Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Георгиевский региональный колледж «Интеграл»
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
По дисциплине « Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»
На тему: “Графическое решение уравнений и неравенств”
Выполнил студент группы ПК-61, обучающийся по специальности
«Программирование в компьютерных системах»
Целлер Тимур Витальевич
Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.
Дата сдачи: « » 2017г.
Дата защиты: « » 2017г.
Георгиевск 2017г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:
Цель: Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.
Задачи:
Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств.
Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества.
Рассмотреть решение уравнений с модулем и параметром.
Актуальность исследования: Анализ материала, посвящённого графическому решению уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала математического анализа» разных авторов, учёт целей изучения данной темы. Атак же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.
Содержание
Введение
1. Уравнения с параметрами
1.1. Определения
1.2. Алгоритм решения
1.3. Примеры
2. Неравенства с параметрами
2.1. Определения
2.2. Алгоритм решения
2.3. Примеры
3. Применение графиков в решении уравнений
3.1. Графическое решение квадратного уравнения
3.2. Системы уравнений
3.3. Тригонометрические уравнения
4. Применение графиков в решении неравенств
5.Заключение
6. Список литературы
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём проекте рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем.
1. Уравнения с параметрами
Основные определения
Рассмотрим уравнение
(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
infourok.ru
Основная часть:
Применение графиков в решении уравнений.
I)Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённоеквадратное уравнение: x2+px+q=0;Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
Построим графикизависимостей:y=x2 иy=-px-q.
График первой зависимостинам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график естьпрямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинатыточек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению хсоответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то естьпарабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения: чертимпараболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересеченияявляются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуетсябольшой точности.
Примеры:
1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0
Представим его в видеx2=3x-7/4.
Построим параболу y=x2и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
<img src="/cache/referats/7459/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1029"> Для построения прямойможно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаютсяв двух точках с абциссами x1=0.8 иx2=2.2(см. рисунок 1).
2.Решить уравнение: x2-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение неимеет корней.
Рисунок 2.
<img src="/cache/referats/7459/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1030">
Проверим это. Вычислимдискриминант:
D=(-1)2-4=-3<0,
А поэтому уравнение не имееткорней.
3. Решить уравнение:x2-2x+1=0
Рисунок 3.
Если аккуратно начертитьпараболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общуюточку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1; уравнение имеет одинкорень х=1(обязательно проверить это вычислением). <img src="/cache/referats/7459/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1035">
II) Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называетсямножество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение вверное равенство.Графики уравнений с двумя переменнымивесьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая,уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4– окружность, и т.д..
Степень целого уравнения с двумяпеременными определяется так же, как и степень целого уравнения с однойпеременной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собоймногочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считаютравной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либоуравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, леваячасть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотримграфический способ решения.
Пример1: решить систему ⌠ x2+y2 =25 (1)
⌠y=-x2+2x+5 (2)
Построим в одной системекоординат графики уравнений(Рисунок4):
Построим в одной системекоординат графи)<img src="/cache/referats/7459/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1045">
х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5
Координатылюбой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координатылюбой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждойиз точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнениюсистемы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы.Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересеченияграфиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5),С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, системауравнений имеет четыре решения:
х1≈-2,2,у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;
х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.
Подставив найденные значения вуравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решенийявляются точными, а первое и третье – приближёнными.
III)Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические уравнения решаюткак аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения напримере.
Рисунок5.
Пример1:sinx+cosx=1.Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5) <img src="/cache/referats/7459/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1041"> Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения:х=2πп, где пЄZ и х=π/2+2πk, где kЄZ(Обязательнопроверить это вычислениями). Рисунок 6.
Пример2: Решить уравнение:tg2x+tgx=0.Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего.Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x uy=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, гдеkЄZ.(Проверить это вычислениями) <img src="/cache/referats/7459/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1048">
Применение графиков врешении неравенств.
1)Неравенства с модулем.
Пример1.
Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.
На интеграле(-1;-∞)по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, наэтом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х<4, которое справедливо при х>-2.Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1]исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтомувсе значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множестворешний.
На интеграле (1;+∞)опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2.Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученныерезультаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной изинтеграла (-2;2) и только они.
Однако тот же самыйрезультат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений.На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1|иy=4.
Рисунок 7.
<img src="/cache/referats/7459/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1036"> На интеграле (-2;2)график функции y=f(x)расположен под графиком функции у=4, а этоозначает, что неравенство f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)
II)Неравенствас параметрами.
Решение неравенств с однимили несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу болеесложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например,неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а,естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство√1+х + √1-х>1.
