Реферат: Основные положения Специальной теории относительности:. Основы специальной теории относительности реферат

Реферат Специальная теория относительности

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Создание СТО
2 Аксиоматические основания СТО
- 2.1 Основные понятия
- 2.2 Синхронизация времени
- 2.3 Линейность преобразований
- 2.4 Согласование единиц измерения
- 2.5 Изотропность пространства
- 2.6 Принцип относительности
- 2.7 Постулат постоянства скорости света
- 2.8 Непротиворечивость теории относительности
- 2.9 Геометрический подход
3 Различная запись преобразования Лоренца
4 Следствия преобразований Лоренца
- 4.1 Сложение скоростей
- 4.2 Замедление времени
- 4.3 Относительность одновременности
- 4.4 Сокращение линейных размеров
- 4.5 Эффект Доплера
- 4.6 Аберрация
5 Релятивистская динамика
- 5.1 Энергия и импульс
- 5.2 Уравнения движения
- 5.3 Преобразования энергии и импульса
6 Ковариантная формулировка
- 6.1 Четырёхмерное пространство-время
- 6.2 Метрический тензор
- 6.3 4-вектор
7 Экспериментальные основания СТО
- 7.1 Релятивистское замедление времени
- 7.2 Независимость скорости света от движения источника
8 Исторический очерк
9 Связь с другими теориями
- 9.1 Гравитация
- 9.2 Классическая механика
- 9.3 Квантовая механика
10 Примечания
11 Источники
12 Литература
- 13.1 Работы основоположников
- 13.1.2 Доп. литература
- 13.2.3 Разное

Введение

Почтовая марка с формулой E = mc2, посвящённая Альберту Эйнштейну,одному из создателей СТО.

Специальная теория относительности (СТО; частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями.

1. Создание СТО

Предпосылкой к созданию теории относительности явилось развитие в XIX веке электродинамики [1]. Результатом обобщения и теоретического осмысления экспериментальных фактов и закономерностей в областях электричества и магнетизма стали уравнения Максвелла, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. В электродинамике Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не зависит от скоростей движения как источника этих волн, так и наблюдателя, и равна скорости света. Таким образом, уравнения Максвелла оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея, что противоречило классической механике.

Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна и других учёных [2] (см. ниже исторический очерк). Экспериментальной основой для создания СТО послужил опыт Майкельсона. Его результаты оказались неожиданными для классической физики своего времени: независимость скорости света от направления (изотропность) и орбитального движения Земли вокруг Солнца. Попытка интерпретировать этот результат в начале XX века вылилась в пересмотр классических представлений, и привела к созданию специальной теории относительности.

При движении с околосветовыми скоростями видоизменяются законы динамики. Второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован при скоростях тел, близких к скорости света. Кроме этого, выражение для импульса и кинетической энергии тела имеет более сложную зависимость от скорости, чем в нерелятивистском случае.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является верной теорией в своей области применимости[3] (см. Экспериментальные основания СТО). По меткому замечанию Л. Пэйджа, «в наш век электричества вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать»[4].

2. Аксиоматические основания СТО

Специальная теория относительности, как и любая другая физическая теория, может быть определена как аксиоматическая математическая конструкция из своих основных понятий и формулировок исходных постулатов (аксиом) плюс правила соответствия её физическим объектам.

2.1. Основные понятия

Система отсчёта представляет собой некоторое материальное тело, выбираемое в качестве начала этой системы, способ определения положения объектов относительно начала системы отсчёта и способ измерения времени. Обычно различают системы отсчёта и системы координат. Добавление процедуры измерения времени к системе координат «превращает» её в систему отсчёта.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) — это такая система, относительно которой объект, не подверженный внешним воздействиям, движется равномерно и прямолинейно. Постулируется, что любая система отсчёта, движущаяся относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, также является ИСО.

Событием называется любой физический процесс, который может быть локализован в пространстве, и имеющий при этом очень малую длительность. Другими словами, событие полностью характеризуется координатами (x, y, z) и моментом времени t. Примерами событий являются: вспышка света, положение материальной точки в данный момент времени и т. п.

Обычно рассматриваются две инерциальные системы S и S'. Время и координаты некоторого события, измеренные относительно системы S обозначаются как (t, x, y, z), а координаты и время этого же события, измеренные относительно системы S', как (t', x', y', z'). Удобно считать, что координатные оси систем параллельны друг другу и система S' движется вдоль оси x системы S со скоростью v. Одной из задач СТО является поиск соотношений, связывающих (t', x', y', z') и (t, x, y, z), которые называются преобразованиями Лоренца.

2.2. Синхронизация времени

В СТО постулируется возможность определения единого времени в рамках данной инерциальной системы отсчёта. Для этого вводится процедура синхронизации двух часов, находящихся в различных точках ИСО [5]. Пусть от первых часов, в момент времени t1 ко вторым посылается сигнал (не обязательно световой) с постоянной скоростью u. Сразу по достижении вторых часов (по их показаниям в момент времени T) сигнал отправляется обратно с той же постоянной скоростью u и достигает первых часов в момент времени t2. Часы считаются синхронизированными, если выполняется соотношение T = (t1 + t2) / 2.

Предполагается, что такая процедура в данной инерциальной системе отсчёта может быть проведена для любых неподвижных относительно друг друга часов, так что справедливо свойство транзитивности: если часы A синхронизованы с часами B, а часы B синхронизованы с часами C, то часы A и C также окажутся синхронизованными.

В отличие от классической механики единое время можно ввести только в рамках данной системы отсчёта. В СТО не предполагается, что время является общим для различных систем. В этом состоит основное отличие аксиоматики СТО от классической механики, в которой постулируется существование единого (абсолютного) времени для всех систем отсчёта.

2.3. Линейность преобразований

Простейшими преобразованиями между двумя ИСО являются линейные. Например, для координаты x и времени t можно записать:

$t' = A_1 + B_1\, t + C_1\, x,~~~~~~~~~~~~~~~x' = A_2 + B_2\, t + C_2\, x,$

где Ai,Bi,Ci — некоторые постоянные коэффициенты, которые могут зависеть от единственного параметра — относительной скорости v. Линейность преобразований обычно [6][7] связывается с однородностью пространства и времени.

Вообще говоря, можно показать, что в общем случае преобразования между двумя ИСО должны быть дробно-линейными функциями координат и времени с одинаковым знаменателем [8][9]. Для этого достаточно использовать определение ИСО: если некоторое тело имеет постоянную скорость относительно одной инерциальной системы отсчёта, то его скорость будет постоянна и относительно любой другой ИСО.

Для получения линейных преобразований необходимо выполнение более сильного требования: если два объекта имеют одинаковые скорости относительно одной инерциальной системы отсчёта, то их скорости будут равны и в любой другой инерциальной системе [10].

2.4. Согласование единиц измерения

Чтобы измерения, выполненные в различных ИСО, можно было между собой сравнивать, необходимо провести согласование единиц измерения между системами отсчёта. Так, единицы длины могут быть согласованы при помощи сравнения эталонов длины в перпендикулярном направлении к относительному движению инерциальных систем отсчёта[11]. Например, это может быть кратчайшее расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно осям x и x' и имеющих различные, но постоянные координаты (y, z) и (y',z'). Поэтому при относительном движении систем вдоль оси x можно считать, что y'=y, z'=z.

Для согласования единиц измерения времени можно использовать идентично устроенные часы, например, атомные. Другой способ согласования единиц времени — это соглашение о некотором значении относительной скорости систем отсчёта. Если начало системы S' (x'=0) движется со скоростью v вдоль оси x системы S, то его траектория в этой системе будет иметь вид x=vt. Аналогично, начало системы отсчёта S (x=0) движется относительно S' со скоростью -v, поэтому имеет траекторию x'=-vt'. При этом событие совпадения начал отсчёта систем выбирается за начальный момент времени (t'=t=0, когда x'=x=0). Эти соглашения позволяют записать преобразования в следующем виде:

$t'= \gamma(v) \bigl(t-\sigma(v)\, x\bigr),~~~~~~~~~~~~x'=\gamma(v) \bigl(x-v\,t\bigr),~~~~~~~ y'=y,~~~~~~~~z'=z,$

где коэффициенты γ(v), σ(v) зависят от относительной скорости систем отсчёта и для своего определения требуют дополнительных предположений.

