Реферат: Механические колебания. Механические колебания реферат

Механические колебания

Содержание1. Механические колебания

1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания

1.2 Автоколебания

1.3 Разложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных

1.4 Механические волны, их виды и скорость распространения

1.5 Энергетические характеристики волны

Список использованных источников

1. Механические колебания1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебанияКолебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качание маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника, работа сердца).

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Мы будем рассматривать механические колебания. Колебания, происходящие при отсутствии трения и внешних сил, называются собственными; их частота зависит только от свойств системы.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Дифференциальное уравнение гармонического колебания

Рассмотрим простейшую колебательную систему: шарик массой m подвешен на пружине.

В этом случае упругая сила F1 уравновешивает силу тяжести mg. Если сместить шарик на расстояние х, то на него будет действовать большая упругая сила (F1 + F). Изменение упругой силы по закону Гука пропорционально изменению длины пружины или смещению шарика х:F=-kx,(1)где k — жесткость пружины. Знак "-" отражает то обстоятельство, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Сила F обладает следующими свойствами: 1) она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия; 2) она всегда направлена к положению равновесия.

В нашем примере сила по своей природе упругая. Может случиться, что сила иного происхождения обнаруживает такую же закономерность, то есть оказывается равной - kx. Силы такого вида, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел, называют квазиупругими.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:, или .Так как k и m — обе величины положительные, то их отношение можно приравнять квадрату некоторой величины w0, т.е. мы можем ввести обозначение . Тогда получим Подпись:

(2)

Таким образом, движение шарика под действием силы вида (1) описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Легко убедиться подстановкой, что решение уравнения имеет вид:

(3)где (w0 t + a0) = a — фаза колебаний; a0 — начальная фаза при t = 0; w0 — круговая частота колебаний; A — их амплитуда.

Итак, смещение x изменяется со временем по закону косинуса.

Подпись: Рис.1 Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида f = - kx, представляет собой гармоническое колебание.

График гармонического колебания показан на рисунке. Период этих колебаний находится из формулы: .

Для пружинного маятника получаем: . Круговая частота связана с обычной n соотношением: .

Энергия при гармоническом колебании

Выясним, как изменяется со временем кинетическая Еk и потенциальная Еп энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна:, (4)где k = m w02.

Потенциальную энергию находим из формулы потенциальной энергии для упругой деформации и используя (3):EП. (5)Складывая (4) и (5), с учетом соотношения , получим: E = EK + EП = . (6)Таким образом, полная энергия гармонического колебания остается постоянной в отсутствие сил трения, во время колебательного процесса кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.

Затухающие колебания

Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил (но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь.

Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания с убывающей амплитудой называются затухающими.

Допустим, что на систему, кроме квазиупругой силы, действуют силы сопротивления среды (трения), тогда второй закон Ньютона имеет вид: . (7)Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости: , (8)где r - коэффициент сопротивления среды. Знак " - " обусловлен тем, что Fтр и V имеют противоположные направления.

Подставим (8) в (7). Тогда или

Обозначим , где b — коэффициент затухания, w0 — круговая частота собственных колебаний. Тогда

Подпись:

(9)Решение этого уравнения существенно зависит от знака разности: w2 = w02 -b2, где w — круговая частота затухающих колебаний. При условии w02 -b2 > 0, w является действительной величиной и решение (3) будет следующим: Подпись:

(10)График этой функции дан на рисунке.

Рис. 2. Затухающие колебания.Пунктиром изображено изменение амплитуды: A = ±A0e-bt.

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и равен: (11)При незначительном сопротивлении среды (b2 << w2) период практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Из формулы, выражающей закон убывания амплитуды колебаний, можно убедиться, что отношение амплитуд, отделенных друг от друга интервалом в один период (Т), остается постоянным в течение всего процесса затухания. Действительно, амплитуды колебаний, отделенные интервалом в один период, выражаются так:.Отношение этих амплитуд равно:. (12)Это отношение называют декрементом затухания.

В качестве меры затухания часто берут величину натурального логарифма

этого отношения:

Эта величина носит название логарифмического декремента затухания за период.

При сильном затухании b 2 > w02 из формулы (11) следует, что период колебания является мнимой величиной. Движение при этом носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону: f = F0 cosW t , где F0 - амплитуда, W - круговая частота вынуждающей силы.

При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, то есть квазиупругую силу и силу сопротивления среды. Тогда уравнение движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом: .Разделив это уравнение на m и перенеся члены с dx и d2x в левую часть получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

где — коэффициент затухания, — собственная частота колебаний системы. Решением этого уравнения будет:

(13)Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колеблющегося тела называется резонансом, происходящие при этом колебания - резонансными, а их частота w рез — резонансной частотой колебаний.

Расчет дает значение резонансной частоты: wрез = Если b очень мало, то wp » w0 . Подставив wрез вместо W в (13), получим максимальную величину амплитуды колебаний при резонансе:Арез =. (14)Чтобы определить резонансную частоту wрез, нужно найти максимум функции (2.13) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по W и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее wрез: -4(w02 -W 2)W + 8b 2W = 0.Это уравнение имеет три решения: W = 0 и .

Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение: wрез =. Подставив это значение частоты в (13), получим выражение для амплитуды при резонансе:Арез = Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (частоты колебаний) показана графически на рисунке: b1 < b2 <b3

Это резонансные кривые.

Рис. 3. Резонансные кривые. 1.2 АвтоколебанияСистемы автоматически регулирующие подачу энергии от внешнего источника, называются автоколебательными, а происходящие в них незатухающие периодические процессы - автоколебаниями. Такими системами являются часы, электрический звонок, ламповый генератор электромагнитных колебаний и т.д.1.3 Разложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данныхСложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.

Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления, одинаковой частоты и с одинаковыми амплитудами, но с разными начальными фазами a01 и a02 . Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x1и x2:x = x1 + x2 = Acos(w0t + a01) + Acos(w0t + a02).Используя известную из тригонометрии формулу для суммы косинусов двух углов, имеем:

Aрез, то есть получается гармоническое колебание той же частоты с начальной фазой и амплитудой Aрез.

Как видно, амплитуда Aрезрезультирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Рассмотрим два крайних случая:

А) Колебания происходят в фазе, то есть a01 = a02, тогда и , поэтому Aрез = 2A.

