Реферат на тему«Математические методы в сочинении и восприятии музыки – история и современность»
Авторы: Горбач Всеволод ОлеговичНечаев Евгений Алексеевич, ученики 9А класса
Руководитель Яковлева Татьяна Петровна,учитель математики
Наро-Фоминск, 2009 г.Содержание
13 TOC \o "1-1" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc223162053" 14Введение 13 PAGEREF _Toc223162053 \h 14315151.13 LINK \l "_Toc223162055" 14Зарождение теории музыки 13 PAGEREF _Toc223162055 \h 14415152.13 LINK \l "_Toc223162056" 14Архит и развитие теории музыки в эллинистическом мире 13 PAGEREF _Toc223162056 \h 14715153.13 LINK \l "_Toc223162057" 14Основные математические пропорции в пифагорейской музыкальной гамме 13 PAGEREF _Toc223162057 \h 14815154.13 LINK \l "_Toc223162058" 14Логарифм и восприятие звука 13 PAGEREF _Toc223162058 \h 141115155.13 LINK \l "_Toc223162059" 14Логарифмы и равномерная темперация 13 PAGEREF _Toc223162059 \h 1412151513 LINK \l "_Toc223162060" 14Заключение 13 PAGEREF _Toc223162060 \h 1417151513 LINK \l "_Toc223162061" 14Список литературы 13 PAGEREF _Toc223162061 \h 1418151515Введение«Пройдут миллионы лет, и если музыка в нашем смысле будет еще существовать, то те же семь основных тонов нашей гаммы, в их мелодических и гармонических комбинациях, оживляемые ритмом, будут все еще служить источником новых музыкальных мыслей».Петр Чайковский [1]Мы выбрали эту тему, так как, обучаясь в музыкальной школе, обнаружили причастность математики к музыке, что само по себе было для нас удивительно. Но, изучив, проанализировав литературу по этой теме, мы нашли много исторических фактов, подтверждающих связь музыки не только с математикой, но и с физикой, физиологией. Проследили, как с развитием математики, оказалось возможным улучшить теорию музыки.Во всем царит гармонии закон,И в мире все суть ритм, аккорд и тон.Дж. Драйден [4]Мы в ходе работы над этой темой убеждались в том, что математика – это уникальное средство познания красоты. Данная тема не нова, но всегда остается актуальной. На основе законов Пифагора и его последователей совершенствовалась настройка инструментов, великие композиторы прошлого сочиняли произведения, которыми мы восхищаемся сейчас, современные также удивляют нас своими творениями. Но уже стало реальностью создание электронной музыки. Пока композиторы возмущаются и опасаются, программисты делают свое дело. Появляются программы, в которых реализованы различные алгоритмы сочинения (точнее говоря, формирования) музыки. Зарождение теории музыкиУ истоков современной музыки стоял древнегреческий ученый Пифагор. Конечно, музыка существовала задолго до Пифагора, но он был первым, кто в математических терминах описал, что такое ноты, а также приятные и неприятные звуку созвучия. О Пифагоре знают немного. Даже годы его жизни известны приблизительно: около 570-500 гг.до н.э. Историки утверждают, что Пифагор учился в Египте у жрецов. Точно известно, что в греческой колонии на юге Италии, в городе Кротоне, было организовано Пифагором философское братство. Членам братства запрещалось разглашать непосвященным учения своей школы. Пифагорейцы существенным образом продвинули математическую науку, поскольку через математику надеялись понять законы, управляющие миром. В Эллинистическом мире неотъемлемой частью общего образования была музыка. Как люди аристократические и образованные, члены пифагорейского братства, конечно, не могли не интересоваться музыкальными произведениями, инструментами, законами распространения звука. Именно в музыке некоторые исследователи усматривают причину, породившую интерес пифагорейцев к числам, поскольку им удалось установить некоторые закономерности музыкальных созвучий. А эти закономерности прекрасно укладывались в общую теорию Пифагора об абсолютной числовой гармонии всего сущего.Для изучения музыкальных закономерностей Пифагор изобрел специальный инструмент – монохорд. Он состоит из резонаторного ящика, натянутой струны и подвижной подставки для деления струны на части. Назначение резонаторного ящика понятно – он усиливает звук струны. Подвижные подставки помогали быстро увеличивать или уменьшать размер струны. Тем самым убыстрялась работа и можно было проводить десятки и сотни опытов, а на это Пифагор, конечно, не жалел ни времени, ни усилий. Шкала же служила контролером длины струны, то есть позволяла сразу увидеть и запомнить, струна какой длины дает тот или иной звук. Достаточно было натянуть две струны, чтобы установить, какое соотношение их длин дает гармоничный аккорд. После длительных экспериментов Пифагор установил, что две струны дают приятные для слуха совместное звучание (в музыке такое звучание называют консонансом), когда из длины относятся, как 1:2, 2:3 или 3:4. Конкретно это означает, что если взять 4 струны, то длина первой будет в два раза больше последней (их совместное звучание дает интервал, называемый октавой). Длина третьей струны будет относиться к длине первой как 2:3 (получим интервал квинту), и отношение второй к первой равно 3:4, сто определяет еще один интервал – кварту. На рисунке 1 показаны отрезки, соответствующие длинам струн великого тетраксиса – так называли греки четверку чисел, лежащих в основе их теории музыки.l1l4l3l2