2.5. Изотропность пространства

Пространство в инерциальных системах отсчёта предполагается изотропным (нет выделенных направлений). Это приводит к тому, что γ(v) является чётной функцией скорости: γ( − v) = γ(v).

Рассмотрим, например, измерение длины некоторого объекта (линейки), неподвижного в системе отсчёта S'. Если одновременно (Δt = 0) в системе S измерить координаты «начала» и «конца» линейки, то её длина Δx' = γ(v)Δx не должна зависеть от направления (знака) скорости v, откуда следует, что функция γ(v) является чётной.

2.6. Принцип относительности

Ключевым для аксиоматики специальной теории относительности является принцип относительности, утверждающий равноправие инерциальных систем отсчёта. Это означает, что все физические процессы в инерциальных системах отсчёта описываются одинаковым образом. Совместно с остальными постулатами, перечисленными выше, принципа относительности достаточно, чтобы получить явный вид преобразований координат и времени между ИСО [10][12][13].

Для этого необходимо рассмотреть три инерциальные системы S1, S2 и S3. Пусть скорость системы S2 относительно системы S1 равна v1, скорость системы S3 относительно S2 равна v2, а относительно S1, соответственно, v3. Записывая последовательность преобразований (S2, S1), (S3, S2) и (S3, S1), можно получить следующее равенство [10]:

$\frac{\sigma(v_1)}{v_1}=\frac{\sigma(v_2)}{v_2}=\alpha.$

Доказательство

Преобразования (S2, S1) (S3, S2) имеют вид:

$\left\{ \begin{array}{lcl} x_2&=& \gamma_1\cdot [ x_1 - v_1\,t_1 \,]\\ t_2&=& \gamma_1\cdot [ t_1 - \sigma_1\, x_1 ] \end{array} \right. ~~~~~~~~~~~~~~ \left\{ \begin{array}{lcl} x_3&=& \gamma_2\cdot [ x_2 - v_2\,t_2 \,]\\ t_3&=& \gamma_2\cdot [ t_2 - \sigma_2\, x_2 ], \end{array} \right.$

где γ1 = γ(v1), и т.д. Подстановка (x2,t2) из первой системы во вторую, даёт:

$\left\{ \begin{array}{lclcl} x_3&=& \gamma_2\gamma_1\cdot [ (1+v_2\sigma_1)\,x_1 - (v_1+v_2)\,t_1~] &=& \gamma_3 \cdot[x_1-v_3\, t_1]\\ t_3&=& \gamma_2\gamma_1\cdot [ (1+v_1\sigma_2)\,t_1\,- (\sigma_1+ \sigma_2)\, x_1] &=& \gamma_3 \cdot[t_1-\,\sigma_3\, x_1]. \end{array} \right.$

Второе равенство является записью преобразований между системами S3 и S1. Если приравнять коэффициенты при x1 в первом уравнении системы и при t1 во втором, то:

$\left\{ \begin{array}{l} \gamma_3 = (1+v_2\sigma_1) \gamma_1\gamma_2\\ \gamma_3 = (1+v_1\sigma_2) \gamma_1\gamma_2, \end{array}\right.$

Разделив одно уравнение на другое, несложно получить искомое соотношение.

Так как относительные скорости систем отсчёта v1 и v2 произвольные и независимые величины, то это равенство будет выполняться только в случае, когда отношение σ(v) / v равно некоторой константе α, единой для всех инерциальных систем отсчёта, и, следовательно, $\sigma(v)=\alpha\,v$ .

Существование обратного преобразования между ИСО, отличающегося от прямого только заменой знака относительной скорости, позволяет найти функцию $\gamma(v)=1/\sqrt{1-\alpha\,v^2}$ .

Доказательство

В силу принципа относительности две инерциальные системы отсчёта S и S' полностью равноправны. Поэтому должно существовать обратное преобразование от S' к S, в котором перед скоростью должен быть знак минус:

$x = \gamma(-v) [x'+v\, t'] = \gamma(-v)\gamma(v)[1- \alpha\,v^2 ]\,x,$

Во втором равенстве подставлено прямое преобразование:

$x'=\gamma(v)(x-vt),~~~~~~~~~ t'=\gamma(v)(t-\sigma(v)x)$

и учтено, что $\sigma(v)=\alpha\,v$ Воспользовавшись свойством чётности γ(v) (аксиома изотропности), несложно получить, что $\gamma^2=1/(1-\alpha\,v^2)$ . При извлечении квадратного корня необходимо выбрать знак плюс, чтобы, например, время событий, происходящих в точке x=0, были положительными t' = γ(v)t при t > 0 (время "течёт" в одну сторону).

Таким образом, с точностью до произвольной константы α, получается явный вид преобразований между двумя ИСО. О численном значении константы α и её знаке без обращения к эксперименту ничего сказать нельзя [14]. Если α > 0, то удобно ввести обозначение α = 1 / c2. Тогда преобразования принимают следующий вид:

$t'=\frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~~~~~~x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~~~z'=z.$

и называются преобразованиями Лоренца. Из дальнейшего анализа станет ясно, что константа $c\,$ имеет смысл максимальной скорости движения любого объекта. Подобный вывод преобразований Лоренца стал известен спустя 5 лет после известной статьи Эйнштейна 1905 года, благодаря работам Игнатовского[12], Франка и Роте [8] (см. исторический очерк).

2.7. Постулат постоянства скорости света

Исторически важную роль при построении СТО сыграл второй постулат Эйнштейна, утверждающий, что скорость света c не зависит от скорости движения источника и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Именно при помощи этого постулата и принципа относительности Альберт Эйнштейн в 1905 г. получил преобразования Лоренца с фундаментальной константой c, имеющей смысл скорости света. С точки зрения описанного выше аксиоматического построения СТО второй постулат Эйнштейна оказывается теоремой теории и непосредственно следует из преобразований Лоренца (см. релятивистское сложение скоростей). Тем не менее, в силу его исторической важности, такой вывод преобразований Лоренца широко используется в учебной литературе [6][7][15].

Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея привела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальная константа c, возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт связан с безмассовостью электромагнитных полей. Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость c и скорость света cem[16]. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия. Чтобы измерить фундаментальную скорость c, нет необходимости проводить электродинамические эксперименты. Достаточно, воспользовавшись, например, релятивистским правилом сложения скоростей по значениям скорости некоторого объекта относительно двух ИСО, получить значение фундаментальной скорости c [17].

2.8. Непротиворечивость теории относительности

Теория относительности является логически непротиворечивой теорией. Это означает, что из её исходных положений нельзя логически вывести некоторое утверждение одновременно с его отрицанием. Поэтому множество так называемых парадоксов (подобных парадоксу близнецов) являются кажущимися. Они возникают в результате некорректного применения теории к тем или иным задачам, а не в силу логической противоречивости СТО.

Справедливость теории относительности, как и любой другой физической теории, в конечном счёте проверяется эмпирически. Кроме этого, логическая непротиворечивость СТО может быть доказана аксиоматически. Например, в рамках группового подхода [18][19][20][21][22] показывается, что преобразования Лоренца могут быть получены на основе подмножества аксиом классической механики. Этот факт сводит доказательство непротиворечивости СТО к доказательству непротиворечивости классической механики. Действительно, если следствия из более широкой системы аксиом являются непротиворечивыми, то они, тем более, будут непротиворечивыми при использовании только части аксиом [23]. С точки зрения логики противоречия могут возникать, когда к уже существующим аксиомам добавляется новая аксиома, не согласующаяся с исходными. В аксиоматическом построении СТО, описанном выше, этого не происходит, поэтому СТО является непротиворечивой теорией[10].

2.9. Геометрический подход

Возможны другие подходы к построению специальной теории относительности. Следуя Минковскому и более ранней работе Пуанкаре, можно постулировать существование единого метрического четырёхмерного пространства-времени с 4-координатами (ct,x,y,z). В простейшем случае плоского пространства метрика, определяющая расстояние между двумя бесконечно близкими точками, может быть евклидовой или псевдоевклидовой (см. ниже). Последний случай соответствует специальной теории относительности. Преобразования Лоренца при этом являются поворотами в таком пространстве, которые оставляют неизменным расстояние между двумя точками.

