Курсовая работа: Дифференциальное исчисление функций. Дифференциальное исчисление реферат

Реферат Дифференциальное исчисление

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- 1.1 Производная
- 1.2 Касательная прямая
- 1.3 Точки экстремума
- 1.4 Непрерывные функции
- 1.5 Основные теоремы дифференциального исчисления

Введение

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1.1. Производная

Пусть функция g(h) определена в окрестности h = 0 и для любого ε > 0 найдётся такое δ, что

| g(h) / hn | < ε, лишь только | h | < δ,

тогда говорят, что g(h) — бесконечно малое порядка o(hn).

Пусть f(x) — вещественнозначная функция, заданная на отрезке (a,b). Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале (a,b), если

$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2!}f''(x)h^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(x)h^n + o(h^n)$

для любого $x\in(a,b)$ и любого n. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке (a,b) функции образуют кольцо гладких функций $C^\infty(a,b)$ .

Коэффициенты f(n)(x)

$f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+ \dots \frac{1}{n!}f^{(m+n)}(x)h^n + o(h^n)$

Эти функции называют производными функции f(x). Первая производная может быть вычислена как предел

$f'(x)=\lim\limits_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Оператор, сопоставляющий функции f(x) её производную f'(x) обозначают как

$D= \frac{d}{dx}$

При этом для двух гладких функций f и g верно

D(f + g) = Df + Dg и D(fg) = fDg + gDf

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке (a,b), является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

1.2. Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

y = f(c) + f'(c)(x − c)

пересекает кривую

y = f(x)

в точке (c,f(c)) таким образом, что знак выражения

$f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)=\frac{1}{2}f''(c)(x-c)^2+o((x-c)^2)$

при условии $f''(c)\not =0$ всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

y = f(x)

лежит по одну сторону от прямой

y = f(c) + f'(c)(x − c)

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке x = c (по Б. Кавальери). Точку x = c, в которой кривая

y = f(x)

не лежит по одну сторону от прямой

y = f(c) + f'(c)(x − c)

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

1.3. Точки экстремума

Точка x = c называется точкой локального максимума (минимума), если

$f(c)-f(c+h)>0 \quad (f(c)-f(c+h)<0 )$

для всех достаточно малых по модулю h. Из соотношения

$f'(c)h+\frac{1}{2}f''(c)h^2+ o(h^2)<0$

сразу видно, что f'(c) = 0 — необходимое условие максимума, а f''(c) < 0 — достаточное условие максимума. Условие f'(c) = 0 выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

1.4. Непрерывные функции

Пусть f определена и на концах интервала [a,b]; говорят, что она непрерывна на [a,b], если для любого ε найдётся такое δ, что

| f(x) − f(x + h) | < ε, лишь только | h | < δ,

и точки $x,\, x+h$ не выходят за границы интервала [a,b]. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале [a,b] функции образуют кольцо непрерывных функций C[a,b].

1.5. Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на [a,b] и гладких на (a,b) функций обладает рядом важных свойств:

Теорема Ролля: если f(a) = f(b) = 0, то имеется точка $c\in (a,b)$ максимума или минимума, в которой f' обращается в нуль.
Теорема Лагранжа: существует такая точка $c\in (a,b)$ , что

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

Теорема Коши: если $g'\not =0$ на (a,b), то существует такая точка $c\in (a,b)$ , что

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке $(a',b')\subset (a,b)$ найдутся такие точки cn, что

$f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+\frac{1}{2!}f''(a')(b'-a')^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(a')(b'-a')^n + R_n$

где

$R_n=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c_n)(b'-a')^{n+1}$

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке b' по известным значениям функции и её производных в точке a'.

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если f(b) = g(b) = 0 или $f(b)=g(b)=\infty$ , и $g'\not =0$ на (a,b), то

$\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f'(x)}{g'(x)},$

причём существование второго предела влечёт существование первого.

wreferat.baza-referat.ru

" История дифференциального исчисления "

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА

МОСКВЫ

"КОЛЛЕДЖ ПОЛИЦИИ"

Реферат по дисциплине Математика

на тему: " История дифференциального исчисления "

Выполнил

Курсант 11 взвода

Пастухова А.В.

Преподаватель

Зайцева О.Н.

Москва

2015

Содержание:

Понятие дифференциальное исчисление стр. 3
Возникновение дифференциального исчисления как начало науки нового времени стр. 3
Исаак Ньютон стр. 8
Готфрид Вильгельм Лейбниц стр. 10
История применения дифференцированного исчисления стр. 12
Лейбниц и дифференциальное исчисление стр. 14
Ссылка на источники стр. 18

Возникновение дифференциального исчисления как начало науки нового времени.

