Нестандартные алгоритмы счета или быстрый счет без калькулятора. Быстрый счет без калькулятора реферат

Приемы быстрого счета без калькулятора

Хоть и считается, что математика наводит ужас на значительную часть населения, но деньги считать умеют все. И вот как раз влет это умеют делать люди, далекие от математики.

Помнится, бабушка моего мужа показывала ему на пальцах таблицу умножения на 9. Никакого образования, только огромная практика торговли редиской и клубникой на рынке!

Так вот сегодня я предлагаю вам несколько интересненьких приемов устного счета. Ведь сколько бы замечательных гаджетов (телефоны, смартфоны, айподы и айпады, ай, да чего там…) своя голова она всегда лучше.

Итак, читаем, тут же проверяем и запоминаем приемы вычисления в уме.

1. Умножение на 11

Умножать на 11 чуть сложнее, чем умножать на 10. Закономерность здесь такая:

53 х 11 = 583Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 583

59 х 11 = 649Шаг 1 — 5 + 9 = 14Шаг 2 — Перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9: 5 + 1 = 6 (справа остается второй символ, в данном случае это четверка)Шаг 3 — На первый символ мы единицу уже перекинули, получили 6. Далее у нас осталась 4, которую ставим в центр, и дописываем 9: 649

2. Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

85 х 85 = 7225Шаг 1 — Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1) = 72Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25: 7225

45 x 45 = 2025Шаг 1 — 4 х (4 + 1) = 20Шаг 2 — 2025

3. Умножение на 5

Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Или нет? Этот прием невероятно прост.

Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5.

Это срабатывает всегда:2682×5 = (2682 / 2) & 5 или 02682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)13410Давайте попробуем другой пример:5887×52943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)29435

4. Умножение на 9

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

5. Умножение на 4

Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232

6. Подсчет чаевых

Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это.

Высчитайте 10% (разделите число на 10), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)$2.50 + $1.25 = $3.75

И, как следствие):  чтобы умножить число на 1,5 нужно к исходному числу прибавить его половину. Например,

34*1,5 = 34+17=51

125*1,5= 125+62,5=187,5

7. Сложное умножение

Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:32×125 все равно, что:16×250 все равно, что:8×500 все равно, что:4×1000 = 4,000

8. Деление на 5

На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно,— просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5Шаг1: 195×2 = 390Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.2978 / 5Шаг1: 2978×2 = 5956Шаг2: 595,6

9. Вычитание из 1000

Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10:

1000-648

Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2Ответ: 352

И, напоследок, несколько математических трюков:

Интересные результаты:

1 х 1 = 111 х 11 = 121111 х 111 = 123211111 х 1111 = 123432111111 х 11111 = 123454321111111 х 111111 = 123456543211111111 х 1111111 = 123456765432111111111 х 11111111 = 123456787654321111111111 х 111111111 = 12345678987654321

1 х 9 + 2 = 1112 х 9 + 3 = 111123 х 9 + 4 = 11111234 х 9 + 5 = 1111112345 х 9 + 6 = 111111123456 х 9 + 7 = 11111111234567 х 9 + 8 = 1111111112345678 х 9 + 9 = 111111111123456789 х 9 + 10 = 1111111111

9 х 9 + 7 = 8898 х 9 + 6 = 888987 х 9 + 5 = 88889876 х 9 + 4 = 8888898765 х 9 + 3 = 888888987654 х 9 + 2 = 88888889876543 х 9 + 1 = 8888888898765432 х 9 + 0 = 888888888

1 х 8 + 1 = 912 х 8 + 2 = 98123 х 8 + 3 = 9871234 х 8 + 4 = 987612345 х 8 + 5 = 98765123456 х 8 + 6 = 9876541234567 х 8 + 7 = 987654312345678 х 8 + 8 = 98765432123456789 х 8 + 9 = 987654321

Любимая цифра.

Предложите  задумать свою любимую цифру. А теперь выполните умножение (на калькуляторе) числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то умножить нужно на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45.

Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.

Угадать возраст.

Умножаем число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9,  из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков – получится число лет.

