Областью определения: .
Область значений:
Наименьший положительный период функции синуса равен .
Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
Функция синус - нечетная.
Функция убывает при , возрастает при .
Функция синус имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках .
Функция y = sinx вогнутая при , выпуклая при .
Координаты точек перегиба .
Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx:

1.Область определения функции косинус: .

2.Область значений: .

3.Наименьший положительный период функции косинус равен .

4.Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

5.Функция косинус - четная.

6.Функция убывает при , возрастает при .

7.Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках .

8.Функция вогнутая при , выпуклая при .

9.Координаты точек перегиба .

10.Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx:

1.Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел.

2.Область значений функции тангенс: .

3.Наименьший положительный период функции тангенс равен .

4.Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

5.Функция тангенс - нечетная.

6.Функция возрастает при .

7.Функция вогнутая при ,

выпуклая при .

8.Координаты точек перегиба .

9.Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):

Свойства функции котангенс y = ctgx:

1.Область определения: , где , Z – множество целых чисел.

2.Область значений: .

3.Наименьший положительный период функции котангенс равен .

4.Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

5.Функция нечетная.

6.Функция котангенс убывает при .

7.Функция котангенс вогнутая при , выпуклая при .

8.Координаты точек перегиба .

9.Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

referatwork.ru

Тригонометрические функции и их графики — курсовая работа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Заочный факультет

Кафедра Высшей математики

Тригонометрические функции и их графики

Курсовая работа

Исполнитель

студент группы М-51 __________ Е.В.Марухленко

Научный руководитель

_______________________ _____________ ____________

ученая степень, звание подпись И.О.Ф.

Гомель 2013

Реферат

Курсовая работа 43 страницы, 30 рисунков, 6 таблиц, 12 источников.

Ключевые слова: курсовая работа, тригонометрические функции, свойства, графики, тригонометрические уравнения, методы решения, примеры решения тестовых заданий.

Объект исследования: тригонометрические функции и их графики

Цель работы: изучение тригонометрических функций, их свойств

и графиков.

Первый раздел «Тригонометрические функции, их свойства и графики». Приведены основные теоретические сведения: обобщенное понятие угла, числовой окружности на координатной плоскости, определение тригонометрических функций; таблицы значений тригонометрических функций для некоторых аргументов; основное тригонометрическое тождество и основные тригонометрические формулы, основные свойства тригонометрических функций и их графиков.

Второй раздел «Методы решения тригонометрических уравнений». Изложены основные методы решения тригонометрических уравнений, рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений.

Третий раздел «Примеры решения тестовых заданий» . Рассмотрены примеры решения тестовых заданий тригонометрических уравнений .

Содержание

Реферат

Введение………………………………………………………….………5

Раздел 1. Тригонометрические функции и их графики……………7

1.1 Обобщение понятия угла. Числовая окружность на координатной

плоскости………………………………………………………….…………...7

Синус и косинус. Тангенс и котангенс………………………...….….……..10
Тригонометрические функции углового аргумента……...………...…..…..11
Четность и нечетность тригонометрических функций……….….………...13

1.5 Основные тригонометрические тождества…………………………….……13

Основные тригонометрические формулы…………………………………15

Формулы приведения……………………………………………………15
Теоремы сложения……………………………………………………….16
Формулы двойного аргумента. Формулы половинного аргумента.18
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций

в произведение и обратные преобразования………………..……….20

1.7 Области определения и множества значений тригонометрических

функций…………………………………………………………………..…..22

Периодичность тригонометрических функций…………………………….22
Интервалы знакопостоянства тригонометрических функций……………23

