В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть  тригонометрическими функциями.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Современные обозначения СЃРёРЅСѓСЃР° Рё РєРѕСЃРёРЅСѓСЃР° знаками sin Рё cos были впервые введены РІ 1739 Рі. швейцарским математиком Роганном Бернуллив РїРёСЃСЊРјРµ Рє Леонарду Рйлеру, который Рё стал употреблять РёС… РІ СЃРІРѕРёС… математических работах. Рйлер ввел также обозначения для функций угла С…: tg x, ctg x, sec x, cosec x.
Синус, косинус, тангенс, котангенс.
·       Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).
·       Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).
·       Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).
·       Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB).
В В В В В В В В В В
Значения тригонометрических функций.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов.
Значения косинуса и синуса на окружности.
Свойства тригонометрических функций
Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:
Формулы приведения:
sin (90В° - О±) = cos О±
cos (90В° - О±) = sin О±
sin (180В° - О±) = sin О±
В cos(180В° - О±) = - cos О±
Чётность и нечетность функций.
Чётная функция- функция y = f(x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-x) = f(x)
Нечётная функция- функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-x) = -f(x)
Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:
  продолжение
www.coolreferat.com
Определения
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\sin \alpha=\dfrac ac\)
В
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\cos \alpha=\dfrac bc\)
В
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету: \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac ab\)
В
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету: \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac ba\)
В
Утверждение
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны.
В
Теорема
РР· определений СЃРёРЅСѓСЃР°, РєРѕСЃРёРЅСѓСЃР°, тангенса Рё котангенса вытекают следующие формулы:
\[{\large{\begin{array}{|lcl|} \hline &&\\ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&\qquad& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}}}\]
Утверждение
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(\angle C\):
В
\(\sin \angle A=\cos \angle B\)
В
\(\mathrm{tg}\,\angle A=\mathrm{ctg}\,\angle B\)
В
Доказательство
Утверждение следует непосредственно из определения синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.
В
Теорема
Для углов \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) верна следующая таблица:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}30^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 60^\circ \phantom{000} \\[2pt] \hline &&&\\ \sin &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2\\[4pt] \cos &\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12\\[4pt] \mathrm{tg} &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3\\[4pt] \mathrm{ctg}&\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3\\[4pt] \hline \end{array}}}\]
Доказательство
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\): \(\angle C=90^\circ, \angle A=60^\circ, \angle B=30^\circ\).
В
На стороне \(BC\) построим равный ему треугольник \(A'BC\), как показано на рисунке.
Полученный треугольник \(A'BA\) является правильным, т.к. \(\angle A'=\angle A=\angle A'BA=60^\circ\).Следовательно, \(A'A=2b=AB=c\), откуда \(b=\dfrac12c\).
Тогда по теореме Пифагора \(a^2+b^2=c^2 \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt3}2c\).
Теперь по определению \(\sin \angle A=\sin 60^\circ =\dfrac ac=\dfrac{\sqrt3}2\)
Т.к. по предыдущему утверждению \(\sin \angle A=\cos \angle B\), то \(\cos 30^\circ =\dfrac{\sqrt3}2\).
Т.к. \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), то \(\mathrm{tg}\,30^\circ=\mathrm{ctg}\,60^\circ=\dfrac{\sqrt3}3\), а \(\mathrm{tg}\,60^\circ=\mathrm{ctg}\,30^\circ=\sqrt3\).
В
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\): \(\angle C=90^\circ, \angle A=45^\circ, \angle B=45^\circ\).
В
Ртот треугольник равнобедренный, следовательно, \(BC=AC=a\).
Тогда по теореме Пифагора \(a^2+a^2=c^2 \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt2}2c\).
Следовательно, \(\sin \angle A=\cos\angle A=\sin\angle B=\cos \angle B=\dfrac{\sqrt2}2\).
РР· определения следует, что \(\mathrm{tg}\,45^\circ=\mathrm{ctg}\,45^\circ=1\).
В
Замечание
Для простоты запоминания таблицы можно записать ее в следующем виде:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}30^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 60^\circ \phantom{000} \\[2pt] \hline &&&\\ \sin &\frac{\sqrt1}2&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2\\[4pt] \cos &\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt1}2\\[4pt] \mathrm{tg} &\frac1{\sqrt3}&1&\sqrt3\\[4pt] \mathrm{ctg}&\sqrt3&1&\frac1{\sqrt3}\\[4pt] \hline \end{array}}}\]
То есть для синуса и косинуса число выглядит как \(\dfrac{\sqrt{\phantom{0}}}2\), где у синуса под корнем пишется \(1, 2, 3\), у косинуса – наоборот.
