Реферат: Комплексные числа. Реферат по комплексным числам

Реферат: Комплексные числа

Реферат по математике ученицы 8г класса Ваулиной Светы

Муниципальное образовательное учреждение-гимназия 47

г.Екатеринбург 2000г.

Введение

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель настоящего реферата знакомство с историей появления комплексных чисел, с действиями с комплексными числами, решение уравнений с комплексным переменным.

Понятие о комплексных числах

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х+а = в имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Древнегреческие математики считали, что а = с и в = а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2 = -9. В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х3+3х-4=0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х3-7х+6=0),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х+у = 10, ху = 40 не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 , у = 5 , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что = -а. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i = (мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).

В течениe 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течении 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z=a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Действия с комплексными числами

Рассмотрим решение квадратного уравнения х2 +1 = 0. Отсюда х2 = -1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом , i2 = -1, откуда i =. Решение квадратного уравнения, например, х2 – 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом: х = 4 = 4 = 4 = 4 3 = 4 3i.

Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а + bi, где a и b- действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = (a+c) + (b+d)i. Числа a + bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а, (а+bi) + (а-bi) = 2а. Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комлексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi = c+di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z = a + bi = 0, если a = 0,b = 0. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b = 0, то a + bi = a - действительное число. Если а = 0, b 0, то a + bi = bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a + bi и с + di называется комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит, (а+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.

Произведение комплексных чисел z 1= a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = (ac-bd) + (ad + bc)i, z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Легко проверить, что умножение комплексных чиcел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу: (a + bi)(a - bi) = a2 + b2

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di) = = = + i.

Степень числа i является периодической функцией показателя

с периодом 4. Действительно, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i4n = (i4)n = 1n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = -1, i4n+3 = -i.

Решение уравнений с комплексным переменным

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если а = 0;

2) имеет два действительных корня z1,2 = , если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень .

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2 = a, если:

1)а = -1; 2)а = -25; 3)а = -3.

1)z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2 - i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 = i.

2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение: z2 = (-1)25,

z2 = i2 52, z2 - 52 = 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i.Ответ.z 1,2 = 5i.

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0, z1 = i, z 2 = - i. Ответ. z1,2 = i.

Вообще уравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = i = 2i, = i. Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где а,b,с- действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Z1,2 = .

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = = = = =2 3i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4- это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 - корни уравнения az2+bz+c = 0, z1+z2 = -, z1z2 =.

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z2-2z+5=0.

Заключение

В настоящем реферате дано понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным, что позволяет решить любые квадратные уравнения, даже с отрицательным дискриминантом.

В реферате также рассмотрена геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде векторов.

Список литературы

1. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Учебник для 8 класса по алгебре.- М.: Просвещение, 1994.-С.134-139.

2. И. С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах.- М.: Просвещение, 1987.- С.50-52.

3. А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика.-М.: Педагогика, 1989.- С. 143-147.

www.neuch.ru

Реферат - Комплексные числа - Математика

Министерство общего и профессионального образования РФ

Гимназия № 12

реферат

на тему: Комплеклсные числа

Выполнил: ученик 9 “Д” класса

Крутько Е.А.

Проверила: Санина В.Г.

Тюмень 1999

План.

Зачем нужны новые числа?

Неприводимый случай кубического уравнения.

Действительное + мнимое = комплексное.

Когда мы слышим слово “число”, то на ум прежде всего приходят натуральные числа: 1, 2, 3… Их мы используем для пересчета разнообразных предметов. Если натуральных чисел оказывается недостаточно, прибегаем к дробям, а точнее – к рациональным числам. И то, как правило, не ко всем, а лишь к тем, которые выражаются конечными десятичными дробями. Уж их-то вполне хватает для повседневных нужд. Конечные десятичные дроби позволяют фиксировать результаты всевозможных измерений с произвольной точностью. Чего же еще ждать от чисел?

Но вот нам говорят, что существуют несоизмеримые величины. Например, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, т.е. отношение их длин -/> — не является рациональным числом, хотя и может с любой наперед заданной точностью быть приближенно рациональным числом. И тогда становится понятно, что проще признать эти новые, иррациональные числа, чем каждый раз вместо “решим уравнение x2=2 ”говорить“ найдем такое x, чтобы x2 отличалось от 2 не более, чем на такую-то величину”.

