Реферат: Логика высказываний. Язык логики высказываний реферат

Реферат - Язык классической логики высказываний

ЯЗЫК КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Язык как знаковая информационная система. Знак. Смысл и значение знака.

Основные семантические категории языковых выражений. Предложение и термин. Логические и нелогические термины.

Понятие формализованного языка. Главные отличия формализованных языков от естественных. Принципы построения формализованных языков логики. Объектный язык и метаязык.

Язык классической логики высказываний (ЯКЛВ). Алфавит, синтаксис. Понятие формулы языка.

Запись на языке КЛВ выражений естественного языка.

_____________________________________________________________________________________

Основные определения, которые надо выучить:

Язык как знаковая система

Знак

Смысл знака

Значение знака

Аспекты рассмотрения языка: синтаксис, семантика, прагматика

Базовые семантические категории естественного языка: предложение и термин

Основные виды предложений

Простые и сложные предложения

Предложение, суждение, высказывание

Термины языка: логические (связки, кванторы) и нелогические.

Естественный язык, искусственный язык, формализованный язык

Объектный язык, метаязык.

Пропозициональная переменная

Пропозициональная связка

Технический символ

Литература:

Ивлев Ю.В. «Логика для юристов» – гл.2, гл.4 А §§1, 2.

Бочаров В.А., Маркин В.И. «Основы логики» – гл.1 §§1, 3, гл.2 §§1, 2.

Упражнения:

Что Вам подсказывает интуиция: какие из следующих выражений следует отнести к логическим (т.е. относящимся к структуре рассуждения), а какие к нелогическим?

рассуждение

найдется такой объект, который

любой (объект х)

или

логика

неверно, что

умный

лучше

больше

круче

необходимо, что

если и только если

минус

операция вычитания

ибо

но

а также

зачет по логике

зачет по зоологии

равносильно

Какие из следующих языковых выражений являются высказываниями с точки зрения логики?

x+y

x+y=2

2+3

2+3=x

2+3=100

xx<3

Для любого натурального числа x найдется натуральное число y такое, что x«Если жизнь тебя обманет, не печалься, не грусти»

«Если есть в кармане пачка сигарет, значит всё не так уж плохо на сегодняшний день»

Который час?

Будь осторожен!

Вашингтон – столица США

Древние греки заимствовали и очертания, и названия своих букв у древних египтян.

Древние греки заимствовали и очертания, и названия своих букв у финикийцев.

3. Какие из следующих предложений простые, а какие сложные?

Саша и Таня – студентки.

Молдавия находится между Украиной и Румынией.

Польша не расположена между Россией и Болгарией.

Москва расположена севернее Киева и Смоленска.

В каких из нижеследующих пассажей союзы «и», «но» не соответствуют конъюнкции КЛВ?

И решил я тогда: умру, но выучу хеттский язык!

Сегодня у нас 2 пары английского и одна пара математики.

Тогда я решил: умру, но выучу хеттский язык!

Встретились баба с пустыми ведрами и черная кошка, обе скончались на месте.

Саша и Таня одного возраста.

Саша и Таня – студентки.

Если мы поможем ему, то и он нам тоже.

Он заболел и умер.1

Для следующих формул укажите их главные знаки и все их подформулы. Постройте их нагруженные деревья.

Øр&q

Ø(р&q)

(p⊃Øq)⊃((s≡r)(s≡q))

Ø(Ø(Øрq)&Ø(qÚp))

ØØ(Øрq)&Ø(qÚp)

Являются ли данные последовательности символов формулами языка КЛВ? Если нет, то укажите, где ошибка (ошибки).

(рq)&((qp))

((рq)&(qp)

(рq)(qp)(рq)(q&r)

(р  q)  (q &(s& r))

(р Ú q)

Переведите на язык классической логики высказываний следующие предложения русского языка (с учётом предлагаемой символизации):

p – «Ты посещаешь все лекции по логике»

q – «Ты посещаешь все семинары по логике»

r – «Ты туго соображаешь»

s – «Ты сдашь логику с первого раза»

s1 – «Ты никогда не сдашь логику»

р1 – «Ты считаешь астрологию почтенной дисциплиной»

r1 – «Ты считаешь логику захватывающей дисциплиной»

Если ты не посещаешь ни семинары по логике, ни лекции, и соображаешь туго, ты никогда не сдашь этот предмет.

Ты туго соображаешь и считаешь астрологию почтенной дисциплиной.

Ты считаешь астрологию почтенной дисциплиной, только в том случае если туго соображаешь.

Ты сдашь логику с первого раза в том и только в том случае, если ты посетил все лекции и семинары, нормально соображаешь и считаешь этот предмет захватывающим.

Или ты считаешь логику захватывающей дисциплиной, или ты туго соображаешь.

8. Запишите с помощью языка логики высказываний логическую форму следующих предложений русского языка:

И ты прав, и я, а преподаватель не прав.

Или ты не прав, или я, или преподаватель.

Или ты не прав, или я, или преподаватель, но если ты прав, то и я тоже.

Если вчера я не знал, что говорю прозой, то сегодня я это знаю.

Еще один вопрос, и я за себя не отвечаю.

Умру, но докажу, что я не идиот.

Можно рехнуться, поумнеть или войти в нирвану, если долго заниматься математикой, но поглупеть нельзя.

Я пью крепкий кофе, если и только если хочу спать или у меня много работы.

Я займусь изучением логики, если скоро зачет по этому предмету и преподаватель не ставит "автоматы".

Я займусь изучением логики, только если скоро зачет по этому предмету и преподаватель не ставит "автоматы".

Я займусь изучением логики, если скоро зачет по этому предмету или преподаватель не ставит "автоматы", разве что буду уверен, что сумею списать.

Если я не опоздаю, то объясню тебе задание, если разберусь в этом материале, разве что случится что-то непредвиденное.

Любишь кататься, люби и саночки возить.

Сегодня или суббота, или воскресенье.

