Роль простых чисел в математике. Реферат на тему простые числа

Простые числа и их свойства, Высшая математика

Курсовая работа по предмету: Высшая математика (Пример)

Оглавление

Введение

1. Основные теоретические факты о простых числах

1.1. Основные теоремы о простых числах

1.2. История простых чисел

1.3. Роль простых чисел в математике

1.4. Дружественные числа

1.5. Проблема Гольдбаха

2. Задачи на простые числа

2.1. Алгоритм поиска простых чисел

2.2. Задача 1

2.3. Задача 2

2.4. Задача 3

2.5. Задача 4

Заключение

Список литературы

Содержание

Выдержка из текста

В 1747—1750 гг. Леонард Эйлер провел уникальные числовые раскопки. Он придумал оригинальные методы поиска и обнаружил сразу

6. новую пару дружественных чисел. Примечательно, что среди них оказались и не четные числа: 69 615 и 11 498 355; 87 633 и 12 024 045. Сейчас известно около 1100 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866 г. итальянский школьник Н. Паганини (однофамилец известного скрипача) нашел пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающееся математики, проглядели! Вот пары дружественных чисел в пределе 100 000: 220 — 2 841 184 — 12 102 620 — 29 245 020 — 55 646 232 — 636 810 744 — 1 085 612 285 — 1 459 517 296 — 1 841 663 020 — 7 608 466 928 — 6 699 267 095 — 7 114 569 615 — 8 763 379 750 — 88 730Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные пары, у которых одно число четное, а другое не четное? Существует общая формула, описывающая все дружественные пары? На эти и другие вопросы ответы пока не найдены. Из опыта вычисления люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел.

Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Пусть их было бы хоть миллион — все равно мы знали бы, что, перемножая эти простые числа, можем получить все остальные. Но это оказалось не так. Через два столетия после Пифагора греческий геометр Евклид написал книгу «Начала». И одними из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует. Простые числа в натуральном ряде чисел, расположены очень причудливо. Иногда между ними есть только одно четное число (все простые числа, кроме числа

2. нечетные).

Такими близнецами так их зовут в науке, являются: 11 и 13, 17 и 19, 29 и

31. До сих пор не известно, есть ли самые большие близнецы или нет. А иногда между соседними простыми числами лежит пропасть в миллионы и миллиарды чисел. Первым глубокие результаты о том, как разбросаны простые числа среди остальных натуральных чисел, получил великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев, основатель и руководитель русских математических исследований в прошлом веке.1.5. Проблема ГольдбахаИз простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простые числа? Конечно, если брать сколько угодно слагаемых, то можно получить любое число: четные числа получаются путем сложения двоек, а не четные путем сложения одной тройки и нескольких двоек. Но живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно.

Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения для двухзначных чисел (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом): 4=1+3, 6=1+5, 8=1+7, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,16=3+13, 18=5+13, 20=3+17, 22=11+11, 24=11+13,26=13+13, 28=23+5, 30=23+7, 32=19+13, 34=17+17,36=17+19, 38=19+19, 40=37+3, 42=37+5, 44=37+7,46=23+23, 48=47+1, 50=47+3, 52=47+5, 54=47+7,56=53+3, 58=53+5, 60=53+7, 62=31+31, 64=61+3,66=61+5, 68=61+7, 70=67+3, 72=67+5, 74=37+37,76=73+3, 78=73+5, 80=73+7, 82=41+41, 84=41=43,86=43+43, 88=87+1, 90=87+3, 92=87+5,94=87+7,96=89+7, 98=97+1.О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику XVIII века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. По этому вычисления Эйлера давали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели. Двести лет математики размышляли над проблемой Гольдбаха. И только советскому ученому Ивану Матвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико. По этому пока что, к сожалению, нет надежды даже с помощью самых лучших ЭВМ проверить, верно ли это утверждение для всех остальных чисел.

