Метод проекций
Правила построения изображений, излагаемые в курсе начертательной геометрии, основаны на методе проекций. Рассмотрение метода проекций начинают с построения проекции точки, на примере которого рассматривают все базовые понятия и правила проецирования.
1.1. Центральное, параллельное и ортогональное проецирование
Наиболее общим методом проецирования является центральное проецирование (рис.1.1а). Сущность центрального проецирования заключается в следующем: пусть даны плоскость П и точка S (SÏП). Возьмем произвольную точку А (АÏП, АÏS). Через заданную точку S и точку А проводим прямую SА и отмечаем точку А0, в которой эта прямая пересекает плоскость П. Плоскость П называют плоскостью проекций , точку S центром проецирования, полученную точку А0 – центральной проекцией точки А на плоскость П, прямую SА – проецирующей прямой. Аналогично можно получить проекцию любой другой точки.
Частным случаем центрального проецирования является параллельное (рис. 1.1б), когда центр проецирования находится в бесконечности. Тогда проецирующие лучи параллельны друг другу.
Еще более частный случай, при котором проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.1в), называется ортогональным проецированием.
| |
Рис. 1.1. Методы проецирования: а) центральное; б) параллельное; в) ортогональное.
1.2. Эпюр Монжа или комплексный чертеж
Проекция геометрического объекта на одну плоскость не дает полного и однозначного представления о самом геометрическом объекте. Рассмотрим проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.2), одна из которых расположена горизонтально, а две другие вертикально.
Тогда плоскость П1 называется горизонтальной плоскостью проекций, П2 - фронтальной плоскостью проекций (т.к. она расположена перед нами по фронту), П3 - профильной плоскостью проекций (расположена в профиль по отношению к наблюдателю). Соответственно А1 - горизонтальная проекция точки А, А2 -фронтальная проекция точки А, А3 - профильная проекция точки А. Оси ОХ, ОY, OZ называются осями проекций. Они аналогичны координатным осям декартовой системы координат с той лишь разницей, что ось ОХ имеет положительное направление не вправо, а влево.
Несмотря на наглядность, с чертежом, изображенным на рис 1.2а работать неудобно, т.к. плоскости на нем показаны с искажениями. Удобнее выполнять различные построения на чертеже, где плоскости проекций расположены в одной плоскости, а именно, плоскости чертежа. Для этого надо горизонтальную плоскость проекций развернуть вокруг оси ОХ на 90° и совместить с фронтальной так, чтобы передняя пола горизонтальной плоскости ушла вниз, а задняя вверх. После чего профильную плоскость проекций развернуть до совмещения с фронтальной. Для этого ее нужно развернуть на 90° вокруг оси OZ, причем переднюю полу плоскости развернем вправо, а заднюю влево. Этот метод предложил Г. Монж. В результате полученное изображение называют трехкартинный комплексный чертеж (эпюр Монжа), рис. 1.2б. Так как ось ОY разворачивается вместе с двумя плоскостями П1 и П3, то на комплексном чертеже ее изображают дважды.
Рис. 1.2. Построение эпюра Монжа:
а) пространственная картина расположения проекций точки А; б) трехкартинный комплексный чертеж
Из этого следует важное правило взаимосвязи проекций. А именно, исходя из рис. 1.2а очевидно А1Аx = ОАy = АzА3. Следовательно, это правило можно сформулировать так: расстояние от горизонтальной проекции точки до оси ОХ равно расстоянию от профильной проекции точки до оси ОZ. Тогда по двум любым проекциям точки можно построить третью.
1.3. Построение проекций точки по ее координатам
Если заданы координаты какой-либо точки А (x, y, z), тогда проекции точки строят следующим образом: сначала откладывают абсциссу по оси ОХ; затем проводят вертикальную линию; далее на ней откладывают ординату по оси OY и аппликату по оси OZ. По оси OY получают горизонтальную проекцию А1, по оси OZ - фронтальную А2. Профильную проекцию А3 строят по А1 и А2 (либо по координатам). Например, построим проекции точек А (10, 20, 30).Построения показаны на рис. 1.3.
Необходимо помнить, что положение горизонтальной проекции определяется координатами х и y, фронтальной - координатами х и z, профильной – координатами y и z. Тогда ордината y всегда характеризует положение горизонтальной проекции, а аппликата – фронтальной.