Если амплитуды не равны, Aрез = A1 + A2

www.coolreferat.com

Реферат Механические колебания

Механические колебания

Содержание1. Механические колебания

1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания

1.2 Автоколебания

1.4 Механические волны, их виды и скорость распространения

1.5 Энергетические характеристики волны

Список использованных источников

Дифференциальное уравнение гармонического колебания

Рассмотрим простейшую колебательную систему: шарик массой m подвешен на пружине.

(2)

Легко убедиться подстановкой, что решение уравнения имеет вид:

(3)где (w0 t + a0) = a — фаза колебаний; a0 — начальная фаза при t = 0; w0 — круговая частота колебаний; A — их амплитуда.

Итак, смещение x изменяется со временем по закону косинуса.

График гармонического колебания показан на рисунке. Период этих колебаний находится из формулы: .

Для пружинного маятника получаем: . Круговая частота связана с обычной n соотношением: .

Энергия при гармоническом колебании

Затухающие колебания

Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания с убывающей амплитудой называются затухающими.

Подставим (8) в (7). Тогда или

Обозначим , где b — коэффициент затухания, w0 — круговая частота собственных колебаний. Тогда

Подпись:

(10)График этой функции дан на рисунке.

Рис. 2. Затухающие колебания.Пунктиром изображено изменение амплитуды: A = ±A0e-bt.

В качестве меры затухания часто берут величину натурального логарифма

этого отношения:

Эта величина носит название логарифмического декремента затухания за период.

Вынужденные колебания. Резонанс

где — коэффициент затухания, — собственная частота колебаний системы. Решением этого уравнения будет:

Это резонансные кривые.

Aрез, то есть получается гармоническое колебание той же частоты с начальной фазой и амплитудой Aрез.

Как видно, амплитуда Aрезрезультирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Рассмотрим два крайних случая:

А) Колебания происходят в фазе, то есть a01 = a02, тогда и , поэтому Aрез = 2A.

Если амплитуды не равны, Aрез = A1 + A2

Б) Колебания происходят в противофазе, то есть a01 = a02 ± p, тогда . Следовательно, и Aрез = 0. Если амплитуды не равны, например, A1 > A2, тоAрез = A1 - A2.

Таким образом, при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одного периода и с равными амплитудами получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой, которая в зависимости от соотношения фаз складываемых колебаний может изменяться от удвоенного значения, если колебания происходят в фазе, до нуля, если они находятся в противофазе.

При сложении гармонических колебаний с разными частотами результирующее колебание не будет гармоническим, а будет являться сложным колебанием (Рис.4.).

Рис. 4. Сложение гармонических колебаний с разными частотами:

А) исходные колебания, Б) результирующее колебание.Сложное колебание и его гармонический спектр.

Согласно теореме Фурье, любое сложное колебание может быть представлено как сумма простых (гармонических) колебаний (гармоник), периоды или частоты которых кратны основному периоду или частоте сложного колебания.

Совокупность простых колебаний, на которые можно разложить данное сложное колебание, называется его гармоническим спектром.

В гармоническом спектре сложного колебания указываются частоты и амплитуды всех составляющих его простых колебаний. Обычно спектр изображается в виде графика, на горизонтальной оси которого откладываются частоты; затем для каждой из частот простых колебаний имеющихся в спектре, строится ордината, соответствующая амплитуде этого колебания. Если гармонический спектр сложного колебания содержит только небольшое число простых колебаний и график его состоит из отдельных ординат, то такой спектр называется линейчатым (рис. 5.).

Если спектр содержит простые колебания практически всех частот в каких-то пределах, то он называется сплошным и график его строится в виде сплошной огибающей кривой.

Установление гармонического спектра является основным приемом при анализе сложного колебания. Этот анализ делается с помощью специальных приборов —гармонических анализаторов. Они применяются и в медицине при исследовании, например, колебаний биопотенциалов головного мозга и др. Многие процессы человеческого организма являются периодическими: сердечные сокращения, дыхание, кровенаполнение сосудов и т. п

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

В результате сложения двух взаимно-перпендикулярных колебаний различного периода тело движется по сложным фигурам, форма которых зависит от соотношения периодов, амплитуд и начальных фаз складываемых колебаний и которые называются фигурами Лиссажу.

Рис. 6. Фигуры Лиссажу для колебаний различающихся начальными фазами Da.1.4 Механические волны, их виды и скорость распространенияКолебательная система может отдавать энергию во внутреннюю среду. Эта передача энергии становится возможной благодаря тому, что частицы среды сами представляют собой миниатюрные колебательные системы. Молекулы среды связаны друг с другом силами, законы которых в известных границах подобны законам упругих сил. Если одна из частиц окажется выведенной из положения равновесия, то силы, действующие на нее со стороны соседних частиц, заставляют ее вновь вернуться к устойчивому положению. Вместе с тем, по закону равенства действия и противодействия, соседние частицы также подвергнутся влиянию смещающих сил и в свою очередь будут выведены из устойчивого положения. Таким образом, каждое возмущение, однажды возникнув в определенном участке среды, будет постепенно распространяться, захватывая частицы, все дальше и дальше отстоящие от места начального возмущения.

Колебательный процесс благодаря взаимодействию частиц будет распространяться в среде с некоторой конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волновым движением или просто волной. Для нашего случая это будет упругая или механическая волна.

Различают продольные и поперечные волны. Вид волн, распространяющихся в среде, существенно зависит от упругих свойств среды.

Волна, распространяющаяся в том же направлении, в котором происходят колебания частиц среды, называется продольной волной.

Продольные волны образуются в телах, обладающих упругостью объема, т.е. противодействующих деформации объемного сжатия. Это свойственно всем телам, поэтому они образуются в любых средах: твердых, жидких, газообразных. К продольным волнам, в частности, относятся звуковые, инфразвуковые и ультразвуковые.

Волна, в которой колебательное движение совершается перпендикулярно к направлению распространения колебаний, называется поперечной.

Поперечные упругие волны образуются только в твердых телах, которые обладают упругостью формы, т.е. противодействуют деформации сдвига (например, сейсмические волны в земной коре при землетрясениях; волны, бегущие вдоль натянутой струны; крутильные волны, вызываемые попеременным закручиванием и раскручиванием конца длинного стержня).

Продольные и поперечные колебания частиц среды, несущей волну, представляют собой частные случаи волнового процесса. Существуют и другие волны, в которых колебательные движения складываются из одновременных продольных и поперечных смещений. Это волны вздутия, поверхностные.

Уравнение волны.

