История возникновения алгебры. Реферат возникновение алгебры

Возникновение алгебры — доклад

Возникновение алгебры.

Слово «Алгебра» возникло после появления трактата «Китабаль-джебр Валь - мукабала» хорезмского математика и астронома Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (787- ок. 850). Термин «аль-джебр», взяты из названой этой книги, в дальнейшем стал употребляться как «алгебра».

Алгебра как искусство решать уравнения зародилась очень давно в связи с потребности практики, в результате поиска общих приемов решение однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были изданы приёмы решения линейных уравнений.

До XVI в. Изложение алгебры велось в основном словесно. Буквенные обозначения и математические знаки появились постепенно. Знаки + и – впервые встречаются у немецких алгебраистов XVI в. Несколько позже вводиться знак x для умножения. Знак деления « : » был введён лишь в XVII в.

Современные знаки умножения в виде «*» и деление в виде « : » впервые использовал Лейбниц. Знак деления в 1684 г., а умножения - в 1698 г.

В процессе развития алгебры из науки об уравнениях преобразовалась в науку об операциях, сходных с действиями над числами.

Лейбниц Древний Египет

Ступени развития алгебры

В эволюции алгебры различают 3 ступени: риторическую, синкопирующею и символическую.

Риторическая, или словесная, математика не пользуется символами. На этой ступени находится греческая математика до Диофанта(III в.н.э.), арабская и европейская математика до XIV века. Однако и там имеются особые знаки для некоторых математических понятий: у египтян иероглифы: скарабей - для понятия «равно», ноги, идущие против направления чтения - для понятия «больше», уходящие ноги - для понятия «меньше», неизвестно, искомое - иероглиф совы.

Первые записи были зарубки на палке, но ведь если тысячи пока будешь считать пройдёт больше часа. Очень неудобная запись! Вот, например, пять тысяч лет назад в Вавилоне, Египте, Китае почти одновременно родился новый способ записи чисел. Люди додумались писать числа по разрядам.

Египтянам, чтобы написать нашу цифру 7 им приходилось рисовать 7 палочек I I I I I I I =7

А, например, число 1873 египтяне писали так:

Изображение цифр и чисел в древнем Египте:

Очень интересная система счета была у народа Майя, который жил в Центральной Америке там, где сейчас государство Мексика. Индейцы майя были культурнее, чем жившие народы в то время в Европе. Майя считали двадцатками – у них была двадцатеричная система счёта. Числа от 1 до 20 обозначались точками и чёрточками. Если под числом обозначался, значок в виде глаза значит, число нужно увеличить в 20 раз. Число 45 Майя записывали так:

Изображение в виде глаза играло у Майя ту же роль, что у нас 0.

Изображение цифр и чисел у Племя Майя:

Вторая ступень развития – это синкопирующая математика употребляет для обозначения часто встречающихся понятий отдельные буквы и сокращения Диофант употреблял перевёрнутую букву (пси), Лука Пачоли употреблял p и m для обозначения плюса и минуса.

Третья ступень - символическая математика начинается в XV веке. Решительный шаг в использовании алгебраических символики был сделан в XVI в., когда французский математик Франсуа Виет (1540-1603) и его современники стали применять буквы для обозначения не только чисел неизвестных (что делалось и ранние), но и любых чисел. Однако эта символика ещё отличалась от современной.

Виет ввёл буквенные обозначения для коэффициентов и неизвестного в уравнениях: например он обозначает ископаемое – буквой N( Numers) ,квадрат его - буквой Q (Quadrates) , куб - буквой C(Cubes).

Он пишет: NC-3N aeguatur 1, что означает: x3 -3x=1.

Например, запись уравнения x3 -8x2+16x=40 у Виета выглядело бы так:

1С-8Q+16N aequ 40 (aequali- равно)

Англичанин Харриот (1631) заменяет большие буквы малыми. Наконец Декарт (1596-1650) предлагает известные числа обозначат первыми a,b,c,…, неизвестные - последними x,y,z буквами латинского алфавита. Декарт в 1637 г. вводит для обозначения равенства особые знак =. В 1631 г. Харриот предлагает для обозначения неравенства теперешние знаки < и >. В конце XV в. знаки «+» и «-» получают широкое распространение. Знак умножения x ввёл Аутрид (1631). Круглые скобки появились у Таргальи (1556), но лишь к середине XVIII в. скобки стали употребляться во всех математических книгах.

Диофант ЛукаПачоли ФрансуаВиет

Что изучает алгебра.

