Логарифм. Логарифм реферат

Реферат Десятичный логарифм

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Вещественный логарифм
- 1.1 Свойства
- 1.2 Логарифмическая функция
- 1.3 Натуральные логарифмы
- 1.4 Десятичные логарифмы
2 Комплексный логарифм
- 2.1 Определение и свойства
- 2.2 Примеры
- 2.3 Аналитическое продолжение
- 2.4 Риманова поверхность
3 Исторический очерк
- 3.1 Вещественный логарифм
- 3.2 Комплексный логарифм
4 Логарифмические таблицы
5 Приложения

Введение

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Логари́фм числа b по основанию a (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»[1]) определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: $\log_a b\,$ . Из определения следует, что записи $\log_a b = x\,$ и $a^x=b\,\!$ равносильны.

Например, $\log_2 8 = 3\,$ , потому что $2^3 = 8\,\!$ .

1. Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа logab имеет смысл при $a>0, a \ne 1, b>0$ . Как известно, показательная функция y = ax монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа вcегда существует и определено однозначно.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Натуральные: $\ln\,a$ , основание: e (число Эйлера).
Десятичные: $\lg\,a$ , основание: число 10.
Двоичные: $\log_2\,a$ или $\operatorname{lb}\,a$ , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

1.1. Свойства

Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$
$\log_a a = 1;\;\log_a 1 = 0$
Логарифм произведения: $\log_a (bc)\ = \log_a |b| + \log_a |c| \quad (bc>0)$

Доказательство

Докажем, что $a^{\log_a |b| + \log_a |c|} = bc$ .

$a^{\log_a |b| + \log_a |c|}= a^{\log_a |b|} \cdot a^{\log_a |c|}=|b| \cdot |c| = |b \cdot c|=bc$ (так как по условию bc > 0). ■

Логарифм частного от деления: $\log_a \frac{b}{c} = \log_a |b| - \log_a |c| \quad \left( \frac {b} {c} >0 \right)$

Доказательство

Докажем, что $a^{\log_a |b| - \log_a |c|} = \frac {b} {c}$

$a^{\log_a |b| - \log_a |c|}= \frac {a^{\log_a |b|}} {a^{\log_a |c|}}= \frac {|b|} {|c|} = \left | \frac {b} {c} \right |= \frac {b} {c}$ (так как по условию $\frac {b} {c} >0)$ ■

Замена основания логарифма: $\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}$

Доказательство

Используем для доказательства тождество $a^{\log_a b} = b$ . Логарифмируем обе части тождества по основанию c. Получаем:

$\log_c a^{\log_a b} = \log_c b \Leftrightarrow \log_a b \cdot \log_c a = log_c b \Leftrightarrow \log_a b = \frac {\log_c b} {\log_c a}$ ■

Логарифм степени: $\log_a (b^p) = p\ \log_a |b| \quad (b^p > 0)$

Доказательство

Докажем, что $a^{p\ \log_a |b|} = b^p$ .

$a^{p\ \log_a |b|} = \left (a^{\log_a |b|} \right)^p = |b|^p=\left |b^p \right |=b^p$ (так как bp > 0 по условию). ■

Логарифм корня: $\log_a \sqrt[k\,]{x} = \left( \frac {1} {k} \right) log_a {x}$

Логарифм со степенным основанием: $\log_{a^k} b = \frac {1} {k} \log_a b$

Доказательство

Докажем, что $(a^k)^{\frac {1} {k} \log_a b} = b$

$(a^k)^{\frac {1} {k} \log_a b} = a^{k \cdot \frac {1} {k} \log_a b} = a^{\log_a b} = b$ ■

Доказательство

Логарифмируем левую и правую части по основанию c:

Левая часть: $\log_c d \cdot \log_c a$ Правая часть: $\log_c a \cdot \log_c d$

Равенство выражений очевидно. Т. к. логарифмы равны, то в силу монотонности логарифмической функции равны и сами выражения. ■

1.2. Логарифмическая функция

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию y = logax (см. рис. 1). Она определена при $~a>0;\ a \ne 1; x>0$ . Область значений: $E(y)=(-\infty; + \infty )$ .

