Развитие понятия натурального числа. Развитие понятие о числе реферат

Краткий обзор развития  понятия

Краткий обзор развития понятия числа.

Знания людей заслуживает имени Науки

в зависимости от того, какую роль играет в нем число. Э. Борель.

На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счёта предметов, дней, шагов и т.п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать всё большие и большие числа, уметь их записывать. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнить число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия "больше", "меньше", "столько же" или "равно". Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признакам чрезвычайно высокой образованности человека.

С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Её возникновению и развитию способствовали практические потребности - строительство разнообразных сооружений, торговля, мореходство и пр. Долгое время арифметике имели дело с числами относительно небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была "мириада" - 10 000. Ещё в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда - то Архимед в своём трактате "Исчисление песчинок" - "Псаммит" разработал систему, которая позволила выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен. Следует заметить, что первое представление о потенциального бесконечно малом и бесконечно большом дал Анаксагор (около 500 - 428 гг. н. э.). Древнегреческий философ Аристотель (384 - 322 гг. до н. э.) в своих высказываниях, допуская бесконечность математического пространства, считал математическую прямую бесконечной. Аналогичных принципов придерживался и Евклид.

Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному. Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день.

В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через √2. Учёные того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых.

Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.

Потребовалось не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.

Как видно, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. (Любое число, которое можно выразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби, представляет собой элемент множества действительных чисел.)

Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравнений математики встречались с числом, которое выражалось √-1. Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавали за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745 - 1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые "мнимые числа" получили своё место в множестве комплексных чисел. Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера, которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковали геометрически.

Обозначение комплексного числа a+b√-1 принадлежат Карандо. Эйлер стал записывать это число в виде a+bi, где i = √-1, a   i 2 = -1.  По рекомендации ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона (1805-1865) комплексные числа стали выражать парой действительных чисел в виде (а,b). однако и на этом развитие понятие числа не завершилось. Оно продолжает свой путь дальше.  

zestlessons.narod.ru

Реферат: Развитие понятия числа

Студента Морозова Романа Викторовича

№ учебной группы РМ _821_______

Руководитель ___________________________________________________________

(ученая степень, звание, инициалы, фамилия)

Рязань 2009

План.

Введение 3

1. Число как основное понятие математики 5

Возможно вы искали - Реферат: Регулирование валютных отношений. Валютная политика

2. Натуральные числа и их функции 6

3. Рациональные числа 7

3.1. Дробные числа 7

3.1.1. О происхождении дробей 7

3.1.2. Дроби в Древнем Египте 8

Похожий материал - Реферат: Котировка валют и валютных курсов

3.1.3. Дроби в Древнем Риме 9

3.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби 10

3.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции 11

3.1.6. Нумерация и дроби на Руси 12

3.1.7. Десятичные дроби 12

Очень интересно - Реферат: Открытие спортивно-реабилитационного центра в Монголии

3.2. Отрицательные числа 13

3.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии 14

3.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе 15

4. Действительные рациональные и иррациональные числа 16

5. Комплексные и мнимые числа 18

Вам будет интересно - Курсовая работа: Эффективность использования оборотных средств

6. Векторные и матричные числа 19

7. Трансфинитные числа 20

8. Развитие функциональных чисел 22

Заключение 23

Список использованной литературы 25

Введение .

Похожий материал - Курсовая работа: Повышение эффективности использования основных фондов в РУП ГЗСМ "Гомсельмаш"

Числа — это неотъемлемое орудие современной цивилизации, используемое для упорядочения сферы ее деятельности.

Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и неудивительно: более 10 тыс. лет прошло с тех пор, как люди всерьёз занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения, впервые задавшегося вопросом "сколько?", тем более, невозможно.

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счёте возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 г. в Вестонице (Моравия) на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах учёные находили столь же древние каменные предметы с точками и чёрточками, сгруппированными по три или по пять.

Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел.

К-во Просмотров: 196

Бесплатно скачать Реферат: Развитие понятия числа

cwetochki.ru

Развитие понятия числа — курсовая работа

      Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученного ал-Каши в 20-х годах XV в. Независимо от него, в 80-х годах XVI в. десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Симоном Стевином.

      В Средней Азии и в Европе ученые пришли к десятичным дробям по аналогии с шестидесятеричными и разработали теорию десятичных дробей.

      В середине века ученые пользовались десятичной нумерацией для вычислений с целыми числами, а шестидесятеричной – для вычислений с дробями в астрономии и других отраслях науки. Это породило трудности, связанные с переходом от одного основания к другому.

      Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Вообще считались самым трудным разделом арифметики. Поныне у немцев осталась поговорка «Попал в дроби», т.е. попал в трудное положение.

      Идея  шестидесятеричных дробей, идея одинакового  систематического подразделения целого на одни и те же доли, с одной стороны, привели к мысли о десятичных дробях.

      Среднеазиатский город Самарканд был в XV в. большим культурным центром. Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в 20-х годах XV в. крупный ученый того времени – Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях.

      В своей книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 г., ал-Каши пишет: «Астрономы применяют дроби, последовательными знаменателями которых являются 60 и его последовательные степени… По аналогии мы ввели дроби, в которых последовательными знаменателями являются 10 и его последовательные степени…».

      Ал-Каши называет сотые доли «десятичными секундами», тысячные – «десятичными терциями»  и т.д. Термины эти заимствованы из шестидесятеричной нумерации. Вводя  десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и удобную систему дробей, основанную на десятичной нумерации и имеющую те же преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби.

      Ал-Каши излагает правила и приводит примеры  действий с десятичными дробями. Оно вводит специфическую для  десятичных дробей запись: целая и дробная часть пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую1, а пишет целую часть черными чернилами, дробную же – красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой.

      Открытие  десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет после того, как эти дроби были в конце XVI в. заново открыты С. Стевиным2.

      Фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548-1620), около 150 лет после ал-Каши, изложил учение о десятичных дробях в Европе. В 1585 г. он написал небольшую книгу под названием «Десятая».

      Эта книга состояла всего лишь из 7 страниц, однако содержала всю теорию десятичных дробей.

      Запись  десятинных дробей у Стевина была отличной от нашей. Вот,например, как  он записывал число 35,912: 

      35 0 9 1 1 2 2 3 или 

      Итак, вместо запятой нуль в кружке. В  других кружках или над цифрами  указывается десятичный разряд: 1 –  десятые, 2 – сотые и т.д.

      Стевик  указывал на большое практическое значение десятичных дробей и настойчиво пропагандировал их. Он был первым ученым, потребовавшим введения десятичной системы мер и весов. Эта мечта ученого была осуществлена лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер.