Рис.1.3. Взаимосвязь координат точки и ее проекций: а) вид в аксонометрии; б) комплексный чертеж.
Исходя из тех же положений, решается обратная задача – определение координат точки по ее проекциям. Если на комплексном чертеже изображены проекции точки, тогда, измерив соответствующие расстояния, определяем ее координаты (см. рис. 1.3б). Причем для определения всех трех координат достаточно двух проекций, т.к. любая пара проекций определяет три координаты.
Прямые частного и общего положения
2.1.1. Прямые уровня
Прямой уровня называется прямая, параллельная одной из плоскостей проекций. Поскольку плоскостей проекций три, то и прямых уровня тоже три.
Исходя из положения прямых уровня в пространстве, их проекции выглядят как показано на рис. 2.1.
а)Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонтальной прямой уровня или горизонталью и обозначается h.
б) Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтальной прямой уровня или фронталью и обозначается f.
в) Прямая, параллельная профильной плоскости проекций П3, называется профильной линией уровня и обозначается p.
Рис. 2.1. Линии уровня на комплексном чертеже: а) горизонтальная; б) фронтальная; в) профильная.
Горизонталь характерна тем, что ее фронтальная проекция параллельна оси ОХ. Фронталь характерна тем, что ее горизонтальная проекция параллельна оси ОХ.
Очевидно, что если прямая параллельна какой-либо плоскости, то на эту плоскость она проецируется в натуральную величину (без искажений). Поэтому h2, f2, p3 – это натуральная величина соответствующих прямых h, f, p.
a - угол наклона прямой уровня к П1,
b - угол наклона прямой уровня к П2,
g - угол наклона прямой уровня к П3.
2.1.2. Проецирующие прямые
Проецирующей прямой называется прямая перпендикулярная одной из плоскостей проекций, а следовательно, параллельная двум другим плоскостям проекций.
Исходя из положения проецирующих прямых в пространстве, их проекции выглядят как показано на рис. 2.2.
а)Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонтально-проецирующей прямой и обозначается i.
б)Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтально-проецирующей прямой и обозначается j.
в)Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций П3, называется профильно-проецирующей прямой обозначается r.
Рис. 2.2. Проецирующие прямые на комплексном чертеже: а) горизонтально-проецирующая; б) фронтально-проецирующая; в) профильно–проецирующая.
У проецирующих прямых две проекции параллельны плоскостям проекций. Поэтому i2, i3, j1, j3, r1, r2 – это натуральные величины соответствующих прямых i, j, r.
2.1.3. Прямая общего положения
Прямой общего положения называется прямая, занимающая общее положение в пространстве, т.е. не параллельная ни к одной из плоскостей проекций, а следовательно, расположенная к каждой из них под углом.
Рис. 2.3. Прямая общего положения на комплексном чертеже.
Естественно, что ни одна из проекций прямой общего положения не показывает ее натуральную величину, а также угол наклона к одной из плоскостей проекций (рис. 2.3).
2.2. Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона его к плоскостям проекций методом прямоугольного треугольника
Одним из методов определения натуральной величины отрезка прямой является метод прямоугольного треугольника, который можно сформулировать так: натуральной величиной отрезка является гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов которого служит горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим – разность расстояний от граничных точек фронтальной (горизонтальной) проекции отрезка до оси ОХ. При этом углом наклона отрезка к горизонтальной (фронтальной) плоскости проекции является угол между гипотенузой прямоугольного треугольника и горизонтальной (фронтальной) проекцией отрезка.
В соответствии с этим построения необходимо выполнять в следующей последовательности. Из любой точки (например, D1) отрезка С1D1 проведем перпендикуляр к нему (рис. 2.4.).
На нем, отложив отрезок длиной Dz, получим точку D*. После соединения точек D* и С1 получаем прямоугольный треугольник С1D1D*, в котором С1D* - натуральная величина отрезка СD, a - угол наклона отрезка СD к плоскости П1. Для определения угла наклона к плоскости П2 проведем аналогичные построения на фронтальной проекции.
Рис. 2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой способом прямоугольного треугольника.