Функция является строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 < a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Прямая x = 0 является левой вертикальной асимптотой, поскольку $\lim_{x \to 0+0} \log_a x = - \infty$ при a > 1 и $\lim_{x \to 0+0} \log_a x = + \infty$ при 0 < a < 1.

Производная логарифмической функции равна:

$\frac {d} {dx} \ln x = \frac {1} {x}$
$\frac {d} {dx} \log_a x = \frac {1} {x \cdot \ln a}$

Доказательство [2]

I. Докажем, что $(\ln x)' = \frac {1} {x}$

Запишем тождество elnx = x и продифференцируем его левую и правую части

Получаем, что $e^{\ln x} \cdot (\ln x)' = 1$ , откуда следует, что $(\ln x)' = \frac {1} {e^{\ln x}} = \frac {1} {x}$

II. Докажем, что $(\log_a x)' = \frac {1} {x \cdot \ln a}$

$(\log_a x)' = \left( \frac {\ln x} {\ln a} \right)'=\frac {1} {\ln a} (\ln x)' = \frac {1} {x \cdot \ln a}$ ■

Логарифмическая функция осуществляет изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел.

1.3. Натуральные логарифмы

Связь с десятичным логарифмом: $\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x;\ \ \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x$ .

Как указано выше, для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

$(\ln x )' = \frac{1}{x}$

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

Неопределенный интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

$\int{\ln x\,\mathrm dx} = x\ln x-x+C$

Разложение в ряд Тейлора может быть представлено следующим образом:при $-1 < x \leqslant 1$ справедливо равенство

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

(1)

В частности,

$\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right)$

(2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

1.4. Десятичные логарифмы

Рис. 2а. Логарифмическая шкала

Рис. 2б. Логарифмическая шкала с обозначениями

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала используется во многих областях науки, например:

Физика — интенсивность звука (децибелы).
Астрономия — шкала яркости звёзд.
Химия — активность водородных ионов (pH).
Сейсмология — шкала Рихтера.
Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
История — логарифмическая шкала времени.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

2. Комплексный логарифм

2.1. Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначим $\mathrm{Ln}\, w$ и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что ez = w. Комплексный логарифм существует для любого $w \ne 0$ , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

$w=r \cdot e^{i \varphi}$ ,

то логарифм $\mathrm{Ln}\,w$ находится по формуле:

$\mathrm{Ln}\,w = \{\ln r + i \left ( \varphi + 2 \pi k \right ),\,k\in\Z \} .$

Здесь $\ln\,r$ — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента $\varphi$ в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается $\ln\,z$ . Иногда через $\ln\, z$ также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

$\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)$

Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

$\ln (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)$

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями. Пример такой связи:

$\arcsin z = -i \ln (i z + \sqrt{1-z^2})$

2.2. Примеры

Приведём главное значение логарифма для некоторых аргументов:

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

iπ = ln( − 1) = ln(( − i)2) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (k = − 1). Причина ошибки — неосторожное использования свойства $\log_a{(b^p)} = p~\log_a b$ , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

2.3. Аналитическое продолжение

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая Γ начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке w кривой Γ можно определить по формуле:

$\ln w = \int\limits_\Gamma {dz \over z}$

Если Γ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

$\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma$

Если разрешить кривой Γ пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

$\ln' z = {1\over z}$

Для любой окружности S, охватывающей точку 0:

$\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i$

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведенного ряда (1), обобщённого на случай комплексного аргумента. Однако из вида разложения следует, что в единице он равен нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма.

2.4. Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1, особые точки: z = 0 и $z=\infty$ (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.

3. Исторический очерк

3.1. Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), изданной посмертно в 1619 году его сыном.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом[3]:

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

$\operatorname{LogNap}(x) = M \cdot (\ln(M) - \ln(x))$

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. $\operatorname{LogNap}(0) = \infty$ .

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера. Уже спустя 5 лет, в 1619 г., лондонский учитель математики Джон Спайделл (John Speidell) переиздал таблицы Непера, преобразованные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов (хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил). Термин «натуральный логарифм» предложил итальянский математик Пьетро Менголи (Pietro Mengoli)) в середине XVI века[4].

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

3.2. Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x). Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

4. Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n. Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3. Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.

Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.

Профессиональный сборник для точных вычислений.

Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.

В настоящее время с распространением калькуляторов необходимость в использовании таблиц логарифмов отпала.

5. Приложения

Логарифмическая спираль Наутилуса

Литература

Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. Петроград, 1923. −78 с.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
Том 2 Математика XVII столетия. (1970)

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Наука, 1960.

wreferat.baza-referat.ru

Реферат Логарифмические функции

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Вещественный логарифм
- 1.1 Свойства
- 1.2 Логарифмическая функция
- 1.3 Натуральные логарифмы
- 1.4 Десятичные логарифмы
2 Комплексный логарифм
- 2.1 Определение и свойства
- 2.2 Примеры
- 2.3 Аналитическое продолжение
- 2.4 Риманова поверхность
3 Исторический очерк
- 3.1 Вещественный логарифм
- 3.2 Комплексный логарифм
4 Логарифмические таблицы
5 Приложения

Введение

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Например, $\log_2 8 = 3\,$ , потому что $2^3 = 8\,\!$ .

1. Вещественный логарифм

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Натуральные: $\ln\,a$ , основание: e (число Эйлера).
Десятичные: $\lg\,a$ , основание: число 10.
Двоичные: $\log_2\,a$ или $\operatorname{lb}\,a$ , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

1.1. Свойства

Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$
$\log_a a = 1;\;\log_a 1 = 0$
Логарифм произведения: $\log_a (bc)\ = \log_a |b| + \log_a |c| \quad (bc>0)$

Доказательство

Докажем, что $a^{\log_a |b| + \log_a |c|} = bc$ .

$a^{\log_a |b| + \log_a |c|}= a^{\log_a |b|} \cdot a^{\log_a |c|}=|b| \cdot |c| = |b \cdot c|=bc$ (так как по условию bc > 0). ■

Логарифм частного от деления: $\log_a \frac{b}{c} = \log_a |b| - \log_a |c| \quad \left( \frac {b} {c} >0 \right)$

Доказательство

Докажем, что $a^{\log_a |b| - \log_a |c|} = \frac {b} {c}$

$a^{\log_a |b| - \log_a |c|}= \frac {a^{\log_a |b|}} {a^{\log_a |c|}}= \frac {|b|} {|c|} = \left | \frac {b} {c} \right |= \frac {b} {c}$ (так как по условию $\frac {b} {c} >0)$ ■

Замена основания логарифма: $\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}$

Доказательство

$\log_c a^{\log_a b} = \log_c b \Leftrightarrow \log_a b \cdot \log_c a = log_c b \Leftrightarrow \log_a b = \frac {\log_c b} {\log_c a}$ ■

Логарифм степени: $\log_a (b^p) = p\ \log_a |b| \quad (b^p > 0)$

Доказательство

Докажем, что $a^{p\ \log_a |b|} = b^p$ .

$a^{p\ \log_a |b|} = \left (a^{\log_a |b|} \right)^p = |b|^p=\left |b^p \right |=b^p$ (так как bp > 0 по условию). ■

Логарифм корня: $\log_a \sqrt[k\,]{x} = \left( \frac {1} {k} \right) log_a {x}$

Логарифм со степенным основанием: $\log_{a^k} b = \frac {1} {k} \log_a b$

Доказательство

Докажем, что $(a^k)^{\frac {1} {k} \log_a b} = b$

$(a^k)^{\frac {1} {k} \log_a b} = a^{k \cdot \frac {1} {k} \log_a b} = a^{\log_a b} = b$ ■

Доказательство

Логарифмируем левую и правую части по основанию c:

Левая часть: $\log_c d \cdot \log_c a$ Правая часть: $\log_c a \cdot \log_c d$

1.2. Логарифмическая функция

Производная логарифмической функции равна:

$\frac {d} {dx} \ln x = \frac {1} {x}$
$\frac {d} {dx} \log_a x = \frac {1} {x \cdot \ln a}$

Доказательство [2]

I. Докажем, что $(\ln x)' = \frac {1} {x}$

Запишем тождество elnx = x и продифференцируем его левую и правую части

Получаем, что $e^{\ln x} \cdot (\ln x)' = 1$ , откуда следует, что $(\ln x)' = \frac {1} {e^{\ln x}} = \frac {1} {x}$

II. Докажем, что $(\log_a x)' = \frac {1} {x \cdot \ln a}$

$(\log_a x)' = \left( \frac {\ln x} {\ln a} \right)'=\frac {1} {\ln a} (\ln x)' = \frac {1} {x \cdot \ln a}$ ■

1.3. Натуральные логарифмы

Связь с десятичным логарифмом: $\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x;\ \ \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x$ .