Рассмотрим поперечную волну. В поперечной волне частицы среды не смещаются в направлении распространения волны. Но колебания каждой последующей частицы среды запаздывают по фазе относительно предыдущих частиц. Вследствие этого гребни и впадины волны, заметные для глаза, перемещаются в направлении распространения волны. Это и отмечается наблюдателем как движение волны.

Под скоростью волны понимается скорость, с которой в среде перемещаются одинаковые фазы колебаний частиц. Эта скорость называется фазовой скоростью волны. Скорость волны зависит от упругих свойств (а также плотности) среды.

Расстояние между двумя ближайшими точками среды, колебания которых происходят в одинаковой фазе, называется длиной волны l или расстояние, на которое распространяются колебания в среде за время, равное одному периоду колебания. Она численно равняется произведению скорости V распространения волны на период Т или отношению скорости распространения волны к частоте n колебания:l = VT = (14)Поскольку скорость распространения волны зависит от свойств среды, длина волны при переходе волны из одной среды в другую изменяется, хотя частота колебаний остается неизменной.

Кроме l, А, или Т колебаний волна характеризуется формой колебания частиц в волне. Так же как и колебания, волны делятся на простые (гармонические) и сложные.

Колебания, возбуждаемые в одной точке, в однородной изотропной среде распространяются от нее равномерно по всем направлениям, такая волна называется сферической. Если источник колебаний имеет значительную плоскую поверхность, то волна от него будет распространяться направленным потоком перпендикулярно поверхности источника; такая волна называется плоской.

Составим уравнение плоской гармонической волны, позволяющее определить смещение S точки Б среды, находящейся на любом расстоянии x от начальной точки А, в направлении распространения волны в любой момент времени. Пусть для начальной точки А уравнение колебания: SA = A coswt.

Точка Б совершает колебание с запаздыванием по фазе на угол j0 = wt0, соответствующий промежутку времени t, за который волна проходит расстояние x между точками А и Б. Тогда для точки Б уравнение колебания будет:SБ = A cos(w t - j0) = A cos(w t - w t0) = A cosw (t - t0)Подставляя значение t0 =, где V - скорость распространения волны, получим:SБ = . (15)Заменив в уравнении V = nl и w = 2 pn , тогда:SБ = .Таким образом, смещение S точек среды в упругой волне является функцией двух переменных: времени t и расстояния x точки от центра возбуждения колебаний, то есть S = f1(x,t).

Если выбрать определенный момент времени (t1 = const), то уравнение дает зависимость смещения от расстояния x: St = f2(x), то есть величину смещений точек среды вдоль направления x в заданный момент времени t1. График этой зависимости (как бы моментальный снимок волны) называют графиком волны. Для простой (гармонической) волны график имеет форму синусоиды или косинусоиды.

Зависимость между смещением S точки, ее координатой x и временем t, выраженная в дифференциальной форме называется волновым уравнением.

Для составления уравнения плоской волны находим частные производные второго порядка от смещения S по времени t и координате x:

Таким образом, вторая производная смещения по времени пропорциональна второй производной смещения по координате. Коэффициент пропорциональности равен квадрату скорости распространения волны V. Это и есть дифференциальное уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси xсо скоростью V(см. формулу 17). Оно в наиболее общем виде описывает распространение волнового процесса.

Основные характеристики (амплитуда, период или частота, длина волны и форма колебаний) продольной волны, её уравнение и графику аналогичны поперечной.

Рис. 7. График плоской волны1.5 Энергетические характеристики волны

механическое колебание гармонический спектр

При волновом движении происходит перенос энергии, которая состоит из кинетической и потенциальной энергий колеблющихся частиц среды. Причем потенциальная энергия обусловлена деформацией вещества при взаимном смещении частиц. В отличие от колебаний свободного тела в волне не происходит взаимного перехода кинетической и потенциальной энергии частиц. Мгновенные значения той и другой энергии изменяются одновременно (в фазе) соответственно изменению смещения частиц.

Для мгновенного значения энергии (потенциальной и кинетической) одной частицы можно записать:

, (18)где S- смещение частицы, w- частота колебания частицы, A- амплитуда колебания частицы, V- скорость волнового процесса, в котором участвует частица, m – масса одной частицы.

Из формулы 18 следует, что мгновенные значения энергии каждой частицы среды изменяются во времени с удвоенной частотой колебания, причем в каждый момент времени эти значения для различных частиц отличаются. Однако среднее значение энергии за период колебания для всех частиц одинаково и составляет:eср =.Рассчитаем энергию волны для некоторого объема DV среды, в которой она распространяется.

Если в единице объема среды содержится N частиц, то r = Nm —плотность среды и среднее значение энергии волны в объеме DV будет:Еср = (19) где — объемная плотность энергии волны.

Величина, численно равная средней энергии Еср, переносимой волной в единицу времени t через заданную поверхность S, перпендикулярную направлению распространения волны, называется потоком энергии через эту поверхность:Ф = (20)и измеряется в единицах мощности - Вт.

Поток энергии, приходящийся на единицу поверхности, называется плотностью потока энергии: (21)и измеряется в Вт/м2. Плотность потока энергии называют также интенсивностью волны.

В векторной форме:. (22)Плотность потока энергии, переносимого волной, можно рассматривать как вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости волны.

Вектор , показывающий направление распространения волны и равный потоку энергии, проходящему через единичную площадку, перпендикулярную этому направлению, называют вектором Умова: . (23)Вектор Умова для упругой волны зависит от плотности среды, квадрата амплитуды колебания частиц, квадрата частоты колебаний и скорости распространения волны.

Николай Алексеевич Умов (1846-1915) является исследователем потока энергии. Идеи о движении энергии были изложены в его диссертации "Уравнения движения энергии в телах", защищенной им в 1874 году на физико-математическом факультете Московского университета. И только через десять лет к таким же выводам о движении энергии пришел английский физик Пойнтинг. Имя Умова вошло в историю физики.

Список использованных источников1. Биофизика: Учебник / Тарусов Б. Н., Антонов В. Ф., Бурлакова Е. В. и др. – М.: Высшая школа, 1968. – 464 с.

2. Аккерман Ю. Биофизика: Учебник. – М.: Мир, 1964. – 684 с.

3. Ремизов А. Н. Медицинская и биологическая физика: Учеб. для мед. спец. Вузов. – М.: Высшая школа, 1999. – 616 с.