Если сегодня у меня английский язык, значит сегодня вторник или четверг.

Я приду на занятия, если не заболею и не попаду в пробку.

Я приду на занятия, если и только если погода будет хорошей, я не заболею и у меня не будет плохих предчувствий.

Я приду на занятия, только если погода будет хорошей, я не заболею и у меня не будет плохих предчувствий.

Если я знаю два иностранных языка, то мой брат целых пять, а сестра – ни одного.

Ни ты, ни я не любим этого преподавателя, и он нас тоже.

Если выпадет решка, я пойду в кино или в парк, если орел – пойду в гости, если монета станет ребром – на занятия.

Если мне сниться Аристотель или Спиноза, это к дождю, если Дэвид Коперфильд – к неожиданностям, а преподаватель по логике – к пересдаче или обострению ревматизма.

Если сегодня выходной, то если она поет или танцует, ему хочется застрелиться, если говорит – напиться, а если молчит (и не танцует), ему кажется, что жизнь налаживается.

Если сегодня выходной, то если погода плохая, я остаюсь дома, разве что пригласят в гости, театр или кино, а если хорошая – пойду за грибами, разве что заболею.

Если монета станет ребром, я пойду на занятия, если, кроме того, погода будет хорошей и у меня не будет плохих предчувствий.

И ты, и я нежно любим и логику, и философию.

Легкая победа, как и победа случайная, вызывает скорее разочарование, чем радость.

Обеспеченная жизнь являлась необходимым условия счастья сына турецкого поданного господина О.Бендера.

Обеспеченная жизнь являлась необходимым, но недостаточным условия счастья сына турецкого поданного господина О.Бендера.

Наличие крупной суммы в портфеле или сигарет в кармане является достаточным, хотя и не необходимым условием счастья господина N.N.

Если знание логики является необходимым условием для того, чтобы Джульетта полюбила Ромео, то Ромео возьмется за изучение логики, в противном случае – ни за что.

1 Рассматривая это предложение, учтите, что конъюнкция в изучаемой нами теории коммутативна, т.е. структура (А&В) несет ту же информацию, что и структура (В&А). (Это обосновывается ниже в одном из упражнений.)

www.ronl.ru

Реферат Логика высказываний

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Основные понятия
2 Правила построения формул логики высказываний
3 Соглашения о скобках
4 Истинностное значение
5 Тождественно истинные формулы (тавтологии)
6 Исчисление высказываний

Введение

Логика высказываний (или пропозициональная логика от англ. propositional logic) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка. Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений и известна ещё со времён античности.

1. Основные понятия

Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, — и (пропозициональная) формула, определяемая индуктивно следующим образом:

Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.
Если A — формула, то $\neg A$ — формула.
Если A и B — формулы, то $(A \to B)$ , $(A \wedge B)$ и $(A \vee B)$ — формулы.
Других соглашений нет.

Знаки $\neg, \wedge, \vee$ и $\to$ (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

2. Правила построения формул логики высказываний

Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если элементарное высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И, а если оно всегда неверно, — буквой Л. Тогда формулы первого уровня — это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка.
Пусть Ф1 и Ф2 — формулы ненулевого уровня. Тогда записи (¬(Ф1)), ((Ф1) $\vee$ (Ф2)), ((Ф1) $\wedge$ (Ф2)), ((Ф1)→(Ф2)) также являются формулами. Если же одна из формул Ф1 и Ф2 , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается.

Теперь, зная буквы-элементарные высказывания, мы никогда не ошибёмся, определяя, является ли формулой запись, содержащая эти буквы, скобки и символы связок, то есть правильно ли построено сложное высказывание. В процессе подобного опознавания мы выделяем части формулы, то есть более короткие формулы, из которых на каждом этапе строится более длинная формула с применением одной связки. Самыми простыми частями формулы являются, разумеется, элементарные высказывания. Значит, логический анализ формулы сводится к выделению всех её частей.

2.1. Пример

Пусть элементарными высказываниями являются А, В, С. Записи

¬ A $\wedge$ BC и (B) $\wedge$ (B $\vee$ A→C)

c формальной точки зрения не являются формулами, так как мы натыкаемся при их разборе на нарушение правил построения формул. (В первом случае отсутствует логическая связка между B и C и отсутствуют скобки вокруг ¬A. Во втором случае формула нулевого уровня В включена в скобки). А записи

(¬ A) $\wedge$ (B $\vee$ C) и B $\wedge$ ((B $\vee$ A)→C)

вполне соответствуют требованиям построения формулы. В процессе анализа формулы (¬ A) $\wedge$ (B $\vee$ C) выделяются следующие её части:

( ¬A ) $\wedge$ ( B $\vee$ C ) $\wedge$ | Связующее действие ¬A B $\vee$ C | Разделённые части (формулы первого уровня) ¬ $\vee$ | Связующее действие A B C | Разделённые части (формулы нулевого уровня) | Все разделённые части являются элементарными высказываниями; разбор закончен.

В этом примере все элементарные высказывания были выделены на втором шаге исследования дерева. Но это совпадение; если бы вместо формулы первого уровня (¬A) была использована формула нулевого уровня А, то левая ветвь была бы короче правой.

Построенная нами конструкция отдалённо напоминает дерево, растущее вверх ногами. «Корень» его — исходная формула, роль «веток» играют логические связки. Там, где имеется разветвление, стоят части формулы. А на концах веток растут «листья» — элементарные высказывания.

Подобные конструкции часто используются в математике и в программировании, они так и называются «деревьями».

3. Соглашения о скобках

Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, математики приняли соглашения о скобках, по которым некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются так:

Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.
Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например, $A \wedge B \wedge C$ ), то в скобки заключается сначала самая левая часть (т.е. две подформулы со связкой между ними). (Говорят также, что эти связки левоассоциативны.)
Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам: $\neg, \wedge, \vee$ и $\to$ (от высшего к низшему).

Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.

