Теория катастроф. Реферат теория катастроф

Реферат Теория катастроф

Реферат на тему:

План:

Введение
• 1 История
• 2 Семь элементарных катастроф по Тому
  • 2.1 Потенциальные функции с одной активной переменной
    • 2.1.1 Катастрофа типа «Складка»
    • 2.1.2 Катастрофа типа «Сборка»
    • 2.1.3 Катастрофа типа «Ласточкин хвост»
    • 2.1.4 Катастрофа типа «Бабочка»
  • 2.2 Потенциальные функции с двумя активными переменными
    • 2.2.1 Гиперболическая омбилика
    • 2.2.2 Эллиптическая омбилика
    • 2.2.3 Параболическая омбилика
• 3 Запись и классификация катастроф по Арнольду
• 4 Применения теории катастроф
• 5 Литература
  • 6.1 На русском языке
  • 6.1.2 На английском языке
• 6.2 Внешние ссылки
  • 7.1 На русском языке
  • 7.1.2 На английском языке

Введение

Теория катастроф — раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений.

Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и Кристофером Зиманом (Christopher Zeeman) в конце 1960-х — начале 1970-х годов («катастрофа» в данном контексте означает резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров, от которых он зависит). Одной из главных задач теории катастроф является получение так называемой нормальной формы исследуемого объекта (дифференциального уравнения или отображения) в окрестности «точки катастрофы» и построенная на этой основе классификация объектов.

Теория катастроф нашла многочисленные применения в различных областях прикладной математики, физики, а также в экономике.

1. История

Первые фундаментальные результаты в области динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат А. Пуанкаре (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений) и А. А. Андронову (бифуркации динамических систем). Основы теории особенностей гладких отображений были заложены прежде всего в трудах американского тополога Хасслера Уитни (Hassler Whitney) в 1940-х — 1950-х гг., которым предшествовала лемма Морса о нормальной форме функции в окрестности невырожденной критической точки.

В конце 1960-х развитием этого направления занялся известный французский математик и филдсовский лауреат 1958 года Рене Том. Однако популярность идеи Уитни и Тома приобрели благодаря нескольким публикациям К. Зимана в 1970-х, который активно пропагандировал теорию катастроф, сравнивая её значение с изобретением математического анализа и говоря о «революции в математике». Бурное развитие теории катастроф в 1970-е — 1990-е годы связано с деятельностью Дж. Боардмана, Е. Брискорна, Дж. Брюса, Дж. Мазера, Б. Мальгранжа, Р. Тома, Т. Волла, К. Зимана и особенно В. И. Арнольда и его учеников (А. Н. Варченко, В. А. Васильев, А. Б. Гивенталь, В. В. Горюнов, С. М. Гусейн-Заде, А. А. Давыдов, В. М. Закалюкин, В. Д. Седых и др.).

2. Семь элементарных катастроф по Тому

Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов катастроф известны под именами, которые им дал Рене Том.

2.1. Потенциальные функции с одной активной переменной

2.1.1. Катастрофа типа «Складка»

Стабильная и нестабильная части экстремума, исчезаемого при бифуркации типа «складка»

V = x3 + ax

При отрицательных значениях параметра a, потенциальная функция имеет два экстремума — один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это — точка бифуркации. При a > 0 не существует стабильного решения.

Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «свёртка», и поэтому параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».

2.1.2. Катастрофа типа «Сборка»

V = x4 + ax2 + bx

Диаграмма катастрофы «сборка» с точкой возврата, на которой показаны кривые (коричневые, красные) по переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a,b), кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата (синяя область) для каждой точки (a,b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a,b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом.

Бифуркация типа «вилка» при a = 0 на пространстве b = 0. Форма точек возврата в фазовом пространстве (a,b) около точки катастрофы, показывающая геометрическое место бифуркаций типа «свёртка», которое разделяет область с двумя стабильными решениями и область с одним решением. Геометрия точек возврата весьма обычна, когда производится изучение того, что происходит с бифуркациями типа «свёртка» при добавлении в управляющее пространство нового параметра b. Изменяя параметры, можно найти, что имеется кривая (синяя) точек в пространстве (a,b), на которой теряется стабильность, то есть на этой кривой стабильное решение может внезапно «перепрыгнуть» на альтернативное значение (также стабильное).