В
\[{\Large{\text{Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла}}}\]
Теорема
Справедливы следующие формулы приведения:
\[\begin{aligned} \sin(180^\circ-\alpha)&=\sin\alpha\\ \cos(180^\circ-\alpha)&=-\cos\alpha\\ \mathrm{tg}\,(180^\circ-\alpha)&=-\mathrm{tg}\,\alpha\\ \mathrm{ctg}\,(180^\circ-\alpha)&=-\mathrm{ctg}\,\alpha \end{aligned}\]
Таким образом, если \(\alpha\) – острый угол, то с помощью этих формул можно найти синус, косинус, тангенс или котангенс тупого угла, смежного с \(\alpha\).
В
Пример
\(\sin 135^\circ=\sin(180^\circ-45^\circ)=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2\)
shkolkovo.net
Содержание:
I Введение...................................................................................................... 3
Вступление.................................................................................................. 3
Треугольники.............................................................................................. 4
II Основная часть.......................................................................................... 8
Общие сведения о тригонометрических функциях.............................. 8
Теоремы.................................................................................................... 13
Теорема о площади треугольника:.................................................... 13
Теорема синусов:.................................................................................. 14
Теорема косинусов:.............................................................................. 16
Задачи........................................................................................................ 17
III Заключение............................................................................................. 20
Список литературы..................................................................................... 21
Виды треугольников:
·       Треугольник называется равнобедренным, если Сѓ него РґРІРµ стороны равны. Рти равные стороны называются боковыми сторонами, Р° третья сторона называется основанием треугольника.
·       Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
·       Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
·             Треугольник называется остроугольным, если все три его угла – острые, то есть меньше 90°·       Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов – тупой, то есть больше 90°.
Бермудский Треугольник - широко известная аномальная Р·РѕРЅР°. Расположен РѕРЅ РІ границах между Бермудскими островами, Майями РІРѕ Флориде Рё Пуэрто-Р РёРєРѕ. Площадь Бермудского треугольника составляет свыше РѕРґРЅРѕРіРѕ миллиона квадратных километров. Рельеф РґРЅР° РІ этой акватории хорошо изучен. РќР° шельфе, который составляет значительную часть этого РґРЅР°, было проведено множество бурений СЃ целью отыскать нефть Рё РґСЂСѓРіРёРµ полезные ископаемые. Течение, температура РІРѕРґС‹ РІ разное время РіРѕРґР°, ее соленость Рё движение воздушных масс над океаном - РІСЃРµ эти природные данные занесены РІРѕ РІСЃРµ специальные каталоги. Ртот район РЅРµ особенно сильно отличается РѕС‚ РґСЂСѓРіРёС… похожих географических мест. Р, тем РЅРµ менее, именно РІ районе Бермудского треугольника загадочно исчезали СЃСѓРґР°, Р° затем Рё самолеты.
Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами. Скептики утверждают, однако, что исчезновения судов в бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана и объясняются естественными причинами. Морские и воздушные суда погибают и в других районах земного шара, иногда бесследно. Неисправность радио или внезапность катастрофы может помешать экипажу передать сигнал бедствия. Поиск обломков в море — непростая задача, особенно в шторм или когда место катастрофы точно неизвестно. Если учесть очень оживлённое движение в районе бермудского треугольника, частые циклоны и штормы, большое количество отмелей, количество случившихся здесь катастроф, которые так и не получили объяснения, не является необычно большим.
Впервые о «таинственных исчезновениях» в бермудском треугольнике упомянул корреспондент Associated Press Джонс, в 1950 году он назвал этот район «морем дьявола». Автором словосочетания «бермудский треугольник» обычно считают Винсента Гладдиса, опубликовавшего в 1964 году в одном из журналов, посвящённых спиритизму, статью «Смертоносный бермудский треугольник».
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.
Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.
Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.
Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.
Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.
В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть  тригонометрическими функциями.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Современные обозначения СЃРёРЅСѓСЃР° Рё РєРѕСЃРёРЅСѓСЃР° знаками sin Рё cos были впервые введены РІ 1739 Рі. швейцарским математиком Роганном Бернуллив РїРёСЃСЊРјРµ Рє Леонарду Рйлеру, который Рё стал употреблять РёС… РІ СЃРІРѕРёС… математических работах. Рйлер ввел также обозначения для функций угла С…: tg x, ctg x, sec x, cosec x.
