Реферат на тему:
Кинема́тика (греч. κινειν — двигаться) в физике — раздел механики, изучающий математическое описание (средствами геометрии, алгебры, математического анализа…) движения идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость), без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики — пространство и время. Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения механического движения занимается другой раздел механики — динамика.
Различают классическую кинематику, в которой пространственные (длины отрезков) и временные (промежутки времени) характеристики движения считаются абсолютными, то есть не зависящими от выбора системы отсчёта, и релятивистскую. В последней длины отрезков и промежутки времени между двумя событиями могут изменяться при переходе от одной системы отсчёта к другой. Относительной становится также одновременность. В релятивистской механике вместо отдельных понятий пространство и время вводится понятие пространства-времени, в котором инвариантным относительно преобразований Лоренца является величина, называемая интервалом.
Долгое время понятия о кинематике были основаны на работах Аристотеля, в которых утверждалось, что скорость падения пропорциональна весу тела, а движение в отсутствие сил невозможно. Только в конце XVI века этим вопросом подробно занялся Галилео Галилей. Изучая свободное падение (знаменитые опыты на Пизанской башне) и инерцию тел, он доказал неправильность идей Аристотеля. Итоги своей работы по данной теме он изложил в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению». [1]
Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года. Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде.
В XVIII веке Ампер первый использовал вариационное исчисление в кинематике.
После создания СТО, показывающей, что время и пространство не абсолютны и скорость имеет принципиальное ограничение, кинематика вошла в новый этап развития в рамках релятивистской механики (см. Релятивистская кинематика).
Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движения рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).
Положение точки (или тела) относительно заданной системы отсчёта определяется некоторым количеством взаимно независимых функций координат:
,где n определяется количеством степеней свободы. Так как точка не может быть в нескольких местах одновременно, все функции fi(t) должны быть однозначными. Также в классической механике выдвигается требование их дифференцируемости на промежутках. Производные этих функций определяют скорость тела. [2]
Скорость движения определяется как производная координат по времени:
,где — единичные векторы, направленые вдоль соответствующих координат.
Ускорение определяется как производная скорости по времени:
Следовательно, характер движения можно определить, зная зависимость скорости и ускорения от времени. А если кроме этого известны ещё и значения скорости/координат в определённый момент времени, то движение полностью задано.
В зависимости от свойств изучаемого объекта, кинематика делится на кинематику точки, кинематику твёрдого тела, кинематику деформируемого тела, кинематику газа, кинематику жидкости и т. д.
Основная статья: Кинематика точки
Кинематика точки изучает движение материальных точек — тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с характерными размерами изучаемого явления. Поэтому в кинематике точки скорость, ускорение, координаты всех точек тела считаются равными.
Частные случаи движения в кинематике точки:
где s — длина пути траектории за промежуток времени от t2 до t1, — проекции на соответствующие оси координат.
где s — длина пути траектории за промежуток времени от t2 до t1, — проекции на соответствующие оси координат, — проекции на соответствующие оси координат.
где R — радиус окружности, по которой движется тело.
Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы центр координат был в центре окружности, по которой движется точка, оси y и x лежали в плоскости этой окружности, так чтобы движение осуществлялось против часовой стрелки, то значения координат можно вычислить по формулам:
Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.
Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы ускорение и начальная скорость лежали в плоскости xy и ускорение было сонаправленно с осью y, то значения координат можно вычислить по формулам:
,где и — проекции на соответствующие оси.
Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.
Кинематика твёрдого тела изучает движение абсолютно твёрдых тел (тел, расстояние между двумя любыми точками которого не может изменяться).
Так как любое тело ненулевого объёма имеет бесконечное число точек, и соответственно бесконечное число фиксированных связей между ними, тело имеет 6 степеней свободы и его положение в пространстве определяется шестью координатами (если нет дополнительных условий).
Связь скорости двух точек твердого тела выражается через формулу Эйлера:
,где — вектор угловой скорости тела.
Основные статьи: Кинематика деформируемого тела, Кинематика жидкости
Кинематика деформируемого тела и кинематика жидкости относятся к кинематике непрерывной среды.
В рамках данного раздела кинематики рассматривается общая теория деформации среды и определяются уравнения непрерывности, отражающие неразрывность среды.
Кинематика газа изучает деление газа на скопления при движении и описывает движение этих скоплений. В рамках кинематики газа описываются не только основные параметры движения, но и типы движения газа.
wreferat.baza-referat.ru
Кинематика в физике — раздел механики, изучающий математическое описание (средствами геометрии, алгебры, математического анализа…) движения идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость), без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики — пространство и время. Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения механического движения занимается другой раздел механики — динамика.
Различают классическую кинематику, в которой пространственные (длины отрезков) и временные (промежутки времени) характеристики движения считаются абсолютными, то есть не зависящими от выбора системы отсчёта, и релятивистскую. В последней длины отрезков и промежутки времени между двумя событиями могут изменяться при переходе от одной системы отсчёта к другой. Относительной становится так же одновременность. В релятивистской механике вместо отдельных понятий пространство и время вводится понятие пространства-времени, в котором инвариантным относительно преобразований Лоренца является величина, называемая интервалом.
История кинематики
Долгое время понятия о кинематике были основаны на работах Аристотеля, в которых утверждалось, что скорость падения пропорциональна весу тела, а движение в отсутствие сил невозможно. Только в конце XVI века этим вопросом подробно занялся Галилео Галилей. Изучая свободное падение (знаменитые опыты на Пизанской башне) и инерцию тел, он доказал неправильность идей Аристотеля. Итоги своей работы по данной теме он изложил в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению». [1]
Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года. Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде.
В XVIII веке Ампер первый использовал вариационное исчисление в кинематике.
После создания СТО, показывающей, что время и пространство не абсолютны и скорость имеет принципиальное ограничение, кинематика вошла в новый этап развития в рамках релятивистской механики (см. Релятивистская кинематика).
Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движения рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).
Положение точки (или тела) относительно заданной системы отсчёта определяется некоторым количеством взаимно независимых функций координат:
,
где n определяется количеством степеней свободы. Так как точка не может быть в нескольких местах одновременно, все функции fi(t) должны быть однозначными. Так же в классической механике выдвигается требование их дифференцируемости на промежутках. Производные этих функций определяют скорость тела. [2]
Скорость движения определяется как производная координат по времени:
,
где — единичные векторы, направленые вдоль соответсвующих координат.
Ускорение определяется как производная скорости по времени:
Следовательно, характер движения можно определить, зная зависимость скорости и ускорения от времени. А если кроме этого известны ещё и значения скорости/координат в определённый момент времени, то движение полностью задано.
В зависимости от свойств изучаемого объекта, кинематика делится на кинематику точки, кинематику твёрдого тела, кинематику деформируемого тела, кинематику газа, кинематику жидкости и т. д.
Кинематика точки изучает движение материальных точек — тел, размерами которых можно по сравнению с характерными размерами изучаемого явления можно пренебречь. Поэтому в кинематике точки скорость, ускорение, координаты всех точек тела считаются равными.
Частные случаи движения в кинематике точки:
,
где s — длина пути траектории за промежуток времени от t2 до t1, — проекции на соответствующие оси координат.
,
где s — длина пути траектории за промежуток времени от t2 до t1, — проекции на соответствующие оси координат, — проекции на соответствующие оси координат.
,
где R — радиус окружности, по которой движется тело.
Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы центр координат был в центре окружности, по которой движется точка, оси y и x лежали в плоскости этой окружности, так чтобы движение осуществлялось против часовой стрелки, то значения координат можно вычислить по формулам:
Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.
Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы ускорение и начальная скорость лежали в плоскости xy и ускорение было сонаправленно с осью y, то значения координат можно вычислить по формулам:
,
где и — проекции на соответствующие оси.
Для перехода в другие системы координат используются преобразования Галилея для скоростей намного меньших скорости света, и преобразования Лоренца для скоростей, сравнимых со скоростью света.
Кинематика твёрдого тела изучает движение абсолютно твёрдых тел (тел, расстояние между двумя любыми точками которого не может изменятся).
Так как любое тело ненулевого объёма имеет бесконечное число точек, и соответственно бесконечное число фиксированных связей между ними, тело имеет 6 степеней свободы и его положение в пространстве определяется шестью координатами (если нет дополнительных условий).
Связь скорости двух точек твердого тела выражается через формулу Эйлера:
,
где — вектор угловой скорости тела.
Кинематика деформируемого тела и кинематика жидкости относятся к кинематике непрерывной среды.
В рамках данного раздела кинематики рассматривается общая теория деформации среды и определяются уравнения непрерывности, отражающие неразрывность среды.
Кинематика газа изучает деление газа на скопления при движение и описывает движение этих скоплений. В рамках кинематики газа описываются не только основные параметры движения, но и типы движения газа.
referat911.ru
Реферат тема: «Основы кинематики»
Москва 2014 г.