Но в геометрии точек возврата кривая бифуркаций заворачивает назад, создавая вторую ветвь, на которой уже это второе решение теряет стабильность, а потому может совершить «прыжок» назад на исходное множество решений. При повторном увеличении значения параметра b и последующем уменьшении его, можно наблюдать гистерезис в поведении петель, поскольку система следует по одному решению, «перепрыгивает» на другое, следует по нему и «перепрыгивает» назад на исходное.

Однако это возможно только в области в параметрическом пространстве при a < 0. Если значение параметра a увеличивается, петли гистерезиса становятся меньше и меньше, пока значение a не достигнет 0. В этой точке петли исчезают ( катастрофа с точкой возврата), и появляется только одно стабильное решение.

Также можно рассмотреть процесс изменения параметра a при неизменном значении b. В симметричном случае при b = 0 можно наблюдать бифуркацию типа «вилы» при уменьшающемся значении параметра a одно стабильное решение внезапно разделяется на два стабильных решения и одно нестабильное. В это время физическая система проходит в область a < 0 через точку возврата (a = 0,b = 0) (это — пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки возврата не существует внезапных изменений в физической системе, поскольку при прохождении по кривой бифуркации свёртки происходит только то, что становится доступным второе альтернативное решение.

Одно из наиболее интересных предложений по использованию катастрофы с точкой возврата заключается в том, что этот тип катастрофы можно использовать для моделирования поведения собаки, которая в ответ на внешнее воздействие может испугаться или обозлиться. Предложение заключается в том, что при умеренном воздействии (a > 0) собака будет проявлять плавное изменение отклика с испуга на злость в зависимости от того, как было проведено воздействие. Но более высокий уровень воздействия — это стресс, соответствующий переходу в область a < 0. В этом случае если собака изначально испугалась, она останется испуганной при увеличении уровня воздействия на неё, пока в конечном итоге она не достигнет точки возврата, где произойдёт спонтанный переход в режим злобы. При переходе в этот режим собака будет оставаться озлобленной даже в случае постепенного снижения воздействия на неё.

Другой пример прикладного применения катастрофы с точкой возврата заключается в моделировании поведения электрона при перемещении с одного энергетического уровня на другой, что часто наблюдается в химических и биологических системах. Это указывает на то, что бифуркации рассмотренного типа и геометрия точек возврата является наиболее важной практической частью теории катастроф . Это — шаблоны, которые проявляются вновь и вновь в физике, инженерии и математическом моделировании.

Оставшиеся простые геометрии катастроф являются более специализированными по сравнению с только что рассмотренной, а потому проявляются только в некоторых отдельных случаях.

2.1.3. Катастрофа типа «Ласточкин хвост»

V = x5 + ax3 + bx2 + cx

Управляющее пространство в данном типа катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост».

По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «свёртка» пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа «свёртка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «свёртка». Последняя картина Сальвадора Дали под названием «Ласточкин хвост» создана под влиянием этого типа катастроф .

2.1.4. Катастрофа типа «Бабочка»

V = x6 + ax4 + bx3 + cx2 + dx

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причём все минимумы разделены областями с бифуркациями типа «свёртка». В точке с поэтичным наименованием «бабочка» встречаются три различные пространства (трёхмерных плоскости) таких бифуркаций типа «свёртка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и скривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.

2.2. Потенциальные функции с двумя активными переменными

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться в оптике при отражении света от трёхмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей. Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу ― как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.

2.2.1. Гиперболическая омбилика

V = x3 + y3 + axy + bx + cy

2.2.2. Эллиптическая омбилика

V = x3 / 3 − xy2 + a(x2 + y2) + bx + cy

2.2.3. Параболическая омбилика

V = yx2 + y4 + ax2 + by2 + cx + dy

3. Запись и классификация катастроф по Арнольду

В. И. Арнольд предложил классификацию катастроф en:ADE classification, использующую глубокие связи с теорией групп Ли.

• A0 — несингулярная точка: V = x.
• A1 — локальный экстремум: устойчивый минимум или неустойчивый максимум .
• A2 — складка
• A3 — сборка
• A4 — ласточкин хвост
• A5 — бабочка
• Ak — бесконечная последовательность форм от одной переменной
• D4+ — кошелёк = гиперболическая омбилика
• D4- — пирамида = эллиптическая омбилика
• D5 — параболическая омбилика
• Dk — бесконечная последовательность других омбилик
• E6 — символическая омбилика V = x3 + y4 + axy2 + bxy + cx + dy
• E7
• E8

В теории сингулярности есть объекты, которые соответствуют большинству других простых групп Ли.

