Слайд 1
«В мире положительных и отрицательных чисел» Авторы работы: Кулакли Алёна Хасаншина Алия ГОУ СОШ № 735Слайд 2
Что такое отрицательные числа? Наглядно представить себе дробь может каждый: для этого достаточно посмотреть на разрезанные арбуз или на огород, разделенный на грядки. Но как представить число – 2? Ведь нельзя ни отмерить – 2 м ткани, ни отрезать – 2 куска хлеба… Зачем же нужны такие странные числа с ещё более странными правилами действий над ними?
Слайд 3
Итак, давайте попробуем разобраться: 1. Зачем нужны отрицательные числа? 2. Когда и где они появились? 3. Какими свойствами обладают? 4. Где находят применение? 5. С чем ассоциируются?
Слайд 4
Зачем нужны отрицательные числа?
Слайд 5
Существует много вещей, которые могут как увеличиваться, так и уменьшаться. Если на товар большой спрос, предприятие увеличивает план по его выпуску, а если товар не пользуется спросом, то план приходится уменьшать. При обработке детали на станке ее масса уменьшается, а если к ней приваривают другую деталь, то масса увеличивается. Увеличивается и уменьшается с течением времени температура воздуха и т.д.
Слайд 6
Задача Сейчас отцу 55 лет, а сыну 31 год. Через сколько лет отец будет вдвое старше сына? Решение: Пусть через х лет отец будет вдвое старше сына, тогда отцу будет (х+55) лет, а сыну (х+31)лет. Получаем уравнение: 2(х+31)=х+55 2х+62=х+55 2х – х = 55 – 62 х = – 7 Ответ: семь лет назад отец был вдвое старше сына.
Слайд 7
Вывод: Положительные и отрицательные числа служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно (+) , а если она убывает, то изменение называют отрицательным (–) .
Слайд 8
Немного истории
Слайд 9
Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бессмысленными.
Слайд 10
Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов. Брахмагупта VII век “…имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму”.
Слайд 11
В Древнем Египте, Вавилоне и Древней Греции отрицательные числа не прижились. Знаменитый Диофант Александрийский ( III век до н.э.) утверждал, что уравнение 4x+20 = 0 – абсурдно. Диофант Александрийский
Слайд 12
В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи), который тоже ввёл их для решения финансовых задач с долгами - в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (1170 – 1250)
Слайд 13
До XVII века отрицательные числа были “в загоне” и даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0, ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными… Блез Паскаль (1623–1662)
Слайд 14
Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского ученого Рене Декарта. Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел - ввел координатную прямую (1637г.). Рене Декарт (1596 - 1650)
Слайд 15
Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке выдающимся ирландским математиком Уильямом Гамильтоном и немецким ученым Германом Грассманом. Уильям Гамильтон (1806 – 1865) Герман Грассман (1809 – 1877)
Слайд 16
Немного теории
Слайд 17
Расположение чисел на координатной прямой
Слайд 18
Сравнение чисел любое положительное число больше нуля любое отрицательное число меньше нуля любое положительное число больше отрицательного Пример: 7 > 0; - 4 - 4 .
Слайд 19
Модуль числа Пример: | 5 | = 5 ; | - 4 | = 4; | 0 | = 0.
Слайд 20
Противоположные числа Пример: - 2 и 2 – противоположные числа, т.к. они имеют разные знаки и |- 2| = |2|.
Слайд 21
Сложение чисел Пример: 5 + 7 = 12 - 4 + 8 = + (8 – 4) = 4 - 2 + 2 = 0 -3 + (- 2) = - 5 - 8 + 5 = - (8 – 5) = - 3 противоположные числа дают в сумме 0
Слайд 22
Вычитание чисел
Слайд 23
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел Уистен Оден (1809 – 1877) английский поэт «Минус на минус – всегда только плюс. Отчего так бывает, сказать не берусь».
Слайд 24
Может ли число менять знак?
Слайд 25
Где мы применяем положительные и отрицательные числа?