Возможен ещё один подход, в котором постулируется геометрическая структура пространства скоростей. Каждая точка такого пространства соответствует некоторой инерциальной системе отсчёта, а расстояние между двумя точками — модулю относительной скорости между ИСО. В силу принципа относительности все точки такого пространства должны быть равноправными, а, следовательно, пространство скоростей является однородным и изотропным. Если его свойства задаются римановой геометрией, то существует три и только три возможности: плоское пространство, пространство постоянной положительной и отрицательной кривизны. Первый случай соответствует классическому правилу сложения скоростей. Пространство постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) соответствует релятивистскому правилу сложения скоростей и специальной теории относительности.

3. Различная запись преобразования Лоренца

Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта S и S' параллельны друг другу, (t, x,y, z) — время и координаты некоторого события, наблюдаемого относительно системы S, а (t',x',y',z') — время и координаты того же события относительно системы S'. Если система S' движется равномерно и прямолинейно со скоростью v относительно S, то справедливы преобразования Лоренца:

$t'=\frac{t-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c^2}\,x}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~ x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z,$

где c -скорость света. При скоростях много меньше скорости света ( $v\ll c$ ) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:

t'=t,~~~~~~~~~~~ x'=x-vt,~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z.

Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику).

Преобразования Лоренца можно записать в векторном виде [24], когда скорость систем отсчёта направлена в произвольном направлении (не обязательно вдоль оси x):

$t'=\gamma\cdot \left(t-\frac{\mathbf{r}\mathbf{v}}{c^2}\right),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{r}' = \mathbf{r} - \gamma\mathbf{v} t + (\gamma-1)\,\frac{(\mathbf{r}\mathbf{v}) \mathbf{v}}{v^2}.$

где $\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2}$ — фактор Лоренца, $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}'$ — радиус-векторы события относительно систем S и S'.

4. Следствия преобразований Лоренца

4.1. Сложение скоростей

Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Если некоторый объект имеет компоненты скорости $(u_x, u_y,u_z)\,$ относительно системы S и $(u'_x, u'_y,u'_z)\,$ — относительно S', то между ними существует следующая связь:

$u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2},~~~~~~~~~~ u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2},~~~~~~~~~~ u'_z=\frac{u_z\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2}.$

В этих соотношениях относительна скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях ( $v\ll c$ ) переходит в классический закон сложения скоростей.

Если объект движется со скоростью света $u_x=c\$ вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S': $u'_x=c\$ . Это означает, что скорость $c\,$ является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.

4.2. Замедление времени

Если часы неподвижны в системе $\textstyle S'$ , то для двух последовательных событий имеет место $\textstyle \Delta x'=0$ . Такие часы перемещаются относительно системы $\textstyle S$ по закону $\textstyle \Delta x=v\Delta t$ , поэтому интервалы времени связаны следующим образом:

$\Delta t'=\Delta t\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}.$

Важно понимать, что в этой формуле интервал времени $\textstyle \Delta t'$ измеряется одними движущимися часами $\textstyle S'$ . Он сравнивается с показаниями $\textstyle \Delta t$ нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе $\textstyle S$ , мимо которых движутся часы $\textstyle S'$ . В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы $\textstyle S'$ идут медленнее неподвижных часов. С этим эффектом связан так называемый парадокс близнецов.

Если часы движутся с переменной скоростью $\mathbf{u}(t)$ относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т. н. собственное время), не зависит от ускорения, и может быть вычислено по следующей формуле:

$t'=\int\limits^t_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)/c^2}\cdot dt,$

где при помощи интегрирования, суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т. н. мгновенно сопутствующих ИСО).

4.3. Относительность одновременности

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта $S'\$ , то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы $S\$ . При Δt' = 0 из преобразований Лоренца следует

$\Delta t = \frac{v}{c^2} \Delta x.$

Если Δx = x2 − x1 > 0, то и Δt = t2 − t1 > 0. Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого (t2 > t1). Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

С точки зрения системы S

С точки зрения системы S'

Пусть в двух системах отсчёта, вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время.

Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S' (правый рисунок).

4.4. Сокращение линейных размеров

Если длину (форму) движущегося объекта определять при помощи одновременной фиксации координат его поверхности, то из преобразований Лоренца следует, что линейные размеры такого тела относительно «неподвижной» системы отсчёта сокращаются:

$l = l_0 \sqrt{1 - (v/c)^2}\$ ,

где $l = \Delta x\$ — длина вдоль направления движения относительно неподвижной системы отсчёта, а $l_0 = \Delta x'\$ — длина в движущейся системе отсчёта, связанной с телом (т. н. собственная длина тела). При этом сокращаются продольные размеры тела (то есть измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры не изменяются.

Такое сокращение размеров ещё называют лоренцевым сокращением. При визуальном наблюдении движущихся тел, дополнительно к лоренцевому сокращению необходимо учитывать время распространения светового сигнала от поверхности тела. В результате быстро движущееся тело выглядит повёрнутым, но не сжатым в направлении движения.

4.5. Эффект Доплера

Пусть источник, движущийся со скоростью v, излучает со скоростью света периодический сигнал, имеющий частоту ν0. Эта частота измеряется наблюдателем, связанным с источником (т. н. собственная частота). Если этот же сигнал регистрируется «неподвижным» наблюдателем, то его частота ν будет отличаться от собственной частоты:

$\nu = \nu_0 \cdot \frac \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}{1+\frac{v}{c} \cdot \cos \theta},$

где θ — угол между направлением на источник и его скоростью.

Различают продольный и поперечный эффект Доплера. В первом случае θ = 0, то есть источник и приёмник находятся на одной прямой. Если источник движется от приёмника, то его частота уменьшается ν < ν0 (красное смещение), а если приближается, то частота увеличивается ν > ν0 (синее смещение):

Поперечный эффект возникает, когда θ = π / 2, то есть направление на источник перпендикулярно его скорости (например, источник «пролетает над» приёмником). В этом случае непосредственно проявляется эффект замедления времени:

$\nu = \nu_0 \cdot \sqrt{1-v^2/c^2}.$

Аналога поперечного эффекта в классической физике нет, и это чисто релятивистский эффект. В отличие от этого, продольный эффект Доплера обусловлен как классической составляющей, так и релятивистским эффектом замедления времени.

4.6. Аберрация

Аберрация света является видимым смещением объекта при относительном движении наблюдателя и этого объекта. Пусть в системе отсчёта S' источник света неподвижен, и находится под углом θ' к оси x'. Тогда в системе S, относительно которой система S' движется вдоль оси x со скоростью v, направление на этот источник света составит угол θ. В соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей, эти два угла связаны следующим образом:

$\cos \theta = \frac{\cos \theta' - \beta}{1- \beta\cos\theta'},~~~~~~~~~~~~ \sin \theta = \frac{\sqrt{1-\beta^2}\cdot \sin \theta'}{1- \beta\cos\theta'},$

где β = v / c.

5. Релятивистская динамика

5.1. Энергия и импульс

Релятивистский и классический импульс, m=1

Если частица с массой m движется со скоростью $\mathbf{u}$ , то её энергия и импульс имеют следующую зависимость от скорости:

$E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle \mathbf{u}^2}{\displaystyle c^2}}}, ~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} = \frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle \mathbf{u}^2}{\displaystyle c^2}}}.$

Эти соотношения обобщают классические выражения для энергии и импульса, получающиеся в результате разложения в ряд по $\mathbf{u}^2/c^2$ :

$E \approx mc^2 + \frac{m \mathbf{u}^2}{2}+..., ~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} \approx m\mathbf{u}+...$

При нулевой скорости, энергия частицы называется энергией покоя: $E_0 = mc^2\$ . В современной физической литературе, принято, что m — масса частицы не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной. Понятие «релятивистской массы», зависящей от скорости $m(\mathbf{u})$ не используется [25] , хотя оно и встречается в ранних работах по теории относительности. Историческая причина введения этого понятия была связана с попытками сохранить для релятивистского импульса классическую форму: $\mathbf{p}= m(\mathbf{u})\,\mathbf{u}$ .

При приближении скорости тела к скорости света, его энергия и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой «обычные» объекты неспособны двигаться быстрее скорости света. Для частицы с ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной энергии. Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях близких к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при скорости u=c/4, относительная разница релятивистского и классического импульса составляет всего 3 %.

Между релятивистской энергией и импульсом существуют следующие связи:

$E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4,~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} = \frac{E}{c^2}\, \mathbf{u}.$

Эти формулы остаются справедливыми и для объектов, движущихся со скоростью света. В этом случае их масса должна быть равна нулю m = 0.