4. Применения теории катастроф

Создание и развитие этой части математического анализа было связано с широкими возможностями наглядного анализа некоторых сложных явлений, особенно тех, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений (радуга, каустика, устойчивость сложных систем, колебания и разрушение в строительной механике, поведение в этологии, и даже бунты в тюрьмах).

5. Литература

6.1. На русском языке

• Арнольд В. И. Теория катастроф, см. текст.
• В. И. Арнольд. Особенности в вариационном исчислении.
• В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.
• В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко. Особенности. I. Локальная и глобальная теория.
• В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко. Особенности. II. Классификация и приложения.
• А. Б. Гивенталь. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения.
• В. М. Закалюкин. Перестройки фронтов, каустик, зависящих от параметра, версальность отображений.

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
• Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
• Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения, — М.: Мир, 1980.
• Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез, — М.: Логос, 2002.
• Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.

6.1.2. На английском языке

• Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
• Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. New York: Dover, 1993.
• Postle, Denis. Catastrophe Theory — Predict and avoid personal disasters. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
• Poston, Tim and Stewart, Ian. Catastrophe Theory and Its Applications. London, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
• Poston, T. and Stewart, Ian. Catastrophe: Theory and Its Applications. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X.
• Sanns, Werner. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV, 2000.
• Saunders, Peter Timothy. An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.
• Thom, René. Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3.
• Thompson, J. Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.
• Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978.
• Zeeman, E.C. Catastrophe Theory-Selected Papers 1972—1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

6.2. Внешние ссылки

7.1. На русском языке

• Д. В. Аносов. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века.

7.1.2. На английском языке

• CompLexicon: Catastrophe Theory
• Catastrophe teacher

wreferat.baza-referat.ru

Теория катастроф — реферат

РЕФЕРАТ

«Теория катастроф»

Содержание

Введение 3

1 Термины  и история 4

2 Классификация  катастроф 4

2.1 Катастрофа  типа «Складка» 6

2.2 Катастрофа  типа «Сборка» 7

2.3 Катастрофа  типа «Ласточкин хвост» 8

2.4 Эллиптическая  омбилика 9

3 Демонстрация  катастрофического процесса в  механической системе 10

4 Машина катастроф 13

Заключение 15

Список использованных источников 16

Введение

А что, если сейчас день и ночь поменяются местами, мы сможем дышать под водой, и время  пойдет назад? Абсурдно? Невероятно? Мы привыкли думать, что завтра снова взойдет солнце, а под ногами будет твердая поверхность Земли. Исходя из этого, мы планируем свои действия, формируем образ жизни и приоритеты.

Такая «бытовая»  точка зрения на устойчивость мира отразилась в науке XVIII века в процессе создания классического естествознания. Его основой стал математический язык дифференциального и интегрального исчислений. Считалось, что все зависимости можно описать непрерывными функциями, для которых характерно небольшое изменение значения функции при малых приращениях аргументов. Логично: приложено чуть больше усилий – получен чуть больший результат. Более того, если математические модели не отвечали этим условиям, то они считались некорректными, а значит, лишенными реального содержания.

Но как  быть с маленьким камешком, который  при падении вызвал мощнейший горный обвал? Легкий поворот выключателя приводит в действие управляющие механизмы, и открываются створки плотины, огромные потоки воды обрушиваются на лопатки турбин, заставляя крутиться многотонный вал генератора. Наука и техника открыли множество примеров скачкообразного изменения системы при малых воздействиях, но, как ни странно, на наши представления об окружающем мире до недавнего времени это почти не влияло.

Лишь  в XX веке появились серьезные работы, посвященные проблеме неустойчивости мира, как системы. Одной из математических теорий, описывающих резкие переходы состояний системы, стала теория катастроф. Важным достоинством этой теории является то, что она не требует подробных математических моделей и может «качественно», а не «количественно» описывать ситуаций, ее результаты и выводы иллюстрируются простыми геометрическими образами.

Рассмотрим  теорию катастроф подробнее.

1 Термины и история

Теория  катастроф – раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений.