      Дробь общего вида. Дроби общего вида , в которых и m, и n могут быть произвольными целыми числами, появляются уже в некоторых сочинениях Архимеда. Простейшие из таких дробей (2/3, 3/4) постепенно входят в употребление в житейской практике. Индусы уже в первые века нашего летосчисления установили современные правила действий над обыкновенными дробями. Эти правила через руководство среднеазиатских математиков – ал-Хорезми и других – вошли в европейские учебники арифметики. Это случилось ранее распространения десятичных дробей.

      В «Арифметики» (1703) первого русского педагога-математика Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) обыкновенные дроби излагаются подробно, десятичные же дроби – в специальной главе, как некоторый новый вид счисления, не имевшего при тогдашней системе мер большого практического значения. Только с введением метрической (десятичной) системы мер десятыми дроби заняли подобающее место в нашем обиходе.

2.3. Рациональные числа

      Числа целые, дробны (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, к-ое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таком образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

      Совокупность  рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т.н. иррациональных чисел.

2.4. Связь натуральных чисел с другими математическими понятиями

      Натуральное число является фундаментальным  понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа — исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин3.

      Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число— основа всего последующего усвоения математики в школе4.

      Однако  есть основания полагать, что эти  положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности, проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями.

      С этой целью обратимся к книге  Е.Г. Гонина «Теоретическая арифметика» [15], примечательной тем, что значительная ее часть посвящена изложению основных общематематических понятий, на основе которых затем раскрываются свойства числовых систем (предмета теоретической арифметики).

      Исходными понятиями выступают здесь множество, элемент множества, подмножество, обладающие определенными свойствами и связями. Существуют некоторые простые способы получения новых множеств из данных (соединение, пересечение, разность). Особая символика фиксирует эти способы и их свойства (например, соединение — A U В; пересечение — А П В; разность — А \ В). Важное значение имеет понятие соответствия между элементами множеств. Соответствие между элементами множеств А и В определяет отображение множества А в множество В, фиксируемое, например, буквой / (иногда вместо отображения говорят о функции, а также об унитарной операции). Вводятся особые условия выполнимости и однозначности отображения (частный случай последнего — взаимно однозначное отображение). Если существует взаимно однозначное отображение А в В, то множество А называется эквивалентным множеству В. С введением понятий эквивалентности и правильной части Множества становятся возможными определения бесконечного и конечного множеств (множество, эквивалентное некоторой своей правильной части, называется бесконечным).

      Понятию соответствия родственно понятие соотношения, определенного на множестве. Соотношения  обладают такими основными свойствами, как рефлексивность (нерефлексивность, иррефлексивность), симметричность, транзитивность, связность. Обобщением понятия эквивалентности множеств является понятие изоморфизма. Каждое множество обладает таким свойством, как мощность (эквивалентные множества имеют одну и ту же мощность, неэквивалентные — различные мощности). Создание системы натуральных чисел связано с необходимостью описания этого важного свойства множеств.

      Наряду  с соотношением эквивалентности  в математике важную роль играет соотношение  порядка (антисимметричное и транзитивное соотношение), через которое определяется понятие упорядоченного множества. С введением понятий сечения, граничного элемента, скачка, пробела и других определяют непрерывное и дискретное упорядоченное множество.

      Важнейшим понятием математики, далее, является понятие скалярной, аддитивной, аддитивно-скалярной  величины. Частным случаем скалярной величины является мощность множества.

      Понятия о бинарной операции и определенных ее свойствах (выполнимость, однозначность, ассоциативность), об обратных операциях  позволяют выделить особые виды множеств — полугруппы и группы. Множество  со связанными операциями сложения и умножения при определенных условиях является кольцом. Частный случай кольца — тело (при операции деления). Особый вид тела — поле 115, стр. 7—96]5.

      Числовые  системы определяются на основе указанной  цепи понятий. Так, «системой неотрицательных целых чисел называется дискретное точное упорядоченное коммутативное полукольцо с единичным элементом, не являющимся нулевым» [15, стр. 97]; «системой неотрицательных рациональных чисел называется минимальное точное упорядоченное полуполе» [15, стр. 131] и т.д.

      Рассмотрение  этого перечня понятий позволяет  выделить ряд моментов. Прежде всего  понятие о числе связано со многими предваряющими его понятиями, в частности с понятиями «множество», «отображение» (функции, операции), «эквивалентность», «мощность». Оно является описанием хотя и весьма важного, но все же лишь частного свойства множеств — их мощности. Таким образом, число в общей конструкции современных математических понятий не является первичным и основным. Важнейшие понятия (множество, величина, группа, кольцо) вводятся до числа и независимо от него. Свойства же самих числовых систем раскрываются на основе других общематематических понятий.

      Таково  фактическое соотношение понятия  числа с другими математическими  понятиями. Поэтому не совсем ясны основания некоторых категорических утверждений, будто понятие числа первично, и математика не содержит его определения6. Если при этом имеется в виду отсутствие удовлетворительного определения, то само по себе это не является основанием для утверждения «первичности» числа. Если имеется в виду трудность (или даже невозможность) его определения в пределах арифметики, то это не исключает возможности полноценного определения в пределах всей математики. Если предполагается, что в развитой, готовой теории число вводится (описывается) через систему аксиом, то это не означает отсутствия более широких оснований у самих аксиом — либо в области математики, либо в других областях знания (например, такие основания усматриваются в логике [16]).

      Следует иметь в виду, что термин «определение» не является однозначным. Часто его употребляют в формально-логическом смысле, и тогда невозможность построения такого определения отождествляют с «первичностью» соответствующего объекта, с его «невыводимостью». Однако в настоящее время существуют теории определения, не совпадающие с традиционным формально-логическим подходом к нему (см., например, работы Б.М. Кедрова [24] и др.).

      Отметим также, что в истории науки  делались попытки и поныне делаются многочисленные попытки дать определение  понятию числа. Хорошо известно определение Фреге-Рассела (см. его изложение в книге Р.Л. Гудстейна (1б1), возбудившее ряд других поисков. Таким образом, реальные трудности определения числа, как математические, так и логические7, не дают оснований для признания его первичности в общематематической системе понятий.

      Правда, можно предположить, что хотя для  описания числовых систем и требуются  многие предварительные понятия, однако эти системы в совокупности и  задают сам предмет математики в  его всеобщих особенностях, ибо нечто становится математическим явлением лишь постольку, поскольку оно выражено в числовой форме, дано через число.

