История простых чисел. История возникновения простых чисел реферат

История простых чисел | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Слайд 2

В этом году мы изучили тему «Простые и составные числа», и мне стало интересно, кто из учёных занимался их изучением, как получить простые числа, кроме тех, которые содержатся на форзаце нашего учебника (от 1 до 1000), это стало целью выполнения этой работы. Задачи: 1. Изучить историю открытия простых чисел. 2. Познакомиться с современными методами отыскания простых чисел. 3. Узнать о том, в каких научных областях применяются простые числа. 4. есть ли среди русских учёных имена тех, кто занимался изучением простых чисел.

Слайд 3

Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его? Ч. Узерелл .

Слайд 4

Пифагор и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число , равное сумме всех его делителей ( без самого числа ) , они называли совершенным числом. Например ,числа 6 (6 = 1 + 2 +3) , 28 (28 = 1+2+4+7+14) совершенные. Следующие совершенные числа – 496, 8128, 33550336.. Пифагор ( VI в. до н.э.)

Слайд 5

Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа . Четвёртое – 8128 – стало известным в первом веке н.э. Пятое – 33550336 – было найдено в XV в. К 1983 г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Слайд 6

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем , что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Слайд 7

Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно – в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа.

Слайд 8

Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид ( III в. до н.э.) в своей книге («Начала»), бывшей на протяжении 2000 лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть большее простое число Евклид ( III в. до н.э.)

Слайд 9

Для отыскания простых чисел другой греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является не простым, не составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 числа, кратные двум, т.е. 4,6,8, и т.д .

Слайд 10

Первым оставшимся числом после двух было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после трёх (числа кратные 3, т.е. 6,9,12, и т.д.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Слайд 11

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на тянутом папирусе , а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Слайд 12

Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

Слайд 13

Евклид ( III в. до н.э.) доказал, что между натуральным числом n и n ! обязательно найдётся хотя бы одно простое число. Тем самым он доказал, что натуральный ряд чисел бесконечен. В середине Х I Х в. русский математик и механик Пафнутий Львович Чебышев доказал более сильную теорему, чем Евклид. Между натуральным числом n и числом в 2 раза больше его, т.е. 2 n содержится хотя бы одно простое число. То есть, в теореме Евклида число n ! заменил числом 2n. Пафнутий Львович Чебышёв (1821-1894) русский математик и механик

Слайд 14

Возникает следующий вопрос: «Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.

Слайд 15

Заключение Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эрастофен предложил первый алгоритм тестирования чисел на простоту. Чебышев и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел. На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство гипотезы Римана. Она входит в семерку неразрешенных проблем тысячелетия, за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

Слайд 16

Интернет – источники и литература http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjajavvvjavvvvva/0-7 Учебник «Математика» для шестого класса образовательных учреждений /Н.Я. Виленкин , В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург – М. Мнемозина 2010 г./

nsportal.ru

Простые числа. История возникновения.

История простых чисел

Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его? Ч. Узерелл.

Пифагор

( VI в. до н.э.)

Пифагор и его ученики изучали вопрос о делимости чисел.

Число , равное сумме всех его делителей ( без самого числа ) , они называли совершенным числом. Например ,числа

6 (6 = 1 + 2 +3) ,

28 (28 = 1+2+4+7+14) совершенные.

Следующие совершенные числа – 496, 8128, 33550336..

Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа . Четвёртое – 8128 – стало известным в первом веке н.э. Пятое – 33550336 – было найдено в XV в. К 1983 г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Евклид

( III в. до н.э.)

Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.) в своей книге («Начала»), бывшей на протяжении 2000 лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть большее простое число

Для отыскания простых чисел другой греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является не простым, не составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 числа, кратные двум, т.е. 4,6,8, и т.д .

Первым оставшимся числом после двух было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после трёх (числа кратные 3, т.е. 6,9,12, и т.д.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на тянутом папирусе , а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

Евклид (III в. до н.э.) доказал, что между натуральным числом n и n! обязательно найдётся хотя бы одно простое число. Тем самым он доказал, что натуральный ряд чисел бесконечен. В середине ХIХ в. русский математик и механик Пафнутий Львович Чебышев доказал более сильную теорему, чем Евклид. Между натуральным числом n и числом в 2 раза больше его, т.е. 2n содержится хотя бы одно простое число. То есть, в теореме Евклида число n! заменил числом 2n.

Пафнутий Львович Чебышёв

(1821-1894)

русский математик и механик

Возникает следующий вопрос: «Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.