Синус, косинус, тангенс, котангенс.
·       Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).
·       Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).
·       Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).
·       Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB).
В В В В В В В В В В
Значения тригонометрических функций.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов.
Значения косинуса и синуса на окружности.
Свойства тригонометрических функций
Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:
Формулы приведения:
sin (90В° - О±) = cos О±
cos (90В° - О±) = sin О±
sin (180В° - О±) = sin О±
В cos(180В° - О±) = - cos О±
Чётность и нечетность функций.
Чётная функция- функция y = f(x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-x) = f(x)
Нечётная функция- функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство
f(-x) = -f(x)
Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.                                                               S = ½ ab sin C |
∆ АВС, АВ= с, ВС = a, СА = b, h-высота
Доказать:
S = ВЅ ab sin C
Доказательство:
 Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h= b sin C (т.к. sin C = h/b) => S = ½ ab sin C
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В Р§.С‚.Рґ.
Стороны треугольника пропорциональны синусам    противолежащих углов.                                 a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC |
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b
Доказать:
a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC
Доказательство:
РџРѕ теореме Рѕ площади треугольника S= ВЅ ab sinC, S = ВЅ bc sinA, В В В В В В S= ВЅ ac sinB. В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
РР· первых РґРІСѓС… равенств получаем ВЅ ab sinC = ВЅ bc sinA,
В ВЅ ab sinC = ВЅ bc sinAВ в”‚ : ВЅ b
a sinC = c sinA в”‚: sinA sinC
a/sinA = c/sinC
Точно также из второго и третьего равенства получаем
ВЅ bc sinA = ВЅ ac sinB в”‚: ВЅ c
b sinA = a sinBВ в”‚: sinA sinB
b/sinB = a/sinA
Так как a/sinA = c/sinC и b/sinB = a/sinA, то a/sinA= b/sinB= c/sinC.
                                                                                                     Ч.т.д. Замечание:
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащегоугла равно диаметру описанной окружности.
a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R
Дано:R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 - диаметр
Доказать:
BC/sinA = 2R (BC=2R sinA)
Доказательство:
Проведем диаметр Р’Рђ1. Рассмотрим ∆А1Р’РЎ, в€џРЎ - прямоугольный => Р’РЎ=Р’Рђ1Г—sinA1. Если С‚.Рђ1 лежит РЅР° РґСѓРіРµ Р’РђРЎ, то в€џРђ1=в€џРђ, если РЅР° РґСѓРіРµ BDC, то в€џA1= 180°  - в€џA. Р РІ том, Рё РІ РґСЂСѓРіРѕРј случае sinA1В = sinA => BC= BA1*sinA,В BC= 2R sinA или BC/sinA= 2R.В В В
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В Р§.С‚.Рґ.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. a2 = b2 + c2 − 2bc cosα. |
Доказать:
a2 = b2 + c2 в€’ 2bc cosО±
Доказательство:В В В В В
Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(b cosA; b sinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 получаем:
Р’РЎ2В = a2В = (b cosA – c)2 +( b sin Рђ- 0) 2,В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
a 2= b2cos2A - 2bc cosA + c2 + b2 sin2A,
a2= b2 (cos2A + sin2A) + c2- 2bc cosA,
a2= b2+ c2 – 2bc cosA.
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В Р§.С‚.Рґ.
Обобщенная теорема Пифагора.
Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по a2 = b2 + c2 − 2bccosα получаем:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В a2 = b2 + c2 ,В
т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано:
a = 7 СЃРј, b = 23 cРј, в€џC = 130°                        В
Найти: с, ∟А, ∟В
Решение:
c2 = a2 + b2 в€’ 2bc cosC
СЃ = в€љ49 + 529 - 2Г—7Г—23Г—(-0,643)В» 28
cos A = b2 + c2 в€’ a2 В / 2bc
cos A = (529 + 784 – 49) / 2 ×23× 28 » 0,981
в€џРђ В» 11В°
в€џР’ = 180В° - (в€џРђ+в€џC) = 180В°- (11В°+130В°) В» 39В°
Ответ: c» 28, ∟А » 11°, ∟B » 39°.