4. Лекционные демонстрации по физике./ Грабовский М. А., Молодзеевский А. Б., Телеснин Р. В. и др. – М.: Наука, 1972. – 639 с.

5. Ливенцев Н. М. Курс физики: Учеб. для вузов. В 2-х т. – М.: Высшая школа, 1978. – т. 1. - 336 с., т. 2. - 333 с.

6. Волькенштейн М. В. Общая биофизика: Монография - М.: Наука, 1978. – 599 с.

Размещено на Allbest.ru

bukvasha.ru

Механические колебания и волны | Рефераты KM.RU

Колебания – это движение тела, в ходе которого оно многократно движется по одной и той же траектории и проходит при этом одни и те же точки пространства. Примерами колеблющихся объектов могут служить - маятник часов, струна скрипки или фортепиано, вибрации автомобиля.

Колебания играют важную роль во многих физических явлениях за пределами области механики. Например, напряжение и сила тока в электрических цепях могут колебаться. Биологическими примерами колебаний могут служить сердечные сокращения, артериальный пульс и производство звука голосовыми связками.

Хотя физическая природа колеблющихся систем может существенно отличаться, разнообразные типы колебаний могут быть охарактеризованы количественно сходным образом. Физическая величина, которая изменяется со временем при колебательном движении, называется смещением. Амплитуда представляет собой максимальное смещение колеблющегося объекта от положения равновесия. Полное колебание, или цикл – это движение, при котором тело, выведенное из положения равновесия на некоторую амплитуду, возвращается в это положение, отклоняется до максимального смещения в противоположную сторону и возвращается в свое первоначальное положение. Период колебания T – время, необходимое для осуществления одного полного цикла. Число колебаний за единицу времени - это частота колебаний.

Простое гармоническое колебание

В некоторых телах при их растяжении или сжатии возникают силы, противодействующие этим процессам. Эти силы прямо пропорциональны длине растяжения или сжатия. Таким свойством обладают пружины. Когда тело, подвешенное к пружине, отклоняют от положения равновесия, а потом отпускают, его движение представляет собой простое гармоническое колебание.

Рассмотрим тело массой m, подвешенное на пружине в положении равновесия. Смещая тело вниз, можно вызвать колебание тела. Если - смещение тела от положения равновесия, то в пружине возникает сила F (сила упругости), направленная в противоположную смещению сторону. В соответствии с законом Гука, сила упругости пропорциональна смещению Fупр = - k·S , где k - константа, которая зависит от упругих свойств пружины. Сила является отрицательной, поскольку она стремится вернуть тело в положение равновесия.

Действуя на тело массой m, сила упругости придает ему ускорение вдоль направления смещения. Согласно закону Ньютона F = ma, где a = d2S/d2t. Для упрощения последующих рассуждений пренебрежем трением и вязкостью в колеблющейся системе. В таком случае амплитуда колебаний не будет изменяться со временем.

Если не действуют никакие внешние силы (даже сопротивление среды) на колеблющиеся тело, то колебания осуществляются с определенной частотой. Эти колебания называются свободными. Амплитуда таких колебаний остается постоянной.

Таким образом, m·d2S/d2t = - k·S (1) . Перемещая все члены равенства и деля их на m, получим уравнения d2S/d2t +(k/m)·S = 0, а затем d2S/d2t +ω02·S = 0 (2), где k/m = ω02

Уравнение (2) является дифференциальным уравнением простого гармонического колебания.

Решение уравнения (2) дает две функции:

S = A sin(ω0t + φ0) (3) и S = A cos(ω0t + φ0) (4)

Таким образом, если тело массой m осуществляет простые гармонические колебания, изменение смещения этого тела от точки равновесия во времени осуществляется по закону синуса или косинуса.

(ω0t + φ0) - фаза колебания с начальной фазой φ0. Фаза является свойством колебательного движения, которое характеризует величину смещения тела в любой момент времени. Измеряется фаза в радианах.

Величина называется угловой, или круговой, частотой. Измеряется в радианах, деленных за секунду ω0 = 2πν или ω0 = 2π/T (5)

График уравнения простого гармонического колебания представлен на Рис. 1. Тело, первоначально смещенное на расстояние А – амплитуды колебания, а затем отпущенное, продолжает колеблется от - A и до A за время T - период колебания.

Рис 1.

Таким образом, в ходе простого гармонического колебания величина смещения тела изменяется во времени вдоль синусоиды или косинусоиды. Поэтому простое гармоническое колебание часто называют синусоидальным колебанием.

Простое гармоническое колебание имеет следующие основные характеристики:

a) движущееся тело попеременно находится по обе стороны от положения равновесия;

б) тело повторяет свое движение за определенный интервал времени;

c) ускорение тела всегда пропорционально смещению и направлено противоположно ему;

д) графически этот тип колебания описывает синусоида.

Затухающее колебание

Простое гармоническое колебание не может продолжаться сколь угодно долго при постоянной амплитуде. В реальных условиях через некоторое время гармонические колебания прекращаются. Такие гармонические колебания в реальных системах называются затухающим колебаниями (рис.2). К снижению амплитуды колебаний с последующим их прекращением приводит действие внешних сил, например, трения и вязкости. Эти силы уменьшают энергию колебаний. Они называются диссипативными силами, поскольку способствуют рассеиванию потенциальной и кинетической энергии макроскопических тел в энергию теплового движения атомов и молекул тела.

Рис 2.

Величина диссипативных сил зависит от скорости тела. Если скорость ν сравнительно мала, то диссипативная сила F прямо пропорциональна этой скорости Fтр = - rν = - r·dS/dt (6)

Здесь r - постоянный коэффициент, независимый от скорости или частоты колебаний. Знак минус указывает на то, что тормозящая сила направлена против вектора скорости движения.

Принимаясь во внимание действие диссипативных сил, дифференциальное уравнение гармонического затухающего колебания имеет вид: m·d2S/d2t = - kS - r·dS/dt.

Перенеся все члены равенства в одну сторону, разделив каждый член на m и заменяя k/m = ω2, r/m = 2β , получим дифференциальное уравнение свободных гармонических затухающих колебаний

где β - коэффициент затухания, характеризующий затухание колебаний за единицу времени.

Решением уравнения является функция S = A0·e-βt ·sin(ωt + φ0) (8)

Уравнение (8) показывает, что амплитуда гармонического колебания уменьшается экспоненциально во времени. Частота затухающих колебаний определяется уравнением ω = √(ω02 - β2) (9)

Если колебание не может происходить вследствие большого , то система возвращается в свое положение равновесия по экспоненциальному пути без колебания.

