Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).

1. Основные тригонометрические формулы

Формула (1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (2) и (3) получаются из формулы (1) делением на $~ \cos^2 \alpha$ и $~ \sin^2 \alpha$ соответственно.

2. Формулы сложения аргументов

Формула (7) получается при делении (5) на (6). А формула (8) — при делении (6) на (5)

Вывод формул

3. Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (5), (6) , (7) и (8), если принять, что угол β равен углу α:

4. Формулы тройного угла

Примечания

для формулы $\operatorname{tg} 3\alpha$ : $\alpha \not=\frac{\pi}6 + \frac{\pi}3 n, n \in \mathbb Z$ для формулы $\operatorname{ctg} 3\alpha$ : $\alpha \not=\frac{\pi}3 n + \pi n, n \in \mathbb Z$ ;

5. Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (24):

6. Формулы преобразования произведений функций

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:

sin(α + β) + sin(α − β) = sinαcosβ + cosαsinβ + sinαcosβ − cosαsinβ = = 2sinαcosβ.

То есть:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2}$ — формула (29).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

7. Формулы преобразования суммы функций

Вывод формул преобразования суммы функций

8. Решение простейших тригонометрических уравнений

Если | a | > 1 — вещественных решений нет. Если $|a| \leqslant 1$ — решением является число вида $x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$ Если | a | > 1 — решений нет. Если $|a| \leqslant 1$ — решением является число вида $x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

$\operatorname{tg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

$\operatorname{ctg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

9. Универсальная тригонометрическая подстановка

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при $\alpha\neq \pi +2 \pi n$ ).

$\sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$

$\operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$

10. Вспомогательный аргумент (метод Юниса)

$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x \pm \arcsin{\frac{b} \sqrt{a^2 + b^2}})$

$a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (x \mp \arccos{\frac{a} \sqrt{a^2 + b^2}})$

11. Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

$~e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sinx и cosx следующим образом:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ , $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ .

Откуда:

$\operatorname{tg}\, x = \frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}$ $\operatorname{ctg}\, x = \frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}$

wreferat.baza-referat.ru

Реферат Тригонометрические формулы

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Основные тригонометрические формулы
2 Формулы сложения аргументов
3 Формулы двойного угла
4 Формулы тройного угла
5 Формулы понижения степени
6 Формулы преобразования произведений функций
7 Формулы преобразования суммы функций
8 Решение простейших тригонометрических уравнений
9 Универсальная тригонометрическая подстановка
10 Вспомогательный аргумент (метод Юниса)
11 Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Введение

1. Основные тригонометрические формулы

2. Формулы сложения аргументов

Формула (7) получается при делении (5) на (6). А формула (8) — при делении (6) на (5)

Вывод формул

3. Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (5), (6) , (7) и (8), если принять, что угол β равен углу α:

4. Формулы тройного угла

Примечания

5. Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (24):

6. Формулы преобразования произведений функций

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:

sin(α + β) + sin(α − β) = sinαcosβ + cosαsinβ + sinαcosβ − cosαsinβ = = 2sinαcosβ.

То есть:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2}$ — формула (29).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

7. Формулы преобразования суммы функций

Вывод формул преобразования суммы функций

8. Решение простейших тригонометрических уравнений

$\operatorname{tg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

$\operatorname{ctg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

9. Универсальная тригонометрическая подстановка

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при $\alpha\neq \pi +2 \pi n$ ).

$\sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$

$\operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$

10. Вспомогательный аргумент (метод Юниса)

$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x \pm \arcsin{\frac{b} \sqrt{a^2 + b^2}})$

$a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (x \mp \arccos{\frac{a} \sqrt{a^2 + b^2}})$

11. Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

$~e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sinx и cosx следующим образом:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ , $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ .

Откуда:

$\operatorname{tg}\, x = \frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}$ $\operatorname{ctg}\, x = \frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}$

wreferat.baza-referat.ru

Преобразование тригонометрических выражений. | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

1º. На плоскости xOy рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. На единичной окружности отметим точку A(1;0). Радиус OA называют начальным радиусом. При повороте начального радиуса на угол α около центра О точка А(1;0) перейдет в некоторую точку М(x;y). Заметим, что поворот можно осуществить по часовой стрелки (угол поворота положителен) или против часовой стрелки (угол поворота отрицателен).

Косинусом угла α называется абсцисса точки М: .

Синусом угла α называется ордината точки М: .

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе: .

…

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате: .

являются тригонометрическими функциями аргумента α.

2º. Единицами измерения величины угла являются градус и радиан.

Если начальный радиус окружности совершит один полный оборот, то получится угол, равный 360˚ или 2π радиан.

Связь между градусной и радианной мерами измерения угла: рад.

Из этой формулы следует:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) и т.д.

3º. Свойства тригонометрических функций:

Функции — нечетные функции:

Функция — четная: .

Функции — периодические с наименьшим периодом 2π:

Функции — периодические с наименьшим периодом π:

4º. Основное тригонометрическое тождество.

Согласно теореме Пифагора (“в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы”) координаты любой точки М(x;y) единичной окружности удовлетворяют уравнению: . Отсюда:

где (10.1)

Из этой формулы следует:

а) ; б) .

5º. Основные соотношения между тригонометрическими функциями:

, (10.2)

, (10.3)

, (10.4)

, (10.5)

. (10.6)

6º. Формулы сложения аргументов:

, (10.7)

, (10.8)

. (10.9)

7º. Формулы двойного аргумента:

, (10.10)

, (10.11)

. (10.12)

8º. Формулы понижения степени синуса и косинуса:

. (10.13)(10.14)

9º. Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение:

, (10.15)

, (10.16)

, (10.17)

. (10.18)

10º. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

, (10.19)

, (10.20)

. (10.21)

11º. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

При доказательстве тождеств, решении тригонометрических уравнений и т.п. часто возникает необходимость выразить все 4 тригонометрические функции через какую-нибудь одну функцию f(x). Для этого пользуются следующими формулами:

а) , (10.22)

б) , (10.23)

в) . (10.24)

12º. Формулы приведения. Это соотношения, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражают через тригонометрические функции угла α. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Пример 34. Найдите , если .

Решение: . По формуле (10.6) . Так как α находится в 3-ей четверти, то и, следовательно, . Ответ: .

Пример 35. Вычислить значение выражения , если .

Решение: Используем формулу (10.10), а затем числитель и знаменатель дроби разделим на . Тогда:

Ответ: 9,25.

Пример 36. Доказать тождество: .

Решение: Используя формулы (10.15), (10.16), получим:

Пример 37. Вычислить , если .

Решение: Выразив и через по формулам (10.22), (10.23), получим:

Ответ: ¼.

Пример 38. Упростить выражение: .

Решение: Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также выделим период в аргументе функций и исключим его, опираясь на свойство периодичности функций:

Получаем:

Далее используем формулы приведения:

Ответ: -1.

Пример 39. Найти .

Решение: Воспользуемся формулой приведения и определением котангенса:

Поскольку угол находится в 4-ой четверти , то . Получаем:

refac.ru

Реферат - Теория тригонометрических функций

--PAGE_BREAK--Слишком поспешное введение понятий синуса и косинуса «по окружности» приводит к трудностям при дальнейшем обучении: многие учащиеся испытывают затруднения с геометрическим истолкованием «тригонометрического языка». Таким образом, не получается создать надежный фундамент для успешного изучения материала. В учебнике Мордковича «Алгебра и начала анализа» на работу с числовой окружностью отводится 5 часов, что составляет почти 20% от 28 запланированных часов на изучение всей темы «Тригонометрические функции». Вообще говоря, здесь рассматриваются две математические модели: «числовая окружность» и «числовая окружность на координатной плоскости». То есть учащиеся обучаются работать одновременно в двух системах координат: в прямоугольной декартовой и криволинейной. Это поможет им в дальнейшем, когда понятия синуса и косинуса угла будут вводиться через координаты.

Здесь не только четко выделяется алгоритм построения точки на числовой окружности, но и проводится аналогия с числовой прямой, с указанием основных сходств и различий в построении точки на окружности и на прямой. Неплохо в учебнике Мордковича «Алгебра и начала анализа» мотивируется и само введение числовой окружности: «В реальной жизни двигаться приходится не только по прямой, но и по окружности. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью…». К тому же, уже на этапе изучения числовой окружности в неявном виде происходит подготовка к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Например, рассматриваются задания типа: «Найти на числовой окружности точки с ординатой у = 1/2 и записать, каким числам tони соответствуют», «Найти на числовой окружности точки с абсциссой х tони соответствуют».

Итак, в учебнике Мордковича «Алгебра и начала анализа», в отличие от остальных учебников, проводится достаточно хорошая пропедевтическая работа для введения тригонометрических функций.

В учебнике Башмакова «Алгебра и начала анализа»также присутствуют элементы работы с числовой окружностью, но не в таком количестве как в Мордковиче.Здесь выделяется отдельный параграф «Вращательное движение и его свойства», в котором рассматриваются такие вопросы как построение точки по заданной мере угла и свойства вращательного движения.

В учебнике Колмогорова «Алгебра и начала анализа» в качестве подготовительной работы для введения тригонометрических функций выступает лишь повторение следующих вопросов:

- радианная мера угла (измерение углов в радианах, таблица значений тригонометрических функций (рассматривается исходя из геометрических соображений)),

- основные формулы тригонометрии (основное тригонометрическое тождество, формулы суммы и разности двух аргументов, формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного и половинного аргументов).