2.3. Взаимное положение прямых в пространстве. Конкурирующие точки
Прямые в пространстве могут занимать по отношению друг к другу одно из трех положений: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) скрещиваться, т.е. не пересекаться, но и не быть параллельными. Рассмотрим на рис. 2.5 как при этом располагаются их проекции. Поскольку профильные проекции прямых можно построить по двум имеющимся, то на рис. 2.5 ограничимся двухкартинным комплексным чертежом.
В соответствии с одним из свойств ортогонального проецирования, если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны (рис. 2.5а). Если прямые пересекаются, то их проекции пересекаются, причем точки пересечения проекций лежат на одной линии проекционной связи (А – точка пересечения прямых с и d). Если прямые скрещиваются, то их проекции пересекаются, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии проекционной связи (на рис. 2.5в точки С1 и В2) не лежат на одной линии проекционной связи. Тогда, следуя по вертикальной линии связи от точки С1, получим на каждой из прямых n2 и m2 соответственно две проекции: точки С2 и другой точки D2, а следовательно, на пересечении n1 и m1 лежат две точки С1 и D1, слившиеся в одну.
Точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими.. Точки, горизонтальные проекции которых совпадают, называются горизонтально–конкурирующими (на рис. 2.5в см. точки C и D), а если совпадают фронтальные проекции, то точки называются фронтально-конкурирующими (на рис. 2.5в - точки В и Е).
При этом конкурирующие точки расположены на разном расстоянии от плоскостей проекций. Фронтально-конкурирующая точка, расположенная ближе к П2, будет закрыта от наблюдателя точкой, расположенной дальше от П2, а следовательно, ближе к наблюдателю. Значит, ее горизонтальная проекция расположена дальше от ОХ. Тогда в нашем примере точка Е – видимая, а точка В – невидимая. Аналогично С – видимая , а D – невидимая. Таким образом, видимой является точка, у которой проекция расположена дальше от оси ОХ. Чтобы различать точки на чертеже, невидимую заключают в круглые скобки.
Рис. 2.5. Двухкартинный комплексный чертеж прямых, занимающих по отношению друг к другу следующее положение: а) а êêb; б) с Ç d; в) n ¸ m
poznayka.org
Количество просмотров публикации Плоскости общего и частного положения - 503
Способы задания плоскости. Комплексный чертеж плоскости
Рисунок 9
б) Прямые частного положения - ϶ᴛᴏ прямые, занимающие по отношению к плоскостям проекций особое положение, ᴛ.ᴇ. либо параллельные, либо перпендикулярные плоскостям проекций.
Первый подкласс прямых частного положения – прямые уровня. Это прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций.
Горизонталь – прямая параллельная горизонтальной плоскости П1. Комплексный чертёж такой прямой изображён на рисунке 10.
Рисунок 10
Фронтальная проекция горизонтали всегда параллельна прямой Х, а угол между осью Х и горизонтальной проекцией горизонтали составляет угол между прямой и фронтальной плоскостью проекций. Символическая запись: h // П1; a = Ðh П2.
Фронталь – прямая параллельная фронтальной плоскости П2. Комплексный чертёж фронтали изображён на рисунке 11.Рисунок 11
Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси Х, а угол b - угол наклона фронтали к горизонтальной плоскости проекций; f 2 // П2,
b = Ðf1П1.
Профильная прямая - ϶ᴛᴏ прямая, параллельная профильной плоскости П3. Комплексный чертёж профильной прямой изображён на рисунке 12. Горизонтальная и фронтальная проекции профильной прямой перпендикулярны оси Х, а углы a и b - соответственно, углы наклона прямой к плоскостям П1 и П2.
Рисунок 12.
Рисунок 12
Истинная величина прямых уровня или, так называемая натуральная величина, отображена на тех плоскостях, которым параллельны эти прямые.
Второй подкласс прямых частного положения – проецирующие прямые. Это прямые, перпендикулярные какой-либо плоскости проекций. К таким прямым относятся: горизонтально–проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая прямые.
Их комплексные чертежи изображены соответственно на рисунке 13 (а, б, в).
а б в
Рисунок 13
Натуральная величина горизонтально-проецирующей прямой – её фронтальная проекция, фронтально-проецирующей прямой – её горизонтальная проекция, а профильно-проецирующей прямой – её горизонтальная и фронтальная проекции.
а) три точки, не лежащие на одной прямой;
Рисунок 14
б) прямая и точка, не лежащая на ней;
Рисунок 15
Рисунок 16
г) две пересекающиеся прямые;
Рисунок 17
д) плоская фигура (многоугольник, круг и т.д.).
Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
Рисунок 18
Плоскости частного положения аналогично прямой подразделяются на плоскости уровня и проецирующие плоскости. На рисунке 19 (а,б,в) изображены, соответственно, горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости. Причём горизонтальная плоскость задана двумя параллельными прямыми, фронтальная и профильная плоскости – двумя пересекающимися прямыми.
Рисунок 19
На рисунке 20 (а,б,в) показаны проецирующие плоскости. Горизонтально-проецирующая (рис. 20а) задана треугольником, фронтально-проецирующая (рис. 20б) - параллельными прямыми и профильно-проецирующая (рис. 20в) – пересекающимися прямыми.
А б в
referatwork.ru
Прямые частного положения – это прямые, которые либо параллельны (табл. 3.1), либо перпендикулярны одной из плоскостей проекций (табл. 3.2).
Прямые уровня
Всякую линию, параллельную плоскости проекций, называют линией уровня. В начертательной геометрии различают три основные линии уровня: горизонталь, фронталь и профильную линии (табл. 3.1).
Таблица 3.1
| Определение | Наглядное изображение | Комплексный чертеж |
| Горизонталью называют всякую линию, параллельную горизонтальной плоскости p1: A2B2 || Оx; A3B3i || y. A1B1 – натуральная величина отрезка, b – угол наклона к p2 | | |
| Фронталью называют линию, параллельную фронтальной плоскости p2: A1B1i || Оx; A2B2 – натуральная величина; А3B3 i || z;
| | |
| Профильной линией называют линию, параллельную профильной плоскости p 3; A2B2i || z; A1B1i|| y; A3B3 – натуральная величина отрезка,
| | |
Проецирующие прямые
Проецирующими прямыми называют прямые, расположенные перпендикулярно к плоскостям проекций p1, p2, p3. Различают три основные проецирующие прямые: горизонтальную, фронтальную и профильную.
Если прямая перпендикулярна какой-либо из плоскостей проекций, то на эту плоскость она проецируется в виде точки. Две другие ее проекции параллельны осям и равны натуральной величине отрезка (табл. 3.2).
Таблица 3.2
| Определение | Наглядное изображение | Комплексный чертеж |
| Горизонтально проецирующей прямой называют прямую, перпендикулярную к плоскости p1; A2B2 – натуральная величина AB, в плоскости p1 отрезок АВ проецируется в точку А1 | | |
| Фронтально проецирующей прямой называют прямую, перпендикулярную к плоскости p2; AB || p1 и AB | | |
| Профильно проецирующей прямой называют прямую, перпендикулярную к плоскости p3; AB || p1 и AB || p2, А1В1 и А2В2 – натуральные величины отрезка АВ, А3В3 проецируется на p3 в точку | | |
При сравнительном анализе изображений прямых частного положения на комплексном чертеже (табл. 3.1 и 3.2) следует:
1. Прямая уровня проецируется в натуральную величину на ту плоскость, которой она параллельна. Две остальные ее проекции обязательно параллельны осям проекций.
2. Проекция прямой уровня, к той плоскости, которой она параллельна, составляет с осями проекций углы, равные углам наклона линии уровня с плоскостями проекций.
3. Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то ее проекцией на эту плоскость является точка, а вторая проекция располагается перпендикулярно осям проекций.
studfiles.net
Прямые общего и частного положения Количество просмотров публикации Прямые общего и частного положения - 194
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Прямые общего и частного положения |
| Рубрика (тематическая категория) | Образование |
ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ
Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.
1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций принято называть прямой общего положения (рис. 12).
| | | ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 12. Прямая общего положения |
2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. Учитывая зависимость оттого, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:
2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.13). Для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство
zA=zB Þ A2B2 // 0x; A3B3 // 0y
| | | ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 13. Горизонтальная прямая |
2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называютсяфронтальными (рис.14).
yA=yBÞ A1B1 0x, A3B3 z
| | | ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 14. Фронтальная прямая |
2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис.15).
xA=xB Þ A1B1 y, A2B2 0z
| | | ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 15. Профильная прямая |
3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. Учитывая зависимость оттого, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:
3.1. Фронтально проецирующая прямая - АВ (рис. 16).
| | | ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 16. Фронтально проецирующая прямая |
3.2.Профильно проецирующая прямая - АВ (рис. 17)
| | | ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 17. Профильно-проецирующая прямая |
3.3. Горизонтально проецирующая прямая - АВ (рис.18)
| | | ||
| а) модель | б) эпюр | ||
| Рисунок 18. Горизонтально-проецирующая прямая |
Прямые общего и частного положения - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Прямые общего и частного положения" 2014, 2015.