5.2. Уравнения движения

Действующая на тело сила $\mathbf{F}$ изменяет его импульс. Поэтому второй закон Ньютона в форме

$\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}$

остаётся справедливым также и в теории относительности. Однако, производная по времени берётся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь силы и ускорения существенно отличается от классической:

$\mathbf{F} = \frac{m\mathbf{a}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}+\frac{m\mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\mathbf{a})/c^2}{(1-\mathbf{u}^2/c^2)^{3/2}}.$

Первое слагаемое содержит «релятивистскую массу» равную отношению силы к ускорению. В ранних работах по теории относительности её называли «продольной массой». Второе слагаемое содержит «поперечную массу». Как было отмечено выше, эти понятия являются устаревшими и связаны с попыткой сохранить классическое уравнение движения Ньютона $\mathbf{F} =m\mathbf{a}$ .

Скорость изменения энергии равна скалярному произведению силы на скорость тела:

$\frac{dE}{dt}= \mathbf{u}\mathbf{F}.$

Это приводит к тому, что, как и в классической механике, составляющая силы перпендикулярная к скорости частицы не изменяет её энергию (например, магнитная составляющая в силе Лоренца).

5.3. Преобразования энергии и импульса

Аналогично преобразованиям Лоренца для времени и координат, релятивистские энергия и импульс, измеренные относительно различных инерциальных систем отсчёта, также связаны определёнными соотношениями:

$E'=\frac{E-vp_x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~p'_x=\frac{p_x-vE/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~~~p'_y=p_y,~~~~~~~~~~p'_z=p_z,$

где компоненты вектора импульса $\mathbf{p}\$ равны $(p_x, p_y, p_z)\,$ . Относительная скорость и ориентация инерциальных систем отсчёта S, S' определены также как и в преобразованиях Лоренца.

6. Ковариантная формулировка

6.1. Четырёхмерное пространство-время

Преобразования Лоренца оставляют инвариантной (неизменной) следующую величину, называемую интервалом:

$\Delta s^2 = c^2 \Delta t^2_{} - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2,$

где $\Delta t=t_2-t_1,~\Delta x=x_2-x_1$ , и т. д. — являются разностями времён и координат двух событий. Если Δs2 > 0, то говорят, что события разделены времениподобным интервалом; если Δs2 < 0, то пространственноподобным. Наконец, если Δs2 = 0, то такие интервалы называются светоподобными. Светоподобный интервал соответствует событиям, связанным сигналом, который распространяется со скоростью света. Инвариантность интервала означает, что он имеет одинаковое значение относительно двух инерциальных систем отсчёта: Δs2 = Δs'2.

Световой конус

По своей форме интервал напоминает расстояние в евклидовом пространстве. Однако, он имеет различный знак у пространственных и временных составляющих события, поэтому говорят, что интервал задаёт расстояние в псевдоевклидовом четырёхмерном пространстве-времени. Его также называют пространством-временем Минковского. Преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве. Вращения базиса в четырёхмерном пространстве-времени, смешивающие временную и пространственные координаты 4-векторов, выглядят как переход в движущуюся систему отсчета и похожи на вращения в обычном трёхмерном пространстве. При этом естественно изменяются проекции четырёхмерных интервалов между определёнными событиями на временную и пространственные оси системы отсчёта, что и порождает релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. Именно инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Используя только две пространственные координаты (x, y), четырёхмерное пространство можно изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0, x=y=0) световым сигналом (светоподобный интервал) лежат на так называемом световом конусе (см. рисунок справа).

6.2. Метрический тензор

Расстояние между двумя бесконечно близкими событиями можно записать при помощи метрического тензора gαβ в тензорном виде:

$ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha\,dx^\beta,$

где (x0,x1,x2,x3) = (ct,x,y,z), а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 0 до 3. В инерциальных системах отсчёта с декартовыми координатами метрический тензор имеет следующий вид:

$g_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right).$

Кратко эта диагональная матрица обозначается таким образом: $g_{ab}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$ .

Выбор недекартовой системы координат (например, переход к сферическим координатам) или рассмотрение неинерциальных систем отсчёта приводит к изменению значений компонент метрического тензора. Однако, в рамках специальной теории относительности, всегда существует преобразование координат и времени, которое делает метрический тензор диагональным, с сигнатурой $g_{ab}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$ . Эта физическая ситуация соответствует переходу в инерциальную систему отсчёта с декартовыми координатами. Другими словами четырёхмерное пространство-время специальной теории относительности является плоским (псевдоевклидовым). В отличие от этого, общая теория относительности (ОТО) рассматривает искривлённые пространства, в которых метрический тензор никаким преобразованием координат нельзя привести к псевдоевклидовому виду во всём пространстве.

6.3. 4-вектор

Соотношения СТО могут быть записаны в тензорном виде при помощи введения вектора с четырьмя компонентами Aα = (A0,A1,A2,A3) (цифра или индекс вверху компоненты является её номером, а не степенью!). Нулевую компоненту 4-вектора называют временно́й, а компоненты с индексами 1,2,3 — пространственными. Они соответствуют компонентам обычного трёхмерного вектора, поэтому, 4-вектор обозначается также следующим образом: $A^\alpha=(A^0, \mathbf{A})$ .

Компоненты 4-вектора, измеренные относительно двух инерциальных систем отсчёта, движущихся с относительной скоростью v, связаны друг с другом следующим образом:

$A'^0=\frac{A^0-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c}\,A^1}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~ A'^1=\frac{A^1-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c} A^0}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~A'^2=A^2,~~~~~~~~~~~A'^3=A^3.$

Примерами 4-векторов являются: точка в псевдоевклидовом пространстве-времени xα, характеризующая событие и энергия-импульс pα:

$x^\alpha = (ct, x,y,z)=(ct, ~\mathbf{r}),$ $p^\alpha = (E/c, p_x,p_y,p_z)=(E/c, ~\mathbf{p}).$ .

При помощи метрического тензора можно ввести т. н. ковекторы, которые обозначаются той же буквой, но с нижним индексом:

Aα = gαβAβ = gα0A0 + gα1A1 + gα2A2 + gα3A3.

Для диагонального метрического тензора с сигнатурой gαβ = diag(1, − 1, − 1, − 1), ковектор отличается от 4-вектора знаком перед пространственными компонентами. Так, если $A^\alpha=(A^0, \mathbf{A})$ , то $A_\alpha=(A^0, -\mathbf{A})$ . Свёртка вектора и ковектора является инвариантом и имеет одинаковое значение во всех инерциальных системах отсчёта:

$g_{\alpha\beta}A^{\alpha} A^{\beta}= A_\alpha A^\alpha = (A^0)^2-\mathbf{A}^2 = \mathrm{inv}.$

Например, свёртка (квадрат — 4-вектора) энергии-импульса пропорциональна квадрату массы частицы:

$p^2=p_\alpha p^\alpha = \frac{E^2}{c^2}-\mathbf{p}^2 = m^2 c^2$ .

7. Экспериментальные основания СТО

Специальная теория относительности лежит в основе всей современной физики. Поэтому какого-либо отдельного эксперимента, «доказывающего» СТО, нет. Вся совокупность экспериментальных данных в физике высоких энергий, ядерной физике, спектроскопии, астрофизике, электродинамике и других областях физики согласуется с теорией относительности в пределах точности эксперимента. Например, в квантовой электродинамике (объединение СТО, квантовой теории и уравнений Максвелла) значение аномального магнитного момента электрона совпадает с теоретическим предсказанием с относительной точностью 10 − 9 [26].

Фактически СТО является инженерной наукой. Её формулы используются при расчёте ускорителей элементарных частиц. Обработка огромных массивов данных по столкновению частиц, двигающихся с релятивистскими скоростями в электромагнитных полях, основана на законах релятивистской динамики, отклонения от которых обнаружено не было. Поправки, следующие из СТО и ОТО, используются в системах спутниковой навигации (GPS). СТО лежит в основе ядерной энергетики, и т. д.

