"Параллелограмм и его свойства". Реферат на тему параллелограмм

Реферат Параллелограмм

Опубликовать скачать

Реферат на тему:

План:

1 Свойства
2 Признаки параллелограмма
3 Площадь параллелограмма

Введение

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

1. Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны. $\left|AB\right| = \left|CD\right|, \left|AD\right| = \left|BC\right|$ .
Противоположные углы параллелограмма равны. $\angle A = \angle C, \angle B = \angle D.$
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. $\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|$ .
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Любая диагональ делит параллелограмм на 2 равных треугольника.
Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.
Сумма всех углов равна 360°.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, d1 и d2 — длины диагоналей; тогда

Доказательства

Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника: ABD и BCD, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне BD равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB | | CD, BC | | AD, где BD - секущая. Из равенства треугольников следует: | AB | = | CD | , | AD | = | BC | и ∠A = ∠С Противоположные углы ∠B и ∠D также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.

Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠A и ∠D, дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.

По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle A.$ Поскольку $\cos\angle D = -\cos\angle A$ , то $d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\angle A.$ Складывая полученные равенства: d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в квадрат. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

2. Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

Противоположные стороны попарно равны: .
Противоположные углы попарно равны: $\angle A = \angle C, \angle B = \angle D$ .
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
Сумма соседних углов равна 180 градусов: $\angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ$ .
Противоположные стороны равны и параллельны: $AB = CD, AB \parallel CD$ .
Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон параллелограмма: AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2

3. Площадь параллелограмма

$S = a \times h$ , где a - сторона, h - высота проведенная к этой стороне. $S = a \times b \times sin \alpha$ , где a и b - стороны, а α — угол между сторонами a и b. $S = \frac{1}{2}AC \times BD \times sin AOB$ скачатьДанный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 11.07.11 17:20:17Похожие рефераты: Параллелограмм сил.

Категории: Многоугольники.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.

wreferat.baza-referat.ru

"Параллелограмм и его свойства"

Конспект урока.

Алгебра 8 класс

Учитель Сысой А.К.

Школа 1828

Тема урока: «Параллелограмм и его свойства»

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

1) Обеспечить усвоение нового понятия – параллелограмм и его свойств

2) Продолжить развитие навыков и умений решения геометрических задач;

3) Развитие культуры математической речи

План урока:

1. Организационный момент

(Слайд 1)

На слайде демонстрируется высказывание Льюиса Кэрролла. Ученикам сообщается о цели урока. Проверяется готовность учеников к уроку.

$C:\Users\A\Desktop\1.png$

2. Актуализация знаний

(Слайд 2)

На доске задачи для устной работы. Учитель предлагает ученикам подумать над этими задачами и поднять руку тем, кто понял, как задачу решать. После решения двух задач, на доказательство теоремы о сумме углов вызывается к доске ученик, который самостоятельно делает дополнительные построения на чертеже и доказывает устно теорему.

Учениками используется формула суммы углов многоугольника:

$C:\Users\A\Desktop\2.png$

3. Основная часть

(Слайд 3)

На доске определение параллелограмма. Учитель говорит о новой фигуре и формулирует определение, делая с помощью чертежа необходимые пояснения. Затем на клетчатой части презентации, с помощью маркера и линейки, показывает, как можно рисовать параллелограмм (возможно несколько случаев)

$C:\Users\A\Desktop\3.png$

(Слайд 4)

Учитель формулирует первое свойство параллелограмма. Предлагает ученикам сказать, по рисунку, что дано и что необходимо доказать. После этого на доске появляется дано задачи. Ученики догадываются (может быть при помощи учителя) что искомые равенства надо доказать через равенства треугольников, которые можно получить проведя диагональ (на доске появляется диагональ). Далее ученики догадываются почему треугольники равны и называют признак равенства треугольников (появляется соответствующая форма). Устно сообщают факты, которые необходимы для равенства треугольников (по мере того как они их называют, появляется соответствующая визуализация). Далее ученики формулируют свойство равных треугольников, оно появляется в виде пункта 3 доказательства и затем самостоятельно завершают доказательство теоремы устно.

$C:\Users\A\Desktop\4.png$

(Слайд 5)

Учитель формулирует второе свойство параллелограмма. На доске появляется рисунок параллелограмма. Учитель предлагает по рисунку сказать что дано, что необходимо доказать. После того как ученики правильно сообщают о том, что дано и что необходимо доказать, появляется условие теоремы. Ученики догадываются, что равенство частей диагоналей можно доказать через равенство треугольников AOB и COD. С помощью предыдущего свойства параллелограмма догадываются о равенстве сторон AB и CD. Затем понимают, что надо найти равные углы и с помощью свойств параллельных прямых доказывают равенство прилежащих к равным сторонам углов. Данные этапы визуализируются на слайде. Из равенства треугольников следует и истинность теоремы – проговаривают ученики на слайде появляется соответствующая визуализация.