Теория  бифуркации динамических систем — это теория, которая изучает изменения качественной картины разбиения фазового пространства, в зависимости от изменения параметра (или нескольких параметров).

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Катастрофа (в данном контексте) означает резкое качественное изменение объекта  при плавном количественном изменении  параметров, от которых он зависит.

Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом и Кристофером  Зиманом в конце 1960-х – начале 1970-х годов.

Первые  фундаментальные результаты в области  динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат А. Пуанкаре (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений) и А.А. Андронову (бифуркации динамических систем). Основы теории особенностей гладких отображений были заложены, прежде всего, в трудах американского тополога Хасслера Уитни в 1940-х — 1950-х годах, которым предшествовала лемма Морса о нормальной форме функции в окрестности невырожденной критической точки.

В конце 1960-х развитием этого направления занялся известный французский математик и филдсофский лауреат 1958 года Рене Том. Однако популярность к идеям Уитни и Тома пришла благодаря нескольким публикациям К. Зимана в 1970-х, который активно пропагандировал теорию катастроф, сравнивая её значение с изобретением математического анализа и говоря о «революции в математике». Бурное развитие теории катастроф в 1970-е — 1990-е годы связано с деятельностью Дж. Боардмана, Е. Брискорна, Дж. Брюса, Дж. Мазера, Б. Мальгранжа, Р. Тома, Т. Волла, К. Зимана и особенно В. И. Арнольда и его учеников.

2 Классификация катастроф

Теория  катастроф анализирует критические  точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю производные более  высокого порядка. Динамика развития таких  точек может быть изучена при  помощи разложения потенциальной функции  в рядах Тейлора посредством  малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют  структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, так называемых типов элементарных катастроф. Им можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко).

Структура элементарной катастрофы (Рисунок 1) состоит из пространства управления (определяет управляющие параметры системы), пространства переменных состояния (определяет внутренние параметры системы) и поверхности отклика.

Рисунок 1 – Структура элементарной катастрофы

Всякая  комбинация значений управляющих параметров определяет точку в пространстве управления. Над данной точкой на высоте, равной значению переменной состояния для заданных управляющих параметров, находится точка поверхности отклика (Рисунок 2). Бифуркационное множество располагается под складкой и представляет собой множество значений в пространстве управления, при которых число возможных откликов меняется. При этих значениях возможны внезапные изменения откликов.

Рисунок 2 – Графическое представление катастрофы типа «Сборка»

Далее рассмотрим некоторые из семи фундаментальных типов катастроф, известных под названиями, которые дал им Рене Том.

2.1 Катастрофа типа «Складка»

Катастрофа  типа «Складка» задается стандартной деформацией

Пространство  управления (ось a) и пространство переменных составляющих (ось х) одномерны, таким образом, поверхность отклика двумерна. Кривая отклика (Рисунок 3) – проекция поверхности отклика на пространство управления определяется уравнением

Это уравнение  параболы состоит из двух ветвей. Верхняя ветвь определяет устойчивое положение системы, а нижняя – неустойчивое состояние. Проекция точки складки на пространство управления задает бифуркационное множество или точку отображения катастрофы.

Рисунок 3 – Кривая отклика

2.2 Катастрофа типа «Сборка»

Катастрофа  типа «Сборка» задается стандартной деформацией

Пространство  управления двумерно (оси a и b), а пространство переменных состояний (ось х) одномерно, таким образом, поверхность отклика сборки трехмерно. Многообразие катастрофы задается уравнением

Катастрофа  типа «Сборка» состоит из двух линий складок. Проекция этих складок на пространство управления формирует бифуркационное множество, описываемое кривой С. Бифуркационное множество содержит особую точку О – точку сборки. Таким образом, пространство управления разбивается на две области: Е и I . В области Е одному значению пространства управления соответствует одно значение (х) на поверхности отклика. В области I одному значению пространства управления соответствует три значения (х1, х2, х3) на поверхности отклика. Бифуркационному множеству кривой С соответствует два значения (х1, х2) на поверхности отклика. Заметим, что на бифуркационном множестве происходит изменение числа точек, характеризующих состояние системы.

E

I

C

C

O.