Например: запись $A \vee B \wedge \neg C$ означает формулу $(A \vee (B \wedge ( \neg C)))$ , а её длина равна 12.

4. Истинностное значение

Оценкой пропозициональных переменных называется функция из множества всех пропозициональных переменных в множество {0, 1} (т.е. множество истинностных значений). Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если дана оценка (т.е. определены истинностные значения входящих в неё переменных). Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок.

Оценка отрицания $\neg p$ задаётся таблицей:

Значение двуместных логических связок $\rightarrow$ (импликация), $\vee$ (дизъюнкция) и $\wedge$ (конъюнкция) определяются так:

5. Тождественно истинные формулы (тавтологии)

Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных. Вот несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:

Законы де Моргана:

1) $\neg (p \vee q) \leftrightarrow (\neg p \wedge \neg q)$ ;

2) $\neg (p \wedge q) \leftrightarrow (\neg p \vee \neg q)$ ;

Закон контрапозиции:

$(p\rightarrow q)\leftrightarrow(\neg q\rightarrow \neg p)$ ;

Законы поглощения:

1) $p\vee(p\wedge q)\leftrightarrow p$ ;

2) $p\wedge(p\vee q)\leftrightarrow p$ ;

Законы дистрибутивности:

1) $p\wedge(q\vee r)\leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p \wedge r)$ ;

2) $p\vee(q\wedge r)\leftrightarrow(p\vee q)\wedge(p \vee r)$ .

6. Исчисление высказываний

Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

$A_1 : A \rightarrow (B \rightarrow A)$ ;

$A_2 : ((A \rightarrow (B \rightarrow C)) \rightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)))$ ;

$A_3 : A \wedge B \rightarrow A$ ;

$A_4 : A \wedge B \rightarrow B$ ;

$A_5 : A \rightarrow (B \rightarrow (A \wedge B))$ ;

$A_6 : A \rightarrow (A \vee B)$ ;

$A_7 : B \rightarrow (A \vee B)$ ;

$A_8 : (A \rightarrow C) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow ((A \vee B) \rightarrow C))$ ;

$A_9 : \neg A \rightarrow (A \rightarrow B)$ ;

$A_{10} : (A \rightarrow B) \rightarrow ((A \rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A)$ ;

$A_{11} : A\vee\neg A$ .

вместе с единственным правилом:

$\frac{A \rightarrow B, A}{B}$ (Modus ponens)

Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.

wreferat.baza-referat.ru

Реферат - Логика высказываний - Философия

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

План

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

2 АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

3 РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

4 ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ

5 СОВЕРШЕННАЯ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. СОВЕРШЕННАЯ КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

Литература

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Математическая логика стремится к возможно большей точности. Эта цель достигается с помощью точного языка, построенного из устойчивых, наглядно воспринимаемых знаков. В исчислении высказываний используются символы трех сортов:

1. Пропозициональные переменные. Их будем обозначать малыми буквами латинского алфавита с индексами или без них: x, у, х,..., p, q,…. Различные буквы обозначают разные суждения, внутренняя структура суждений нас интересовать не будет. Суждения, обозначенные пропозициональными переменными, будут называться высказываниями. Будем полагать, что высказывания удовлетворяют закону исключенного третьего и закону непротиворечия, т.е. каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Так что каждая переменная у нас будет принимать два значения: значения «истина» будем обозначать «1», а значение «ложь» – «0».

2. Константы или логические связи – «―», «Ù», «Ú», «®», «º».

3. Скобки: «(» — левая скобка и «)» — правая скобка.

С помощью констант (связок) атомарные высказывания соединяются в более сложные высказывания. Так из двух высказываний p и q с помощью констант образуются высказывания

`p — читается «не-р»

`q — читается «не-q»

pÙq – читается «р и q»

pÚq – читается «р или q»

р®q — читается «если р, то q»

рºq — читается «р тогда и только тогда, когда q»

Сложное высказывание, образованное с помощью знака «¯» называется отрицанием, знака — «Ù» — конъюнкцией, знака «Ú» — дизъюнкцией, знака «®» — импликацией, знака «º» — эквивалентностью. Переменные и сложные высказывания, образованные из них посредствам многократного применения логических связок и скобок называются формулами исчисления высказываний, если они удовлетворяют трем условиям:

1) Пропозициональная переменная есть формула

2) Если φ и ψ – формулы, то (`φ), (`ψ), (φ) Ù ( ψ), (φ) Ú ( ψ), (φ) ® ( ψ), (φ) º ( ψ) – формулы. Входящие в эти формулы, формулы (φ) и ( ψ) мы будем называть подформулами этих формул.

3) Всякая формула есть либо пропозициональная переменная или образуется из пропозициональных переменных последовательным применением правила 2).

Во избежание ошибок принимаются следующее соглашение об употреблении малых греческих букв φ,ψ,γ,... Эти буквы не являются знаками языка исчисление высказываний и принципиально без них можно было бы обойтись. Они служат лишь для того, чтобы облечь в краткую форму сообщение об исчислении. При таких сообщениях через φ,ψ,γ,... обозначаются любые формулы, точный формальный вид которых остается неопределенным. Так, (φ)®( ψ) заменяет любую формулу, например ((p)Ù(q))→(p) или ((p) → (q))→(p).

Для того, чтобы избежать слишком, большое количество скобок принимаются следующее соглашение:

1) Опускаются скобки, объемлющие отдельные переменные.

2) Полагают, что знак конъюнкций связывает сильнее, чем дизъюнкции и в формулах (φÙψ) Ú γ, γÚ(φÙψ) скобки можно опускать. Аналогичные соглашения принимается относительно других знаков, т.е. считается, что знак «Ù» связывает сильнее, чем знаки «Ú», «®», «º», знак «Ú» сильнее, чем знаки «®», «º», знак «®» сильнее, чем знак «º». Правда, для легкости чтения формул мы будем иногда отступать от этих соглашений.