Построенное таким образом сообщество – множество действительных чисел – уже не только удовлетворяет нашим практическим потребностям, но и обладает определенной теоретической полнотой. Оно позволяет формулировать разнообразные задачи, сводить их к уравнениям и решать, не боясь впасть в противоречие. Нельзя, например, делить на нуль, нельзя извлекать корень четной степени из отрицательных чисел и т.д. Однако правила эти несложны, и если им строго следовать, то все будет в порядке…

Но все ли? Рассмотрим такой пример: /> можно считать равным и 1, и –1, а определить /> невозможно. С другой стороны, что такое 1/6? Это то же самое, что 2/12. Однако />= (-1)1/6, (-1)2/12 />, а последний корень можно извлечь!

Вот еще один пример: />.

Но если квадратного корня из –1 не существует, то и его четвертой степени не существует. Значит, -1 нельзя возвести даже в квадрат?

Кому-то покажется, что все это не настоящие противоречия. Можно наложить дополнительные запреты на действия с числами, и подобные ситуации больше не возникнут. Но всегда ли разумны запреты? Представьте себе, что некоторые задачи весьма успешно решаются только с нарушением определенного запрета, и никак не удается найти “законного” способа их решения. Не стоит ли в таком случае отказаться от ограничения, ставшего слишком обременительным? Именно это произошло в свое время с запретом извлекать квадратный корень из отрицательных величин при решении так называемого неприводимого случая кубического уравнения.

Для решения уравнения вида /> была выведена формула

/>,

прдобно тому как для решения квадратного уравнения существует общая формула, выражающая корни уравнения через его коэффиценты, аналогичная формула есть и для кубического уравнения. Она называется формулой Кардано – по имени математика, впервые ее опубликовавшего. Но, к примеру, для уравнения

х3 = 30х + 36

Формула Кардано дает

х =/>

Под квадратным корнем здесь оказалось отрицательное число. В то же время имеет решение х = 6 – это легко проверить.

Однако, предположим на секунду, что корни из отрицательных чисел существуют. Тогда, если научиться извлекать кубические корни из выражения вида А+/>, можно будет вычислить х=/> Мы получим 3+/> и 3-/>. В самом деле, возведем в куб выражение 3+/>, воспользовавшись формулой (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3:

Аналогично, /> Поэтому х/>.

Как видим, “странные” корни успешно сокращаются. То есть мы решили обычное уравнение и нашли корень – обычное действительное (и даже натуральное) число. Но для этого в промежуточных выкладках нам пришлось оперировать “необычными“ числами. И самое главное – никаким другим способом, за исключением разве что угадывания, это решение получить не удается!

Теперь у нас есть три пути:

— безоговорочно следовать установленным запретам и отказаться от новых приобретений, т.е. считать, что никакого метода решения неприводимого случая кубического уравнения у нас нет;

— “спрятать голову в песок”, т.е. каждый раз, решая уравнение, при переходе к действию с выражениями вида /> говорить “извените!”, а возвращаясь “на законную почву”, делать вид, что ничего не произошло;

— коль скоро допустили в промежуточные вкладки объекты новой природы, всерьез заняться их изучением: дать определение, исследовать свойства, научиться выполнять арифметические операции.

Хотя и не сразу, но в конечном итоге математеки выбрали третий путь. И были вознаграждены: “странные” корни нашли широкое применение в электротехнике, аэродинамике и других областях знаний.

Итак, кроме привычных действительных (буквально – “реально существующих”) чисел нам приходится рассматривать еще числа вида/>, где А – положительное действительное число. Что за числа, как их “потрогать руками” – все это вопросы, не имеющие ответа. Мы просто договарились считать, что они есть. И вполне естественно, что такие числа были названы мнимыми, т.е. “нереальными”. Сама идея комплексного числа возникла у итальянских математиков XVI в. в процессе решения уравнений 3-й и 4-й степеней.

Но кое-что о мнимых числах ма все же знаем. Например, что при возведении в квадрат они дают отрицательные числа. Далее, поскольку />, то />=/>, а /> — это обычное действительное число. Значит, мнимое число можно получить исходя из единственного мнимого числа/>, если умножить его на подходящее действительное число. Таким образом, вместо безбрежного океана таинственных обьектов мы имеем один-единственный непривычный объект, все же остальные строятся с помощью операции умножения. Согласитесь, с такой ситуацией примерится уже гораздо легче.

Число />, играющее роль “строительного блока” в мире мнимых чисел, называют мнимой единицей и по предложению Леонардо Эйлера обозначают i (от лат. imaginarius – “мнимый”), но формальные операции над комплексными числами ввел Бомбелли. Основное свойство мнимой единицы выражается простым равенством:

/>.