Рисунок 4  - Проекция поверхности отклика катастрофы типа «Сборка» на пространство управления

2.3 Катастрофа типа «Ласточкин хвост»

Катастрофа  типа «Ласточкин хвост» задается стандартной деформацией

Пространство  управления трехмерно (оси a,b и c), а пространство переменных состояний (ось х) одномерно. Такую  катастрофу можно изобразить только в четырех измерениях, поэтому соответствующее бифуркационное множество (Рисунок 5) состоит из поверхности складок, линий сборок и линии самопересечения. Вдоль линии самопересечения функция деформации имеет две различные точки перегиба. Плоскость складок имеет форму параболы. Многообразие катастрофы задается уравнением

Рисунок 5 – Бифуркационное множество катастрофы типа «Ласточкин хвост»

2.4 Эллиптическая омбилика

Деформацию  можно представить в виде

В этом случае пространство управления трехмерно (оси  a, b, c), а пространство переменных состояний двумерно (оси x,y).

Многообразие  катастрофы задается парой уравнений

Оно имеет  три кривые, представляющие собой  конгруэнтные параболы (Рисунок 6), плоскости которых наклонены друг к другу под углом 120 градусов. Вне этих кривых имеются лишь точки складок. Вся поверхность в целом является образом двойного конуса. Точкой вершины конуса является обезьянье седло. Пространство внутри конуса соответствует трем седлам. Правый конус дает минимум, а, следовательно, устойчив. Левый конус дает максимум, что соответствует неустойчивому состоянию системы.

Рисунок 6 – Эллиптическая омбилика

3 Демонстрация катастрофического процесса в механической системе

Концы гибкой линейки закреплены между двумя  опорами. Расстояние между опорами  начинает сокращаться (Рисунок 7), при этом линейка прогибается вверх. Если в таком положении поставить на линейку емкость и начать заполнять ее песком (Рисунок 8), увеличивая нагрузку, прогиб линейки начнет плавно изменяться. При некоторой критической величине прогиба линейка скачком изменит свой прогиб вниз (Рисунок 9). Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к плавному увеличению вниз.

Рисунок 7 – Процесс деформации линейки путем сокращения расстояния между опорами

Рисунок 8 – Установленная на линейке емкость с песком

Рисунок 9 – Скачкообразное изменение прогиба линейки при плавном изменении нагрузки

Таким образом, плавное изменение нагрузки, которое  называется управляющим параметром, приводит к скачкообразному или  катастрофическому изменению состояния  системы или ее внутреннего параметра. Теперь, если убрать нагрузку, то линейка  не вернется в исходное состояние  с прогибом вверх. Чтобы линейка  снова получила прогиб вверх, необходимо приложить силу равную по модулю и противоположную по направлению первоначальной (Рисунок 10).

Рисунок 10 – Схема зависимости деформации линейки от силы

Для объяснения скачкообразного состояния процесса обратимся к понятию энергии. Рассмотрим шарик, катящийся вдоль  направления, характеризующего изменение  энергии системы (Рисунок 11). Чем выше находится шарик, тем больше его потенциальная энергия, и, чтобы уменьшить ее, шарик будет скатываться вниз до тех пор, пока его энергия не станет минимальной. Такое состояние системы называется устойчивым состоянием равновесия. По мере того как шарик удаляется от начального положения, он теряет всё больше и больше энергии. Такое состояние является неустойчивым.

Рисунок 11 – Устойчивое (слева) и неустойчивое (справа) состояния равновесия

Рассмотрим  энергию в различных точках кривой зависимости нагрузки от прогиба  линейки (Рисунок 12). В точке А зависимость запасенной энергии от прогиба имеет вид потенциальной ямы. В точке В возникает точка прогиба, которая лежит слева от минимума в точке С. Далее, точка перегиба Е становится максимумом, и энергия имеет два минимума, соответствующих двум устойчивым положениям F и D и одному неустойчивому – E. В точке Н наблюдается два устойчивых положения, потенциальная энергия одного из которых увеличивается и в точке перегиба Н. Система испытывает катастрофический скачок в состояние G. При дальнейшем увеличении нагрузки остается один минимум энергии, соответствующий одному устойчивому состоянию системы I.

Рисунок 12 –  Энергия в различных точках кривой зависимости нагрузки от прогиба  линейки

При нулевой  нагрузке кривая изменения энергии  имеет W-образную форму (Рисунок 13). Точка D соответствует прогибу линейки вниз, точка Е соответствует нулевому прогибу, а точка F соответствует прогибу вверх. Теперь становится понятным, почему линейка сохранила прогиб вниз после прекращения действия критической нагрузки. Для прогиба вверх линейка должна преодолеть энергетический барьер (Рисунок 14).

yaneuch.ru

Теория катастроф — реферат

     ТЕОРИЯ  КАТАСТРОФ. 