в„–2
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
Дано:
Р°=20 СЃРј, в€џРђ=75В°, в€џР’=60°                                  В
Найти: ∟C, b, c
Решение:
в€џC= 180-(60В°+75В°) = 45В°
a/sin A = b/sin B = c/sin CВ В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
b = aГ— (sin B/ sin A)
b В» 20Г—(0,866/ 0,966)В»17,9
c = aГ— (sin C/ sin A)
c = 20Г—(0,7/ 0,966)В»14,6
Ответ: ∟C=45°, b » 17,9 см, c » 14,6 см. №3
Решение треугольника по трем сторонам.
Дано:
Р°=7 СЃРј, b=2 СЃРј, СЃ=8 СЃРј
Найти: в€џРђ, в€џР’, в€џРЎ.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Решение:
cos A = (4 + 64 – 49) / 2 × 2 × 8 » 0,981
в€џРђВ» 54В°
cos B = (49 + 64 – 4) / 2  × 7  × 8 » 0,973
в€џР’В» 13В°
в€џРЎ = 180В° - (54В° + 13В°) = 113В°
Ответ: ∟А» 54°, ∟В» 13°, ∟С  = 113°
в„–4
Рзмерение высоты предмета.
Предположим, что требуется определить высоту РђРќ какого – то предмета. Для этого отметим точку Р’ РЅР° определённом расстоянии Р° РѕС‚ основания Рќ предмета Рё измерим в€џРђР’Рќ=a. РџРѕ этим данным РёР· прямоугольного треугольника РђРќР’ находим высоту предмета: В В В В В В В В В В В В В РђРќ = Р° tg a.В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: РЅР° РїСЂСЏРјРѕР№, проходящей через основание Рќ предмета, отметим РґРІРµ точки Р’ Рё РЎ РЅР° определенном расстоянии Р° РґСЂСѓРі РѕС‚ РґСЂСѓРіР° Рё измерим углы РђР’Рќ Рё РђРЎР’: в€џРђР’Рќ = a, в€џРђРЎР’ = b, в€џР’РђРЎ = a –b. В Рти данные позволяют определить РІСЃРµ элементы треугольника РђР’РЎ; РїРѕ теореме СЃРёРЅСѓСЃРѕРІ находим РђР’:В В В В В В В В В В В В РђР’ = a sinb / sin (a –b). РР· прямоугольного треугольника РђР’Рќ находим высоту РђРќ предмета:
АН = АВ sin a = a sina sinb / sin (a –b).
в„–5
В Рзмерение расстояния РґРѕ недоступной точки (измерение ширины реки).
РќР° местности выберем точку Р’ Рё измерим длину СЃ отрезка РђР’. Затем измерим, например СЃ помощью астролябии, углы Рђ Рё Р’: в€џРђ= a РёВ В В В в€џР’ = b. Рти данные, С‚.Рµ. СЃ, a Рё b, позволяют решить ∆АВС Рё найти РёСЃРєРѕРјРѕРµ расстояние d=AC.
Находим ∟С и sinC: ∟С=180°- a –b, sin C= sin(180°- a –b) = sin(a+b).
Так как d/sin b = c/sin C, то d = c sin b/ sin(a+b).
2.    Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, 1971., стр.56-57
3.    Берманд А. Ф. Тригонометрия, 1967г., стр.4-64.    Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9 класс – 13-е изд.-М.: Просвещение, 2006г., стр.112-114
5.     Понарин РЇ.Рџ. В Рлементарная геометрия. МЦНМО, 2004., стр.В 84-85.РњРћРЈ «Средняя общеобразовательная школа в„–4 Рі.Балабаново»Реферат
на тему:
«Решение треугольников»                                                                                      Выполнила
                                                                                             ученица 9 б класса
                                                                                             Матвеева Анастасия
                                                                                             учитель
                                                                                             Заречкова Р›.Р.Рі.Балабаново 2010
bukvasha.ru
Тригонометрия - раздел математической науки, РІ котором изучаются тригонометрические функции Рё РёС… использование РІ геометрии. Развитие тригонометрии началось еще РІРѕ времена античной Греции. Р’Рѕ времена средневековья важный вклад РІ развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока Рё РРЅРґРёРё.В
Данная статья посвящена базовым понятиям Рё дефинициям тригонометрии. Р’ ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: СЃРёРЅСѓСЃР°, РєРѕСЃРёРЅСѓСЃР°, тангенса Рё котангенса. Разъяснен Рё проиллюстрирован РёС… смысл РІ контексте геометрии.В
Рзначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является СѓРіРѕР», выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функцийСинус угла (sin α) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cosα) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (tg α) - отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) - отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.В
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!Область значений СЃРёРЅСѓСЃР° Рё РєРѕСЃРёРЅСѓСЃР°: РѕС‚ -1 РґРѕ 1. Рными словами синус Рё РєРѕСЃРёРЅСѓСЃ принимают значения РѕС‚ -1 РґРѕ 1. Область значений тангенса Рё котангенса - РІСЃСЏ числовая прямая, то есть эти функции РјРѕРіСѓС‚ принимать любые значения.