Всё это не означает, что СТО не имеет пределов применимости. Напротив, как и в любой другой теории, они существуют, и их выявление является важной задачей экспериментальной физики. Например, в теории гравитации Эйнштейна (ОТО) рассматривается обобщение псевдоевклидового пространства СТО на случай пространства-времени, обладающего кривизной, что позволяет объяснить большую часть астрофизических и космологических наблюдаемых данных. Существуют попытки обнаружить анизотропию пространства и другие эффекты, которые могут изменить соотношения СТО [27]. Однако необходимо понимать, что если они будут обнаружены, то приведут к более общим теориям, предельным случаем которых снова будет СТО. Точно так же при малых скоростях верной остаётся классическая механика, являющаяся частным случаем теории относительности. Вообще, в силу принципа соответствия, теория, получившая многочисленные экспериментальные подтверждения, не может оказаться неверной, хотя, конечно, область её применимости может быть ограничена.

Ниже приведены только некоторые эксперименты, иллюстрирующие справедливость СТО и её отдельных положений.

7.1. Релятивистское замедление времени

То, что время движущихся объектов течёт медленнее, получает постоянное подтверждение в экспериментах, проводимых в физике высоких энергий. Например, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе в CERN [28] с точностью $2\cdot 10^{-3}$ увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В данном эксперименте скорость мюонов была равна 0.9994 от скорости света, в результате чего время их жизни увеличилось в 29 раз. Этот эксперимент важен также тем, что при 7-метровом радиусе кольца ускорение мюонов достигало значений 1018 от ускорения свободного падения. Это в свою очередь, свидетельствует о том, что эффект замедления времени обусловлен только скоростью объекта и не зависит от его ускорения.

Измерение величины замедления времени проводилось также с макроскопическими объектами. Например, в эксперименте Хафеле — Китинга проводилось сравнение показаний неподвижных атомных часов, и атомных часов, летавших на самолёте.

7.2. Независимость скорости света от движения источника

На заре возникновения теории относительности определённую популярность получили идеи Вальтера Ритца о том, что отрицательный результат опыта Майкельсона может быть объяснён при помощи баллистической теории[7]. В этой теории предполагалось, что свет со скоростью c излучается относительно источника, и происходит сложение скорости света и скорости источника в соответствии с классическим правилом сложения скоростей. Естественно, эта теория противоречит СТО.

Астрофизические наблюдения являются убедительным опровержением подобной идеи. Например, при наблюдении двойных звёзд, вращающихся относительно общего центра масс, в соответствии с теорией Ритца происходили бы эффекты, которые на самом деле не наблюдаются (аргумент де Ситтера). Действительно, скорость света («изображения») от звезды, приближающейся к Земле, была бы выше скорости света от удаляющейся при вращении звезды. При большом расстоянии от двойной системы более быстрое «изображение» существенно обогнало бы более медленное. В результате, видимое движение двойных звёзд выглядело бы достаточно странным, что не наблюдается.

Иногда встречается возражение, что гипотеза Ритца «на самом деле» верна, но свет при движении сквозь межзвёздное пространство переизлучается атомами водорода, имеющими в среднем нулевую скорость относительно Земли, и достаточно быстро приобретает скорость c.

Однако, если бы это было так, возникала бы существенная разница в изображении двойных звёзд в различных диапазонах спектра, так как эффект «увлечения» средой света существенно зависит от его частоты [29].

В опытах Томашека (1923 г.) при помощи интерферометра сравнивались интерференционные картины от земных и внеземных источников (Солнце, Луна, Юпитер, звёзды Сириус и Арктур). Все эти объекты имели различную скорость относительно Земли, однако смещения интерференционных полос, ожидаемых в модели Ритца, обнаружено не было. Эти эксперименты в дальнейшем неоднократно повторялись. Например, в эксперименте Бонч-Бруевича М. А. и Молчанова В. А. (1956 г.) измерялась скорость света от различных краёв вращающегося Солнца. Результаты этих экспериментов также противоречат гипотезе Ритца [30].

Независимость скорости света от скорости источника регистрируется и в наземных экспериментах. Например, проводилось измерение скорости пары фотонов, возникающих при аннигиляции электрона и позитрона, центр масс которых двигался со скоростью, равной половине скорости света. С экспериментальной точностью 10 % сложение скорости света и скорости источника обнаружено не было [31][32][33].

8. Исторический очерк

9. Связь с другими теориями

9.1. Гравитация

Для описания гравитации разработано особое расширение теории относительности, в котором допускается кривизна пространства-времени. Тем не менее, динамика даже в рамках СТО может включать гравитационное взаимодействие, пока потенциал гравитационного поля много меньше c2.

Следует также заметить, что специальная теория относительности перестает работать в масштабах всей Вселенной, требуя замены на ОТО.

9.2. Классическая механика

Теория относительности входит в существенное противоречие с некоторыми аспектами классической механики. Например, парадокс Эренфеста показывает несовместимость СТО с понятием абсолютно твёрдого тела. Надо отметить, что даже в классической физике предполагается, что механическое воздействие на твёрдое тело распространяется со скоростью звука, а отнюдь не с бесконечной (как должно быть в воображаемой абсолютно твёрдой среде).

9.3. Квантовая механика

Специальная теория относительности (в отличие от общей) полностью совместима с квантовой механикой. Их синтезом является релятивистская квантовая теория поля. Однако, обе теории вполне независимы друг от друга. Возможно построение как квантовой механики, основанной на нерелятивистском принципе относительности Галилея (см. уравнение Шрёдингера), так и теорий на основе СТО, полностью игнорирующих квантовые эффекты. Например, квантовая теория поля может быть сформулирована как нерелятивистская теория[34]. В то же время, такое квантовомеханическое явление, как спин, последовательно не может быть описано без привлечения теории относительности (см. Уравнение Дирака).

Развитие квантовой теории всё ещё продолжается, и многие физики считают, что будущая полная теория ответит на все вопросы, имеющие физический смысл, и даст в пределах как СТО в сочетании с квантовой теорией поля, так и ОТО. Скорее всего, СТО ожидает такая же судьба, как и механику Ньютона — будут точно очерчены пределы её применимости. В то же время такая максимально общая теория пока является отдалённой перспективой.