     Мы  привыкли к стабильности и постоянству. Мы ступаем по твердой поверхности  Земли и верим, что она всегда будет служить нам опорой. Мы знаем, что вслед за зимой придет лето, станет тепло и солнечно, и так  будет всегда. Мы думаем, что мир вокруг нас не может внезапно измениться, и, исходя из этого, формируем свой образ жизни и приоритеты, планируем свои действия.

     Такая привычная, "бытовая" точка зрения на устойчивость нашего мира нашла  свое отражение в науке XVIII века, когда создавалось классическое естествознание. Его основой стал математический язык дифференциального и интегрального исчислений; считалось, что все зависимости можно описывать непрерывными функциями, для которых характерно небольшое изменение значения функции при малых приращениях аргументов. Казалось бы, логично: приложено чуть больше усилий - получен чуть больший результат... Более того, если математические модели не отвечали этим условиям, то они считались некорректными, а значит, лишенными реального содержания.  

     Но... Легкий поворот выключателя приводит в действие управляющие механизмы, и открываются створки плотины, мощные потоки воды обрушиваются на лопатки турбин, заставляя крутиться многотонный вал генератора. Легкий удар по детонатору вызывает взрыв, при котором мгновенно высвобождается энергия, сравнимая с энергией маленького солнца. Есть примеры и нерукотворных природных процессов, когда в результате слабого воздействия пробуждаются силы, во много раз более мощные: маленький камешек может вызвать горный обвал, страшную по своим последствиям снежную лавину и даже землетрясение. Научная и инженерная мысль открыла множество примеров скачкообразного изменения системы при малых воздействиях, но, как ни странно, на наши представления об окружающем мире до недавнего времени это почти не влияло.

     Еще в древности, например в античной Греции, среди философов существовало представление, что вся природа  живет и развивается благодаря  соразмерности и гармонии величайших сил - противоположностей, находящихся  в равновесии. Нарушение этого равновесия может разрушить весь мир. За гармонию противоположностей отвечают боги, и они прикладывают немалые усилия для ее сохранения. Вспомним миф о Фаэтоне, который упросил своего отца Гелиоса дать ему небесную колесницу в доказательство его божественного происхождения. Руки смертного не удержали небесных коней, он не сумел провести колесницу по безопасному пути, где солнечные лучи не опаляют землю, но и не дают ей замерзнуть. Последствия не заставили себя ждать:    

Трещины почва  дала, и в Тартар

проник через  щели

Свет, и подземных  царя с супругою

в ужас приводит.

Море сжимается.

Вот уж песчаная ныне равнина,

Где было море вчера;

покрытые раньше водою 

Горы встают...

Овидий. Метаморфозы.  

     Чтобы вернуть мир из хаоса, потребовалось  вмешательство верховного божества Зевса, восстановившего порядок.

     Древние философы понимали, что даже малые  изменения, нарушающие гармонию, могут  существенно изменить мир, ввергнуть  его в хаос. Многие столетия их внимание занимали именно законы этой гармонии, ибо в ней они видели проявление божественной воли, удерживающей мир в порядке. Начиная с пифагорейцев, открывших, что эти законы могут быть записаны на языке цифр и геометрических фигур, математику стали использовать как средство отражения идеальных законов природы, в которой все противоположности соразмерны и уравновешены. Может быть, этим и объясняется упорное нежелание "классических" математиков рассматривать неустойчивые математические модели, в которых возможно резкое нарушение равновесия.  

     Лишь  в ХХ веке появились работы, в которых всерьез заговорили о том, что такие неустойчивости столь же реальны, как и состояния гармонии. Было осознано, что любая система, развиваясь, проходит этапы перестройки, резкого изменения, во время которых происходит перегруппировка сил, переустройство равновесия. Эти этапы характеризуются временным преобладанием одной из сил, что приводит к хаосу, разрушающему предыдущие структуры; затем происходит гармонизация, равновесие восстанавливается, но уже в новом, качественно ином состоянии.