Проецирование прямой и плоскости. Прямые и плоскости частного и общего положения 1. Проецирование прямой. Комплексный чертёж прямой Проекцией прямой, которая не перпендикулярна плоскости проекций, является прямая. Её положение определяется двумя точками,... [читать подробнее].
referatwork.ru
Прямые общего положения наклонены ко всем плоскостям проекций и пересекают их. Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. Иногда бывает необходимо их определять. Пусть на чертеже дана прямая а, определим ее следы (рис. 3.1).
Чтобы определить точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций – горизонтальный след, надо продолжить фронтальную проекцию прямой аαдо пересечения с осьюX, провести перпендикуляр к оси X, продолжить горизонтальную проекцию прямой а1до пересечения с перпендикуляром. Горизонтальный след обозначается буквой Н. Необходимо обратить внимание на то, что сама точка Н присутствует на чертеже, так какZ= 0, т. е. точка принадлежит плоскости П1.
Ч
тобы определить фронтальный следF, надо продолжить горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью X, провести перпендикуляр к оси X, продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с перпендикуляром. ТочкаFтакже присутствует на чертеже и совпадает со своей фронтальной проекцией, так как координатаY= 0.
Прямые частного положения расположены параллельно плоскостям проекций или перпендикулярно им.
Прямые, параллельные плоскостям проекций П1, П2, П3, называются горизонталью (h), фронталью (f) и профильной прямой (p) (рис. 3.2).
а б в
Рис. 3.2
Прямые, перпендикулярные плоскости проекций П1, П2, П3, называются горизонтально (а), фронтально (б) и профильно (в) проецирующими (рис. 3.3).
а б в
Рис. 3.3
Плоскости общего положения наклонены ко всем плоскостям проекций и пересекают их. Линии пересечения плоскости с плоскостями проекции называются следами. Часто плоскость задают следами. Чтобы перейти к заданию плоскости следами, необходимо определить следы двух прямых, лежащих в этой плоскости. Пусть дана плоскость треугольником АВС. Определим следы этой плоскости (рис. 3.4).
Сначала определим фронтальный след плоскости. Для этого построим фронтальные следы двух сторон треугольника – АВ и ВС. Через полученные точки FиF' проводим фронтальный след плоскостиf 0до пересечения с осьюXи получаем точку схода следовS, из которой пойдет и горизонтальный след плоскости. Для этого построения достаточно определить горизонтальный след одной какой-либо прямой (например, АС). Тогда черезSиHпроводимh0– горизонтальный след плоскости. След плоскости можно строить, проводя его через один след какой-то прямой параллельно направлению линии уровня (горизонтали или фронтали), так как горизонталь и фронталь – это линии, параллельные горизонтальному и фронтальному следам плоскости соответственно.
Плоскости частного положения расположены параллельно плоскостям проекции или перпендикулярны им.
Плоскости, параллельные плоскостям проекций П1, П2, П3, называют плоскостями горизонтального (а), фронтального (б) и профильного (в) уровня (рис. 3.5).
а б в
Рис. 3.5
Плоскости, перпендикулярные плоскости проекций П1, П2, П3, называются горизонтально (а), фронтально (б) и профильно (в) проецирующими соответственно (рис. 3.6).
а б в
Рис. 3.6
ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
В начертательной геометрии часто возникает необходимость решать практические задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических элементов относительно друг друга, например, нужно определить принадлежность элементов, параллельность, пересечение и т. д. Такие задачи называются позиционными, а решение их основано на свойствах ортогонального проецирования. Рассмотрим решение названных задач в последовательности от простых элементов к сложным, т. е. от точек – к прямым и плоскостям.
studfiles.net
– угол наклона к p1
– угол наклона к p1; 
– угол наклона к p 2
В1
p2, А1В1 – натуральная величина АВ, в плоскости p2 отрезок проецируется в точку А2
В2