Слайд 26
Термометр холодно тепло ( - ) ( + )
Слайд 27
Шкала времени … Млн. лет до н.э. … XIV век до н.э. XIV век н.э. … XVI век н.э. … XX век н.э. … До нашей эры ( - ) Наша эра ( + )
Слайд 28
Три состояния воды ( - ) ( + )
Слайд 29
Медицина: близорукость и дальнозоркость
Слайд 30
Высота и глубина + 0 -
Слайд 31
Отрицательные числа появились значительно позже положительных, отрицательными числами обычно обозначали долг. Наверно, поэтому на подсознательном уровне человек воспринимает положительное – как «нечто хорошее», а отрицательное – как «нечто плохое». Судите сами:
Слайд 32
Убытки и прибыль
Слайд 33
Отрицательные и положительные эмоции
Слайд 34
Деградация и развитие
Слайд 35
Добро и зло
Слайд 36
Война и мир
Слайд 37
Давайте подумаем… И в заключении нашей работы мы хотим предложить Вам небольшое задание: попробуйте найти в тексте, напечатанном на следующей странице, положительные и отрицательные величины и… сделайте выводы.
Слайд 38
«…Еще не так давно Аральское море было четвертым по величине озером в мире, славилось богатейшими природными запасами, а зона Приаралья считалась процветающей и биологически богатой природной средой. Уникальная замкнутость и разнообразие Арала не оставляли никого равнодушным. И неудивительно, что озеро получило такое название. Ведь слово " арал " в переводе с тюркского языка означает "остров". Однако из-за неразумной деятельности "властелина природы" - человека, особенно в последние десятилетия, ситуация резко изменилась. Уже к 1995 году море потеряло три четверти водного объема, а площадь поверхности сократилась более чем наполовину. Ныне обнажилось и подверглось опустыниванию свыше 33 тысяч квадратных километров морского дна. Береговая линия отступила на 100-150 километров. Соленость воды возросла в 2,5 раза. А само море разделилось на две части - Большой Арал и Малый Арал. Одним словом, Арал высыхает, Арал умирает…»
Слайд 39
Аральское море Подумаем?... ( - ) ( + )
nsportal.ru
«Жилевская СОШ»
Реферат«Отрицательные числа в прошлом и в наши дни»
Ученика 6 Б классаОвчинникова Вадима Романовича
Учитель Ефремова Ирина Александровна
2016г.
СодержаниеВведение …………………………………………………………………… 3
Глава 1 История возникновения отрицательных чисел…………………. 4
Глава 2 Применение отрицательных чисел……………………………….82.1 Отрицательные числа в истории2.2 Отрицательные числа в биологии2.3 Отрицательные числа в физике2.4 Отрицательные числа в географии
Заключение ………………………………………………………………. ..11
Список литературы ……………………………………………………… ..12
Введение
Великий мыслитель Платон, однажды, осознав всю значимость чисел в повседневной жизни, сказал: « Мы…никогда бы не стали разумными, если бы исключили число из человеческой природы». Тогда, он мог только предполагать, как далеко продвинется человечество в своем стремлении «приручить» числа. И, наверное, очень бы удивился, узнав, что однажды во всех школах мира будут изучать и применять на практике отрицательные числа. До того как познакомиться с отрицательными числами в моем понимании самым маленьким числом являлся 0 (нуль), т.е. «ничего». И вот для того, чтобы понять суть отрицательных чисел я решил перелистать школьные учебники и кучу дополнительной литературы, в которой я нашел много интересной информации для написания реферата.
Моя тема называется «Отрицательные числа в прошлом и в наши дни». Некоторые факты из истории помогут понять, какой тернистый путь прошли отрицательные числа, до тех пор, пока не заняли свое место в науке.
Теоретическая часть покажет азы применения отрицательных чисел и раскроет секреты применения в теории.
В практической части раскрою применением отрицательных чисел в истории, математике, географии и биологии.
Цель работы:Изучить историю возникновения отрицательных чисел, и исследовать применение отрицательных чисел.
Задачи:изучить историю происхождения и толкования отрицательных чисел;
найти отрицательные числа в нашей жизни и выяснить, какую роль они играют;исследовать применение отрицательных чисел в физике, географии, истории и биологии.
Объектом исследования является число. Методом исследования – чтение и анализ используемой литературы и наблюдения.
