различные видоизменения корней?

• Что такое микориза?

• Какое значение имеет микориза для растений?

• Почему образуются клубеньки на корнях бобовых растений?

• Какое значение имеют клубеньки?

doklad-referat.ru

Корень — реферат

ВВЕДЕНИЕ

Корень – это орган, обеспечивающий растение водой и минеральными веществами и укрепляющий его в почве. В корнях образуются многие важные для жизни растения вещества.

Корни всасывают из почвы воду и растворенные в ней минеральные вещества.

На жизнедеятельность корней влияют внешние условия: температура почвы, наличие в ней влаги, растворенных минеральных веществ и воздуха.

Основной целью работ явилось освещение основных методических особенностей при изучении темы «Корень» на уроках биологии в средней школе.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1.                            Показать как тема «Корень» освещается в школьных учебниках по биологии.

2.                            Рассмотреть основные методические приемы при изучении данной темы.

3.                            Разработать уроки и контрольные работы по теме «Корень».

ГЛАВА 1. ВИДЫ КОРНЕЙ И ТИПЫ КОРНЕВЫХ СИСТЕМ

Функции корня. Корни закрепляют растение в почве и прочно удерживают его в течение всей жизни. Через них растение получает из почвы воду и растворенные в ней минеральные вещества. В корнях некоторых растений могут откладываться и накапливаться запасные вещества.

Виды корней. Различают три вида корней: главные, придаточные и боковые [1]. При прорастании семени первым развивается зародышевый корешок. Он превращается в главный корень.

Рис. 1. Типы корневых систем

Корни, образующиеся на стеблях, а у некоторых растений и на листьях, называют придаточными. От главного и придаточных корней отходят боковые корни.

Типы корневых систем. Все корни одного растения образуют корневую систему. Различают два типа корневых систем — стержневую и мочковатую [2]. Корневую систему, в которой сильнее всех развит похожий на стержень главный корень, называют стержневой. Стержневую корневую систему имеет большинство двудольных растений, например щавель, морковь, свекла и др. [1].

Обычно стержневая корневая система хорошо видна только у молодых, выросших из семян двудольных растений. У многолетних растений (лютик, земляника, подорожник) часто главный корень отмирает, а от стебля отрастают придаточные корни.

Мочковатой называют корневую систему из придаточных и боковых корней. Главный корень у растений с мочковатой системой недостаточно развит или рано отмирает. Мочковатая корневая система характерна для однодольных растений пшеницы, ячменя, лука, чеснока и др.

Для того чтобы научиться различать типы корневых систем, выполните лабораторную работу.

Глава 2. Методические особенности преподавания

темы «Корень» в средней школе

В процессе изучения данной темы главное внимание обращается на усвоение учащимися знаний о строении корня во взаимосвязи с функциями, связи корня со средой обитания, о важнейших агротехнических мероприятиях, вытекающих из биологии корня, способствующих его росту и развитию; формирование умений распознавать на натуральных объектах типы корневых систем, ставить опыты по выяснению основных функций корня, выращивать растения и ухаживать за ними, проводить рыхление почвы, пикировку, окучивание, подкормку.

Содержание темы позволяет решить воспитательные задачи: формировать материалистическое мировоззрение на основе раскрытия сущности процесса питания растений из почвы, строение и функций корня в свете причинной обусловленности явлений, путей управления ростом растений с помощью различных агроприемов (внесение необходимых удобрений, обработка почвы, мелиорация и др.).

Корень. Значение почвы для растений. На первом уроке по теме необходимо добиться усвоения учащимися знаний о почве как важном для растений факторе внешней среды, о видах корней и типах корневых систем. На уроке проводится лабораторная работа, беседа, рассказ, демонстрация диафильма «Корень».

Урок начинается беседой, в процессе которой выясняются знания учащихся о корне. Школьники обычно указывают, что это подземный орган, который поглощает из почвы питательные вещества и укрепляет растение. Учитель дополняет ответы учащихся, сообщает, что при помощи корня растение хорошо закрепляется в почве и противостоит ветрам и даже бурям. Однако ураганной силы ветер иногда способен вырвать из почвы деревья с корнями. Способность корней связывать частицы почвы используется человеком для закрепления оврагов, осыпей, склонов рек, железнодорожных насыпей.

Затем на основе знаний учащихся из курса природоведения изучается материал о почве, ее составе, свойствах, плодородии. Учитель демонстрирует опыты для определения физического и механического состава почвы и подводит учащихся к выводу о зависимости жизнедеятельности корней от физического состава почвы, содержания в ней питательных веществ, воды, воздуха; почва — это природное богатство, которое надо беречь от разрушений, только на плодородной почве можно вырастить хороший урожай.