В современном научном сообществе принято однозначно разделять науку на античный период и период нового времени. Но в чём же состоит отличие этих периодов? Чем принципиально отличался научный подход Платона, Аристотеля и прочих известных учёных античности от подхода крупных деятелей науки нового времени? В реальности, у разделения на два периода существует множество оснований. В рамках данной статьи мы рассмотрим одно, наиболее фундаментальное и показательное основание – возникновение дифференциального исчисления. Через предпосылки к появлению этого известнейшего метода в современной науке в трудах философов и математиков мы сможем проследить чёткую границу между античным и современным взглядом на науку, однозначно ответив на поставленные в начале статьи вопросы.

Рубеж XVI-XVII вв. в истории науки действительно был переломным моментом, когда европейская наука совершила качественный скачок. В это время был совершен переход от античной науки к науке нового времени. Ни для кого не секрет, что «локомотивами» прогресса в рассматриваемый период были такие великие учёные как Рене Декарт, Галилео Галилей, Иоганн Кеплер, Бонавентура Кавальери, Исаак Ньютон. Каждый из них сказал свое новое слово в механике, математике, астрономии и прочих дисциплинах. Но не столько важны их заслуги в отдельных науках, сколько важен вклад в формирование методологии науки нового времени. Плоды трудов этих известных ученых в области методологии науки имели широкое распространение, и многие из них по сей день остаются основополагающими принципами современной науки. Но что связывает изыскания названных ранее великих умов между собой? Легче всего связь методологических достижений самых крупных деятелей науки XVI-XVII вв. можно проследить именно через историю возникновения дифференциального исчисления и «принцип непрерывности», так или иначе встречающийся в трудах Кеплера, Кавальери, Декарта, а позднее Ньютона и Лейбница. Формировавшееся изначально как прикладной метод, не имеющий отношения к науке, дифференциальное исчисление присутствовало во многих фундаментальных научных трудах в виде частных положений, базовых принципов и позднее сформировалось в полноценный научный метод. П.П. Гайденко в монографии «История новоевропейской философии в её связи с наукой» берет за точку отсчета обособленного формирования дифференциального исчисления труд Иоганна Кеплера «Новая стереометрия винных бочек» относимый к 1615 году. Как отмечалось, Кеплер не рассматривал дифференциальное исчисление как новый метод в математике; скорее как метод так называемой логистики, отвечавшей за решение прикладных задач. Кеплер не считал дифференциальное исчисление относящимся к строгой науке по причине своей неточности и малой теоретической обоснованности, что противоречило его пониманию о строгой науке. Позднее, отмечает П.П. Гайденко, Бонавентурой Кавальери была сделана попытка преобразовать технический метод, предложенный Кеплером, в полноценный научный метод в своем труде «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» 1635-го года. Однако, как отмечается в рассматриваемой монографии, нельзя считать труд Кеплера как однозначное начало дифференциального исчисления.

Формированию дифференциального исчисления как прикладного, а позднее и научного метода, предшествовало появление стройной философской теории, созданной Николаем Кузанским. П.П. Гайденко пишет: «Изучая работы Кузанца с этой точки зрения, можно прийти к выводу, что создание дифференциального исчисления не только стимулировалось практическими потребностями техники расчета, но и подготавливалось философско-теоретическими размышлениями, стремлением по-новому решить проблемы континуума и числа, непрерывного и неделимого, пространства и движения». Действительно, работы Николая Кузанского можно считать эволюционным развитием суждений античной науки. Принимая во внимание тот факт, что Николай Кузанский не был математиком, нельзя переоценить его вклад в развитие математического метода. Он впервые ушел от рассмотрения арифметики как наиболее точной науки, тем самым поставив античную математику под сомнение. Античные математики считали универсальным критерием «единое», «единицу». Кузанский же в свою очередь предлагает иную точку зрения, приводя в качестве меры бесконечность, а не конкретное число. Таким образом, он инвертирует понимание точности в математике. Разделяя научное знание на «рассудочное» (к которому относит античную арифметику) и «интеллектуальное», наиболее точным Николай Кузанский называет второе, когда как первое, по его мнению, является лишь приблизительным. В своем труде «О предположениях» он пишет: «Если обратишься к единству рассудка, интеллекту, где число пять не больше числа три или числа два и нет различения четных, нечетных, больших и малых чисел, потому что всякое рассудочное число разрешается там, в простейшее единство, то окажется, что равенство двух и трех пяти истинно только в сфере рассудка» . Эти суждения являются основными идеями «принципа непрерывности», упомянутого ранее, который в дальнейшем стал идейной основой для формирования дифференциального исчисления как научного метода.