1.10 Графики тригонометрических функций………………………………….24

1.10.1 График функции и ее свойства……………………………….24

1.10.2 График функции ……………………………………………….25

1.10.3 График функции …………………………………...26

1.11 Гармонические колебания…………………………………………………27

Раздел 2. Методы решения тригонометрических уравнений……29

2.1 Тригонометрические уравнения…………………………………………...29

2.2 Уравнения, сводимые к алгебраическим………………………………….31

2.3 Однородные уравнения…………………………………………………...…..32

2.4 Уравнения, решаемые методом разложения на множители……………..33

2.5 Уравнения, решаемые методом введения дополнительного угла……….34

2.6 Метод универсальной подстановки…………………………………………35

2.7 Метод оценок…………………………………………………………………35

2.8 Уравнения, решаемые понижением степени уравнения…………………..37

2.9 Уравнения, решаемые преобразованием тригонометрических

произведений в сумму или разность………………………………………...37

2.10 Уравнения, решаемые преобразованием тригонометрических сумм

(разностей) в произведение…………………………………………………37

Раздел3. Примеры решения тестовых заданий……………………39

Заключение……………………………………………………………..42

Список используемых источников………………………………….43

ВВЕДЕНИЕ

Термин «тригонометрия» происходит от греческих слов «тригонон» —треугольник и «метрио»— измеряю, что вместе означает «измерение треугольника».

Потребность в измерении углов возникла так же давно, как и потребность в измерении расстояний. Одним из стимулов развития тригонометрии была необходимость определения времени, определения положения корабля в открытом море или каравана в пустыне.

Изучая зависимость между сторонами и углами треугольника, древние нашли способы вычислений различных элементов треугольника.

Некоторыми знаниями тригонометрии владели ученые Древнего Вавилона. Об этом свидетельствует тот факт, что вавилоняне умели предсказывать солнечные и лунные затмения. На одной из глиняных табличек Древнего Вавилона (2 тыс. лет до н. э.) решается задача, в которой по известному диаметру круга и высоте сегмента вычисляется длина хорды,

что соответствует установлению связи между синусом и косинусом.

Древнегреческие ученые владели методами решения прямоугольных треугольников. Астроном и математик Гиппарх (II в. до н. э.) составил таблицы хорд— первые тригонометрические таблицы.

Одним из значительных достижений в составлении тригонометрических таблиц было сочинение К. Птолемея (II в.) «Альмагест». В этой работе собраны и обобщены различные известные к тому времени сведения по астрономии и смежным с нею наукам. Здесь же приводится таблица хорд, составленная в шестидесятеричной системе счисления через полградуса от 0 до 180 . По существу таблица хорд является таблицей синусов от 0° до 90°. Птолемей вывел также формулы, которые в современных обозначениях выглядят так: ,

. Эти сведения по тригонометрии использовались главным образом для решения задач практической астрономии, для определения не доступных расстояний.

Дальнейшее развитие тригонометрии осуществили ученые Индии и Ближнего и Среднего Востока. Ими были введены синус, косинус, тангенс, котангенс, положено начало радианной мере угла. Тригонометрические знания, накопленные арабскими математиками, достигли такого уровня, что тригонометрию стали считать отдельным разделом математики.

Впервые обозначать синус и косинус знаками и стал

И. Бернулли в письме 1739 г. к Эйлеру. Эйлер принял эти обозначения и систематически применял их.

После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе. Тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание, что обуславливает актуальность изучения исследуемой работы.

Цель работы: изучение тригонометрических функций, их свойств

и графиков.

Гипотеза: изучение тригонометрических функций будет более эффективным, в том случае когда:

1) перед введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа с числовой окружностью;

2) числовая окружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системы координат;

3) построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;

4) Выделить основы формирования умений, необходимых для решения тригонометрических уравнений.

Для решения проблемы исследования, проверки достоверности гипотезы и достижения цели реализуются следующие задачи:

1) исследование научно-методической литературы по этой теме;

2) проведение логико-дидактического анализа изложения этой темы в современных учебных пособиях;

3) обобщение и систематизация полученных сведений.

Раздел 1. Тригонометрические функции и их графики

1.1 Обобщение понятия угла. Числовая окружность на координатной

плоскости

В геометрии угол определяется как фигура, образованная двумя лучами, исходящими из общей точки; при этом не делается различия между сторонами угла: угол или ВОА считаются одинаковыми. Кроме того нигде в геометрии не встречаются отрицательные углы.

Установим более общий взгляд на угол как на алгебраическую величину, которая может принимать любые значения: положительные, отрицательные или нуль.