Определения, данные выше, относятся Рє острым углам. Р’ тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого,В РІ отличие РѕС‚ острого угла, РЅРµ ограничена рамками РѕС‚ 0 РґРѕВ 90 градусов.РЈРіРѕР» поворота РІ градусах или радианах выражается любым действительным числом от -в€ћВ РґРѕВ +в€ћ.В
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Начальная точка AВ СЃ координатами (1,В 0) поворачивается РІРѕРєСЂСѓРі центра единичной окружности РЅР° некоторый угол α и переходит РІ точку A1. Определение дается через координаты точки A1(xВ ,В y).В
Синус (sin) угла поворотаСинус угла поворота α - это ордината точки A1(x , y). sin α=y
Косинус (cos) угла поворотаКосинус угла поворота α - это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х
Тангенс (tg) угла поворотаТангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx
Котангенс (ctg) угла поворотаКотангенс угла поворота α - это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy
РЎРёРЅСѓСЃ Рё РєРѕСЃРёРЅСѓСЃ определены для любого угла поворота. Рто логично, ведь абсциссу Рё ординату точки после поворота можно определить РїСЂРё любом угле. Рначе обстоит дело СЃ тангенсом Рё котангенсом. Тангенс РЅРµ определен, РєРѕРіРґР° точка после поворота переходит РІ точку СЃ нулевой абсциссой (0,В 1) РёВ (0,В -1). Р’ таких случаях выражение для тангенса tgВ О±=yx просто РЅРµ имеет смысла, так как РІ нем присутствует деление РЅР° ноль. Аналогично ситуация СЃ котангенсом.  Отличием состоит РІ том, что котангенс РЅРµ определен РІ тех случаях, РєРѕРіРґР° РІ ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!Синус и косинус определены для любых углов α.
Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)
Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)
РџСЂРё решении практических примеров РЅРµ РіРѕРІРѕСЂСЏС‚ "СЃРёРЅСѓСЃ угла поворота α". Слова "СѓРіРѕР» поворота" просто опускают, подразумевая, что РёР· контекста Рё так понятно, Рѕ чем идет речь.В
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числаСинусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности - точка A c координатами (1, 0).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа tСинус числа t - ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y
Косинус (cos) числа tКосинус числа t - абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x..
Тангенс (tg) числа tТангенс числа t - отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Каждому значению угла α соответствует определенное значение СЃРёРЅСѓСЃР° Рё РєРѕСЃРёРЅСѓСЃР° этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 В° + 180 В° В· k , В k в€€ Z В ( О± = ПЂ 2 + ПЂ В· k , В k в€€ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 В° В· k , В k в€€ Z В ( О± = ПЂ В· k , В k в€€ Z ).В
Можно сказать, что sinВ О±,В cosВ О±,В tgВ О±,В ctgВ О±В - это функции угла альфа, или функции углового аргумента.В
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,  k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,  k ∈ Z.
Основные функции тригонометрииСинус, косинус, тангенс и котангенс - основные тригонометрические функции.
РР· контекста обычно понятно, СЃ каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент)В РјС‹ имеем дело.В
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Возьмем единичную окружность СЃ центром РІ прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0)В РЅР° СѓРіРѕР» величиной РґРѕ 90 градусов Рё проведем РёР· полученной точки A1(x,y) перпендикуляр Рє РѕСЃРё абсцисс. Р’ полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), Р° длина гипотенузы равна единице, так как РѕРЅР° является радиусом единичной окружности.В
Р’ соответствии СЃ определением РёР· геометрии, СЃРёРЅСѓСЃ угла α равен отношению противолежащего катета Рє гипотенузе.В
sinВ О±=A1HOA1=y1=y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
www.zaochnik.com
Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»
Загрузить презентацию (2,2 МБ)
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
Тип урока: комбинированный.
Форма работы: фронтальная и индивидуальная.