     Одной из математических теорий, описывающих  резкие переходы, является теория катастроф. Как научная дисциплина она появилась  в 70-х годах прошедшего века. Важным достоинством этой теории является то, что она не требует подробных  математических моделей и может описывать ситуации не "количественно", а "качественно", а ее результаты и выводы иллюстрируются простыми геометрическими образами.

     Такая "наглядность" теории катастроф  привела к бурному росту числа  публикаций, и наряду с серьезными работами, посвященными, например, устойчивости кораблей, описанию психических явлений, социальных и экономических процессов, появились работы полушутливого характера. Ниже мы приведем один из примеров такого "спекулятивного" использования метода теории катастроф, наглядно поясняющий ее суть. Но прежде объясним, насколько это возможно, на каких представлениях основана эта теория.

     Положим, вам нужно описать зависимость  некоторой величины x от двух параметров - m1 и m2. Для этого удобно использовать график этой зависимости, который изображается некоторой поверхностью, "висящей" над плоскостью параметров: два числовых значения параметров задают точку на плоскости, а высота поверхности над этой точкой дает значение исследуемой величины. Поверхность, из общих соображений и в соответствии с классическими положениями, будем считать "гладкой"; ее можно представить как лист бумаги, свернутый без разрезов и разрывов (рис. 1).

     Зависимость не будет иметь особенностей, если каждому значению параметров соответствует  только одна точка поверхности, - это случай, когда наш лист бумаги не имеет складок. Если же складки имеются, то возможны особенности двух типов. Одна из них так и называется "складка", она изображена на рис. 2.

     А другая получается, когда в одной  точке (на плоскости параметров) встречаются две складки поверхности. Она носит название "сборка" и изображена на рис. 4. Проекция сборки на плоскость параметров обозначена буквой B.

     Подчеркнем, что, кроме указанных особенностей, никаких других в принципе быть не может - все остальные могут лишь комбинироваться из этих простейших элементов. "Катастрофа", то есть резкое изменение значения величины x, происходит, например, когда изменяется параметр m1 вдоль прямой A1- A2. Однако иное качественное поведение можно получить при изменении параметров в окрестности точки B.  

     Вернемся  к обещанному примеру. Он принадлежит  английскому математику К. Зиману и  приведен в замечательной популярной книге В. Арнольда "Теория катастроф". Речь идет об описании творческого  процесса ученого, и величина Д характеризует его достижения в зависимости от увлеченности (параметр У на рис. 4) и владения техникой и навыками исследователя (параметр Т).

     Если  увлеченность невелика, то достижения вяло и монотонно увеличиваются  с ростом профессиональных навыков. Если же увлеченность высока, то наступают качественно новые явления: с ростом профессионализма достижения могут возрастать скачком. Такая "катастрофа" вполне желанна. Область высоких достижений в этом случае можно назвать словом "гении". На рис. 4 данная ситуация соответствует движению из точки 1 к точке 2.

     Если  же рост увлеченности не подкреплен соответствующим  ростом профессионализма, то происходит катастрофа в полном смысле этого  слова: достижения скачком падают, и  мы попадаем в область, обозначенную словом "маньяки" (это происходит при движении из точки 3 в точку 4 на рис. 4). Интересно, что скачки из состояния "гении" в состояние "маньяки" происходят на разных линиях, и при достаточно большом значении увлеченности гений и маньяк при равной технике и увлеченности различаются лишь уровнем достижений.

     Заметим, что скачок достижений (рис. 3) происходит при разных значениях параметров в зависимости от того, движемся ли мы слева направо или справа налево вдоль прямой A1- A2. Это так  называемая петля гистерезиса, демонстрирующая, что если вы из-за потери увлеченности потерпели катастрофу в уровне достижений, то для того, чтобы вернуть их на прежний уровень, необходима значительно большая увлеченность, чем та, что имелась накануне скачка.

     Несмотря  на всю привлекательность и интуитивную ясность подобных рассуждений, профессиональные математики весьма скептически относятся к обоснованности построений такого рода. Однако есть и более строгие результаты, касающиеся, например, математических проблем устойчивости развивающихся во времени процессов.  

     Теория  катастроф на качественном уровне объясняет  множество явлений. Вот, например, как  можно пояснить возможность резкого  изменения экологической обстановки на нашей планете. Для простоты введем некоторый обобщенный параметр x, характеризующий качество рассматриваемой ситуации с экологической точки зрения, например среднее содержание вредных примесей в атмосфере. Пусть реализуемы только такие значения x, при которых некоторая функция принимает свое минимальное значение - по аналогии с механикой, где все тела стремятся к минимуму потенциальной энергии. Следуя аналогии, назовем эту функцию "потенциалом". Ее график изображен на рис. 5.