Как указано выше, для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

$(\ln x )' = \frac{1}{x}$

Неопределенный интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

$\int{\ln x\,\mathrm dx} = x\ln x-x+C$

Разложение в ряд Тейлора может быть представлено следующим образом:при $-1 < x \leqslant 1$ справедливо равенство

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

(1)

В частности,

$\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right)$

(2)

1.4. Десятичные логарифмы

Рис. 2а. Логарифмическая шкала

Рис. 2б. Логарифмическая шкала с обозначениями

Физика — интенсивность звука (децибелы).
Астрономия — шкала яркости звёзд.
Химия — активность водородных ионов (pH).
Сейсмология — шкала Рихтера.
Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
История — логарифмическая шкала времени.

2. Комплексный логарифм

2.1. Определение и свойства

$w=r \cdot e^{i \varphi}$ ,

то логарифм $\mathrm{Ln}\,w$ находится по формуле:

$\mathrm{Ln}\,w = \{\ln r + i \left ( \varphi + 2 \pi k \right ),\,k\in\Z \} .$

Из формулы следует:

Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

$\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)$

Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

$\ln (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)$

$\arcsin z = -i \ln (i z + \sqrt{1-z^2})$

2.2. Примеры

Приведём главное значение логарифма для некоторых аргументов:

iπ = ln( − 1) = ln(( − i)2) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.

2.3. Аналитическое продолжение

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

$\ln w = \int\limits_\Gamma {dz \over z}$

$\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma$

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

$\ln' z = {1\over z}$

Для любой окружности S, охватывающей точку 0:

$\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i$

2.4. Риманова поверхность

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.

3. Исторический очерк

3.1. Вещественный логарифм

$\operatorname{LogNap}(x) = M \cdot (\ln(M) - \ln(x))$

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

3.2. Комплексный логарифм

4. Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.

Профессиональный сборник для точных вычислений.

Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.

5. Приложения

Логарифмическая спираль Наутилуса

Литература

Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. Петроград, 1923. −78 с.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
Том 2 Математика XVII столетия. (1970)

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Наука, 1960.

wreferat.baza-referat.ru

Реферат Натуральный логарифм

скачать

Реферат на тему:

План:

1 История
2 Конвенции об обозначениях
3 Происхождение термина натуральный логарифм
4 Определение
5 Свойства
6 Производная, ряд Тэйлора
7 Натуральный логарифм в интегрировании
8 Численное значение
- 8.1 Высокая точность
- 8.2 Вычислительная сложность
9 Непрерывные дроби
10 Комплексные логарифмы

Введение

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x).

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2.718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), loge(x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается.[1]

Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x)) — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln(7.389...) равен 2, потому что e2=7.389.... Натуральный логарифм самого числа e (ln(e)) равен 1, потому что e1 = e, а натуральный логарифм 1 (ln(1)) равен 0, поскольку e0 = 1.

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный». Это определение можно расширить на комплексные числа, о чём будет сказано ниже.

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:

$e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{if }x > 0\,\!$ $\ln(e^x) = x.\,\!$

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

$\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \!\,$

Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции:

$\ln : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}.$

Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.

1. История

Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году,[2] хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.[3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом,[4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.

2. Конвенции об обозначениях

Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x)», либо «ln(x)» , а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log10(x)».

Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x)» (или изредка «loge(x)»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x)» у них означает log10(x).

В наиболее часто используемых языках программирования и пакетах прикладных программ, включая C, C++, SAS, MATLAB, Фортран и BASIC функция «log» или «LOG» относится к натуральному логарифму.

В ручных калькуляторах натуральный логарифм обозначается ln,тогда как log служит для обозначения логарифма по основанию 10.