      Но  это предположение не оправдывается. Так, соотношение эквивалентности (рефлексивное, симметричное и транзитивное соотношение) можно обнаружить в равенстве отрезков, в подобии фигур. Примером соотношения порядка (антисимметричное и транзитивное соотношение) является соотношение «меньше» для отрезков, «моложе» для людей, «мягче» для минералов [15, стр. 27, 33]. Здесь предмет математического рассмотрения дан без его предварительного выражения в форме числа. При этом ряд чисел сам является лишь частным случаем указанных соотношений.

freepapers.ru

Развитие понятия числа

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА

Специальность: менеджмент организации

Учебная дисциплина: математика

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

на тему: « Развитие понятия числа »

Студента Морозова Романа Викторовича

№ учебной группы РМ      _821_______

Руководитель ___________________________________________________________

(ученая степень, звание, инициалы, фамилия)

 Рязань 2009

План.

Введение                                                                                                                    3

1. Число как основное понятие математики                                                    5

2. Натуральные числа и их функции                                                              6

3. Рациональные числа                                                                                             7

3.1. Дробные числа                                                                                     7

3.1.1. О происхождении дробей                                                            7

3.1.2. Дроби в Древнем Египте                                                              8

3.1.3. Дроби в Древнем Риме                                                                          9

3.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби                                              10

3.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции                                       11

3.1.6. Нумерация и дроби на Руси                                                                  12

3.1.7. Десятичные дроби                                                                        12

3.2. Отрицательные числа                                                                                    13

3.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии                                        14

3.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе                           15

4. Действительные рациональные и иррациональные числа                                  16

5. Комплексные  и мнимые числа                                                                    18

6. Векторные  и матричные числа                                                                   19

7. Трансфинитные числа                                                                                  20

8. Развитие функциональных чисел                                                                         22

Заключение                                                                                                       23

Список использованной литературы                                                              25   

Введение.

Числа — это неотъемлемое орудие современной цивилизации, используемое для упорядочения сферы ее деятельности.

Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и неудивительно: более 10 тыс. лет прошло с тех пор, как люди всерьёз занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения, впервые задавшегося вопросом "сколько?", тем более, невозможно.

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счёте возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 г. в Вестонице (Моравия) на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах учёные находили столь же древние каменные предметы с точками и чёрточками,  сгруппированными по три или по пять.

Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел.

Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ - вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень много. Пересчитывать же таким образом большие совокупности скучно и утомительно, поэтому возникла идея объединять единицы в группы. Появился счёт пятёрками, десятками, пальцев рук и ног "счетовода".

Единичная система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев, не забыта и в наши дни.

В настоящее время числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней, от самых простых до самых сложных:

1. Система, состоящая только из положительных целых чисел;

2. Более высокая ступень, включающая положительные и отрицательные целые числа и нуль;

3. Рациональные числа, в которые дроби входят на равных правах с целыми числами;

4. Действительные числа, включая иррациональные числа, такие, как, например, число 

5. Комплексные числа, вводящие в рассмотрение “мнимое число” .

Сегодня экономисты-математики пользуются матричной алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий, а физики — преобразованиями в гильбертовом пространстве (т. е. числовой концепцией на семь уровней абстракции выше, чем натуральные числа) для предсказания квантовых явлений.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел, которые позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач.

В связи с этим тема данной контрольной работы «Развитие понятия числа» до сих пор не утратила своей актуальности. Ведь в процессе исследования ученые опираются на достижения предыдущих поколений, и информация о становлении такого понятия как «число», об этапах его развития,  несомненно будет полезна при решении новых задач, или усовершенствовании уже известных решений.

1. Число как основное понятие математики.

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Существует большое количество определений понятия «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое  число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей». [3]

2. Натуральные числа и их функции.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Источником возникновения числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»).

С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.).  Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. [9]

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) предметов. Существуют два подхода к определению натуральных чисел, отличающиеся причислением нуля к натуральным числам. Соответственно, натуральные числа определяются как:

-числа, используемые при перечислении (нумеровании) предметов: 1, 2, 3,… (первый, второй, третий и т. д.). Это определение общепринято в большинстве стран, в том числе и в России;

-числа, используемые при обозначении количества предметов: 0, 1, 2, … (нет предметов, один предмет, два предмета и т. д.). Это определение было популяризовано в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными не являются. Множество натуральных чисел принято обозначать .

Существует бесконечно много натуральных чисел. Для любого натурального числа найдется натуральное число, большее его.

Натуральные числа имеют две основные функции: характеристика количества предметов и характеристика порядка предметов, размещенных в ряд. В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

3. Рациональные числа.

Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом.

 Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности.

Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т.н. иррациональных чисел. [1]

3.1. Дробные числа.

3.1.1. О происхождении дробей.

Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась  у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

 Так возникли дроби.

В истории развития дробного числа  мы встречаем дроби трёх видов:

1) доли или единичные дроби, у которых числитель единица, знаменателем же может быть любое целое число;

2) дроби систематические, у которых числителями могут быть любые числа, знаменателями же – только числа некоторого частного вида, например степени десяти или шестидесяти;

3) дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми числами.

Изобретение этих трёх различных видов дробей представляло для человечества разные степени трудности, поэтому разные виды дробей появлялись в разные эпохи.

Знакомство человека с дробными числами началось с единичных дробей с малыми знаменателями.

Понятия «половина», «треть», «четверть», «осьмушка» употребляются часто людьми, которые арифметике дробных чисел никогда не обучались. Эти простейшие дроби изобрёл каждый народ самостоятельно в ходе своего развития.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида –    – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).

Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.

В древности наибольшего развития обыкновенные дроби достигли в Индии. В рукописях, относящихся к 4 веку до нашей эры, встречаются уже не только единичные дроби, но и дроби с произвольными числителями. В начале VII столетия индийцы знали и формулировали правила действий над обыкновенными дробями. В Западной Европе окончательно установленную и ясную теорию обыкновенных дробей дал в 1585 году фламандский инженер Симон Стевин. [5]

3.1.2. Дроби в Древнем Египте.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику. Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.  На протяжении многих веков египтяне именовали дроби “ломаным числом”, а первая дробь с которой они познакомились была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби называемые единичными. У них числитель всегда единица.

Египтяне все дроби старались записать как суммы единичных дробей (долей). Например, вместо    они писали  . Дробь  записывали в виде долей:   . Производить арифметические действия над числами, всякий раз раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Имеет ли пристрастие египтян к аликвотным дробям какое-либо объяснение? 

Поясним это примером. Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».

Вот как эта задача решена на папирусе Райнда – это древнеегипетский математический текст, переписанный около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом.

Поскольку  . Следовательно, каждому человеку нужно дать по половине, четверти и восьмушке хлеба. Теперь ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб – на 8 частей.

Для разложения неединичных дробей на сумму единичных существовали готовые таблицы, которыми и пользовались египетские писцы для необходимых вычислений.

Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Сумма такого типа использовалась математиками как определение для дробей начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории древней математики.