Нетрудно проследить влияние суждений, выдвинутых Николаем Кузанским в трудах Кавальери и Галилея, также сопрягавших понятие бесконечности и единицы. Однако труд «О предположениях» является не единственной работой Николая Кузанского, имеющей отсылки к дифференциальному исчислению. В качестве примера можно привести труд под названием «О возможности-бытии», в котором философ рассматривает мир не как совокупность вещей, а как процесс. Здесь он выводит важный термин – «возможность-бытие». В.Ф. Шаповалов в статье «Философия науки и техники: о смысле науки и техники и о глобальных угрозах научно-технической эпохи» определяет этот термин как «дифференциал мирового бытия» и раскрывает его следующим образом: «Это сжатый (или стянутый) максимум, и как таковой он представляет собой подобие высшего, божественного максимума» . Действительно, при прочтении работы Николая Кузанского мы можем встретить следующее утверждение: «В самом деле, если кто обратится к линии и применит возможность бытия, с тем чтобы увидеть возможность-бытие линии, то есть чтобы увидеть, что линия в действительности есть то, чем она может быть, и что она есть все то, чем, по его пониманию, она может сделаться, то во всяком случае из одного того соображения, что она есть возможность-бытие, он усматривает, что она есть равным образом линия наибольшая и наименьшая. Ведь поскольку она есть то, чем она может быть, она не в состоянии быть больше – так она оказывается наибольшей; и она не может быть меньше – так она оказывается наименьшей. И так как она есть то, чем может сделаться линия, она есть граница всех поверхностей». Данная цитата подтверждает верность трактовки термина «возможность-бытие» как некоего подобия дифференциала, применяемого в общемировом понимании.

Принципы, изложенные Николаем Кузанским, нашли себе более широкое применение, нежели как один из математических методов. Рене Декарт, в труде «О методе», берет принцип непрерывности за основу понимания методологии науки, таким образом, обозначая связь между своими фундаментальными суждениями и идеями, лежащими в основе дифференциального исчисления. Однако, связь учения Декарта о методе с принципами дифференциального исчисления куда глубже. В основе его понимания метода лежит математика. По Декарту природа понимается через величину, фигуру и движение. Каждое из этих определений является предметом математического знания, следовательно, математика способна описать саму природу через сравнение этих элементов. Однако для сравнения требуется единица измерения. Декарт определяет единицу измерения как «то всеобщее свойство, к которому должны быть приобщены все вещи, сравниваемые между собой». Данное высказывание, очевидно, является отсылкой к пониманию бесконечности как меры. Декарт, также, внёс существенный вклад в развитие дифференциального исчисления как научного метода. Ведь именно он ввёл понятие движения в математику, таким образом, пусть не напрямую, но введя понятие математической функции, и, в дальнейшем, успешно оперируя этим понятием. Таким образом, как пишет Гайденко, «Математика в руках Декарта становится формально-рациональным методом, с помощью которого можно «считать» любую реальность, устанавливая в ней меру и порядок с помощью нашего интеллекта» . То есть мы видим, что в трудах Декарта однозначно завершился переход от античной науки к науке нового времени, начатый Николаем Кузанским. И в очередной раз мы убеждаемся, что этот переход в значительной степени определялся увеличением значения принципов, лежащих в основе дифференциального исчисления.

Говоря о развитии дифференциального исчисления нельзя обойти стороной две персоналии, внесшие, возможно, наиболее важный вклад в процесс становления этого метода: Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Математический инструментарий, созданный этими великими учеными, является основой современной математики. Ярким примером является так называемая формула Ньютона-Лейбница или основная теорема анализа, фактически являющаяся связующим звеном дифференциального и интегрального исчисления. Особенно интересным фактом в данной связи является то, что Ньютон и Лейбниц создавали аппарат дифференциального исчисления параллельно и независимо примерно в одно и то же время. Д.А. Граве в своей статье «Дифференциальное исчисление» из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона пишет: «Идеи нового исчисления уже настолько созрели и, так сказать, носились в умах, что вполне естественно, что Ньютон и Лейбниц могли сделать открытие совершенно независимо, не переговариваясь и не заимствуя друг у друга». Действительно, как уже ранее отмечалось в этой статье, плоды трудом многих ученых в течение долгого времени складывались в большую теорию, формализованную, систематизированную и развитую в итоге двумя наиболее выдающимися математиками конца XVII века. Таким образом, данный пример в истории математики является веским доказательством того, что крупные открытия в науке совершаются на основе целого ряда предшествующий изысканий.