Проведем ось ОР из начала О и произвольным радиусом r опишем окружность. Пусть эта окружность пересекает

ось ОР в точке А (рисунок 1). Если М—произвольная точка

на окружности, то ей соответствует вектор , который в

Рисунок 1 дальнейшем будем называть радиус-вектором точки М. Тогда угол АОМ равный α будем считать образованный вращением вектора в направлении против движения часовой стрелки от первоначального положения ОА до положения ОМ: ОА—начальная сторона угла (неподвижная сторона) ОМ—конечная сторона.

Определение 1: угол α считается положительным, если он образован вращением вектора против часовой стрелки, отрицательным, если вектор вращается по часовой стрелки.

Однако данному положению ОМ конечной стороны угла α соответствует не единственный угол α: вектор , повернувшись сначала в положительном направлении на угол α, может после этого совершать любое целое число оборотов в положительном или отрицательном направлении, после чего конец его неизменно окажется в той же фиксированной точке М. Следовательно, данному положению конечной стороны угла соответствует бесчисленное множество углов как положительных, так и отрицательных. Все эти углы получаются по формуле : ,где k—любое целое число, в том числе и нуль,

Пример 1.1

Если радиус-вектор повернуть в положительном направлении на угол 120° относительно начальной стороны ОА, то такому положению вектора соответствуют

а) положительные углы 120°, 480°, 840°, 1200°,….

б) отрицательные углы (–240°), (–600°), (–960°),….

Все названные углы содержаться в формуле . При для углов а) и при для отрицательных углов б)

Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат (рисунок 2): центр окружности совместим с началом координат, ее радиус примем за масштабный отрезок. Начальная точка числовой окружности — это точка (1; 0), при этом -- Для любой точки числовой окружности выполняются неравенства:

Рисунок 2 .

Нетрудно составить уравнение числовой окружности, поскольку ее центром служит начало координат, а радиус равен 1.

Уравнение числовой окружности имеет вид .

Нам важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности.

Начнем с точек: ; ; и .

Числу соответствует точка М1 на рисунке 3. Опустим из точки М1 перпендикуляр М1Р на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОМ1Р. Так как дуга АМ1 составляет половину дуги АВ, то соответствующий дуге АМ1 центральный угол окружности равен 45°, т. е. POM1 = 45°. Значит, ОМ1Р — равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М1Р равны, т. е. у точки М1 абсцисса и ордината равны. Кроме того, координаты точки M1(x; у) удовлетворяют уравнению окружности х2 + у2 = 1. Значит,

yaneuch.ru

Тригонометрические функции и их графики — курсовая работа

чтобы найти координаты точки М1 нужно решить

Рисунок 3 систему уравнений

при условии, что х>0, у > 0. Решением является пара чисел ).Итак, М1()=). Проанализируем полученное равенство. Что означает запись М1()? Она означает, что точка М1 числовой окружности соответствует числу .А что означает запись М1 )? Она означает, что точка М1

имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться подобного способа записи: если будет написано M(t), то это значит, что точка М числовой окружности соответствует числу t; если написано М(х; у), то это значит, что числа х и у являются соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом, (х; у) — декартовы координаты точки М, a t — «криволинейная» координата точки М на числовой окружности.

Рассмотрим точку М2()— середину второй четверти. Рассуждая, как и выше, получим для модуля абсциссы и модуля ординаты этой точки те же значения: . Но во второй четверти х < 0, а у > О, значит,

М2()=М2).

Для точки М3 () — середины третьей четверти — получаем:

М3 ()= М3).

Для точки М4() — середины четвертой четверти — имеем:

М4()= М4).

Оформим полученные результаты в виде таблицы 1:

Таблица 1

Рисунок 4

Теперь найдем координаты точек, изображенных на рисунке 3. Из точки М1( ) опустим перпендикуляр М1Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМ1Р (рисунок 5). Гипотенузой этого треугольника является отрезок ОМ1 и причем OM1 = 1. Угол М1ОР равен 30°, поскольку дуга АМ1 составляет треть дуги АВ. Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, М1Р =, тем самым найдена ордината точки М1: у = (в первой четверти у > 0).

Абсциссу точки M1 найдем с помощью теоремы Пифагора:

OM1²– М1Р² =

Рисунок 5

Получаем: (в первой четверти х > 0).

Итак, М1( )=М1(;).

Возьмем точку М2 (). Треугольник М20К равен треугольнику М1ОР (рисунок 5), поэтому М2 ()= М2 (; ).