2. Задачи на простые числа 2.1. Алгоритм поиска простых чиселДля нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:1) Выписать подряд все целые числа от 2 до n (2,3,4…, n)2) Пусть переменная p изначально равна 2-первому простому числу.3) Вычеркнуть из списка все числа от

2. до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p, 3p, 4p,… .)4) Найти первое невычеркнутое число, большее, чем р, и присвоить значению переменной p это число.5) Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока p не станет больше, чем n.6) Все невычеркнутые числа в списке — простые числа. На практике, алгоритм можно немного улучшить следующим образом. На шаге № 3, числа можно вычеркивать, начиная сразу с числа p

2. потому что все составные числа меньше его уже будут вычеркнуты к этому времени. И, соответственно, останавливать алгоритм можно, когда p 2 станет больше, чем n.2.2. Задача

1 Последовательность an определена рекурсивно: a 1 = 2, an+1 = - an +

1 Доказать, что ai и ajявляются взаимно простыми.Доказательство. Можно доказать, что an+1 = a 1a 2… an +

1. Из теоремы Евклида следует, что ai и aj являются взаимно простыми.2.3. Задача

2 Числа Ферма Fn (n >

0. имеют вид: Fn = Доказать, что Fi и Fj, = являются взаимно простыми.Доказательство. Для чисел Ферма имеет место соотношение: Fn+1 = F0F1F2… Fn +

2. Из теоремы Евклида следует, что Fi и Fj являются взаимно простыми.2.4. Задача

3 Не используя таблицу простых чисел, покажите, что 1997 — простое число. Простых чисел существует бесконечно много. Действительно, предполагая противное, то есть числа для некоторого натурального n являются всеми простыми числами, тогда согласно основной теореме арифметики число должно делиться на какое-то простое число p, которое в силу предположения будет одним из чисел. Откуда должно делиться на p, что невозможно. Противоречие и означает, что множество простых чисел бесконечно (это доказательство принадлежит Евклиду).

Особую трудность представляют задачи, в которых требуется найти простые числа заданного вида. Оказывается, что существует бесконечно много простых чисел вида а+bxn, где a и b — фиксированные взаимно простые натуральные числа, а n — произвольное натуральное число (теорема Дирихле).

Например, при натуральных числах n существует бесконечно много простых чисел вида 1996+1997xn. До сих пор неизвестно: является ли множество натуральных чисел вида (числа Ферма) или вида (числа Мерсенна) конечными или нет?2.5. Задача 4 а) Найдите все простые числа p, чтобы p-28 и p+40 тоже были простыми. б) Докажите, что остаток при делении любого простого числа на

3. не является составным числом.Решение. а) Так как и, то числа, p и p+40 имеют разные остатки при делении на

3. Поэтому, хотя бы одно из них делится на 3 и в силу простоты равно

3. Так как — наименьшее из них, то =3 и тогда p=31 и p+40=71 тоже простые числа. Ответ: p=31.б) Для простого p имеем p=30q+r, где q — частное при делении на 30, а r — остаток, т. е. r<

30. Если r — составное число, то легко проверить, что d=НОД (r;30)¹

1. Поэтому d делит нацело 30xq+r, равное p. Но p — простое и d¹

1. откуда d=p и p½r. В силу имеем r=p. Это противоречит предположению, что r — составное число. ЗаключениеПростые числа — это ключ к разрешению многих математических проблем, они также играют большую роль в криптографии (шифровании), благодаря чему интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку. Простое число — то, которое делится без остатка только на единицу и на само себя. Так, к простым числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее по возрастающей. Первым проблему определения простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен примерно в

22. году до нашей эры, предложив один из путей определения простых чисел. С тех пор ученые постепенно продвигались вперед, а в последние десятилетия им на помощь в проверке делимости огромных чисел пришли компьютеры. Математики, а позже и специалисты по компьютерному программированию разработали много способов решения этой проблемы, однако все они несут небольшую потенциальную возможность ошибки. В данной работе рассмотрены вопросы: История возникновения простых чисел. Рассмотрен алгоритм нахождения простых чисел. Названы имена ученых, которые занимались изучениям простых чисел. А также подобраны задачи на простые числа. Список литературыАлгебраическая теория чисел: Г. Вейль — Санкт-Петербург, КомКнига, 2007 г.- 226 с. Высшая математика: В. С. Шипачев — Москва, Высшая школа, 2007 г.- 479 с. Геометрия чисел: П.