Рассмотрим философские принципы, заложенные в теории Ньютона и Лейбница, и попробуем проследить в них наследие ученых предшественников, которое уже обсуждалось в данной статье. Готфрид Лейбниц, как и Исаак Ньютон, в своей теории проецирует выведенные им законоположения и математический аппарат на вопрос об устройстве мира, формируя, таким образом, свой философский взгляд через методологию дифференциального исчисления. Интересное суждение Б. Эрдмана, исследователя трудов Лейбница, приводится в упомянутой ранее монографии «История новоевропейской философии в её связи с наукой» П.П. Гайденко: «Согласно Эрдману, математические работы Лейбница были «пунктом кристаллизации его философии». С одной стороны, они были «решающими для всего здания его метафизики», где монады суть «гипостазированные дифференциалы», а Вселенная – «гипостазированный интеграл». С другой стороны, на почве этих работ выросли «общая наука» и «универсальная характеристика», оказавшие сильное влияние в XVIII и XIX вв. [1]. Действительно, здесь мы как важно было дифференциальное исчисление для философской модели мира, предложенной Лейбницем.

Более конкретно роль дифференциального исчисления прослеживается в так называемой теории «малых восприятий», развивающейся параллельно с его теорией «бесконечных восприятий». П.П. Гайденко приводит достаточно ёмкий пример Лейбница, который он использовал для объяснения упомянутых теорий: «Чтобы пояснить мою мысль о малых восприятиях, которых мы не можем различить в массе, я обычно пользуюсь примером шума моря... Шум этот можно услышать, лишь услышав составляющие это целое части, т.е. услышав шум каждой волны, хотя каждый из этих малых шумов воспринимается лишь неотчетливо в совокупности всех прочих шумов, хотя каждый из них небыл бы замечен, если бы издающая его волна была одна. В самом деле, если бы на нас не действовало слабое движение этой волны и если бы мы не имели какого-то восприятия каждого из этих шумов, как бы малы они ни были, то мы не имели бы восприятия шума ста тысяч волн, так как сто тысяч ничто не могут составить нечто». Это суждение, сейчас понятное каждому, однозначно показывает, всю глубину влияния метода дифференциального исчисления на понимание мира и, соответственно, на формирование новой науки как таковой, то есть полный и окончательный уход от античных постулатов.

Однако, нельзя умалять роли Исаака Ньютона в процессе математизации науки и ее переходе в новое время. Морис Клайн в своем труде «Утрата определенности» отзывался о роли работ Ньютона следующим образом: «Если убеждение в том, что математические законы естествознания представляют собой истины, органически включенные господом богом в созданный им план Вселенной, и подвергалось каким-то сомнениям, то они были окончательно развеяны Исааком Ньютоном» . Помимо переломного для естествознания закона о всемирном тяготении, выведенного не без влияния со стороны законов движения Галилея, Ньютон также предложил множество других законов механики, опираясь именно на математику, созданный им для этих целей математический аппарат. Таким образом, математический подход Ньютона к физическим явлениям, ядром которого является дифференциальное исчисление как наиболее перспективный метод, дал начало целой плеяде фундаментальных работ не менее известных последователей великого учёного: Тейлора, Маклорена, Лапласа, Лагранжа, Даламбера.

Подводя итоги приведенных рассуждений, можно утверждать, что дифференциальное исчисление и его основные принципы – это граница между античной наукой и наукой нового времени. Ведь именно в рамках развития данного метода была совершена переоценка взглядов на математику, преобразившая не только отдельно взятую научную дисциплину, но и методологию науки в целом. Одной из самых значимых особенностей истории развития дифференциального исчисления как важнейшего научного метода было его изначальное возникновение как прикладного метода у многих известных ученых XVI-XVII вв., большинство из которых тем или иным образом продолжали идеи Николая Кузанского, изложенные еще в XV веке. Такое начало позволило сформировать огромный пласт знаний и суждений, что привело к оформлению дифференциального исчисления как полноценного, а впоследствии и важнейшего, научного математического метода познания мира.