Что значит решить первое изэтих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целыйкласс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметруа конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств являетсячастным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решитьнеравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значенияхпараметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найтивсе решения.
Пример1:
Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.
Для решения данногонеравенства с двумя параметрами a u b воспользуемсягеометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно, что при b<=2|a| прямаяy=bпроходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок8). Если же b>2|a|, то прямая y=bпересекает график функции y=f(x) вдвух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2<x<b/2,так как при этих значенияхпеременной кривая y=|x+a|+|x-a| расположенапод прямой y=b.
Ответ:Еслиb<=2|a| , то решений нет,
Если b>2|a|, то x €(-b/2;b/2).
III)Тригонометрическиенеравенства:
При решении неравенств стригонометрическими функциями существенно используется периодичность этихфункций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшиетригонометрические неравенства. Функция sinx имеетположительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,
sinx<a, sin x<=a.
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множествовсех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ.
Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим этонеравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть –отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sinx=-1/2 имеетодно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает.Значит, если –π/2<=x<=-π/6, то sin x<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства неявляются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x>sin(-π/6)= –1/2.Все эти значения х неявляются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке[π/2;3π/2] функция sin xмонотонно убывает иуравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6.Следовательно, если π/2<=x<7π/, тоsin x>sin(7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решенияминеравенства. Для xЄ[7π/6;3π/2]имеем sin x<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Такимобразом, множество всех решений данного неравенства на отрезке[-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).
В силу периодичности функцииsin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, такжеявляются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этогонеравенства не являются.
Ответ: -π/6+2πn<x<7π/6+2πn,где nЄZ.
Рисунок 10.
<img src="/cache/referats/7459/image016.gif" v:shapes="_x0000_s1039">
www.ronl.ru
Введение.
Если учащийся не переживает радости
поиска и находок, не ощущает живого
процесса становления идей, то ему редко
удается достичь ясного понимания всех
обстоятельств, которые позволили избрать
именно этот, а не какой-нибудь другой путь.
А. Эйнштейн
Даже самый превосходный торт вряд ли доставит вам удовольствие, если кто-то его предварительно пожует. Так же и самое интересное математическое задание можно испортить, преждевременно показав его решение. Правда, и в том, что «видит око, да зуб неймёт», мало радости: от задания, решение которого вы никогда не узнаете, немного проку.
В своей учебно-практической работе я самостоятельно исследовал основные методы решения линейных, квадратичных, показательных, логарифмических, тригонометрических неравенств. Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть курса математики. Одним из сложных разделов алгебры, являются неравенства с модулем, так как на уроках им уделяют достаточно мало внимания. Выше изложенное обусловило проблему исследования: научиться решению неравенств, используя при этом графический метод решения неравенств различных видов.
Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.
В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.
В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.
В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx+m, у = x2, у = – x2, в 8 классе – у = √x, у =|x|, у = ax2+bx+c, у = k /x. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x3, у = x4, у = x2n, у = x-2n, у = 3√x, (x – a)2 + (у – b)2 = r2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.
Говорят, нужны особые способности, чтобы быть хорошим математиком или физиком. По этому поводу мне хочется заметить, что талант, способности в какой-либо области деятельности — это прежде всего способность много, упорно работать и иметь глубокий интерес к делу. Тогда и работать будет легко, тогда и придет успех! Ведь редко бывает, что человек не достигает успеха в науке, если он действительно серьезно ею интересуется. (Академик И. Г. Петровский).
Математика уже давно стала основным аппаратом физики и техники. В последние годы все настойчивее проникают математические методы исследований в такие науки, как химия, биология, геология, экономика, лингвистика, педагогика, медицина, археология. Поэтому не удивительно, что на многих (даже гуманитарных!) факультетах университетов и институтов поступающие сдают экзамен по математике. Математику нельзя выучить за одну ночь. Только регулярные систематические занятия могут принести успех, только глубокое знание школьных учебников сделает вопросы на экзамене простыми и легкими.
Теоретические сведения о числовых неравенствах
Неравенства вида , где и – числа (числовые выражения), называются числовыми.
Неравенства вида , где – линейные функции, называются неравенствами с одной переменной.
Неравенства, содержащие знаки или называют строгими, а содержащие знаки или - нестрогими.
Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадает. В частности, равносильны все неравенства, не имеющие решений.
Свойства числовых неравенств:
Теоремы о равносильности неравенств с переменными
5*. где принимает только положительные значения (следствие).
6*. (следствие).
Линейные неравенства с одной переменной
Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b < 0), где а и b – любые числа, причем а ≠ 0.
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, х + 5 < 17. Подставив вместо х значение 1, получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 – верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.
Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Решая линейное неравенство вида , получим: . Возможны три случая: 1) тогда ;
2) тогда и если при этом то решений нет, а если ,то .
Линейное уравнение
Линейным уравнением называется уравнение вида
и любое другое уравнение приводимое к такому виду (например, ).
Решить уравнение значит найти такое число (корень уравнения), что при подстановке его вместо переменной , получается верное равенство.
Примеры линейных уравнений:
. Корень(решение) этого уравнения
. Корень этого уравнения
Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.
Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.
2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.
Графическое решение системы
Линейная функция
Линейной функцией называется функция y = kx + b, где k и b - некоторые числа.
Прямопропорциональная зависимость между переменными x и y приводит к простейшей линейной функции y = kx.
Свойства линейной функции y = kx при k ≠ 0
k > 0, то y > 0 при x > 0 ; y < 0 при x < 0; k < 0, то y > 0 при x < 0 ; y < 0 при x > 0.
если k > 0, то y возрастает на всей числовой оси; если k < 0, то y убывает на всей числовой оси.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Алгоритм построения графика
1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :
2. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:
Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :
На рисунке ниже изображены графики функций ; ;
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.
Во всех функциях – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций ; ;
На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций ; ;
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .
Если k<0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b>0, то график функции имеет вид:
Если k>0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k<0 и b<0, то график функции имеет вид:
Если k=0 , то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции равны
Если b=0, то график функции проходит через начало координат:
3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси все точки которой имеют абсциссу .
Например, график уравнения выглядит так:
Внимание! Уравнение не является функцией, так различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции параллелен графику функции , если
5. Условие перепендикулярности двух прямых:
График функции перепендикулярен графику функции , если или
6. Точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты ( ;0):
Примеры решения.
1. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.
В уравнении функции два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.
а) Из того, что график функции параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид
б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:
отсюда b=-10
referat911.ru
Основная часть:
Применение графиков в решении уравнений.
I)Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённоеквадратное уравнение: x2+px+q=0;Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
Построим графикизависимостей:y=x2 иy=-px-q.
График первой зависимостинам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график естьпрямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинатыточек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению хсоответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то естьпарабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения: чертимпараболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересеченияявляются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуетсябольшой точности.
Примеры:
1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0
Представим его в видеx2=3x-7/4.
Построим параболу y=x2и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
<img src="/cache/referats/7459/image002.gif" v:shapes="_x0000_s1029"> Для построения прямойможно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаютсяв двух точках с абциссами x1=0.8 иx2=2.2(см. рисунок 1).
2.Решить уравнение: x2-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение неимеет корней.
Рисунок 2.
<img src="/cache/referats/7459/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1030">
Проверим это. Вычислимдискриминант:
D=(-1)2-4=-3<0,
А поэтому уравнение не имееткорней.
3. Решить уравнение:x2-2x+1=0
Рисунок 3.
Если аккуратно начертитьпараболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общуюточку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1; уравнение имеет одинкорень х=1(обязательно проверить это вычислением). <img src="/cache/referats/7459/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1035">
II) Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называетсямножество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение вверное равенство.Графики уравнений с двумя переменнымивесьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая,уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4– окружность, и т.д..
Степень целого уравнения с двумяпеременными определяется так же, как и степень целого уравнения с однойпеременной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собоймногочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считаютравной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либоуравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, леваячасть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотримграфический способ решения.
Пример1: решить систему ⌠ x2+y2 =25 (1)
⌠y=-x2+2x+5 (2)
Построим в одной системекоординат графики уравнений(Рисунок4):
Построим в одной системекоординат графи)<img src="/cache/referats/7459/image008.gif" v:shapes="_x0000_s1045">
х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5
Координатылюбой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координатылюбой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждойиз точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнениюсистемы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы.Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересеченияграфиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5),С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, системауравнений имеет четыре решения:
х1≈-2,2,у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;
х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.
Подставив найденные значения вуравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решенийявляются точными, а первое и третье – приближёнными.
III)Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические уравнения решаюткак аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения напримере.
Рисунок5.
Пример1:sinx+cosx=1.Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5) <img src="/cache/referats/7459/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1041"> Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения:х=2πп, где пЄZ и х=π/2+2πk, где kЄZ(Обязательнопроверить это вычислениями). Рисунок 6.
Пример2: Решить уравнение:tg2x+tgx=0.Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего.Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x uy=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, гдеkЄZ.(Проверить это вычислениями) <img src="/cache/referats/7459/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1048">
Применение графиков врешении неравенств.
1)Неравенства с модулем.