3.1.3. Дроби в Древнем Риме.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят: ”Он скрупулёзно изучил этот вопрос.” Это значит, что вопрос изучен до конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288 асса - “скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Ещё в первом веке до нашей эры выдающийся римский оратор и писатель Цицерон говорил: “Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!”.

Характерен следующий отрывок из произведения знаменитого римского поэта I века до нашей эры Горация о беседе учителя с учеником в одной из римских школ той эпохи:

- Учитель: Пусть скажет Сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию!

- Ученик: Одна треть.

- Учитель: Правильно, ты хорошо знаешь дроби и сумеешь сберечь своё имущество.

Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

3.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби.

Происхождение шестидесятеричной системы неясно. Возможно, она связана с двенадцатеричной системой счисления (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке). Существует также гипотеза О. Нейгебауэра  о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел. [7]

Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.     

       Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась из двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и условного знака ◄, обозначавшего десять.

В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак èè  , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями. Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с. Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

3.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции.      

Вплоть до VI века до н. э. греческая математика ничем выдающимся не прославилась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. Греческая нумерация (запись чисел), как позже римская, была аддитивной, то есть числовые значения цифр складывались. Первый её вариант (аттическая, или геродианова) содержали буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция (вычисление) происходит от calculus  — камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль.

Позднее вместо аттической нумерации была принята алфавитная — первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000.

В VI веке до н. э. «греческое чудо» начинается: появляются сразу две научные школы — ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по комментариям позднейших авторов, преимущественно Евклида, Платона и Аристотеля. [1]

Фалес, богатый купец, во время торговых поездок, видимо, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию. Ионийцы дали первые доказательства геометрических теорем.

Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам.

В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции  не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями  и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. [2]

3.1.6. Нумерация и дроби на Руси.

Наши предки - славяне пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией.

Над буквами и числами ставился особый знак, названный – титло ~.

Для обозначения тысячи применялся знак   , который приставлялся слева от букв.

Интересно отметить, что хотя в славянской нумерации запись числа шла слева направо, от высших единиц к низшим, но для чисел от 11 до 19 делалось исключение: сначала писали единицы, а затем знак для 10.

С помощью древнеславянской нумерации можно записать любое число от 1 до 999.

Дроби в Древней Руси называли долями, позднее ломаными числами. Так у дробей с числителем 1 были свои названия.12- половина, полтина.     13 - треть. 14 - четь. 16 - полтреть. 18- полчеть.         112- полполтреть.

110- десятина (1,09 га - русская мера земельной площади). Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века. И только при Петре I стала вводится десятеричная система счисления, которая и сохранилась до наших дней. В 1903 г вышла в свет “Арифметика” Л. Ф. Магницкого. В которой в первой части изложены действия с целыми числами, во второй - с ломаными, т.е. дробями.

До наших дней дошло очень мало старинных документов – не более трёх посвящённых арифметике и геометрии; значительно больше сборников включали в себя и естественнонаучные сведения; также известны и две общеобразовательные энциклопедии – "Азбуковники".

Интересно, что математическая терминология рукописей существенно отличалась от нынешней [1].

Слагаемые назывались перечнями, их сумма – исподним большим перечнем,  уменьшаемое – заёмным перечнем, вычитаемое – платёжным перечнем, разность – остатком,  делимое – большим перечнем,  делитель – деловым перечнем,  частное – жеребейным        перечнем,  остаток – остаточной долей, а сомножители и их произведение специальных наименований не имели.

3.1.7. Десятичные дроби.

Предшественниками десятичных дробей являлись шестидесятеричные дроби древних вавилонян. Некоторые элементы десятичной дроби встречаются в трудах многих ученых Европы в 12, 13, 14 веках.

В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи, цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.

Десятичную дробь с помощью цифр и определенных знаков попытался записать арабский математик ал-Уклисиди в X веке. Свои мысли по этому поводу он выразил в "Книге разделов об индийской арифметике".

Примерно в это же время математики Европы также пытались найти удобную запись десятичной дроби. В книге "Математический канон" французского математика Ф. Виета (1540-1603) десятичная дробь записана так 2 135436 - дробная часть и подчеркивалась и записывалась выше строки целой части числа.

В 1585 г., независимо от ал-Каши, фламандский ученый Симон Стевин (1548-1620) сделал важное открытие, о чем написал в своей книге "Десятая" (на французском языке "De Thiende, La Disme"). Эта маленькая работа (всего 7 страниц) содержала объяснение записи и правил действий с десятичными дробями. Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Например, число 12,761 записывалось так:

1207À6Á1Â12

или число 0,3752 записывалось так:

37‚5ƒ2„.

Именно Стевина и считают изобретателем десятичных дробей.

Запятая в записи дробей впервые встречается в 1592г., а в 1617г. шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой.

Современную запись, т.е. отделение целой части запятой, предложил Кеплер (1571) - (1630 гг.).

В странах, где говорят по-английски (Англия, США, Канада и др.), и сейчас вместо запятой пишут точку, например: 2.3 и читают: два точка три.

3.2. Отрицательные числа.

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата,  но западнее они не прижились.

Знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно. В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами - в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков.

Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены.

Диофант в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения.

Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математики Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже Паскаль считал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

3.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии.

Положительные количества в китайской математике называли “чен”, отрицательные – “фу”; их изображали разными цветами: “чен” - красным, “фу” - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.

Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: “ имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму”.

Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.

Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, “nullus” по латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом. [9]

3.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе.

В Европе в XII веке нашей эры появились отрицательные числа, их называли “ложными” в отличие от положительных чисел – «истинных». 

Широко использовать отрицательные числа, выполнять действия с ними, строить координатную прямую стали благодаря работам французского математика Рене Декарта.

Также в Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « - » применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных чисел.

Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и ноль называются целыми числами. Целые и дробные числа на 2-ом уровне обобщения получили общее название - рациональные числа. Их называли также относительными, потому что любое их них можно представить отношением двух целых чисел. Каждое рациональное число можно представить как бесконечную периодическую десятичную дробь.

С помощью рациональных чисел можно осуществлять различные измерения (например, длины отрезка при выбранной единице масштаба) с любой точностью. То есть совокупность рациональных чисел достаточна для удовлетворения большинства практических потребностей.

Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине XVIII в. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел.

4. Действительные рациональные и иррациональные числа.

Рациональные и иррациональные числа составляют вместе множество действительных чисел. Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу (достаточно найти расстояние до этой точки от начала отсчета и поставить перед найденным числом знак + или – в зависимости от того, справа или слева от начала отсчете находится заданная точка). Для краткости обычно вместо фразы “точка координатной прямой, соответствующая действительному числу a” пишут и говорят “точка a”, а, употребляя термин “число a”, имеют в виду ”действительное число a”. Множество действительных чисел называют также числовой прямой. Геометрической моделью числовой прямой служит координатная прямая.

Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный”  относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными. В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis  и irrationalis. Термин «соизмеримый» (commensurabilis) ввел в первой половине VI в. другой римский автор- Боэций.

Древнегреческие математики классической эпохи пользовались только  рациональными числами (вернее целыми, дробными и положительными). В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически. [4]

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос» – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом  surdus – глухой. В Европе термин surdus- глухой впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических прозведений с арабского на латынь, затем у итальянского математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в. Правда уже в XVI в. Отдельные ученые, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и  согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.»

Еще до Бомбелли и Стевина многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В том же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси.

Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в.  ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «приложениях к алгебре» (1594 г.) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному  числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что  естественным аппаратом  для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби.  Появление  «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимости расширения  понятия рационального числа.  На числовой оси иррациональные числа,  как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.

В современных учебных руководствах  основа определения иррационального числа  опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в.

Действительные числа иногда подразделяют также на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называют числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целыми коэффициентами.

Все остальные (неалгебраические) числа относятся к трансцендентным. Так как каждое рациональное число p/q является корнем соответствующего многочлена первой степени с целыми коэффициентами  qx –p, то все трансцендентные числа иррациональны. [3]

5. Комплексные и мнимые числа.

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.

На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A· X+B=0 (A0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел. [1]

6. Векторные и матричные числа.

В дальнейшем стали разыскивать некие трехмерные числа, которые моделировали бы векторные величины в пространстве с его тремя координатными осями.

Бился над этой задачей и ирландский ученый Гамильтон. После 15-ти лет работы в 1843 году Гамильтон придумал таки  трехмерные числа a + bi + cj + dk, где i = j = k   и откладываются каждый на своей оси. Такие числа - комплексные a + bi  и мнимые cj и dk по двум дополнительным осям – Гамильтон назвал кватернионами (quaterni в переводе с латыни – четыре). Позже, в 1853 году, как вариант кватернионов, Гамильтон предложил более удобные числа bi + cj + dk и назвал их векторными числами.

Векторные числа + тензорные величины породили матричные числа.

Алгебраические операции над векторными величинами создали многоэлементные числовые объекты, названные по предложению Эйнштейна тензорными величинами. Для их моделирования Артур Кэли в 1850 году ввел числа, в которых элементы (более трех) записывались уже квадратными и прямоугольными таблицами (матрицами) и рассматривались как единый числовой объект.

Выделим особенность всех сложных (комплексных, векторных, матричных) чисел: они моделируют сразу два свойства – количество и направление моделируемых величин. [5]

7. Трансфинитные числа.

В 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которой натуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь – действительными, те – комплексными, те – векторными, те – матричными, создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел.

Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются с четными числами:

Кантор заметил, что такое множество должно содержать бесконечное число элементов. А если эти элементы сопоставимы с множеством натуральных чисел, то их количество образует первое трансфинитное число 0א (алеф-нуль – с иврита). Но множество א0 тоже бесконечно много, и они вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее трансфинитное число א1 . И так далее…

Кантор долго анализировал трансфинитные числа и установил, что они могут моделировать либо просто количество (тогда это количественные, кардинальные трансфинитные числа, например – множество учеников в классе), либо количество и направление (тогда это порядковые, ординальные трансфинитные числа, например – то же множество учеников, но упорядоченное по успеваемости). Но эти свойства (количество и направление) успешно моделируются числа меньших уровней обобщения. А таблица чисел подсказывает закономерность: чтобы стать абстрактнее, новые числа должны моделировать больше, развиваясь от уровня к уровню либо экстенсивно, меняясь количественно (например, в учете моделирующих элементов числами уровней 1, 2, 3: натуральные +  ноль + отрицательные + иррациональные; или в учете моделируемых направлений числами уровней 3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-трехмерные-многомерные и т.п).

Уж очень смелой и заманчивой представлялась для многих идея выйти "в открытый Космос" трансфинитного канторовского "зазеркалья", за границы обычных конечных натуральных чисел, которые, по очень глубокому замечанию Леопольда Кронекера, "создал Господь Бог". Я думаю, ближе всех к рациональному объяснению столь нетрадиционного для классической математики "поведения" оказался Брауэр, который в конечном счете был вынужден "диагностировать" всю канторовскую теорию в целом как "патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения математиков просто придут в ужас".

Однако несомненная историческая заслуга Кантора состоит в том, что он первый от спекулятивных рассуждений о возможности или невозможности актуальной бесконечности перешел к ее практическому, логико-математическиму употреблению! А это значит, что благодаря Кантору понятие актуальной бесконечности впервые стало доступно для строгого, формально-логического (конечно, в смысле классической логики Аристотеля) и математического анализа.

8. Развитие функциональных чисел.

Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа - это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.

История зарождения и развития функциональных чисел чрезвычайно длительна и богата. Их совершенствовали уже ученые Древнего Востока (Х в. до н. э.), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога; античные греки (III в. до н.э.), исследуя конические сечения; Галилей (1638 г.), проверяя опытом свои формулы движения тел.  Впервые ясно и отчетливо функциональные числа были представлены Лагранжем (1797 г.) в теории функций действительного переменного и ее приложении к разнообразным задачам алгебры и геометрии. Однако в наши дни функциональные числа продолжают совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт: весь математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами и максимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением, уравнениями и методами их решения.

Но еще более значительными были успехи математики при добавлении способности моделировать функциональную зависимость комплексным числам (Даламбер, 1746 г.). Так возникли комплексно-функциональные числа (9-ый уровень обобщения) в форме функций комплексного переменного, с помощью которых были построены многие полезные математические модели сложных процессов, упрощенно доказательство многих теорем, выполнено описание двухмерных векторов, скалярных и векторных полей, отображение одной плоскости на другую и т.д.

Благодаря соединению способности моделировать функциональную зависимость с векторными числами (Гамильтон, 1853 г.), возникли векторно-функциональные числа (10-ый уровень обобщения). А это – векторный анализ, векторные функции, моделирование переменных полей в сплошных средах и многие достижения теоретической физики.

Добавление матричным числам способности моделировать функциональную зависимость (Клебш, 1861 г.) создало матрично-функциональные числа (11-ый уровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление линейных векторных пространств и линейных преобразователей, много новых математических моделей,  тензорный анализ пространств с кривизной. теорию поля в физике и т.д. [1]

Если добавить трансфинитным числам Кантора способность моделировать функциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-функциональные числа (12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного переменного, которые, благодаря максимальному на сегодняшний день обобщению, позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач.

Заключение.

Число является одним из основных понятий математики, оно зародилось в глубокой древности. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ - вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

Около 3 - 2,5 тыс. лет до новой эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. - изображались специальными значками - иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса.