Содержание
Введение
§ 1. Механическое движение
§ 2. Поступательное движение тела
§ 3. Вращательное движение тела
§ 4. Связь между поступательным и вращательным движением
§ 5. Основные формулы кинематики
Список использованной литературы и источников
Введение
Простейшей формой движения является механическое перемещение тел. Для количественного описания этого перемещения необходимо ввести соответствующие характеристики, связанные с понятиями пространства и времени. Как пространство, так и время, являются очень сложными физическими понятиями, смысл которых можно выяснить лишь в рамках специальной и общей теории относительности.
Кинематикой называется раздел механики, в котором рассматривается движение тел, безотносительно к причинам, вызывающим это движение. Движение тел с учетом причин, вызывающих и определяющих это движение, занимается динамика.
§ 1. Механическое движение
Для построения кинематики поступательного движения необходимо ввести ряд основных понятий, которые мы будем использовать.
Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь. Вопрос о том, является ли данное тело материальной точкой зависит не от размеров тела, а от условий задачи. При описании движения планет вокруг Солнца Земля рассматривается как материальная точка. Размеры Земли практически не влияют на характер движения Земли. Но для описания чередования времен года, дня и ночи необходимо учитывать не только сферическую форму Земли, но и тот факт, что она вращается вокруг своей оси.
Системой отсчета называется система координат и часы, связанные с этой системой. Для описания механического движения обычно вводят систему координат, представляющую три взаимно перпендикулярных оси с указанным на них масштабом.
/
Для описания пространственного движения тела используется понятие траектории. Траекторией называется линия движения материальной точки. Для описания траектории можно задать одно векторное уравнение r=r (t) или три скалярных
Эти уравнения определяют координаты точки в любой момент времени t и называются уравнениями движения материальной точки.
Абсолютно твердым телом называется тело, все размеры которого при движении остаются неизменными. Реальные тела могут менять свои размеры, но этими изменениями часто пренебрегают и рассматривают тела как идеально твердые. В дальнейшем вместо абсолютно твердого тела будем пользоваться термином твердое тело.
Рассмотрим движение твердого тела. В общем случае движение можно разложить на поступательное и вращательное. Описание каждого из этих движений по отдельности проще, чем описание общего движения.
Поступательное движение твердого тела — это такое движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному направлению.
/
Вращательное движение — это такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же оси вращения.
/
На рисунке тело поворачивается вокруг оси, проходящей через точку О, на угол ?. Обычно тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях.
§ 2. Поступательное движение тела
При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории. Поэтому движение всего тела можно задать уравнениями движения одной материальной точки, например, центра масс. В дальнейшем для простоты будем говорить о движении материальной точки. На рисунке показано перемещение точки по кривой
/
Здесь — длина пути, пройденного точкой за время , — вектор перемещения точки. Отметим, что, если движение не является прямолинейным, то длина пройденного пути больше длины модуля перемещения
.
Средней скоростью называется величина
.
Вектором средней скорости называется вектор
.
Мгновенной скоростью называется вектор
.
При этом вектор v направлен по касательной к траектории.
/
Размерность скорости
.
Для абсолютной величины скорости можно записать
.
Если известна зависимость скорости от времени, то можно найти путь, пройденный материальной точкой
.
Движение материальной точки можно характеризовать также ускорением.
Средним ускорением называется величина
.
Мгновенным ускорением называется величина
.
Абсолютное значение ускорения
.
Размерность ускорения
.
Рассмотрим движение точки по окружности радиуса R.
тело механический вращательный поступательный
/
Изменение скорости за время
показано на рисунке. Как видно из рисунка, скорость может меняться по величине и направлению. Соответственно, изменение скорости можно представить в виде суммы
.
Соответственно, ускорение точки можно разложить на тангенциальное и нормальное.
/
Связь между ускорениями определяется теоремой Пифагора
.
Тангенциальным ускорением называется ускорение, направленное по касательной к траектории и описывающее быстроту изменения скорости по модулю
.
Нормальным ускорением называется компонента ускорения, направленная по нормали к траектории. Она определяется формулой
.
Величину аn называют центростремительным ускорением.
Если точка движется по прямой, то и
.
Если точка равномерно движется по окружности радиуса R, то
.
Рассмотрим простейшие виды поступательного движения.
1) Прямолинейным равномерным движением называется такое движение, при котором скорость остается неизменной по величине и направлению v = const. Выбирая ось х вдоль направления движения, и, считая, что при точка имела координату, получим
.
/
2) Прямолинейным равноускоренным движением называется такое движение, при котором ускорение остается постоянным по величине и направлению a = const. Выбирая ось х вдоль направления движения, и, считая, что при точка имела координату и скорость, получим
,
.
/
§ 3. Вращательное движение тела
Рассмотрим вращательное движение тела вокруг некоторой оси. При этом все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. В качестве основной характеристики вращательного движения рассмотрим угол поворота? между начальным и конечным положениями радиус-векторов.
/
При этом угол считается положительным, если движение совершается против часовой стрелки и отрицательным, если — по часовой. При решении задач обычно угол? измеряется в радианах (180? —? радиан, 1 рад57?).
Для описания вращательного движения можно ввести такие же характеристики, как и для поступательного.
Угловой скоростью вращательного движения называется величина
.
Угловым ускорением вращательного движения называется величина
.
Введенные величины являются аналогами линейной скорости и линейного ускорения. Величины? и? имеют размерности
,.
Если вращение является равномерным, т. е. происходит с постоянной угловой скоростью, то такое движение будет периодическим. Для описания периодического движения используют понятия периода и частоты вращательного движения. При этом величину? иногда называют угловой частотой вращения.
При поворотах на малые углы угловые характеристики вращательного движения можно рассматривать как векторы. Вектор имеет длину и направлен по оси, вдоль которой производится поворот. Направление поворота определяется правилом правого винта.
/
Величина
является вектором угловой скорости. Он направлен вдоль, если и в обратную сторону при. Аналогично определяется вектор углового ускорения
.
Периодом вращения тела Т называется время, за которое тело совершает полный оборот вокруг своей оси. Между периодом и угловой частотой вращения существует связь
.
Частотой вращения? называют число оборотов, совершаемое телом за единицу времени. Очевидно
.
§ 4. Связь между поступательным и вращательным движением
Точка, участвующая во вращательном движении, одновременно совершает и поступательное движение. Можно установить связь между характеристиками поступательного и вращательного движений. Для линейной скорости имеем
,
где R — радиус окружности, по которой движется точка. Аналогичная связь существует между линейным и тангенциальным ускорениями
.
Для нормального ускорения справедлива формула
.
Угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение можно задавать также в виде векторов, направление которого совпадает с направлением оси вращения. Следовательно, связь между характеристиками поступательг7ного и вращательного движения можно записать в векторной форме.
Соответствующие векторы показаны на рисунке.
/
Из рисунка видно, что формула
в векторной форме принимает вид
,
Где.
§ 5. Основные формулы кинематики
1. Линейная и угловая скорости
2. Линейное и угловое ускорение
3. Связь между длиной дуги и углом поворота
4. Связь между линейной и угловой скоростями
,
5. Нормальное (центростремительное) ускорение
6. Тангенциальное ускорение
7. Полное ускорение
8. Равноускоренное движение
9. Равноускоренное вращение
.
Список использованной литературы и источников
1. Трофимова Т. И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.
2. Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304с
3. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с.
4. Трофимова Т. И., Павлова З. Г. Сборник задач по курсу физики с решениями, М.: Высшая школа, 1999, 592 с.
5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В. С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.
6. Красильников О. М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.
7. Супрун И. Т., Абрамова С. С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.
. ur
Показать Свернутьsinp.com.ua
Оглавление
Введение
1. История кинематики
1.1 Учения Аристотеля
1.2 Учения Галилео Галилея. Опыт на Пизанской башне
1.3 Вложения Пьера Вариньона в учения о кинематике
1.4 Учёные выделившие отдельный раздел механики
2. Основные понятия кинематики
Заключение
Литература
Введение
Долгое время понятия о кинематике были основаны на работах Аристотеля, в которых утверждалось, что скорость падения пропорциональна весу тела, а движение в отсутствие сил невозможно. Только в конце XVI века этим вопросом подробно занялся Галилео Галилей. Изучая свободное падение (знаменитые опыты на Пизанской башне) и инерцию тел, он доказал неправильность идей Аристотеля. Итоги своей работы по данной теме он изложил в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению».
Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года. Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде.
Актуальность темы: Изучая такую ветвь науки, как кинематика, многие учащиеся даже не задумываются о истории её возникновения. Но зная историю её открытия, ошибки и знаменитые опыты в ходе которых была открыта кинематика, учащемуся будет намного легче ознакомится с основными понятиями кинематики.
Цель: Изучить историю открытия кинематики.
Задачи:
1. Познакомиться с учёными, изучающих раздел кинематики.
2. Выявить опыты и исследования, в ходе которых была открыта кинематика.
3. Ознакомиться с основными понятиями кинематики.