Вынужденное колебание и резонанс

Если не сообщать колеблющейся системе внешнюю энергию, то амплитуда гармонического колебания уменьшается во времени из-за диссипативных эффектов. Периодическое действие силы может увеличить амплитуду колебаний. Теперь колебание не будет затухать со временем, поскольку потерянная энергия восполняется в течение каждого цикла действием внешней силы. Если будет достигнут баланс этих двух энергий, то амплитуда колебаний будет оставаться постоянной. Эффект зависит от соотношения частот вынуждающей силы ω и собственной частоты колебания системы ω0.

Если тело колеблется под действием внешней периодической силы с частотой этой внешней силы, то колебание тела называется вынужденным.

Энергия внешней силы оказывает наибольшее действие на колебания системы, если внешняя сила обладает определенной частотой. Эта частота должна быть такой же, как и частота собственных колебаний системы, которые бы эта система совершала в отсутствие внешних сил. В таком случае происходит резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний системы.

Механические волны

Распространение колебаний из одного места в другое называется волновым движением, или просто волной.

Механические волны образуются вследствие простых гармонических колебаний частиц среды от их среднего положения. Вещество среды не перемещается при этом из одного места в другое. Но частицы среды, передающие друг другу энергию, необходимы для распространения механических волн.

Таким образом, механическая волна является возмущением материальной среды, которое проходит эту среду с определенной скоростью, не изменяя своей формы.

Если в воду бросить камень, от места возмущения среды побежит одиночная волна. Однако волны иногда могут быть периодическими. Например, вибрирующий камертон производит попеременные сжатия и разрежения окружающего его воздуха. Эти возмущения, воспринимаемые как звук, происходят периодически с частотой колебаний камертона.

Существуют механические волны двух видов.

(1) Поперечная волна. Этот вид волн характеризуется вибрацией частиц среды под прямым углом к направлению распространения волны. Поперечные механические волны могут возникать только в твердых веществах и на поверхности жидкостей.

В поперечной волне все частицы среды осуществляют простое гармоническое колебание возле своих средних положений. Положение максимального смещения вверх называется "пиком", а положение максимального смещения вниз - "впадиной". Расстояние между двумя последующими пиками или впадинами называется длиной поперечной волны λ.

(2) Продольная волна. Этот вид волн характеризуется колебаниями частиц среды вдоль направления распространения волны. Продольные волны могут распространяться в жидкостях, газах и твердых телах.

В продольной волне все частицы среды также осуществляют простое гармоническое колебание около их среднего положения. В некоторых местах частицы среды расположены ближе, а в других местах - дальше, чем в нормальном состоянии.

Места, где частицы расположены близко, называются областями сжатия, а места где они находятся далеко друг от друга - областями разрежения. Расстояние между двумя последовательными сжатиями или разрежениями называются длиной продольной волны.

Выделяют следующие характеристики волн.

(1) Амплитуда - максимальное смещение колеблющейся частицы среды от ее положения равновесия (A).

(2) Период – время, необходимое частице для одного полного колебания (T).

(3) Частота - количество колебаний, произведенных частицей среды, за единицу времени (ν). Между частотой волны и ее периодом существует обратная зависимость: ν = 1/T .

(4) Фаза колеблющейся частицы в любой момент определяет ее положение и направление движения в данный момент. Фаза представляет собой часть длины волны или периода времени.

(5) Скорость волны является скоростью распространения в пространстве пика волны (v).

Совокупность частиц среды, колеблющихся в одинаковой фазе, формирует фронт волны. С этой точки зрения, волны делятся на два вида.

(1) Если источник волны является точкой, из которой она распространяется во всех направлениях, то образуется сферическая волна.

(2) Если источник волны колеблющаяся плоская поверхность, то образуется плоская волна.

Смещение частиц плоской волны можно описать общим уравнением для всех типов волнового движения: S = A·sin ω · (t - x/v) (10)

Это означает, что величина смещения (S) для каждой значения времени (t) и расстояния от источника волны (x) зависит от амплитуды колебания (A), угловой частоты (ω) и скорости волны (v).

Эффект Доплера

Эффект Доплера - изменение частоты волны, воспринимаемой наблюдателем (приемником) благодаря относительному движению источника волн и наблюдателя. Если источник волн приближается к наблюдателю, число волн, прибывающих к наблюдателю волн, каждую секунду превышает испускаемое источником волн. Если источник волн удаляется от наблюдателя, то число испускаемых волн больше, чем прибывающих к наблюдателю.

Аналогичный эффект следует в случае, если наблюдатель перемещается относительно неподвижного источника.

Примером эффекта Доплера является изменение частоты гудка поезда при его приближении и удалении от наблюдателя.

Общее уравнение для эффекта Доплера имеет вид

Здесь νисточн - частота волн, испускаемых источником, и νприемн - частота волн, воспринятая наблюдателем. ν0 - скорость волн в неподвижной среде, νприемн и νисточн - скорости наблюдателя и источника волн соответственно. Верхние знаки в формуле относятся к случаю, когда источник и наблюдатель перемещаются друг к другу. Нижние знаки относятся к случаю удаления друг от друга источника и наблюдателя волн.

Изменение частоты волн вследствие эффекта Доплера называют доплеровским сдвигом частоты. Этот феномен используется для измерения скорости перемещения различных тел, включая эритроциты в кровеносных сосудах.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.all-fizika.com/

Дата добавления: 04.04.2012

www.km.ru

Реферат - Механические колебания и волны

Колебания – это движение тела, в ходе которого оно многократно движется по одной и той же траектории и проходит при этом одни и те же точки пространства. Примерами колеблющихся объектов могут служить — маятник часов, струна скрипки или фортепиано, вибрации автомобиля.

Простое гармоническое колебание

Рассмотрим тело массой m, подвешенное на пружине в положении равновесия. Смещая тело вниз, можно вызвать колебание тела. Если — смещение тела от положения равновесия, то в пружине возникает сила F (сила упругости), направленная в противоположную смещению сторону. В соответствии с законом Гука, сила упругости пропорциональна смещению Fупр = — k·S, где k — константа, которая зависит от упругих свойств пружины. Сила является отрицательной, поскольку она стремится вернуть тело в положение равновесия.