Вообще вопросы тригонометрии в этом учебнике рассматриваются в следующем порядке: тригонометрические преобразования – тригонометрические функции – тригонометрические уравнения и неравенства, в отличие от учебника Мордковича, по которому сначала изучаются функции, затем уравнения и неравенства, а только потом преобразования (как свойства функций).

Обучение же по учебникам Алимова «Алгебра и начала анализа»и Башмакова «Алгебра и начала анализа» предполагает изучение тригонометрических функций не в начале 10 класса (как это представлено в учебниках Колмогоров и Мордковича, а в конце него. Алимов предлагает приступить к изучению тригонометрии после изучения показательной и логарифмической функций. Причем, сначала изучаются тригонометрические преобразования, затем — тригонометрические уравнения и только после этого – тригонометрические функции. Такое расположение темы имеет ряд особенностей:

- изучение тригонометрических уравнений подразумевает изучение обратных тригонометрических функций. Таким образом, сначала учащиеся детально прорабатывают понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса, а затем только приступают к работе с синусом, косинусом и тангенсом, хотя с точки зрения логики, целесообразнее сделать наоборот;

- изучение тригонометрических функций после тригонометрических уравнений выкидывает из рассмотрения один из немаловажных методов решения тригонометрических уравнений – а именно графический метод (к тому времени мы ещё не умеем строить графики тригонометрических функций).

В учебнике же Башмакова «Алгебра и начала анализа» вообще предлагается изучать тригонометрию уже после изучения производной. Это позволяет вычислять приближенные значения тригонометрических функций в точках, тем самым облегчая их исследование, помогая при построении графиков и решении тригонометрических уравнений.

Что касается введения самих тригонометрических функций, то и здесь каждый из учебников имеет свои особенности. Начнем с определения синуса и косинуса. В учебнике Алимова дается следующее определение: «Сosх– это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол х, а sinх – ее ордината». У Мордковича: «Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t, а ординату точки М называют синусом числа t». Эти два определения, в общем-то, принципиально не различаются, за исключением только того, что в учебнике Алимова тригонометрические функции определяются как функции углового аргумента, а в учебнике Мордковича как функции числового аргумента, да еще присутствуют различия в обозначении переменной (заметим, что при работе с числовой окружностью лучше употреблять символы sin t, cos t, tg t, ctg t, учитывая, что знак х в сознании детей ассоциируется с абсциссой в декартовой прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой окружности пути).

В учебнике же Колмогорова «Алгебра и начала анализа» как таковых определений синуса и косинуса нет, а вместо них присутствует фраза «… нетрудно понять, что ордината точки Рa — это синус угла a, а абсцисса этой точки – косинус угла a», а затем приведено геометрическое подтверждение этого факта. Благодаря этому, у учащихся не возникает недоумения по поводу того, почему раньше синусом называли отношение длин катета и гипотенузы, а сейчас откуда–то выплыли какие–то абсциссы и ординаты. В учебнике Мордковичаэтот факт тоже довольно неплохо пояснен, но с опозданием в 3 параграфа, а в учебнике Башмакова пояснение отсутствует вовсе.

Тангенс же во всех учебниках, за исключением Колмогорова,определяется как отношение синуса к косинусу. В учебнике же Колмогорова опять не дается четкого определения тангенса, а приводится лишь геометрическая интерпретация «ордината точки пересечения прямой ОРa(Рa— точка на единичной окружности) и касательной к окружности в точке (1;0) равна тангенсу угла a».

Определения котангенса авторы дают аналогично определениям тангенса за исключением учебника Алимова, в котором котангенс почему-то совсем игнорируется и не рассматривается как функция.

Остановимся подробнее на вопросах исследования и построения графиков тригонометрических функций.

В учебнике Мордковичапроцесс построения графика и исследования функции происходит следующим образом: уже известные ребятам факты обобщаются и формулируются как свойства функций. Сначала рассматриваются такие свойства функции y=sin(x), как область определения, множество значений, нечетность, возрастание на отрезке [0;p/2] и убывание на отрезке [p/2; 3p/2], ограниченность сверху и снизу, наибольшее и наименьшее значение. Затем составляется таблица основных значений функции на отрезке [0;p], строятся соответствующие точки и плавно соединяются.

Используя свойство нечетности синуса, полученный график отображается относительно начала координат на отрезок [-p;0], используя свойство периодичности, график функции достраивается на остальных отрезках длиной 2p. С опорой на построенный график, выделяется свойство непрерывности функции синус и область ее значений. Исследование функции cos х и построение ее графика как и во всех остальных учебниках основывается на том факте, что cos х = sin (х+p/2).

В учебнике Башмакова построение синусоиды происходит при помощи единичной окружности переносом значения синуса к соответствующим точкам оси ОХ. А затем, после построения графика, еще раз происходит возвращение к свойствам и к тому, как они проявляются на графике. В учебнике Колмогоров «Алгебра и начала анализа» синусоида строится подобно тому, как она строится в учебнике Башмакова, но все свойства функций за исключением области определения и множества значений рассматриваются в следующей теме «Основные свойства функций», а затем только переносятся на тригонометрические.

Отметим, что в учебниках Мордковича и Колмогорова не обоснован тот факт, что областью определения функций sin и cos является множество всех действительных чисел. Конечно, этот факт достаточно очевиден, но тем не менее учебник пишется не для учителя, а для учеников, а «мера очевидности», как известно, у всех разная. Поэтому не стоит забывать об обосновании даже очевидных фактов, ведь это приучает ребят к столь необходимой при изучении математики логической четкости и аккуратности мысли.

Что касается области значений тригонометрической функций, то ни в одном из учебников нет четкого обоснования данного свойства. Все «попытки» обоснования этого свойства сводятся к рассмотрению двойных неравенств:

-1 £ sin х £ 1 и -1 £ соs х £ 1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций входят все точки отрезка [-1;1].

При обосновании свойств четности и нечетности тригонометрических функций доказательство тождества sin(-х) = -sin(х) сводится в основном к симметричности точек х и –х, которая также четко не обоснована ни в одном из учебников.

Монотонность же тригонометрических функций во всех учебниках, за исключением Колмогорова,иллюстрируется с помощью числовой окружности. В учебнике в силу того, что тригонометрические преобразования изучаются перед тригонометрическими функциями, монотонность функции у= sin(х) обоснована более доказательно, но все же некоторые недочеты имеются.

При изучении свойства периодичности авторы учебников Мордкович, Алимов и Колмогоров дают следующее определение периодичности: «Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т¹0, что для любого х из области определения данной функции выполняется равенство f( x- T)= f( x)= f( x+ T). Число Т называется периодом функции f( x)».В учебнике Башмакова равенство f( x- T)= f( x)= f( x+ T) заменяется менее сильным равенством f( x)= f( x+ T), но зато снимаются ограничения на х. Здесь х может быть любым, а не только из области определения. Заметим, что для функций, областью определения которых является все множество R, эти два определения будут не только равносильными, но и одинаково корректными. Но если применять второе определение к функции у=sinÖх, то у учащихся может вызвать затруднения сравнение значений данной функции в точках, например, -p и p. Поэтому более целесообразным является использование первого определения.

Проанализируем теперь системы задач, направленные на отработку умений и навыков, которые предусмотрены программой по теме «Тригонометрические функции».

Система задач в учебнике Башмакова содержит в себе задания на перевод из градусной меры в радианную и наоборот, построение углов на единичной окружности, движение точки по окружности, определение тригонометрических функций, исследование и построение графиков комбинаций тригонометрических функций, нахождение значений тригонометрических функций в некоторых точках и их знаков на некоторых промежутках, нахождение производных комбинаций тригонометрических функций и вычисление приближенных значений тригонометрических функций.

В учебниках Алимоваи Колмогороваработе со свойствами комбинаций тригонометрических функций уделяется уже гораздо большее внимание, чем в учебнике Башмакова, присутствуют задачи теоретического плана, например, «Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая»,не остаются без практической отработки и гармонические колебания. В учебнике Алимоваприсутствует еще одна особенность: здесь подобрано большое количество задач с ограничением на переменную х, что помогает учащимся в осознании того факта, что «не всякие свойства функции, рассматриваемой на множестве всех действительных чисел, сохраняются при наложении ограничений на область определения этой функции».

Наиболее же полноценной из всех является система задач в учебнике Мордковича. Здесь, кроме всего уже вышеперечисленного, большое внимание уделено отработке навыков и умений работы с числовой окружностью, присутствуют задачи для работы с тригонометрическими функциями как числового, так и углового аргументов, используются функции, заданные кусочно, отрабатываются умения решать уравнения, содержащие тригонометрические функции, графическим методом.

Вообще, говоря о системе задач этих учебников, следует отметить некоторые недостатки учебника Башмакова «Алгебра и начала анализа».В идеале, решение каждой последующей задачи должно не только опираться на предыдущую, но и содержать какие–то дополнительные идеи. Здесь же не везде четко прослеживается система, да и по уровню сложности задачи не столь уж разнообразны.

Зато наличие отдельного задачника к учебнику Мордковича позволило дать в нем полноценную по объему систему упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий и повторения. Все задания дифференцированы по блокам, отдельно выделены даже устные и полуустные упражнения, что дает возможность более рационального использования учебного времени.

Таким образом, наиболее удачным учебным пособием в плане изучения темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начала анализа является учебно-методический комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит.

2.Теория обратных функций

Обратные тригонометрические функции

Определение обратной функции

Определение. Если функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между своей областью определения X и своей областью значений У (иными словами, если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции), то говорят, что функция f(x) имеет обратную функцию или что функция f(x) обратима.