1. История кинематики
1. 1 Учения Аристотеля
Аристотель — древнегреческий учёный, философ и педагог, родился в Стагире в 383? до н.э., умер в Халкиде в 322 до н.э. Почти двадцать лет Аристотель учился в Академии Платона и, по-видимому, какое-то время там преподавал. Покинув Академию, Аристотель стал воспитателем Александра Македонского. Как основатель Ликея в Афинах, продолжавшего свою деятельность многие столетия после его смерти, Аристотель внес существенный вклад в античную систему образования. Он задумал и организовал широкомасштабные естественнонаучные изыскания, которые финансировал Александр. Эти исследования привели ко многим фундаментальным открытиям
Долгое время понятия о кинематике были основаны на работах Аристотеля. Аристотель понимает под движением любое количественное или качественное изменение, благодаря которому явление реализуется. Такое широкое понимание движения позволяет ему утверждать, что в природе все есть движение. Частному понятию изменения положения тела с течением времени он дал наименование локального движения, а локальные движения он разделял на естественные и насильственные, тем самым отрицая непрерывность явлений и их однородность и вводя зависимость от того, происходят ли эти движения по естественным или по случайным причинам. Естественные движения бывают прямолинейными, как, например, те движения, которые мы постоянно видим вокруг себя (падение тяжелых тел, подъем легких тел), или круговыми, подобно круговращению звезд. Регулярность и вечность круговращения звезд должны иметь какую-то причину, которую Аристотель усматривал в неподвижном перводвигателе, сообщающем движение всем сферам, к которым прикреплены звезды и центр которых совпадает с центром Земли. Если представление о неподвижном перводвигателе было понятием, безусловно, метафизическим и даже теологическим, то помещение Земли в центре мироздания соответствовало данным повседневного опыта, который показывал, что звезды обращаются вокруг Земли.
Данным грубых наблюдений соответствуют также законы Аристотеля для естественного движения тел в подлунном мире. Из повседневного опыта известно, что есть тела, которые падают вниз, и тела, которые возносятся вверх (например, дым или огонь). Отсюда делается заключение, что тяжелые тела, естественно, стремятся к «своему месту», находящемуся в центре Земли, а легкие стремятся ввысь, к граничной поверхности мировой сферы. Во всех случаях все тела, тяжелые или легкие, стремятся к своему естественному месту. По Аристотелю, траектория ядра или брошенного тела состоит из трех частей: первая часть — прямолинейная наклонная, третья — прямолинейная вертикальная, а вторая — круговая, соединяющая первую с третьей. Эта точка зрения продержалась вплоть до 1546 г.
Вытекающая отсюда динамика весьма непохожа на современную. В учениях Аристотеля движущееся тело непрерывно находится под действием некоторой силы, и скорость его прямо пропорциональна приложенной силе и обратно пропорциональна сопротивлению среды. Отсюда следует, что в пустоте, где сопротивление среды отсутствует, скорость стала бы бесконечно большой, т. е. тело приобрело бы свойство вездесущности. Это следствие настолько противоречит обычным представлениям, что Аристотель приходит к выводу о невозможности существования пустоты в природе.
1. 2 Учения Галилео Галилея. Опыт на Пизанской башне
Галилео Галилей (1564−1642) -- итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени. Галилей -- основатель экспериментальной физики. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики. Галилей доказал, что тяжелые предметы падают вниз так же быстро, как и легкие. Чтобы проверить предположение Галилео Галилей сбрасывал с Пизанской башни в один и тот же момент пушечное ядро массой 80 кг и значительно более легкую мушкетную пулю массой 200 г. Оба тела имели примерно одинаковую обтекаемую форму и достигли земли одновременно.
Такова легенда. В архивах не сохранилось никаких подтверждений, что такой эксперимент действительно проводился. Более того, пушечное ядро и пуля имеют разный радиус, на них будет действовать разная сила сопротивления воздуха и, поэтому, они не могут достичь земли одновременно. Это понимал и Галилей. Однако он писал, что «…различие в скорости движения в воздухе шаров из золота, свинца, меди, порфира и других тяжелых материалов настолько незначительно, что шар из золота при свободном падении на расстоянии в одну сотню локтей наверняка опередил бы шар из меди не более чем на четыре пальца. Сделав это наблюдение, я пришел к заключению, что в среде, полностью лишенной всякого сопротивления, все тела падали бы с одинаковой скоростью.» Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая:
1. Все тела при падении движутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью
2. Движение происходит с постоянным ускорением.
1. 3 Вложения Пьера Вариньона в учения о кинематике
Пьер Вариньон — французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини.
Основной вклад Вариньон совершил в статику и механику; кроме того, его труды посвящены анализу гидромеханике. Вариньон был самым первым пропагандистом дифференциального исчисления во Франции. В 1687 году в своей работе «Проект новой механики…» Вариньон дал точную формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил. В работе «Новая механика или статика, проект которой был дан в 1687» Вариньон дал систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и о правилах оперирования ими.
Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года. Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде, как говорилось раньше П. Вариньон первый пропагандист такого вида исчисления. Однако содержания выступления учёного до конца не установлено.
1. 4 Ученые, выделившие отдельный раздел механики
кинематика аристотель механика вариньон
Хочется отметить, что не только Аристотель, Г. Галилей и П. Вариньон были заинтересованы кинематикой. Эти великие учёные только «прокладывали» путь к возникновению этой ветви механики. Но тогда кто же «отделил» кинематику и дал ей такое название?
Первые книги о механизмах появились в XV в. В середине XVIII в. создана теоретическая база. Французский ученый Жан Даламбер в своей книге «Динамика» (1743) высказал мысль, что механику надо изучать с движения как такового. Эту мысль развил петербургский академик Леонард Эйлер в знаменитой «Теории движения твердых тел». Он считал целесообразным разделить исследование движения твердого тела на две части: геометрическую и механическую. Перемещение точек тела надо исследовать, не рассматривая причин движения, для получения аналитических формул, определяющих перемещение. Выделяется, таким образом, чисто геометрический аспект проблемы, и это, естественно, дает методические преимущества, упрощая подходы и поиски решения. Еще более определенно идея выделения кинематики сформулирована выдающимся деятелем Великой французской революции Л. Карно. Он писал: «Геометрия могла бы включить в себя движения, не связываемые с взаимодействием тел, ибо механика, собственно говоря, не наука о движении, а наука о сообщении движения… Не движение само по себе является предметом механики, а эффект видоизменений, которым оно подвергается» Наконец, у великого французского ученого Андре Мари Ампера появилось понятие «кинематика»: «Наука, которая рассматривает сами по себе движения, наблюдаемые нами в окружающих телах и, особенно, в устройствах, называемых машинами, я называю кинематикой…».
В «Опыте философии наук» Ампер утверждал, что кинематика должна быть и частью теоретической, механики, приклад ной дисциплиной, в которой изучаются разнообразные механизмы.
Впервые раздел кинематики был четко выделен в курсе «Физической и экспериментальной механики» генерала Понселе, который читал его в Парижском университете с 1837 по 1848 г. Здесь рассматривались виды движений, сложение движений, скоростей и ускорений, и после этого различного типа механизмы.
В итоге кинематика выделилась в качестве раздела теоретической механики.
2. Основные понятия кинематики
Кинематика (греч. кйнейн -- двигаться) в физике -- раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих. Задача кинематики состоит в том, чтобы дать методы математически строгого, количественного, описания движения любых тел и установить взаимосвязи между величинами, характеризующими движение.
Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.
Механическое движение относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета.
Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета времени образуют систему отсчета, позволяющую определять положение движущегося тела в любой момент времени.
Всякое тело имеет определенные размеры. Различные части тела находятся в разных местах пространства. Однако, во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать его материальной точкой. Так можно поступать, например, при изучении движения планет вокруг Солнца.
Если все части тела движутся одинаково, то такое движение называется поступательным. При поступательном движении тела его также можно рассматривать как материальную точку. Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называется материальной точкой. Понятие материальной точки играет важную роль в механике.
Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.
Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат от времени
x = x (t), y = y (t), z = z (t)
(координатный способ), либо при помощи зависимости от времени радиус-вектора (векторный способ), проведенного из начала координат до данной точки (рис. 1).
Рис. 1 Определение положения точки
Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение — векторная величина.
Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь — скалярная величина.
Если движение тела рассматривать в течение достаточно короткого промежутка времени, то вектор перемещения окажется направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет равна пройденному пути. В случае достаточно малого промежутка времени Дt пройденный телом путь Дl почти совпадает с модулем вектора перемещения При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 2).
Рис. 2 Пройденный путь
Для характеристики движения вводится понятие средней скорости:
В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени Дt:
Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.
При движении тела по криволинейной траектории его скорость изменяется по модулю и направлению. Изменение вектора скорости за некоторый малый промежуток времени Дt можно задать с помощью вектора. Мгновенным ускорением (или просто ускорением) тела называют предел отношения малого изменения скорости к малому промежутку времени Дt, в течение которого происходило изменение скорости:
Направление вектора ускорения в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости. Составляющие вектора ускорения называют: касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями.
Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю:
Вектор направлен по касательной к траектории.
Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению. Криволинейное движение можно представить, как движение по дугам окружностей (рис. 3).
Рис. 3 Движение по дугам окружностей
Нормальное ускорение зависит от модуля скорости х и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент:
Вектор всегда направлен к центру окружности. Модуль полного ускорения равен:
Заключение
История кинематики долга и интересна. Ещё с древних времён, Аристотель работал над ней. Прежде, чем получить полное представление о механики было сделано множество ошибок и проведено множество опытов. Зная небольшую предысторию кинематики, учащемуся будет намного легче ознакомиться с её основными понятиями.
Основными физическими величинами в кинематике материальной точки являются пройденный путь l, перемещение, скорость и ускорение. Путь является скалярной величиной. Перемещение, скорость и ускорение — величины векторные. Чтобы задать векторную величину, нужно задать ее модуль и указать направление. Векторные величины подчиняются определенным математическим правилам. Вектора можно проектировать на координатные оси, их можно складывать, вычитать и т. д.
Таким образом, кинематика важнейшая ветвь механики с дифференциальным исчислением и своей историей открытия.
Литература
1. «Физика: учебное пособие для 9-го класса» Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский — Минск: Народная асвета, 2010;
2. «Общий курс физики. Механика» Сивухин Д. -- Москва: МФТИ, 2005;
3. ru. wikipedia. org
4. www. eduspb. com/node/1830
5. www. physics. ru
Показать Свернутьreferat.bookap.info
РЕФЕРАТ
На тему:
"Кинематика материальной точки"
Москва, 2010
Введение
Кинематика - это раздел физики, посвящённый математическому описанию движения без анализа причин, приводящих к его возникновению или изменению. Причиной изменения или возникновения движения является сила, а сила по II-у закону Ньютона связана с массой. Поэтому для того, чтобы исключить из рассмотрения силу достаточно не рассматривать массу. При этом кроме силы из рассмотрения выпадают многие механические понятия: импульс, энергия, момент импульса. А что остаётся, то и рассматривается в кинематике. Таким образом, кинематику можно было бы назвать механикой без массы.
Самый простой объект, способный двигаться - это материальная точка: тело, размеры которого пренебрежимо малы в условиях данной физической задачи. Движением материальной точки называется смена её положения с течением времени. Поэтому первое кинематическое понятие, с которым мы сталкиваемся - это положение.
1. Вектор положения
Положение чего угодно невозможно задать само по себе. Всё находитсяотносительночего-то. Значит, мы должны сначала установить начало отсчёта (точку О), а это невозможно сделать по-другому, кроме как поставив туда какое-либо материальное тело (тело отсчёта). И от этого «главного» тела уже можно проводить геометрические векторы, соединяющие начало отсчёта с тем или иным положением материальной точки.
Геометрическим вектором называется направленный отрезок, соединяющий положения двух материальных точек.
Геометрический вектор, соединяющий тело отсчёта с материальной точкой, называется вектором положения материальной точки.
При задании положения материальной точки относительно тела отсчёта последнее по определению считается неподвижным. Поэтому все возможные векторы положений начинаются из одной точки и называются радиус-векторами.
Совокупность всех возможных радиус-векторов образует пространство.
Смена начала отсчёта приводит к изменениювсехрадиус-векторов. Каким образом? Ответ зависит от системы постулатов, которыми мы собираемся пользоваться. Классическая механика, которую мы в основном и изучаем, использует постулаты Галилея-Ньютона.
Если положение материальной точкиМотносительно тела отсчёта в точкеОобозначить, относительно другого тела отсчёта в точкеО'обозначить, а геометрический вектор, соединяющий точкиОиО', обозначить, то наблюдатель в точкеОбудет видетьтригеометрических вектора:,и.
Пусть другому наблюдателю в точкеО'нет дела ни до чего, кроме материальной точкиМ. В дальнейшем системе отсчёта с нелюбопытным наблюдателем будет отводиться «второстепенная» роль. В противовес этому система с наблюдателем, который видит всё, будет считаться «основной». В общем, наблюдательО'видит только один вектор. Как соотносится геометрический вектор, видимый в пространствеО'с геометрическим вектором, видимым в пространствеО? Ответ на этот вопрос даёт первый постулат Галилея: геометрические векторы в разных системах отсчёта одинаковы. Т.е.. Тогда предыдущий рисунок можно переделать так:
И правило сложения векторов по треугольнику позволяет записать соотношение между тремя векторами:
.
В соответствии с этим соотношением можно находить положения в «основной» системе отсчёта, зная их во «второстепенной». Такое преобразование радиус-векторов будем называтьобратнымпреобразованием Галилея. Соответственно,прямоепреобразование позволяет находить положения во «второстепенной» системе отсчёта, зная их в «основной»:
В дальнейшем какая-либо величина в «основном» пространстве будет называться «абсолютной», во «второстепенном» пространстве - «относительной», а та, через которую они связаны, -переносной.Значит
·-«абсолютный» радиус-вектор;
·-«относительный» радиус-вектор;
·- переносный радиус-вектор.
Итак, в соответствие с первым постулатом Галилея смена начала отсчета приводит к изменению пространства, которое описывается преобразованием Галилея. Это означает, что пространство относительно.
2. Траектория движения
Используя понятие радиус-вектора, движение можно описать функциональной зависимостью, гдеt- время. Поскольку положение относительно, то и движение относительно. Относительны и все понятия, связанные с ним. Первым из таких понятий мы рассмотрим траекторию.
Траекторией называется совокупность положений, пройденных телом в процессе движения.
Тело не может в один и тот же момент времени находиться в разных положениях. Поэтому траектория представляет собой линию, и при этом линиюнепрерывную. В зависимости от формы траектории различаютпрямолинейноеикриволинейноедвижение. Если криволинейная траектория лежит в одной плоскости, то движение называется плоским.
Если траектория представляет собой пространственную кривую, то в каждой точке траектории можно ввести понятиесоприкасающейся плоскости.
Соприкасающейся плоскостью в какой-либо точке траектории М называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Через три точки, не лежащие на одной прямой можно прости окружность и при том единственную. Поэтому для любой точки криволинейной траектории можно ввести понятие соприкасающейся окружности.
Соприкасающейся окружностью в какой-либо точке траектории М называется предельная окружность, проходящая через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Центром и радиусом кривизны траектории в точке М называется центр и радиус кривизны окружности, соприкасающейся с траекторией в точке М. Очевидно, что в случае пространственной траектории соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости. Прямолинейную траекторию можно считать траекторией с бесконечным радиусом кривизны.
Орт - это вектор, не обладающий физической размерностью (безразмерный), модуль которого равен единице. Любой вектор можно представить как произведение модуля на орт. Например, радиус-вектор:
Значит, орт любого вектора равен частному от деления вектора на его орт:
.
Нормалью траекториив точке М называется орт, направленный из точки М в центр кривизны траектории в точке М.
Ортом касательнойв точке М называется орт, касательный к соприкасающейся окружности в точке М и направленный по движению.
Ясно, что.
Перемещением называется вектор изменения положения или вектор разности между последующим положением и предыдущим:
В случае, если ни один отрезок траектории не проходился материальной точкой дважды, то путь или путевая координатаS(t)- это длина траектории от точки начала движения к данному моменту времени.
Отметим две точки на траектории:Mс радиусом-векторомиNс радиусом-вектором.
Тогда для перемещенияи приращения путиDSвсегда справедливо:
(равенство выполняется в случае прямолинейной траектории). При этом
В случае криволинейной траектории элементарным перемещениеми приращением пути dS называются такие, для которых с заданной наперёд точностью выполняется
Очевидно, что
,
т.е..
Итак, мы имеем связь между элементарными перемещением и приращением пути:
3. Скорость и ускорение движения
Средней скоростью движения называется отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого произошло перемещение:
.
Средней путевой скоростью называется отношение приращения пути к промежутку времени, в течение которого было пройдено это приращение:
.
Т.к., то.
Мгновенной скоростью движения называется предел средней скорости при стремлении промежутка времени к 0:
.
Мгновенной путевой скоростью называется предел средней путевой скорости при стремлении промежутка времени к 0:
.
Элементарным промежутком времениdtназывается промежуток времени, для которого с заданной наперёд точностью и средняя, и средняя путевая скорость совпадают с соответствующими мгновенными скоростями.
Элементарным перемещениемв произвольном случаеназовём перемещение, произошедшее за элементарный промежуток времениdt. Элементарным приращением путиdSв произвольном случаеназовём приращение, пройденное за элементарный промежуток времени dt.
Пользуясь языком высшей математики, мы можем сказать, что мгновенная скорость движения или просто скорость движения является первой производной радиус-вектора по времени, а путевая скорость является первой производной по времени путевой координаты.
;.