Таким образом, m·d2S/d2t = — k·S (1). Перемещая все члены равенства и деля их на m, получим уравнения d2S/d2t +(k/m)·S = 0, а затем d2S/d2t +ω02·S = 0 (2), где k/m = ω02

Уравнение (2) является дифференциальным уравнением простого гармонического колебания.

Решение уравнения (2) дает две функции:

S = A sin(ω0t + φ0) (3) и S = A cos(ω0t + φ0) (4)

(ω0t + φ0) — фаза колебания с начальной фазой φ0. Фаза является свойством колебательного движения, которое характеризует величину смещения тела в любой момент времени. Измеряется фаза в радианах.

График уравнения простого гармонического колебания представлен на Рис. 1. Тело, первоначально смещенное на расстояние А – амплитуды колебания, а затем отпущенное, продолжает колеблется от — A и до A за время T — период колебания.

Рис 1.

Простое гармоническое колебание имеет следующие основные характеристики:

a) движущееся тело попеременно находится по обе стороны от положения равновесия;

б) тело повторяет свое движение за определенный интервал времени;

c) ускорение тела всегда пропорционально смещению и направлено противоположно ему;

д) графически этот тип колебания описывает синусоида.

Затухающее колебание

Рис 2.

Величина диссипативных сил зависит от скорости тела. Если скорость ν сравнительно мала, то диссипативная сила F прямо пропорциональна этой скорости Fтр = — rν = — r·dS/dt (6)

Здесь r — постоянный коэффициент, независимый от скорости или частоты колебаний. Знак минус указывает на то, что тормозящая сила направлена против вектора скорости движения.

Принимаясь во внимание действие диссипативных сил, дифференциальное уравнение гармонического затухающего колебания имеет вид: m·d2S/d2t = — kS — r·dS/dt.

Перенеся все члены равенства в одну сторону, разделив каждый член на m и заменяя k/m = ω2, r/m = 2β, получим дифференциальное уравнение свободных гармонических затухающих колебаний

где β — коэффициент затухания, характеризующий затухание колебаний за единицу времени.

Решением уравнения является функция S = A0·e-βt ·sin(ωt + φ0) (8)

Уравнение (8) показывает, что амплитуда гармонического колебания уменьшается экспоненциально во времени. Частота затухающих колебаний определяется уравнением ω = √(ω02 — β2) (9)

Если колебание не может происходить вследствие большого, то система возвращается в свое положение равновесия по экспоненциальному пути без колебания.

Вынужденное колебание и резонанс

Механические волны

Распространение колебаний из одного места в другое называется волновым движением, или просто волной.

Существуют механические волны двух видов.

В поперечной волне все частицы среды осуществляют простое гармоническое колебание возле своих средних положений. Положение максимального смещения вверх называется «пиком», а положение максимального смещения вниз — «впадиной». Расстояние между двумя последующими пиками или впадинами называется длиной поперечной волны λ.

В продольной волне все частицы среды также осуществляют простое гармоническое колебание около их среднего положения. В некоторых местах частицы среды расположены ближе, а в других местах — дальше, чем в нормальном состоянии.

Места, где частицы расположены близко, называются областями сжатия, а места где они находятся далеко друг от друга — областями разрежения. Расстояние между двумя последовательными сжатиями или разрежениями называются длиной продольной волны.

Выделяют следующие характеристики волн.

(1) Амплитуда — максимальное смещение колеблющейся частицы среды от ее положения равновесия (A).

(2) Период – время, необходимое частице для одного полного колебания (T).

(3) Частота — количество колебаний, произведенных частицей среды, за единицу времени (ν). Между частотой волны и ее периодом существует обратная зависимость: ν = 1/T .

(5) Скорость волны является скоростью распространения в пространстве пика волны (v).

(2) Если источник волны колеблющаяся плоская поверхность, то образуется плоская волна.

Смещение частиц плоской волны можно описать общим уравнением для всех типов волнового движения: S = A·sin ω · (t — x/v) (10)

Эффект Доплера

Эффект Доплера — изменение частоты волны, воспринимаемой наблюдателем (приемником) благодаря относительному движению источника волн и наблюдателя. Если источник волн приближается к наблюдателю, число волн, прибывающих к наблюдателю волн, каждую секунду превышает испускаемое источником волн. Если источник волн удаляется от наблюдателя, то число испускаемых волн больше, чем прибывающих к наблюдателю.

Аналогичный эффект следует в случае, если наблюдатель перемещается относительно неподвижного источника.

Общее уравнение для эффекта Доплера имеет вид

Здесь νисточн — частота волн, испускаемых источником, и νприемн — частота волн, воспринятая наблюдателем. ν0 — скорость волн в неподвижной среде, νприемн и νисточн — скорости наблюдателя и источника волн соответственно. Верхние знаки в формуле относятся к случаю, когда источник и наблюдатель перемещаются друг к другу. Нижние знаки относятся к случаю удаления друг от друга источника и наблюдателя волн.

www.ronl.ru

Реферат: Механические колебания

Механические колебания

Содержание

1. Механические колебания

1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания

1.2 Автоколебания

1.4 Механические волны, их виды и скорость распространения

1.5 Энергетические характеристики волны

Список использованных источников

1. Механические колебания

1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качание маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника, работа сердца).

Дифференциальное уравнение гармонического колебания

Рассмотрим простейшую колебательную систему: шарик массой m подвешен на пружине.

F=-kx,(1)

где k — жесткость пружины. Знак "-" отражает то обстоятельство, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:

, или .

Так как k и m — обе величины положительные, то их отношение можно приравнять квадрату некоторой величины w0, т.е. мы можем ввести обозначение . Тогда получим

(2)

Легко убедиться подстановкой, что решение уравнения имеет вид:

(3)

где (w0 t + a0 ) = a — фаза колебаний; a0 — начальная фаза при t = 0; w0 — круговая частота колебаний; A — их амплитуда.

Итак, смещение x изменяется со временем по закону косинуса.

Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида f = - kx, представляет собой гармоническое колебание.

Для пружинного маятника получаем:

Круговая частота связана с обычной n соотношением: .

Энергия при гармоническом колебании

Выясним, как изменяется со временем кинетическая Еk и потенциальная Еп энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна:

, (4)

где k = m w02 .

Потенциальную энергию находим из формулы потенциальной энергии для упругой деформации и используя (3):

EП .(5)

Складывая (4) и (5), с учетом соотношения , получим:

E = EK + EП =. (6)

Таким образом, полная энергия гармонического колебания остается постоянной в отсутствие сил трения, во время колебательного процесса кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.