Однако, как подсказывает опыт решения кубических уравнений, кроме действительных и мнимых нам приходится рассматривать также числа вида А+/>, которые представляют собой сумму действительного. Такие числа именуются комплексными, т.е. составными.

А теперь, суммируя все сказанное, сформулируем наконец определение комплексного числа: комплексным числом называется выражение вида a+bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица.

Список использованной литературы

В. Антонов. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика –

Москва: изд-во “Аванта+”, 1998. – 688 с.

www.ronl.ru

Читать реферат по математике: "Комплексные числа"

(Назад) скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Комплексные числа ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. 1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Так для решимости уравнений видаX+A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.

На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида AX+B=0 (A0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X2+1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2= –1.

Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чиселA и B выражение A+Bi можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название “комплексное” происходит от слова “составное”: по виду выражения A+Bi.

Комплексными числами называют выражения вида A+Bi, где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i2= –1, и обозначают буквой Z.

Число A называется действительной частью комплексного числа A+Bi,а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа 2+3i равна 2, а мнимая равна 3.

Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства.

Два комплексных числа A+Bi и C+Di называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Рисунок

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+Bi можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное числоZ=A+Bi изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Рисунок

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A+Bi как вектора, т.е. вектора с началом в точке

O(0;0) и с концом в точке М(A;B) (рисунок 2).

Соответствие установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа точками или векторами. 3.МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Пусть дано комплексное число Z=A+Bi. Сопряженным с Z называется комплексное число A – Bi, которое обозначается , т.е.

==A – Bi.

Отметим, что = A+Bi, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство =Z.

Модулем комплексного числа Z=A+Biназывается числои обозначается , т.е.

==(1)Из формулы (1) следует, чтодля любого комплексного числа Z, причем=0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы:

4.СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Суммой двух комплексных чисел A+Bi и C+Di называется комплексное число (A+C) + (B+D)i, т.е. (A+Bi) + (C+Di)=(A+C) + (B+D)i

Произведением двух комплексных чисел A+Bi и C+Di называется комплексное число (AC – BD)+(AD+BC) i, т.е.

(A + Bi)(C + Di)=(AC – BD) + (AD + BC)i

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z1 +Z2=Z2+Z1,Z1Z2=Z2Z1

Сочетательное свойство:

(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3)

Распределительное свойство:

Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Рисунок

Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:

Сумма двух векторов с координатами (A1;B1) и (A2;B2) есть вектор с координатами (A1+A2;B1+B2). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z1 и Z2 нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z1 и Z2. Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z1=2 – 3i и

1 Способ:

Z2= –7 + 8i.

Z1 + Z2 = 2 – 7 + (–3 + 8)i = –5 + 5i

Z1Z2 = (2 – 3i)(–7 + 8i) = –14 + 16i + 21i + 24 = 10 + 37i

2 Способ:5.ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z1 и Z2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что:

Z + Z2=Z1

Если к обеим частям равенства прибавить (–Z2) противоположное числу Z2:

Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда

Z = Z1 – Z2

Число Z=Z1+Z2 называют разностью чисел Z1 и Z2.

Деление вводится как операция, обратная умножению:

ZZ2=Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

Из этого уравнения видно, что Z20 Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Рисунок

Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модульразности двух комплексных чисел Z2 и Z1 по определению модуля есть длина вектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как сумму векторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двух

referat.co

Доклад - Комплексные числа - Математика

Средняя общеобразовательная школа №1 11 класс

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числаснова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того какобнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкоераспространение” Ф. Клейн.

Автор: Исаев Рома (полная версия реферата и много других полезных материалов на моём сайтеraycom.narod.ru/)Обязательно загляние!

Учитель:Моторина Дина Юрьевна

Дубна, 2002

План:

1. Введение 2

2. Историявозникновения комплексных чисел 3

а) Развитие понятия очисле 3

б) На пути к комплекснымчислам 4

в) Утверждениекомплексных чисел в математике 5-6

3. Комплексные числа иих свойства 7

а) Понятие комплексногочисла 7

б) Геометрическоеизображение комплексных чисел 8-9

в) Тригонометрическаяформа комплексного числа 9

4. Действия с комплекснымичислами 10

а) сложение 11

б) вычитание 11

в) умножение 10-11

г) деление 11

5. Решение уравнений скомплексными переменными 12-13

6. Приложение 14

7. Заключение 15

8. Списоклитературы 15

Введение

Решение многих задач физики и техники приводит кквадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решениемногих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значениевеличин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назваликомплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиацииН. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой онявляется. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находятприменение во многих вопросах науки и техники.