Величина числа, записанного в иероглифической системе, не зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки. Даже если записать их справа налево, один под другим или вперемешку - число от этого не изменится.

В результате упрощений и стилизаций от иероглифов позднее произошли условные знаки, облегчающие письмо от руки. Они легли в основу так называемого иератического письма (от греч. "иератикос" - "священный"). Эту систему записи чисел можно обнаружить в более поздних египетских папирусах.

С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным, возникает необходимость в отрицательных числах. Еще до нашей эры их стали употреблять китайские математики. Широко использовали отрицательные числа и индийские математики (Брахмагупта, VII в.). Замечательным достижением индийских математиков было введение понятия нуля и знака для него, что позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и разработать правила операций над записанными так числами. Эту запись чисел стали применять математики многих восточных стран, откуда она попала в Европу.

В XV в. самаркандский ученый ал Каши ввел десятичные дроби. Это нововведение оставалось неизвестным европейским математикам.

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В 3веке до н.э. Архимед разработал систему обозначения чисел вплоть до такого громадного числа, как 10^8000.

Наряду с натуральными числами применяли дроби-числа, составленные из целого числа долей единицы. Множества натуральных чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого измерения. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения двух таких чисел, т.е. дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что "элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом".

К настоящему времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:

- правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;

- новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.

Список использованной литературы.

1.                Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел.– М.: Просвещение, 1975 г.

2.                Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. – М.: Просвещение, 1971 г.

3.                Архангельская В.М. Элементарная теория чисел: учебное пособие. Издательство саратовского университета, 1962 г.

4.                Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.:Физмат, 1963г.

5.                Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960 г. - 368 с.

6.                Гейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

7.                Клюйков С.Ф. Числа и познание мира. - Мариуполь: Полиграфический центр газеты «ИнформМеню». 1997г. - 112 с.

8.                Крутецкий Р.О., Фадеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных чисел: Пособие для учителей средних школ. – Л.: Учпедгиз, ленинградское отделение, 1939 г.

9.                Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.Математика: Учеб.пособие для техникумов.

10.           Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике для техникумов. 3-е издание. - Москва, «Высшая школа», 1975г. - 554 с.

znakka4estva.ru

«Развитие понятие числа. Понятие о действительных числах»

Реферат по математике

Тема:«Развитие понятие числа. Понятие о действительных числах».

Выполнил: ученица 11а класса

Утина Карина

Проверил: учитель математики

Севостьянова Вера Михайловна

Санкт-Петербург

2014 год

Содержание

Введение……………………………………………………………………..3

1. Число как основное понятие…………………………………............4

2. История числа…………………………………………………………..5

2.1. Числа начинают получать имена………………………………….5

2.2. Живая счётная машина……………………………………………. 7

2.3. Операции над числами……………………………………………...8

2.4. Первые цифры..............................................................................9

3. Основные множества чисел…………………………………………10

4. Действительные числа………………………………………………13

4.1 Понятие действительного числа………………………………….13

4.2. Конструктивные способы определения вещественного числа……………….………………………………………………………14

4.3. Аксиоматический подход………………………………………….15

5. Заключение…………………………………………………………….16

6. Список литературы……………………………………………………17

7. Приложение……………………………………………………………18

Введение

Я выбрала тему «Развитие понятия числа. Понятие о действительных числах» и предметом моего исследования являются числа. Числа — это неотъемлемое орудие современной цивилизации, используемое для упорядочения сферы ее деятельности, и с числами люди имеют дело каждый день. Кроме того процесс исследования нового всегда опирается на достижения предыдущих поколений и информация о становлении такого понятия как «число», об этапах его развития, будет полезна при решении новых задач, или усовершенствовании уже известных решений.

Тема не теряет своей актуальности, так как понятие числа продолжает развиваться.

В настоящее время числовые системы, применяемые в математике, представлены в виде пяти главных ступеней,

от самых простых до самых сложных:

1. Система, состоящая только из положительных целых чисел; Такие числа называются натуральные.
2. Более высокая ступень, включающая положительные и отрицательные целые числа и нуль;
3. Рациональные числа, в которые дроби входят на равных правах с целыми числами;
4. Действительные числа, включая иррациональные числа, такие, как, например, число ;
5. Комплексные числа, вводящие в рассмотрение “мнимое число” 

Думаю, что в процессе моего исследования можно будет узнать много нового и познавательного о развитии понятия числа. Целью моего исследования является расширение, углубление и систематизация знаний о числе, а также решение следующих задач: выявить причины и последовательность появления новых чисел в процессе развития математики или других процессов, узнать о происхождение числа, о его истории и развитии, и исследовать процесс формирования записи чисел.

Решить поставленные задачи предполагается следующими средствами: я найду и изучу имеющуюся литературу по данной теме. Отберу информацию наиболее понятную, интересную систематизирую и отредактирую её. Также для поиска информации будут использованы интернет-ресурсы. Теоретические сведения будут дополнены рисунками, фотографиями, таблицами для наиболее интересного и доступного представления реферата. 1. Число как основное понятие

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Существует большое количество определений понятия «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника ЭвдоксаКнидского (около 408 – около 355 гг. до н. э.):

1. «Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц».

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение:

2. «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

3. «Число есть система единиц».

4. «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу.

Число – это основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций.

2. История числа

2.1. Числа начинают получать имена

О том, как появились имена у чисел, ученые узнают, изучая языки разных племен и народов. Например, оказалось, что у нивхов, живущих на Сахалине и в низовьях Амура, числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играет форма предмета, так что по-нивхски в сочетаниях "два яйца", "два камня", "два одеяла", "два глаза" и т. д. числительные различны. Одному русскому слову "два" у них соответствует несколько десятков различных слов. Много различных слов для одного и того же числительного применяют некоторые негритянские племена и племена, живущие на островах Тихого океана.

   И должно было пройти много столетий, а может быть и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применять к предметам любого вида. Вот тогда и появились общие названия для чисел.

Ученые считают, что сначала названия получили только числа 1 и 2. По радио и по телевидению часто приходится слышать: "...исполняет солист Большого театра..." Слово "солист" означает  "певец, музыкант или танцор, который выступает один". А происходит оно от латинского слова "солюс"- один. От этого же латинского слова происходит и «солидарность», то есть единство. Да и русское слово «солнце» похоже на слово «солист»(приложение 1).

Поэтому когда римляне придумывали имя числу 1, они исходили из того, что Солнце на небе всегда одно.

А название для числа 2 во многих языках связано с предметами, встречающимися попарно,- крыльями, ушами и т. д. Но бывало, что числам 1 и 2 давали другие имена. Иногда их связывали с местоимениями "я" и "ты". А были языки, где "один" звучало так же, как "мужчина", а "два"- как "женщина".