Алгебра-часть математики, которая изучает общие свойства, действия над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

В процессе развития алгебра из науки об уравнениях преобразовалась в науку об операциях, более или менее сходных с действиями над числами.

Близкий к описанию метод решения задач был известен ещё в II тысячелетий до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики).

В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются задачи, которые приводят к уравнениям не только первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте братьев, но и вида ax2=b.

Ещё более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне: в математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали буквы.

История возникновения цифр и чисел.

В хозяйственной жизни далёкого прошлого люди обходились сравнительно небольшими числами - так называемым малым счётом наших предков. Счёт доходил до числа 10000, которое в самых старых памятниках называется тьма, то есть темное число. В дальнейшем граница малого счёта была отодвинута до 108, до числа тьма тём. Но наряду с этим малым числом коли получался великий счёт и перечень, употреблялась вторая система, называвшаяся великим числом или счётом или числом великим словенским. При счёте употреблялись более высокие разряды: тьма- 106, легион- 1012, леодр – 1024, ворон- 1048, иногда ещё колода – десять воронов-1049,хотя колоду следует принять как 1096. Для обозначения этих больших чисел наши предки придумали способ, не встречающийся ни у одного из известных нам народов: число единиц любого из перечисленных высших разрядов обозначалось той же буквой, что и простые единицы, но окружность для каждого числа собственным бордюром.

Величайшие греческие математики не додумались до этого способа письма чисел. Таких больших чисел не требовала и не требует, и теперь никакая практическая задача.

Архимед, величайший греческий математик, сосчитал, что число песчинок во всём мировом пространстве, как это понимал в то время, не превышает 1063. Славянский честолюбец сказал бы, что это число песчинок не больше тысяч легионов воронов 1063= 103* 1012 * 1048. Число песчинок во всём мировом пространстве человеку того времени действительно могло казаться наибольшим мыслимым числом.

АРХИМЕД

Значимость алгебры в науке математика

Начало современного этапа в развитии математики характеризовалось изменениями во всех её основных разделах: геометрии, алгебре и анализе.

Коренные изменения в алгебре наметились ещё XIX веке. Если алгебра минувшего времени, развивала символический характер, оперировала – числом, то современная алгебра распространила свою область на величины гораздо более общего характера: операции над векторами, над движениями разного рода и т.д. Область алгебры значительно расширилась и объектами её операций являются не числа и не величины.

В настоящее время сильно разрослись методы применения в различных науках: геометрии, анализе, физике, кристаллографии и др. Обширными разделами алгебры являются теория групп и линейная алгебра.

Норвежский математик Софус Ли (1842-1899) распространил методы теории групп на проблему интегрирования дифференциальных уравнений.

Софус Ли

Наука алгебра занимает одну из главенствующих ролей во всех математических науках.

yaneuch.ru

История возникновения алгебры

Суть алгебры

Алгебра, вместе с арифметикой, есть наука о числах и через посредство чисел – о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких-нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин, как таковых, независимо от того, к каким конкретным приложениям они способны. Различие между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука исследует свойства данных, определенных величин, между тем как алгебра занимается изучением общих величин, значение которых может быть произвольное, а, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые общи всем величинам, независимо от их значений. Таким образом, алгебра есть обобщенная арифметика. Это подало повод Ньютону назвать свой трактат об алгебре "Общая арифметика". Гамильтон, полагая, что подобно тому, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру "Наукою чистого времени" – название, которое Морган предлагал изменить на "Исчисление последовательности". Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни исторического ее развития. Алгебру можно определить как "науку о количественных соотношениях".

Деление алгебры

В настоящее время, отчасти из педагогических соображений, отчасти вследствие исторического развития этой науки, алгебру делят на низшую и высшую. К низшей алгебре относят теорию простейших арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теорию степеней и корней, теорию логарифмов и комбинаторику. К высшей алгебре относят теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметрических функций, теорию подстановок, и, наконец, изложение различных частных способов отделения корней уравнений, определения числа вещественных или мнимых корней данного уравнения с численными коэффициентами, и приближённое или аналитическое (когда это возможно) уравнений произвольных степеней.

История алгебры

Происхождение термина "алгебра"

Происхождение самого слова "алгебра" не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово "алгебра" произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово "алгоритм") "Аль-джабр-аль-мукабалла", то есть "учение о перестановках, отношениях и решениях", но некоторые авторы производят слово "алгебра" от имени математика Гебера, однако само существование такого математика подвержено сомнению.

Древнейшие сочинения по алгебре

Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, есть трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи. Нам неизвестно о каких бы то ни было иных сочинениях об алгебре в древности, кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона, Гипатии.