Цельнастоящего реферата знакомство с историей появления комплексных чисел, их свойствами, действиями над ними, а также с решениемуравнений с комплексным переменным.

Историявозникновения комплексных чисел1. Развитие понятия о числе

Древнегреческие математикисчитали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалосьпредставление о бесконечности множества натуральных чисел.

В IIIвеке Архимед разработалсистему обозначения вплоть до такого громадного как <img src="/cache/referats/12808/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

Следующим важным этапом в развитии понятия очисле было введение отрицательных чисел — это было сделано китайскимиматематиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в IIIвекедревнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VIIвекеэти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числас долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описыватьизменения величин. Уже в VIIIвеке было установлено, чтоквадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное иотрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: неттакого числа <img src="/cache/referats/12808/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029">,чтобы <img src="/cache/referats/12808/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1030">.

2. На пути к комплексным числам

В XVIвеке в связи с изучениемкубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательныхчисел. В формуле для решения кубических уравнений вида <img src="/cache/referats/12808/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> кубические иквадратные корни: <img src="/cache/referats/12808/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/12808/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">.<img src="/cache/referats/12808/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

Эта формула безотказно действует в случае,когда уравнение имеет один действительный корень (<img src="/cache/referats/12808/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> x=1), а если оно имеет три действительных корня (<img src="/cache/referats/12808/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> x1=1x2,3 =<img src="/cache/referats/12808/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1027">XVIIIи XIXвеков доказал, чтобуквенное уравнение пятой степени <img src="/cache/referats/12808/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> нельзя решить алгебраически;точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, eспомощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление,возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, чтоникакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-йстепени имеет (если рассматривать и комплексные числа) nкорней (среди которых могутбыть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVIIвеке (основываясь наразборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIIIи XIXвеков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж.Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что системауравнений <img src="/cache/referats/12808/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1036">, не имеющая решений во множестве действительных чисел,имеет решения вида <img src="/cache/referats/12808/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1037">,<img src="/cache/referats/12808/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/12808/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

3. Утверждение комплексных чисел в математике

Кардано называл такиевеличины “чисто отрицательными” идаже “софистически отрицательными”,считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощьютаких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ниизменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянскогоалгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правилаарифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубическихкорней. Название “мнимые числа” ввелв 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один изкрупнейших математиков XVIIIвека — Л. Эйлер предложилиспользовать первую букву французского слова imaginaire(мнимый) для обозначениячисла <img src="/cache/referats/12808/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> (мнимой единицы). Этотсимвол вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексныечисла” так же был введен Гауссом в1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий,предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVIIвека продолжалосьобсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическоеобоснование.

Постепенно развивалась техника операций надмнимыми числами. На рубеже XVIIи XVIIIвеков была построена общаятеория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем излюбых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математикаА. Муавра (1707): <img src="/cache/referats/12808/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1041"><img src="/cache/referats/12808/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1042">(подробнеесмотри приложение). С помощью этой формулы можно было так же вывестиформулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 годузамечательную формулу: <img src="/cache/referats/12808/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> которая связывалавоедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлераможно было возводить число eв любую комплекснуюстепень. Любопытно, например, что <img src="/cache/referats/12808/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1044">.Можно находить sinи cosот комплексных чисел,вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексногопеременного.

В конце XVIIIвека французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализуже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражатьрешения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такиеуравнения встречаются, например, втеории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньшешвейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решенияинтегралов.

Хотя в течение XVIIIвека с помощью комплексныхчисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные скартографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логическогообоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал,что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение,приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

“Никто ведь не сомневается в точностирезультатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя онипредставляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л.Карно.

После создания теории комплексных чиселвозник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими“мнимыми” единицами. Такую систему вида <img src="/cache/referats/12808/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1045"><img src="/cache/referats/12808/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> (переместительности):например, <img src="/cache/referats/12808/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1047"><img src="/cache/referats/12808/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

Большой вклад в развитие теории функцийкомплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвилизанимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — каэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемамквантовой теории поля.

Комплексные числа и их свойства

1. О комплексных числах

В связи с развитием алгебры потребовалось ввестисверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода.Они называются комплексными. Комплексное число имеет вид a + bi; здесь aи b – действительныечисла, а i – числонового рода, называемое мнимой единицей. “Мнимые” числа составляют частный видкомплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числаявляются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число aназовем абсциссой комплексного числа a+ bi;действительное число b– ординатой комплексногочисла

a+ bi.Основное свойство числа iсостоит в том, чтопроизведение i*iравно –1, т.е.

i2= -1. (1)

Долгое время не удавалось найти такиефизические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем жеправилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимаяединица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд такихфизических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике,но также и в физике и технике.