Для того чтобы элементарное перемещение в произвольном случае совпадало с элементарным перемещением для криволинейной траектории нужно, чтобы точности вычисления соотношений
;и
совпадали. Об этом всегда можно условиться. Поэтому мы всегда будем считать, что для элементарного промежутка времени, следовательно,, т.е.
.
Итак,
.
Т.е. модуль скорости движения совпадает с путевой скоростью. Конечное приращение пути по определению
.
По определению ускорением материальной точки называется первая производная по времени скорости движения, т.е. вторая производная по времени радиус-вектора:
.
Итак,
Первое слагаемое связано только со скоростью изменения величины скорости движения. Т.к. эта часть полного ускорения направлена по касательной, то она называетсякасательнымускорением.
Второе слагаемое связано только с изменением направления скорости движения. Изобразим два положения материальной точки на траектории, разделённые элементарным приращением путиdS, и соответствующие орты касательнойи. Соединим положения с центром кривизны траектории в точкеdS.
Малый уголdaмежду радиусами совпадает с углом между ортами касательной как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из второго рисунка видно, чтонаправлен перпендикулярно, т.е. по орту нормали, а его величина
,
следовательно,
.
Уголdaсвязан с элементарным приращением путиdS=R×da, гдеR– радиус кривизны траектории. Отсюда. Подставим:
.
Тогда вторая часть полного ускорения имеет вид:
.
Т.к. эта часть ускорения направлена по нормали, то она называетсянормальнымускорением.
Сведём все формулы вместе:
4. Относительность скорости движения
Мы уже пользовались понятием системы отсчёта, хотя делать этого не имели права. Из всех атрибутов системы отсчёта был введён только один: начало отсчёта. Другой атрибут – часы, находящиеся в начале отсчёта. Пусть двое часов находились в одной системе отсчёта, а потом «разошлись» по разным. Находясь в одном месте, они были синхронизованы. Как повлияет на их показания относительная скорость? Ответ на это опять зависит от выбора системы постулатов. В механике Ньютона-Галилея «работает»второй постулат Галилея: об абсолютности промежутков времени. Согласно этому постулату, если часы были синхронизованы, то их относительная скорость не влияет на их показания. Вспомним обратное преобразование Галилея для радиус-векторов:. Возьмём элементарные изменения (дифференциалы) от обеих частей этого равенства.
.
Поделим это равенство на элементарный промежуток времени по часам «основного» наблюдателя, в течение которого произошли элементарные перемещения, равенство останется верным:
.
В соответствие со вторым постулатом Галилеяdt=dt', гдеdt'– промежуток времени по часам «второстепенного» наблюдателя, в течение которого материальная точка переместилась относительно него на. Значит, можно записать:
.
Это обратное преобразование скорости по Галилею:
.
Прямое преобразование скорости:
5. Система координат
Для количественного описания движения в пространстве необходимо введение координат точки, т.е. совокупности чисел, однозначно определяющей положение материальной точки относительно начала отсчёта. Это возможно только в случае введения третьего атрибута системы отсчёта: системы координат. Теперь можно дать определение системы отсчёта: системой отсчёта называется система координат, в начале которой находится тело отсчёта, снабжённое часами.
В одномерном пространстве для задания «адреса» материальной точки достаточно одного числа, в двумерном пространстве – двух чисел, в трёхмерном – трёх чисел. Способов введения адресации – не один. Например, на плоскости можно задать полярную систему координат (угол, длина радиус-вектора), в пространстве сферическую (длина радиус-вектора, азимутальный угол и угол горизонта). Мы остановимся на подробном рассмотрении системы координат, связанной с разложением радиус-вектора.
Известно, что любой вектор может быть представлен как сумма трёх векторов, направленных по трём наперёд заданным направлениям,не лежащим в одной плоскости.
.
Здесь– совокупность ортов, задающих направления. Она называется базисом системы отсчёта.– совокупность координат радиус-вектора в этом базисе. Т.к. вектор по трём избранным направлениям раскладывается однозначно, то однозначно и определение координат точки пространства.
Рассмотрим операцию скалярного умножения двух векторови(например, радиус-векторов точек пространстваАиВ):
=
Всего девять слагаемых. Т.к., то сумма диагональных элементов совсем проста:. Все остальные (перекрёстные члены) кроме произведения координат содержат множители типа
.
Выражение скалярного произведенияможно существенно упростить, если выбрать углы. В этом случае говорят, что базис системы координат ортогональный. Только в ортогональном базисе
,
т.к.и все перекрёстные члены равны 0. Именно в силу простоты записи скалярного произведения ортогональный базис является предпочтительным.
Впервые ортогональную систему координат (СК) ввёл Р. Декарт, и она называется декартовой. Только в декартовой СК
· координаты вектора являются его проекциями на соответствующую ось:
;
докажем это для первой координаты:
· координаты вектора связаны с его модулем соотношением Пифагора:
,
т.к.в соответствие с выражением скалярного произведения в декартовой системе.
Существуют традиционные обозначения декартовой СК.
| Ось | Обозначение координаты | Обозначение орта |
| 1 | r1=х | |
| 2 | r2=у | |
| 3 | r3=z |
Таким образом, разложение радиус-вектора в декартовой СК будет иметь вид:
.
Векторную функцию движенияможно заменить тремя скалярными зависимостями, которые называются законами движения: x(t), y(t), z(t).Законы движения содержат всю информацию о движении. Т.е. если известны законы движения, то можно ответить на любой вопрос, касающийся движения материальной точки.
· Скорость.
Таким образом, проекции вектора скорости равны производным соответствующих законов движения.
· Ускорение.
.
Таким образом, проекции вектора ускорения равны вторым производным законов движения.
А как найти касательное и нормальное ускорения? Они являются результатом разложения вектора полного ускорения по направлениям касательной и нормали:
.
Касательный орт и орт нормали являются осями двумерного ортогонального базиса. Т.е. алгебраическое значение касательного ускорения представляет собой проекцию полного ускорения на орт:
.
Но касательный орт можно выразить через вектор скорости:
.
Следовательно,
.
Тогда легко получить:
.
А найдя нормальное ускорение, легко найти радиус кривизны:
Заключение
Подведем некоторые итоги. Материальная точка представляет собой ключевую физическую модель. На примере этой модели рассматриваются очень многие физические явления. Описав движение материальной точки, можно затем перейти и к описанию движения твердого тела, но не наоборот.
Основными понятиями кинематики материальной точки являются понятия положения точки, ее скорости и ускорения. Но все эти понятия не имеют смысла вне системы отсчета, включающей в себя систему координат и часы.
Важнейшую роль в кинематике материальной точки играют векторная алгебра и принцип относительности движения.
Сложное движение материальной точки всегда можно разложить на составляющие, причем не однозначно: по координатам, на касательное и нормальное движение, прямолинейное и вращательное.
Литература
1. Мякишев Г.Я. Физика – 10. Механика. – М.: Дрофа. 2002.
2. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика – 10. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Дрофа. 2002.
3. Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободков Б.А. Физика – 10–11. Электродинамика. – М.: Дрофа. 2002.
4. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физик – 11. Колебания и волны. – М.: Дрофа. 2002.
5. Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996.
6. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т.1.М.: Дрофа, 2003
7. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи.М.: Дрофа, 2004.
8. Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1.Ростов н/Д: Феникс, 2002.
9. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов.М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003.
superbotanik.net
РЕФЕРАТ
На тему:
"Кинематика материальной точки"
Москва, 2010
Введение
Кинематика - это раздел физики, посвящённый математическому описанию движения без анализа причин, приводящих к его возникновению или изменению. Причиной изменения или возникновения движения является сила, а сила по II-у закону Ньютона связана с массой. Поэтому для того, чтобы исключить из рассмотрения силу достаточно не рассматривать массу. При этом кроме силы из рассмотрения выпадают многие механические понятия: импульс, энергия, момент импульса. А что остаётся, то и рассматривается в кинематике. Таким образом, кинематику можно было бы назвать механикой без массы.
Самый простой объект, способный двигаться - это материальная точка: тело, размеры которого пренебрежимо малы в условиях данной физической задачи. Движением материальной точки называется смена её положения с течением времени. Поэтому первое кинематическое понятие, с которым мы сталкиваемся - это положение.
1. Вектор положения
Положение чего угодно невозможно задать само по себе. Всё находится относительно чего-то. Значит, мы должны сначала установить начало отсчёта (точку О), а это невозможно сделать по-другому, кроме как поставив туда какое-либо материальное тело (тело отсчёта). И от этого «главного» тела уже можно проводить геометрические векторы, соединяющие начало отсчёта с тем или иным положением материальной точки.
Геометрическим вектором называется направленный отрезок, соединяющий положения двух материальных точек.
Геометрический вектор, соединяющий тело отсчёта с материальной точкой, называется вектором положения материальной точки.
При задании положения материальной точки относительно тела отсчёта последнее по определению считается неподвижным. Поэтому все возможные векторы положений начинаются из одной точки и называются радиус-векторами .
Совокупность всех возможных радиус-векторов образует пространство.