ИСААК НЬЮТОН (1643-1727)

В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити-колледже. Однако чума, бушевавшая в Англии, заставила Ньютона уединиться на своей ферме, в Вулсторпе. «Чумные каникулы» затянулись почти на два года. «Я в то время был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже», - писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Он обнаружил, что 3-й закон Кеплера о связи между периодами обращения планет и расстоянием до Солнца с необходимостью следует, если предположить, что сила притяжения Солнца обратно пропорциональна квадрату расстояния до планеты.

Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулсторпе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г. В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон вычислил производную и интеграл любой степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа. Ньютон также находит формулу для различных степеней суммы двух чисел (см. Ньютона бином), причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел (см. Ряды). Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях.

Когда Ньютон вернулся в Кембридж в 1666 г., он привез бесчисленные и бесценные результаты своих математических занятий в Вулсторпе. У него пока не было времени привести их в форму, пригодную для публикации, и он не торопится с этим. Дел у него прибавляется, в 1669 г. он получает физико-математическую кафедру. В 1672 г. его выбирают членом Лондонского королевского общества (английской Академии наук).

В 1680 г. Ньютон начинает работу над основным своим сочинением «Математические начала натуральной философии», в котором он задумал изложить свою систему мира. Выход книги был крупным событием в истории естествознания. В ней все величественное здание механики строится на основании аксиом движения, которые теперь известны под названием законов Ньютона.

В «Началах» Ньютон чисто математически выводит все основные известные в то время факты механики земных и небесных тел, законы движения точки и твердого тела, кеплеровы законы движения планет.

Многие математические труды Ньютона так и не были своевременно опубликованы. Первые его сравнительно подробные публикации относятся к 1704 г. Это работы «Перечисление кривых третьего порядка», где описаны свойства этих кривых, и «Рассуждения о квадратуре круга», посвященные дифференциальному и интегральному исчислениям.

В 1688 г. И. Ньютона выбирают в парламент, а в 1699 г. он переезжает в Лондон, где получает пожизненное место директора монетного двора.

Работы И. Ньютона надолго определили пути развития физики и математики. Значительная часть классической механики надолго сохранилась в виде, созданном Ньютоном. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ (1646-1716)

Математика не была его единственной страстью. С юных лет ему хотелось познать природу в целом, и математика должна была стать решающим средством в этом познании. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Научные и общественные планы Лейбница были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки». Он хотел выделить простейшие понятия, из которых по определенным правилам можно сформировать все сколь угодно сложные понятия. Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок. Он думал о машине, которая выводит теоремы из аксиом, о превращении логических утверждений в арифметические (эта идея была воплощена в жизнь в нашем веке).

Но грандиозность замыслов уживалась у Лейбница с пониманием того, что может быть непосредственно осуществлено. Он не может организовать всемирную академию, но в 1700 г. организует академию в Берлине, рекомендует Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница. Он прекрасно умеет решать конкретные задачи и в математике: создает новый тип арифмометра, который не только складывает и вычитает числа, но и умножает, делит, возводит в степень и извлекает квадратные и кубические корни, решает трудные геометрические задачи. Вводит понятие определителя и закладывает основы теории определителей. И все же Лейбниц всегда стремился рассмотреть любой вопрос под самым общим углом зрения. Скажем, X. Гюйгенс замечает сохранение энергии на примере некоторых механических задач, а Лейбниц пытается преобразовать это утверждение во всеобщий закон природы, он рассматривает Вселенную в целом как вечный двигатель (предварительная формулировка закона сохранения энергии).

Но особенно ярко проявились эти качества Лейбница, когда он, узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, по совету последнего знакомится с работой Б. Паскаля о циклоиде. Он начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий, универсальный метод решения широкого круга задач и что Паскаль остановился перед решающим шагом, «будто на его глазах была пелена». Лейбниц создает дифференциальное и интегральное исчисления, которые в другом варианте были построены, но не опубликованы И. Ньютоном.

Ученый, занимавшийся разработкой универсального языка, понимает, какую роль в новом исчислении должна играть символика ( см. Знаки математические). Без символики (которая сохранилась до наших дней в форме, предложенной Лейбницем) метод математического анализа не вышел бы за пределы узкого круга избранных (как это было с алгеброй до символики Виета-Декарта). Кстати, Лейбниц предложил несколько других математических знаков, например (равенство), (умножение). В отличие от Ньютона Лейбниц потратил много сил на передачу своего метода другим математикам, среди которых выделялись братья Якоб и Иоганн Бернулли. По его инициативе создается журнал, в котором группа математиков оттачивает методы нового математического анализа.

Смысл своей жизни Лейбниц видел в познании природы, в создании идей, помогающих раскрыть ее законы.