Правило каждого действия надкомплексными числами выводится из определения этого действия. Но определениядействий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены стаким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественнымичислами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве отдействительных, а совместно с ними.

Действительное число азаписывается также в виде a+ 0i(или a– 0i).

Примеры. Запись 3 + 0iобозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0iозначает –2.

Комплексное число вида 0 + biназывается “чисто мнимым”. Запись biобозначает то же, что 0 + bi. Два комплексных a+ bi, a’ + b’iсчитаются равными, если уних соответственно равны абсциссы иординаты, т. е. Если a= a’, b= b’. В противном случаекомплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать,скажем, такое равенство:

2 + 5i= 8 +2i, то по правилам алгебры мы имели бы i= 2, тогда как iне должно батьдействительным числом.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел

<img src="/cache/referats/12808/image052.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1033"> Действительные числа можно изобразить точкамипрямой линии, как показано на рис.2, где точка Kизображает число 5. Эточисло можно изобразить также отрезком ОK, учитывая не только его длину, но инаправление.

Каждая точка С “числовой прямой” изображаетнекоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОС соизмерим с единицейдлины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на “числовой прямой”не остаётся места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изобразить на“числовой прямой”. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную системукоординат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a+ biмы изображаемточкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, аордината у равна ординате bкомплексного числа.

<img src="/cache/referats/12808/image054.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">Примеры. На рис. 2 точка А сабсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. ТочкаВ (-4,-5) изображает комплексное число –4 — 5i.

Действительные числа (вкомплексной форме они имеют вид a+ 0i) изображают точками оси OХ, а чистомнимые – точками оси OУ.

Примеры. Точка К на рис. 2 изображает действительноечисло 5, точка L– чисто мнимое число 3i. Начало координатизображает число 0.

Сопряжённые комплексные числа изображаются паройточек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А’ на рис. 2 изображаютсопряжённые числа 3 +5i и 3-5i.

Комплексные можно изображать также отрезками,начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости.Так, комплексное число a+ biможно изобразить не толькоточкой M (рис. 1), но также вектором ОM.

Замечание. Давая какому –либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значениеимеет не только длина, но и направление отрезка.

Геометрическое истолкованиекомплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функциейкомплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексныечисла полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которыеизображаются векторами <img src="/cache/referats/12808/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

3. Тригонометрическая формакомплексного числа.

Абсцисса а и ордината bкомплексного числа a+ biвыражаются через модуль r и аргумент q. Формулами

a =r cos q , r=a/cos q

b = r sin q, r=b/sin q

r–длина вектора (a+bi), q– угол, который он образуетс положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).

Поэтому всякое комплексное число можно представитьв виде r(cosq+ isinq), где r> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cosq+ r*sinq

Это выражение называется нормальнойтригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексногочисла.

Действия с комплексными числами

1. Сложение комплексных чисел

Определение: Суммой комплексных чисел a+ biи a’ + b’iназываюткомплексное число (a+ a’) + (b+ b’)i.

Это определение подсказывается правиламидействий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) +(4 – 8i) = 1 — 3i

Пример2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i.Так как запись 2 + 0iозначаетто же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой(2 + 7=9).

Пример3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример4. (-2 + 3i) + ( — 2 – 3i) = — 4

В примере 4 сумма двух комплексных чиселравна действительному числу. Два комплексных числа a+biи a-biназываются сопряженными.Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Для комплексных чисел справедливыпереместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует изтого, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительныхчастей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

2. Вычитание комплексныхчисел.

Определение.Разностью комплексных чиселa+ bi(уменьшаемое) и a’ + b’i(вычитаемое) называетсякомплексное число (a– a’) + (b– b’)i.

Пример1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

3. Умножение комплексныхчисел.

Определение. Произведением комплексных чисел a+ biи a’ + b’iназываетсякомплексное число

(aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.

Замечание.На практике нет нуждыпользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, какдвучлены, а затем положить, что i2= -1.

Пример1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i2 = 3 – 6i + 2i + 4= 7 – 4i.

Пример2. (a + bi)(a – bi) = a2+ b2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженныхкомплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Для умножения комплексныхчисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а такжераспределительный закон умножения по отношению к сложению.