Смена начала отсчёта приводит к изменению всех радиус-векторов. Каким образом? Ответ зависит от системы постулатов, которыми мы собираемся пользоваться. Классическая механика, которую мы в основном и изучаем, использует постулаты Галилея-Ньютона.
Если положение материальной точки М относительно тела отсчёта в точке О обозначить , относительно другого тела отсчёта в точке О' обозначить , а геометрический вектор, соединяющий точки О и О' , обозначить , то наблюдатель в точке О будет видеть три геометрических вектора: , и .
Пусть другому наблюдателю в точке О' нет дела ни до чего, кроме материальной точки М . В дальнейшем системе отсчёта с нелюбопытным наблюдателем будет отводиться «второстепенная» роль. В противовес этому система с наблюдателем, который видит всё, будет считаться «основной». В общем, наблюдатель О' видит только один вектор . Как соотносится геометрический вектор , видимый в пространстве О' с геометрическим вектором , видимым в пространстве О ? Ответ на этот вопрос даёт первый постулат Галилея: геометрические векторы в разных системах отсчёта одинаковы. Т.е. . Тогда предыдущий рисунок можно переделать так:
И правило сложения векторов по треугольнику позволяет записать соотношение между тремя векторами:
.
В соответствии с этим соотношением можно находить положения в «основной» системе отсчёта, зная их во «второстепенной». Такое преобразование радиус-векторов будем называть обратным преобразованием Галилея. Соответственно, прямое преобразование позволяет находить положения во «второстепенной» системе отсчёта, зная их в «основной»:
В дальнейшем какая-либо величина в «основном» пространстве будет называться «абсолютной », во «второстепенном» пространстве - «относительной» , а та, через которую они связаны, -переносной. Значит
· -«абсолютный» радиус-вектор;
· -«относительный» радиус-вектор;
· - переносный радиус-вектор.
Итак, в соответствие с первым постулатом Галилея смена начала отсчета приводит к изменению пространства, которое описывается преобразованием Галилея. Это означает, что пространство относительно.
2. Траектория движения
Используя понятие радиус-вектора, движение можно описать функциональной зависимостью , где t - время. Поскольку положение относительно, то и движение относительно. Относительны и все понятия, связанные с ним. Первым из таких понятий мы рассмотрим траекторию.
Траекторией называется совокупность положений, пройденных телом в процессе движения.
Тело не может в один и тот же момент времени находиться в разных положениях. Поэтому траектория представляет собой линию, и при этом линию непрерывную . В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если криволинейная траектория лежит в одной плоскости, то движение называется плоским.
Если траектория представляет собой пространственную кривую, то в каждой точке траектории можно ввести понятие соприкасающейся плоскости .
Соприкасающейся плоскостью в какой-либо точке траектории М называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Через три точки, не лежащие на одной прямой можно прости окружность и при том единственную. Поэтому для любой точки криволинейной траектории можно ввести понятие соприкасающейся окружности.
Соприкасающейся окружностью в какой-либо точке траектории М называется предельная окружность, проходящая через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Центром и радиусом кривизны траектории в точке М называется центр и радиус кривизны окружности, соприкасающейся с траекторией в точке М. Очевидно, что в случае пространственной траектории соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости. Прямолинейную траекторию можно считать траекторией с бесконечным радиусом кривизны.
Орт - это вектор, не обладающий физической размерностью (безразмерный), модуль которого равен единице. Любой вектор можно представить как произведение модуля на орт. Например, радиус-вектор:
Значит, орт любого вектора равен частному от деления вектора на его орт:
.
Нормалью траектории в точке М называется орт, направленный из точки М в центр кривизны траектории в точке М.
Ортом касательной в точке М называется орт, касательный к соприкасающейся окружности в точке М и направленный по движению.
Ясно, что .
Перемещением называется вектор изменения положения или вектор разности между последующим положением и предыдущим:
В случае, если ни один отрезок траектории не проходился материальной точкой дважды, то путь или путевая координата S ( t ) - это длина траектории от точки начала движения к данному моменту времени.
Отметим две точки на траектории: M с радиусом-вектором и N с радиусом-вектором .
Тогда для перемещения и приращения пути D S всегда справедливо:
(равенство выполняется в случае прямолинейной траектории). При этом
В случае криволинейной траектории элементарным перемещением и приращением пути dS называются такие, для которых с заданной наперёд точностью выполняется
Очевидно, что
,
т.е. .
Итак, мы имеем связь между элементарными перемещением и приращением пути:
3. Скорость и ускорение движения
Средней скоростью движения называется отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого произошло перемещение:
.
Средней путевой скоростью называется отношение приращения пути к промежутку времени, в течение которого было пройдено это приращение:
.
Т.к. , то .
Мгновенной скоростью движения называется предел средней скорости при стремлении промежутка времени к 0:
.
Мгновенной путевой скоростью называется предел средней путевой скорости при стремлении промежутка времени к 0:
.
Элементарным промежутком времени dt называется промежуток времени, для которого с заданной наперёд точностью и средняя, и средняя путевая скорость совпадают с соответствующими мгновенными скоростями.
Элементарным перемещением в произвольном случае назовём перемещение, произошедшее за элементарный промежуток времени dt . Элементарным приращением пути dS в произвольном случае назовём приращение, пройденное за элементарный промежуток времени dt.
Пользуясь языком высшей математики, мы можем сказать, что мгновенная скорость движения или просто скорость движения является первой производной радиус-вектора по времени, а путевая скорость является первой производной по времени путевой координаты.
; .
Для того чтобы элементарное перемещение в произвольном случае совпадало с элементарным перемещением для криволинейной траектории нужно, чтобы точности вычисления соотношений
; и
совпадали. Об этом всегда можно условиться. Поэтому мы всегда будем считать, что для элементарного промежутка времени , следовательно, , т.е.
.
Итак,
.
Т.е. модуль скорости движения совпадает с путевой скоростью. Конечное приращение пути по определению
.
По определению ускорением материальной точки называется первая производная по времени скорости движения, т.е. вторая производная по времени радиус-вектора:
.
Итак,
Первое слагаемое связано только со скоростью изменения величины скорости движения. Т.к. эта часть полного ускорения направлена по касательной, то она называется касательным ускорением .
Второе слагаемое связано только с изменением направления скорости движения. Изобразим два положения материальной точки на траектории, разделённые элементарным приращением пути dS , и соответствующие орты касательной и . Соединим положения с центром кривизны траектории в точке dS .
Малый угол d a между радиусами совпадает с углом между ортами касательной как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из второго рисунка видно, что направлен перпендикулярно , т.е. по орту нормали, а его величина
,
следовательно,
.
Угол d a связан с элементарным приращением пути dS = R × d a , где R – радиус кривизны траектории. Отсюда . Подставим:
.
Тогда вторая часть полного ускорения имеет вид:
.
Т.к. эта часть ускорения направлена по нормали, то она называется нормальным ускорением.
Сведём все формулы вместе:
4. Относительность скорости движения
Мы уже пользовались понятием системы отсчёта, хотя делать этого не имели права. Из всех атрибутов системы отсчёта был введён только один: начало отсчёта. Другой атрибут – часы, находящиеся в начале отсчёта. Пусть двое часов находились в одной системе отсчёта, а потом «разошлись» по разным. Находясь в одном месте, они были синхронизованы. Как повлияет на их показания относительная скорость? Ответ на это опять зависит от выбора системы постулатов. В механике Ньютона-Галилея «работает» второй постулат Галилея : об абсолютности промежутков времени. Согласно этому постулату, если часы были синхронизованы, то их относительная скорость не влияет на их показания. Вспомним обратное преобразование Галилея для радиус-векторов: . Возьмём элементарные изменения (дифференциалы) от обеих частей этого равенства.
.
Поделим это равенство на элементарный промежуток времени по часам «основного» наблюдателя, в течение которого произошли элементарные перемещения, равенство останется верным:
.
В соответствие со вторым постулатом Галилея dt = dt ' , где dt ' – промежуток времени по часам «второстепенного» наблюдателя, в течение которого материальная точка переместилась относительно него на . Значит, можно записать:
.
Это обратное преобразование скорости по Галилею:
.
Прямое преобразование скорости:
5. Система координат
Для количественного описания движения в пространстве необходимо введение координат точки, т.е. совокупности чисел, однозначно определяющей положение материальной точки относительно начала отсчёта. Это возможно только в случае введения третьего атрибута системы отсчёта: системы координат. Теперь можно дать определение системы отсчёта: системой отсчёта называется система координат, в начале которой находится тело отсчёта, снабжённое часами.
В одномерном пространстве для задания «адреса» материальной точки достаточно одного числа, в двумерном пространстве – двух чисел, в трёхмерном – трёх чисел. Способов введения адресации – не один. Например, на плоскости можно задать полярную систему координат (угол, длина радиус-вектора), в пространстве сферическую (длина радиус-вектора, азимутальный угол и угол горизонта). Мы остановимся на подробном рассмотрении системы координат, связанной с разложением радиус-вектора.