Методы обучения: диалогическое изложение материала СЃ использованием РРљРў.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал, презентация к уроку.
Проверить готовность группы и кабинета к уроку. Настроить учащихся на тему урока.
Открываем тетради. Записываем сегодняшнее число и тему нашего урока: «Синус, косинус, тангенс, котангенс».
Все новое и необычное всегда привлекает к себе и люди, пусть даже неосознанно, стремятся это узнать. Таджикский поэт Рудаки так говорил об этом:
С тех пор как существует мирозданье, Такого нет, кто б ни нуждался в знанье. Какой мы ни возьмем язык и век, Всегда стремится к знанью человек!
Сегодня мы начинаем изучать тригонометрию. Тригонометрия – это греческое слово и в переводе означает измерение треугольников. Возникновение тригонометрии было связано сземле измерением, астрономией, строительным делом. Выходит, что знание и понимание этой темы важно не только для будущей сдачи экзамена по математике, но для освоения и выбранной вами профессией.
С этим разделом математики вас познакомили учителя на уроках геометрии при изучении отношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
Давайте вспомним: какие понятий связывают стороны и острые углы прямоугольного треугольника?
Ртак, СЃРёРЅСѓСЃ, РєРѕСЃРёРЅСѓСЃ, тангенс Рё котангенс – это некоторые числа. Причем для каждого угла СЃРІРѕРё Рё РёС… значение зависит только РѕС‚ величины угла.
Также вам уже известно, что синус, косинус, тангенс и котангенс называют тригонометрическими функциями, и мы можем их найти по величине угла или наоборот найти величину угла, если нам известно значение одной из этих функций. Для этого существуют специальные таблицы Брадиса. Правда, в настоящее время мы обращаемся к ним редко, а скажите почему?
Понятие синуса угла, как отношение отрезков треугольника появилось уже 3 веке до нашей эры в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В 1 веке нашей эры оно исследовалось Минелаем, но еще не получило своего сегодняшнего названия. В 4-5 веках индийский ученый Ариабхаты ввел специальный термин джива – «тетива», который при переводе арабских текстов на латынь был заменен синусом, что означает изгиб, кривизна.
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения, которое означает «дополнительный синус».
Абу-Абдалах, арабский астроном и математик 10 века, наблюдая за солнечными часами, создал первые таблицы таких тригонометрических функций, как тангенс и котангенс, не вводя эти понятия. Сам термин, в переводе с латинского означающий «отрезок касательной» был введен только в 1583 году датским математиком Томасом Финком.
Сегодня на уроке мы продолжим изучать эти тригонометрические функции, а также познакомимся с тригонометрической окружностью, рассмотрим понятие этих функций с помощью окружности, научимся находить по ней значения функций, их знаки, вспомним основные тригонометрические тождества и разберем, как их применять для решения задач.
Рассмотрим окружность единичного радиуса центр, которой совпадает СЃ началом прямоугольной системы координат. Рто означает, что Сѓ нас есть знакомые нам РѕСЃСЊ абсцисс (РѕСЃСЊ С…) Рё РѕСЃСЊ ординат (РѕСЃСЊ Сѓ). Центр окружности РјС‹ совместили СЃ началом координат. Наша окружность единичная, то есть радиус Сѓ нее равен 1. Значит, координаты точек пересечения СЃ окружностью Р±СѓРґСѓС‚ равны 1 Рё -1 РЅР° каждой РѕСЃРё. Возьмем точку СЃ координатами (1;0), которая будет двигаться РїРѕ нашей окружности, обозначим ее . Р—Р° положительное направление выбирают движение против часовой стрелки, Р·Р° отрицательное движение РїРѕ часовой стрелке. Начальное положение, которое занимает наша точка, примем Р·Р° начало отсчета пути, пройденного точкой РїРѕ окружности. Пусть точка двигается против часовой стрелки, то есть РІ положительном направлении. РџСЂРё движении РїРѕ окружности РѕРЅР° займет положение точки Рњ, которая будет иметь координаты (С…; Сѓ), так как точка расположена РІ координатной плоскости. Проведем Рє этой точке радиус Рё СѓРіРѕР» между этой точкой Рњ Рё радиусом обозначим
. Значит, положение точки М мы можем задать двумя способами: с одной стороны координатами (х; у), так как точка лежит в координатной плоскости и с другой стороны с помощью угла поворота этой точки вокруг начала координат. Ресли мы можем положение точки задать двумя способами, значит между ними, должна быть какая-то связь. То есть координаты точки (х; у) и величина угла должны быть связаны некоторой функцией. Таким образом, у нас появляются тригонометрические функции, которые выражают зависимость между координатами точки единичной окружности в системе координат и углом поворота, при помощи которого мы попадаем из нашей начальной точки
 при движении, в точку М. Выразим эту зависимость, определяя, координаты точки М. Опускаем перпендикуляры на координатные оси. Получаем прямоугольный треугольник.
