В настоящее время наше общество постоянно пользуются числами. Мы их используем, чтобы измерить время, купить или продать, позвонить, посмотреть телевизор, вести автомобиль. К тому же у каждого человека есть различные цифры, опознающие его: в удостоверении личности, в паспорте, банковском счёте, кредитной карточке и т. д.

Больше того, сегодня в компьютерном мире вся информация передаётся посредством числовых кодов.

Мы встречаемся с числами на каждом шагу и настолько с этим свыклись, что почти не отдаём себе отчёта, насколько важны они в нашей жизни. Числа составляют часть человеческого мышления. С их помощью мы оцениваем свое состояние или достоинство банкноты, измеряем скорость автомобиля, определяем дни недели и месяцы или вычисляем количество калорий в нашем дневном рационе. С помощью чисел мы пересчитываем множество однородных вещей.

На протяжении истории каждый народ писал числа, считал и вычислял в самых различных формах. Но когда же впервые люди стали считать? Кто же их этому научил? Мне стало очень интересно это и я решила изучить данную тему, но чисел на свете очень много , мне пришлось остановиться на числах , которые мы изучаем в начальной школе, то есть на натуральных числах.

Цель: изучить историю развития натуральных чисел и нуля, и выделить основные этапы развития.

Задачи:

1) Изучить, что такое натуральное число.

2) Ознакомиться с историей появления нуля.

История возникновения и развития натуральных чисел.

Натуральные числа могут использоваться для счета (одно яблоко, два яблока, три яблока, …). Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счете. Это числа: 1, 2, 3, 4, …. Существуют два основных подхода к определению натуральных чисел: отрицательные и дробные числа не являются натуральными числами. Существует бесконечное количество натуральных чисел: для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его. Ноль, обычно, не относят к натуральным числам. (Хотя существуют так называемые французские натуральные числа – это обычные натуральные числа плюс ноль.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими , как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.

У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности.

Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея – обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов - десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание

бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Натуральные числа, кроме основной функции – характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию – характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

Термин "натуральное число" впервые потребил римский ученый А. Боэций (ок.480 524 г.г.). Числа стали предметом изучения и возникла наука арифметика. Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран Арабского мира, а начиная с 18 в. — европейскими учеными.

В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики который называется теорией чисел. Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с количеством пальцев на руке, затем используют натуральные числа при счете.

История появления нуля.

Нуль бывает разный. Во-первых, нуль – это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль – это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?

Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.

Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.

На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н.э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному открытию индийских математиков. И в XII веке другой индийский математик Бхаскара делает еще попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью"

Заключение

Таким образом, чтобы прийти к понятию числа, человек в своем развитии прошел несколько этапов:

Множества сравнивались непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. ("Яблок столько, сколько человек за столом"). Неудобство заключается в том, что оба

множества должны быть одновременно обозримы.

Вводятся множества—посредники (камешки, зарубки, узелки, пальцы,...). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств ("иметь поровну элементов"). 3. Происходит отвлечение от природы множеств—посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорил: "Один камешек, два камешка,...", а проговаривал числа: "Один, два, три,...". Это был

важнейший этап в развитии понятия числа.

И.Н.Лузин (крупнейший математик современности):

"Мы должны склониться перед гением Человека, создавшего (не открывшего, а именно создавшего) понятие единицы. Возникло Число, а вместе с ним возникла Математика. Идея Числа — вот с чего начиналась история величайшей из наук".

4. Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счислений.

В заключении я хочу сказать что без чисел сейчас некуда и я считаю что тема моего реферата очень важна для меня и всех остальных людей, числа это наше все Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как им управлять. Я полностью согласен с этим утверждением.

Список литературы

1. История математики, т. 1—3, М., 1970—72.

2. И.Я.Депман. Н.Я.Виленкин: За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов. - "Просвещение", 1989г..