Из определения подформулы вытекает, что переменные, входящие в формулу, являются ее подформулами; формулы, образованные из этих переменных однократным применением логических связок, вид которых определяется структурой формулы и которые выделяются скобками (а также принятыми относительно их употребления соглашениями), являются подформулами; формулы, образованные из предыдущих подформул таким же однократным применением логических связок являются подформулами и т.д.

2 АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Любая формула алгебры высказываний рассматривается как сложное высказывание, принимающее значение 0,1. В алгебре высказываний решается следующая задача: определить истинностное значение формулы исчисления высказываний для любой комбинации истинностных значений входящих в нее переменных. Для решения этой задачи пользуются следующим алгоритмом.

1) Атомарное высказывание, т.е. переменная, может принимать два значения «1» или «0».

2) Значение формул образованных неоднократным применением логических связок к атомарным высказываниям, задается таблицей:

р	q	`p	`q	pÙq	pÚq	p→q	p≡q
1	1	1	1
1	1	1	1
1	1	1
1	1	1	1	1	1

3) Для произвольной формулы сначала задаются все комбинации истинностных значений переменных. Затем для каждой комбинации истинностных значений переменных вычисляются значение подформул данной формулы, образованных из переменных однократным применением логических связок, далее вычисляется значение подформул, образованных из предыдущих подформул однократным применением логических связок и т.д. пока в итоге не найдут истинностное значение всей формулы.

Так, пользуясь указанным алгоритмом можно легко вычислить истинностное значение формулы:

((p→q)Ù(q→r))→(p→r)

p	q	r	p→q	q→r	p→r	(p→q)Ù(q→r)	((p→q)Ù(q→r) )→(p→r)
1	1	1	1	1
1	1	1
1	1	1	1	1
1	1	1
1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1
1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Итак, каждой формуле исчисления высказываний соответствует определенная функция, аргументы которой принимают значение из множества {0,1} и сама она принимает значение из этого множества. Эту функцию называют функцией исчисления высказываний. Проблема разрешимости в алгебре высказываний заключается в решении вопроса, является ли сложная формула тождественно истинной, т.е. истинной при всех значениях входящих в нее переменных, выполнимой, т.е. истинной лишь для некоторого набора значений переменных, или тождественно ложной, т.е. ложной при всех значениях переменных. Это проблема полностью решается посредствам вычисления значения функции, представленной данной формулой, с помощью таблиц истинности.

Функция исчисления высказываний выражает логический закон, если является тождественно истинной при всех возможных значениях переменных. Так, с помощью таблицы убеждаемся, что функция рÚ`p выражается логический закон: закон исключенного третьего:

Аналогичным образом убеждаемся, что функция рÙ`p тоже выражается логический закон: закон непротиворечия:

р	`p	рÙ`	рÙ`p
1	1
1	1

С помощью таблиц истинности можно убедится, что нижеприведенные функции выражают логические законы:

Закон тождества: рºр (1)

Закон отрицания:

для конъюнкции: рÙ`p (2) (закон непротиворечия)

для дизъюнкции: рÚ`p (21 ) (закон исключенного третьего)

Закон идемпотентности:

для конъюнкции: рÙр º р (3)

для дизъюнкции: рÚ р º р (31 )

Закон коммутативности:

для конъюнкции: рÙ q º qÙр (4)

для дизъюнкции: рÚ q º qÚр (41 )

Ассоциативный закон:

для конъюнкции: (рÙq) ÙrºpÙ (qÙr ) ºpÙ qÙr (5)

для дизъюнкции: (рÚq) ÚrºpÚ (qÚr ) ºpÚ qÚr (51 )

Дистрибутивный закон:

для конъюнкции дизъюнкций: рÙ( q Úr) º (pÙq) Ú (рÙr ) (6)

для дизъюнкции конъюнкций: рÚ(qÙr) º (pÚ q) Ù (рÚr) (61 )

Закон поглощения:

для конъюнкции дизъюнкций: рÙ( q Úр) ºp (7)

для дизъюнкции конъюнкций: рÚ(qÙ р) ºp (71 )

Закон двойственности (теорема де Моргана):

для конъюнкции: рÙqº`р Ú`q (8)

для дизъюнкции: рÚqº`р Ù`q (81 )

Закон двойного отрицания: `р º р (9)

Уже из внешнего вида формул (1) – (9) отчетливо виден двойственный характер этих законов относительно операций конъюнкции и дизъюнкции: если дана некоторая тождественно истинная функция высказывания, в выражении которой не входит знак «®», то при замене всех входящих в нее знаков «Ú» на «Ù» и «Ù» на «Ú», 1 на 0 и 0 на 1, она остается тождественно истинной. Запишем, например закон противоречия в формуле p Ù`p≡0 применяя к этому выражению закон двойственности, получим закон исключенного третьего p Ú`p≡1 (91 )

3 РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

Формулы φ и ψ называются равносильными, если формула φ ≡ ψ тождественно истина. Например, формула (p Ù`p) Ú q равносильна q, потому что формула (p Ù`p) Ú q ≡ q тождественно истина (проверку с помощью таблиц истинности предоставляем читателю). Формулы p Ú`p и qÚ`q также равносильны, потому что тождественно истинна формулы p Ú`p ≡ qÚ`q.

Равносильность формул может быть использована для упрощения формул, т.е. для замены какой-то формулы другой формулой, ей равносильной, (эквивалентной), но содержащей либо меньшее число связок, либо меньшее число переменных, либо другие переменные, либо и то, и другое, и третье вместе взятой.