В теоретической информатике, теории информации и криптографии «log(x)» обычно означает логарифм по основанию 2 «log2(x)» (хотя часто вместо этого пишется просто lg(x)).

3. Происхождение термина натуральный логарифм

Сначала может показаться, что поскольку наша система счисления имеет основание 10, то это основание является более «натуральным», чем основание e. Но математически число 10 не является особо значимым. Его использование скорее связано с культурой, оно является общим для многих систем счисления, и связано это, вероятно, с числом пальцев у людей.[5] Некоторые культуры основывали свои системы счисления на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60.[6][7][8]

loge является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:[9]

$\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln(b)} \ln{x} \right) = \frac{1}{\ln(b)} \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x\ln(b)}$

Если основание b равно e, то производная равна просто 1/x, а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.

Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление.[10]

4. Определение

ln(x) определяется как площадь под кривой f(x) = 1/x от 1 до x.

Формально ln(a) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a, т. е. как интеграл:

$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.$

Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!$

Это можно продемонстрировать, допуская $t=\tfrac xa$ следующим образом:

$\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b)$

Число e может быть определено как единственное действительное число a такое, что ln(a) = 1.

Или же, если показательная функция была определена раньше с использованием бесконечных рядов, натуральный логарифм может быть определён как обратная к ней функция, т. е. ln — это функция, такая что $e^{\ln(x)} = x\!$ . Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественных числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных x.

5. Свойства

$\ln(1) = 0\,$

$\ln(-1) = i \pi \quad \,$

(комплексный логарифм)

$\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y\;$

$\frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm for}\quad h > -1\;$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,$

6. Производная, ряд Тэйлора

Полиномы Тейлор дают точную аппроксимацию для $\ln (1+x)\,$ только в диапазоне -1 x ≤ 1. Заметим, что для x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени дают аппроксимацию хуже.

Производная натурального логарифма равна

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,$

На основании этого можно выполнить разложение $\ln(1+x)\,$ в ряд Тейлора около 0, называемого иногда рядом Меркатора:

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm for}\quad \left|x\right| \leq 1\quad$ ${\rm unless}\quad x = -1$

Справа дано изображение $\ln (1+x)\,$ и некоторых её полиномов Тейлора около 0. Эти аппроксимации сходятся к функции только в области 1 < x ≤ 1, а за её пределами полиномы Тейлора высших степеней дают аппроксимацию менее точную.

Подставляя x-1 для x, получим альтернативную форму для ln(x), а именно:

$\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n$ $\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots$ ${\rm for}\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad {\rm unless}\quad x = 0.$ [11]

С помощью преобразования Эйлера ряда Меркатор можно получить следующее выражение, которое справедливо для любого х больше 1 по абсолютной величине:

$\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots$

Этот ряд похож на формулу Бэйли—Боруэйна—Плаффа.

Также заметим, что $x \over {x-1}$ — это её собственная инверная функция, поэтому для получения натурального логарифма определенного числа y нужно просто для x присвоить значение $y \over {y-1}$ .

7. Натуральный логарифм в интегрировании

Натуральный логарифм даёт простую интегральную функцию вида g(x) = f '(x)/f(x): первообразная функции g(x) имеет вид ln(|f(x)|). Это подтверждается цепным правилом и следующим фактом:

$\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.$

В другом виде:

$\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C$

$\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.$

Ниже дан пример для g(x) = tan(x):

$\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx$ $\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.$

Пусть f(x) = cos(x) и f'(x)= - sin(x):

$\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C$ $\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C$

где C — произвольная константа.

Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям:

$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.$

8. Численное значение

Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:

$\ln(1+x)= x \,\left( \frac{1}{1} - x\,\left(\frac{1}{2} - x \,\left(\frac{1}{3} - x \,\left(\frac{1}{4} - x \,\left(\frac{1}{5}- \cdots \right)\right)\right)\right)\right) \quad{\rm for}\quad \left|x\right|<1.\,\!$

Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:

при условии, что y = (x−1)/(x+1) и x > 0.

Для ln(x), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:

Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.

8.1. Высокая точность

Чтобы вычислить натуральный логарифм с большим количеством цифр точности, ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.

Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:[12][13]

$\ln x \approx \frac{\pi}{2 M(1,4/s)} - m \ln 2$

где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и

$s = x \,2^m > 2^{p/2},$

m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)

8.2. Вычислительная сложность

Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.

9. Непрерывные дроби

Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:

$\log(1+x)=\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots= \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}}$ $\log \left( 1+\frac{2x}{y} \right) = \cfrac{2x} {y+\cfrac{x} {1+\cfrac{x} {3y+\cfrac{2x} {1+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {1+\ddots}}}}}} = \cfrac{2x} {y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(y+x)-\ddots}}}}$

10. Комплексные логарифмы

Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида ex для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x. Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого ex = 0, и оказывается, что e2πi = 1 = e0. Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то ez = ez+2nπi для всех комплексных z и целых n.

Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости, и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi. Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, и т.д., и хотя i4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi, или 10πi или −6 πi, и так далее.

Функции натурального логарифма на комплексной плоскости (главная ветвь)
Суперпозиция трёх предыдущих графиков

Примечания

Mathematics for physical chemistry - books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC. — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5, Extract of page 9 - books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC&pg=PA9
J J O'Connor and E F Robertson The number e - www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html. The MacTutor History of Mathematics archive (2001-09).
Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed - books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq="Cajori" "A History of Mathematics" . — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024
Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials - www.humboldt.edu/~mef2/Presentations/Estimations.html.
Boyers Carl A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 1968.
Harris, John (1987). «Australian Aboriginal and Islander mathematics - www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf» (PDF). Australian Aboriginal Studies 2: 29–37.
Large, J.J. (1902). «The vigesimal system of enumeration - www.jps.auckland.ac.nz/document/?wid=636». Journal of the Polynesian Society 11 (4): 260–261.
Cajori first=Florian (1922). «Sexagesimal fractions among the Babylonians». American Mathematical Monthly 29 (1): 8–10. DOI:10.2307/2972914 - dx.doi.org/10.2307/2972914.
Larson Ron Calculus: An Applied Approach - books.google.com/books?id=rbDG7V0OV34C. — 8th. — Cengage Learning, 2007. — P. 331. — ISBN 0-618-95825-8
Ballew, Pat Math Words, and Some Other Words, of Interest - www.pballew.net/arithme1.html#ln.
"Logarithmic Expansions" at Math3.org - www.math3.org/math/expansion/log.htm
(1982) «Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) - ci.nii.ac.jp/naid/110002673332». Journal of Information Processing 5 (4): 247–250. Проверено 30 March 2011.
(1999) «Fast computations of the exponential function» 1564: 302–312. DOI:10.1007/3-540-49116-3_28 - dx.doi.org/10.1007/3-540-49116-3_28.

wreferat.baza-referat.ru

Логарифм. Логарифм реферат

Реферат Десятичный логарифм

План:

Введение

1. Вещественный логарифм

1.1. Свойства

1.2. Логарифмическая функция

1.3. Натуральные логарифмы

1.4. Десятичные логарифмы

2. Комплексный логарифм

2.1. Определение и свойства

2.2. Примеры

2.3. Аналитическое продолжение

2.4. Риманова поверхность

3. Исторический очерк

3.1. Вещественный логарифм

3.2. Комплексный логарифм

4. Логарифмические таблицы

5. Приложения

Литература

Реферат Логарифмические функции

План:

Введение

1. Вещественный логарифм

1.1. Свойства

1.2. Логарифмическая функция

1.3. Натуральные логарифмы

1.4. Десятичные логарифмы

2. Комплексный логарифм

2.1. Определение и свойства

2.2. Примеры

2.3. Аналитическое продолжение

2.4. Риманова поверхность

3. Исторический очерк

3.1. Вещественный логарифм

3.2. Комплексный логарифм

4. Логарифмические таблицы

5. Приложения

Литература

Реферат Натуральный логарифм

План:

Введение

1. История

2. Конвенции об обозначениях

3. Происхождение термина натуральный логарифм

4. Определение

5. Свойства

6. Производная, ряд Тэйлора

7. Натуральный логарифм в интегрировании

8. Численное значение

8.1. Высокая точность

8.2. Вычислительная сложность

9. Непрерывные дроби

10. Комплексные логарифмы

Примечания

Смотрите также