3. З. Шпорер: Ох, эта метематика!- М.; Педагогика, 1985г.

http://en.coolreferat.com/1
http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404

yaneuch.ru

История возникновения понятий натурального числа и нуля — реферат

Министерство образования и науки Украины

ВП «Стахановский педколедж

ЛНУ имени Тараса Шевченка»

Реферат

на тему: «История возникновения понятий натурального

числа и нуля»

выполнила проверила: Ермолаева О.В

студентка 22ПО

Бондарь Ирина

г. Стаханов Содержание

Введение

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами. Что же понимается под словом "число"? Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было "привязано" к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Первое научное определение числа дал Эвклид в своих "Началах", которое он, очевидно унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского: "Единица есть то, в соответствии с чем каждая из соответствующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял понятие числа и математик Магницкий в своей "Арифметике" (1703г.). Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: "Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц". В своей "Общей арифметике" (1707г.) Исаак Ньютон пишет: "Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу…. Целое число есть то, что измеряется единицей…". В настоящее время, математик С.Ф. Клюйков также внес свой вклад в определение числа: "Числа - это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания".

Считается, что термин "натуральное число" впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480-524г. г.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно пользовался французский математик Даламбер (1717-1783г. г.).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо простых понятий. При работе над рефератом появилась возможность подробнее узнать историю возникновения числа, и понятия натурального числа.

1. Возникновение числа

1.1. Зарождение счета в глубокой древности

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века - палеолита. Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия "много". Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисления Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество.

Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами "один" и "много". Появление элемента "два" объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой, "три" характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие "четыре", так как с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой - возможность поместить по одному предмету у каждой ноги.

Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудия. Эти обстоятельства вынудили человека так или иначе вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями. Процесс счета уже не мог остановиться на четырех и должен был развиваться далее и далее.

На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов, сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними китайский суан-пан.

натуральное число ноль счисление

1.2. История возникновения понятия натурального числа

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, "три человека", "три озера" и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово "три" в контекстах "три человека", "три лодки" передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием ("много") о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как "толпа", "стадо", "куча" и т.д.

У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы (пальцевой счет, о котором говорилось ранее), что без сомнений подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея - обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов - десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней "римские цифры", ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков - цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов (в устной речи) и в форме обозначения специальными знаками (в письменной).

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких - либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа - с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность.

Числа возникли из потребности счета и измерения и претерпели длительный путь исторического развития.

Было время, когда люди не умели считать. Чтобы сравнить конечные множества, устанавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами или между одним из множеств и подмножеством другого множества, т.е. на этом этапе человек воспринимал численность предметов без их пересчета. Например, о численности группы из двух предметов он мог говорить: "Столько же, сколько рук у человека", о множестве из пяти предметов - "столько же, сколько пальцев на руке". При таком способе сравниваемые множества должны были быть одновременно обозримы.

В результате очень долгого периода развития человек пришел к следующему этапу создания натуральных чисел - для сравнения множеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки, раковины, пальцы. Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых предметов: речь шла, например, о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе "пять" вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом "рука", а численность множества из 20 предметов - словами "весь человек".

Только после того как человек научился оперировать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, т.е. когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок, не перечислялись уже "одно яблоко", "два яблока" и т.д., а проговаривались слова "один", "два" и т.д. Это был важнейший этап в развитии понятия числа. Историки считают, что произошло это в каменном веке, в эпоху первобытнообщинного строя, примерно в 10-5 тысячелетии до н.э.

Возникновение понятия натурального числа было важнейшим моментом в развитии математики. Появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. С развитием понятия натурального числа как результата счета предметов в обиход включаются действия над числом. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счета равными частями (по два, по три…), деление - как деление совокупности на равные части. Лишь во многовековом опыте сложилось представление об отвлеченном характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т.е. начинается развитие науки о числе. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название "арифметика". Слово "арифметика" происходит от греческого arithmos, что значит "число". Следовательно, арифметика - это наука о числе.

Термин "натуральное число" впервые употребил в V в. римский ученый А. Боэций, который известен как переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык и как автор книги "О введении в арифметику", которая до XVI века была образцом для всей европейской математики.

Во второй половине XIX века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика XIX века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказала и созданная в XIX веке теория множеств. Конечно, в созданных теориях понятия натурального числа и действий над ними получили большую абстрактность, но этим всегда сопровождается процесс обобщения и систематизации отдельных фактов.

yaneuch.ru

5.6. Особенности десятичной системы счисления

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы, поэтому ее долго называли арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

Например: 5457 – краткая запись числа «пять тысяч четыреста пятьдесят семь». Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 50 + 7 или, более строго,

5 •103 + 4 • 102 + 5 • 10 + 7.