Затухающие колебания

Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания с убывающей амплитудой называются затухающими.

Допустим, что на систему, кроме квазиупругой силы, действуют силы сопротивления среды (трения), тогда второй закон Ньютона имеет вид:

. (7)

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

, (8)

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак " - " обусловлен тем, что Fтр и V имеют противоположные направления.

Подставим (8) в (7). Тогда

или

Обозначим

где b — коэффициент затухания, w0 — круговая частота собственных колебаний. Тогда

(9)

Решение этого уравнения существенно зависит от знака разности: w2 = w02 -b2 , где w — круговая частота затухающих колебаний. При условии w02 -b2 > 0, w является действительной величиной и решение (3) будет следующим:

(10)

График этой функции дан на рисунке.

Рис. 2. Затухающие колебания.

Пунктиром изображено изменение амплитуды: A = ±A0 e-bt .

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и равен:

(11)

При незначительном сопротивлении среды (b2 <<w2) период практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Отношение этих амплитуд равно:

. (12)

Это отношение называют декрементом затухания .

В качестве меры затухания часто берут величину натурального логарифма

этого отношения:

Эта величина носит название логарифмического декремента затухания за период.

Вынужденные колебания. Резонанс

Разделив это уравнение на m и перенеся члены с dx и d2 x в левую часть получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

где — коэффициент затухания, — собственная частота колебаний системы. Решением этого уравнения будет:

(13)

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колеблющегося тела называется резонансом, происходящие при этом колебания - резонансными, а их частота wрез — резонансной частотой колебаний.

Расчет дает значение резонансной частоты:

wрез =

Если b очень мало, то wp »w0 . Подставив wрез вместо W в (13), получим максимальную величину амплитуды колебаний при резонансе:

Арез =. (14)

Чтобы определить резонансную частоту wрез , нужно найти максимум функции (2.13) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по W и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее wрез :

-4(w02 -W2 )W + 8b2 W = 0.

Это уравнение имеет три решения: W = 0 и .

Арез =

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (частоты колебаний) показана графически на рисунке: b1 < b2 <b3

Это резонансные кривые.

Рис. 3. Резонансные кривые.

1.2 Автоколебания

Системы автоматически регулирующие подачу энергии от внешнего источника, называются автоколебательными, а происходящие в них незатухающие периодические процессы - автоколебаниями. Такими системами являются часы, электрический звонок, ламповый генератор электромагнитных колебаний и т.д.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.

x = x1 + x2 = Acos(w0 t + a01 ) + Acos(w0 t + a02 ).

Используя известную из тригонометрии формулу для суммы косинусов двух углов, имеем:

Aрез,

то есть получается гармоническое колебание той же частоты с начальной фазой и амплитудой Aрез.

Как видно, амплитуда Aрез результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Рассмотрим два крайних случая:

А) Колебания происходят в фазе, то есть a01 = a02 , тогда и , поэтому Aрез = 2A.

Если амплитуды не равны, Aрез = A1 + A2.

Б) Колебания происходят в противофазе, то есть a01 = a02 ±p, тогда . Следовательно, и Aрез = 0. Если амплитуды не равны, например, A1 > A2 , тоAрез = A1 - A2 .

Рис. 4. Сложение гармонических колебаний с разными частотами:

А) исходные колебания, Б) результирующее колебание.

Сложное колебание и его гармонический спектр.

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

Рис. 6. Фигуры Лиссажу для колебаний различающихся начальными фазами Da.

1.4 Механические волны, их виды и скорость распространения

Колебательная система может отдавать энергию во внутреннюю среду. Эта передача энергии становится возможной благодаря тому, что частицы среды сами представляют собой миниатюрные колебательные системы. Молекулы среды связаны друг с другом силами, законы которых в известных границах подобны законам упругих сил. Если одна из частиц окажется выведенной из положения равновесия, то силы, действующие на нее со стороны соседних частиц, заставляют ее вновь вернуться к устойчивому положению. Вместе с тем, по закону равенства действия и противодействия, соседние частицы также подвергнутся влиянию смещающих сил и в свою очередь будут выведены из устойчивого положения. Таким образом, каждое возмущение, однажды возникнув в определенном участке среды, будет постепенно распространяться, захватывая частицы, все дальше и дальше отстоящие от места начального возмущения.

Уравнение волны.

l = VT = (14)

Поскольку скорость распространения волны зависит от свойств среды, длина волны при переходе волны из одной среды в другую изменяется, хотя частота колебаний остается неизменной.

SБ = A cos(w t - j0) = A cos(w t - w t0) = A cosw (t - t0)

Подставляя значение t0 = , где V - скорость распространения волны, получим:

SБ =. (15)

Заменив в уравнении V = nl и w = 2 pn , тогда:

SБ = .

Таким образом, смещение S точек среды в упругой волне является функцией двух переменных: времени t и расстояния x точки от центра возбуждения колебаний, то есть S = f1(x,t).

Если выбрать определенный момент времени (t1 = const), то уравнение дает зависимость смещения от расстояния x: St = f2(x) , то есть величину смещений точек среды вдоль направления x в заданный момент времени t1. График этой зависимости (как бы моментальный снимок волны) называют графиком волны . Для простой (гармонической) волны график имеет форму синусоиды или косинусоиды.

Рис. 7. График плоской волны

1.5 Энергетические характеристики волны

механическое колебание гармонический спектр

Для мгновенного значения энергии (потенциальной и кинетической) одной частицы можно записать:

, (18)

где S- смещение частицы, w- частота колебания частицы, A- амплитуда колебания частицы, V- скорость волнового процесса, в котором участвует частица, m – масса одной частицы.

eср = .

Рассчитаем энергию волны для некоторого объема DV среды, в которой она распространяется.

Если в единице объема среды содержится N частиц, то r = Nm —плотность среды и среднее значение энергии волны в объеме DV будет:

Еср =(19)

где — объемная плотность энергии волны.

Величина, численно равная средней энергии Еср , переносимой волной в единицу времени t через заданную поверхность S, перпендикулярную направлению распространения волны, называется потоком энергии через эту поверхность:

Ф = (20)

и измеряется в единицах мощности - Вт.

Поток энергии, приходящийся на единицу поверхности, называется плотностью потока энергии:

(21)

и измеряется в Вт/м2. Плотность потока энергии называют также интенсивностью волны.