1 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Рисунок 1. Длины струн великого тетраксисаПолучить музыкальную пропорцию пифагорейцам помогло сочетание среднего арифметического и среднего гармонического. Взяв струны длиной 6 и 12 (то есть в отношении 1:2), они нашли их среднее арифметическое ((6+12)/2=9), а среднее гармоническое дало равенство (6-а)/(а-12)=6/12, то есть а=8. Но отношение 9:12 = 3:4 дает кварту (вторая струна на рисунке 1), а отношение 8:12=2:3 – квинту (третья струна на рисунке 1). Таким образом, длины четырех струн, дающих консонансы, должны быть 6, 8, 9, 12. Можно заметить, что 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. От последнего равенства можно перейти к музыкальной пропорции:13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (здесь фактически речь идет о делении октавы на кварту и квинту, которые, как видно, не равны по длине) [3].Поскольку история не дает нам здесь достаточно понятного руководства, напрашивается вопрос: почему надо делить октаву на два неравных интервала – кварту и квинту? Что будет, если мы поделим октаву на два равных интервала? Но тогда согласно музыкальной пропорции получим:13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.Пифагорейцы числа 13 EMBED Equation.3 1415не знали! Это число нельзя получить как отношение двух целых чисел, оно не выражается обыкновенной дробью. Вопрос оказался очень упорен в своей неразрешимости и с музыкальной точки зрения, поскольку при соотношении длин струн 1: 13 EMBED Equation.3 1415 в музыке получался не консонанс, а неприятный звук, просто шум.Доводя свою теорию до логического конца, пифагорейцы не могли не заметить одной весьма неприятной для них логической неувязки: длины струн определенно существуют (сами–то струны можно просто потрогать), но числа, которым выражалось бы отношение этих длин, они указать не могут. Для них это число не существовало! Во-первых, таких чисел тогда просто не знали, а во-вторых, всю свою философию они строили на целых числах и их отношениях. Получалось, что приятное звучание, то есть консонанс, можно задать отношением целых чисел, а числа, ответственного за «шум», не находилось. Но шум-то тоже существует! Как явление мирового устройства вещей он должен быть математически определен. Так рассуждали пифагорейцы или не так - мы не знаем. Но хорошо известно, что существование несоизмеримостей, то есть того, что сейчас мы называем иррациональным числом, они обнаружили в экспериментах с длинами струн. Более знаменитый случай обнаружения несоизмеримостей связан с теоремой Пифагора. Обычно его называют открытием несоизмеримости стороны квадрата с его диагональю. В современных пояснениях это выглядит так. Примем сторону квадрата за 1, а его диагональ за х. Тогда по теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, который образован двумя соседними сторонами квадрата и его диагональю, получим: х2 = 12 +12 =2, то есть х = 13 EMBED Equation.3 1415.Разумеется, Пифагорейцы пользовались совсем другим доказательством и не знали современных обозначений. Но они отлично поняли, что по их основному догмату – «число (то есть целое положительное число) есть сущность всех вещей» - нанесен сильнейший удар. Были обнаружены объекты, обычные отрезки, длины которых нельзя было измерить, если принять сторону квадрата за 1.Позже пришлось признать, что существуют объекты более общей природы, чем числа, то есть то, что нельзя выразить числом, можно выразить длиной отрезка. Это был важнейший вывод для геометрии, поскольку все математические факты и доказательства стали формулировать на геометрическом языке. А это предопределило такой расцвет геометрии в эллинистическом мире, который и сейчас вызывает удивление, а некоторыми воспринимается как чудо.Неизвестно, как школа Пифагора преодолевала возникшую перед ней трудность. Дело в том, что она распалась, ее членов изгнали из Кротона. Пифагор бежал в город Метапонт, где вскоре и умер. Члены его школы рассеялись по разным городам великой Греции [4].Архит и развитие теории музыки в эллинистическом миреПримерно через 60 лет после смерти Пифагора, в городе Таренте, что находился в восточной части южной Италии, родился человек, которого называют последним великим пифагорейцем – Архит Тарентский. Архит был разносторонним ученым. Ему приписывается установление первых принципов механики, а также изобретение блока и винта. В математике Архит развил арифметику натуральных чисел и далеко продвинул теорию несоизмеримых величин. Он указал способ вычисления квадратного корня из числа, не являющегося полным квадратом. Он снял покров таинственности с несоизмеримых отрезков, доказав, что их длины можно выразить отношением целых чисел, хотя и не совсем верно, но с такой точностью, которая требуется для практики.Архит считается самым крупным теоретиком музыки античности. Он обосновал важный закон музыкальных созвучий. Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струн. Некоторые исследователи связывали это только с натяжением струн. Однако данное мнение было ошибочным. Архит показал, что ответ на этот трудный вопрос кроется в высоте тона (или в частоте колебания струны). Частота колебания струны обратно пропорциональна ее длине [4].Основные математические пропорции в пифагорейской музыкальной гаммеВ основу музыкальной системы, открытой учеными пифагорейского союза, были положены два закона, носящие сегодня имена Пифагора и Архита. Закон I. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа: 1:2; 2:3; 3:4.Закон II. Частота колебания f звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l, то есть 13 EMBED Equation.3 1415, где a – коэффициент, характеризующий физические свойства струны.Древнегреческие ученые верили в совершенные пропорции и существование музыкальной и космической гармонии. Поэтому они связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим [2]. Для того чтобы проследить процесс построения пифагорейской музыкальной гаммы, введем систему координат, у которой ось абсцисс – шкала частот звуков гаммы, а ось ординат – шкала соответствующих длин струн. Пусть начало координат – звук «до», длина струны – 1, его частота также равна 1. Тогда звук на октаву выше будет иметь частоту 2, а длину струны – Ѕ. Возьмем квинту «до-соль». Отношение частот -3/2 (отношение частоты верхнего звука к частоте нижнего). «До-фа» кварта – 4/3. Если взять отношение частот «до1» к «соль», получим 13 EMBED Equation.3 1415, то есть данный интервал также является квартой. