Метод контрольного объема для расчета гидравлических сетей - page 1. Метод контрольного объема

Метод - контрольный объем - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Метод - контрольный объем

Cтраница 1

Метод контрольного объема основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. Особенно важно это оказывается в тех случаях, когда дифференциальные уравнения не имеют всюду непрерывные решения, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако в рассматриваемой задаче не существует решений с разрывами, поэтому использование метода контрольного объема не даст сколько-нибудь заметных преимуществ по сравнению, например, с конечно-разностным методом. [1]

Метод контрольного объема используется в профессиональном пакете STAR-CD, позволяющем решать многочисленные инженерные задачи механики жидкости и газа. [2]

Метод контрольного объема основан на применении макроскопического подхода к описанию физических явлений. Это особенно важно, когда дифференциальные уравнения не всюду имеют непрерывные решения, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако в рассмотренных задачах не существует решений с разрывами. [3]

Метод контрольного объема, в частности, хорошо работает для определения потерь давления в местном гидравлическом сопротивлении при задании различных эпюр скоростей во входном и выходном сечениях. [4]

Применяя метод контрольного объема вместо наблюдения за перемещением частицы, мы рассматриваем фиксированный контрольный объем в жидкости, который может быть взят в виде элементарного объема с размерами Ах, Ау, Аг около точки х, у, г, что позволяет получить в пределе характеристики течения в этой точке. При этом подходе законы переноса можно вывести, сопоставляя соответствующие потоки через поверхность контрольного объема и скорости накопления количества движения, тепла или массы внутри контрольного объема. [5]

Тем не менее метод контрольных объемов в настоящее время достаточно хорошо апробирован и является основным при анализе теплогидравлических процессов в АЭУ. [6]

Для численного решения задачи проведена пространственная дискретизация дифференциальных уравнений методом контрольного объема. [7]

Такая численная оценка была выполнена в результате решения системы уравнений (5.46), (5.81) методом контрольных объемов. [8]

Материальный метод, описанный в § 3 - 6, приводит к более простой формулировке уравнений движения, чем метод контрольного объема, который был использован выше для получения уравнения неразрывности. Определяя сумму сил, действующих на жидкую частицу, необходимо рассматривать как массовые, так и поверхностные силы, о. Массовые силы могут возникнуть, например, под действием земного притяжения или электромагнитных полей. К таким силам относится кориолисо-ва сила. [9]

Для более детального исследования уравнения конвективной диффузии в двумерной области при граничных условиях может быть использован численный алгоритм, основанный на дискретизации дифференциального уравнения методом контрольного объема ( см. монографию С. [10]

Этот метод для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, но более физичен по существу. Метод контрольного объема наиболее ярко освещает процесс численного моделирования. Метод контрольного объема достаточно продуктивен для учебных целей. Основная идея этого метода заключается в разбиении расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с другом контрольные объемы, чтобы каждый узел расчетной сетки содержался в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по каждому контрольному объему. При вычислении интегралов используются кусочные профили, которые описывают изменение переменной между узлами. В результате такого интегрирования получается дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких соседних узлах. [11]

Несмотря на универсальность, этот метод достаточно прост для понимания и реализации. Эти преимущества обусловлены в основном использованием метода контрольного объема, при котором решаемые алгебраические уравнения представляют собой законы сохранения физических величин, таких как энергия, масса или импульс, для каждого контрольного объема в отдельности. Поэтому эти алгебраические уравнения имеют ясный физический смысл, и, получая окончательное решение, мы знаем, что в точности выполняется закон сохранения энергии ( массы и т.п.) для всех маленьких контрольных объемов, на которые была разбита расчетная область. Этот метод основан преимущественно на понимании физических особенностей рассматриваемых процессов. Кроме того, разве не замечательно, что мы можем решать очень сложные задачи, не обращаясь к рядам Фурье, функциям Бесселя, полиномам Лежандра и другому подобному математическому аппарату. [12]

При выводе уравнений движения или покоя среды возможны два подхода. Первый - метод материальной частицы - заключается в составлении на основе второго закона Ньютона дифференциального уравнения движения ( покоя) с последующим его интегрированием; такой подход применяется главным образом в гидроаэромеханике. Второй - метод контрольных объемов - использует общие законы механики и физики ( законы сохранения) для составления суммарных ( интегральных) характеристик движения; он характерен для гидравлики. [15]

Страницы: 1 2

www.ngpedia.ru

Метод контрольных объёмов Википедия

Метод конечных объёмов (в русскоязычной литературе метод контрольных объёмов[1]) — численный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Описание

Неформальное

Выбирается некоторая замкнутая область течения жидкости или газа, для которой производится поиск полей макроскопических величин (например, скорости, давления), описывающих состояние среды во времени и удовлетворяющих определенным законам, сформулированным математически. Наиболее используемыми являются законы сохранения в Эйлеровых переменных.

Для любой величины ϕ{\displaystyle \phi }, в каждой точке O(x,y,z,t){\displaystyle O(x,y,z,t)} пространства, окруженной некоторым замкнутым конечным объемом, в момент времени t{\displaystyle t} существует следующая зависимость: общее количество величины ϕ{\displaystyle \phi } в объеме может изменяться за счет следующих факторов:

транспорт количества этой величины через поверхность, ограничивающую контрольный объем — поток;
генерация (уничтожение) некоторого количества величины ϕ{\displaystyle \phi } внутри контрольного объема — источники (стоки).

Другими словами, при формулировке МКО используется физическая интерпретация исследуемой величины. Например, при решении задач переноса тепла используется закон сохранения тепла в каждом контрольном объеме.

Математическое

∂φ∂t+∇⋅(Uφ)−∇⋅(Dφ∇φ)+φ=Sφ{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\mathbf {U} }\varphi )-\nabla \cdot (D_{\varphi }\nabla \varphi )+\varphi =S_{\varphi }}

где:

∂φ∂t{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}} — изменение некоторой физической величины φ{\displaystyle \varphi }
φ{\displaystyle \varphi } — реактивное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины φ{\displaystyle \varphi }

∇⋅(Uφ){\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {U} \varphi )} — конвективное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины φ{\displaystyle \varphi }

∇⋅(Dφ∇φ){\displaystyle \nabla \cdot (D_{\varphi }\nabla \varphi )} — диффузное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины φ{\displaystyle \varphi }

Sφ{\displaystyle S_{\varphi }} — источниковое слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины φ{\displaystyle \varphi }

Применение

Этот метод применяется, в частности, при моделировании задач гидрогазодинамики в свободном пакете OpenFOAM.

Модификации

Примечания

Литература

Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах = Computation of conduction and Duct Flow Heat Transfer: Пер. с англ. — М.: Издательство МЭИ, 2003. — 312 с.

См. также

wikiredia.ru

Методы аппроксимации дифференциальных уравнений (3)

1 2 3 4 5 6

Разбивая расчетную область на элементарные отрезки, площади или объемы (определяется размерностью задачи), и выбирая весовую функцию одновременно равную единице (w = 1) в одной ячейке и нулю во всех остальных, получаем систему уравнений, позволяющую определить все неизвестные [12]. Полученный частный случай метода взвешенных невязок называется методом контрольных объемов [12] или методом подобластей [17], а в [14] этот метод называется интегро – интерполяционным. Равенство невязки по каждому контрольному объему нулю обеспечивает консервативность решения (соблюдение законов сохранения).

Метод контрольных объемов имеет четкую физическую интерпретацию, описанную в [12, 17]. Расчетную область разбивают на конечное число контрольных объемов, в центры тяжести которых располагают узловые точки. Дифференциальные уравнения законов сохранения массы, энергии, количества движения интегрируют по каждому объему. Вычисляют интегралы, задаваясь кусочными профилями изменения массы, энергии, количества движения между узловыми точками.

Большая часть практически значимых задач, моделируемых посредством спектрального и конечно – элементного методов, относятся к пространственным задачам. Приведенное выше описание спектрального метода показывает, что поведение численного решения в исследуемой области чувствительно даже к малому изменению неизвестного коэффициента пробной функции. В таком случае спектральный метод хорошо подходит для решения эллиптических уравнений задач математической физики. Метод конечных элементов при любой формулировке – вариационной или на основе метода Галеркина, тоже эллиптический. В виду локального характера пробных функций влияние возмущения, созданного в одной из подобластей на всю расчетную область, оказывается неявным [11, 17].

Важным свойством гиперболических и параболических задач является то, что возмущения оказывают свое влияние лишь на часть области. К примеру, в нестационарной параболической задаче возникшее возмущение может нарастать исключительно в направлении увеличения времени. Исследование двухмерного пограничного слоя приводит к параболической задаче по координате, направленной вдоль течения.

Свойство параболических задач распространять возмущение в направлении увеличения времени требует использования односторонних конечных разностей [17]. Области влияния и зависимости в гиперболических задачах при решении методами конечных разностей и контрольных объемов определяются путем обращения к условию Куранта - Фридрихса - Леви [2, 6, 16, 17]. Используя условие Куранта - Фридрихса - Леви, подбирается такой шаг по времени Δτ, при котором вычислительная область зависимости включала бы в себя всю физическую область зависимости [17].

Учитывая свойства гиперболических и параболических задач, наиболее приемлемыми методами для их решения являются метод конечных разностей и интегро-интерполяционный. Кроме того, если исследуемый физический процесс предполагает переход от нестационарного режима к стационарному, т.е. от параболической или гиперболической задачи к эллиптической, то оба метода позволяют автоматически осуществить такой переход.

Процесс дискретизации дифференциального уравнения подразумевает переход от области непрерывного изменения аргумента к области дискретного его изменения. Для этого расчетную область разбивают на некоторое конечное множество ячеек, образующих сетку [12, 14, 16, 17]. Внутри ячеек размещают точку, называемую узлом ячейки. Существует два основных способа взаимного расположения узлов ячеек и граней [12]: I) грани расположены посередине между узлами ячейки; II) узлы ячеек расположены в центре тяжести контрольного объема. Обращает на себя внимание тот факт, что равномерная сетка, т.е. сетка с равными между собой контрольными объемами, обладает положительными свойствами обоих способов, не вбирая их недостатков. Способ I обеспечивает точный расчет значения потока зависимой переменной (теплового или диффузионного потока) через грани благодаря тому, что наклон кусочно-линейного профиля переменной равен наклону любого параболического профиля, рассчитанного посередине между узловыми точками [12]. В этом случае при использовании кусочно-линейного профиля зависимой переменной можно добиться той же точности, что и при использовании более корректного параболического профиля. При способе I значение зависимой переменной (массовая концентрация химической компоненты, температура, кинетическая энергия турбулентности) в узловой точке нельзя считать характерным для всего контрольного объема при расчете коэффициента диффузии, потока зависимой переменной, мощности источника энергии и т.д. Способ II лишен этих недостатков, т.к. сутью самого метода является то, что узел ячейки находится в центре тяжести контрольного объема. Основным достоинством способа II является то, что он обеспечивает адаптацию сетки в подобластях сосредоточения особенностей решения (рисунок 3).