10. Примечания

11. Источники

Гинзбург В. Л. Как и кто создал теорию относительности? в Эйнштейновский сборник, 1966. — М.: Наука, 1966. — С. 363. — 375 с. — 16000 экз.
Гинзбург В. Л. Как и кто создал теорию относительности? в Эйнштейновский сборник, 1966. — М.: Наука, 1966. — С. 366-378. — 375 с. — 16000 экз.
Сацункевич И. С. Экспериментальные корни специальной теории относительности - urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=16349. — 2-е изд. — М.: УРСС, 2003. — 176 с. — ISBN 5-354-00497-7
Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — С. 109. — 474 с.
Einstein A. «Zur Elektrodynamik bewegter Korper» Ann Phys.- 1905.- Bd 17.- S. 891. Перевод:Эйнштейн А. «К электродинамике движущегося тела» Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1965. — Т. 1. — С. 7-35. — 700 с. — 32000 экз.
↑ 12Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — Издание 2-е, переработанное. — М.: Высш. шк., 1986. — С. 78-80. — 320 с. — 28000 экз.
↑ 123Паули В. Теория Относительности. — М.: Наука, Издание 3-е, исправленное. — 328 с. — 17700 экз. — ISBN 5-02-014346-4
↑ 12von Philipp Frank und Hermann Rothe «Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme» Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855 (русский перевод - synset.com/ru/Франк_Роте_1911)
Фок В. А. Теория пространства времени и тяготения. — Издание 2-е, дополненное. — М.: Гос.изд. физ.-мат. лит., 1961. — С. 510-518. — 568 с. — 10000 экз.
↑ 1234 «Преобразования Лоренца» - synset.com/ru/Преобразования_Лоренца в книге «Релятивистский мир» - synset.com/ru/Релятивистский_мир.
Киттель Ч., Наит У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. — Издание 3-е, исправленное. — М.: Наука, 1986. — Т. I. Механика. — С. 373,374. — 481 с.
↑ 12von W. v. Ignatowsky «Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip» Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (русский перевод - synset.com/ru/Игнатовский_1910)
Терлецкий Я. П. Парадоксы теории относительности. — М.: Наука, 1966. — С. 23-31. — 120 с. — 16500 экз.
Паули В. Теория Относительности. — М.: Наука, Издание 3-е, исправленное. — С. 27. — 328 с. — 17700 экз. — ISBN 5-02-014346-4
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
«Принцип параметрической неполноты» - synset.com/ru/Принцип_параметрической_неполноты в книге «Релятивистский мир» - synset.com/ru/Релятивистский_мир
Мермин Н. Д. Теория относительности без постулата о постоянстве скорости света // Физика за рубежем. Серия Б. (1986)Перевод работы br> Mermin N. D. Relativity without light // Am. J. Phys., Vol. 52, No. 2 (1984) p. 119-124.
von W. v. Ignatowsky, «Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip», Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (русский перевод - synset.com/ru/Игнатовский_1910)
Lee A.R. Kalotas T.M. — «Lorentz transformations from the first postulate» Am.J.Phys., Vol. 43, No. 5, (1975) p. 434—437.
Achin Sen — «How Galileo could have derived the special theory of relativity» Am.J.Phys., Vol. 62, No. 2 (1994) p. 157—162.
Nishikawa S. — «Lorentz transformation without the direct use of Einstein’s postulates» Nuovo Cimento, Vol. 112B, No. 8 (1997) p. 1175—1187.
Ungar A. — «Axiomatic approach to the nonassociative group of relativistic velocities» Foundations of Physics Letters, Vol. 2, No. 2 (1989) p. 199—203.
Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: Издательская группа URSS, 2010, 304 с. ISBN 978-5-484-01144-5
Паули В. Теория Относительности. — М.: Наука, Издание 3-е, исправленное. — С. 26. — 328 с. — 17700 экз. — ISBN 5-02-014346-4
Окунь Л. Б. «Понятие массы», УФН, 1989, Выпуск 7. стр. 511—530. (статья - www.ufn.ru/ufn89/ufn89_7/Russian/r897f.pdf)
Бродский С., Дрелл С. Современный статус квантовой электродинамики, УФН, Т.107, В.1, (1972), с.57-98.
Эфир возвращается? - www.nkj.ru/archive/articles/9041/
Bailey J. et al. — Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit, Nature, v.268, p.301-305 (1977)
Сацункевич И. С. Экспериментальные корни специальной теории относительности - urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=16349. — 2-е изд. — М.: УРСС, 2003. — С. 128-130. — 176 с. — ISBN 5-354-00497-7
Сацункевич И. С. Экспериментальные корни специальной теории относительности - urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=16349. — 2-е изд. — М.: УРСС, 2003. — С. 122-123. — 176 с. — ISBN 5-354-00497-7
Sadeh D. Experimental Evidence for the Constancy of the Velocity of Gamma Rays, Using Annihilation in Flight, Phys. Rev. Lett. 10, 271—273 (1963).
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1980. — Т. IV. Оптика. — 768 с.
Франкфурт У. И., Френк А. М. Глава: Независимость скорости света от скорости источника // Оптика движущихся тел..
Шварц А. С. Математические основы квантовой теории поля. М.: Атомиздат, 1975.

12. Литература

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
Паули В. Теория относительности. - book.plib.ru/download/15113.html Изд. 2-е, испр. и доп. Перев. с нем. — М.: Наука, 1983. — 336 с.
Спасский Б. И.. История физики. Том 2, часть 2-я. - osnovanija.narod.ru/History/Spas/T2_2.djvu М.: Высшая школа, 1977.
Эйнштейн А. Сущность теории относительности. — М.: Изд. ин. лит., 1955. — 157 с.
Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. - physicsbooks.narod.ru/Uitteker/Uitteker2.djvu Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)
Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование, 1900—1915). М.: Наука, 1981. — 352c.

13.1. Работы основоположников

Принцип относительности. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tyapkin1973ru.djvu Сб. работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
Г. А. Лоренц. Интерференционный опыт Майкельсона - djvu-books.narod.ru/lorenz1895.htm. Из книги "Versucheiner Theoriederelektrischenundoptischen Erscheinungeninbewegten Korpern. Leiden, 1895, параграфы 89…92.
А. Пуанкаре. Измерение времени. «Revuede Metaphysiqueetde Morale», 1898, t. 6, p. 1…13.
А. Пуанкаре. Оптические явления в движущихся телах. ElectriciteetOptique, G. CarreetC. Naud, Paris, 1901, p. 535…536.
А. Пуанкаре. О принципе относительности пространства и движения. Главы 5…7 из книги «Наука и гипотеза»(H. Poinrare. Scienceand Hypothesis. Paris, 1902.)
А. Пуанкаре. Настоящее и будущее математической физики. Доклад, напечатанный в журнале «Bulletindes Sciences Mathematiques», 1904, v. 28, ser. 2, p. 302.
Г. А. Лоренц.Электромагнитные явления в системе движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света. Proc Acad., Amsterdam, 1904, v 6, p. 809.
А. Эйнштейн. К электродинамике движущихся тел. Ann. d. Phys.,1905 (рукопись поступила 30 июня 1905 г.), b. 17, s. 89.
Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1. Работы по теории относительности 1905—1920. М.: Наука, 1965. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Einstein_t1_1965ru.djvu
А. Пуанкаре. О динамике электрона. Rendicontidel Circolo Matematicodi Palermo, 1906.

13.1.2. Доп. литература

Угаров В. А. Специальная теория относительности. 2-е изд. М.: Наука, 1977. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ugarov1977ru.djvu
Тоннела М. А. Основы электромагнетизма и теории относительности. М.: ИЛ, 1962. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tonnela1962ru.djvu
Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. М.: Наука, 1974. - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tolmen1974ru.djvu

13.2.3. Разное

Кузьмичёв В. Е. Законы и формулы физики/ Отв. ред. В. К. Тартаковский. — Киев: Наук. думка, 1989. — С.84-88. — ISBN 5-12-000493-8. Кузьмичёв В. Е. Законы и Формулы физики. - www.ditud.ru/gsdl/cgi-bin/library.exe?e=d-000-00---0marc--00-0-0--0prompt-10---4------0-1l--1-ru-50---20-about---00031-001-1-0utfZz-8-10&cl=CL1.23&d=HASH0114f6e5eda966e9993c84c4s423&hl=0&gc=0>=0
Селезнев Ю. А. Основы элементарной физики. Учебное пособие. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974 г. — С.78 — 79.
Физическая энциклопедия, т.2 — М.: Большая Российская Энциклопедия. Физическая энциклопедия. - www.physicum.narod.ru/.

wreferat.baza-referat.ru

Реферат - Основные положения Специальной теории относительности

Постулаты Эйнштейна. Современный релятивистский подход к описанию природных явлений базируется на двух постулатах Эйнштейна.

Первый является естественным обобщением принципа относительности Галлилея с механических на все без исключения явления природы и может быть сформулирован как утверждение о невозможности наблюдателю, находящемуся в замкнутой системе отсчета, при помощи какого-либо физического (а значит и любого другого) опыта установить, покоится ли его система отсчета или находится в состоянии равномерного прямолинейного движения. В пользу этого постулата свидетельствует обширный житейский опыт, показывающий, что находящийся в закрытом помещении (трюме корабля) наблюдатель не в состоянии зарегистрировать факт его движения не только в результате постановки механических опытов, но и с помощью своих ощущений, в основе возникновения которых лежат, как известно, электрохимические процессы.

Вторым постулатом Эйнштейна является утверждение о постоянстве скорости света, неоднократно проверявшееся не только Майкельсоном, но и впоследствии в более точных экспериментах.

Основные выводы релятивистской кинематики. На основе сформулированных постулатов Эйнштейна пересматриваются все основные положения классической кинематики. Делается вывод о том, что понятия одновременности собитий, доительностьи временного промежутка и длины отрезка перестают носить абсолютный характер, становясь зависимыми от выбора системы отсчета, из которой ведется наблюдение (подобно тому, как при классическом описании координаты материальной точки и ее скорость носили относительный характер).

Предсказываемый релятивистской теорией эффект замедления времени состоит в том, что с точки зрения движущегося относительно рассматриваемой системы наблюдателя все интервалы времени (t’), характеризующие поцессы в этой системе (колебания маятников часов, распад нестабильных частиц, старение биологических организмов и т.д.) увеличиваются по сравнению с интервалами, наблюдаемыми в самой этой системе ():

(1) .

Для находящихся же в самой расматриваемой системе наблюдателей происходящие в ней процессы протекают совершенно нормально, а время у движущегося наблюдателя “течет замедленно”.