$C:\Users\A\Desktop\5.png$

(Слайд 6)

Учитель формулирует третье свойство параллелограмма. В зависимости от времени, которое остаётся до конца урока, учитель может дать возможность ученикам самостоятельно доказать это свойство, или ограничится его формулировкой, а само доказательство оставить ученикам в качестве домашней работы. Доказательство может опираться на сумму углов вписанного многоугольника, которая повторялась в начале урока, или на сумму внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых AD и BC, и секущей, например AB.

$C:\Users\A\Desktop\6.png$

4. Закрепление материала

На этом этапе учащиеся, используя ранее изученные теоремы, решают задачи. Идеи к решению задачи подбирают ученики самостоятельно. Так как возможных вариантов оформления немало и все они зависят от того каким образом ученики будут искать решение задачи, визуализации решения задач нет, а ученики самостоятельно оформляют каждый этап решения на отдельной доске с записью решения в тетрадь.

$C:\Users\A\Desktop\7.png$

(Слайд 7)

Появляется условие задачи. Учитель предлагает по условию сформулировать «Дано». После того, как ученики, верно составят краткую запись условия на доске появляется «Дано». Ход решения задачи может выглядеть следующим образом:

Проведём высоту BH (визуализировано)
Треугольник AHB – прямоугольный. Угол A равен углу C и равен 300(по свойству о противоположных углах в параллелограмме). 2BH=AB (по свойству катета, лежащего напротив угла в 300 в прямоугольном треугольнике). Значит AB = 13 см.
AB = CD, BC = AD (по свойству противоположных сторон в параллелограмме) Значит AB=CD=13см. Так как периметр параллелограмма равен 50 см, то BC=AD=(50 – 26):2=12см.

Ответ: AB = CD = 13 см, BC = AD = 12 см.

$C:\Users\A\Desktop\8.png$

(Слайд 8)

Появляется условие задачи. Учитель предлагает по условию сформулировать «Дано». После появляется «Дано» на экране. С помощью красных линий выделяется четырёхугольник, про который нужно доказать, что он параллелограмм. Ход решения задачи может выглядеть следующим образом:

Т.к. BK и MD перпендикуляры к одной прямой, то прямы BK и MD параллельны.
Через смежные углы можно показать, что сумма внутренних односторонних углов при прямых BM и KD и секущей MD равна 1800. Поэтому данные прямые параллельны.
Так как у четырехугольника BMDK противоположные стороны попарно параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм.

5. Окончание урока. Поведение итогов.

(Слайд 8)

На слайде появляются вопросы по новой теме, на которые ученики отвечают.

$C:\Users\A\Desktop\9.png$

infourok.ru

Параллелограмм. Определение, свойства и признаки

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны тождественны.

Параллелограмм с тождественными противоположными сторонами

Доказательство

Первым делом проведем диагональ AC. Получаются два треугольника: ABC и ADC.

Параллелограмм с диагональю разбивающую на два треугольника

Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:

AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 и AC — общая).

И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC, то AB = CD и AD = BC.

Доказано!

2. Противоположные углы тождественны.

Параллелограмм с тождественными противоположными углами

Доказательство

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.

Доказано!

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

Параллелограмм с диагоналями

Доказательство

Проведем еще одну диагональ.

Параллелограмм с двумя диагоналями и накрест лежащими равными углами

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD. Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).

Параллелограмм с двумя диагоналями и лежащими напротив углами

Доказано!

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?». То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

Параллелограмм это четырехугольник с равными и параллельными напротив сторонами

AB = CD; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC?

Параллелограмм с параллельными сторонами

\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1: AB = CD, AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC.

Но если \triangle ABC = \triangle ADC, то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).

Параллелограмм с параллельными сторонами и накрест лежащими углами

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

Параллелограмм с равными противоположными сторонами

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC.

Параллелограмм с диагональю и равными противоположными сторонами

По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD.

Параллелограмм с диагональю и накрест лежащими равными углами

Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, то есть ABCD — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.

Параллелограмм с равными противоположными углами

\angle A = \angle C, \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Параллелограмм с отмеченными равными противоположными углами

2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C, \angle B = \angle D по условию).

Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ}. Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB.

И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC.

При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD. И это значит AB || CD.

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.

Параллелограмм с диагоналями, разделенными точкой пересечения

AO = OC; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.

Доказательство

Параллелограмм с диагоналями и обозначенными сторонами и углами

BO = OD; AO = OC, \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, и \Rightarrow AB || CD.

Аналогично BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, и \Rightarrow AD || BC.

Четвертый признак верен.

academyege.ru