М. Грубер, К. Г. Леккеркеркер — Санкт-Петербург, Наука, 2008 г.- 728 с. Новые методики решения задач о числах. Закон распределения простых и составных чисел. Представление четных чисел суммой и разностью двух простых чисел (доказательство): П. М. Орлов — Москва, Либроком, 2011 г.- 48 с. Обобщения чисел: Л. С. Понтрягин — Москва, Едиториал УРСС, 2010 г.- 224 с. Распределение простых чисел: А. Э. Ингам — Москва, Либроком, 2009 г.- 162 с. Странности цифр и чисел. Занимательная информация: Тим Глинн-Джонс — Москва, Рипол Классик, 2009 г.- 208 с. Трансцендентные и алгебраические числа: А. О. Гельфонд — Москва, КомКнига, 2006 г.- 224 с. Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел: Г. Н. Берман — Санкт-Петербург, ЛКИ, 2007 г.- 170 с. Числовое поле. Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного: В. И. Елисеев — Москва, Москва, 2007 г.- 318 с. Чудеса и тайны в мире чисел: А. П. Ковалев — Санкт-Петербург, Гегемон, 2010 г.- 158 с.

Список литературы

1.Алгебраическая теория чисел: Г. Вейль — Санкт-Петербург, КомКнига, 2007 г.- 226 с.

2.Высшая математика: В. С. Шипачев — Москва, Высшая школа, 2007 г.- 479 с.

3.Геометрия чисел: П. М. Грубер, К. Г. Леккеркеркер — Санкт-Петербург, Наука, 2008 г.- 728 с.

4.Новые методики решения задач о числах. Закон распределения простых и составных чисел. Представление четных чисел суммой и разностью двух простых чисел (доказательство): П. М. Орлов — Москва, Либроком, 2011 г.- 48 с.

5.Обобщения чисел: Л. С. Понтрягин — Москва, Едиториал УРСС, 2010 г.- 224 с.

6.Распределение простых чисел: А. Э. Ингам — Москва, Либроком, 2009 г.- 162 с.

7.Странности цифр и чисел. Занимательная информация: Тим Глинн-Джонс — Москва, Рипол Классик, 2009 г.- 208 с.

8.Трансцендентные и алгебраические числа: А. О. Гельфонд — Москва, КомКнига, 2006 г.- 224 с.

9.Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел: Г. Н. Берман — Санкт-Петербург, ЛКИ, 2007 г.- 170 с.

10.Числовое поле. Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного: В. И. Елисеев — Москва, Москва, 2007 г.- 318 с.

11.Чудеса и тайны в мире чисел: А. П. Ковалев — Санкт-Петербург, Гегемон, 2010 г.- 158 с.

список литературы

referatbooks.ru

Роль простых чисел в математике

ВВЕДЕНИЕ

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Среди натурального ряда выделяют простые числа.

В данной работе поставленная цель:

доказать, что простые числа играют большую роль в математике.

Задачи для этой работы следующие:

Показать способы нахождения простых чисел.
Назвать имена математиков, связанных с историей открытия простых чисел.
Составить задачи с использованием простых чисел.

РОЛЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В МАТЕМАТИКЕ

Каждое натуральное число, больше единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно на целое не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие- то целые делители, то составным. Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена. Старинный способ, придуманный еще в 3 в. До н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберем в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим не зачеркнутым числом будет 3. Возьмем в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3,зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и другие. Следующее наименьшее не зачеркнутое число-это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5, зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, мы в конце концов добьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа- они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА. Можно ли, повторять поэту, сказать, что простых чисел столько, “ сколько звезд на небе, сколько рыб в воде”? Ответ находим в девятой книге знаменитого сочинения Евклида” Начала”- нетленного памятника Древнего мира. Двадцатая теорема в этой книге утверждает: ”Первых (простых) чисел существует больше любого указанного числа их”.