     Пусть при некоторых условиях зависимость  потенциала от x изображается графиком на рис. 5а (условия, определяющие характер этой зависимости, остаются "за кадром"). Малые возмущения системы, обусловленные, например, деятельностью человека, могут лишь немного изменять загрязненность атмосферы - устойчивое состояние находится в одной из точек локального минимума в нижней части графика на рис. 5а (система "сидит" в этой точке надежно, как тяжелый шарик, скатившийся на дно лунки). Перевод системы в опасное состояние - в соседний локальный минимум, соответствующий высокой загрязненности, - практически невозможен: нужен слишком большой толчок, заставляющий систему (в нашей аналогии - тяжелый шарик) преодолеть высокий барьер, отделяющий точки минимума.

     Однако  при изменении условий (например, при накоплении отходов промышленного  производства) характер зависимости потенциала от x может измениться и принять вид, изображенный на рис. 5б. Тогда даже небольшой толчок может заставить систему "свалиться" в устойчивое состояние с высоким уровнем загрязненности атмосферы. Такой переход может совершиться очень быстро, в считанные годы.   

     Теория  катастроф, наряду с другими современными теориями динамических систем, уже  в значительной степени изменила привычные представления об устойчивости и инерционности мира. Благодаря  ей мы сегодня (хочется надеяться) лучше  понимаем свою ответственность за возможные нарушения гармонии и равновесия противоположных природных сил, к которым ведет неограниченный рост промышленного производства в обществе потребления. Сейчас раздается все больше голосов за то, чтобы провести переоценку ценностей в современном мире и вслед за мудрецами древности вновь начать ценить красоту и соразмерность выше материального изобилия. Ведь если этого не произойдет, то поистине пророческими могут стать слова творца теории катастроф французского ученого Рене Тома: "Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце".

     Но  наряду со столь мрачными перспективами эта теория открывает и другие возможности. Действительно, коль скоро мы уверились в том, что при определенных условиях очень малые воздействия могут привести к значимым результатам, есть резон не опускать руки даже в самых тупиковых ситуациях - ведь, может быть, кажущаяся безысходность есть лишь признак надвигающейся "катастрофы", обещающей нам новый период расцвета.  

     История дает немало примеров, когда в критические  моменты судьбы народов зависели от решения одного человека, и если ему удавалось "поймать момент", понять необходимость того или иного действия, то начиналось новое время, открывались новые перспективы, воплощались великие идеи. Так, Перикл, обратившись к идеалам единства и гармонии, после страшных разрушений греко-персидских войн привел Аттику к золотому веку классики, когда создавались совершенные вещи - скульптуры, храмы, научные и философские концепции, - к которым мы и сегодня обращаемся как к эталону. При Перикле творили великие Фидий, Анаксагор, Геродот; при нем заново отстроили Акрополь, ставший образцом прекрасного на многие века. Так же девятнадцать веков спустя Козимо Медичи, поддержав возникший интерес к античной культуре, положил начало Ренессансу - эпохе, перевернув шей жизнь средневековой Европы.

     Поскольку в определенных ситуациях - в точках катастроф - даже незначительные движения могут повлиять на ход развития, очень полезным окажется умение определять, далеко ли от такой точки находится система. Формально для этого следует изучить зависимость системы от внешних параметров в математических моделях, однако на практике нередко встречаются случаи, когда у исследователя нет даже туманных соображений о том, каким эволюционным уравнением описывается развитие системы. Тем не менее даже в этих ситуациях, патологических с точки зрения математического моделирования, можно указать некоторые косвенные признаки того, что изучаемая система находится вблизи точки катастрофы.

turboreferat.ru

Смотрите также

• 
  Реферат ленточные конвейеры
• 
  Реферат инстинкты животных
• 
  Работа цсо реферат
• 
  Молекулярный уровень реферат
• 
  История гипса реферат
• 
  Инстинкты животных реферат
• 
  My house реферат
• 
  Философия естествознания реферат
• 
  Реферат экономия электроэнергии
• 
  Реферат фронтальный погрузчик
• 
  Реферат творчество васнецова