Из определения равносильности формул следует, что тождества (3) — (9) дают нам правила преобразования исходной формулы в новую, ей равносильную к этим правилам добавим и другие правила. Так, любую формулу можно заменить эквивалентной (равносильной) формулой, в которой не содержится знаки «→», «≡» и в которой отрицание опущено лишь на элементарные высказывания. С помощью таблиц истинности можно убедиться в эквивалентности следующих формул:

(р ≡ q) ≡ (р → q) Ù (q→р) (10)

р → q ≡`p Ú q (11)

(р ≡ q) ≡ (`p Ú q) Ù (`qÚр) (12)

(р ≡ q) ≡ (p Ù q) Ú (`рÙ`q) (13)

_____

(р → q) ≡ р Ù`q (14)

р Ù1 ≡ р (15)

р Ù0 ≡ 0 (16)

р Ú0 ≡ р (17)

рÚ 1 ≡ 1 (18)

р Ùq ≡`р Ú`q (19)

р Ú q ≡`рÙ`q (20)

Итак, подобно тому, как в алгебре мы имеем возможность преобразовывать, одно выражение в другое, с какой-то точки зрения более простое (скажем, приводить алгебраическое выражение к удобному для логарифмирования виду, заменять таблицу, задающую определитель, числом и т.д.), мы можем преобразовать составные высказывания. Важное значение в алгебре высказываний имеет преобразование любого составного высказывания к конъюнктивной нормальной форме. Эта нормальная форма состоит из конъюнкции дизъюнкций, где каждый дизъюнктивный член является либо элементарным высказыванием, либо его отрицанием.

На основании установленных эквивалентностей вводим следующие правила:

а1) Со знаками Ú и Ù можно оперировать как в алгебре, пользуясь ассоциативным, коммутативным и дистрибутивным законами;

а2) `р можно заменить р;

а3) р Ùq можно заменить выражением`р Ú`q, а р Ú q — выражением`рÙ`q ;

а4) р → q можно заменить выражением `p Ú q, а р ≡ q – выражением (`p Ú q) Ù(`qÚр).

Например, привести к конъюнктивной нормальной форме формулу:

((р Ú q) Ù`q ) Ú (rÙq).

Последовательным применением правила а3) получаем :

((р Ú q) Ù`q ) Ú (rÙq) ≡((р Ú q) Ù`q ) Ù (rÙq) ≡((р Ú q) Ú`q ) Ù (`rÚ`q) ≡

≡ ((`рÙ`q) Ú`q ) Ù (`rÚ`q).

Применяя к последней формуле закон дистрибутивности, получаем формулу:

(`р Ú` q )Ù( qÙ`q) Ù (`rÚ`q).

Наконец, применяя правило а2) получаем конъюнктивную нормальную форму:

(`р Úq )Ù( qÚ`q) Ù (`rÚ`q).

Очевидно, что эта форма определяется не однозначно. Так, используя то, что qÚ`q ≡ 1 и (15), получаем другую конъюнктивную нормальную форму первоначальной формулы: (`pÚq) Ù(`rÚ`q)

Запишем обобщения законов поглощения (7):

рÙ( р Ú q1 Ú q2 Ú … Ú qп ) ≡ р (21)

рÚ ( р Ù q1 Ù q2 Ù… Ù qп ) ≡ р (211 )

рÙ( р Ú q1 )Ù( рÚ q2 )Ù …Ù (рÚ qп ) ≡ р (22)

рÚ ( р Ù q1 ) Ú (рÙ q2 )Ú … Ú (р Ù qп ) ≡ р (221 )

Из них, а также (9), (3), (15)-(18) получаем новые эквивалентности, а значит, правила преобразования, которые позволяют сокращать число переменных, входящих в формулу:

рÚ ( qÙ`q) ≡ р (23)

рÙ ( qÚ`q) ≡ р (24)

рÚ ( qÚ`q) ≡ 1 (25)

рÙ ( qÙ`q) ≡ 0 (26)

Используя, справа налево дистрибутивный закон (6), получаем два новых соотношения:

(р Ùq ) Ú (р Ùr) ≡ р Ù (q Úr) (27)

(р Úq )Ù (р Úr) ≡ р Ú (q Ùr) (28)

Например, упростить выражение:

(р ÚqÚr) Ù (рÚ qÚ`r ).

Применяя (28), учитывая, что rÙ`r ≡ 0 и (17) получаем:

(р ÚqÚr) Ù (рÚ qÚ`r ) ≡ (р Úq) Ú (rÙ`r ) ≡ р Úq.

Иногда оказывается полезным для упрощения формулы повторить в ней какие-то выражения, используя, справа налево законы поглощения (21)-(22).

Например, упростить выражение

(р Úq )Ù (`рÚq) Ù (`рÚ`q).

Повторим `рÚq и, используя (6), (2), (17), (4) получаем:

(р Úq )Ù (`рÚq) Ù (`рÚq) Ù (`рÚ`q) ≡ (qÚ(рÙ`р)) Ù (`рÚ (qÙ`q)) ≡ (qÚ0) Ù (`рÚ 0) ≡ qÚ`р ≡ `рÚq.

Иногда для каких-то целей необходимо вводить в формулу новые переменные (буквы). Это делается с учетом тождеств (24) и (25) и законов дистрибутивности (6). Так, в выражение р Ú q можно ввести букву r. В самом деле, используя (3), а также (6), получаем:

р Ú q≡(р Úq) Ú (r Ù`r ) ≡ (р ÚqÚr) Ù (рÚ qÚ`r )

4 ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ

Для каждой формулы наряду с конъюнктивной нормальной формой существует дизъюнктивная нормальная форма. Она состоит из дизъюнкции конъюнкций, в которой каждый конъюнктивный член является элементарным высказыванием или его отрицанием.

Преобразование формулы к дизъюнктивной нормальной форме происходит следующим образом: отрицанием первоначальную формулу и приведем ее к конъюнктивной нормальной форме, а затем вновь отрицанием полученное выражение согласно правилу а3).

Например, привести к дизъюнктивной нормальной форме формулу:

р Ù (р®q).