Алгебра арабов

В Европе алгебра снова появляется только в эпоху Возрождения, и именно от арабов. Каким образом арабы дошли до тех истин, которые мы находим в их сочинениях, дошедших до нас в большом количестве, – неизвестно. Они могли быть знакомы с трактатами греков, или, как думают некоторые, получить свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры. Магоммеду-бен-Муза, жившему около середины IХ-го века в царствованние халифа Аль-Мамуна. Во всяком случае, греческие авторы были известны арабам, которые собирали древние сочинения по всем отраслям наук. Магоммед-Абульвефа перевел и комментировал сочинения Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в Х веке). Но ни он, ни другие арабские математики не внесли много нового, своего в алгебру. Они изучали ее, но не совершенствовали.

Возрождение алгебры в Европе

Первым сочинением, появившимся в Европе после продолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим коммерческим делам на Востоке, ознакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) цифрами, и с арифметикой и алгеброй арабов. По возвращении в Италию, он написал сочинение, охватывающее одновременно арифметику и алгебру и отчасти геометрию. Однако сочинение это не имело большого значения в истории науки, ибо осталось мало известным и было открыто вновь только в середине 18-го века в одной Флорентийской библиотеке. Между тем сочинения арабов стали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Известно, например, что старейшее арабское сочинение об алгебре Магоммеда-бен-Музы было переведено на итальянский язык, но перевод этот не сохранился до нашего времени. Первым известным печатным трактатом об алгебре является "Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita", написанное итальянцем Лукасом дэ Бурго. Первое издание его вышло в 1494 г. и второе в 1523 г. Оно указывает нам, в каком состоянии находилась алгебра в начале XVI века в Европе. Здесь нельзя видеть больших успехов по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения отдельных частных вопросов высшей арифметики, только уравнения первой к второй степени решаются автором, и притом вследствие отсутствия символического обозначения, все задачи и способы их решения приходится излагать словами, чрезвычайно пространно. Наконец нет общих решений даже квадратного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится особый метод решения, так что самая существенная черта современной А. – общность даваемых ею решений – еще совершенно отсутствует в начале XVI века.

Решение уравнений 3-ей и 4-ой степени

В 1505 году Сципион Феррео впервые решил один частный случай кубического уравнения. Это решение однако не было им опубликовано, но было сообщено одному ученику – Флориде. Последний, находясь в 1535 году в Венеции, вызвал на состязание уже известного в то время математика Тарталью из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для разрешения которых нужно было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже нашел раньше сам решение таких уравнений и, мало того, не только одного того частного случая, который был решен Феррео, но и двух других частных случаев. Тарталья принял вызов и сам предложил Флориде также свои задачи. Результатом состязания было полное поражение Флориде. Тарталья решил предложенные ему задачи в продолжение двух часов, между тем как Флориде не мог решить ни одной задачи, предложенной ему его противником (число предложенных с обеих сторон задач было 30). Тарталья продолжал, подобно Феррео, скрывать свое открытие, которое очень интересовало Кардано, профессора математики и физики в Милане. Последний готовил к печати обширное сочинение об арифметике, алгебре и геометрии, в котором он хотел дать также решение уравнений 3-ей степени. Но Тарталья отказывался сообщить ему о своем способе. Только когда Кардано поклялся над Евангелием и дал честное слово дворянина, что он не откроет способа Тартальи для решения уравнений и запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья согласился, после долгих колебаний, раскрыть свою тайну любопытному математику и показал ему правила решений кубических уравнений, изложенные в стихах, довольно туманно. Остроумный Кардано не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но и нашел доказательства для них. Не взирая, однако, на данное им обещание, он опубликовал способ Тартальи, и способ этот известен до сих пор под именем "формулы Кардано".

Вскоре было открыто и решение уравнений четвертой степени. Один итальянский математик предложил задачу, для решения которой известные до той поры правила были недостаточны, а требовалось умение решать биквадратные уравнения. Большинство математиков считало эту задачу неразрешимою. Но Кардано предложил ее своему ученику Луиджи Феррари, который не только решил задачу, но и нашел способ решать уравнения четвертой степени вообще, сводя их к уравнениям третьей степени. В сочинении Тартальи, напечатанном в 1546 году, мы также находим изложение способа решать не только уравнения первой и второй степени, но и кубические уравнения, причем рассказывается инцидент между автором и Кардано, описанный выше. Сочинение Бомбелли, вышедшее в 1572 г., интересно в том отношении, что рассматривает так называемый неприводимый случай кубического уравнения, который приводил в смущение Кардано, не сумевшего решить его посредством своего правила, а также указывает на связь этого случая с классическою задачей о трисекции угла.