Применим уже известные нам отношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника и получим, что координата х (абсцисса) точки М будет равна:
,
. Так как у нас единичная окружность, то ОМ=1. Ордината у точки М находится аналогично и будет равна:
, Сѓ=
Для функций тангенс и котангенс получаем следующие равенства из того же прямоугольного треугольника:
Ртак, РєРѕСЃРёРЅСѓСЃРѕРј угла О± называется абсцисса (то есть координата РїРѕ РѕСЃРё OX) точки РЅР° единичной окружности, соответствующей данному углу О±.
Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.
Получаем, что ось х – это ось косинуса, ось у – это ось тангенса. Функции тангенс и котангенс также имеют свои оси. Осью тангенсов является касательная к единичной окружности в точке с координатой (1; 0), а осью котангенсов - касательная к окружности в точке с координатой (0; 1) и значит значения этих функций находят по данным осям.
Так как синус и косину это по сути координаты точки на единичной окружности и из ее рассмотрения видно, что они лежат в пределах от -1 до 1, то можем сделать вывод, о том какие значения могут принимать наши функции:
Зная это мы, можем ответить на вопрос: может ли .
Значение угла может быть любым: отминус бесконечности до плюс бесконечности.
Обратимся к нашему треугольнику и вспомним теорему Пифагора. Радиус единичной окружности - это гипотенуза треугольника, а ее катеты равны соответственно  и
. Тогда применяя теорему Пифагора (квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов ее катетов) получаем равенство, называемое основным тригонометрическим тождеством:
Рђ сейчас давайте разберемся, как нам определять знаки тригонометрических функций. Рто РЅРµ сложно. Знаки тригонометрических функций соответствуют знакам координат точки единичной окружности. Координатные РѕСЃРё разбивают РІСЃСЋ координатную плоскость Рё окружность РЅР° четыре координатные четверти. Нумерация четвертей совпадает СЃ началом движения точки В РїРѕ окружности РІ положительном направлении, то есть против часовой стрелки. (далее указываем РїРѕ СЂРёСЃСѓРЅРєСѓ номера четвертей). Границы наших четвертей: РѕС‚ точки
 – это
В РґРѕ
, РѕС‚
В РґРѕ
, РѕС‚
В РґРѕ
, РѕС‚
В РґРѕ
.
Определим знаки тригонометрических функций в каждой четверти, для этого заполним таблицу:
I | II | III | IV | |
![]() |
+ | + | - | - |
![]() |
+ | - | - | + |
![]() |
+ | - | + | - |
![]() |
+ | - | + | - |
Вы уже знаете, что величины углов могут измеряться в радианной мере и градусной мере. А. А это означает, что вы должны уметь переходить от радианной меры измерения угла к градусной.
Углом в 1 радиан это центральный угол, который опирается на дугу, равную радиусу. Длина окружности равна: . То есть в нашей окружности помещается ровно два пи дуг длина которых равна радиусу и значит, во всей нашей окружности помещается два пи углов в один радиан. Вся окружность равна
. Значит,
 соответствует
 радианам, а
 соответствует
радиан.
При переходе от радианной меры к градусной и наоборот проще всего использовать это соотношение:.
Выразить радианы в градусы несложно, достаточно вместо подставить
 и вычислить. Например:
В .
В случае, когда надо перейти от градусной меры в радианную можно применять формулу: Но формулы имеют свойство забываться, поэтому я предлагаю вам при необходимости составлять пропорцию.. Например, выразим 30
 в радианах:
Наиболее часто употребляемыми углами являются углы в . Давайте переведем их в радианы и запишем на нашей окружности. Углы в
 находятся в первой четверти и составляют от него третью часть, половину и две третьих.
Так как значение , значит
, значит
, следовательно, на окружности точка 1 расположена выше
. Значение
,
В ,
В ,
.