Определение. Обратная функция — это правило, которое каждому числу у є У сопоставляет число х є X, причем y=f(x). Область определения обратной

функции есть множество У, область значений — X.

Теорема о корне. Пусть функция fвозрастает (или убывает) на промежутке I, число а — любое из значений, принимаемых fна этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=aимеет единственный корень в промежутке I.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f(в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию в промежутке I существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b— единственный корень уравнения f(x)=a.

Допустим, что на промежутке I есть еще число с≠ Ь, такое что f(c)=a. Тогда или сb, или с>b. Но функция fвозрастает на промежутке I, поэтому соответственно либо f(c)f(b), либо f(c)>f(b). Это противоречит равенству f(c)= f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке I, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=aнет.

Теорема об обратной функции. Если функция fвозрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к fфункция g, определенная в области значений fтакже является возрастающей (соответственно убывающей).

Доказательство. Положим для определенности, что функция fвозрастает. Обратимость функции f— очевидное следствие теоремы о корне. Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f).

Пусть х1 и х2 — произвольные значения из E(f), такие, что х2> х1 и пусть y1= g(х1), у2= g(х2). По определению обратной функции х1= f(y1) и х2= f(y2).

Воспользовавшись тем условием, что f— возрастающая функция, находим, что допущение y1≥y2 приводит к выводу f(y1) > f(y2), то есть х1 > х2. Это

противоречит предположению х2> х1Поэтому, y1> y2, то есть из условия х2> х1 следует, что g(x2)> g(х1). Что и требовалось доказать.

Исходная функция и обратная ей являются взаимно обратными.

Графики взаимно обратных функций

Теорема. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

Доказательство. Заметим, что по графику функции fможно найти числовое значение обратной к fфункции gв произвольной точке а. Для этого нужно взять точку с координатой а не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на вертикальной. Из определения обратной функции следует, что значение g(a) равно b.

Таким образом, если считать, что выбрана несколько необычная система координат, то можно сказать, что график обратной к fфункции g— это график функции f(построенной в обычной системе координат).

Для того, чтобы изобразить график gв привычной системе координат, надо отразить график fотносительно прямой у=х.

Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), x<img width=«13» height=«13» src=«ref-3_611821850-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">X.

1.Убедиться в том, что функция y=f(x) обратима на X.

2.Из уравнения y=f(x) х выразить через у, учитывая при этом, что х є X.

З.В полученном равенстве поменять местами х и у.

продолжение --PAGE_BREAK--2.2.Определение, свойства и графики обратных тригонометрических

функций

Арксинус

Функция синус возрастает на отрезке <img width=«65» height=«45» src=«ref-3_611821934-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> и принимает все значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что <img width=«40» height=«27» src=«ref-3_611822171-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, в промежутке <img width=«65» height=«45» src=«ref-3_611821934-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> существует единственный корень уравнения sinx= a. Это число и называют арксинусом числа а и обозначают arcsinа.

Определение.Арксинусом числа а, где <img width=«40» height=«27» src=«ref-3_611822171-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">, называется такое число из отрезка<img width=«65» height=«45» src=«ref-3_611821934-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">, синус которого равен а.

Свойства.

1. D(у) = [ -1;1 ]

2. Е(у) = [-π/2;π/2]

3. у (-х) = arcsin(-х) = — arcsin х – функция нечетная, график симметричен относительно точки О(0;0).

4. arcsin х = 0 при х = 0.

5. arcsin х > 0 при х є (0;1]

arcsin х при х є [-1;0)

6. у = arcsin х возрастает при любом х є [-1;1]

-1 ≤ х12 ≤ 1 arcsin х12 – функция возрастающая.

Арккосинус

Функция косинус убывает на отрезке [0;<img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">] и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|<img width=«13» height=«16» src=«ref-3_611828088-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">1, на отрезке [0;<img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">] существует единственный корень в уравнении cosx=a. Это число в называют арккосинусом числа а и обозначают arcosа.

Определение. Арккосинусом числа а, где -1<img width=«13» height=«16» src=«ref-3_611828088-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> а <img width=«13» height=«16» src=«ref-3_611828088-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">1, называется такое число из отрезка [0;<img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">], косинус которого равен а.

Свойства.

1. D(у) = [-1;1]

2. Е(у) = [0;π]

3. у(-х) = arccos(-х) = π — arccos х – функция не является ни четной, ни нечетной.

4. arccos х = 0 при х = 1

5. arccos х > 0 при х є [-1;1)

arccos х

6. у = arccos х убывает при любом х є [-1;1]

-1 ≤ х12 ≤ 1 arcsin х1 ≥ arcsin х2 – убывающая.

Арктангенс

Функция тангенс возрастает на отрезке-<img width=«72» height=«41» src=«ref-3_611834735-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">, следовательно, по теореме о корне уравнение tgx=a, где а — любое действительное число, имеет единственный корень х на интервале -<img width=«72» height=«41» src=«ref-3_611834735-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">. Этот корень называют арктангенсом числа а и обозначают arctga.

Определение. Арктангенсом числа a<img width=«13» height=«13» src=«ref-3_611821850-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">R называется такое число х <img width=«13» height=«13» src=«ref-3_611821850-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"><img width=«67» height=«45» src=«ref-3_611835337-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">,тангенс которого равен а.

Свойства.

1. D(у) = R

2. Е(у) = (-π/2;π/2)

3. у(-х) = у = arctg(-х) = — arctg х – функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).

4. arctg х = 0 при х = 0

5. Функция возрастает при любом х є R

-∞ 1 2 arctg х12

6. Функция непрерывна при любом х є R.

Арккотангенс

Функция котангенс на интервале (0;<img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">) убывает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0;<img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">) существует единственный корень уравнения ctgх = а. Это число а называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctgа.

Определение.Арккотангенсом числа а, где а <img width=«13» height=«13» src=«ref-3_611821850-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> R, называется такое число из интервала (0;<img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">),котангенс которого равен а.

Свойства.

1. D(у) = R

2. Е(у) = (0;π)

3. у(-х) = arcctg(-х) = π — arcctg х – функция не является ни четной, ни нечетной.

4. arcctg х = 0– не существует.

5. Функция у = arcctg х убывает при любом х є R

-∞ 1 2 arcctg х1 > arcctg х2

6. Функция непрерывна при любом х є R.

2.3 Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функцииПример 1. Упростить выражение:

а) <img width=«13» height=«20» src=«ref-3_611850390-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116"><img width=«103» height=«24» src=«ref-3_611850463-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"> где <img width=«79» height=«23» src=«ref-3_611850983-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

Решение. Положим <img width=«91» height=«24» src=«ref-3_611851266-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">. Тогда <img width=«93» height=«47» src=«ref-3_611851630-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"> и <img width=«71» height=«24» src=«ref-3_611852067-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> Чтобы найти <img width=«29» height=«16» src=«ref-3_611852341-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> <img width=«16» height=«20» src=«ref-3_611852555-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">, воспользуемся соотношением <img width=«136» height=«28» src=«ref-3_611852647-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> Получаем <img width=«111» height=«28» src=«ref-3_611853113-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> Но <img width=«93» height=«47» src=«ref-3_611851630-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">. На этом отрезке косинус принимает только положительные значения. Таким образом, <img width=«115» height=«32» src=«ref-3_611853925-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">, то есть <img width=«176» height=«32» src=«ref-3_611854334-684.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> где <img width=«75» height=«20» src=«ref-3_611855018-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">.

б) <img width=«109» height=«24» src=«ref-3_611855273-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

Решение.<img width=«519» height=«28» src=«ref-3_611855825-1524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

в) <img width=«88» height=«24» src=«ref-3_611857349-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">

Решение. Положим <img width=«81» height=«21» src=«ref-3_611857735-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">. Тогда <img width=«93» height=«47» src=«ref-3_611858030-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> и <img width=«59» height=«21» src=«ref-3_611858466-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> Найдем сначала <img width=«29» height=«16» src=«ref-3_611852341-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> <img width=«16» height=«20» src=«ref-3_611852555-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">, для чего воспользуемся формулой <img width=«127» height=«51» src=«ref-3_611858936-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">, откуда <img width=«127» height=«51» src=«ref-3_611859437-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> Так как <img width=«93» height=«47» src=«ref-3_611858030-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> и на этом интервале косинус принимает только положительные значения, то <img width=«120» height=«51» src=«ref-3_611860375-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">.

Теперь найдем <img width=«40» height=«24» src=«ref-3_611860859-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">. Имеем <img width=«219» height=«56» src=«ref-3_611861092-775.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">. Это значит, что <img width=«168» height=«52» src=«ref-3_611861867-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">

г)<img width=«179» height=«24» src=«ref-3_611862474-734.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">

Решение. Воспользуемся известной формулой <img width=«281» height=«24» src=«ref-3_611863208-1084.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> где <img width=«99» height=«19» src=«ref-3_611864292-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> <img width=«99» height=«24» src=«ref-3_611864713-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">

д) <img width=«164» height=«24» src=«ref-3_611867571-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">

Решение.Из тригонометрии нам известно формула

Тогда

Пример2

. Вычислить:

а) <img width=«143» height=«55» src=«ref-3_611875300-861.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">

Решение. Пусть <img width=«133» height=«52» src=«ref-3_611876161-614.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> Тогда <img width=«75» height=«20» src=«ref-3_611876775-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> b <img width=«88» height=«47» src=«ref-3_611877112-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> Более того, так как <img width=«61» height=«47» src=«ref-3_611877497-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> то <img width=«80» height=«47» src=«ref-3_611877844-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">. Для вычисления <img width=«44» height=«47» src=«ref-3_611878255-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> воспользуемся формулой <img width=«153» height=«24» src=«ref-3_611878591-575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> из нее следует, что <img width=«155» height=«53» src=«ref-3_611879166-716.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">.

Таким образом. Необходимо сначала найти <img width=«47» height=«16» src=«ref-3_611879882-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> Так как <img width=«131» height=«48» src=«ref-3_611880163-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> и ясно, что <img width=«75» height=«48» src=«ref-3_611880719-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, то <img width=«96» height=«48» src=«ref-3_611881075-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">

Так как в интервале <img width=«80» height=«47» src=«ref-3_611877844-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">, <img width=«75» height=«23» src=«ref-3_611882001-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> то <img width=«144» height=«53» src=«ref-3_611882404-696.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> Итак, <img width=«139» height=«69» src=«ref-3_611883100-669.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> и так как <img width=«92» height=«47» src=«ref-3_611883769-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> а в этом интервале синус принимает только положительные значения, то <img width=«147» height=«53» src=«ref-3_611884268-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> Таким образом, <img width=«212» height=«56» src=«ref-3_611884973-1069.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

б) <img width=«163» height=«55» src=«ref-3_611886042-967.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

Решение.Положим <img width=«196» height=«55» src=«ref-3_611887009-1050.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> Тогда <img width=«72» height=«24» src=«ref-3_611888059-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> и <img width=«156» height=«52» src=«ref-3_611888381-771.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> Но <img width=«305» height=«52» src=«ref-3_611889152-1358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> Таким образом, <img width=«116» height=«48» src=«ref-3_611890510-578.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> и, так как <img width=«91» height=«48» src=«ref-3_611891088-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> получаем <img width=«61» height=«48» src=«ref-3_611891569-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> Итак, <img width=«209» height=«55» src=«ref-3_611891896-1143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">

в) <img width=«135» height=«52» src=«ref-3_611893039-778.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

Решение. Так как <img width=«199» height=«28» src=«ref-3_611893817-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> то <img width=«403» height=«52» src=«ref-3_611894548-1661.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

г) <img width=«289» height=«55» src=«ref-3_611896209-1601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

Решение.

д)<img width=«193» height=«52» src=«ref-3_611902158-961.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">

Решение. Пусть <img width=«104» height=«48» src=«ref-3_611903119-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> <img width=«107» height=«48» src=«ref-3_611903591-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> Тогда <img width=«95» height=«47» src=«ref-3_611904155-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> и <img width=«76» height=«48» src=«ref-3_611904620-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> <img width=«96» height=«47» src=«ref-3_611905031-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> и <img width=«84» height=«48» src=«ref-3_611905525-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">

Более того, так как <img width=«51» height=«48» src=«ref-3_611905991-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> и <img width=«56» height=«48» src=«ref-3_611906349-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197"><img width=«15» height=«23» src=«ref-3_611906729-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">то <img width=«77» height=«47» src=«ref-3_611906802-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> и <img width=«83» height=«47» src=«ref-3_611907228-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> Воспользуемся формулой <img width=«239» height=«28» src=«ref-3_611907680-901.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">

Необходимо сначала найти <img width=«48» height=«19» src=«ref-3_611908581-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> <img width=«41» height=«20» src=«ref-3_611908878-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> и <img width=«44» height=«23» src=«ref-3_611909139-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">.

Так как <img width=«131» height=«48» src=«ref-3_611880163-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> и <img width=«105» height=«48» src=«ref-3_611910010-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">

В интервале <img width=«77» height=«47» src=«ref-3_611906802-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> <img width=«81» height=«21» src=«ref-3_611911066-409.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">, то <img width=«87» height=«48» src=«ref-3_611911475-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">

Из основного тригонометрического тождества <img width=«137» height=«24» src=«ref-3_611911956-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> найдем <img width=«60» height=«29» src=«ref-3_611912468-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> <img width=«263» height=«48» src=«ref-3_611912797-1117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> Так как в интервале <img width=«77» height=«47» src=«ref-3_611906802-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> <img width=«73» height=«23» src=«ref-3_611914340-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> то <img width=«84» height=«48» src=«ref-3_611914715-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> <img width=«52» height=«27» src=«ref-3_611915157-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> также можем найти из основного тригонометрического тождества <img width=«143» height=«27» src=«ref-3_611915495-582.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> <img width=«264» height=«48» src=«ref-3_611916077-1163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> Но так как в интервале <img width=«77» height=«47» src=«ref-3_611917240-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219"> косинус принимает только положительные значения, то <img width=«87» height=«48» src=«ref-3_611917684-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">

Итак, <img width=«251» height=«48» src=«ref-3_611918186-1072.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> Таким образом, <img width=«220» height=«52» src=«ref-3_611919258-1024.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">.

Пример3

.Проверьте справедливость равенства:

а) <img width=«253» height=«48» src=«ref-3_611920282-1110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">

Решение. Положим <img width=«109» height=«48» src=«ref-3_611921392-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> <img width=«107» height=«48» src=«ref-3_611921945-578.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">, <img width=«99» height=«48» src=«ref-3_611922523-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"> Тогда <img width=«96» height=«47» src=«ref-3_611905031-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> и <img width=«63» height=«48» src=«ref-3_611923529-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> <img width=«75» height=«23» src=«ref-3_611923876-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> и <img width=«89» height=«48» src=«ref-3_611924253-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> <img width=«79» height=«47» src=«ref-3_611924758-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">

Проверим в какой части четверти находятся левая и правая части равенства:

Левая часть: <img width=«135» height=«52» src=«ref-3_611925184-743.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">

Правая часть: <img width=«79» height=«52» src=«ref-3_611925927-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">

Рассмотрим равенство на промежутке <img width=«52» height=«52» src=«ref-3_611926426-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">, где монотонна любая тригонометрическая функция, но удобнее взять косинус от обеих частей.

Необходимо сначала найти <img width=«48» height=«19» src=«ref-3_611908581-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"><img width=«100» height=«47» src=«ref-3_611929368-616.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">

<img width=«261» height=«48» src=«ref-3_611929984-1095.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> Но так как в промежутке <img width=«52» height=«52» src=«ref-3_611926426-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> косинус принимает только положительные значения, то <img width=«88» height=«48» src=«ref-3_611931453-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">

Для вычисления <img width=«48» height=«47» src=«ref-3_611931963-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> воспользуемся формулой <img width=«153» height=«47» src=«ref-3_611932348-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> откуда <img width=«251» height=«69» src=«ref-3_611933079-1140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> и так как <img width=«87» height=«47» src=«ref-3_611934219-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> а в этом промежутке <img width=«79» height=«47» src=«ref-3_611934729-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> то <img width=«83» height=«48» src=«ref-3_611935237-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">

<img width=«45» height=«47» src=«ref-3_611935729-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> найдем из формулы <img width=«13» height=«20» src=«ref-3_611850390-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"><img width=«149» height=«47» src=«ref-3_611936167-709.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> <img width=«159» height=«48» src=«ref-3_611936876-740.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> Так как в промежутке <img width=«87» height=«47» src=«ref-3_611934219-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"><img width=«76» height=«47» src=«ref-3_611938126-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> то <img width=«79» height=«48» src=«ref-3_611938613-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">

Таким образом, <img width=«321» height=«52» src=«ref-3_611939085-1476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> а <img width=«76» height=«48» src=«ref-3_611940561-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">

Следовательно, равенство верно.

б) <img width=«155» height=«48» src=«ref-3_611940987-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">

Решение.Пусть <img width=«103» height=«48» src=«ref-3_611941736-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> <img width=«89» height=«47» src=«ref-3_611942273-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">

Тогда <img width=«79» height=«23» src=«ref-3_611942737-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> <img width=«96» height=«47» src=«ref-3_611905031-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">, а <img width=«101» height=«23» src=«ref-3_611943594-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">

Более того, так как <img width=«44» height=«48» src=«ref-3_611944021-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> и <img width=«48» height=«47» src=«ref-3_611944339-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> то <img width=«83» height=«47» src=«ref-3_611944657-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> <img width=«77» height=«47» src=«ref-3_611945101-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">, <img width=«87» height=«47» src=«ref-3_611945555-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">.

Рассмотрим равенство на промежутке <img width=«52» height=«52» src=«ref-3_611926426-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">, где монотонна любая тригонометрическая функция, поэтому возьмем синус от обеих частей.

Следовательно, <img width=«159» height=«48» src=«ref-3_611949762-760.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">

продолжение --PAGE_BREAK--Пример4

.Доказать тождества.

а) <img width=«185» height=«52» src=«ref-3_611950522-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> если <img width=«80» height=«20» src=«ref-3_611951153-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">

Доказательство. Вычислим значения тангенса от обеих частей равенства:

т.е. тангенсы равны.

Далее, так как <img width=«79» height=«23» src=«ref-3_611952788-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">то <img width=«148» height=«47» src=«ref-3_611953064-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">

Но по определению и <img width=«188» height=«52» src=«ref-3_611953657-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> т.е. и <img width=«65» height=«23» src=«ref-3_611954338-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> и <img width=«105» height=«52» src=«ref-3_611954674-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> принадлежат одному и тому же промежутку монотонности тангенса. Тем самым тождество доказано.

б) arctg = arcsin <img width=«56» height=«47» src=«ref-3_611955015-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">

Доказательство.Вычислим значения тангенса от обеих частей равенства

tg(arctgx)=x

tg<img width=«532» height=«107» src=«ref-3_611955210-1714.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> т.е. тангенсы равны.

Так как <img width=«168» height=«47» src=«ref-3_611956924-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">. Но и по определению <img width=«123» height=«41» src=«ref-3_611957311-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">т.е.

и <img width=«97» height=«47» src=«ref-3_611957602-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">, и arctgxпринадлежат одному и тому же промежутку монотонности тангенса.Что и требовалось доказать.

в) 2<img width=«159» height=«47» src=«ref-3_611957870-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">

Доказательство. Вычислим значения косинуса от обеих частей равенства

<img width=«280» height=«56» src=«ref-3_611959650-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">.

cos(arccosx)=x, т.е. косинусы равны.

Так как <img width=«107» height=«19» src=«ref-3_611960290-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> и <img width=«152» height=«47» src=«ref-3_611960496-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">, т.е. и arccosx, и <img width=«101» height=«47» src=«ref-3_611960881-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> принадлежат одному и тому же промежутку монотонности косинуса. Тем самым тождество доказано.

2.4.Задания, предлагаемые на вступительных экзаменах

Пример 1. Вычислить:

а)<img width=«101» height=«23» src=«ref-3_611961186-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">

б)<img width=«163» height=«45» src=«ref-3_611961558-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">

в)<img width=«164» height=«45» src=«ref-3_611961982-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">

Решение.а) Пусть arctg(-2) = γ. Тогда по определению арктангенса tgγ=-2 и γ<img width=«71» height=«45» src=«ref-3_611962411-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">. Отсюда <img width=«191» height=«48» src=«ref-3_611962658-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">. Из уравнения <img width=«133» height=«24» src=«ref-3_611963122-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296"> находим, что <img width=«72» height=«41» src=«ref-3_611963367-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">. Поскольку γ<img width=«71» height=«45» src=«ref-3_611962411-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">, то sin γsinγ=-<img width=«28» height=«47» src=«ref-3_611963820-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">. Окончательно, <img width=«156» height=«45» src=«ref-3_611963981-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">.

б) Обозначим <img width=«171» height=«41» src=«ref-3_611964483-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">. Тогда <img width=«133» height=«41» src=«ref-3_611964853-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> и <img width=«571» height=«47» src=«ref-3_611965154-1232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">.

в) с учетом тождества <img width=«149» height=«41» src=«ref-3_611966386-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">, <img width=«63» height=«23» src=«ref-3_611966700-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">, получаем <img width=«67» height=«41» src=«ref-3_611966876-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">.

Пример 2.

Сравните два числа: <img width=«27» height=«41» src=«ref-3_611967070-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> и <img width=«65» height=«41» src=«ref-3_611967209-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">.

Решение.Напишем сравнение <img width=«27» height=«41» src=«ref-3_611967070-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> и <img width=«65» height=«41» src=«ref-3_611967209-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">. Взяв от обеих частей косинус, за счет его убывания получим обратное сравнение <img width=«83» height=«41» src=«ref-3_611967770-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">. Далее заметим, что <img width=«323» height=«48» src=«ref-3_611968018-702.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> — известная величина. И задача сводится к числовому сравнению.

Следовательно, <img width=«83» height=«41» src=«ref-3_611969367-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">, а <img width=«27» height=«41» src=«ref-3_611967070-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"><img width=«65» height=«41» src=«ref-3_611967209-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">.

Пример 3.

Вычислить угол <img width=«208» height=«45» src=«ref-3_611969963-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">.

Решение. Из определений обратных тригонометрических функций следует

<img width=«279» height=«45» src=«ref-3_611970420-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">.

Следовательно, <img width=«65» height=«23» src=«ref-3_611971010-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">. Для нахождения <img width=«16» height=«15» src=«ref-3_611971278-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> нужно вычислить значение какой-либо тригонометрической функции от <img width=«16» height=«15» src=«ref-3_611971278-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">, например, sin<img width=«16» height=«15» src=«ref-3_611971278-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> или cos<img width=«16» height=«15» src=«ref-3_611971278-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">. Однако на интервале <img width=«39» height=«23» src=«ref-3_611971630-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> функция синус немонотонна и угол <img width=«16» height=«15» src=«ref-3_611971278-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> по найденному значению sin<img width=«16» height=«15» src=«ref-3_611971278-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> определяется неоднозначно, а функция косинус монотонно убывает, следовательно, по значению cos<img width=«16» height=«15» src=«ref-3_611971278-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> и угол <img width=«16» height=«15» src=«ref-3_611971278-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> определяется однозначно.

Используя формулу для косинуса суммы, получим

Отсюда следует, что <img width=«16» height=«15» src=«ref-3_611971278-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">=<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611974796-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">.

Пример 4. Вычислите значение выражения <img width=«205» height=«48» src=«ref-3_611974915-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">.<img width=«12» height=«23» src=«ref-3_611975451-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">

Решение. 1) Найдём ОДЗ данного выражения:

Итак, данное выражение определено на промежутке <img width=«60» height=«48» src=«ref-3_611977152-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">.

2) Оценим, какие значения может принимать рассматриваемое выражение. Из неотрицательности выражений <img width=«56» height=«48» src=«ref-3_611977386-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> и <img width=«56» height=«47» src=«ref-3_611977609-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> следует справедливость неравенств: 0<img width=«145» height=«48» src=«ref-3_611977854-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">

<img width=«153» height=«47» src=«ref-3_611978237-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">.

Сложив неравенства одного знака, получим, что исходное выражение

<img width=«207» height=«48» src=«ref-3_611978674-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">может принимать значения из интервала <img width=«39» height=«23» src=«ref-3_611979215-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">.

3) На интервале <img width=«39» height=«23» src=«ref-3_611979215-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> функция <img width=«29» height=«19» src=«ref-3_611979655-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> является монотонной и, следовательно, зная её значение, можно однозначно определить и значение аргумента.

4) Найдём значение котангенса исходного выражения:

<img width=«548» height=«104» src=«ref-3_611979773-2176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">.

Для преобразования полученного выражения применим следующее соотношения: <img width=«247» height=«49» src=«ref-3_611981949-788.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">если <img width=«113» height=«23» src=«ref-3_611982737-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">

<img width=«104» height=«23» src=«ref-3_611983089-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">при любых значениях <img width=«9» height=«16» src=«ref-3_611983418-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">.

Тогда получим, что <img width=«299» height=«92» src=«ref-3_611983499-991.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">

( с учётом ОДЗ) и, наконец, <img width=«417» height=«93» src=«ref-3_611985306-1427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> на ОДЗ рассматриваемого выражения.

5) В силу монотонности функции <img width=«29» height=«19» src=«ref-3_611979655-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"> на интервале <img width=«37» height=«23» src=«ref-3_611986851-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"> равенство <img width=«53» height=«21» src=«ref-3_611987076-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> возможно лишь при <img width=«39» height=«41» src=«ref-3_611987224-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">.Следовательно, выражение <img width=«203» height=«48» src=«ref-3_611987373-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> принимает значение <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"> при <img width=«83» height=«45» src=«ref-3_611988027-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> и не имеет смысла при других значениях x.

Ответ . <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611988296-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> при <img width=«87» height=«45» src=«ref-3_611988412-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360"><img width=«12» height=«23» src=«ref-3_611975451-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">не имеет смысла при<img width=«83» height=«45» src=«ref-3_611988765-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">.

Пример 5. Найдите множество значений функции <img width=«73» height=«21» src=«ref-3_611989041-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> если x<img width=«140» height=«45» src=«ref-3_611989206-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">.

Решение.Заметим, что <img width=«217» height=«41» src=«ref-3_611989590-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">; так, что <img width=«233» height=«41» src=«ref-3_611990039-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">. Тогда при х<img width=«140» height=«45» src=«ref-3_611989206-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">функция cos2xдостигает максимума <img width=«131» height=«23» src=«ref-3_611990905-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">. Также <img width=«133» height=«45» src=«ref-3_611991249-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">, так как <img width=«135» height=«41» src=«ref-3_611991615-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">, а <img width=«112» height=«23» src=«ref-3_611991934-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">, так как <img width=«83» height=«41» src=«ref-3_611992280-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> Так что минимум cos2x достигается при <img width=«540» height=«45» src=«ref-3_611992513-938.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">

Так что <img width=«84» height=«21» src=«ref-3_611993451-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">.

Пример 6. Найдите множество значений функции y=sin2x, если <img width=«131» height=«45» src=«ref-3_611993633-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">.

Решение.Так как arccosx-убывающая функция, то arccos<img width=«121» height=«41» src=«ref-3_611994023-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">, так что <img width=«93» height=«41» src=«ref-3_611994331-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">; <img width=«112» height=«41» src=«ref-3_611994590-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">.

Тогда <img width=«183» height=«41» src=«ref-3_611994886-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">, т.е. 2x находится во второй четверти, так, что sin2x – убывает. Значит, <img width=«567» height=«99» src=«ref-3_611995305-2140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">

Так, что <img width=«140» height=«41» src=«ref-3_611997445-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"><img width=«61» height=«45» src=«ref-3_611997805-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">

Ответ:<img width=«61» height=«45» src=«ref-3_611997805-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">

Пример 7 . Решите систему уравнений <img width=«136» height=«72» src=«ref-3_611998343-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">

В ответе запишите значение <img width=«71» height=«23» src=«ref-3_611998800-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">

Решение.

Решим отдельно (*):

Система имеет вид:

Выберем <img width=«119» height=«41» src=«ref-3_612001894-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">

Ответ:<img width=«29» height=«41» src=«ref-3_612002185-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">

3. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

3.1. Уравнения, левая и правая части которых являются одноименными и

разноименными обратными тригонометрическими функциями Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функции, как монотонность.

Справедливы следующие равносильные переходы:

а) <img width=«183» height=«21» src=«ref-3_612002325-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">

б) <img width=«187» height=«21» src=«ref-3_612003351-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">

в) <img width=«165» height=«21» src=«ref-3_612004382-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">

г) <img width=«180» height=«21» src=«ref-3_612004918-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">

Замечание 1. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решений уравнений а) и б), зависит от того, какое неравенство проще:

<img width=«60» height=«27» src=«ref-3_612005473-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399"> (тогда использовать первую систему), или <img width=«59» height=«27» src=«ref-3_612005657-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400"> (в этом случае используем вторую систему).

Пример 1. Решитьуравнение.

<img width=«252» height=«27» src=«ref-3_612005845-803.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">.

Ответ. x=-<img width=«15» height=«41» src=«ref-3_612007916-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">

Замечание 2. Решать неравенства, входящие в систему, необязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные корни уравнения.

Пример 2. Решить уравнение.

Ответ.<img width=«44» height=«45» src=«ref-3_612010757-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">.

Пример 3.arcsin(1+2х) = arcsin(2х<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409"> — х – 1). Запишем равносильную систему: <img width=«139» height=«51» src=«ref-3_612011032-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">

2х<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411"> — 3х -2 = 0, х<img width=«97» height=«23» src=«ref-3_612011527-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">.

Неравенство мы можем не решать, а подставить в него найденные корни.

Итак, х<img width=«52» height=«23» src=«ref-3_612011712-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> удовлетворяет неравенству системы, а х<img width=«33» height=«23» src=«ref-3_612011849-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> не удовлетворяет ему.

Ответ: <img width=«36» height=«21» src=«ref-3_612011963-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">

При решении уравнений, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. Решение их основано на следующих рассуждениях: пусть требуется решить уравнение

<img width=«164» height=«21» src=«ref-3_612012080-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">.

Предположим, что <img width=«19» height=«24» src=«ref-3_612012375-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">-решение этого уравнения. Обозначим

Тогда

Откуда

Итак

<img width=«305» height=«24» src=«ref-3_612013461-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421"> (1)

Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:

<img width=«258» height=«21» src=«ref-3_612013949-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"> (2)

(использована формула <img width=«91» height=«21» src=«ref-3_612014379-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">).

<img width=«304» height=«45» src=«ref-3_612014583-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> (3)

(использована формула <img width=«124» height=«45» src=«ref-3_612015184-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">).

<img width=«300» height=«45» src=«ref-3_612015488-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426"> (4)

(использована формула <img width=«120» height=«45» src=«ref-3_612016080-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">)

<img width=«297» height=«48» src=«ref-3_612016377-647.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> (5)

(использована формула <img width=«117» height=«48» src=«ref-3_612017024-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">).

<img width=«306» height=«48» src=«ref-3_612017363-657.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> (6)

(использована формула <img width=«127» height=«48» src=«ref-3_612018020-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">).

Замечание 3. Корнем каждого из уравнений (1)-(4) может быть только такое число <img width=«19» height=«24» src=«ref-3_612012375-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">, для которого <img width=«67» height=«24» src=«ref-3_612018475-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"> и <img width=«65» height=«24» src=«ref-3_612018650-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">. В противном случае множества

значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.0> продолжение --PAGE_BREAK--Пример 4.решить уравнение

<img width=«188» height=«41» src=«ref-3_612018824-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">.

Решение.

Корень <img width=«64» height=«41» src=«ref-3_612020721-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438"> является посторонним, так как при <img width=«140» height=«41» src=«ref-3_612020925-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> и <img width=«69» height=«41» src=«ref-3_612021265-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">

Ответ.<img width=«20» height=«23» src=«ref-3_612021485-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">

При решении уравнений данного типа, содержащих параметры, становится актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы преобразования (1)-(4) сделать равносильными, следует учесть естественные ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических функций и множествами их значений (см. замечание 3 ). Так, например,

Пример 5. Решить уравнение с параметром a:

<img width=«195» height=«21» src=«ref-3_612023522-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">.

Решение. Данное уравнение равносильно системе:

Графиком квадратного трехчлена <img width=«179» height=«24» src=«ref-3_612024599-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку <img width=«99» height=«21» src=«ref-3_612024900-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">, то при любом а уравнение <img width=«60» height=«21» src=«ref-3_612025104-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">имеет ровно 2 корня, между которыми и заключено число 2а. поэтому только больший корень <img width=«36» height=«21» src=«ref-3_612025260-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> удовлетворяет условию x>2a. Это корень <img width=«124» height=«47» src=«ref-3_612025386-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">.

Ответ. При любом <img width=«13» height=«15» src=«ref-3_612025708-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> <img width=«124» height=«47» src=«ref-3_612025386-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">

3.2. Уравнения, решаемые другими методами

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим

Некоторые уравнения могут быть свелены к алгебраическим уравнениям, при их решении приходиться использовать самые разнообразные преобразования.

Пример 1. arcsin 2 x –<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">arcsinх+ <img width=«25» height=«44» src=«ref-3_612026231-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> = 0. Пусть arcsin x = y, y <img width=«76» height=«45» src=«ref-3_612026377-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">

у<img width=«108» height=«44» src=«ref-3_612026647-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">, D = <img width=«117» height=«44» src=«ref-3_612026930-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">, y<img width=«91» height=«41» src=«ref-3_612027243-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">

arcsin x =<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027474-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> или arcsin x =<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027590-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">

x=sin <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027474-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461"> , x=<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> x=sin<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027590-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> ,x=<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">.

Ответ: <img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">;<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">.

Пример 2. arccos2x – <img width=«25» height=«41» src=«ref-3_612028454-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> arccosx +<img width=«25» height=«44» src=«ref-3_612028592-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">=0. Пустьarcros х= y, у<img width=«13» height=«13» src=«ref-3_611821850-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469"> [0; <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">]

y2 –<img width=«25» height=«41» src=«ref-3_612028454-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">y + <img width=«25» height=«44» src=«ref-3_612028592-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">=0, D =<img width=«116» height=«44» src=«ref-3_612029181-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">, <img width=«104» height=«41» src=«ref-3_612029507-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">

arccos x =<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> или arccos x = <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611974796-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">

x = cos<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">, х=0 x = cos <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611974796-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">, x= <img width=«28» height=«45» src=«ref-3_612030234-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">

Ответ; 0; <img width=«28» height=«45» src=«ref-3_612030234-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">.

Пример 3.arctq2(3x + 2) + 2 arctq (3x + 2)=0.

Пусть arctq (3x + 2)=y, y<img width=«72» height=«41» src=«ref-3_612030530-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">

y2 + 2y=0, y (y + 2 )=0,

y=0 или y=-2 , -2<img width=«13» height=«16» src=«ref-3_612030751-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482"><img width=«60» height=«41» src=«ref-3_612030837-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">

<img width=«12» height=«23» src=«ref-3_611975451-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> arctq (3x + 2)=0, 3x + 2=tq 0, 3x + 2=0, х=<img width=«28» height=«41» src=«ref-3_612031111-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">

Ответ: <img width=«28» height=«41» src=«ref-3_612031111-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">

Пример

4.arcsin2x –<img width=«25» height=«41» src=«ref-3_612028454-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">arcsinx + <img width=«25» height=«44» src=«ref-3_612031507-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">= 0. Пустьarcsin x=y, y <img width=«76» height=«45» src=«ref-3_612026377-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> .

y2 –<img width=«25» height=«41» src=«ref-3_612028454-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">y +<img width=«25» height=«44» src=«ref-3_612031507-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491"> = 0, D = <img width=«65» height=«44» src=«ref-3_612032187-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">

Корней нет.

Ответ: корней нет

Пример 5. arctg2x –<img width=«25» height=«41» src=«ref-3_612032402-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">arctg x+ <img width=«25» height=«44» src=«ref-3_612032544-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">= 0.

Пусть arctg x=y, y<img width=«72» height=«41» src=«ref-3_612030530-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">

y2 –<img width=«25» height=«41» src=«ref-3_612032402-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">y +<img width=«25» height=«44» src=«ref-3_612032544-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"> = 0, D =<img width=«29» height=«44» src=«ref-3_612033199-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">, y<img width=«91» height=«41» src=«ref-3_612033357-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">

arctg x= <img width=«24» height=«41» src=«ref-3_612033590-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500"> arctg x= <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027590-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">

x=tg<img width=«24» height=«41» src=«ref-3_612033590-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502"> х=1 x=tg <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027590-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">, x=<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612034080-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">

Ответ: 1; <img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612034080-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">

Уравнения, решаемые с помощью определений обратных тригонометрических функций

Пример 1.arcsin (x2 – 4x + 3)=0

x2 – 4x + 3= sin 0, а + в + с = 0, X1=1, X2=3

Проверка: x=1, arcsin 0=0 – верно, x =1 – корень уравнения

x=3, arcsin 0=0 – верно, x=3 – корень уравнения

Ответ: 0;3

Пример 2. 4 arctq( x2– 3x– 3 ) — <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506"> =0 . 4 arctq( x2— 3x– 3 ) = <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">

arctq ( x2 – 3x – 3 ) =<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611974796-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">

x2 – 3x – 3= tq<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611974796-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> , x2 – 3x – 3 = 1, x2 – 3x – 4 = 0, x1= -1,x2= 4

Проверка: x=-1, 4 arctq (1 + 3 – 3) – <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510"> = 0 – верно, x= -1 – корень уравнения

x=4, 4 arctq (16 – 12 – 3) – <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511"> =0-верно, x=4 – корень уравнения .

Ответ: -1;4

Пример 3. arrcos (x2 – 2) =<img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">, x2 – 2 = cos<img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">, x2 – 2= -1, x2=1, x<img width=«16» height=«25» src=«ref-3_612035140-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">=±1

Проверка: x=1, arrcos (1 – 2)= <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> – верно, x=1 – корень уравнения

x= -1, arrcos (1 – 2)= <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> – верно, x= -1 – корень уравнения.

Ответ: -1; 1

Пример 4. arcsin (x2 – 3x +<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">)= <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027590-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">.

x2 – 3x +<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">=sin <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027590-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520"> , x2 – 3x= 0, x (x – 3)=0, x1=0, x2=3

Ответ: 0;3

Пример 5.6arcsin (x2 – 6x + 8,5) = <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">.

arcsin (x2 – 6x + 8,5) = <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027590-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">

x2 – 6x + 8,5 = sin <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_612027590-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523"> , x2 – 6x + 8,5 = 0,5,

x2 – 6x + 8 = 0, D =36 – 32=4, x<img width=«77» height=«23» src=«ref-3_612036189-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">

Ответ: 2;4

Уравнения, содержащие разные аргументы

Пример1. arcsin 6x + arcsin6<img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">x +<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525"> =0, arcsin 6x = -arcsin 6<img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">x – <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526">

sin (arcsin 6x) = -sin (arcsin 6<img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">x +<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">)

6x = – cos arcsin 6<img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">x, где cos arcsin 6<img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">x=<img width=«151» height=«31» src=«ref-3_612037269-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528">

6x= <img width=«68» height=«24» src=«ref-3_612037613-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">2 , 144x2 = 1, <img width=«12» height=«23» src=«ref-3_611975451-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">X<img width=«16» height=«25» src=«ref-3_612035140-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">= ±<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">

Проверка: x =<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">, arcsin<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533"> + arcsin <img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534"> = — <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535"> — не верно, x=<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">– посторонний корень

x= — <img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">, arcsin(-<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">) + arcsin(-<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">)= -<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540"> – верно, x= -<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">– корень уравнения.

Ответ: — <img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">.

Пример 2. 2arrcos(-<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612039354-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">) = arrcos(x+ 3)

О. Д. З. <img width=«99» height=«69» src=«ref-3_612039463-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544"> <img width=«92» height=«48» src=«ref-3_612039840-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545"> , х= — 2.

<img width=«12» height=«23» src=«ref-3_611975451-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546"> I способ: cos (2arrcos (-<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612039354-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">)) = cos (arcos (x + 3)). Вычислим cos (2arrcos (-<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612039354-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">)).

Пустьarccos (-<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612039354-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">) = α, α<img width=«13» height=«13» src=«ref-3_611821850-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550"> [0; <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">], cos α = — <img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612039354-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">

cos2α= 2 cos2α– 1 = 2<img width=«105» height=«44» src=«ref-3_612040828-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">, тогда исходное уравнение принимает вид

x=4 – посторонний корень, т.к. не удовлетворяет О.Д.З.

IIспособ: Т.к. О.Д.З. включает одно значение, то только оно может быть корнем

уравнения или уравнение корней не имеет. Проверяем х = — 2.

2 arrcos1 = arcos(-2+ 3), 0 = 0 – верно, х = -2 – корень уравнения.

Ответ: -2 продолжение --PAGE_BREAK--Пример 3. arcsinx+ arcsin<img width=«57» height=«44» src=«ref-3_612041400-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">. sin (arcsin x) = sin (<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">– arcsin <img width=«27» height=«44» src=«ref-3_612041712-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">)

x = cos (arcsin <img width=«27» height=«44» src=«ref-3_612041712-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">), x = <img width=«56» height=«48» src=«ref-3_612041992-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">, x2=1 – <img width=«24» height=«44» src=«ref-3_612042210-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">, 3x2 = 3 – x2, 4x2 = 3, х<img width=«16» height=«25» src=«ref-3_612035140-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">= ±<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">

Проверка: x=<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">, arcsin<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565"> + arcsin <img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">=<img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567"> — верно, x=<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568"> — корень уравнения.

x=- <img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">, аrcsin(-<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">) + arcsin(-<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">) = <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572"> – неверно, x=- <img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573"> — пост. кор. ур. Ответ:<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">.

Уравнения, содержащие разные аркфункции

Пример1. arcos x – arcsin x = arrcos<img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">x. cos (arcos x – arcsin x) = cos (arcos<img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">x)

cos (arcos x) cos (arcsin x) + sin (arcos x) sin (arcsin x) = <img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">x

x<img width=«45» height=«24» src=«ref-3_612044389-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">2+ x<img width=«45» height=«24» src=«ref-3_612044389-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">2= <img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">x, 2x<img width=«45» height=«24» src=«ref-3_612044389-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">2= <img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">x, 2x<img width=«45» height=«24» src=«ref-3_612044389-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">2— <img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">x= 0,

x(2 <img width=«45» height=«24» src=«ref-3_612044389-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">2 - <img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046"> ) = 0 , x=0 или 2 <img width=«45» height=«24» src=«ref-3_612044389-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">2= <img width=«24» height=«24» src=«ref-3_612036353-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">

4 – 4x2= 3 ,x2=<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612045782-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">, х<img width=«53» height=«41» src=«ref-3_612045893-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"> Проверка: x=0, arrcos0 – arc<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">sin0 = arrcos0 – верно, x=0 – корень уравнения

х =<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">, arrcos<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">– arcsin<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580"> = arrcos<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">– неверно, x=<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">– посторонний корень

x= -<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">, arrcos(-<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">) – arcsin(-<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">)= arrcos(-<img width=«27» height=«45» src=«ref-3_612027825-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">)– неверно, x= -<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">–постор.корень.

Ответ: 0

Пример2. arcsin x – arcos x = arcsin (3x – 2)

sin (arcsin x – arccos x) = sin (arcsin (3x – 2))

sin(arcsin x) cos(arccos x) – sin(arccos x) cos(arcsin x) = 3x – 2

x2 – (1 – x2) – 3x + 2 =0, x2 – 1 + x2 – 3x + 2 = 0, 2x2 – 3x + 1 = 0, x1=1 , x2=<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">

Проверка: x1=1, arcsin1 – arcos1 = arcsin(3 – 2), <img width=«48» height=«41» src=«ref-3_612047447-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">– верно, х =1- корень ур.

x2=<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">, arcsin<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591"> – arсcos<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592"> = arcsin(3.<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">– 2), <img width=«87» height=«41» src=«ref-3_612048054-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">-верно, x2=<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">-кор.ур.

Ответ:<img width=«16» height=«41» src=«ref-3_612028090-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">;1.

При решении уравнений, содержащих разноимённые обратные тригонометрические функции, можно пользоваться тригонометрическими тождествами.

При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку.

Рассуждения могут быть примерно следующими.

Пусть требуется решить уравнение аrcsinf(x) = arсcosg(x).

Предположим, что х<img width=«9» height=«24» src=«ref-3_612048501-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597"> — решение этого уравнения.

Обозначим аrcsinf(x<img width=«9» height=«24» src=«ref-3_612048501-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">) = arсcosg(x<img width=«9» height=«24» src=«ref-3_612048501-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">) через α. Тогда sinα = f(x<img width=«9» height=«24» src=«ref-3_612048501-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">), cosα. = g(x<img width=«9» height=«24» src=«ref-3_612048501-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">), откуда

f<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">(x<img width=«9» height=«24» src=«ref-3_612048501-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">) + g<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">(x<img width=«9» height=«24» src=«ref-3_612048501-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">) = 1.

Итак, аrcsinf(x) = arсcosg(x) <img width=«20» height=«16» src=«ref-3_612049212-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606"> f<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">(x) + g<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">(x) = 1.

Аналогично получаем :

arctgf(x) = arctgg(x) <img width=«20» height=«16» src=«ref-3_612049212-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609"> f(x) g(x) = 1. (По формуле tgxctgx= 1.)

аrcsinf(x) = arcctgg(x) <img width=«20» height=«16» src=«ref-3_612049212-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610"> f<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">(x) =<img width=«65» height=«45» src=«ref-3_612049722-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">. (По формуле sin<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613">x= <img width=«69» height=«45» src=«ref-3_612050019-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">

arctgf(x) = arсcosg(x) <img width=«20» height=«16» src=«ref-3_612049212-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"> <img width=«67» height=«45» src=«ref-3_612050336-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616"> = g<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">(x). . (По формуле cos<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">x= <img width=«61» height=«45» src=«ref-3_612050712-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">

аrcsinf(x) = arctgg(x) <img width=«20» height=«16» src=«ref-3_612049212-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620"> f<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">(x) <img width=«79» height=«48» src=«ref-3_612051096-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">. (По формуле sin<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">x= <img width=«61» height=«48» src=«ref-3_612051454-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">

arсcosg(x) = arcctgg(x) <img width=«20» height=«16» src=«ref-3_612049212-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625"> f<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">(x) <img width=«79» height=«48» src=«ref-3_612051096-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">. (По формуле соs<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">x= <img width=«69» height=«48» src=«ref-3_612052230-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">

Приведём пример.

arсcos<img width=«47» height=«41» src=«ref-3_612052495-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630"> = аrcsin <img width=«44» height=«41» src=«ref-3_612052669-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">. <img width=«183» height=«41» src=«ref-3_612052843-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">,

65х<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633"> + 78х — 143 = 0, т.к. а+в+с = 0, то х<img width=«8» height=«23» src=«ref-3_612053339-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634"> = 1 и х<img width=«11» height=«23» src=«ref-3_612053416-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635"> = <img width=«41» height=«41» src=«ref-3_612053495-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">

Проверка: х = 1, arсcos<img width=«21» height=«41» src=«ref-3_612053667-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637"> = аrcsin <img width=«21» height=«41» src=«ref-3_612053797-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638"> — верно, х = 1 – корень уравнения.

Х = <img width=«41» height=«41» src=«ref-3_612053495-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639"> — посторнний корень, т.к. arсcos <img width=«93» height=«61» src=«ref-3_612054096-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640"> = аrcsin <img width=«91» height=«61» src=«ref-3_612054410-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641"> ,

arсcos(-<img width=«23» height=«41» src=«ref-3_612054724-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">) = аrcsin(-<img width=«24» height=«41» src=«ref-3_612054866-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">) — неверно. Ответ: 1.

Использование свойств монотонности обратных тригонометрических функций

Решить уравнение: arctg<img width=«215» height=«41» src=«ref-3_612055006-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> .

Решение: Пусть х2 + х = t. Тогда уравнение примет вид arctg<img width=«145» height=«41» src=«ref-3_612055429-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">.

Функции Z= <img width=«25» height=«27» src=«ref-3_612055754-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> Z= <img width=«43» height=«24» src=«ref-3_612055871-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">, y= arctgz и y= arcsinz являются монотонно

возрастающими. Поэтому функция y= arctg<img width=«23» height=«24» src=«ref-3_612056013-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> +arcsin<img width=«43» height=«24» src=«ref-3_612055871-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> также является

монотонно возрастающей.

Уравнение arctg<img width=«145» height=«41» src=«ref-3_612055429-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">.

имеет не более одного корня. Находим подбором t= 0 – корень данного уравнения.

Поэтому х2+ х = 0, х = 0, х = -1.

Ответ: -1; 0.

Использование ограниченности обратных тригонометрических функций

Решить уравнение: аrcsin(х ( х+у )) + аrcsin(у ( х+у )) = <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">

Т.к. аrcsint<img width=«31» height=«41» src=«ref-3_612056678-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645"> при <img width=«36» height=«27» src=«ref-3_612056819-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">, то левая часть уравнения не превосходит <img width=«73» height=«41» src=«ref-3_612056962-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">.

Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно <img width=«17» height=«41» src=«ref-3_611987910-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">.

Таким образом, уравнение равносильно системе: <img width=«239» height=«88» src=«ref-3_612057289-935.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">

Итак, х = у, тогда получаем уравнение 2х<img width=«11» height=«20» src=«ref-3_612010953-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650"> = 1, х<img width=«65» height=«44» src=«ref-3_612058303-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">, у<img width=«65» height=«44» src=«ref-3_612058303-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652">

Ответ: <img width=«159» height=«44» src=«ref-3_612058711-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">

3.3. Задания, предлагаемые в ЕГЭ

Пример 1. Решить уравнения:

а) <img width=«169» height=«45» src=«ref-3_612059186-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">.

Решение.Достаточно вначале выписать и решить систему неравенств, которые задают область определения и область значений арксинуса.

Проверка показывает, что x=-3 подходит.

Ответ.x=-3

б) <img width=«177» height=«41» src=«ref-3_612061618-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">

Решение.ОДЗ: <img width=«41» height=«19» src=«ref-3_612062002-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">. Вычисляя тангенсы обеих частей уравнения, получим

Ясно, что <img width=«83» height=«23» src=«ref-3_612064048-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660"> являются корнями исходного уравнения; <img width=«51» height=«24» src=«ref-3_612064222-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661"> — корень уравнения в силу нечетности функции арктангенс.

Ответ.<img width=«143» height=«24» src=«ref-3_612064351-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">

в) <img width=«209» height=«41» src=«ref-3_612064576-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">

Решение.ОДЗ: <img width=«41» height=«19» src=«ref-3_612062002-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">. По определению <img width=«308» height=«41» src=«ref-3_612065294-563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665"><img width=«12» height=«23» src=«ref-3_611975451-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">Вычисляя котангенсы обеих частей, получим эквивалентное уравнение (т.к. котангенс на интервале (0; <img width=«15» height=«15» src=«ref-3_611827999-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667">) монотонно убывающая функция и, следовательно, из равенств котангенсов двух углов следует равенство этих углов):

Ответ. <img width=«92» height=«23» src=«ref-3_612066851-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669">.

г) <img width=«179» height=«41» src=«ref-3_612067030-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">.

Решение.ОДЗ: <img width=«153» height=«56» src=«ref-3_612067392-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057"> Запишем уравнение в эквивалентной форме:

<img width=«196» height=«44» src=«ref-3_612067833-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">.

Отметим, что

и, следовательно, вычисляя синусы обеих частей уравнения, мы получим в качестве следствия уравнение

Проверка показывает, что <img width=«41» height=«23» src=«ref-3_612069684-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672"> является корнем исходного уравнения, а <img width=«47» height=«41» src=«ref-3_612069811-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673"> ему не удовлетворяет:

Значение <img width=«20» height=«23» src=«ref-3_612070537-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675"> появилось при переходе от исходного уравнения к уравнению-следствию.

Ответ. <img width=«44» height=«25» src=«ref-3_612070633-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">

д) <img width=«160» height=«22» src=«ref-3_612070751-596.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677">

Решение.ОДЗ: <img width=«159» height=«56» src=«ref-3_612071347-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678"> Отметим, что знаки обеих частей уравнения совпадают только на отрезке <img width=«44» height=«45» src=«ref-3_612071834-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">, где <img width=«231» height=«41» src=«ref-3_612072039-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680"> (на отрезке <img width=«288» height=«45» src=«ref-3_612072508-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681"> и, следовательно, уравнение не имеет решения). Но на отрезке <img width=«45» height=«45» src=«ref-3_612073119-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682"> функция синус монотонна и, следовательно, взяв синусы обеих частей уравнения, на отрезке <img width=«43» height=«45» src=«ref-3_612073322-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683"> получим уравнение, эквивалентное исходному: <img width=«12» height=«23» src=«ref-3_611975451-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684"><img width=«524» height=«48» src=«ref-3_612073591-1623.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">

Ответ. <img width=«39» height=«41» src=«ref-3_612075214-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">

е) <img width=«163» height=«41» src=«ref-3_612075359-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">

Решение.Перепишем уравнение в виде

и перейдем к уравнению-следствию, взяв косинус от обеих частей

При таком решении необходима проверка. Легко видеть, что х=0 – корень уравнения.

Ответ. х=0.

продолжение --PAGE_BREAK--

www.ronl.ru

Реферат Тригонометрические тождества

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Основные тригонометрические формулы
2 Формулы сложения аргументов
3 Формулы двойного угла
4 Формулы тройного угла
5 Формулы понижения степени
6 Формулы преобразования произведений функций
7 Формулы преобразования суммы функций
8 Решение простейших тригонометрических уравнений
9 Универсальная тригонометрическая подстановка
10 Вспомогательный аргумент (метод Юниса)
11 Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Введение

1. Основные тригонометрические формулы

2. Формулы сложения аргументов

Формула (7) получается при делении (5) на (6). А формула (8) — при делении (6) на (5)

Вывод формул

3. Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (5), (6) , (7) и (8), если принять, что угол β равен углу α:

4. Формулы тройного угла

Примечания

5. Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (24):

6. Формулы преобразования произведений функций

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:

sin(α + β) + sin(α − β) = sinαcosβ + cosαsinβ + sinαcosβ − cosαsinβ = = 2sinαcosβ.

То есть:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2}$ — формула (29).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

7. Формулы преобразования суммы функций

Вывод формул преобразования суммы функций

8. Решение простейших тригонометрических уравнений

$\operatorname{tg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

$\operatorname{ctg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

9. Универсальная тригонометрическая подстановка

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при $\alpha\neq \pi +2 \pi n$ ).

$\sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$

$\operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$

10. Вспомогательный аргумент (метод Юниса)

$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x \pm \arcsin{\frac{b} \sqrt{a^2 + b^2}})$

$a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (x \mp \arccos{\frac{a} \sqrt{a^2 + b^2}})$

11. Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

$~e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sinx и cosx следующим образом:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ , $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ .

Откуда:

$\operatorname{tg}\, x = \frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}$ $\operatorname{ctg}\, x = \frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}$

www.wreferat.baza-referat.ru

Смотрите также

..:::Новинки:::..

Windows Commander 5.11 Свежая версия.

Новая версия
IrfanView 3.75 (рус)

Обновление текстового редактора TextEd, уже 1.75a

System mechanic 3.7f
Новая версия

Обновление плагинов для WC, смотрим :-)

Весь Winamp
Посетите новый сайт.

WinRaR 3.00
Релиз уже здесь

PowerDesk 4.0 free
Просто - напросто сильный upgrade проводника.

..:::Счетчики:::..