Известно, что любой вектор может быть представлен как сумма трёх векторов, направленных по трём наперёд заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости .
.
Здесь – совокупность ортов, задающих направления. Она называется базисом системы отсчёта. – совокупность координат радиус-вектора в этом базисе. Т.к. вектор по трём избранным направлениям раскладывается однозначно, то однозначно и определение координат точки пространства.
Рассмотрим операцию скалярного умножения двух векторов и (например, радиус-векторов точек пространства А и В ):
=
Всего девять слагаемых. Т.к. , то сумма диагональных элементов совсем проста: . Все остальные (перекрёстные члены) кроме произведения координат содержат множители типа
.
Выражение скалярного произведения можно существенно упростить, если выбрать углы . В этом случае говорят, что базис системы координат ортогональный. Только в ортогональном базисе
,
т.к. и все перекрёстные члены равны 0. Именно в силу простоты записи скалярного произведения ортогональный базис является предпочтительным.
Впервые ортогональную систему координат (СК) ввёл Р. Декарт, и она называется декартовой. Только в декартовой СК
· координаты вектора являются его проекциями на соответствующую ось:
;
докажем это для первой координаты:
· координаты вектора связаны с его модулем соотношением Пифагора:
,
т.к. в соответствие с выражением скалярного произведения в декартовой системе.
Существуют традиционные обозначения декартовой СК.
| Ось | Обозначение координаты | Обозначение орта |
| 1 | r 1= х | |
| 2 | r 2= у | |
| 3 | r 3=z |
Таким образом, разложение радиус-вектора в декартовой СК будет иметь вид:
.
Векторную функцию движения можно заменить тремя скалярными зависимостями, которые называются законами движения: x(t), y(t), z(t).Законы движения содержат всю информацию о движении. Т.е. если известны законы движения, то можно ответить на любой вопрос, касающийся движения материальной точки.
· Скорость.
Таким образом, проекции вектора скорости равны производным соответствующих законов движения.
· Ускорение.
.
Таким образом, проекции вектора ускорения равны вторым производным законов движения.
А как найти касательное и нормальное ускорения? Они являются результатом разложения вектора полного ускорения по направлениям касательной и нормали:
.
Касательный орт и орт нормали являются осями двумерного ортогонального базиса. Т.е. алгебраическое значение касательного ускорения представляет собой проекцию полного ускорения на орт :
.
Но касательный орт можно выразить через вектор скорости:
.
Следовательно,
.
Тогда легко получить:
.
А найдя нормальное ускорение, легко найти радиус кривизны:
Заключение
Подведем некоторые итоги. Материальная точка представляет собой ключевую физическую модель. На примере этой модели рассматриваются очень многие физические явления. Описав движение материальной точки, можно затем перейти и к описанию движения твердого тела, но не наоборот.
Основными понятиями кинематики материальной точки являются понятия положения точки, ее скорости и ускорения. Но все эти понятия не имеют смысла вне системы отсчета, включающей в себя систему координат и часы.
Важнейшую роль в кинематике материальной точки играют векторная алгебра и принцип относительности движения.
Сложное движение материальной точки всегда можно разложить на составляющие, причем не однозначно: по координатам, на касательное и нормальное движение, прямолинейное и вращательное.
Литература
1. Мякишев Г.Я. Физика – 10. Механика. – М.: Дрофа. 2002.
2. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика – 10. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Дрофа. 2002.
3. Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободков Б.А. Физика – 10–11. Электродинамика. – М.: Дрофа. 2002.
4. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физик – 11. Колебания и волны. – М.: Дрофа. 2002.
5. Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996.
6. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т.1. М.: Дрофа, 2003
7. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи. М.: Дрофа, 2004.
8. Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1. Ростов н/Д: Феникс, 2002.
9. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов. М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003.
www.yurii.ru
РЕФЕРАТ
На тему:
"Кинематика материальной точки"
Москва, 2010
Введение
Кинематика - это раздел физики, посвящённый математическому описанию движения без анализа причин, приводящих к его возникновению или изменению. Причиной изменения или возникновения движения является сила, а сила по II-у закону Ньютона связана с массой. Поэтому для того, чтобы исключить из рассмотрения силу достаточно не рассматривать массу. При этом кроме силы из рассмотрения выпадают многие механические понятия: импульс, энергия, момент импульса. А что остаётся, то и рассматривается в кинематике. Таким образом, кинематику можно было бы назвать механикой без массы.
Самый простой объект, способный двигаться - это материальная точка: тело, размеры которого пренебрежимо малы в условиях данной физической задачи. Движением материальной точки называется смена её положения с течением времени. Поэтому первое кинематическое понятие, с которым мы сталкиваемся - это положение.
1. Вектор положения
Положение чего угодно невозможно задать само по себе. Всё находится относительно чего-то. Значит, мы должны сначала установить начало отсчёта (точку О), а это невозможно сделать по-другому, кроме как поставив туда какое-либо материальное тело (тело отсчёта). И от этого «главного» тела уже можно проводить геометрические векторы, соединяющие начало отсчёта с тем или иным положением материальной точки.
Геометрическим вектором называется направленный отрезок, соединяющий положения двух материальных точек.
Геометрический вектор, соединяющий тело отсчёта с материальной точкой, называется вектором положения материальной точки.
При задании положения материальной точки относительно тела отсчёта последнее по определению считается неподвижным. Поэтому все возможные векторы положений начинаются из одной точки и называются радиус-векторами .
Совокупность всех возможных радиус-векторов образует пространство.
Смена начала отсчёта приводит к изменению всех радиус-векторов. Каким образом? Ответ зависит от системы постулатов, которыми мы собираемся пользоваться. Классическая механика, которую мы в основном и изучаем, использует постулаты Галилея-Ньютона.
Если положение материальной точки М относительно тела отсчёта в точке О обозначить , относительно другого тела отсчёта в точке О' обозначить , а геометрический вектор, соединяющий точки О и О', обозначить , то наблюдатель в точке О будет видеть три геометрических вектора: , и .
Пусть другому наблюдателю в точке О' нет дела ни до чего, кроме материальной точки М. В дальнейшем системе отсчёта с нелюбопытным наблюдателем будет отводиться «второстепенная» роль. В противовес этому система с наблюдателем, который видит всё, будет считаться «основной». В общем, наблюдатель О' видит только один вектор . Как соотносится геометрический вектор , видимый в пространстве О' с геометрическим вектором , видимым в пространстве О? Ответ на этот вопрос даёт первый постулат Галилея: геометрические векторы в разных системах отсчёта одинаковы. Т.е. . Тогда предыдущий рисунок можно переделать так:
И правило сложения векторов по треугольнику позволяет записать соотношение между тремя векторами:
.
В соответствии с этим соотношением можно находить положения в «основной» системе отсчёта, зная их во «второстепенной». Такое преобразование радиус-векторов будем называть обратным преобразованием Галилея. Соответственно, прямое преобразование позволяет находить положения во «второстепенной» системе отсчёта, зная их в «основной»:
В дальнейшем какая-либо величина в «основном» пространстве будет называться «абсолютной», во «второстепенном» пространстве - «относительной», а та, через которую они связаны, - переносной. Значит
- «абсолютный» радиус-вектор;
- «относительный» радиус-вектор;
- переносный радиус-вектор.
Итак, в соответствие с первым постулатом Галилея смена начала отсчета приводит к изменению пространства, которое описывается преобразованием Галилея. Это означает, что пространство относительно.
2. Траектория движения
Используя понятие радиус-вектора, движение можно описать функциональной зависимостью , где t - время. Поскольку положение относительно, то и движение относительно. Относительны и все понятия, связанные с ним. Первым из таких понятий мы рассмотрим траекторию.
Траекторией называется совокупность положений, пройденных телом в процессе движения.
Тело не может в один и тот же момент времени находиться в разных положениях. Поэтому траектория представляет собой линию, и при этом линию непрерывную. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если криволинейная траектория лежит в одной плоскости, то движение называется плоским.
Если траектория представляет собой пространственную кривую, то в каждой точке траектории можно ввести понятие соприкасающейся плоскости.
Соприкасающейся плоскостью в какой-либо точке траектории М называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Через три точки, не лежащие на одной прямой можно прости окружность и при том единственную. Поэтому для любой точки криволинейной траектории можно ввести понятие соприкасающейся окружности.
Соприкасающейся окружностью в какой-либо точке траектории М называется предельная окружность, проходящая через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Центром и радиусом кривизны траектории в точке М называется центр и радиус кривизны окружности, соприкасающейся с траекторией в точке М. Очевидно, что в случае пространственной траектории соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости. Прямолинейную траекторию можно считать траекторией с бесконечным радиусом кривизны.
Орт - это вектор, не обладающий физической размерностью (безразмерный), модуль которого равен единице. Любой вектор можно представить как произведение модуля на орт. Например, радиус-вектор:
Значит, орт любого вектора равен частному от деления вектора на его орт:
.
Нормалью траектории в точке М называется орт, направленный из точки М в центр кривизны траектории в точке М.
Ортом касательной в точке М называется орт, касательный к соприкасающейся окружности в точке М и направленный по движению.
Ясно, что .
Перемещением называется вектор изменения положения или вектор разности между последующим положением и предыдущим:
В случае, если ни один отрезок траектории не проходился материальной точкой дважды, то путь или путевая координата S(t) - это длина траектории от точки начала движения к данному моменту времени.
Отметим две точки на траектории: M с радиусом-вектором и N с радиусом-вектором .
Тогда для перемещения и приращения пути DS всегда справедливо:
(равенство выполняется в случае прямолинейной траектории). При этом
В случае криволинейной траектории элементарным перемещением и приращением пути dS называются такие, для которых с заданной наперёд точностью выполняется
Очевидно, что
,
т.е. .
Итак, мы имеем связь между элементарными перемещением и приращением пути:
3. Скорость и ускорение движения
Средней скоростью движения называется отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого произошло перемещение:
.
Средней путевой скоростью называется отношение приращения пути к промежутку времени, в течение которого было пройдено это приращение:
.
Т.к. , то .
Мгновенной скоростью движения называется предел средней скорости при стремлении промежутка времени к 0:
.
Мгновенной путевой скоростью называется предел средней путевой скорости при стремлении промежутка времени к 0:
.
Элементарным промежутком времени dt называется промежуток времени, для которого с заданной наперёд точностью и средняя, и средняя путевая скорость совпадают с соответствующими мгновенными скоростями.
Элементарным перемещением в произвольном случае назовём перемещение, произошедшее за элементарный промежуток времени dt. Элементарным приращением пути dS в произвольном случае назовём приращение, пройденное за элементарный промежуток времени dt.
Пользуясь языком высшей математики, мы можем сказать, что мгновенная скорость движения или просто скорость движения является первой производной радиус-вектора по времени, а путевая скорость является первой производной по времени путевой координаты.
; .
Для того чтобы элементарное перемещение в произвольном случае совпадало с элементарным перемещением для криволинейной траектории нужно, чтобы точности вычисления соотношений
; и
совпадали. Об этом всегда можно условиться. Поэтому мы всегда будем считать, что для элементарного промежутка времени , следовательно, , т.е.
.
Итак,
.
Т.е. модуль скорости движения совпадает с путевой скоростью. Конечное приращение пути по определению
.
По определению ускорением материальной точки называется первая производная по времени скорости движения, т.е. вторая производная по времени радиус-вектора:
.
Итак,
Первое слагаемое связано только со скоростью изменения величины скорости движения. Т.к. эта часть полного ускорения направлена по касательной, то она называется касательным ускорением .
Второе слагаемое связано только с изменением направления скорости движения. Изобразим два положения материальной точки на траектории, разделённые элементарным приращением пути dS, и соответствующие орты касательной и . Соединим положения с центром кривизны траектории в точке dS.
Малый угол da между радиусами совпадает с углом между ортами касательной как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из второго рисунка видно, что направлен перпендикулярно , т.е. по орту нормали, а его величина
,
следовательно,
.
Угол da связан с элементарным приращением пути dS=R× da, где R – радиус кривизны траектории. Отсюда . Подставим:
.
Тогда вторая часть полного ускорения имеет вид:
.
Т.к. эта часть ускорения направлена по нормали, то она называется нормальным ускорением.
Сведём все формулы вместе:
4. Относительность скорости движения
Мы уже пользовались понятием системы отсчёта, хотя делать этого не имели права. Из всех атрибутов системы отсчёта был введён только один: начало отсчёта. Другой атрибут – часы, находящиеся в начале отсчёта. Пусть двое часов находились в одной системе отсчёта, а потом «разошлись» по разным. Находясь в одном месте, они были синхронизованы. Как повлияет на их показания относительная скорость? Ответ на это опять зависит от выбора системы постулатов. В механике Ньютона-Галилея «работает» второй постулат Галилея: об абсолютности промежутков времени. Согласно этому постулату, если часы были синхронизованы, то их относительная скорость не влияет на их показания. Вспомним обратное преобразование Галилея для радиус-векторов: . Возьмём элементарные изменения (дифференциалы) от обеих частей этого равенства.
.
Поделим это равенство на элементарный промежуток времени по часам «основного» наблюдателя, в течение которого произошли элементарные перемещения, равенство останется верным:
.
В соответствие со вторым постулатом Галилея dt=dt', где dt' – промежуток времени по часам «второстепенного» наблюдателя, в течение которого материальная точка переместилась относительно него на . Значит, можно записать:
.
Это обратное преобразование скорости по Галилею:
.
Прямое преобразование скорости:
5. Система координат
Для количественного описания движения в пространстве необходимо введение координат точки, т.е. совокупности чисел, однозначно определяющей положение материальной точки относительно начала отсчёта. Это возможно только в случае введения третьего атрибута системы отсчёта: системы координат. Теперь можно дать определение системы отсчёта: системой отсчёта называется система координат, в начале которой находится тело отсчёта, снабжённое часами.
В одномерном пространстве для задания «адреса» материальной точки достаточно одного числа, в двумерном пространстве – двух чисел, в трёхмерном – трёх чисел. Способов введения адресации – не один. Например, на плоскости можно задать полярную систему координат (угол, длина радиус-вектора), в пространстве сферическую (длина радиус-вектора, азимутальный угол и угол горизонта). Мы остановимся на подробном рассмотрении системы координат, связанной с разложением радиус-вектора.
Известно, что любой вектор может быть представлен как сумма трёх векторов, направленных по трём наперёд заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости.
.
Здесь – совокупность ортов, задающих направления. Она называется базисом системы отсчёта. – совокупность координат радиус-вектора в этом базисе. Т.к. вектор по трём избранным направлениям раскладывается однозначно, то однозначно и определение координат точки пространства.
Рассмотрим операцию скалярного умножения двух векторов и (например, радиус-векторов точек пространства А и В):
=
Всего девять слагаемых. Т.к. , то сумма диагональных элементов совсем проста: . Все остальные (перекрёстные члены) кроме произведения координат содержат множители типа
.
Выражение скалярного произведения можно существенно упростить, если выбрать углы . В этом случае говорят, что базис системы координат ортогональный. Только в ортогональном базисе
,
т.к. и все перекрёстные члены равны 0. Именно в силу простоты записи скалярного произведения ортогональный базис является предпочтительным.
Впервые ортогональную систему координат (СК) ввёл Р. Декарт, и она называется декартовой. Только в декартовой СК
;
докажем это для первой координаты:
,
т.к. в соответствие с выражением скалярного произведения в декартовой системе.
Существуют традиционные обозначения декартовой СК.
| Ось | Обозначение координаты | Обозначение орта |
| 1 | r1=х | |
| 2 | r2=у | |
| 3 | r3=z |
Таким образом, разложение радиус-вектора в декартовой СК будет иметь вид:
.
Векторную функцию движения можно заменить тремя скалярными зависимостями, которые называются законами движения: x(t), y(t), z(t). Законы движения содержат всю информацию о движении. Т.е. если известны законы движения, то можно ответить на любой вопрос, касающийся движения материальной точки.
Таким образом, проекции вектора скорости равны производным соответствующих законов движения.
.
Таким образом, проекции вектора ускорения равны вторым производным законов движения.
А как найти касательное и нормальное ускорения? Они являются результатом разложения вектора полного ускорения по направлениям касательной и нормали:
.
Касательный орт и орт нормали являются осями двумерного ортогонального базиса. Т.е. алгебраическое значение касательного ускорения представляет собой проекцию полного ускорения на орт :
.
Но касательный орт можно выразить через вектор скорости:
.
Следовательно,
.
Тогда легко получить:
.
А найдя нормальное ускорение, легко найти радиус кривизны:
Заключение
Подведем некоторые итоги. Материальная точка представляет собой ключевую физическую модель. На примере этой модели рассматриваются очень многие физические явления. Описав движение материальной точки, можно затем перейти и к описанию движения твердого тела, но не наоборот.
Основными понятиями кинематики материальной точки являются понятия положения точки, ее скорости и ускорения. Но все эти понятия не имеют смысла вне системы отсчета, включающей в себя систему координат и часы.
Важнейшую роль в кинематике материальной точки играют векторная алгебра и принцип относительности движения.
Сложное движение материальной точки всегда можно разложить на составляющие, причем не однозначно: по координатам, на касательное и нормальное движение, прямолинейное и вращательное.
Литература
Мякишев Г.Я. Физика – 10. Механика. – М.: Дрофа. 2002.
Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика – 10. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Дрофа. 2002.
Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободков Б.А. Физика – 10–11. Электродинамика. – М.: Дрофа. 2002.
Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физик – 11. Колебания и волны. – М.: Дрофа. 2002.
Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996.
Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т.1. М.: Дрофа, 2003
Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи. М.: Дрофа, 2004.
Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1. Ростов н/Д: Феникс, 2002.
Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов. М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003.
bukvasha.ru