Пример1.
Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.
На интеграле(-1;-∞)по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, наэтом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х<4, которое справедливо при х>-2.Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1]исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтомувсе значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множестворешний.
На интеграле (1;+∞)опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2.Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученныерезультаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной изинтеграла (-2;2) и только они.
Однако тот же самыйрезультат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений.На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1|иy=4.
Рисунок 7.
<img src="/cache/referats/7459/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1036"> На интеграле (-2;2)график функции y=f(x)расположен под графиком функции у=4, а этоозначает, что неравенство f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)
II)Неравенствас параметрами.
Решение неравенств с однимили несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу болеесложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например,неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а,естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство√1+х + √1-х>1.
Что значит решить первое изэтих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целыйкласс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметруа конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств являетсячастным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решитьнеравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значенияхпараметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найтивсе решения.
Пример1:
Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.
Для решения данногонеравенства с двумя параметрами a u b воспользуемсягеометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно, что при b<=2|a| прямаяy=bпроходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок8). Если же b>2|a|, то прямая y=bпересекает график функции y=f(x) вдвух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2<x<b/2,так как при этих значенияхпеременной кривая y=|x+a|+|x-a| расположенапод прямой y=b.
Ответ:Еслиb<=2|a| , то решений нет,
Если b>2|a|, то x €(-b/2;b/2).
III)Тригонометрическиенеравенства:
При решении неравенств стригонометрическими функциями существенно используется периодичность этихфункций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшиетригонометрические неравенства. Функция sinx имеетположительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,
sinx<a, sin x<=a.
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множествовсех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ.
Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим этонеравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть –отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sinx=-1/2 имеетодно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает.Значит, если –π/2<=x<=-π/6, то sin x<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства неявляются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x>sin(-π/6)= –1/2.Все эти значения х неявляются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке[π/2;3π/2] функция sin xмонотонно убывает иуравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6.Следовательно, если π/2<=x<7π/, тоsin x>sin(7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решенияминеравенства. Для xЄ[7π/6;3π/2]имеем sin x<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Такимобразом, множество всех решений данного неравенства на отрезке[-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).
В силу периодичности функцииsin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, такжеявляются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этогонеравенства не являются.
Ответ: -π/6+2πn<x<7π/6+2πn,где nЄZ.
Рисунок 10.
<img src="/cache/referats/7459/image016.gif" v:shapes="_x0000_s1039">
www.ronl.ru
В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Графическое решение уравнений, неравенств». Преподаватель на занятии разберет графические методы решения уравнений и неравенств. Научит строить графики, анализировать их и получать решения уравнений и неравенств. На уроке также будут разобраны конкретные примеры по этой теме.
Тема: Числовые функции
Урок: Графическое решение уравнений, неравенств
Мы рассмотрели графики элементарных функций, в том числе графики степенных функций c разными показателями. Также мы рассмотрели правила сдвига и преобразований графиков функций. Все эти навыки необходимо применить, когда требуется графическоерешение уравнений или графическое решениенеравенств.
Пример 1. Графически решить уравнение:
Решение:
Построим графики функций 
(Рис. 1).
Графиком функции 
является парабола, проходящая через точки 
График функции 
– прямая, построим её по таблице.
Графики пересекаются в точке 
Других точек пересечения нет, т. к. функция монотонно возрастает, функция монотонно убывает, а, значит, их точка пересечения является единственной.
Ответ: 
Пример 2. Решить неравенство
a. 
b. 
Решение:
a. Чтобы выполнялось неравенство, график функции должен располагаться над прямой (Рис. 1). Это выполняется при 
b. В этом случае, наоборот, парабола должна находиться под прямой. Это выполняется при 
Ответ:
a. 
b.
Пример 3. Решить неравенство 
Решение:
Построим графики функций 
(Рис. 2).
Найдем корень уравнения 
При 
нет решений. При 
существует одно решение 
.
Чтобы выполнялось неравенство 
гипербола 
должна располагаться над прямой 
Это выполняется при 
.
Ответ: 
Пример 4. Решить графически неравенство:
a. 
b. 
Решение.
Область определения: 
Построим графики функций 
для 
(Рис. 3).
a. График функции 
должен располагаться под графиком 
это выполняется при 
b. График функции расположен над графиком 
при 
Но т. к. в условии имеем нестрогий знак, важно не потерять изолированный корень 
Ответ:
a.
b. 
Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали такие свойства функций, как монотонность и четность.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College. ru по математике .
2. Интернет-проект «Задачи» .
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .
Рекомендованное домашнее задание
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 355, 356, 364.
dp-adilet.kz
