Круговое движение. Реферат по движение по окружности

Реферат Движение по окружности

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Формулы для равномерного кругового движения
2 Постоянная скорость
3 Переменная скорость
4 Описание кругового движения в полярных координатах
5 Описание кругового движения в комплексных числах

Введение

О разновидности перекрёстков: см. Круговой перекрёсток.

В физике кругово́е движе́ние — это вращение по кругу, т. е. это круговой путь по круговой орбите. Оно может быть равномерным (с постоянной угловой скоростью) или неравномерным (с переменной угловой скоростью). Вращение трёхмерного тела вокруг неподвижной оси включает в себя круговое движение каждой его части. Мы можем говорить о круговом движении объекта только если можем пренебречь его размерами, так что мы имеем движение массивной точки на плоскости. Например, центр масс тела может совершать круговое движение.

Примеры кругового движения: искусственный спутник на геосинхронной орбите, камень на верёвке, вращающийся по кругу (см. метание молота), болид, совершающий поворот, электрон, движущийся перпендикулярно постоянному магнитному полю, зубчатое колесо, вращающееся внутри механизма.

Круговое движение является ускоренным, даже если происходит с постоянной угловой скоростью, потому что вектор скорости объекта постоянно меняет направление. Такое изменение направления скорости вызывает ускорение движущегося объекта центростремительной силой, которая толкает движущийся объект по направлению к центру круговой орбиты. Без этого ускорения объект будет двигаться прямолинейно в соответствии с законами Ньютона.

1. Формулы для равномерного кругового движения

Рис. 1: Взаимосвязи векторов равномерного кругового движения; вектор Ω, представляющий вращение, перпендикулярен к плоскости орбиты.

Для движения по кругу радиуса R длина окружности будет C = 2π R. Если период вращения есть T, то угловая скорость вращения ω будет равна:

$\omega = \frac {2 \pi}{T} \ .$

Скорость движения объекта равна

$v\, = \frac {2 \pi R } {T} = \omega R$

Угол поворота θ за время t равен:

$\theta = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t\,$

Ускорение, вызванное изменением направления скорости, можно найти, если заметить, что скорость совершает полное изменение направление за то же самое время T, за которое объект делает один оборот. Тогда вектор скорости проходит путь длиной 2π v каждые T секунд, или:

$a\, = \frac {2 \pi v }{T} = \omega^2 \ R \ ,$

и направлено радиально к центру.

Взаимосвязи векторов показаны на рис. 1. Ось вращения изображена вектором Ω, перпендикулярно плоскости орбиты и имеет величину ω = dθ / dt. Направление вектора Ω выбрано в соответствии с правилом правой руки. По этому соглашению скорость это векторное произведение вида:

$\mathbf{v} = \boldsymbol \Omega \times \mathbf r \ ,$

и есть вектор, перпендикулярный как Ω так и r ( t ), направленный по касательной к орбите и имеющий величину ω R. Аналогично, ускорение определяется как:

$\mathbf{a} = \boldsymbol \Omega \times \mathbf v \ ,$

Оно представляет собой вектор, перпендикулярный как Ω так и v ( t ), имеющий величину ω |v| = ω2R и направление строго противоположно к r ( t ).

2. Постоянная скорость

В простейшем случае скорость, масса и радиус являются постоянными.

Рассмотрим тело массой один килограмм, движущееся по кругу радиуса один метр с угловой скоростью один радиан в секунду.

Скорость: один метр в секунду
Радиальное ускорение: один метр в секунду за секунду.
Ускорение сообщается центростремителной силой один килограмм на метр в секунду за секунду, т. е. один ньютон.
Импульс тела: один kg·m·s−1.
Момент инерции: один kg·m2.
Момент импульса: один kg·m2·s−1.
Кинетическая энергия: 1/2 джоуля.
Длина окружности орбиты: 2π (~ 6.283) метров.
Период движения: 2π секунд на один оборот.
Частота: (2π)−1 герц.
С точки зрения квантовой механики система находится в возбужденном состоянии с квантовым числом ~ 9.48×1035.

Теперь рассмотрим тело массы m, движущееся по кругу радиуса r с угловой скоростью ω.

Скорость: v = r·ω.
Радиальное ускорение: a = r·ω 2 = r −1·v 2.
Центростремительная сила: F = m·a = r·m·ω 2 = r−1·m·v 2.
Импульс тела: p = m·v = r·m·ω.
Момент инерции: I = r 2·m.
Момент импульса: L = r·m·v = r 2·m·ω = I·ω.
Кинетическая энергия: E = 2−1·m·v 2 = 2−1·r 2·m·ω 2 = (2·m)−1·p 2 = 2−1·I·ω 2 = (2·I)−1·L 2 .
Длина окружности орбиты: 2·π·r.
Период движения: T = 2·π·ω −1.
Частота: f = T −1 . (Вместо буквы f частота часто обозначается греческой буквой ν, которая, однако, часто неотличима от буквы v, используемой здесь для обозначения скорости).
Квантовое число: J = 2·π·L h−1

3. Переменная скорость

В круговом движении полную силу, приложенную к объекту, можно разложить на две составляющую: центростремительную, удерживающую тело на круговой орбите (т. е. меняющую направление вектора скорости), и тангенциальную, направленную по касательной к окружности и вызывающую изменение длины вектора скорости (т. е. меняющую скорость вращения тела по орбите). Величина центростремительной составляющей зависит от мгновенной скорости.

Для примера, когда камень привязан к концу верёвки, он подвергается воздействию силы, мы можем разложить силу на радиальную и боковую составляющие. Радиальная направлена к центру (вовнутрь) окружности и вызвана тем, что веревка сопротивляется удлинению. А боковая составляющая определяет - будет вращение камня ускорятся или замедлятся.

4. Описание кругового движения в полярных координатах

Траектория кругового движения тела может быть описана в полярной системе координат значениями фиксированного расстояние R от центра орбиты, являющейся точкой отсчёта, и угла ориентации θ (t) от некоторого фиксированного направления (рис. 2). Вектор перемещения $\stackrel{\vec r}{}$ является радиальным вектором от полюса до текущего положения:

$\vec r=R \hat u_R (t)\ ,$

где $\hat u_R (t)$ — единичный вектор, параллельный радиусу в момент t и направленный от полюса. Удобно также ввести единичный векторортогональный к $\hat u_R$ , который назовём $\hat u_\theta$ . Обычно его ориентация выбирается по направлению движения вдоль орбиты.

Скорость является производной перемещения по времени:

$\vec v = \frac {d}{dt} \vec r(t) = \frac {d R}{dt} \hat u_R + R\frac {d \hat u_R } {dt} \ .$

Поскольку радиус окружности является константой, радиальная составляющая скорости равна нулю. Единичный вектор $\hat u_R$ имеет инвариантное по времени значение, так что при изменении времени его конец всегда лежит на окружности единичного радиуса, а угол θ такой же, как у $\vec r (t)$ . Если произошло малое приращение угла dθ за время dt, тогда $\hat u_R$ описывает дугу единичной окружности со значением dθ (см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно:

$\frac {d \hat u_R } {dt} = \frac {d \theta } {dt} \hat u_\theta \ ,$

где направление изменения должно быть перпендикулярно к $\hat u_R$ (или, другими словами, вдоль $\hat u_\theta$ ), поскольку любое изменение d $\hat u_R$ в направлении $\hat u_R$ будет изменять величину $\hat u_R$ . Знак положительный, потому что увеличение dθ влияет на объект и $\hat u_R$ передвигается в направлении $\hat u_\theta$ . Следовательно, скорость становится:

$\vec v = \frac {d}{dt} \vec r(t) = R\frac {d \hat u_R } {dt} = R \frac {d \theta } {dt} \hat u_\theta \ = R \omega \hat u_\theta \ .$

Ускорение тела также можно разложить на радиальную и тангенциальную составляющие. Ускорение есть производная скорости по времени:

$\vec a = \frac {d}{dt} \vec v = \frac {d}{dt} \left(R\ \omega \ \hat u_\theta \ \right) \ .$ $=R \left( \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta + \omega \ \frac {d \hat u_\theta}{dt} \right) \ .$

Производная по времени от $\hat u_\theta$ находится таким же путём, как и для $\hat u_R$ . Опять же, $\hat u_\theta$ есть единичный вектор, и его конец расположен на единичной окружности, а угол равен π/2 + θ. Следовательно, приращение угла dθ вектора $\vec r (t)$ перемещает $\hat u_\theta$ по дуге на величину dθ, и поскольку $\hat u_\theta$ перпендикулярен к $\hat u_R$ , мы имеем:

$\frac {d \hat u_\theta } {dt} = -\frac {d \theta } {dt} \hat u_R = -\omega \hat u_R\ ,$

где отрицательный знак необходим, чтобы сохранить $\hat u_\theta$ перпендикулярным к $\hat u_R$ . (Иначе угол между $\hat u_\theta$ и $\hat u_R$ будет уменьшаться с увеличением dθ, см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно, ускорение равно:

$\vec a = R \left( \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta + \omega \ \frac {d \hat u_\theta}{dt} \right)$ $=R \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta - \omega^2 R \ \hat u_R \ .$

Центростремительное ускорение — это радиальная составляющая, направленная по радиусу вовнутрь:

$\vec a_R= -\omega ^2R \hat u_R \ ,$

тогда как тангенциальная составляющая изменяет значение скорости:

$\vec a_{\theta}= R \frac {d \omega}{dt}\ \hat u_\theta = \frac {d R \omega}{dt}\ \hat u_\theta =\frac {d |\vec v|}{dt}\ \hat u_\theta \ .$

5. Описание кругового движения в комплексных числах

Круговое движение можно описать с использованием комплексных чисел. Пусть x — ось вещественных чисел, а y — ось мнимых чисел. Тогда положение тела может быть задано в виде комплексного "вектора" z:

$z=x+iy=R(\cos \theta +i \sin \theta)=Re^{i\theta}\ ,$

где i есть мнимая единица, и

$\theta =\theta (t)\ ,$

есть угол комплексного вектора по отношению к вещественной оси как функция времени t. Поскольку радиус есть константа:

$\dot R =\ddot R =0 \ ,$

где точка означает дифференциал по времени. В этих обозначениях скорость имеет вид :

$v=\dot z = R \frac {d}{d \theta}\left( i \theta\right) e^{i \theta} = iR\dot \theta e^{i\theta} = i\omega \cdot Re^{i\theta}= i\omega z$

а ускорение:

$a=\dot v =i\dot \omega z +i \omega \dot z =(i\dot \omega -\omega^2)z$ $= \left(i\dot \omega-\omega^2 \right) R e^{i\theta}$ $=-\omega^2 R e^{i\theta} + \dot \omega e^{i\frac{\pi}{2}}R e^{i\theta} \ .$

Первое слагаемое направлено против вектора перемещения, а второе — перпендикулярно ему, как и в предыдущих результатах.

wreferat.baza-referat.ru

Движение по окружности

Количество просмотров публикации Движение по окружности - 275

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

Рисунок 1.6.1. Линейное

и угловое

перемещения при движении тела по окружности.

Угловой скоростью ω тел в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt:

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения

Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υA = υB = υ.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

Рисунок 1.6.2. Центростремительное ускорение тела

при равномерном движении по окружности.

При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим:

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. По этой причине ускорение при равномерном движении тела по окружности принято называть центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение должна быть записано в виде

где – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

В случае если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения (см. §1.1):

В этой формуле Δυτ = υ2 – υ1 – изменение модуля скорости за промежуток времени Δt.

Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Рисунок 1.6.3. Составляющие ускорения

при неравномерном движении тела по окружности.

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υx и υy (рис. 1.6.4).

При равномерном вращении тела величины x, y, υx, υy будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом

Рисунок 1.6.4. Разложение вектора скорости

по координатным осям.

Глава 1. Механика

referatwork.ru

Равномерное движение по окружности | Учеба-Легко.РФ

4.1.2. Равномерное движение по окружности

Движение, происходящее по криволинейной траектории, называют криволинейным. Частным случаем криволинейного движения является движение по окружности.

Условие, при котором движение является криволинейным

Мгновенная скорость тела в каждой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории. Следовательно, в криволинейном движении направление скорости тела непрерывно изменяется. Поскольку скорость - величина векторная, изменение направления скорости даже при неизменном модуле скорости означает, что скорость изменяется, т. е. тело движется с ускорением. Следовательно, любое криволинейное движение, и в том числе движение по окружности, является движением ускоренным.

Криволинейное движение происходит только в том случае, когда вектор ускорения в любой точке траектории составляет с вектором скорости угол, не равный нулю или p.

Движение по любой криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам окружностей различных радиусов (рис. 14). Поэтому задача определения ускорения тела при произвольном криволинейном движении сводится к нахождению ускорения при движении тела по окружности соответствующего радиуса.

Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорение

Рассмотрим движение тела (материальной точки) по окружности (рис. 15). Положение тела на окружности задается радиусом-вектором r, проведенным из ее центра. Модуль радиуса-вектора r равен радиусу r этой окружности. Пусть в момент начала отсчета времени (t=0) тело находилось в точке А, а за промежуток времени t, двигаясь по дуге окружности |AB|=s, переместилось в точку В. При этом радиус-вектор r повернулся на угол Df (углы обычно выражают в радианах) .

Радиан (сокращенно рад) - это угол между двумя радиусами круга, вырезающими на окружности дугу, длина которой равна радиусу.

Скорость тела, направленную по касательной к окружности, называют линейной. Вектор линейной скорости в точке А равен v0, а в точке В равен v.

Если за любые равные промежутки времени радиус-вектор тела поворачивается на одинаковые углы, а линейная скорость тела по модулю не изменяется (т. е. если |v0|=|v|), движение тела по окружности называют равномерным (не следует забывать, что равномерное движение по окружности происходит с ускорением, так как скорость тела непрерывно меняется по направлению). Определим направление и модуль ускорения, при котором материальная точка движется по окружности. Для этого сделаем добавочное построение на рис. 15 и проведем расчет.

Соединим точки А и В хордой АВ. Перенесем вектор скорости v из точки В (параллельно его направлению) в точку А и соединим отрезком CD точки С и D. Это направленный отрезок CD согласно правилу сложения векторов есть векторная разность векторов v и v0, т.е. приращение Dv вектора v0. Следовательно, Dv=v-v0. А по модулю | Dv|=|CD|, т. е. равен длине отрезка |CD|.

Как известно, ускорение а есть векторная величина, определяемая по формуле

a=(v-v0)/t=Dv/t. (1.21)

Очевидно, что направление вектора ускорения а при движении тела по окружности определяется направлением вектора Dv. Установим это направление. Из рис. 15 видно, что так как |v|=|v0|, то треугольник ACD равнобедренный, т. е. ^ACD=^ADC. Видно также, что ^CAD=^AOB как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, ^CAD= Df, т. е. равен углу поворота подвижного радиуса.

Будем стремить промежуток времени t к нулю. Тогда точка В начнет приближаться к точке А, а угол Df должен стремиться к нулю. Поскольку сумма углов в треугольнике равна p, это значит, что каждый из равных между собой углов при его основании (т. е. и ^ACD, и ^ADC) стремится к p/2.

Следовательно, при t=0 (т.е. в точке А) вектор приращения скорости Df направлен по радиусу к центру окружности. Поэтому и ускорение а направ-лено по радиусу к центру окружности.

Очевидно, что вместо точки А начальной точкой движения (при t=0) может являться любая точка окружности. Следовательно, при равномерном движении тела по окружности вектор ускорения в любой точке траектории направлен перпеидикулярно вектору скорости по радиусу к центру окружности. Поэтому ускорение тела в криволинейном движении называют центростремительным. Согласно формуле (1.21), модуль центростремительного ускорения

a=Dv/t. (1.22)

Поскольку DACD~DAOB, имеем

|CD|/|AD|=|AB|/|AO|.

При t~0 длина дуги АВ мало отличается от длины хорды АВ, поэтому можно считать, что

|AB|=vt. (1.24)

Так как |CD| =Dv, |AD|=v, |АО|=r, формула (1.23) с учетом (1.24) приводится к виду Dv/v=vt/r, откуда получаем

Dv/t=v2/r (1.25)

Подставив (1.5) в (1.22), находим, что

aц= v2/r,

т. е. модуль центростремительного ускорения равен отношению квадрата линейной скорости тела к радиусу окружности, по которой движется тело.

Угловая скорость. Период и частота обращения

Для описания движения материальной точки по окружности кроме линейной скорости введено понятие угловой скорости.

Угловой скоростью w называют величину, равную отношению угла поворота Df радиуса-вектора точки, движущейся по окружности к промежутку времени Dt, в течение которого произошел этот поворот:

w=Df/Dt. (1.27)

Для равномерно движущейся по окружности точки

w=f/t. (1.28)

Единица угловой скорости устанавливается из формулы (1.28). В СИ за единицу угловой скорости принята скорость такого равномерного движения точки по окружности, при котором радиус-вектор этой точки в течение 1 с поворачивается на угол 1 рад. Эту единицу угловой скорости обозначают 1 рад/с и называют радиан в секунду.

При равномерном движении тела по окружности угловая скорость есть величина постоянная w=const). Промежуток времени, в течение которого материальная точка, двигаясь по окружности, совершает один полный оборот, называют периодом обращения. Период обращения обозначают буквой Т и выражают в секундах.

Величину n, обратную периоду обращения и равную числу оборотов, совершаемых телом за единичное время, называют частотой обращения

n=1/T. (1.29)

Если t=T, угол поворота подвижного радиуса точки равен f=2p. Тогда из (1.28) и (1.29) следует, что

v=2p/Т=2pn. (1.30)

Для точки, равномерно движущейся по окружности радиуса r, линейная скорость

v=s/t, (1.31)

где s - путь, пройденный телом по дуге окружности за промежуток времени t. Угол поворота f выражают в радианах, поэтому f= s/r и

s=rf. (1.32)

Подставив (1.32) в (1.31), получим, согласно формуле (1.28),

v=wr. (1.33)

Формула (1.33) выражает связь между линейной и угловой скоростями равномерного движения по окружности. Используя формулы (1.30) и (1.33), можно записать формулу (1.26) в виде

aц=v2r (1.34)

Кинематический закон равномерного движения по окружности Из формулы (1.28) следует, что f=vt.

Так как при равномерном движении тела по окружности v=const, то из последней формулы для любого момента времени можно найти угол поворота радиуса-вектора, устанавливающего положение точки на окружности. Следовательно, с помощью формулы f=vt можно в любой момент времени найти положение материальной точки, равномерно движущейся по окружности. Это значит, что данная формула выражает собой кинематический закон такого движения (является уравнением этого движения).

uclg.ru

Криволинейное движение. Равномерное движение точки по окружности.

Криволинейное движение. При криволинейном движении вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения. Любое криволинейное движение можно представить в виде суммы прямолинейных движений и движений по окружностям разных радиусов.Скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Вектор ускорения направлен под углом к вектору скорости.

Вектор ускорения направлен под углом к вектору скорости

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ.

Равномерное движение точки по окружности - движение точки с постоянной по модулю скоростью (v=const) по траектории, представляющей собой окружность. Но, т.к. скорость всегда направлена по касательной к траектории движения, то по направлению она изменяется. Значит равномерное движение по окружности – ускоренное движение! Точка совершает перемещение с постоянной по модулю скоростью, следовательно:.

В этом случае скорость точки называется линейной скоростью (ℓ–длина дуги). Вектор линейной скорости направлен по касательной к окружности в данной точке.

Можно характеризовать изменение положения тела с помощью углового перемещения (угла поворота) φ. Возьмем несколько концентрических окружностей и построим для всех центральный угол φ так, чтобы радиусы этих окружностей, образующие угол, накладывались друг на друга. Из рисунка видно, что одному и тому же углу φ соответствуют у одной окружности дуга ℓ и радиус r, а у другой – дуга L и радиус R. За меру угла можно принять отношение длины дуги к радиусу:.

Единица измерения угла в этом случае наз. радианом(сокращение – рад).

Центральный угол равен одному радиану, если длина дуги равна радиусу окружности. Если точка совершила полный оборот, то длина дуги равна длине окружности. Следовательно: - полный оборот точки соответствует 2π радиан. Для перевода единиц составим пропорцию: . Следовательно:

Равномерное движение точки по окружности – это движение, при котором точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые угловые перемещения (поворачивается на одинаковые углы).

Если характеризовать движение углом поворота, то удобно ввести угловую скорость: - угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается точка при равномерном движении по окружности за единицу времени. Единица измерения в СИ - рад/с.

Можно сказать, что равномерным движением по окружности наз. движение с постоянной угловой скоростью. Линейная и угловая скорости связаны между собой:

, т.е.

К важным характеристикам вращательного движения относятся частота и период. Период- физическая величина, показывающая, чему равно время, за которое точка совершает один полный оборот. Если обозначить N – число оборотов, а Т – период, то: .

Единица измерения в СИ – с. Т.к. за период точка поворачивается на угол 2π, то .

Частота – количество оборотов, которое совершила точка за единицу времени: .

Единица измерения в СИ – Гц (герц). Частота равна одному герцу, если за 1 секунду точка совершает один полный оборот (1Гц=1с-1). Частота и период – взаимно обратные величины: . Следовательно: .

www.eduspb.com