Эффект сокращения расстояний состоит в уменьшении длин отрезков с точки зрения наблюдателей, перемещающихся вдоль этих отрезков (отрезки, ориентированные перпендикулярно скорости относительного движения сохраняют свою длину неизменной):

(2)

Описанные эффекты проявляются лишь при скоростях, сравнимых со скоростью света и в настоящее время экспериментально зарегистрированы в пучках ультарелятивискских частиц, создаваемых на современных ускорителях. Например, короткоживущие частицы (время жизни , двигаясь с околосветовыми скоростями, вопреки классическим представлениям достигают приемника, удаленного на расстояние, значительно превышающее . С точки зрения неподвижного наблюдателя это явление можно объеснить эффектом замедления времени (1), “удлинняющим” жизнь частицы, с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с частицей — эффектом сокращения расстояния до мишени, “летящей ему навстречу” (2).

Полученные Лоренцем преобразования (10.13) являются чисто математическим следствием рассмотренных соотношений (1) и (2).

С эффектом замедления времени часто ошибочно связывают “парадокс близнецов” — утверждение о том, что двигавшийся с околосветовыми скоростями космический путешественник должен вернуться на Землю менее постаревшим, чем его брат, оставшийся дома. Кажущийся парадокс связан с тем, что всилу относительности равномерного движения с точки зрения космического путешественника эффект замедления времени должен наблюдаться на самой Земле. Реального противоречия не возникает, поскольку для того, чтобы возвратиться домой, космонавт должен в течение определенного времени двигаться с ускорением (тормозить, разворачивать корабль, вновь ускоряться), что нарушает симметрию между ним и наблюдателем на Земле (напомним, что ускорение носит абсолютный характер). Адекватное описание явлений, происходящих в ускоренно движущихся системах отсчета, выходит за рамки СТО и состаяляет предмет). Общей Теории Относительности (ОТО) .

Пространство Минковского. Широко используемая в классической физике векторная форма записи законов природы объясняется не только желанием сэкономить место, но и является математическим отражением факта инвариантности законов природы относительно поворотов выбранной системы координат в пространстве, что, разумеется, требует инвариантной формы их математической записи. Действительно, в изображенных на рис. 12_1 повернутых друг относительно друга системах координат проекции всех векторов на одноименные оси различны, но равенство

(3)

справедливо в каждой из систем, т.е. остается инвариантным относительно пространственных вращений. Помимо равенств между векторами инвариантами являются скалярные произведения векторов и вычисляемые с их помощью квадраты длин:

(4) .

Координаты же вектора в новой системе отсчета могут быть рассчитаны через координаты в старой с помощью тригонометрии:

(5) .

Последовательное релятивистское описание явлений природы должно быть инвариантным относительно переходов из одной инерциальной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой. Как отмечалось, при таких переходах перестает быть справедливым классический векторный закон сложения скоростей, длина векторов изменяется, а в закон преобразований их компонент (преобразования Лоренца) помимо пространственных переменных входит время:

(6) .

В создавшейся ситуации естественным выходом был переход от несвязанных друг с другом пространственного (трехмерного) и временного (одномерного) описаний явлений к единому описанию событий в четырехмерном пространстве-времени (пространстве Минковского) при помощи четырехвекторов, три компоненты которых совпадают с обыконвенными простарнственными, а последняя дает временное описание. В этом пространстве переход в движущуюся систему отсчета рассматриваентся как обобщение понятия поворота, аналогом трехмерных траекторий являются четырехмерные кривые — мировые линии, инвариантами являются скалярные произведения четырехвекторо, определяемые соотношением:

(7) ,

и интервалы, являющиеся аналогами длин векторов:

(8)

(следствие преобразований Лоренца).

отличающимся знаками от обычного “трехмерного” определения. В связи с этим геометрическое свойства псевдоевклидового пространства Минковского существенно отличаются от привычных свойств евклидового пространства.

Световой конус.Мировыми линиями свтовых лучей, выходящих из одной точки пространства Минковского (т.е. одновременно испущенных из одной точки трехмероного пространства) являются прямые, составляющие с осью ct одинаковый угол и образующие световой конус (рис. 12_2)… Мировые линии всех тел могут лежать лишь внутри светового конуса, поскольку допустимые скорости движения не могут превосходить с. Лежащие в верхней части светового конуса точки пространства Минковского образуют абсолютное будущее (множество событий, на которые в принципе можно повлиять, находясь в вершине конуса), нижняя часть светового конуса соответствует абсолютному прошлому (множество событий, которые в могли повлиять на происходящее в вершине конуса). Вне светового конуса лежат абсолютно недоступные событмя (т.е. невлияющие и независимые от происходящего в вершине конуса).

Релятивистская динамика строится как обобщение классической в соответствии с требованиями релятивистской инвариантности. Важнейшую роль в ней играет четырехвектор энергии-импульса, получающийся из четырехвектора скорости домножением на инвариант массу покоя (массу тела в системе отсчета, где оно покоится):

(9)

Пространственные компоненты этого четырехвектора весьма схожи с классическим импульсом mV. Учитывая эту аналогию иногда вводят понятие релятивистской массы, величина которой возрастает с увеличением скорости движения тела относительно неблюдателя:

(10) .

С учетом (10) релятивистское уравнение движения в привычных трехмерных обозначениях принимает вид, аналогичный второму закону Ньютона в импульсной формулировке:

(11)

Возрастание релятивистской массы является одним из оснований утверждения о невозможность разогнать тело с ненулевой массой покоя до скорости света: по мере увеличения его скорости под действием постоянной силы ускорение начнет уменьшаться и стремиться к нулю при .

Эффект возрастания релятивистской массы при приближении скорости к предельной наблюдается экспериментально в ускорителях ультарелятивистских частиц сиххрофазотронов, принцип действия которых аналогичен циклотронным ускорителям. Основное отличие состоит в том, что при больших скоростях разгоняемых частиц радиусы их орбит

(12)

и периоды вращения

(13)

начинают существенно превосходить результаты расчетов по классическим формулам. Т.о. в настоящее время результаты СТО используются не только в науке, но и в инженерных расчетах.

Смысл четвертой компоненты четырехвектора энергии-импульса можно установить на основе сравнения ее произведения на скорость света с классическим выражением для кинетической энергии:

(12)

Принцип соответствия позволяет предположить, что величина

(13)

представляет собой релятивистское выражение для энергии тела, связанной с его движением. Однико, даже в случае нулевой скорости, согласно (13) лубое толо обладает энергией покоя, пропорциональной его массе. Эта колоссальная (по сравненью с характерными для классической теории масштабами) энергия до создания теории относительности оставалось “незамеченной” из-за того, что в подавляющем большинстве процессов суммарная масса составляющих систему объектов остается практически неизменной. Открытие энергии покоя имело громадное значение для развития энергетики и военной техники.

Релятивистская электродинамика. Создание релятивистской теории позволило переписать систему уравнений Максвелла в весьма элегантной и краткой четырехмерной форме:

(14) ,

где

(15)

— релятивистски инвариантный четырехмерный аналог оператора Лапласа — оператор Д’Аламбера,

(16) -

-четырехмерный потенциал, состоящий из трех компонент векторного потенциала магнитного поля и скалярного потенциала электрического, — четырехвектор плотности тока, получающийся домножением четырехвектора скорости на релятивистски-инвариантную величину электрического заряда.

Излучение электромагнитных волн. Решением Уравнения (14) в пустом пространстве являются электромагнитные волны, распространяющиеся в пустом пространстве с инвариантной относительно преобразований Лоренца скоростью с. Рассмотрение уравнения (14) с учетом зарядо и токов приводит к выводу, что электромагнитные волны создаются электрическими зарядами при их ускоренном движении. При этом электромагнитное поле, создаваемое точечным зарядом на больших расстояниях от него (рис. 12_3) имеет вид

(17) ,

т.е. убывает гораздо медленнее, чем статические поля. Это свойство обуславливает удобство использования переменных электромагнитных полей в целях связи.

Происхождение силы Лоренца. Существование зависящей (вопреки требованием классической теории) от скорости относительно наблюдателя магнитной силы Лоренца в релятивистской теории находит весьма “неожиданное” объяснение. Сами магнитные взаимодействия и описывающая их сила являются “лишними” в теории электричества, т.е. адекватное описание реальности возможно и бех их использования на основе закона Кулона и релятивистских формул преобразования физических величин при переходах из одной системы отсчета в другую. Релятивистских эффект изменения силы взаимодействия между двумя зарядами с точки зрения движущегося наблюдателя был замечен экспериментально задолго до создания теории относительности и отнесен за счет существования “новой” магнитной силы, которую пришлось наделить весьма странными свойствами. Если бы теория магнетизма создавалась в наши дни, “магнитные взаимодейстивя” были бы предсказаны теоретически как релятивистская поправка к электростатическим.

www.ronl.ru

Реферат на тему Основные положения Специальной теории относительности

(1) .