адаптивные сетки

а - четырехугольники; б - ячейки Дирихле

Рисунок 3. Адаптивные сетки

Применение адаптивных сеток (рисунок 3) в задачах математической физики дает возможность значительно улучшить точность расчета исследуемой переменной, если ее поведение неоднородно в расчетной области, и решение имеет значительные градиенты. Термин «адаптация» в вычислительной математике подразумевает сгущение сетки в зонах физических (ударные волны, разрывные коэффициенты и т.п.) или геометрических особенностей, что дает возможность применять однородные вычислительные схемы [10, 14], когда для каждого узла ячейки вычисление идет по одному алгоритму. Для нестационарных задач характерно применение динамических сеток [49], что позволяет перестраивать сетки с течением времени. Метрика адаптивных сеток, основанных на ячейках Дирихле [4, 10], обладает наибольшим удобством. Ячейки Дирихле используют для описания сложных расчетных областей, где затруднительно добиться ортогональности сетки. Как указывается в [10], применение адаптивных сеток, состоящих из ячеек Дирихле, позволяет повысить точность расчетов в 1,5 - 2 раза.

Дискретизация исследуемой области по способу I присуща спектральному и конечно-разностному методам. Кроме того, метод конечных разностей требует введения фиктивных узлов за пределами расчетной области, если мы хотим вычислить производные на ее границе. Способ II наиболее приемлем для методов конечных элементов и контрольных объемов.

Именно метод контрольных объемов позволяет, с одной стороны, решать параболические, гиперболические и эллиптические задачи, а с другой – использовать адаптивные сетки. Из всех описанных методов вычислительной математики только метод контрольных объемов сочетает в себе такие свойства, это и является основной причиной выбора этого метода для решения задачи нестационарной теплопроводности в расчетной области со сложной геометрией. К недостаткам реализации метода контрольных объемов в [12] и [14] относится то, что используется регулярная сетка, а в [12] метод имеет вид конечно-разностного.

xn--80akpflfht2c.xn--p1ai

Метод контрольного объема для расчета гидравлических сетей

УДК 519.6:621

Метод контрольного объема для расчета

гидравлических сетей

, В.Ю. Волков

, А.П. Скибин

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

ОАО ВНИИАЭС, Москва, 141980, Россия

ОАО ОКБ «ГИДРОПРЕСС», Московская область, Подольск, 142103, Россия

Решение задачи потокораспределения является неотъемлемой и крайне важной

проблемой при моделировании работы нефте- и газопроводов, а также водопро-

водных и тепловых сетей (далее — гидравлические сети). Обычно методики рас-

чета подобных систем базируются на первом и втором законах Кирхгофа, законе

сохранения массового баланса и законе сохранения энергии. На этих же законах

основаны и численные методы решения гидравлических сетей вплоть до современ-

ных программных продуктов. Авторами был совершен переход от методов, осно-

ванных на совместном решении законов Кирхгофа, к численному решению распре-

деления потоков в гидравлической сети с помощью дискретизации уравнения не-

разрывности, которое приводится к разностному аналогу дифференциального

уравнения второго порядка относительно давления. Данный метод успешно апро-

бирован на примере решения нескольких тестовых задач.

Ключевые слова:

гидравлическая сеть, метод контрольного объема, поле давле-

ния, расход, уравнение неразрывности.

Введение.

Принято считать, что первые водопроводы появились

приблизительно в 700-х гг. до н. э. Вода с горных вершин под дей-

ствием силы тяжести по открытым каналам поступала в города, рас-

положенные неподалеку. Одни из самых знаменитых водоводов

древности — древнеримские водопроводы, или акведуки. Протяжен-

ность самого большого из них составляла более 90 км. Система тру-

бопроводов строилась из камня, щебня, кирпича, грубого бетона, а

трубы, как правило, были выдолблены из деревянных бревен или

камня, однако встречались и образцы, изготовленные из глины и

свинца. С ростом числа и сложности трубопроводов увеличивалась и

сложность гидравлических систем, а также росло количество различ-

ной используемой арматуры, что привело к проблемам оценки рас-

пределения давления и определения скоростей в различных частях

системы. Поиск метода анализа всей сети в целом привел к появле-

нию отдельного раздела гидравлики, называемого «теория гидравли-

ческих сетей», или «теория гидравлических цепей» [1−3].

engjournal.ru