Всегда девятка

Предложите кому-нибудь написать число из трех разных цифр, под ним — написать число из этих же цифр, но в обратном порядке. Затем вычесть меньшее из большего. Когда зритель это сделает, скажите ему, что в середине числа стоит девятка.

Секрет фокуса: Вы будете правы, потому что девятка всегда будет в середине независимо от того, какие цифры написаны.

Вконтакте

Facebook

Twitter

Одноклассники

Google+

anisim.org

Нестандартные алгоритмы счета или быстрый счет без калькулятора

Муниципальное общеобразовательное  учреждение

Старомаксимкинская основная общеобразовательная  школа

Районная  научно – практическая конференция по математике

«Шаг в науку»

Научно – исследовательская  работа

« Нестандартные алгоритмы счета или быстрый счет без калькулятора»

                                                            Автор:   Мурзаев Александр, 7 класс

                                                  Руководитель:  Забродина Елена  Петровна,

                                                                                     учитель математики

с.Ст.Максимкино, 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………..…………….3

Глава 1. История счета

1.1. Как люди научились считать……...............................................................................6

1.2. Чудо- счетчики……………………………………………………………………...9

Глава 2. Старинные способы умножения

2.1. Русский крестьянский способ умножения…..…………….……………….……...12                  2.2.  Метод «решетки»……………….…….. ………………………………….………..13

2.3. Индийский способ умножения……………………………………………………..15

2.4. Египетский способ умножения…………………………………………………….16

2.5. Умножение на пальцах……………………………………………………………..17

Глава 3. Устный счет – гимнастика ума

3.1. Умножение и деление на 4……………..……………………….………………….19

3.2. Умножение и деление на 5……………………………………...………………….19

3.3. Умножение на 25……………………………………………………………………19

3.4. Умножение на 1,5……………………………………………………………….......20

3.5. Умножение на 9……….…………………………………………………………….20

3.6. Умножение на 11…………………………………………………..…………….….20

3.7. Умножение трехзначного числа  на 101……………………………………………21

3.7. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5 ………………………21

3.8. Возведение в квадрат числа, близкого к 50……………….………………………22

3.9. Игры………………………………………………………………………………….22

Заключение…………………………………………………………………………….…24

Список использованной литературы…………………………………………………...25

Введение

    Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера  телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны,  если бы не наука о числах.

Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В нашей работе предпочтение  отдано стихии чисел и действий с ними.

Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому мы сочли важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы  быстрого счета,  можно поспорить и с ЭВМ.

Объектом исследования являются алгоритмы счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике  современных  школьников.

    Задачи:

- раскрыть историю возникновения  счета и феномен « Чудо - счётчиков»;

- описать старинные способы  умножения и опытно-экспериментальным   путем выявить трудности в их  использовании;

- рассмотреть некоторые приемы  устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования.

Гипотеза: в старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Прост ли наш современный способ умножения?

При работе над  докладом я пользовался следующими методами:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
• практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
• анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

За простым действием умножения  скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы умножения, сравнить их с нашим сегодняшним действием умножения.

Для того чтобы выяснить, знают  ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был  проведен устный опрос. Было опрошено 20 учащиеся 5-7 классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Результаты анкетирования:

( На диаграммах представлены  в процентах доли утвердительных  ответов учащихся).

1) Нужно ли уметь выполнять  арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

2) а) Умеете ли вы умножать, складывать,

вычитать числа столбиком, делить «уголком»?

   б) Знаете ли вы другие  способы выполнения арифметических  действий?

3) а хотели бы узнать?