(2)

Описанные эффекты проявляются лишь при скоростях, сравнимых со скоростью света и в настоящее время экспериментально зарегистрированы в пучках ультарелятивискских частиц, создаваемых на современных ускорителях. Например, короткоживущие частицы (время жизни , двигаясь с околосветовыми скоростями, вопреки классическим представлениям достигают приемника, удаленного на расстояние, значительно превышающее . С точки зрения неподвижного наблюдателя это явление можно объеснить эффектом замедления времени (1), “удлинняющим” жизнь частицы, с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с частицей - эффектом сокращения расстояния до мишени, “летящей ему навстречу” (2).

С эффектом замедления времени часто ошибочно связывают “парадокс близнецов” - утверждение о том, что двигавшийся с околосветовыми скоростями космический путешественник должен вернуться на Землю менее постаревшим, чем его брат, оставшийся дома. Кажущийся парадокс связан с тем, что всилу относительности равномерного движения с точки зрения космического путешественника эффект замедления времени должен наблюдаться на самой Земле. Реального противоречия не возникает, поскольку для того, чтобы возвратиться домой, космонавт должен в течение определенного времени двигаться с ускорением (тормозить, разворачивать корабль, вновь ускоряться), что нарушает симметрию между ним и наблюдателем на Земле (напомним, что ускорение носит абсолютный характер). Адекватное описание явлений, происходящих в ускоренно движущихся системах отсчета, выходит за рамки СТО и состаяляет предмет). Общей Теории Относительности (ОТО) .

(3)

(4) .

(5) .

(6) .

В создавшейся ситуации естественным выходом был переход от несвязанных друг с другом пространственного (трехмерного) и временного (одномерного) описаний явлений к единому описанию событий в четырехмерном пространстве-времени (пространстве Минковского) при помощи четырехвекторов, три компоненты которых совпадают с обыконвенными простарнственными, а последняя дает временное описание. В этом пространстве переход в движущуюся систему отсчета рассматриваентся как обобщение понятия поворота, аналогом трехмерных траекторий являются четырехмерные кривые - мировые линии, инвариантами являются скалярные произведения четырехвекторо, определяемые соотношением:

(7) ,

и интервалы, являющиеся аналогами длин векторов:

(8)

(следствие преобразований Лоренца).

Световой конус.Мировыми линиями свтовых лучей, выходящих из одной точки пространства Минковского (т.е. одновременно испущенных из одной точки трехмероного пространства) являются прямые, составляющие с осью ct одинаковый угол и образующие световой конус (рис. 12_2).. Мировые линии всех тел могут лежать лишь внутри светового конуса, поскольку допустимые скорости движения не могут превосходить с. Лежащие в верхней части светового конуса точки пространства Минковского образуют абсолютное будущее (множество событий, на которые в принципе можно повлиять, находясь в вершине конуса), нижняя часть светового конуса соответствует абсолютному прошлому (множество событий, которые в могли повлиять на происходящее в вершине конуса). Вне светового конуса лежат абсолютно недоступные событмя (т.е. невлияющие и независимые от происходящего в вершине конуса).

(9)

(10) .

(11)

(12)

и периоды вращения

(13)

(12)

Принцип соответствия позволяет предположить, что величина

(13)

(14) ,

где

(15)

- релятивистски инвариантный четырехмерный аналог оператора Лапласа - оператор Д’Аламбера,

(16) -

-четырехмерный потенциал, состоящий из трех компонент векторного потенциала магнитного поля и скалярного потенциала электрического, - четырехвектор плотности тока, получающийся домножением четырехвектора скорости на релятивистски-инвариантную величину электрического заряда.

(17) ,

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://study.online.ks.ua/

bukvasha.ru

Основные положения Специальной теории относительности

(1).

(2)

Описанные эффекты проявляются лишь при скоростях, сравнимых со скоростью света и в настоящее время экспериментально зарегистрированы в пучках ультарелятивискских частиц, создаваемых на современных ускорителях. Например, короткоживущие частицы (время жизни, двигаясь с околосветовыми скоростями, вопреки классическим представлениям достигают приемника, удаленного на расстояние, значительно превышающее. С точки зрения неподвижного наблюдателя это явление можно объеснить эффектом замедления времени (1), “удлинняющим” жизнь частицы, с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с частицей - эффектом сокращения расстояния до мишени, “летящей ему навстречу” (2).

(3)

(4).

(5).

(6).

В создавшейся ситуации естественным выходом был переход от несвязанных друг с другом пространственного (трехмерного) и временного (одномерного) описаний явлений к единому описанию событий в четырехмерном пространстве-времени (пространстве Минковского) при помощи четырехвекторов, три компоненты которых совпадают с обыконвенными простарнственными, а последняя дает временное описание. В этом пространстве переход в движущуюся систему отсчета рассматриваентся как обобщение понятия поворота, аналогом трехмерных траекторий являются четырехмерные кривые - мировые линии, инвариантами являются скалярные произведения четырехвекторо, определяемые соотношением:

(7),

и интервалы, являющиеся аналогами длин векторов:

(8)

(следствие преобразований Лоренца).

Световой конус.Мировыми линиями свтовых лучей, выходящих из одной точки пространства Минковского (т.е. одновременно испущенных из одной точки трехмероного пространства) являются прямые, составляющие с осью ct одинаковый уголи образующие световой конус (рис. 12_2).. Мировые линии всех тел могут лежать лишь внутри светового конуса, поскольку допустимые скорости движения не могут превосходить с. Лежащие в верхней части светового конуса точки пространства Минковского образуют абсолютное будущее (множество событий, на которые в принципе можно повлиять, находясь в вершине конуса), нижняя часть светового конуса соответствует абсолютному прошлому (множество событий, которые в могли повлиять на происходящее в вершине конуса). Вне светового конуса лежат абсолютно недоступные событмя (т.е. невлияющие и независимые от происходящего в вершине конуса).

(9)

(10).

(11)

(12)

и периоды вращения

(13)

(12)

Принцип соответствия позволяет предположить, что величина

(13)

(14),

где

(15)

- релятивистски инвариантный четырехмерный аналог оператора Лапласа - оператор Д’Аламбера,

(16)-

-четырехмерный потенциал, состоящий из трех компонент векторного потенциала магнитного поля и скалярного потенциала электрического,- четырехвектор плотности тока, получающийся домножением четырехвектора скорости на релятивистски-инвариантную величину электрического заряда.

(17),

superbotanik.net

Реферат: Основные положения Специальной теории относительности:. Основы специальной теории относительности реферат

Реферат Специальная теория относительности

План:

Введение

1. Создание СТО

2. Аксиоматические основания СТО

2.1. Основные понятия

2.2. Синхронизация времени

2.3. Линейность преобразований

2.4. Согласование единиц измерения

2.5. Изотропность пространства

2.6. Принцип относительности

2.7. Постулат постоянства скорости света

2.8. Непротиворечивость теории относительности

2.9. Геометрический подход

3. Различная запись преобразования Лоренца

4. Следствия преобразований Лоренца

4.1. Сложение скоростей

4.2. Замедление времени

4.3. Относительность одновременности

4.4. Сокращение линейных размеров

4.5. Эффект Доплера

4.6. Аберрация

5. Релятивистская динамика

5.1. Энергия и импульс

5.2. Уравнения движения

5.3. Преобразования энергии и импульса

6. Ковариантная формулировка

6.1. Четырёхмерное пространство-время

6.2. Метрический тензор

6.3. 4-вектор

7. Экспериментальные основания СТО

7.1. Релятивистское замедление времени

7.2. Независимость скорости света от движения источника

8. Исторический очерк

9. Связь с другими теориями

9.1. Гравитация

9.2. Классическая механика

9.3. Квантовая механика

10. Примечания

11. Источники

12. Литература

13.1. Работы основоположников

13.1.2. Доп. литература

13.2.3. Разное

Реферат - Основные положения Специальной теории относительности

Реферат на тему Основные положения Специальной теории относительности

Основные положения Специальной теории относительности

Смотрите также