4. Деление комплексныхчисел.

В соответствии с определением делениядействительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексноечисло a+ biна комплексное число a’ + b’i– значит найти такое число x+ yi,которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деленияполучим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этойдроби на число, сопряженное со знаменателем:(a+ bi):(c+ di)=<img src="/cache/referats/12808/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 – 4i)/(3+ 2i), расширяем её на число 3 – 2i,сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 – 4i)(3 — 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

Пример 1 предыдущего пунктадаёт проверку.

Пример2.(-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25= -0,56 – 0.92i.

Чтобы доказать, что праваячасть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’.Получим a+ bi.

Решениеуравнений с комплексными переменными

Рассмотримсначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а — заданное число, z — неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z= 0, если а = 0;

2) имеет два действительных корня z1,2 = <img src="/cache/referats/12808/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1052">,если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

Намножестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корниуравнения z2 = a, если:

1) а = -1; 2)а = -25; 3) а = -3.

1) z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можнозаписать в виде z2 = i2, или z2 — i2 = 0. Отсюда, раскладываялевую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2=<img src="/cache/referats/12808/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1053">i.

2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1, преобразуем этоуравнение:

z2= (-1)25,

z2= i2 52, z2 — 52 i2=0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 =5i, z2 = -5i.Ответ:

z 1,2= <img src="/cache/referats/12808/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

3) z2= -3, z2 = i2(<img src="/cache/referats/12808/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1055">2, z2 — (<img src="/cache/referats/12808/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1056">2i2 = 0, (z -<img src="/cache/referats/12808/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> <img src="/cache/referats/12808/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1058">

Ответ: z1,2 = <img src="/cache/referats/12808/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1059">.

Вообщеуравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z1,2=<img src="/cache/referats/12808/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1060">i.

Используяравенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чиселпринято записывать так: <img src="/cache/referats/12808/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1061">i, <img src="/cache/referats/12808/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1062">i, <img src="/cache/referats/12808/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1063">i<img src="/cache/referats/12808/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1064">

Итак, <img src="/cache/referats/12808/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> определен для любогодействительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любоеквадратное уравнение az2 + bz+ c= 0, где а, b, с — действительные числа, а <img src="/cache/referats/12808/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> 0,имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Z1,2 = <img src="/cache/referats/12808/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> .

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = <img src="/cache/referats/12808/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><img src="/cache/referats/12808/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> = 2 <img src="/cache/referats/12808/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1070">i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3iи z2=2-3i. Найдем сумму ипроизведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4 — это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположнымзнаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теоремаВиета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 — корни уравнения az2+bz+c= 0, z1+z2 = <img src="/cache/referats/12808/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> z1z2 = <img src="/cache/referats/12808/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1072">

Задача 3. Составить приведенноеквадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2уравнения является числом,сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z2-2z+5=0.

Приложение.

В качестве приложения яхочу рассмотреть формулу (иногда в литературе она имеет название теоремы)Муавра. Она имеет большое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать синусы и косинусы углов (n*x), где n– любое целое число, через простые функции sinx и cosx.

Формула: <img src="/cache/referats/12808/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1073">

где i– мнимая часть комплексного числа, i2= -1

Пример:

cos3q+ i*sin3q =(cosq + i*sinq)3= cos3 q + 3i cos2 q * sinq + 3i2 *cosq * sin2 q + i3sin3 q = cos3 q — 3cosq *sin2 q+ i*(3cos2 q * sinq — sin3 q)

Приравнивая абсциссы и ординаты, получаем:

cos3q= cos3 q — 3cosq *sin2 q

sin3q= 3cos2 q * sinq — sin3 q

Таким же образом можно значительно упростить sin4x, cos4x(sin5x, cos5xи т.д.) до выражений, содержащих sinxи cosx

Заключение *

Комплексныечисла, несмотря на их “лживость” и недействительность,имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только вматематике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее времякомплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной икосмической индустрии.

Именнопоэтому нам расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах иособенностях. Основные элементы учения о комплексных числах рассмотрены мною вданном реферате.

* примечание:

комплексные числа не входят в базовую школьнуюпрограмму алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарнойматематики.

Список литературы.

А.П. Савин“Энциклопедический словарь юного математика”

М.Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”

И.С. Петраков“Математические кружки в 8-10 классах”

М.И. Сканави “Сборник задачпо математике (геометрия)”

www.ronl.ru

Реферат: Комплексные числа. Реферат по комплексным числам