Глава 1. История счёта

1.1. Как возникли числа

Подсчитывать предметы люди научились  ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.        И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делась из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал-энэа», 4 «петчевал-петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньше: 4= «булан – булан», 5= «булан – гулиба», 6= « гулиба – гулиба» и т.д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали  лодки, то число 10 называли « боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Ещё в прошлом веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали  лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел  и десяти орехов. Племена часто  вели обмен «предмет за предмет»; к  примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части  собственного тела. Вот как известный  русский учёный Н.Н. Миклуха - Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе..». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе..», пока не дойдёт до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба-бе» (одна нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Похожие способы счёта применяли  и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор мы рассказывали об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни - Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились  и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы астеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации  были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

За несколько столетий до новой  эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили  буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами- числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

Во всех этих нумерациях было очень  трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в 6 в. индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

При записи дробей ещё долгое время  целую часть записывали в новой, десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале 15 в. самаркандский математик и астроном аль- Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби. 

Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается,  что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.

1.2 « Чудо - счётчики»

Он все понимает с полуслова  и тут же формулирует вывод, к  которому обычный человек, может  быть, придет путем долгих и тягостных  раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт-листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда — это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам.

Этот портрет написан отнюдь не с аналитика ЦРУ.  Так, по мнению психологов, выглядит человек-калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.

За порогом сознания чудо - счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками — от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.

В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. За каких-то пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, мегапамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.

stud24.ru

Нестандартные алгоритмы счета или быстрый счет без калькулятора

                    (6 * 7 = 42 Ответ: 4225)

 Например:

952 = 9025

            9 *10

1252 = 15625

         12 * 13

3.8. Возведение  в квадрат числа, близкого к  50.

Если хочешь возвести в квадрат  число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя  цифрами квадрат избытка данного числа над 50.

Примеры:

1) 582 = 3364.

Объяснение: 58 – 25 = 33, 82 = 64,  582 = 3364.

2) 672 = 4489

Объяснение: 67 – 25 = 42,   67 – 50 = 17,    172 =289,

672 = 4200 + 289 = 4489.

Если хочешь возвести в квадрат  число, близкое к 50, но меньшее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя  цифрами квадрат недостатка данного  числа до 50.

Примеры:

1) 482 = 2304.

Объяснение: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 22 = 4,  482 = 2304.

2) 372 = 1369

Объяснение: 37 – 25 = 12,   50 - 37 = 13,    132 =169,

372 = 1200 + 169 = 1369.

3.9. Игры

Отгадывание полученного числа.

1. Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа.

   Я отгадываю: вы получили 10. Верно?

2. Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного вычтите задуманное.

        У вас получилось 1.

3. Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное.

   У вас получилось 2.

4. Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.
5. Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное.

У вас получилось 8.

Угадывание  задуманных чисел.

Предложите своим товарищам  задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.

Полученную сумму пусть умножит  на 3.

От произведения пусть отнимет 7.

Из полученного результата пусть  вычтет ещё 8.

Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.

(Чтобы угадать задуманное число,  результат, написанный на бумажке  или сказанный вам устно, разделить  на 3)

Заключение

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую - ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика,  философа, жившего в 4 веке д.н.э.- Пифагора- «Всё есть число!».

Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми  явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.

 Описывая  старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов умножения  показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным  из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современный способ умножения прост  и доступен всем.

При знакомстве с научной литературой  обнаружили более быстрые и надежные способы умножения. Поэтому изучение действия умножения – тема перспективная.

 Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Список использованной литературы

1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара:  Издательский дом

 «Фёдоров», 1999.

2. Кордемский Б.А., Ахадов А.А.  Удивительный мир чисел: Книга  учащихся,- М. Просвещение, 1986.

3. Минских  Е.М. «От игры к знаниям»,  М., «Просвещение»    1982г.

4. Свечников  А.А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение,  1977г.

5. http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm 

6. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html

stud24.ru

Смотрите также

• 
  Биосферная роль живых организмов реферат
• 
  Бионика в промышленном дизайне реферат
• 
  Американизмы в английском языке реферат
• 
  Hellp синдром у беременных реферат
• 
  Реферат основные направления семейного воспитания
• 
  Реферат успехи россии в космосе
• 
  Реферат шедевры древнеегипетского скульптурного портрета
• 
  Реферат этапы планирования корпоративного развития
• 
  Реферат на тему времена глагола
• 
  Реферат организменный уровень организации жизни
• 
  Реферат отличия христианства от язычества