Глава 1. История возникновения отрицательных чисел
История возникновения отрицательных чисел очень давняя и долгая. Так как отрицательные числа являются чем-то эфемерным, ненастоящим, люди долгое время не признавали их существования.
Все началось в Китае, примерно во II веке до н.э. Возможно, в Китае их знали и раньше, но первое упоминание в книге «Математика в девяти главах» китайского ученого Чжан Цань относится именно к тому времени. Там стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом положи-тельные называли «имуществом». Чжан Цань в своей книге проводит правила действий с отрицательными числами. Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличии от положительных. Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные - «фу»; изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел - цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически пользовался отрицательными числами, рассматривая их как «вычитаемые», а положительные как «прибавляемые».
Индийский математик Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: “Сумма двух имуществ есть имущество”, “сумма двух долгов есть долг”, “сумма имущества и долга равна их разности” и т. д. . В древности индийские ученые использовали отрицательные числа в торговых расчетах. Если вы имеете 3000 рупий и покупаете товар на 1000 рупий, то у вас остается 3000 – 1000 = 2000 рупий. Но если вы имеете 3000 рупий и покупаете товар на 5000 рупий, то у вас образуется долг 2000 рупий. Поэтому, в этом случае считали, что совершается вычитание 3000 – 5000, результатом является число 2000 со знаком «минус», означающее «две тысячи долга». Таким образом, – 2000 это отрицательное число и в данном случае оно указывает на то, что у вас образовался долг 2000 рупий. В V-VI веках отрицательные числа стали использоваться достаточно широко в Китае и Индии. Правда, в Китае к ним, все-таки относились осторожно, старались их применение свести к минимуму, а в Индии, напротив, они использовались очень широко. В Древности, например, в Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа не использовали вовсе. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет.
Так и в Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля — пустоты. В XVII такой знаменитый ученый как Паскаль считал, что если из ноля вычесть какое-либо положительное число, то в результате получится ноль. В явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно, навыворот».Отрицательные числа он называл «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего»,положительные он назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом!
Впервые в Европе свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи). И описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году. В Западной Европе отрицательные числа начинают использоваться примерно лишь с XIII в. При этом они обозначались словами или сокращенными словами как наименования в именованных числах. Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения.
История возникновения отрицательных чисел заканчивается в XIX веке когда Уильям Гамильтон и Герман Грассман создали полную теорию отрицательных чисел. С этого момента начинается история развития данного математического понятия.
Введение отрицательных чисел было связано с необходимостью развития математики как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательных чисел возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. В индии еще в 6-11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время. В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Французского математика Р.Декарта(1596 – 1650), давшего геометрическое истолкование отрицательным числам как направленных отрезков. В 1637 году он ввел «координатную прямую».Координатной прямой называют прямую, у которой задано начало отсчета (точка O), единичный отрезок и стрелкой указано положительное направление.
Начало отсчета (или начало координат) — точка O изображает 0 (нуль). Само число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от отрицательных.
Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.
Чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого Чжан Цаня до Декарта. С трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. Как ни старались ученые избегать их, все же удавалось это им не всегда. Жизнь ставила перед наукой новые и новые задачи, и все чаще и чаще задачи эти приводили к отрицательным решениям и в Китае, и в Индии, и в Европе. Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.
Глава 2. Применение отрицательных чиселОтрицательные числа в истории.Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счет лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В нашей стране он введен царем Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождения Христова, мы называем НАША ЭРА
(пишем сокращенно Н.Э.)
Отрицательные числа в биологии.Отрицательные числа в биологии выражают патологию глаза. Для того, чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы. Положительные числа означают дальнозоркость. Используются отрицательные числа для обозначения групп крови – резус-положительная и резус-отрицательная, для записи результатов анализов.
Отрицательные числа в физике.Положительные и отрицательные числа помогают нам определить температуру воздуха.
В нашей жизни нам часто приходилось встречаться со знаками «+»и «-»,но мы не задумывались над тем, что они означают. Например, меняя батарейку в часах или в пульте управления машинкой, мы ставили ее так, чтобы «+»был с «+»,а «-» с «-».Это объясняется тем, что существует два вида, два сорта электрических зарядов – положительные и отрицательные.