   У некоторых племен еще совсем недавно не было других числительных, кроме "один" и "два". А все, что шло после двух называлось "много". Но потом понадобилось называть и другие числа. Ведь и собак у охотника, и стрел у него, и овец у пастуха может быть больше, чем две. И тут придумали замечательный выход:  числа стали называть, повторяя несколько раз названия для единиц и двоек.

Например, на языке некоторых папуасских племен (а живут папуасы на острове Новая Гвинея в Тихом океане) числительное "один" и сейчас звучит "урапун", а числительное "два"- "окоза". Число 3 они назвали "окоза-урапун", а число 4- "окоза-окоза". Так они дошли до числа 6, которое получило имя "окоза-окоза-окоза". А дальше у них шло название- "много" (по-папуасски). И 10 у них "много", и 100 тоже "много".

Позднее другие племена дали особое имя числительному, которое мы называем «три». А так как до того они считали «один», «два», «много», то это новое числительное стали применять вместо слова «много».

Например, в сказках злой царь посылает героя искать Кощея Бессмертного «за тридевять земель, в тридесятое царство».

Иногда числом 3 обозначали весь окружающий человека мир – его делили на земное, подземное и небесное царства. Поэтому число 3 стало у многих народов священным.

Другие народы делили мир по вертикали и по горизонтали. Они знали четыре стороны света – восток, юг, запад и север. У этих народов главную роль играло не число 3, а число 4.

Названия чисел были придуманы очень давно. Скорее всего, отдельные племена стали применять некоторые из этих названий 20-25 тысяч лет назад.

2.2. Живая счётная машина

Для того, чтобы сказать слово "сто", пользуясь папуасскими названиями «урапун» и «окоза», придется пятьдесят раз повторить слово "окоза". Слушателю надоест  это слушать, да и не сможет он понять: повторено слово "окоза" именно пятьдесят раз.

 Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. А в странах, где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Тогда этого практически хватало для большинства людей.

Пальцы оказались настолько тесно связанными со счётом, что на  древнегреческом языке понятие " считать"  выражалось словом "пятерить". Да и в русском языке слово "пять" напоминает "пясть" - часть кисти руки (слово "пясть" сейчас  употребляют редко, но производное от него -"запястье"- часто используют и сейчас).

 А научившись считать по пальцам до десяти, люди сделали следующий шаг вперёд и стали считать десятками. И если одни папуасские племена умели считать лишь до шести, то другие доходили в счёте до нескольких десятков. Только для этого приходилось приглашать сразу много счётчиков. Знаменитый русский исследователь Новой Гвинеи Миклухо-Маклай должен был однажды объяснить папуасам, через, сколько дней вернётся к ним доставивший его корабль "Витязь". Для этого он нарезал кусочки бумаги, а папуасы должны были сосчитать.

 Итак, чтобы сосчитать всего-навсего до тридцати, пришлось работать трём папуасам, при этом они узнали количество десятков, а количество единиц их не заинтересовало.

 Во многих языках слово "два" и "десять" созвучно. Может быть, это объясняется тем, что когда-то слово "десять" означало "две руки". И сейчас есть племена, которые говорят "две руки" вместо "десять" и "руки и ноги" вместо "двадцать". А в Англии первые десять чисел называют общим именем - "пальцы". Значит, и англичане когда-то считали по пальцам.

2.3. Операции над числами

 С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения. Правда, при этом складывались не числа, а совокупности предметов, но операция сложения чисел описывает как раз сложение совокупностей предметов. А когда из собранных орехов часть шла в пищу, люди выполняли вычитание - запас орехов уменьшался. С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Говорили: собрали урожай "сам-двадцать", т. е. в двадцать раз больше собрали, чем посеяли. Наконец, когда добытое мясо животных или собранные орехи делили, поровну, между всеми "ртами", выполнялась операция деления.        Сами названия этих операций показывают, с какими действиями над предметами они связаны. Но должны были пройти тысячелетия, пока люди поняли, что складывать, вычитать, умножать и делить можно не сами совокупности предметов, а числа. Они поняли, что каждый раз, когда кладут рядом два ореха и два ореха, получается четыре ореха, и что это верно и при сложении двух пальм с двумя пальмами, или двух рыб с двумя рыбами. Так люди узнали, что "два плюс два равно четырем". Постепенно накапливая такие знания, они обучались выполнять действия над всё большими и большими числами. Таким путем возникло учение о числах, получившее все больше приложений на практике. 

reftop.ru

Развитие понятия натурального числа | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Рассматривая вопрос формирования понятия натурально­го числа у детей, нужно иметь четкое представление о разви­тии этого понятия в историческом аспекте — филогенезе. Изу­чение истории математики, в частности периода ее зарожде­ния, дает возможность понять основные закономерности возникновения первых математических понятий: о множе­стве, числе, величине, об арифметических действиях, систе­мы счисления и др. и использовать эти закономерности с уче­том передового педагогического опыта и современных иссле­дований по разным проблемам обучения математике.

Как показывают научные данные по истории математи­ки, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практи­ческой деятельностью возникла потребность как-то количе­ственно оценивать совокупности. Сначала количество эле­ментов в множествах не отделялось от самих множеств, вос­принималось и удерживалось в представлении … человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть), а мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно пото­му, что отдельные предметы четко отличались по своим при­знакам.

На этой стадии развития понятие числа представляло со­бой также отдельные числа-свойства и числа-качества конк­ретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии — чисел-свойств.

С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые со­вокупности, но и создавать совокупности определенного ко­личества. Для этого предметы определенной совокупности по одному сопоставлялись непосредственно с предметами ругой совокупности или непосредственно с помощью не­которого эталона — зарубок, узелков, части тела человека и др. Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так практически человек овладевал опе­рацией установления равенства, взаимно-однозначного со­ответствия.

Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствие с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой пере­хода к счету. Однако число как общее свойство равночислен­ных множеств еще не воспринималось. Человек не называл число, а говорил: столько, сколько пальцев на руке, и т.д. Этот период в истории развития натурального числа называ­ется стадией счета на пальцах.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запяс­тью, локтю, плечу и т.д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке. У островитян Торресового пролива счет с помощью частей человеческого тела был возможен до 33. Если сово­купность имела больше 33 элементов, использовали палоч­ки. Именно в этом случае, когда исчерпывалась возмож­ность использования частей тела, начинали пользоваться па­лочками (причем все палочки были приблизительно одинаковые). Это дает нам ключ к пониманию начального назначения такой «живой шкалы». Очевидно, она сначала была нужна не для индивидуализации чисел, выделения каж­дого отдельного числа, а лишь для сравнения, установления взаимно-однозначного соответствия между предметами обе­их совокупностей.