Заключение

• Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков.
• Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много.
• Эрастофен предложил первый алгоритм тестирования чисел на простоту.
• Чебышев и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел.
• На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида.
• Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство гипотезы Римана. Она входит в семерку неразрешенных проблем тысячелетия, за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

multiurok.ru

История простых чисел

Разные задачи, связанные с простыми числами, были и остаются до сих пор важными и интересными для математики, многие из них до сих пор не решены, и с их исследованием связаны любопытные факты из истории математики.

Так, еще в XVI—XVII вв. математиками начали рассматриваться числа вида $2^n-1$, и при исследовании их на простоту в истории было допущено много ошибок. Ясно, что если n — составное число, то это число также составное: если $n=km$, то $2^n-1=(2^k)^m-1^m$ — как разность степеней делится на разность оснований, т.е. не является простым, и поэтому естественно рассматривать только простые числа n.

Но и при простых n это число может оказаться составным: например, 211=2047=23•89, оно составное и при n=23, и n=37, что установлено Ферма, через 40 с лишним лет обнаружившим ошибку в работе другого исследователя, утверждавшего, что при n=23, 29, 31, 37 число $2^n-1$ простое, но не заметившего другой ошибки: при n=29 оно также не является простым. А это обнаружил — еще примерно через 100 лет — Эйлер, а также и то, что при n=31 это число все же действительно является простым.

В XVII в. числами вида $2^n-1$ занимался французский монах Марен Мерсенн, который привел полный список простых n от 2 до 257, для которых эти числа являются простыми, в котором он предвосхитил указанный выше результат Эйлера, но и этот список содержал ошибки, и одну из них нашел спустя два с половиной века, в 1883 г., русский сельский священник-учитель Иван Михеевич Первушин. Это событие отмечено мемориальной доской на его доме в Зауралье — в г. Шадринске Курганской области. А ошибочно указанные Мерсенном n=67 и n=257 были исключены из его списка лишь в XX в.

Конечно, в современном Мире за такие ошибки могли бы и в суд подать, и тогда Мерсенну понадобилось бы юридическое представительство интересов в суде от хорошего адвоката. Хотя сейчас юридически представлять интересы в суде могут многие, но настоящими профессионалами являются только единицы. А французскому монаху уже вообще все равно!

Простые числа вида $2^n-1$ получили название чисел Мерсенна, и до сих пор математики не знают, конечно или бесконечно множество таких чисел, а в 1996 г. найдено тридцать пятое число Мерсенна — при n=1 398 629, и в нем примерно 400 тысяч цифр, 15 мая 2004 г. найдено тридцать шестое число, при этом компьютеру понадобилось на это несколько часов. Ясно, что найти такое громадное число без использования компьютеров немыслимо. В истории математики есть и еще один казус, связанный с простыми числами, так называемыми числами Ферма — числами вида $2^{2^n}+1$. Опять понятно, почему показатель степени k=2п имеет такой, казалось бы, частный вид, но 2п — это общий вид числа, не имеющего нечетных простых делителей, а если этот показатель k имеет такой делитель p, то число 2п+1 не является простым: если k=pq, то 2k+1=(2q)р+1p, а сумма нечетных степеней делится на сумму оснований. Сам Ферма считал, что эти числа все являются простыми, но Эйлер показал, что это утверждение ошибочно, нашел к нему контрпример: $2^{32}+1=4 294 967 297=641\times6 700 417$.

И самое удивительное открытие в связи с числами Ферма сделал великий математик Гаусс, имя которого вы наверняка слышали в связи с его моментальным вычислением суммы 1+2+3+…+100: оказывается, что правильный n-угольник можно построить тогда и только тогда, когда все нечетные простые делители числа n являются числами Ферма. Поэтому, в частности, правильный 7-угольник циркулем и линейкой построить нельзя, а 17-угольник — можно: $17=2^{2^2}+1$.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Смотрите также

• 
  История белого медицинского халата реферат
• 
  Как возникла древнерусская письменность реферат
• 
  Герои 1 мировой войны реферат
• 
  Байкальский заповедник реферат 3 класс
• 
  Агрохимические показатели плодородия почвы реферат
• 
  Алгоритм анализа конфликтной ситуации реферат
• 
  Актуальные задачи современной культурологии реферат
• 
  Реферат духовные искания евгения онегина
• 
  Реферат на тему полезные микробы
• 
  Планирование ресурсного обеспечения предприятия реферат
• 
  Реферат кифоз грудного отдела позвоночника