Вот доказательство этой теоремы. Предположим, что существует некое наибольшее простое число P. Тогда перемножим все простые числа, начиная с 2 и кончая P, и увеличим полученное произведение на единицу: 2 3 5 7*… P + 1 = M. Если число М составное, то оно должно иметь по крайней мере один простой делитель. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, …, Р, поскольку при делении М на каждое из них получаем в остатке 1. Следовательно, число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р. Значит, предположение, что существует наибольшее простое число Р, наверно и множество простых чисел бесконечно.

Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника-компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена.

Первую известную нам таблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро Антонио Катальди в 1603 г. Она захватывала все простые числа от 2 до 743

В 1770 г. Немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел, не превосходящих 102000 и не делящихся на 2, 3, 5. Вложив в этот труд поистине колоссальные усилия, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто доведет таблицу делителей до миллиона. На его призыв откликнулись многие вычислители.

К середине 19 века уже были составлены таблицы наименьших делителей не только первого миллиона, но и следующих, в плоть до 9. В это же время в прессе появились сообщения, которые представлялись абсолютно фантастическими: в Венскую академию поступило 7 больших томов рукописных таблиц “Великий канон делителей всех чисел, которые не делятся на 2, 3 и 5, и простых чисел между ними до 100330201”. Автором этого труда был Якуб Филипп Кулик, профессор высшей математики Пражского университета.

В дальнейшем поиске простых чисел уже не носили характера массовой охоты, с которой можно сравнить составление таблиц, а превратились в целенаправленный отбор отдельных представителей. У охотников за числами больше всего популярны простые числа Марсена. Они названы в честь французского ученого Марена Марсенна, Сыгравшего в 18в. Видную роль в становлении европейской науки.

Некоторые представления о распределения простых чисел имели уже древние греки. Из доказательства Евклида следует, например, что они не собраны вместе, а разбросаны по всей числовой оси. Но как часто?

В 1845 г французский математик Жозеф Бертан, исследуя таблицу простых чисел в промежутке от 1 до 6000000, обнаружил, что между числами n и n2 – 2, где n > 3, содержится по крайней мере одно простое число. В последствии это свойство получило название постулата Бертрана, хотя самому Бертану обосновать его так и не удалось. Доказал его в 1852 г русский математик Пафнутий Львович Чебышев. Из результата Чебышева следовала и более точная оценка. Таким образом, даже среди очень больших чисел простые числа не так уж редки.

С другой стороны, существуют промежутки, включающие тысячи, миллионы, миллиарды и вообще какое угодно большое количество подряд стоящих натуральных чисел, среди которых нельзя найти ни одного простого! В самом деле, задавшись произвольным большим натуральным числом к, построим ряд чисел к! +2, к! +3,…, к! + к (здесь к! = 1*2*3*…*к). Каждое из этих чисел составное. Например, число к! + м делится на м, поскольку к! делится на м и само м делится на м.

Простые числа, делящихся только на единицу и на самих себя(2,3,5,7,11,13,17,…), с давних времен привлекают внимание математиков. Более двух тысяч лет назад великий древнегреческий математик Евклид доказал, что ряд простых чисел бесконечен. Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Эти числа то на долго исчезают из натурального ряда, то по являются в нем часто, а иногда и по соседству: 11,13,;5971847,5971849.

Профессор И.К. Андронов в книге <<Арифметика натуральных чисел>> приводит рассказ о воображаемом путешествии по бесконечной дороге простых чисел:<<Мысленно возьмем прямо линейный провод, выходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее за огненный шар Солнце, в мировую бесконечность.

Мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с ближней:1,2,3,…,1 000,…,1 000 000,…, включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами, и полетим вблизи провода>>.

Вместе с автором этой книги мы начинаем движение с первой электрической лампочки, которая не осветила нам старта; она не горит, так как ее номер (единица) не является простым числом. Сразу за ней две лампочки с номерами 2 и 3 включены, эти числа простые . Оставим позади горящие лампочки 5 и 7. Они пронумерованы простыми числами. На нашем длинном пути очень редко будут попадаться числа-близнецы. Вот промелькнули следующие числа-близнецы: 11 и 13, 17 и 19. Мы быстро набираем скорость; оставляя позади лампочки 101 и 103, 827 и 829; теперь реже и реже встречаются освещенные островки из лампочек, пронумерованы простыми числами-близнецами. Вот на фоне темноты и мрака засверкали лампочки с номерами 10 016 957 и 10 016 959; это последняя пара известных простых чисел-близнецов. Возможно, где то в бесконечных просторах обрадуют наш взор еще пара светящихся лампочек, или такие близнецы исчезнут на всегда. Нам встречаются участки, довольно часто освещаемые лампочками, но чаще путь проходит в темноте. Из первого миллиона промелькнуло всего 78 498 горящих лампочек, 921 502 не горели.

Однако мы только начали движение, они еще встретятся, но в какой миг? Закономерности нет.

Как и пространство, множество простых чисел бесконечно. Бесконечный ряд чисел, который мы в результате счета предметов, называется НАТУРАЛЬНЫМ РЯДОМ ЧИСЕЛ: 1,2,3,4,5,… . Среди натурального ряда чисел мы выделяем простые числа. Простыми числами называются такие, которые делятся на 1 и на самих себя. Наименьшее простое число2.

www.coolreferat.com

Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Простые числа»

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 27

с углубленным изучением отдельных предметов

эстетической направленности»

Реферат

по дисциплине «Математика»

на тему: «Простые числа»Выполнил:

ученик 6в класса

МОУ СОШ № 27

Маслов Фёдор

Руководитель:

Иванова О.В.

учитель математики,

учитель высшей категорииТверь

2013

1.Введение

Изучая на уроках математики тему «Простые числа», я узнал из учебника и от учителя много интересных фактов по этой теме и мне захотелось познакомиться с этой темой более подробно.

Используя книги, журналы «Квант» и ресурсы Интернета, я узнал многое из истории простых чисел, об ученых-математиках, которые внесли свой вклад в развитие этой теме. Это отражено в семи параграфах моего реферата. Конечно, развитие электронно-вычислительной техники вносит много нового в данные исследования, т.к. в настоящее время можно быстро производить вычисления, на которые раньше математики тратили годы. Но меня также заинтересовало составление компьютерных программ для поиска простых чисел, но это планирую сделать в следующей своей работе.Ни одному другому разделу теории чисел не свойственно столько загадочности и изящества, как разделу, занимающемуся изучением простых чисел - непокорных упрямцев, упорно не желающих делиться ни на какие числа, кроме единицы и самих себя. Некоторые задачи, относящиеся к теории распределения простых чисел, формулируются настолько просто, что понять их может и ребёнок. Тем не менее они настолько глубоки и далеки от своего решения, что многие математики считают их вообще не разрешимыми. [2]

2. Основная часть.

§1.Определение и свойства простого числа.

Простым числом называется такое натуральное число, которое не имеет никаких делителей, кроме самого себя и единицы.
Натуральные числа, имеющие, кроме самого себя и единицы, еще какие-нибудь делители, называются составными.
Единица не относится ни к простым, ни к составным числам. Это единственное натуральное число, которое имеет только один делитель.

Примеры: 2, 3, 5, 7, 23 и т.п. – простые числа;

9, 18, 64, 125 и т.п. – составные числа.

Теорема о свойстве любого натурального числа.

Всякое натуральное число, кроме единицы, имеет по крайней мере один простой делитель.

§2.Теорема Евклида о бесконечности ряда простых чисел.