Отрицаем эту формулу и приводим полученное выражение к конъюнктивной нормальной форме:

р Ù (р®q) ≡`рÚ (р ®q) ≡`рÚ (`рÚq) ≡`рÚ (`рÙ`q) ≡(`рÚ`р) Ù(`р Ú`q) ≡ ≡(`рÚр) Ù(`р Ú`q)

Отрицаем последнее выражение:

______________ ____ ______ _ _ _

(`рÚр) Ù(`р Ú`q) ≡(`рÚр) Ú (`р Ú`q) ≡ (`р Ù`р) Ú (`р Ù`q) ≡(р Ù`р) Ú (р Ùq)

Приведение формулы к нормальной форме дает иной, чем таблицы истинности метод решения проблемы разрешимости.

Чтобы формула была тождественно истинной необходимо и достаточно, чтобы в ее конъюнктивной нормальной форме каждый конъюнктивный член содержал элементарное высказывание вместе со своим отрицанием.

Доказательство получаем из (25)(91 ) и (15), а также определения конъюнкции. Так формула (р Ú`рÚ q) Ù( р Ú`qÚ q) тождественно истинна.

Чтобы формула была тождественно ложной необходимо и достаточно, чтобы в ее дизъюнктивной нормальной форме каждый дизъюнктивный член содержал элементарное высказывание вместе со своим отрицанием. Так формула:

(р ÙrÙ`р) Ú ( р Ù r Ù`r ) тождественно ложна.

Доказательство получаем из того, что р Ù`р≡0, (16) и определения дизъюнкции.

Формула будет выполнимой, если в ее дизъюнктивной нормальной форме есть хотя бы один дизъюнктивный член, который не содержит элементарное высказывание вместе со своим отрицанием.

В самом деле, если это условие для какой-то формулы выполнено, то для этого дизъюнктивного члена существует такой набор значения переменных, для которого он равен 1. Тогда согласно (18) для этого набора значений переменных формула принимает значение, равное1.

Например, докажем, что формула р≡ q выполнима. Приводим эту формулу к дизъюнктивной нормальной форме:

(р≡ q ) ≡(р® q) Ù(q ®р) ≡ (`р Ú q) Ù(`q Úр) ≡((`р Ú q) Ù`q) Ú((`р Ú q) Ùр) ≡ ≡ (`р Ù`q) Ú (q Ù`q) Ú (`р Ù р) Ú (q Ùр) ≡ (`р Ù`q) Ú (q Ùр) ≡ (q Ùр) Ú(`р Ù`q).

Каждый дизъюнктивный член не содержит элементарное высказывание вместе со своим отрицанием. А значит формула р≡ q выполнима.

5 СОВЕРШЕННАЯ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. СОВЕРШЕННАЯ КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА

Мы знаем, что одна и та же формула может быть представлена различными дизъюнктивными нормальными формами. Среди этих форм имеется совершенная дизъюнктивная нормальная форма, которая удовлетворяет условиям:

a) в ней нет двух одинаковых дизъюнкций;

b) ни одна дизъюнкция не содержит двух одинаковых конъюнкций;

c) ни одна дизъюнкция не содержит переменного высказывания вместе со своим отрицанием;

d) каждая дизъюнкция содержит в качестве дизъюнктивных членов все переменные, входящие в формулы.

Имеется два метода приведения формулы к дизъюнктивной нормальной форме.

Первый состоит в следующем: составляется истинностная таблица формулы и находятся все наборы значений переменных высказываний, при которых формула принимает значение «истина». Затем выписываются конъюнкции элементарных высказываний, отвечающие этим наборам, знаки отрицания расставляются над этими высказываниями, так, чтобы эти конъюнкции были истинными; наконец, конъюнкции соединяются знаком дизъюнкции.

Исходная формула будет равносильна выписанной дизъюнктивной нормальной форме.

В самом деле, при соблюдении требований расстановки знаков отрицания над переменными все выписанные конъюнкции будут истинными, а потому совершенная дизъюнктивная нормальная форма будет иметь тоже истинностное значение, что и исходная формула.

Например, чтобы привести формулу (р®q)Úq®rÚq к дизъюнктивной нормальной форме, составляем таблицу истинности этой формулы. Она имеет вид:

р	q	r	р®q	(р®q)Úq	rÙ q	(р®q)Úq®rÚq
1	1
1	1	1
1	1	1
1	1	1	1	1	1
1	1
1	1	1
1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

По сформулированному алгоритму получаем:

(р®q)Úq®rÚq º (`рÙ qÙ r) Ú( р Ù`qÙ`r ) Ú ( р Ù`qÙr)Ú ( р ÙqÙr).

Другой метод приведения формулы к совершенной дизъюнктивной нормальной форме заключается в следующем: приводим формулу к дизъюнктивной нормальной форме, а затем приписываем в каждом дизъюнктивном члене недостающие переменные согласно правилу (24).

Так, для формулы (р®q)Úq®rÚq имеем следующую цепочку преобразований _____________ _____ ____

(р®q)Úq®rÚq º(`рÚ qÚ q) Ú (rÙ q) º`р Úq Ù r Ù q º (`рÚ q)Ù(`qÚ`r ).

Отрицаем последнее выражение:

______________ _ _ _

(`р Ú q)Ù(`qÙ`r ) º(`рÙ`q) Ú (`qÙ`r ) º( р Ù`q) Ú (qÙr).

Затем, пользуясь (24), имеем:

( ( р Ù`q) Ù (r Ú`r)) Ú (( рÚ` р) Ù( qÙr)) º ( р Ù`q Ù r) Ú ( р Ù`q Ù`r) Ú (`рÙ qÙ r) Ú( рÚ q Úr ) º(`рÙ qÙ r) Ú ( р Ù`qÙ`r) Ú( р Ù`qÙr) Ú ( р ÙqÙr).

Аналогичным образом определяется совершенная конъюнктивная нормальная форма какой-то формулы. Она удовлетворяет условиям:

a) в ней нет двух одинаковых конъюнкций;

b) ни одна конъюнкция не содержит двух одинаковых дизъюнкций;

c) ни одна конъюнкция не содержит переменного высказывания вместе со свои отрицанием;

d) в каждой конъюнкции содержится в качестве дизъюнктивных членов все переменные входящие в формулу.