Отрицательные числа в географии.Высоту гор и глубину морей тоже можно записать с помощью положительных и отрицательных чисел.
Положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря; отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря.
Заключение
В своей работе я исследовал историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделал вывод:
1. Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать всё новые виды чисел.
2. При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельстваа) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вести к противоречиям;б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.
Литература.1.Вигасин А.А., Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,2001 г.
2.Газета «Математика» №4, 2010г.
3.Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г.
4.Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.5.Сикорук Л.Л. «Физика для малышей» , 1983г.
5. Гельфман Э.Г «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го кл.,2000г.6. Большая научная энциклопедия, 2005.
7.Электронный ресурс:
http://www.intelteach.ru
http://portfolio.1september.ru
http://www.mathsun.ru
l.120-bal.ru
Семенов Д.У. 1, 0
Джамбаева Фатима Назировна 1, 0
Текст работы размещён без изображений и формул.Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВведениеМир чисел очень загадочен и интересен. Числа очень важны в нашем мире. Я хочу узнать как можно больше о происхождении чисел, об их значении в нашей жизни. Как их применять и какую роль они играют в нашей жизни?
В прошлом году на уроках математики мы начали изучать тему «Положительные и отрицательные числа». У меня возник вопрос, когда возникли отрицательные числа, в какой стране, какие ученые занимались этим вопросом. В Википедии я прочитал, что отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.
В итоге я решил исследовать историю возникновения отрицательных чисел.
Целью данной работы является исследование истории возникновения отрицательных и положительных чисел.
Объект исследования - отрицательные числа и положительные числа
История положительных и отрицательных чисел
Люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Эти числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей.
Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. и то, были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись.
Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Это можно заметить в книге «Арифметика в девяти главах» (Автор Чжан Цань). Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.
Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием. Бхасхара прямо писал: "Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел...". Вот как индийский математик Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». «Сумма двух имуществ есть имущество».
(+х) + (+у) = +(х + у) (-х) + (-у) = - (х + у)
(-х) + (+у) = - (х - у) (-х) + (+у) = +(у - х)
0 – (-х) = +х 0 – (+х) = -х
Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 - 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 - 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга». Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 - 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 - 3000.
Чуть позже в Древней Индии и Китае догадались вместо слов "долг в 10 юаней" писать просто "10 юаней", но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков "+" и "–" в древности не было ни для чисел, ни для действий.
Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как "недоступный". И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком.
Правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них. В то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное».
В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII–XIII вв., но до XVI в. большинство ученых считали их «ложными», «мнимыми» или «абсурдными», в отличие от положительных чисел – “истинных”. Положительные числа так же толковались как «имущество», а отрицательные – как «долг», «недостача». Даже знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. "Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг". Однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной.
Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта. Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввел координатную прямую. (1637 г.).
Положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел способствовало к их признанию.
В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…»
Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.
Так же и Жирар считал отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо.
Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах - числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки "+" и "-". (Например: термометр, шкала глубин и высот)
Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и "абсурдные числа" получили всеобщее признание.
Определение понятия числа
В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.
Существует большое количество определений понятию «число».
Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Евклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».
Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.
Натуральные числа возникли при счете предметов. Об этом я узнала в 5 классе. Затем я узнала, что потребность человека измерять величины не всегда выражается целым числом. После расширения множества натуральных чисел до дробных стало возможным делить любое целое число на другое целое число (за исключением деления на нуль). Появились дробные числа. Вычитать же целое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Интересным для меня оказался тот факт, что долгое время многие математики не признавали отрицательных чисел, считая, что им не соответствуют какие-либо реальные явления.
Происхождение слов «плюс» и «минус»
Термины произошли от слов plus – «больше», minus – «меньше». Сначала действия обозначали первыми буквами p; m. Многие математики предпочитали или Возникновение современных знаков «+», «–» не совсем ясно. Знак «+», возможно, происходит от сокращенной записи et, т.е. «и». Впрочем, может быть он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке «–», а при восстановлении запаса их перечеркивали, получался знак «+».
Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.