Значит, если мы хотим найти угол в 2 радиана, то видим, что он лежит между значениями 1,57 и 3,14, то есть во II четверти. Не забывайте, что угол мы отмечаем от положительного направления оси ОХ. Соответственно угол в -1 радиан лежит в IV четверти. Также мы определяем, где лежит угол в , -
. Для определения четверти для углов, равных
 или
 мы должны определить, какая из них правильная дробь, а какая неправильная дробь. Правильную дробь
 сравнить со значением
 и если она больше ее, то угол лежит во второй четверти (или наоборот), а неправильную дробь
 со значением
 и если она меньше его, то угол лежит в третьей четверти. В итоге получаем, что
.
РњС‹, СЃ вами рассматривая, новый материал РїСЂРё помощи единичной окружности выяснили, что ее еще называют тригонометрической, так как координатами точки РЅР° окружности являются функции СЃРёРЅСѓСЃ, РєРѕСЃРёРЅСѓСЃ, тангенс Рё котангенс. Определили, что СЃРёРЅСѓСЃ Рё РєРѕСЃРёРЅСѓСЃ РјРѕРіСѓС‚ принимать значения только РѕС‚ -1 РґРѕ 1, Р° тангенс Рё котангенс РѕС‚ – бесконечности РґРѕ + бесконечности. Рассмотрели координатные четверти, РёС… границы, как найти РІ какой четверти лежит СѓРіРѕР», разобрали, как связаны между СЃРѕР±РѕР№ радианы Рё градусы. РџСЂРё этом наша тригонометрическая окружность изменялась, обрастала РІСЃРµ новыми значениями. Если Р±С‹ РјС‹ продолжили работу РїРѕ нахождению значений координат точки Рё углов, соответствующих координатам РїРѕ нашей окружности, то РѕРЅР° Р±С‹ приняла РІРѕС‚ такой РІРёРґ. (Рдет демонстрация слайда СЃ единичной окружностью Рё говорится, что такие же окружности есть Сѓ вас РЅР° столах, для удобства РІ работе).
Разберем, как работать с этой окружностью. Нахождение значений угла или функции напоминает нахождение координаты точки по графику или определение положения точки по заданным координатам.
Например, найдем, чему будут равны:
При помощи круга мы можем находить значения углов не только до 360, но и больших, так движение по кругу напоминает движение по спирали: один оборот, второй оборот и так далее. Например, найдем, чему равны значения функций:
Вы должны находить значение тригонометрических функций по известному значению одной из них. Например, найти чему будет равен косинус, тангенс или котангенс какого-то угла, если синус этого же угла принимает такое-то значение. Для этого надо знать формулы, которые связывают известную и неизвестную величины. В тригонометрии их называют тригонометрические тождества.
Вот основные из них: это основное тригонометрическое тождество, мы его с вами вывели ранее вместе с вот этим формулами:
. А вот эти три тождества вытекают из предыдущих:
Мы рассмотрели тригонометрические функции, но еще Жан Жак Руссо говорил, что час работы научит больше, чем день объяснения. Значит, пора переходить к решению упражнений. Но перед этим давайте еще раз коротко обговорим, какие новые знания мы сегодня получили и должны запомнить. Проведем блиц опрос по рассмотренному материалу.
Устная работа (повторение теории). Вопросы для учащихся.
Устная работа (решение упражнений). Задания для устной работы.
После окончания устной работы, отметить активных учащихся, поставить оценки за первый урок.
Работа по решению упражнений идет у доски с вызовом учащихся и на местах. Каждое задание при наличии времени желательно разобрать перед решением.
1 задание: №3 ( а и в) из учебника «Алгебра 10-11» Колмогорова.
Р°)
Р±) .
2 задание: текст задания дан на слайде презентации: найдите знак произведения:
Р°)
Р±)
РІ)
Рі)
3 задание: № 7 (а) по учебнику.
Найдите:  ,
В ,
В .
Решение.
Так угол лежит в 3 четверти, то
Ответ: 0,6 ;;
.
Выполняется на листах через копирку. После решения работа первый раз проверяется учащимися в виде взаимопроверки, выставляются следующие оценки: за 3 задания –«3», за 4 задания – «4», за все 5 заданий оценка 5.
Задания для самостоятельной работы.
I вариант.
II вариант.
Задание на дом вывести на слайд презентации: по учебнику № 31 (а и в), № 15 (г), № 3 (в и г).
Подвести итоги урока, проведя беседу с учащимися по вопросам: что узнали, что решали?
Приложение
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai