Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит простота данного метода, по сравнению с другими методами, ведь готовое решение может быть очень коротким.

В данной работе рассматривается применение комплексных чисел в планиметрии: описание преобразований плоскости, вывод некоторых формул для решения задач и доказательство некоторых свойств.

Цель работы:

1. Описать параллельный перенос, вращение, движение первого и второго рода, подобие первого и второго рода с помощью операций над комплексными числами. Вывести условие принадлежности трех точек одной прямой и четырех точек одной окружности.

2. Доказать с помощью комплексных чисел свойства ортоцентра треугольника, существование окружности и прямой Эйлера.

3. Используя комплексные числа, доказать свойства прямой Симсона треугольника.

Работа состоит из введения, основной части, заключения и библиографического списка. Во введении кратко описывается значение выбранной темы, цель работы и структура работы. В основной части рассмотрены преобразования плоскости с помощью комплексных чисел, условия принадлежности точек прямой и окружности, свойства ортоцентра треугольника и прямой Симсона треугольника, а также доказательство существования окружности и прямой Эйлера и примеры решения задач с помощью комплексных чисел. В заключении представлены выводы о применении комплексных чисел в планиметрии.

Параллельный перенос

Любое комплексное число можно единственным образом отобразить на плоскости как точку или радиус-вектор точки . Поэтому число называют точкой или вектором.

Зафиксируем два комплексных числа и . Найдем их сумму , которая означает, что , т.е. что вектор совпадает с вектором (геометрический смысл сложения комплексных чисел). Поэтому данное равенство определяет параллельный перенос плоскости на вектор .

Вращение

Пусть даны точки , где , а arg ; , где , . Произведение двух комплексных чисел производится следующим образом:

где , а . Геометрически это обозначает, что точка , характеризующаяся модулем , является образом точки с модулем при композиции поворота с центром на угол =arg и гомотетии с центром и коэффициентом . Поскольку , точка будет также образом точки при композиции поворота с центром на угол , и гомотетии с центром и коэффициентом . Для построения точки удобно привлечь точку , которая равна единице. Имеем:

и ориентированные углы и равны ; следовательно, треугольники и подобны, что позволяет построить точку по точкам .

Таким образом умножение комплексных чисел определяет центрально-подобное вращение плоскости, составляющееся из вращения вокруг т. O на угол в положительном направлении (в направлении против часовой стрелки) и центрально-подобного преобразования с коэффициентом подобия t. Если модуль комплексного числа t=1, то данное преобразование представляет собой вращение на угол .

Любое движение плоскости можно представить или как вращение вокруг фиксированной точки O, сопровождаемое параллельным переносом, или как симметрию относительно фиксированной прямой o, сопровождаемую вращением вокруг выбранной точки O и параллельным переносом. Таким образом каждое движение плоскости можно представить в виде:

или

Подобие и движение

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, при котором каждые две точки отображены в такие две точки , что , где - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. В частности, при расстояния равны, т. е. подобие является движением. Гомотетия с коэффициентом является подобием с коэффициентом

Фигура называется подобной фигуре , если существует подобие, отображающее . В частности, подобные треугольники являются соответственными при подобии. Преобразование, обратное подобию с коэффициентом , есть также подобие с коэффициентом . Существует два рода подобий плоскости. Подобие первого рода отображает каждый треугольник в одинаково ориентированный с ним (подобный) треугольник, а подобие второго рода меняет ориентацию каждого треугольника на противоположную.

Преобразование подобия плоскости задаётся тремя парами соответственных точек , заданных так, что треугольник подобен треугольнику . Однако если род подобия известен, то для его задания достаточно наличия двух пар соответственных точек.

По определению, треугольники называются подобными и одинаково ориентированными (подобие 1 рода) тогда и только тогда, когда (углы ориентированные). С помощью комплексных чисел эти равенства можно записать так:

Равенства

эквивалентны одному

или

где - комплексное число, – коэффициент подобия.

Составим формулы подобия первого и второго рода. При одинаковой ориентации треугольников имеем:

откуда

При противоположных ориентациях этих треугольников получим:

откуда

Итак, получены формулы для подобия первого и второго рода.

Проведем обратное рассуждение: пусть преобразование плоскости определено одной из формул

где и – постоянные комплексные числа, не может быть равна нулю. Тогда это преобразование первого или второго рода соответственно. Если точки переходят в точки , то при первом преобразовании, а при втором Следовательно, в обоих случаях

Очевидно, если , то вышеприведенными формулами задаются движения плоскости первого и второго рода соответственно.

Принадлежность трех точек прямой

Комплексное число

есть отношение трех точек . Угол между прямыми, пересекающимися в точке и проходящими через точки равен аргументу отношения :

есть ориентированный угол между ориентированными прямыми .

Условием того, что три точки лежат на одной прямой, является вещественность отношения этих трех точек или то, что угол или .

Доказательство

Т.к. три точки лежат на одной прямой, то они коллинеарны. Следовательно, по условию коллинеарности, отношение – действительное число.∎

Принадлежность четырех точек окружности

Условием того, что четыре точки лежат на одной окружности является то, что разность углов или , или вещественность их двойного отношения , т.е., аналогично условию принадлежности трех точек прямой, отношение

является двойным отношением четырех точек .

Доказательство

Если точки коллинеарны, то отношения – действительные числа (по критерию коллинеарности точек). Следовательно, в этом случае будет действительно и двойное отношение.

Если точки лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:

1) точки находятся в одной полуплоскости относительно прямой ,

2) точки лежат в различных полуплоскостях относительно прямой .

В первом случае ориентированные углы равны, во втором случае , т.е. В обоих случаях разность или . Но т.к. эта разность равна

то w – действительное число.∎

Ортоцентр треугольника

Рассмотрим треугольник . Условимся, что , т.е. все вершины треугольника принадлежат единичной окружности (центр описанной окружности O - начало координат, а радиус - единица длины). Таким образом очевидно, что точка , которая равна есть вершина ромба , из чего следует, что прямые взаимно перпендикулярны как диагонали ромба; точка

является серединой стороны треугольника . Точка – вершина параллелограмма , т.е. , т.е. - высота треугольника , а – точка пересечения высоты со стороной . Аналогично можно доказать, что прямые и - высоты треугольника . Поэтому - точка пересечения высот треугольника, т.е. является ортоцентром.

Рассмотрим теперь некоторые свойства ортоцентра треугольника. Из рисунка видно, что расстояние от ортоцентра треугольника до точки , симметричной центру описанной окружности относительно стороны , равно радиусу окружности , описанной вокруг треугольника. Аналогично для и , симметричных центру описанной окружности относительно сторон треугольника. Поэтому окружности , с центром в точках соответственно, равны окружности , и ортоцентр треугольника является точкой пересечения этих окружностей.

Также мы можем увидеть, что расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны треугольника. Возьмем отрезки и . Они равны, как противоположные стороны параллелограмма, а прямая является половиной отрезка (по свойствам ромба).

Окружность и прямая Эйлера

Рассмотрим точку

Очевидно, что это точка пересечения диагоналей параллелограмма , и через неё проходит средняя линия параллелограмма, причем

Таким образом, окружность с центром и радиусом проходит через точку - середину стороны - и через точку - середину отрезка . Аналогично можно доказать, что эта окружность проходит и через точки

двух других сторон и середины отрезков двух других высот. Окружность впервые была рассмотрена Леонардом Эйлером и называется окружностью Эйлера. Также её называют окружностью девяти точек треугольника, т.к. она проходит через девять замечательных точек: – середины сторон, - основания высот, - середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с ортоцентром.

Прямая называется прямой Эйлера треугольника. Ей принадлежат центр O описанной окружности треугольника , точка

пересечения медиан, точка пересечения высот и центр

окружности Эйлера, причем

Прямая Симсона треугольника

Дана единичная окружность S плоскости комплексных чисел, описанная вокруг треугольника . Найдем основания перпендикуляров , опущенных из некоторой точки этой окружности на стороны . Основание перпендикуляра, опущенного из точки окружности на хорду выражается числом

т.к. является точкой пересечения перпендикулярных секущих к окружности.

Отсюда следует, что

Находим:

Поскольку точки , , и принадлежат одной окружности S, то полученное двойное отношение вещественно, из этого следует, что вещественно и исходное отношение и следовательно, три точки принадлежат одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона (точки относительно треугольника ).

Выведем теперь уравнение прямой Симсона . Будем исходить из формы уравнения прямой, проходящей через точки :

нормируем это уравнение, поделив все его члены на коэффициент при :

Положив здесь , получим следующее выражение для коэффициента при :

(т.к. и аналогично для , и ). Чтобы определить свободный член C уравнения, достаточно подставить это уравнение

тогда

а т.к.

Получаем окончательное уравнение:

Очевидно, что точка

лежит на прямой Симсона. Если составить четырехугольник , где , то получим, что прямая Симсона вершины вписанного в окружность четырехугольника проходит через центр Z окружности Эйлера этого четырехугольника.

Примеры задач

Решим некоторые задачи методом комплексных чисел.

Задача 1

В результате поворота на вокруг точки отрезок перешёл в отрезок . Доказать, что медиана треугольника перпендикулярна прямой .

Решение:

Пусть координаты равны соответственно . Тогда точки и будут иметь координаты , а середина отрезка - координату Находим:

число – чисто мнимое. На основании критерия перпендикулярности (отрезки и перпендикулярны тогда и только тогда, когда число является чисто мнимым), прямые перпендикулярны.

Задача 2

Из основания высоты треугольника опущены перпендикуляры на две стороны, не соответственные этой высоте. Доказать, что расстояние между основаниями этих перпендикуляров не зависит от выбора высоты треугольника.

Решение:

Пусть дан треугольник , причём описанная около него окружность имеет уравнение . Если - высота треугольника, то

Комплексные координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точки на соответственно, равны

Находим:

Так как . Это выражение симметрично относительно , т.е. расстояние не зависит от выбора высоты треугольника.

Задача 3

На плоскости даны четыре окружности такие, что окружности пересекаются в точках , окружности пересекаются в точках , окружности - в точках и окружности - в точках . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной окружности или прямой.

Решение:

Так как точки лежат на одно окружности, то вещественным будет выражение

Аналогично для остальных точек составим вещественные выражения

Поэтому, вещественным будет и выражение

Следовательно, из вещественности двойного отношения вытекает и вещественность двойного отношения .

Заключение

Известно, сколь широко используются комплексные числа в математике и её приложениях. Особенно часто применяется функции комплексного переменного, в частности, аналитические функции.

Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать и в более простых разделах математики – элементарной геометрии, тригонометрии, теории движений и подобий, аффинных и круговых преобразований, а также в электротехнике и в различных механических и физических задачах.

Названные выше разделы элементарной математики хорошо описываются с использованием комплексных чисел, однако в литературе

это отражено мало. На русском языке фактически отсутствуют руководства по элементарной геометрии и примыкающей к ней теории преобразований, в которых использовался бы алгебраический аппарат комплексных чисел.

В работе большое место занимает вывод формул для решения планиметрических задач с помощью комплексных чисел, а также рассмотрены основные свойства некоторых фигур планиметрии. Также приведенные в ней вычисления сопровождаются иллюстрациями, с помощью которых можно легко разобраться с рассмотренными формулами и полученными результатами. В конце работы разобраны решения трех задач с помощью комплексных чисел.

Данная работа может быть использована, как пособие для решения задач планиметрии с помощью приведенных здесь формул.

Библиографический список

1. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. – 52 с.

2. Понарин Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов – М.: МЦНМО, 2004. - 160 с.

3. Швецов Д. От прямой Симсона до теоремы Дроз-Фарни, Квант. - №6, 2009. – с. 44-48

4. Яглом И. М. Геометрические преобразования. Линейные и круговые преобразования. - Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 612 с.

5. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии – М.: Физматгиз, 1963. – 192 с.

www.referatmix.ru

Применение комплексных чисел для решения задач в профессиональной деятельности

ОГБОУ СПО «Томский политехнический техникум»

РЕФЕРАТ

Применение комплексных чисел для решения задач в профессиональной деятельности

Выполнил: студент группы 153

Каличкин Владислав Николаевич

Проверил: преподаватель математики

Метелькова Елена Александровна

Томск

2013

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

2. Применение комплексных чисел в экономике

3. Применение комплексных чисел в физике

4. Применение комплексных чисел в электротехнике

5. Заключение

6. Литература

7. Интернет - ресурсы

1. Введение

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

История возникновения комплексных чисел была самой сложной среди других видов чисел. Первое их упоминание в истории, можно отнести к 50 веку до нашей эры. Тогда студент Герон из Александрии, пытаясь вычислить объем пирамиды столкнулся с тем, что должен был взять квадратный корень из разности 81-144. Но тогда он посчитал это невозможным и очень быстро сдался. «Звездный час» комплексных чисел настал в 1545 году, когда итальянский математик Джироламо Кордано предложил создать новый вид чисел. Он предположил, что система уравнений, не имеющая решений в области действительных чисел, вполне может иметь решением числа новой природы. Только нужно было условиться как всем действовать над такими числами. Но даже сам Кордано считал эти числа бесполезными и всячески старался их не испльзовать.

История возникновения комплексных чисел получила свой новый виток уже в 1552 году, когда итальянский математик Рафаэль Бомбелли в своей книге установил первые правила арифметических операций над такими числами.

Сам термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. История возникновения комплексных чисел после этого начала набирать свои обороты. Многие математики признали и стали изучать их. И на самом деле, с комплексными числами можно совершать гораздо больше математических действий и применять их гораздо чаще, чем мы думаем.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

2. Применение комплексных чисел в экономике

Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Теория электротехники, электромеханики, радиотехники, самолетостроения и других наук невозможна без применения моделей в виде комплексных чисел. Экономика, более сложная наука, до сих пор не знала применения комплексных чисел.

Товар является носителем двух составляющих: потребительских свойств, объективно присущих товару, и цены - денежной оценки потребительских свойств товара конкретным потребителем. С учетом того, что и потребительские свойства товара и его цена являются необходимыми показателями свойств товара, возникает потребность разработки и использования комплексного показателя, характеризующего эти две стороны одного объекта. Именно таким показателем может стать комплексное число, состоящее из действительной и мнимой частей

Представив какую-либо оценку потребительских свойств товара П как действительную часть комплексного числа, а его цену Ц - как мнимую часть, получим:

Т = П + iЦ, (1)

где i - мнимая единица, которая определяется условием i? (0, 1) и удовлетворяет соотношению:

i2 = -1. (2)

Легко убедиться в том, что запись (1) позволяет полностью описать свойства конкретного товара и математически корректно работать как с каждой из двух его составляющих, так и с их совокупностью в целом.

Потребитель товара, приобретая его, удовлетворяет свои потребности не в товаре, а в тех свойствах, которыми этот товар обладает. Не всякий товар полностью удовлетворяет возникшие потребности; чаще всего приходится сталкиваться с тем, что товар лишь в некоторой степени удовлетворяет потребности потребителя. Товар, который полностью их удовлетворяет можно назвать идеальным. Обозначим потребительские свойства идеального товара через Пи. Тогда для каждого товара можно определить, насколько он далек от идеала:

Пи - П. (3)

Легко убедиться в том, что чем ближе разность (3) к нулю, тем ближе товар к идеальному, а значит, тем большую цену потребитель готов заплатить за него. Очевидно также, что чем дальше товар от идеала, чем меньшими потребительскими свойствами он обладает, чем выше значение разности (3), тем ниже цена, за которую потребитель готов приобрести данный товар. Аналогично и производитель несет большие издержки, чем выше потребительские свойства товара, которые он производит. Поэтому указанная взаимосвязь является универсальной для товара, выступающего на рынке. Рынок предоставляет покупателю возможность приобрести из множества товаров с различными уровнями потребительских свойств (и соответственно с различными ценами) или дорогой товар с высокими потребительскими свойствами, или дешевый товар с низкими потребительскими свойствами. Воспользовавшись условиями (1) и (3) можно описать группу товаров, реализуемых на рынке. Понятно, что это - не вся совокупность товаров, а только та, которая удовлетворяет в той или иной степени одну или несколько заданных потребностей.

В маркетинге выделяют понятие товарной линии предприятия. Обычно под товарной линией понимают совокупность товаров, объединенных производителем по какому-либо признаку - одинаковый уровень цен, одно назначение и т. п. С учетом того, что рассматриваемая группа товаров охватывает все множество товаров, выдвинутых на рынок всеми производителями и удовлетворяет одинаковую совокупность потребностей, напрямую понятие товарная линия в данном случае применять нельзя.

Всю совокупность товаров, предложенных на рынок разными производителями, удовлетворяющих одну и ту же потребность (или совокупность одинаковых потребностей) в различной степени и по разной цене, назовем потребительской товарной линией.

Для потребительской товарной линии между разностью (3) и ценой существует обратная зависимость. Эту зависимость можно описать моделями различной сложности. Наибольший интерес представляют модель в виде комплексного числа. Очевидно, что для определения вида данной зависимости необходимо провести многочисленные полевые исследования, обработать полученные статистические данные и подобрать модель, наилучшим образом описывающую зависимость. В настоящее время подобных данных в нашем распоряжении нет, поэтому следует воспользоваться общепринятым в научных исследованиях методом - постепенным переходом от простых моделей к моделям повышенной сложности.

Для комплексного числа указанная зависимость наиболее простым способом будет описана так:

(Пи - П) 2 + Ц2= К2 = const. (4)

Действительно, легко убедиться в соответствии с равенством (4), что с уменьшением потребительских свойств товара П (увеличением разности Пи - П) его цена будет уменьшаться, а при повышении потребительских свойств (уменьшением разности Пи - П) и их приближению к свойствам идеального товара цена увеличивается. Так что модель в целом правильно описывает главную особенность потребительской товарной линии.

Воспользовавшись полученной моделью и записью (1), легко описать модель поведения потребителя по отношению к товару как комплексное число:

К = (Пи - П) + iЦ. (5)

Очевидным преимуществом модели (5) является то, что она является весьма информативной. Действительно, для того, чтобы описать потребительскую товарную линию, состоящую из нескольких сотен различных товаров, следует лишь вычислить К - модуль комплексного числа. Преимущества и удобства практического использования такой формы модели очевидны. Для того, чтобы определить, например, цену товара данной линии, который предприятие предполагает вывести на рынок, необходимо выяснить у потребителей оценку Пи - П и по равенству (4), зная, что К=100, легко определяется цена. Или, предполагая выйти на рынок данной линии с товаром, ориентированным на состоятельных покупателей, предприятие по ориентировочной цене может определить совокупность потребительских свойств, которую потребители будут готовы увидеть в данном товаре.

Модель (5) является простейшей из класса возможных моделей. Скорее всего, на практике при попытке её использования придётся столкнуться с целым рядом проблем. Реальная потребительская товарная линия будет плохо описываться моделью (5). Действительно, экономическая практика показывает, что она никогда не вписывается в красивые и изящные математические модели, которые ученые в таком изобилии предлагают практикам. Не сомневаясь в том, что и с моделью (5) будет то же самое, можно предложить простой способ решения этой проблемы. Модель легко усложняется, например, можно воспользоваться следующей её модификацией:

К = а (Пи - П) + iЦ. (6)

Очевидно, что модификация (6) является не единственно возможной. На практике можно будет использовать модели самой различной сложности, причем как действительная, так и мнимая части данного комплексного числа могут представлять собой сложные функции.

Вид каждого комплексного числа и коэффициенты моделей следует находить с помощью методов регрессионно-корреляционного анализа. После того, как будет построена модель потребительской товарной линии в форме комплексного числа, можно использовать ее в самых разных случаях экономической практики, в том числе и при прогнозировании экономической конъюнктуры.

3. Применение комплексных чисел в физике

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа нашли применение во многих вопросах науки и техники.

Гармонический сигнал

Гармонический сигнал — это гармонические колебания с течением времени распространяющиеся в пространстве, которые несут в себе информацию или какие-то данные и описываются уравнением:

где А — амплитуда сигнала;

— фаза гармонического сигнала;

-время;

— циклическая частота сигнала;

Тем не менее, часто используют комплексную запись сигнала:

Поскольку exp(jf)=e^(jf)=cosf.

Достоинство комплексного метода

Достоинство комплексного метода: при его применении в анализе цепей переменного тока можно применять все известные методы анализа постоянного тока.

Переменный ток - в широком смысле электрический ток, изменяющийся во времени. Мгновенное значение силы i переменного тока меняется во времени по синусоидальному закону: i = Im sin (ωt + α), где Im — амплитуда тока, ω = 2πf — его угловая частота, α — начальная фаза. Синусоидальный (гармонический) ток создаётся синусоидальным напряжением той же частоты: u = Um sin (ωt + β), где Um — амплитуда напряжения, β — начальная фаза

Закон Ома

Закон Ома формулируется так: Сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к участку, и обратно пропорциональна характеристике участка, которую называют электрическим сопротивлением этого участка.

referat911.ru

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - Электротехника

Расчет электрических цепей с использованием тригонометрических функций весьма сложен и громоздок, поэтому при расчете электрических цепей синусоидального тока используют математический аппарат комплексных чисел.

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

Модуль комплексной амплитуды равен амплитуде синусоидальной величины, а аргумент – ее начальной фазе.Вводится понятие комплексного величин амплитуд и действующих значений тока, напряжения, ЭДС и т.д.

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

Комплексные действующие значения пропорциональны комплексным амплитудам и записываются в виде:

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

Синусоидальные электрические величины, представленные в комплексной форме, можно изображать графически. На комплексной плоскости в системе координат с осями +1 и +j, которыми обозначены положительные действительная и мнимая полуоси, строятся комплексные векторы. Длина вектора пропорциональна модулю действующих значений. Угловое положение вектора определяется аргументом комплексного числа. При этом отсчет положительного угла ведется против часовой стрелки от положительной действительной полуоси. Комплексная плоскость разбивается на четыре четверти:

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

Итак, рассмотрим нашу тригонометрическую функцию A(t) представленную в виде комплексной величины на комплексной плоскости. Получается, что наша функция представлена в виде вектора вращающегося на комплексной плоскости против часовой стрелки со скоростью ω, как показано на рис.1.

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

Рис.1

Из рис.1 видно, что вектор на комплексной плоскости можно построить двумя способами, первый, зная размер вектора и угол, и второй способ, зная координаты вектора по действительной и мнимой осям. Первый способ это показательная форма представления комплексного числа, т.е.

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

где - комплексная величина, А - модуль комплексного числа или действующее значение величины, ψа - аргумент комплексного числа

Второй способ алгебраическая форма представления комплексного числа:

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

где а1 = Асоs ψа а2 = Аsin ψа

Правила перехода из одной формы в другую.Переход из показательной формы в алгебраическую форму:

дано Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

Используется формула Эйлера

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

Переход из алгебраической формы в показательную форму:дано Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml Рис. 2

Из рис.2 видно, вектор образует с осью координат прямоугольный треугольник, поэтому воспользуемся теоремой Пифагора, и найдем размер вектора, который равен гипотенузе треугольника:

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml

причем особое внимание уделим углу – аргументу ψа модуля комплексного числа:если вектор находится во второй и третьей четвертях комплексной плоскости, то к полученному значению аргумента необходимо прибавить 180° или π.

Если а1 = 0, то комплексное число называется мнимым, аргумент ψа = ± 90°

Если а2 = 0, то комплексное число называется действительным, ψа = 0, ± π

Простейшие математические операции с комплексными числамиПростейшие математические операции такие, как сложение, вычитание, умножение и деление проводятся с комплексными числами следующим образом: сложение и вычитание удобно проводить в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной.

Единичные комплексы

Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей - портал intellect.ml