История применения дифференцированного исчисления

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1)о разыскании касательной к произвольной линии

2)о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500-1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяли Ньютон и Лейбниц. Ей посвятил целый трактат в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лагранж.

Дифференциальное исчисление – широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию. В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников. Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводиться к нахождению экстремума функции.

Применение производной позволяет увидеть планируемые действия, понять их необходимость, тем самым, помогая экономистам в составлении успешных бизнес-планов.

Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс – интегрирование.

Определение производной, выдерживая определённую концепцию, по – своему преподносят в современных учебниках Алимов, Башмаков и Колмагоров.

Принято считать, что трактовка производной Алимовым в учебнике направлена в основном на то, каким образом применяются формулы производной на практике. Каждое дополнение к понятию производной автор обязательно закрепил задачами.

Колмогоров отводит данной теме более большой объём. Может быть, характер производной раскрыт более сложно и вызывает затруднения, но подробная детализация некоторых аспектов гарантирует высокую подготовку.

Учебник Башмакова принято считать более подходящим для самостоятельного изучения материала. Понятия производной Башмаков излагает очень кратко, но последовательность доказательств помогает просто и понятно вникнуть в тему. Особая характерная черта – Башмаков все абстрактные математические понятия «воплощает» в жизни, предлагая конкретные примеры.

Заключение: Применение производной довольно широко. Однако в наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.

Лейбниц и дифференциальное исчисление

Введение

Исследованиями в области дифференциальных исчислений занимались многие знаменитые ученые, Ньютон, Лейбниц, Барроу и др. Однако главная заслуга принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу.

Ученый установил четкие правила для простейших операций, из которых строятся более сложные, и постоянную связь их с определенной системой обозначений. Метод Лейбница был представлен в такой форме, которую легко можно было усвоить и затем применять механически, придерживаясь определенных правил для простых операций. Это было преимуществом для математиков, которые менее глубоко чувствовали предмет. Данное обстоятельство привело к созданию школы Лейбница.

Лейбниц Готфрид Вильгельм (01.07.1646 - 14.11.1716) - немецкий математик, физик и философ, организатор и первый президент Берлинской АН (1700), член Лондонского королевского общества (1673), член Парижской АН (1700).

Родился Лейбниц в Лейпциге. В 1661 поступил на юридический факультет Лейпцигского университета. Кроме юридических наук изучал философию и математику, занимался вопросами химии, геологии, конструированием ветряного двигателя для насосов, выкачивающих воду из шахт. Особенно плодотворной была научная деятельность Лейбница в области математики.

На изучение Лейбницем математики большое влияние оказал Гюйгенс. Последний предложил задачу определения суммы чисел, обратных треугольным, т. е. чисел вида

Но на решении этой задачи Лейбниц не остановился, он нашел также сумму чисел, обратных пирамидальным, и других рядов, что явилось подготовкой к созданию дифференциального исчисления.

Лейбниц продолжил работу в этом направлении, штудируя труды Кавальери, Григория и Паскаля в области инфинитезимальных исследований. Ученый усвоил работы в этой области настолько, что мог применять их самостоятельно, что доказал новым инфинитезимальным преобразованием, из которого получалось большинство известных на тот период квадратур. Теперь это преобразование получают из выражения для площади сектора, ограниченного двумя радиусами-векторами и бесконечно малой дугой. Сам Лейбниц при создании дифференциального исчисления, также пользовался этим дифференциальным выражением. В более же ранних своих рукописях и письмах он использует ту же геометрическую форму, что давали и его предшественники.

На рис. 1 к кривой AC проведена касательная EC, отсекающая отрезок AE. Этот отрезок берется в качестве ординаты BF точки F, которая обладает одинаковой абсциссой с точкой C. Площадь, ограниченная геометрическим местом этой точки, осью абсцисс и двумя ординатами, больше площади сектора, ограниченного дугою кривой AC и радиусами-векторами, проведенными из A к ее концам, в два раза. Если рассмотреть бесконечно малые части этих фигур (прямоугольники и треугольники) то, из подобия треугольников можно увидеть, что основание и высота бесконечно малого прямоугольника обратно пропорциональны высоте и основанию соответствующего бесконечно малого треугольника.

Предположив, что основание треугольника ACD (бесконечно малого сектора) элемент дуги кривой CD, тогда высотой будет перпендикуляр AH, выходящий из начала координат на касательную DCH .