Правила приведения произвольной формулы к совершенной конъюнктивной нормальной форме аналогичны тем, которые были описаны для нахождения совершенной дизъюнктивной нормальной форме и выражаются в двойственных терминах. Так, для формулы (р®q)Úq®rÙq пользуясь ее таблицей истинности и правилом двойственности сразу можно записать совершенную конъюнктивную нормальную форму. Для этого выписываем дизъюнкции переменных, при которых формула истинна, затем расставляем знаки отрицания, чтобы при этих значениях выписанные дизъюнкции обращались в ложь. И наконец соединяем все дизъюнкции знаком конъюнкции. Для предыдущей формулы получаем:

(р®q)Úq®rÙqº( р Ú`qÚ` r) Ù(` р Úq Ú r ) Ù (`рÚqÚ`r) Ù (`рÙ`qÙ`r)

Чтобы привести формулу к совершенной конъюнктивной нормальной форме по другому методу, надо привести ее к конъюнктивной нормальной форме, а затем восстановить в каждом конъюнктивном члене недостающие переменные, пользуясь правилом (23). Так для формулы (р®q)Úq®rÙq имеем следующую цепочку преобразований:

(р®q)Úq® (rÙq) º( `р ÚqÚq) Ú (rÙq) º (`рÙ`q) Ú(rÙq) º (рÙ`q) Ú(rÙq).

По закону двойственности имеем:

(рÙ`q) Ú(rÙq) º (`рÚ`q) Ù (`r Ú`q) º (`рÚq) Ù (`r Ú`q).

В полученной конъюнктивной нормальной форме восстанавливаем недостающие переменные, пользуясь (23).

(`рÚq) Ù (`r Ú`q) º((` р Úq) Ú (rÙ`r)) Ù (( рÚ` р) Ú (`r Ú`q)) º (`рÚ qÚ r) Ù (` рÚ q Ú`r) Ù( рÚ`qÚ`r ) Ù (`рÙ`q Ù` r ).

Во многих случаях представление формулы в совершенных нормальных формах является способом систематического ее упрощения. Однако этот метод не является наиболее коротким и не приводит к простейшему выражению.

Литература

1. Логическое суждение. Руфулаев О.Н. К. – 2005 г.

2. Логика – исскуство мышления. Тимирязев А.К.– К. 2000 г.

3. Философия и жизнь – журнал- К. 2004 г.

4. История логики и мышления – Касинов В.И. 1999.

5. Логика и человек – М. 2000.

6. Философия жизни. Матюшенко В.М. – Москва – 2003 г.

7. Философия бытия. Марикова А.В. – К. 2000 г.

www.ronl.ru

Реферат Логическое высказывание

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Виды высказываний
2 Связь с математической логикой
3 Основные операции над логическими высказываниями

Введение

Логическое высказывание — упрощение термина «Суждение» из формальной логики, используется в математической логике. Высказыванием является повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, true). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами.

Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменён переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание. Пример: A(x) = «В городе x идет дождь.» A — высказывательная форма, x — объект.

Высказывание обычно имеет только одно логическое значение. Так, например, «Париж — столица Франции» — высказывание, а «На улице идет дождь» — не высказывание. Аналогично, «5>3» — высказывание, а «2+3» — не высказывание. Как правило, высказывания обозначают маленькими латинскими буквами.

1. Виды высказываний

Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания и составные логические высказывания.

Составное логическое высказывание — это высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок.

Логическая связка — это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.

Элементарные логические высказывания — это высказывания не относящиеся к составным.

Примеры: «Петров — врач», «Петров — шахматист» — элементарные логические высказывания. «Петров — врач и шахматист» — составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».

2. Связь с математической логикой

Обычная логика двухзначна, то есть приписывает высказываниям только два возможных значения: истинно оно или ложно.

Пусть p — высказывание. Если оно истинно, то пишут | p | = 1, если ложно, то | p | = 0.

Тождественно истинное высказывание обозначают символом 1, тождественно ложное — символом 0.

Существуют также многозначные логики (Яна Лукасевича, С. Клини и др.).

3. Основные операции над логическими высказываниями

Отрицание логического высказывания — логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот.

Конъюнкция двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.

Дизъюнкция двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.

Импликация двух логических высказываний A и B — логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а A истинно.

Равносильность (эквивалентность) двух логических высказываний — логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.

Кванторное логическое высказывание с квантором всеобщности ( $\forall x A(x)$ ) — логическое высказывание, истинное только тогда, когда для каждого объекта x из заданной совокупности высказывание A(x) истинно.

Кванторное логическое высказывание с квантором существования ( $\exists x A(x)$ ) — логическое высказывание, истинное только тогда, когда в заданной совокупности существует объект x, такой, что высказывание A(x) истинно.

Примечания

Литература

Карпенко, А. С. Современные исследования в философской логике // Логические исследования. Вып. 10. — М.: Наука, 2003. ISBN 5-02-006257-X — С. 61-93.
Крипке, С. А. Витгенштейн о правилах и индивидуальном языке / Пер. В. А. Ладова, В. А. Суровцева. Под общ. ред. В. А. Суровцева. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. — 152 с. — (Библиотека аналитической философии). ISBN 5-7511-1906-1
Курбатов, В. И. Логика. Систематический курс. — Ростов н/Д: Феникс, 2001. — 512 c. ISBN 5-222-01850-4
Шуман, А. Н. Современная логика: теория и практика. — Минск: Экономпресс, 2004. — 416 с. ISBN 985-6479-35-5
Макарова, Н. В. Информатика и ИКТ. — Санкт-Петербург: Питер Пресс, 2007 ISBN 978-5-91180-198-4 — С. 343—345.

wreferat.baza-referat.ru

Реферат Язык классической логики высказываний

ЯЗЫК КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Язык как знаковая информационная система. Знак. Смысл и значение знака.

Язык классической логики высказываний (ЯКЛВ). Алфавит, синтаксис. Понятие формулы языка.