Развитие алгебры в странах Европы

В Германии первое сочинение об алгебре принадлежит Христиану Рудольфу из Иayepa, и появилось впервые в 1524 г. а затем вновь издано Стифелем в 1571 г. Сам Стифель и Шейбль, независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы.

В Англии первый трактат об алгебре принадлежит Роберту Рекорду, преподавателю математики и медицины в Кембридже. Его сочинение об алгебре называется "The Whetstone of Wit". Здесь впервые вводится знак равенства (=). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение об алгебре, принадлежащее Пелетариусу; в Голландии Стевин в 1585 г. не только изложил исследования, известные уже до него, но и ввел некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он уже обозначал неизвестные. Правда, для обозначения неизвестных он использовал всего лишь числа, обведенные в кружочек. Так первая неизвестная (теперь обычно обозначаемая x) у него обозначалась обведенной в кружочек единицей, вторая – обведенной двойкой, и так далее. Громадные успехи сделала алгебра после сочинений Виета, который первый рассмотрел общие свойства для уравнений произвольных степеней и показал способы для приблизительного нахождения корней каких бы то ни было алгебраических уравнений. Он же первый обозначил величины, входящие в уравнения буквами, и тем придал алгебре ту общность, которая составляет характеристическую особенность алгебраических исследований нового времени. Он же подошел весьма близко к открытию формулы бинома, найденной впоследствии Ньютоном, и, наконец, в его сочинениях можно даже встретить разложение отношения стороны квадрата вписанного в круг к дуге круга, выраженное в виде бесконечного произведения. Фламандец Албер Жирар или Жерар, трактат которого об алгебре появился в 1629 г. первый ввел понятие мнимых величин в науку. Агличанин Гарриот показал, что всякое уравнение может рассматриваться, как произведение некоторого числа множителей первого порядка, и ввел в употребление знаки > и <. Его труды были опубликованы в 1631 г. Варнером.

Приобретение алгеброй законченного вида

После этих сравнительно незначительных успехов алгебра вдруг движется быстрыми шагами вперед, благодаря работам Декарта, Фермата, Валлиса и в особенности Ньютона, не говоря уже о множестве математиков менее знаменитых, но все же подвинувших совокупными усилиями алгебру в течение сравнительно короткого времени на значительную степень выше их предшественников и придавших ей ту форму, которую она сохранила до настоящего времени. Нет возможности в этом кратком очерке обозреть успехи, которым алгебра обязана названным математикам. Мы вкратце только упомянем о главных пунктах дальнейшего быстрого совершенствования алгебры, шедшего шаг за шагом за совершенствованием иных отраслей математики вообще. С этого времени также алгебра входит в более тесную связь с геометрией, после разработки Декартом аналитической геометрии, а также с анализом бесконечно малых, изобретенным Ньютоном и Лейбницем. В XVIII столетии классические труды Эйлера и Лагранжа, изложенные в "Novi Commentarii" первого и в "Traite de la resolution des equations" второго, довели алгебру до высокой степени совершенства. Позже работы Гаусса, Абеля, Фурье, Галуа, Коши, а затем Кейли, Сильвестера, Кронекера, Эрмита и др. создали новые точки зрения на важнейшие алгебраические вопросы и придали алгебре высокую степень изящества и простоты.

Приложение

Некоторые математические знаки и даты их возникновения

Обозначение	Значение	Автор	Дата
	Отношение длины окружности к диаметру	У. Джонс Л. Эйлер	1706 1736
e	Основание натурального логарифма	Л. Эйлер	1736
i	Корень квадратный из –1	Л. Эйлер	1777
	Бесконечность	Дж. Валлис	1655
a, b, c	Постоянные, параметры	Р. Декарт	1637
x, y, z	Переменные, неизвестные	Р. Декарт	1637
+, –	Сложение, вычитание	Я. Видман	1489
	Умножение	У. Оутред	1631
·	Умножение	Г. Лейбниц	1698
:	Деление	Р.Декарт Г. Лейбниц	1637 1684
a2, a3, an	Степени	И. Ньютон	1676
\|x\|	Модуль числа	К. Вейерштрасс	1841
=	Равенство	Р. Рекорд	1557
≈	Приближенное равенство	А. Гюнтер	1882
>, <	Больше, меньше	Т. Гарриот	1631
,	Объединение, пересечение	Дж. Пеано	1888
,	Включает, содержится	Э. Шредер	1890
	Принадлежность	Дж. Пеано	1895

ivkozn.narod.ru