Прямоугольные треугольники AHE и CDG подобны, следовательно, . Что в силу равенств и можно записать как:

Последнее равенство показывает, что площадь прямоугольника равна удвоенной площади сектора: .

Используя метод Ферма для определения касательных к параболам и гиперболам разных порядков, Лейбниц определил, что вспомогательная кривая также является параболой и гиперболой того же порядка, но с новым параметром. Таким образом, вычисляя площадь круга, ученый получил и разложил ее в ряд. Он нашел аналогичный ряд для .

Изучение бесконечных знакопеременных рядов привело ученого к рассмотрению сходимости таких рядов. Лейбниц выдвинул предположение, что бесконечный ряд с чередующимися знаками имеет конечную сумму при условии, что абсолютная величина членов убывает и стремится в пределе к нулю.

Независимо от изучения рядов Лейбниц выдвинул ряд мыслей по нахождению касательной к произвольной кривой при помощи характеристического треугольника, образованного разностями между абсциссами и между ординатами двух бесконечно близких точек и лежащей между этими точками дугою. Эти величины позже будут названы ученым dх,dу,dz. Но похожие размышления были обнаружены Лейбницем у Барроу и Грегори после изучения их работ. Однако исследователем были сделаны интересные наблюдения. Вследствие того, что при рассматриваемом определении касательных применяются разности dу между ординатами, которые соответствуют разностям между абсциссами dх, то в обратную сторону ордината уявляется суммой этих разностей. На основании того, что задача о квадратуре сводится к определению такой же суммы, Лейбниц высказывает мнение, что почти все учение об обратных задачах на касательные можно представить в виде квадратур. Таким образом, была установлена связь между дифференцированием и интегрированием.

Над этими мыслями Лейбниц работал в течение нескольких лет. Во время этой работы он не обратил внимание на работы Барроу в этой же области. Это обстоятельство сыграло важную роль: Барроу предложил свои размышления в более легкой форме, если бы Лейбниц заметил это, то, возможно, у него не было бы случая создать свой аппарат. Барроу в своих работах представлял все величины геометрически. Величина в его работах изображается в виде площади, ограниченной осью абсцисс, кривою и двумя ординатами. Поэтому для Барроу безразлично будут ли промежутки dх между ординатами у равными или нет. В то время как Лейбниц придерживался представления Паскаля ( умноженной на бесконечно малый множитель суммы бесконечно большого числа у.Данное представление предполагает, что промежутки между ординатами у равны. В этом случае равенство (при нижнем пределе равном 0), не дает возможности Лейбницу заключить, что равен , так как независимая переменная -. И то, что величины равны между собой, ученому придется доказывать отдельно.

В процессе работы над этими исследованиями ученый развил свою инфинитезимальную символику. Исследования также проводились по определенным установленным им правилам исчисления. Эти правила используются и теперь.

Небольшое сочинение Лейбница, появившееся 1684 году, положило действительное начало исчислению бесконечно малых, дав правила, которые были достаточно просты для начала, и комбинация которых давала возможность дальнейшей работы. Оно открывает новую эпоху в истории математики. Сам Лейбниц уже ранее решал многие задачи исчисления бесконечно малых, чем то, что представлено в его работе.

Путем изучения литературы, через письменное и личное общение с другими математиками он усвоил существовавшие тогда методы и основательно их переработал. Благодаря этому он смог быстро двинуться вперед в своей работе.

Из всех современных ему математиков Лейбниц в наибольшей степени является лицом, с именем которого связано начало новой эпохи, в основном, благодаря тому, что наиболее значительные работы начала новой эпохи были созданы на основе введенных Лейбницем форм (это обстоятельство способствовало развитию последних), а также потому, что эти формы используются до сих пор.

Ссылка на источники:

https://ru.wikipedia.org/wiki

http://www.scienceforum.ru

http://sernam.ru/book_e_math

http://cyber.econ.spbu.ru

infourok.ru

Реферат: Дифференциальное исчисление функций

Содержание

1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение

3. Интегральное исчисление функции одного переменного

1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

1. Вычислить предел: .

Решение.

При имеем

Следовательно,

2. Найти асимптоты функции: .

Решение.

Очевидно, что функция не определена при .

Отсюда получаем, что

Следовательно, – вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.

Следовательно, – наклонная асимптота при .

3. Определить глобальные экстремумы: при .

Решение.

Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .

А затем находим критические точки.

Теперь найдем значение функции на концах отрезка.

Сравниваем значения и получаем:

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .

Решение.

Сначала находим .