Ряд простых чисел бесконечен.

Д а н о : 2, 3, 5, 7, 11, … , К – простые числа.

Д о к а з а т ь : существует простое число, большее простого числа К.

Составляя произведение всех простых чисел от 2 до К включительно, получим: 2*3*5*7*11*13*…*К = Р.
Прибавляя к произведению Р единицу, получим число Р+1.
Если полученное число Р+1 есть простое, то теорема доказана, так как Р+1>К. Если же Р+1 есть число составное, то, по определению, оно, кроме самого себя и единицы, должно иметь еще какой-нибудь простой делитель.
Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел взятого нами в условии теоремы ряда 2, 3, 5, 7, 11, … , К, потому что число Р+1 есть сумма двух слагаемых, из которых первое Р = 2*3*5*7*11*13*…*К делится на всякое число ряда простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, … , К, а второе слагаемое – единица – не делится ни на одно из этих чисел, а поэтому и сумма Р+1 не разделится ни на один из данных простых делителей.
Таким образом, число Р+1 должно иметь некоторый простой делитель

К1 , больший К. Аналогичным рассуждением мы могли бы доказать, что и К1 не является последним простым числом. Следовательно, ряд простых чисел бесконечен.

Рассмотренная теорема была доказана впервые великим греческим математиком Евклидом (20-я теорема 9-й книги его «Начал»).

Пример.

Число Р+1, составленное указанным способом, может быть как составным, так и простым. В самом деле:

2 + 1 = 3 – число простое

2 * 3 + 1 = 7 – число простое

2 * 3 * 5 + 1 =31 – число простое

2 * 3 * 5 * 7 + 1 = 211 – число простое

2 * 3 * 5 * 7 * 11 + 1 = 2311 – число простое

2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 + 1 = 30031 = 59 * 509 – число составное

2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 + 1 = 510511 = 19 * 97 * 277 – число составное

Видно, что первые пять чисел Р+1, составленных указанным способом, числа простые, шестое и седьмое – составные.

§3.Таблицы простых чисел.

С древних времен простые числа привлекали внимание математиков.

Евклид только доказал, что простых чисел бесконечное множество, но не дал формулы составления простых чисел.

Интересный поиск в этом направлении предпринял французский ученый Марен Мерсенн (1588 – 1648). Мерсенн известен более всего как физик и философ, но и как человек, завязавший переписку и подружившийся со многими крупнейшими учеными того времени: Э.Торричелли, Б.Паскалем, Р.Декартом, П.Ферма, Х.Гюйгенсом. Мерсенн способствовал установлению контактов между учеными, обмену открытиями, постановке новых научных задач. Из ученых, группировавшихся вокруг Мерсенна в Париже, через несколько лет после его смерти образовалась Парижская Академия наук.

Мерсенн заинтересовался числами вида 2р – 1, где р – простое число. Составим таблицу таких простых чисел.[4]

Числа вида Мр = 2р – 1

р	2	3	5	7	11	13	17	19
2р	4	8	32	128	2048	8192	131072	524288
Мр	3	7	31	127	2047	8191	131071	524287

Леонарду Эйлеру удалось доказать, что М31 =231 – 1 =2147483647 есть простое число. Очень долго оно считалось самым большим из известных науке простых чисел, но в 1883 году Иван Михеевич Первушин (1827 – 1900) сумел доказать, что М61 = 261 – 1 = 2 305 843 002 913 693 951 есть простое число. Иван Михеевич Первушин по профессии не был математиком, но с детства до конца своей жизни с увлечением занимался исследованием свойств чисел.

Через 20 столетий после Евклида знаменитый французский математик П.Ферма думал, что нашел формулу, по которой всегда можно получить простое число при любом целом неотрицательном значении n. Сам Ферма нашел, что формула Fn =дает простые числа при n, равном 0, 1, 2, 3.

20 = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8

При этих значениях показателя 2n действительно получаются следующие простые числа: 3; 5; 17; 257. Основываясь на этом наблюдении (и на некоторых соображениях о свойствах простых чисел), П.Ферма высказал предположение, что формула Fn = должна давать простые числа при всяком n.

Но уже в XVIII веке великий математик Л.Эйлер, член Петербургской Академии наук, доказал, что при n=5 получается составное число 4 291 967 297, которое делится на 641. Впоследствии нашли, что предположение Ферма о том, что число Fn – простое при любом положительном n, неверно и для n, равного 6; 7; 8; 9; 11;12; 18; 23; 36; 38 и 73.

С числами Fnсвязан замечательный геометрический факт, установленный немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 – 1855). Правильный р-угольник для простого р>2 можно построить при помощи циркуля и линейки тогда и только тогда, когда р есть простое число вида Fn. Иначе говоря, треугольник с равными сторонами и углами построить с помощью циркуля и линейки можно; пятиугольник, семнадцатиугольник – тоже; даже 257 и 65 537-угольник – можно. А вот, например, семиугольник, пользуясь только этими инструментами, построить нельзя, так как Fnне равно 7 ни при каком n.

Гаусс, сделавший это открытие в девятнадцатилетнем возрасте, придавал ему настолько большое значение, что позднее завещал выгравировать правильный семнадцатиугольник на своем надгробии, хотя многие другие открытия Гаусса имеют для науки гораздо большее значение.[2]

Все другие известные в науке попытки найти формулы, которые давали бы всегда простое число, оказались также неосуществимыми. Но если не существует общей для всех простых чисел формулы, то таблицы простых чисел и до сих пор незаменимы в случаях, когда требуется определить, принадлежит ли данное число к категории простых или составных чисел.

§4. Таблица Эратосфена.

Один из самых простых вместе с тем самых древних способов составления таблицы простых чисел принадлежит другу Архимеда, александрийскому математику, астроному и географу Эратосфену (род. в 276 г. и ум. в 196 г. до н.э.). Способ, предложенный Эратосфеном, состоит в следующем: выписываются числа натурального ряда, начиная с двух: 2, 3, 4, 5,6,7, … , 1000 и вычеркиваются все составные числа. Первое число этого ряда 2, как удовлетворяющее определению простых чисел, сохраняется. Вычеркиваются же сначала все числа, которые делятся на 2, т.е. все четные числа, кроме самого числа 2. Первое невычеркнутое после двух число есть 3. Это число простое, так как оно не делится на 2 (иначе оно оказалось бы вычеркнутым), следовательно, 3 делится только на 1 и на самого себя. Далее вычеркиваются все числа, кратные 3, кроме самого числа 3. Таким образом, вычеркиваются числа, кратные 5, 7, 11, 13 и т.д., пока не будет исчерпан весь ряд. Оставшиеся вычеркнутыми числа – простые.

Этот способ составления таблицы простых чисел известен под именем «Решето Эратосфена». Такое название он получил потому, что Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех местах, где были написаны составные числа. Поэтому дощечка являлась как бы решетом, через которое «просеивались» все составные числа, а оставались только простые числа. Эратосфен дал таблицу простых чисел в пределе 1000.

После Эратосфена лишь в 1656 году появляется новая таблица простых чисел в пределе 10 000. Затем составляется ряд таблиц всё для большего и большего числа простых чисел и, наконец, американец Лемер составил таблицу простых чисел в пределах от 1 до 10 006 721 (издана в 1914 г. в Вашингтоне).[1]

§5. Расположение простых чисел в натуральном ряду.

В множестве простых чисел есть еще немало интересного. Справедлива, например, теорема: существуют сколь угодно большие промежутки натурального ряда, не содержащие простых чисел.

Из этой теоремы, да и из простых наблюдений, следует, что в натуральном ряде простые числа располагаются очень неравномерно – где-то их много, где-то их мало, кое-где и совсем нет.

Рассматривая таблицы простых чисел, мы видим, что эти числа чаще встречаются в пределах от 1 до 100; в пределах от 100 до 1 000 они появляются реже, и чем дальше, тем все реже и реже встречаются простые числа.

Так, в промежутке от 1 до 100 имеем 25 простых чисел; в промежутке от 1 до 1 000 – 168; в промежутке от 1 до 1 000 000 – 78 439; в промежутке от 1 до 2 000 000 – 148 932. Количество простых чисел, взятых в пределе 100, 1 000 и других промежутков натурального ряда, называется абсолютной плотностью простых чисел.[5]

От деления абсолютной плотности на промежуток получается относительная плотность простых чисел, которая выражается в следующих процентах: от 1 до 100 – 25%, от 1 до 1 000 – 16,8%, от 1 до 1 000 000 – 7,84% и т.д. Расположение простых чисел в натуральном ряду не отличается закономерностью.

Вопросом о том, как найти точный закон, по которому убывает плотность простых чисел, много занимался знаменитый русский математик Пафнутий Львович Чебышёв (1821 -1894 г.).

§6. Проблема Гольдбаха.

Член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к знаменитому математику Эйлеру выдвинул предположение, что всякое четное число, большее 4, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел или в виде суммы единицы и простого числа. В своем ответном письме Эйлер пишет: «Что каждое четное число есть сумма двух простых чисел, я считаю совершенно справедливой теоремой, несмотря на то что я ее доказать не могу». В течение двухсот лет проблема Гольдбаха оставалась неразрешенной.

В 1937 году академик Иван Матвеевич Виноградов доказал, что всякое нечетное число, большее некоторой постоянной величины, есть сумма трех простых чисел.

Что же касается четных чисел, то из работы академика Виноградова следует, что они, начиная с некоторого числа, являются суммами четырех простых чисел. Однако полного решения проблема Гольдбаха все еще не получила.[1]

§7 .«Решето» Матиясевича — Стечкина.

Оказывается, у всем известной параболы y=x2 есть еще необщеизвестные свойства, да еще и теоретико-числовые.

Возьмем положительные числа a и b и отметим на оси Ох точки –а и b. Поднявшись на параболу, получим точки с координатами (-a; a2)и (b;b2 ). Соединим точки, отмеченные на параболе, отрезком. Как первым отметил Август Мёбиус (1790-1868), ордината точки пересечения равна произведению ab. [6]

Если рассмотреть всевозможные натуральные числа a и b, начиная с двойки, то отрезки, соединяющие соответствующие точки на параболе, проходят через все составные числа на оси. Точки оси, имеющие простую координату, не пересекает ни один отрезок.

Такая интерпретация – параболическое решето – была отмечена

Ю.В. Матиясевичем и Б.С.Стечкиным.[6]

3. Заключение

Простые числа составляют мультипликативный базис множества N, т.е. любое натуральное число а может быть представлено в виде произведения

a = р1 е . р2 е . р3 е . … . рne, где р - различные простые числа и е – натуральные показатели степеней.

Это утверждение называется основной теоремой арифметики.[4]

Возможно, из всех занимательных задач в теории чисел самая популярная - это поиск простых чисел. Подобно золотым самородкам, они скрываются в "породе" остальных чисел.

Неслучайно так много математиков разных времен и народов занимались простыми числами. А в настоящее время к этой теме привлечены и ЭВМ: как для вычислений с большими числами, так и составление программ на разных языках программирования для поиска простых чисел. Их изучению я посвящу свою следующую работу.

4.Библиография:

Гальперин Г. Просто о простых числах. - ж.Квант №4, 1987
ГарднерМ. “Математические досуги" -М.Мир, 1972 стр. 410
Колмогоров А.Н. Решето Эратосфена - ж.Квант,№3 ,1984
Тудинов Б.А. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. - М.: Просвещение,1990.
Чекмарев Я.Ф. Арифметика. – М.: Учпедгиз, 1948.
Математические этюды http://www.etudes.ru/ru/sketches/

100-bal.ru