Те же самые абсолютные значения ( и ) будут иметь координаты точек ; ; ; ; ; (рисунок 3). По чертежу нетрудно определить, какая координата равна по модулю числу , а какая — числу —Возьмем для примера точку М3() (рисунок 3). Числу соответствует точка третьей четверти, в которой х < 0 и у < 0; далее, для точки М3 выполняется неравенство |у| < |х| (рисунок 5), значит, |x|=, а |y|=.

Таким образом,

М3()= М3()

Проведя аналогичные рассуждения, можно найти декартовы координаты остальных точек.

Оформим результаты в виде таблицы 2.

Таблица 2

Рисунок 6

1.2 Синус и косинус. Тангенс и котангенс

Определение 2. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Итак, рисунок 7

Мы отметили, что для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства: –1 ≤ х ≤ 1, –1 ≤ у ≤1.

Отсюда следует, что –1 ≤ sin t ≤ 1,

–1 ≤ cos t ≤1.

Каждая точка М числовой окружности имеет в системе хОу координаты х и у, причем если точка М находится в первой четверти, то х > 0, у > 0; если точка М находится во второй четверти, то х < 0, у > 0; если точка М находится в третьей четверти, то х < 0, у < 0; если точка

Рисунок 7 М находится в четвертой четверти, то х > 0, у < 0.

Это позволяет составить соответствующую таблицу 3 знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

Таблица 3

Рисунок 8

Определение 3. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg t.

;

Говоря о tg t подразумевают, что cos t ≠ 0, т. е. что t ≠ , а говоря о ctg t, подразумевают, что sin t ≠0, т. е. что t≠. Поэтому обычно определения tg t и ctg t записывают так:

(1)

(2)

Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности нетрудно составить аналогичную таблицу 4 для тангенса и котангенса:

Таблица 4

Рисунок 9

1.3 Тригонометрические функции углового аргумента

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла — это

отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, тангенс (котангенс) угла — это отношение катетов прямоугольного треугольника.

Возьмем угол с градусной мерой α° и построим его в модели «числовая окружность на координатной

плоскости» так, как показано на рисунке 10 вершину угла совместим с центром окружности (с началом системы

координат), а одну сторону угла совместим с положительным лучом оси абсцисс. Точку пересечения второй стороны угла с

Рисунок 10 окружностью обозначим буквой М. Ординату точки М естественно считать синусом угла α°, а абсциссу этой точки — косинусом угла α°. Для отыскания синуса или косинуса угла а° совсем не обязательно каждый раз делать указанные построения. Достаточно учесть, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол α° составляет от угла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:

; ; т.е.

Таким образом,

; ;

Например,

;

30°, 90° — это градусная мера угла, а , — радианная мера того же угла: 30° = рад, 90° = . Вообще

(3)

В частности,

Например, 35°=

Так что же такое 1 радиан? Мы знаем, что есть различные меры длины: сантиметры, метры, ярды и т. д. Есть и различные меры для обозначения величины угла. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° — это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся в единичной окружности на дугу длиной 1, а в

окружности произвольного радиуса — на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Из формулы 1 рад = получаем, что 1 рад = 57,3°.

Составим с помощью формулы (3) таблицу 5 радианной и градусной меры некоторых углов:

Таблица 5

Рисунок 11

Завершая этот пункт, убедимся в том, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые мы изучали в геометрии, представляют собой частные случаи тех определений, что были предложены в этой главе.

Теорема 1. Если а,b, с — катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника ABC (рисунок 12), то выполняются следующие равенства:

; ;

Доказательство. Совместим прямоугольный треугольник ABC числовой окружностью так, как показано на рисунке 13 вершину А поместим в центр окружности, катет АС «пустим» по положительному направлению оси абсцисс. Точку пересечения гипотенузы АВ с окружностью обозначим буквой М. Опустим из очки М перпендикуляр МР на прямую АС.

Заметим, что АР и МР — абсцисса и ордината точки

Рисунок 12 М, т. е. АР = cos А, МР = sin А. Учтем также, что AM = 1 (радиус числовой окружности равен 1) и что АВ = с,

АС = b, ВС = а. Так как треугольники AMP и ABC подобны, то

, т.е .