Затем находим критические точки.

x		–3		0
	–	0	+	0	+
	убывает	min	возрастает	возрастает	возрастает

Отсюда следует, что функция

возрастает при ,

убывает при .

Точка – локальный минимум.

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .

Решение

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.

x		–2		1
	–	0	–	0	+
	вогнутая	перегиб	выпуклая	перегиб	вогнутая

Отсюда следует, что функция

выпуклая при ,

вогнутая при .

Точки , – точки перегиба.

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .

Решение.

1) Область определения функции

2) Функция не является четной или нечетной, так как

3) Теперь найдем точки пересечения с осями:

а) с оx: , б) с oy .

4) Теперь найдем асимптоты.

а)

А значит, является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

Отсюда следует, что

является наклонной асимптотой при .

5) Теперь найдем критические точки

не существует при .

не существует при

x		0		2		4
	+	0	–	Не сущ.	–	0	+
	–	–	–	Не сущ.	+	+	+
y	возрастает выпуклая	max	убывает выпуклая	не сущ.	убывает вогнутая	min	возрастает вогнутая

Построим эскиз графика функции

2. Найти локальные экстремумы функции .

Решение.

Сначала найдем частные производные

Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.

То есть мы получили одну критическую точку: . Исследуем ее.

Далее проведем исследование этой точки.

Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка

Для точки :

Следовательно, точка не является точкой экстремума.

Это означает, что точек экстремума у функции

нет.

3. Определить экстремумы функции , если .

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа

И исследуем ее

(Учитываем, что по условию )

То есть мы получили четыре критические точки.

В силу условия нам подходит только первая .

Исследуем эту точку.

Вычислим частные производные второго порядка:

Отсюда получаем, что

Теперь продифференцируем уравнение связи

Для точки

Далее получаем

То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.

Следовательно, – точка условного локального максимума.

1–3. Найти неопределенный интеграл

1. .

Решение.

2. .

Решение.

4. Вычислить .

Решение.

5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение.

www.referatmix.ru

Реферат - Дифференциальное исчисление функций

Содержание

1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение

3. Интегральное исчисление функции одного переменного

1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

1. Вычислить предел: .

Решение.

При имеем

Следовательно,

2. Найти асимптоты функции: .

Решение.

Очевидно, что функция не определена при .

Отсюда получаем, что

Следовательно, – вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.

Следовательно, – наклонная асимптота при .

3. Определить глобальные экстремумы: при .

Решение.

А затем находим критические точки.

Теперь найдем значение функции на концах отрезка.

Сравниваем значения и получаем:

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .

Решение.

Сначала находим .

Затем находим критические точки.

x		–3
	–	+	+
	убывает	min	возрастает	возрастает	возрастает

Отсюда следует, что функция

возрастает при ,

убывает при .

Точка – локальный минимум.

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .

Решение

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.

x		–2		1
	–	–	+
	вогнутая	перегиб	выпуклая	перегиб	вогнутая

Отсюда следует, что функция

выпуклая при ,

вогнутая при .

Точки , – точки перегиба.

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .

Решение.

1) Область определения функции

2) Функция не является четной или нечетной, так как

3) Теперь найдем точки пересечения с осями:

а) с о x: , б) с oy .

4) Теперь найдем асимптоты.

а)

А значит, является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

Отсюда следует, что

является наклонной асимптотой при .

5) Теперь найдем критические точки

не существует при .

не существует при

x			2		4
	+	–	Не сущ.	–	+
	–	–	–	Не сущ.	+	+	+
y	возрастает выпуклая	max	убывает выпуклая	не сущ.	убывает вогнутая	min	возрастает вогнутая

Построим эскиз графика функции

2. Найти локальные экстремумы функции .

Решение.

Сначала найдем частные производные

Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.

То есть мы получили одну критическую точку: . Исследуем ее.

Далее проведем исследование этой точки.

Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка

Для точки :

Следовательно, точка не является точкой экстремума.

Это означает, что точек экстремума у функции

нет.

3. Определить экстремумы функции , если .

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа

И исследуем ее

(Учитываем, что по условию )

То есть мы получили четыре критические точки.

В силу условия нам подходит только первая .

Исследуем эту точку.

Вычислим частные производные второго порядка:

Отсюда получаем, что

Теперь продифференцируем уравнение связи

Для точки

Далее получаем

То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.

Следовательно, – точка условного локального максимума.

3. Интегральное исчисление функции одного переменного

1–3. Найти неопределенный интеграл

1. .

Решение.

2. .

Решение.

4. Вычислить .

Решение.

5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение.

www.ronl.ru