Для проведения арифметических операций человек ис­пользовал камешки или зерна маиса. Число воспринималось как то общее, что имеют между собой равночисленные со­вокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отображаются с по­мощью одной системы, приведенной с ними в соответствие.

Выдающийся русский ученый и путешественник М.М. Миклухо-Маклай (1846—1888) описывает жизнь па­пуасов — жителей Новой Гвинеи, любимый способ счета которых состоял в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, при этом произносит определенный звук, на­пример «бе, бе, бе,…». Досчитав до 5, он говорит «ибон-бе» (рука), потом загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе, бе, …», пока не дойдет до «ибон-али» (две руки). Тогда он идет дальше, пока не дойдет до «самба-али» (две нога). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого.

В процессе развития общества все больше и больше сово­купностей приходилось пересчитывать, простое установле­ние равночисленности и счета на пальцах уже не могло удов­летворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет значительно боль­ших совокупностей.

загрузка…

Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую сис­тему счета можно назвать групповой, или счетом с помо­щью чисел-совокупностей. Идея считать группы была под­сказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встреча­ются на практике постоянными группами (парами, тройками, десятками, пятерками).

У туземцев Флориды «на-куа» означает 10 яиц, «на-бана-ра» — 10 корзин с едой, но отдельно «на», которому бы соответствовало число 10, не используется. На одном из ди­алектов индийцев западной части Канады слово «тха» озна­чает 3 вещи, «тхе» — 3 раза, «тха-тоэн» — в трех местах и др. Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, у них нет. Наличие в определенных совокупностях именно этой части показывает, что люди уже начинают примечать и ото­бражать в своем языке группы, имеющие общие свойства. На этой стадии развития счета не каждой группе приписывается число, а только те группы являются числами-совокупностя­ми, которые часто встречаются в хозяйственной или другой деятельности племени.

Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел. Эту стадию развития числовых представлений пере­жило все человечество. Во всех языках, в том числе и сла­вянском, есть такие грамматические формы, как единич­ная, двойственная и множественная. Слово, которое обозна­чает количество, имеет различное значение в зависимости от того, идет ли речь об одном, двух или большем количестве предметов. В некоторых языках есть особая форма тройствен­ности. Эти речевые формы — пережитки той отдаленной эпохи развития, когда человечеством были освоены только числа «один», «два» и «три».

Под влиянием обмена одна из групп предметов становит­ся мерой для других, своеобразным эталоном. С этой группой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, которая использовалась для сравнения других, постепенно привело к тому, что позднее начала осознаваться количе­ственная сторона этой группы. Количественная характерис­тика группы предметов постепенно приобретает самостоя­тельное значение. Так возникло понятие числа и его назва­ние, т.е. понятие о конкретных числах. Числа использовались, прежде всего, для практических целей людей: счет скота, шкур и др. Постепенно эти числа начали использоваться для пересчитывания некоторых множеств. Так, например, воз­никло слово-число сорок. В русских народных легендах ему принадлежит особенная роль. Корень слова сорок, или соро-чок, тот же самый, что и в слове сорочка. На шубу шло 40 штук соболей. Известно, что соболиные шкуры играли роль единицы ценности. Сорок, или сорочок, соболей составляли целую шубу и также были единицей ценности.

Первые числа были своеобразными «островами», опреде­ленными ориентирами в счете. Счет велся пятерками, десят­ками, дюжинами некоторых предметов, т.е. числа-совокуп­ности были узловыми числами, это название закрепилось в арифметике. Узловые числа — это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные чис­ла, названия. Остальные числа называют алгорифмическими. Они возникли намного позже и совершенно по-другому. Алгорифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соединительные нити между узловыми числами.

Во многих языках в названиях алгорифмических чисел используются специальные слова-классификаторы для ха­рактеристики определенного способа действий с конкрет­ным множеством. Так, в речи индейцев Северной Америки, а также племен Британской Колумбии выкладывание пер­вых двух десятков предметов не сопровождается этими сло­вами-классификаторами. А счет последующих единиц сло­весно оформляется как результат действия. Например, число 26 обозначается так: «на дважды десять я кладу еще шесть». Слова-классификаторы не сопровождают чисел, кратных десяти. Таким образом, эти термины существуют лишь для того, чтобы размещать по разрядам единицы, которые идут за десятками, но не сами десятки.

Операции с числами сначала были не арифметическими, а двигательными. Следы этого сохранились во многих язы­ках, в том числе и в русском языке. Так, числа от одиннад­цати до девятнадцати произносятся как соответствующее число единиц, положенных на десять: один на дцать, пять на дцать и т.д. В этом случае частицу на следует понимать имен­но как положенное на. Позднее возникли арифметические операции.

Постепенно определился последовательный ряд натураль­ных чисел. Основную роль в создании алгорифмических чи­сел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умножение. Особен­но это прослеживается в римской нумерации: VI=5+1; ХС=ЮО-10 и т.д. Образование алгорифмических чисел на основе использования арифметических операций нашло от­ражение в названиях некоторых чисел в украинском, бело­русском, французском и других языках.

Однако числовой ряд на этой стадии еще не был одно­родным и бесконечным. Долгое время он был ограниченным (конечным). Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12, и 40 и др. Наибольшее освоенное число натурального ряда, которое граничило с бесконечностью, часто приобре­тало особый ореол необыкновенного и, очевидно, было ос­новой для возникновения запретов, связанных с этими чис­лами. Некоторые из этих поверий сохранились до настояще­го времени, такими числами были: 7, 13, 40 и др.

Число 40 в легендах многих восточных народов играет особую роль. Выражение сорок сороков, часто используемое в русском языке, является обозначением очень большого, бесконечно большого числа.

Что касается счета сороками, то есть и еще одно предпо­ложение, что это исходит от счета по суставам пальцев. Си­бирские звероловы считали большим пальцем по двум сус­тавам остальных четырех пальцев. Таким образом, досчитыва­ли до сорока. Использование третьего сустава в этом процессе считалось неудобным.

Постепенно узловые и алгорифмические числа заполняли ряд, который является бесконечным. Натуральных чисел бес­конечно много, среди них нет наибольшего. Какое бы боль­шое число мы ни взяли, если прибавим к нему единицу, то получим еще большее число. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом ос­мыслении арифметики.

refac.ru

Смотрите также

• 
  Реферат анатомия и физиология человека
• 
  Реферат по экономике нобелевские лауреаты
• 
  Реферат по информатике 8 класс
• 
  Формирование здорового образа жизни реферат
• 
  Я и мое здоровье реферат
• 
  Реферат юрта на русском языке
• 
  Реферат методы обследования гинекологических больных
• 
  Реферат искусство франции 19 века
• 
  Методы обследования гинекологических больных реферат
• 
  История развития теоретической механики реферат
• 
  Возникновение и сущность коучинга реферат