Из пропорции , находим, что .

Далее, ; .

Теорема доказана.

Рисунок 13

1.4.Четноcть и нечетность тригонометрических функций

Теорема 2. Косинус является четной функцией, т. е. cos (—α) = cos α; синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, т. е. sin(–) = –sin α, tg(–α) = –tgα ,ctg(–α) = ctgα.

Рисунок 14 Рисунок 15

Доказательство. Точки Μ и М1 единичной окружности, изображающие взаимно противоположные значения аргумента α и –α, симметричны относительно оси ОХ (рисунок 14). Следовательно, точки Μ и М1 имеют одну и ту же абсциссу х=OB и взаимно противоположные ординаты у= ВΜ и –у = ВМ1 откуда х=cos = –cos α и sin(–α)= –y = –sin α

Для функции tg α имеем tg(–α)= == –tgα (рисунок 15)

и аналогично: ctg(–α)= –ctg α, ч. т. д.

Пример 1.2

sin (зо)=–sin 30= – , cos (6о)=,

tg (45)= – tg 45= –1, ctg (зо)= – ctg зо= –, sin ()= – sin = –1,

cos ()= cos = .

1.5 Основные тригонометрические тождества

Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

Пусть при повороте радиуса ОА вокpyг точки О на угол а получен радиус ОВ (рисунок 16). По определению sin α=, cos α=, где х—абсцисса точки В, у—ее ордината, а r—длина радиуса ОА. Отсюда х=r cosα, y=r sinα

Так как точка В принадлежит окружности с центром в начале координат, радиус которой равен r, то ее координаты удовлетворяют уравнению х²+у²=r². Подставив в это уравнение вместо х и у выражения

r cosα и r sinα, получим: (r cos α)²+(R sin α)²=r².

Разделив обе части последнего равенства на r² , найдем, что

(4)

Равенство (4) верно при любых значениях α.

Рисунок 16 Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1

По определению tg α=. Так как х=r cosα, y=r sinα, то , таким образом

(5)

Тангенс угла есть отношение синуса этого угла к косинусу того же угла (предполагается, что cos α0).

По определению ctg α=. Аналогично

Следовательно,

(6)

Котангенс угла есть отношение косинуса этого угла к синусу того же угла (предполагается, что sin α0).

Равенство (5) верно при всех значениях α, при которых cоsα≠ 0, а равенство (6) верно при всех значениях α, при которых sinα ≠0.

Если к тождествам (4), (5) и (6) присоединить еще два:

(7)

(8)

то получим пять независимых друг от друга соотношений между шестью тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Выведем некоторые следствия из равенств (4)–(8): ,

т.е.

(9)

или

(10)

Котангенс угла есть величина, обратная тангенсу, и наоборот.

Разделим обе части равенства на cos²α, а затем на sin2α; получим ;

На основании равенств (5) и (7) имеем:

(11)

Подобным же образом делением обеих частей того же равенства (4) на sin2α получим:

(12)

Равенства (4)—(10) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествамu. Рассмотрим примеры использования этих тождеств для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению oдной из них.

Пример 1.3

Найдем cos α, tg α и ctg α, если известно, что = и .

Найдем сначала cos α. Из формулы , получаем, что =1–. Так как α является yглом II четверти, то eгo косинус

отрицателен. Значит,

Зная синус и косинус угла α, можно найти eго тангенс:

Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой . Имеем:

Итак,

1.6 Основные тригонометрические формулы

1.6.1 Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы, дающие выражение тригонометрических функций от аргументов

через функции от аргумента α.

Значения тригонометрических функций произвольных углов, используя формулы приведения, можно выразить через значения функций острого угла.

yaneuch.ru

Смотрите также

..:::Новинки:::..

Windows Commander 5.11 Свежая версия.

Новая версия
IrfanView 3.75 (рус)

Обновление текстового редактора TextEd, уже 1.75a

System mechanic 3.7f
Новая версия

Обновление плагинов для WC, смотрим :-)

Весь Winamp
Посетите новый сайт.

WinRaR 3.00
Релиз уже здесь

PowerDesk 4.0 free
Просто - напросто сильный upgrade проводника.

..:::Счетчики:::..