Современные знаки «+» и появились в Германии в последнее десятилетие XVв. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489г.). Чех Ян Видман уже писал «+» и «–» для сложения и вычитания.
Чуть позднее немецкий ученый Михель Штифель написал «Полную Арифметику», которая была напечатана в 1544 году. В ней встречаются такие записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего». Числа второго вида назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». Вам, конечно, понятны эти названия, потому что «ничего» – это 0.
Отрицательные числа в Египте
Однако, не смотря на такие сомнения, правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них (сейчас мы в этом качестве используем знак «минус»). Правда, ученые спорят, обозначал ли символ Диофанта именно отрицательное число или просто операцию вычитания, потому что у Диофанта отрицательные числа не встречаются изолированно, а только в виде разностей положительных; и в качестве ответов в задачах он рассматривает только рациональные положительные числа. Но в то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное» (то, что сейчас обычно формулируют: «Минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус»).
(–) (–) = (+), (–) (+) = (–).
Отрицательные числа в Древней Азии
Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.
Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 - 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 - 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».
Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 - 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 - 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления.
В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.: Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними. В его произведении мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».
Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.
Отрицательные числа в Европе
Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование «имущество-долг» вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, как можно «складывать» или «вычитать» имущества и долги, какой реальный смысл может иметь «умножение» или «деление» имущества на долг? (Г.И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)
Вот почему с большим трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной (Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988)
Современное истолкование отрицательных чисел
В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…» (Г.И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)
После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после Николы Шюке начал оперировать отрицательными числами.
Знаменитый французский математик Рене Декарт в «Геометрии» (1637 год) описывает геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел, способствовало их признанию.
Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Р. Бомбелли Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.
Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « - » применил немецкий математик Видман. Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что Штифель и некоторые другие мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Развитое затем математиком А. Жираром представление об отрицательных числах как о точках на некоторой прямой, располагающихся по другую сторону от нуля, чем положительные, оказалось решающим в обеспечении этим числам прав гражданства, особенно в результате развития метода координат у П. Ферма и Р. Декарта.
Вывод
В своем работе я исследовал историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделал вывод:
Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.
При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:
а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;
б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.
К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.
Все эти множества чисел я постараюсь изучить.
Приложение
СТИХОТВОРЕНИЕ
«Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»
Если уж захочется вам сложить
Числа отрицательные, нечего тужить:
Надо сумму модулей быстренько узнать,
К ней потом знак «минус» взять да приписать.
Если числа с разными знаками дадут,
Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут.
Больший модуль быстро очень выбираем.
Из него мы меньший вычитаем.
Самое же главное – знак не позабыть!
- Вы какой поставите? – мы хотим спросить
- Вам секрет откроем, проще дела нет,
Знак, где модуль больше, запиши в ответ.
Правила сложения положительных и отрицательных чисел
Минус с минусом сложить,
Можно минус получить.
Если сложишь минус, плюс,
То получится конфуз?!
Знак числа ты выбирай
Что сильнее, не зевай!
Модули их отними,
Да все числа помири!
- Правила умножения можно истолковать и таким образом:
«Друг моего друга - мой друг»: + ∙ + = + .
«Враг моего врага - мой друг»: ─ ∙ ─ = +.
«Друг моего врага - мой враг»: + ∙ ─ = ─.
«Враг моего друга – мой враг»: ─ ∙ + = ─.
Знак умножения есть точка, в ней три знака:
Прикрой из них два, третий даст ответ.
Например.
Как определить знак произведения 2∙(-3)?
Закроем руками знаки «плюс» и «минус». Остаётся знак «минус»
Список литературы
«История древнего мира», 5 класс. Колпаков, Селунская.
«История математики в древности», Э. Кольман.
«Справочник школьника». ИД «ВЕСЬ», Санкт-Петербург. 2003 г.
Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.
Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.
Вигасин А.А,.Годер Г.И., "История древнего мира" учебник 5 класса, 2001г.
Википедия. Свободная энциклопедия.
Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.
Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.
Гельфман Э.Г. "Положительные и отрицательные числа", учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.
Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.
Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.
Глейзер Г. И. "История математики в школе", Москва, "Просвещение", 1981 г.