Учитель раскрывает меры охраны почвы от разрушения, способствующие накоплению запасов влаги в почве (снегозадержание, ранняя вспашка земель под зябь, раннее боронование весной, посадка полезащитных полос и др.), указывает на необходимость высокоэффективного использования земель, улучшения их плодородия как важнейшего условия повышения урожайности растений.

На следующем этапе урока изучается внешнее строение корней. Учитель сообщает, что все корни одного растения образуют корневую систему, и показывает учащимся на таблице главный, боковые и придаточные корни, раскрывает понятия стержневой и мочковатой корневых систем. Он отмечает, что общая поверхность корней одного растения очень большая, намного превышает надземную часть. Учитель просит установить взаимосвязь строения и функций корневой системы. С его помощью учащиеся делают вывод, что большая протяженность корневой системы обеспечивает закрепление, удержание растения в почве, поглощение воды и питательных веществ.

Затем учащиеся получают живые и гербарные экземпляра, растении с различными типами корневых систем и выполняют лабораторную работу «Изучение стержневых и мочковатых корневых систем», пользуясь заданием, изложенным в инструктивной карточке:

1.   Рассмотрите корневую систему взрослых растений гороха и пшеницы, найдите черты отличия и установите типы корневых систем у растений.

2.   Отберите растения со стержневой корневой системой, укажите признаки, по которым вы будете их отбирать.

3.   Отберите растения с мочковатой корневой системой. Укажите признаки, по которым вы их отберете.

4.Заполните таблицу 7 «Типы корневых систем».

Закреплению знаний о почве, видах корней и типах корневых систем способствует демонстрация диафильма «Корень». В заключение урока можно провести беседу по следующим вопросам: каков состав почвы? Что такое плодородие почвы? Какие корневые системы называют стержневыми, а какие — мочковатыми? На чем основано использование растений для закрепления оврагов, осыпей, берегов рек и т. п.?

Внешнее и внутреннее строение корня. Зоны корня. Ткани. Знания макро- и микроскопического строения корня необходимы для понимания протекающих в нем процессов жизнедеятельности, установления взаимосвязи его строения и функций. Целесообразно на изучение данного вопроса выделить три урока. На первом уроке следует начать формирование знаний о зонах корня, их строении и значении, об особенностях строения клеток корневого чехлика и корневых волосков в связи с выполняемыми функциями. На втором уроке следует продолжить формирование знаний о внутреннем строении корня, тканях на примере зон деления и роста, о росте корня, смене зон, значении прищипки корня для управления ростом растения, подвести школьников к выводу о причинной обусловленности биологических явлений. На третьем уроке необходимо сформировать у школьников знания о зоне проведения и ее главной функции — поглощении воды и минеральных веществ из почвы; обосновать вывод о материальных основах питания растений из почвы.

На уроках учитель в зависимости от условий может использовать беседу, работу с учебником, демонстрацию натуральных объектов, таблиц, опытов, диафильма «Корень», транспаранта «Строение корня», готовых микропрепаратов, лабораторную работу.

Первый урок начинается с устной проверки знаний о почве, се составе, свойствах и мерах охраны, о видах корней и типах корневых систем. Кроме того, проверяются умения учащихся определять типы корневых систем на живых растениях или гербарных экземплярах.

Затем проводится изучение нового материала. Организуется самостоятельная работа учащихся по заданию: 1) рассмотрите корни проростков пшеницы (или какого-либо другого растения) и опишите их внешний вид; 2) вынутые из почвы корми проростков встряхните, найдите участки корня, на которых пет почвы, и участки с комочками почвы; 3) установите, сколько участков можно выделить на корне, чем они различаются между собой.

По итогам самостоятельной работы проводится беседа с использованием таблицы «Корень и его зоны. Строение молодого корни» и транспаранта «Строение корня». Учащиеся подводятся к выводу, что на корне можно различить несколько частей или зон — корневой чехлик, деления, роста, всасывания и проведения.

После этого обсуждается проблема: как различаются по внутреннему строению разные участки корпя? Для ее решения учащиеся выполняют лабораторную работу «Рассматривание корневых волосков и чехлика невооруженным глазом и под микроскопом», используя инструктивную карточку с заданиями:

1.  Рассмотрите в лупу корпи проростков пшеницы и ответьте па вопросы: каково строение и цвет кончика корпя? По каким признакам можно определить зону всасывания?

2.  Рассмотрите под микроскопом микропрепарат «Корневой чехлик и корневые волоски». Сравните клетку корневого чехлика и корневой волосок.

3.Зарисуйте корневой волосок н сделайте надписи к рисунку.

4.Ответьте на вопрос: в чем сходство строения клеток корневого чехлика и корневого волоска?