Запись на языке КЛВ выражений естественного языка.

_____________________________________________________________________________________

Основные определения, которые надо выучить:

Язык как знаковая система

Знак

Смысл знака

Значение знака

Аспекты рассмотрения языка: синтаксис, семантика, прагматика

Базовые семантические категории естественного языка: предложение и термин

Основные виды предложений

Простые и сложные предложения

Предложение, суждение, высказывание

Термины языка: логические (связки, кванторы) и нелогические.

Естественный язык, искусственный язык, формализованный язык

Объектный язык, метаязык.

Пропозициональная переменная

Пропозициональная связка

Технический символ

Литература:

Ивлев Ю.В. «Логика для юристов» – гл.2, гл.4 А §§1, 2.

Бочаров В.А., Маркин В.И. «Основы логики» – гл.1 §§1, 3, гл.2 §§1, 2.

Упражнения:

рассуждение

найдется такой объект, который

любой (объект х)

или

логика

неверно, что

умный

лучше

больше

круче

необходимо, что

если и только если

минус

операция вычитания

ибо

но

а также

зачет по логике

зачет по зоологии

равносильно

Какие из следующих языковых выражений являются высказываниями с точки зрения логики?

x+y

x+y=2

2+3

2+3=x

2+3=100

xx<3

«Если есть в кармане пачка сигарет, значит всё не так уж плохо на сегодняшний день»

Который час?

Будь осторожен!

Вашингтон – столица США

Древние греки заимствовали и очертания, и названия своих букв у древних египтян.

Древние греки заимствовали и очертания, и названия своих букв у финикийцев.

3. Какие из следующих предложений простые, а какие сложные?

Саша и Таня – студентки.

Молдавия находится между Украиной и Румынией.

Польша не расположена между Россией и Болгарией.

Москва расположена севернее Киева и Смоленска.

В каких из нижеследующих пассажей союзы «и», «но» не соответствуют конъюнкции КЛВ?

И решил я тогда: умру, но выучу хеттский язык!

Сегодня у нас 2 пары английского и одна пара математики.

Тогда я решил: умру, но выучу хеттский язык!

Встретились баба с пустыми ведрами и черная кошка, обе скончались на месте.

Саша и Таня одного возраста.

Саша и Таня – студентки.

Если мы поможем ему, то и он нам тоже.

Он заболел и умер.1

Для следующих формул укажите их главные знаки и все их подформулы. Постройте их нагруженные деревья.

Øр&q

Ø(р&q)

(p⊃Øq)⊃((s≡r)(s≡q))

Ø(Ø(Øрq)&Ø(qÚp))

ØØ(Øрq)&Ø(qÚp)

Являются ли данные последовательности символов формулами языка КЛВ? Если нет, то укажите, где ошибка (ошибки).

(рq)&((qp))

((рq)&(qp)

(рq)(qp)(рq)(q&r)

(р  q)  (q &(s& r))

(р Ú q)

p – «Ты посещаешь все лекции по логике»

q – «Ты посещаешь все семинары по логике»

r – «Ты туго соображаешь»

s – «Ты сдашь логику с первого раза»

s1 – «Ты никогда не сдашь логику»

р1 – «Ты считаешь астрологию почтенной дисциплиной»

r1 – «Ты считаешь логику захватывающей дисциплиной»

Если ты не посещаешь ни семинары по логике, ни лекции, и соображаешь туго, ты никогда не сдашь этот предмет.

Ты туго соображаешь и считаешь астрологию почтенной дисциплиной.

Ты считаешь астрологию почтенной дисциплиной, только в том случае если туго соображаешь.

Или ты считаешь логику захватывающей дисциплиной, или ты туго соображаешь.

8. Запишите с помощью языка логики высказываний логическую форму следующих предложений русского языка:

И ты прав, и я, а преподаватель не прав.

Или ты не прав, или я, или преподаватель.

Или ты не прав, или я, или преподаватель, но если ты прав, то и я тоже.

Если вчера я не знал, что говорю прозой, то сегодня я это знаю.

Еще один вопрос, и я за себя не отвечаю.

Умру, но докажу, что я не идиот.

Можно рехнуться, поумнеть или войти в нирвану, если долго заниматься математикой, но поглупеть нельзя.

Я пью крепкий кофе, если и только если хочу спать или у меня много работы.

Я займусь изучением логики, если скоро зачет по этому предмету и преподаватель не ставит "автоматы".

Я займусь изучением логики, только если скоро зачет по этому предмету и преподаватель не ставит "автоматы".

Любишь кататься, люби и саночки возить.

Сегодня или суббота, или воскресенье.

Если сегодня у меня английский язык, значит сегодня вторник или четверг.

Я приду на занятия, если не заболею и не попаду в пробку.

Я приду на занятия, только если погода будет хорошей, я не заболею и у меня не будет плохих предчувствий.

Если я знаю два иностранных языка, то мой брат целых пять, а сестра – ни одного.

Ни ты, ни я не любим этого преподавателя, и он нас тоже.

И ты, и я нежно любим и логику, и философию.

Легкая победа, как и победа случайная, вызывает скорее разочарование, чем радость.

Обеспеченная жизнь являлась необходимым условия счастья сына турецкого поданного господина О.Бендера.

edportal.net

Реферат: Логика высказываний. Язык логики высказываний реферат

Реферат - Язык классической логики высказываний

Реферат Логика высказываний

План:

Введение

1. Основные понятия

2. Правила построения формул логики высказываний

2.1. Пример

3. Соглашения о скобках

4. Истинностное значение

5. Тождественно истинные формулы (тавтологии)

6. Исчисление высказываний

Реферат - Логика высказываний - Философия

План

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Реферат Логическое высказывание

План:

Введение

1. Виды высказываний

2. Связь с математической логикой

3. Основные операции над логическими высказываниями

Примечания

Литература

Реферат Язык классической логики высказываний

Смотрите также