Десятичной записью числа х называется его представление в виде:

х = ап • 10п + ап-1 • 10п-1 +... + а1 • 10 + а0, где ап, ап-1,..., а1, a0 принимают значения:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и ап0.

Краткая запись числа выглядит так: ап ап-1... а1 a0.

Числа 1,10,102,103,...,10n называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.

10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда.

10 – основание системы счисления, поэтому она называется десятичной.

Три первых разряда образуют класс единиц, следующие три разряда - классом тысяч, затем идет класс миллионов и др.

Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.

Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматривать с дошкольниками. Например:

1. Отсчитаем 10 палочек. Перевяжем их. Это десяток. Десяток можно называть «дцать». Положим на десяток палочек еще одну. Всего одиннадцать палочек – «один на дцать».

2. Возьмем две связки. Это два десятка. Можно сказать «двадцать».

Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет десятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.

Задания для самостоятельной работы

1. Приведите примеры деятельности дошкольников в соответствии с этапами развития числа:

а) непосредственное сравнение множеств,

б) опосредованное сравнение множеств,

в) сравнение множеств на основе счета,

г) запись чисел и действий.

Придумайте правило счета для дошкольников в целях предотвращения ошибок.
Сформулируйте вопросы дошкольникам с целью уточнения их представлений о количественном и порядковом значении числа.
Придумайте диалог с дошкольником, показывающий происхожде-ние названия чисел второго десятка и круглых чисел в пределах 100.

Лекция 6 текстовые задачи

Понятие текстовой задачи.
Способы решения задачи.
Основные этапы решения задачи.
Моделирование в процессе решения задачи.

6.1. Понятие текстовой задачи

При формировании математических представлений у дошкольников в большом количестве используются текстовые задачи. Делается это в целях подготовки детей к обучению в школе. Решение и составление задач способствует развитию логического мышления, формированию некоторых умений (счет, сложение и вычитание чисел), позволяет применять математические знания в жизненных ситуациях.

Текстовая задача – это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования.

В условии сообщаются сведения об объектах и их величинах, об отношениях между ними.

Требование – это указание, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме. Например, в задаче: «Маша нашла 3 гриба, а Петя – 2 гриба. Они положили их в корзину. Сколько всего грибов нашли дети?» Условие включает текст: «Маша нашла 3 гриба, а Петя – 2 гриба. Они положили их в одну корзину». Требование представлено в виде вопроса: «Сколько всего грибов нашли дети?»

Возможны и другие формулировки этой задачи:

Сколько грибов принесли домой дети, если Маша нашла 3 гриба, а Петя – 2 гриба? (Условие и требование дается в одном предложении.)
Маша нашла 3 гриба, а Петя – 2 гриба. Они положили их в одну корзину. Найдите число грибов в корзине. (Требование сформулировано в повелительной форме.)

Условие и требование задачи взаимосвязаны. Для понимания этого факта рассматривают задачи с лишними или недостающими данными. Например:

Маша нашла 3 подберезовика и 2 белых гриба, а Петя – 4 подосиновика. Сколько грибов нашла Маша? (Условие задачи содержит лишнее данное.)
Маша нашла 3 гриба. Сколько грибов нашел Петя? (В задаче недостаточно данных для ответа на вопрос.)

studfiles.net

История возникновения понятий натурального числа и нуля — реферат

Дальнейшие расширения понятия числа обусловлены уже не непосредственными потребностями счета и измерения, но явились следствием развития математики.