После лабораторной работы проводится беседа, обобщаются знания об особенностях строения клеток "корневого чехлика и корневых волосков в связи с функциями. Отмечается, что клетки этих зон отличаются друг от друга формой и размерами. Учитель сообщает о том, что за счет корневых волосков увеличивается общая поверхность корня и повышается его эффективность как органа поглощения. На I мм2 поверхности всасывающей зоны может располагаться от 200 до 400 корневых волосков, благодаря чему контакт корня с почвой увеличивается в 18—40 раз. Подчеркивается, что корневой волосок представляет собой вытянутую клетку с очень тонкой оболочкой, что позволяет ему тесно соприкасаться с частицами почвы и поглощать воду и минеральные вещества. Если останется время, то для закрепления знаний о зонах корня, строении и функциях корневого чехлика и корневых волосков можно организовать самостоятельную работу учащихся с рисунком учебника и провести беседу по вопросам: какие различают зоны корня? Каковы строение и функции клеток корневого чехлика? Почему его так называют? Какая зона называется всасывающей? Какое строение она имеет? Что представляет собой корневой волосок?

Целесообразно предложить учащимся дома повторить материал о строении растительной клетки.

На втором уроке после проверки знаний о зонах корня, внутреннем строении корневого чехлика и зоны всасывания учитель привлекает внимание учащихся к таблице и рисунку учебника, показывает зоны деления и роста корня, просит учащихся описать строение клеток этих зон, подчеркивает, что в этом участке корня клетки постоянно делятся, а затем растут. После этого демонстрируется опыт «Верхушечный рост корня», с помощью которого учащиеся убеждаются в том, что корень растет верхушкой. Затем учитель вводит понятие ткани, иллюстрирует его на примере особенности строения и функций образовательной ткани.

Учитель демонстрирует опыт «Значение прищипки главного корня для развития боковых корней» и сообщает о использовании этого приема при пикировке растений. Учащиеся приходят к выводу, что пикировка рассады способствует образованию мощной корневой системы в верхних, наиболее богатых питательными веществами слоях почвы и в конечном счете приводит к повышению урожая. Этот пример убеждает школьников в том, что ростом и развитием растений можно управлять.

Затем раскрывается механизм постепенной смены зон корня, всасывающий участок с корневыми волосками после их отмирания становится проводящим, на месте растущего участка образуются корневые волоски. Благодаря смене зон корня успешно осуществляются его функции: снабжение растений водой и питательными веществами, укрепление в почве. Учащиеся делают вывод: смена зон корня является важным приспособлением к поглощению воды и питательных веществ из все новых участков почвы.

Рассмотрение вопроса о смене зон корня позволяет сосредоточить внимание учащихся на взаимосвязях в организме растения, показать зависимость одной зоны корня от другой, взаимосвязь между строением и функциями, подчеркнуть причинную обусловленность биологических явлений.

С целью закрепления знаний о внутреннем -строении корня, его тканях можно организовать самостоятельную работу учащихся с учебником по заданию: найдите в тексте материал о тканях, выпишите определение ткани; заполните таблицу 8.

Третий урок следует начать с изучения нового материала. Рассказ учителя сопровождается демонстрацией таблицы, на которой учащиеся рассматривают зону проведения. Затем им предлагается рассмотреть рисунок учебника, обратить внимание на строение и функции проводящей ткани. Такая подготовка позволяет приступить к проведению наблюдения под микроскопом готового микропрепарата «Первичное строение корня». В результате формулируется вывод: в центральной части корня находятся сосуды — проводящая ткань. По ним поглощенные корнем вещества, вода передвигаются по стеблю в листья.

turboreferat.ru

Реферат: Квадратные корни

Введение

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.

Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.

Возможно вы искали - Реферат: Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

По следам открытия пифагорейцев

Как доказать, что число иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.

Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного не существует.

Похожий материал - Контрольная работа: Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных

Зная время t , можно найти путь при свободном падении по формуле: Решим обратную задачу.

Задача . Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.

Определение . Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают

Очень интересно - Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Таким образом

Пример . Так как

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение не имеет числового значения.

В записи знак называют знаком радикала (от латинского «радикс» – корень), а число а – подкоренным числом. Например, в записи подкоренное число равно 25. Так как Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями:

Вам будет интересно - Реферат: Классический метод математического описания и исследования многосвязных систем

= 10…0

2n нулей n нулей

Аналогично доказывается, что 2n нулей n нулей

Например,

Похожий материал - Реферат: Классическое определение вероятности

Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х , где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х . Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

Теорема. Если а – положительное число и – приближенное значение для по избытку, то – приближенное значение для по недостатку .

cwetochki.ru

Смотрите также

• 
  Реферат опухоли
• 
  Реферат композитор
• 
  Блок реферат
• 
  Реферат температура
• 
  Реферат добро
• 
  Реферат давление
• 
  Реферат пк
• 
  Озера реферат
• 
  Реферат робот
• 
  Атом реферат
• 
  Реферат ученика