Детская энциклопедия "Я познаю мир", Москва, "Просвещение", 1995г.
История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.
История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.
М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.
Малыгин К.А.
Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988.
Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. "Математика 6 класс", Москва, "Просвещение",1989г
Учебник 5 класс. Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.
Фридман Л. М.. "Изучаем математику", учебное издание, 1994 г.
Э.Г. Гельфман и др., Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. Учебное пособие по математике для 6 класса. 3-е издание, испр., - Томск: Издательство Томского университета, 1998г.
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика
17
Просмотров работы: 5760
school-science.ru
Положительные
и отрицательные
числа вокруг нас
Авторы
ученики 6 класса
Батурин Александр, Шатилова Ксения
Художник-оформитель ученица 11 класса
Телякова Ксения
Руководитель
учитель математики
Самофалова Т.П.
2016г.
Введение
После изучения темы
«Положительные и отрицательные числа»
на уроках математики мы задумались
над вопросом: А встречаются ли отрицательные числа и на других уроках,
и в жизни?
Это и подтолкнуло нас к исследованию данной темы.
АНКЕТА
1)В каких учебных предметах, кроме математики, используются положительные и отрицательные числа?
2)Применяются ли в жизни эти числа?
АКТУАЛЬНОСТЬ
любое число в жизни каждого человека играет важную роль, в том числе и отрицательное.
цЕЛЬ
показать, что отрицательные числа встречаются не только
на страницах школьных учебников, но и в повседневной жизни.
ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ
число.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ:
чтение и анализ используемой литературы;
изучение материалов по данной тематике,
расположенных на интернет-сайтах;
наблюдение.
Задачи:
гипотеза :
отрицательные числа встречаются не только в математике, но и в других науках.
Отрицательные числа
в географии :
Измерение высоты и глубины ещё
с давних времен было интересно человеку .
Записывать результаты измерения удобно с помощью положительных и отрицательных чисел.
МОРСКИЕ ГЛУБИНЫ
Измеряются с помощью отрицательных чисел
ГОРА ЭВЕРЕСТ
Эверест— высочайшая вершина земного шара высотой по разным данным от +8844 до +8852 метров находится в Гималаях.
Расположена на границе Непала и Китая, сама вершина лежит на территории Китая.
Имеет форму пирамиды; южный склон более крутой.
Отрицательные числа в истории
Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.). Продолжается наша эра 2015 лет.
Отрицательные числа в биологии
Отрицательные числа в биологии выражают патологию глаза. Близорукость (миопия) проявляется снижением остроты зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы, применяют рассеивающие (отрицательные) линзы.
Отрицательные числа в биологии
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Отрицательные числа в физике
С отрицательными числами мы сталкиваемся каждый раз, говоря о температуре воздуха. Если на улице тепло, то температура воздуха выражается положительным числом, а если мороз, то отрицательным числом.
60
60
50
50
40
40
20 C тепла
о
30
30
20
20
о
+ 20 C
10
10
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
50
50
40
40
10 C мороза
о
30
30
20
20
о
- 10 C
10
10
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
НА СКОРОСТНОМ ШОССЕ
Скорость автомобилей, движущихся вправо, считать положительной, а влево, - отрицательной. Знак числа будет указывать направление скорости (движения) автомобилей.
Понятие «положительного»
и «отрицательного» заряда
Тела, которые действуют на другие заряженные предметы так же, как стекло, наэлектризованное трением о шёлк
Тела, которые действуют на
другие заряженные предметы
так же, как сургуч,
наэлектризованный трением
о шерсть
Положительно
заряженные атомы – протоны
Отрицательно
заряженные атомы – электроны
Электрические заряды в природе
Трением лапок о брюшко комар вызывает электричество
Электрические заряды в природе
При поглаживании кошки происходит электризация
Заключение
В ходе проекта мы:
1) выяснили, что положительные и отрицательные числа служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно (+), а если она убывает, то изменение называют отрицательным (–)
2) рассмотрели использование положительных и отрицательных чисел не только в математике, но и в других науках - истории, географии, физике, биологии.
Гипотеза подтверждена, цель достигнута, задачи выполнены .
kopilkaurokov.ru