1.3. Счет как основа арифметики. Натуральный ряд чисел

Как мы ранее рассмотрели, арифметика - это наука, изучающая числа и действия над ними. Счет является основой арифметики. Прежде чем научиться вычислять, надо научиться считать и уметь записывать числа. Для счета люди пользуются названиями чисел и особыми знаками для краткого их обозначения. Знаки для изображения чисел называются цифрами. Практически на всем земном шаре алфавитом в языке цифр служат десять цифр (от 0 до 9), эти цифры называются арабскими. Девять из них используются для обозначения первых девяти натуральных чисел, а для обозначения отсутствия предметов употребляется число нуль, которое изображается цифрой 0. Все числа: 1, 2, 3, 4,…17,18 и т.д. без конца называют натуральным рядом чисел, а сами числа - натуральными числами. В натуральном ряду каждое число, начиная с 2, на единицу больше предыдущего. Натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляются числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на него был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

Долго и трудно добиралось человечество до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, вещи, животные…

1.4. Натуральные числа, основные функции натуральных чисел

Натуральные числа являются целыми числами. К целым числам относится и нуль, но оно не принадлежит к натуральным числам. Не следует смешивать понятия "числа" и "цифры". Различных чисел можно записать сколько угодно, а цифр - только десять. Любое натуральное число мы записываем с помощью этих десяти цифр. Производя счет предметов, используют натуральное число как характеристику порядка. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает как значение величины при выбранной единице, т.е. как мера величины. Большое внимание уделяется еще одной роли числа - как компоненту вычислений. Таким образом, натуральное число имеет много функций.

Основными функциями натуральных чисел являются:

1. Характеристика количества предметов;

2. Характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т. т.) и количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

1.5. История возникновения нуля

Ноль (нуль) (от лат. Nullus - никакой) - название первой (по порядку) цифры в стандартных системах исчисления, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (соответственно, в десятичной системе счисления, умножает на десять.).

В Индии.

Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие.

Индийцы называли знак, обозначающий отсутствие какого-либо разряда в числе, словом "сунья", что значит пустой (разряд, место). Арабы перевели это слово по смыслу и получили слово "сыфр", от него и ведет происхождение слово "цифра". Впервые цифру ноль использовал в своих рассказах Харязми. Первое достоверное сведение о записи нуля относится к 876г.; в настенной надписи из Гвалиора (Индия) имеется число 270. Некоторые исследователи предполагают, что нуль был заимствован у греков, которые ввели в качестве нуля букву "о" в шестидесятеричную систему счисления, употребляемую ими в астрономии. Другие, наоборот, считают, что ноль пришел в Индию с востока, он был изобретен на границе индийской и китайской культур. Обнаружены более ранние надписи от 683 и 686г. г. в нынешних Камбодже в Индонезии, где нуль изображен в виде точки и малого кружка. Индийцы вначале изображали нуль точкой. Когда индийцы в V веке н.э. ввели знак нуля, они смогли оставить поразрядную систему счисления и развить абсолютную позиционную десятичную систему счисления, превосходство которой при счете если и не осознают, то повседневно используют сотни миллионов людей.

Заключение

На первых ступенях развития, понятие числа определялось потребностями счета и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки. Мир полон тайн и загадок. Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

Рассмотрев данную тему, можно с уверенностью сказать, что исторические сведения изменчивы, и со временем мы можем узнать много нового о том, что, казалось бы, уже известно, а также будет открыто что-то не менее интересное и, в настоящее время, неизученное.

Список литературы

1. Задачник-практикум по математике. Пособие для студентов-заочников факультетов подготовки учителей начальных классов пединститутов под ред. Н.Я. Виленкина. Москва "Просвещение", 1977. (132-135 стр.).

2. Марков С.Н. Курс истории математики: Учебное пособие. - Иркутск: Издательство иркутского университета, 1995. - 248с.

3. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н. Математика. В 2ч. Ч1. Для студентов - заочников 1-2 курсов фак. подгот. учителей нач. классов пед. ин-тов; Моск. Гос. Пед. Ин-т. - М.: Просвещение, 1990. (93-119 стр.).

4. http://www.cultinfo.ru/ fulltext/1/001/008/122/518. htm

5. http://ru. wikipedia.org/wiki

yaneuch.ru

Смотрите также

..:::Новинки:::..

Windows Commander 5.11 Свежая версия.

Новая версия
IrfanView 3.75 (рус)

Обновление текстового редактора TextEd, уже 1.75a

System mechanic 3.7f
Новая версия

Обновление плагинов для WC, смотрим :-)

Весь Winamp
Посетите новый сайт.

WinRaR 3.00
Релиз уже здесь

PowerDesk 4.0 free
Просто - напросто сильный upgrade проводника.

..:::Счетчики:::..