Магнитогорский Государственный технический университет
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Формула парабол (формула симпсона)
Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Магнитогорск –1999
е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.
Формула парабол (формула Симпсона)
Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0 ,x1 ] и [x1 ,x2 ] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0 ,y0 ), M1 (x1 ,y1 ), M2 (x2 ,y2 ) и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид
y = Ax2 + Bx + C.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Если криволинейная трапеция ограничена параболой
y = Ax2 + Bx + C,
осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна
S = h/3 (y0 + 4y1 + y2 ), (☺)
где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине отрезка
|
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
 |
Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение интеграла.
Примеры
Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные интегралы:
И
Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении).
Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для вычисления любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить границы определенного интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию в строке (***).
Были получены следующие ответы:
 | |
 | |
При n = 20.
Приложение
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 0 '(*)
b = 1 '(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = Sqr(1 + (x ^ 4)) '(***)
End Function
|
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 2 '(*)
b = 5 '(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = 1 / (Log(x)) '(***)
End Function
www.yurii.ru
Магнитогорский Государственный технический университет
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Формула парабол (формула симпсона)
Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Магнитогорск –1999
е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.
Формула парабол (формула Симпсона)
Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1 ] и [x1 ,x2 ] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0), M1 (x1 ,y1 ), M2 (x2 ,y2 ) и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид
y = Ax2 + Bx + C.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Если криволинейная трапеция ограничена параболой
y = Ax2 + Bx + C,
осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна
S = h/3 (y0+ 4y1 + y2 ), (☺)
где у0и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине отрезка
Пользуясь формулой (☺), мы можем написать следующие приближенные равенства (h=Δx): Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение:Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение интеграла.
Примеры
Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные интегралы:
И
Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении).
Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для вычисления любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить границы определенного интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию в строке (***).
Были получены следующие ответы:
При n = 20.
Приложение
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 0 '(*)
b = 1 '(**)
t = True
Do
n = InputBox(«Введите четное число n», «Запрос»)
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b — a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n — 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, «Результат»
End Sub
Function f(x) As Double
f = Sqr(1 + (x ^ 4)) '(***)
End Function
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 2 '(*)
b = 5 '(**)
t = True
Do
n = InputBox(«Введите четное число n», «Запрос»)
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b — a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n — 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, «Результат»
End Sub
Function f(x) As Double
f = 1 / (Log(x)) '(***)
End Function
www.ronl.ru
Формула парабол (формула симпсона)
Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.Магнитогорск –1999
е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже. Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией. Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет видy = Ax2 + Bx + C.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Если криволинейная трапеция ограничена параболойy = Ax2 + Bx + C,
осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна
S = h/3 (y0 + 4y1 + y2), (☺)
где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине отрезка
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение интеграла.
Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные интегралы:
ИДля вычисления данных интегралов мною были написаны специальные программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении).
Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для вычисления любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить границы определенного интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию в строке (***).
Были получены следующие ответы:
При n = 20.
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 0 '(*)
b = 1 '(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = Sqr(1 + (x ^ 4)) '(***)
End Function
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 2 '(*)
b = 5 '(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = 1 / (Log(x)) '(***)
End Function
bukvasha.ru