В векторной форме:

. (22)

Плотность потока энергии, переносимого волной, можно рассматривать как вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости волны.

. (23)

Вектор Умова для упругой волны зависит от плотности среды, квадрата амплитуды колебания частиц, квадрата частоты колебаний и скорости распространения волны.

Список использованных источников

1. Биофизика: Учебник / Тарусов Б. Н., Антонов В. Ф., Бурлакова Е. В. и др. – М.: Высшая школа, 1968. – 464 с.

2. Аккерман Ю. Биофизика: Учебник. – М.: Мир, 1964. – 684 с.

3. Ремизов А. Н. Медицинская и биологическая физика: Учеб. для мед. спец. Вузов. – М.: Высшая школа, 1999. – 616 с.

5. Ливенцев Н. М. Курс физики: Учеб. для вузов. В 2-х т. – М.: Высшая школа, 1978. – т. 1. - 336 с., т. 2. - 333 с.

6. Волькенштейн М. В. Общая биофизика: Монография - М.: Наука, 1978. – 599 с.

www.yurii.ru

Механические колебания и волны | Рефераты KM.RU

Простое гармоническое колебание

Рассмотрим тело массой m, подвешенное на пружине в положении равновесия. Смещая тело вниз, можно вызвать колебание тела. Если - смещение тела от положения равновесия, то в пружине возникает сила F (сила упругости), направленная в противоположную смещению сторону. В соответствии с законом Гука, сила упругости пропорциональна смещению Fупр = -k·S , где k - константа, которая зависит от упругих свойств пружины. Сила является отрицательной, поскольку она стремится вернуть тело в положение равновесия.

Таким образом, m·d2S/d2t = -k·S (1) . Перемещая все члены равенства и деля их на m, получим уравнения d2S/d2t +(k/m)·S = 0,

а затем d2S/d2t +ω02·S = 0 (2), где k/m = ω02

Уравнение (2) является дифференциальным уравнением простого гармонического колебания.

Решение уравнения (2) дает две функции:

S = A sin(ω0t + φ0) (3) и S = A cos(ω0t + φ0) (4)

График уравнения простого гармонического колебания представлен на Рис. 1. Тело, первоначально смещенное на расстояние А – амплитуды колебания, а затем отпущенное, продолжает колеблется от -A и до A за время T - период колебания.

Рис 1.

Простое гармоническое колебание имеет следующие основные характеристики:

a) движущееся тело попеременно находится по обе стороны от положения равновесия;

б) тело повторяет свое движение за определенный интервал времени;

c) ускорение тела всегда пропорционально смещению и направлено противоположно ему;

д) графически этот тип колебания описывает синусоида.

Затухающее колебание

Рис 2.

Перенеся все члены равенства в одну сторону, разделив каждый член на m и заменяя k/m = ω2,r/m = 2β , получим дифференциальное уравнение свободных гармонических затухающих колебаний

где β - коэффициент затухания, характеризующий затухание колебаний за единицу времени.

Решением уравнения является функция S = A0·e-βt ·sin(ωt + φ0) (8)

Вынужденное колебание и резонанс

Механические волны

Распространение колебаний из одного места в другое называется волновым движением, или просто волной.

Существуют механические волны двух видов.

Выделяют следующие характеристики волн.

(1) Амплитуда - максимальное смещение колеблющейся частицы среды от ее положения равновесия (A).

(2) Период – время, необходимое частице для одного полного колебания (T).

(5) Скорость волны является скоростью распространения в пространстве пика волны (v).

(2) Если источник волны колеблющаяся плоская поверхность, то образуется плоская волна.

Эффект Доплера

Аналогичный эффект следует в случае, если наблюдатель перемещается относительно неподвижного источника.

Общее уравнение для эффекта Доплера имеет вид

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.all-fizika.com/

Дата добавления: 24.12.2013

www.km.ru

Реферат Механические колебания

Опубликовать скачать

Реферат на тему:

План:

1 Классификация
- 1.1 По физической природе
- 1.2 По характеру взаимодействия с окружающей средой
2 Характеристики

Введение

Отличие колебания от волны

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму.

Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования энергии.

1. Классификация

Выделение разных видов колебаний зависит от подчёркиваемых свойств колеблющихся систем (осцилляторов)

1.1. По физической природе

Механические (звук, вибрация)
Электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые)
Смешанного типа — комбинации вышеперечисленных

1.2. По характеру взаимодействия с окружающей средой

Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.
Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебания являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.
Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является, то что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.
Параметрические — колебания, возникающие при изменение какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.
Случайные — колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является случайным процессом.

2. Характеристики

Амплитуда — максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы, $A\,\!$ (м)
Период — промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), $T\,\!$ (сек)
Частота — число колебаний в единицу времени, $f\,\!$ (Гц, сек−1).

Период колебаний $T\,\!$ и частота $f\,\!$ — обратные величины;

$T=\frac{1}{f}\qquad\,\!$ и $f=\frac{1}{T}\,\!$

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота $\omega\,\!$ (рад/сек, Гц, сек−1), показывающая число колебаний за 2π единиц времени:

$\omega =\frac{2\pi}{T} =2\pi f\,\!$

Смещение — отклонение тела от положения равновесия. Обозначение Х, Единица измерения метр.
Фаза колебаний — определяет смещение в любой момент времени, то есть определяет состояние колебательной системы.

Литература

Физика. Большой энциклопедический словарь/Гл. ред. А. М. Прохоров. — 4-е изд. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — С. 293—295. ISBN 5-85270-306-0 (БРЭ)

Колебания и волны

скачатьДанный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 10.07.11 01:05:53Похожие рефераты: Механические часы, Механические свойства, Механические вычислительные машины, Механические приложения интегралов, Механические свойства материалов, Механические мулы (Волшебная страна), Механические приложения криволинейных интегралов, Механические приложения тройного интеграла, Механические приложения двойного интеграла.

Категории: Теория колебаний, Физические процессы.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.

wreferat.baza-referat.ru

Реферат: Механические колебания. Механические колебания реферат

Механические колебания

Реферат Механические колебания

Механические колебания и волны | Рефераты KM.RU

Реферат - Механические колебания и волны

Реферат: Механические колебания

Механические колебания и волны | Рефераты KM.RU

Реферат Механические колебания

План:

Введение

1. Классификация

1.1. По физической природе

1.2. По характеру взаимодействия с окружающей средой

2. Характеристики

Литература

Смотрите также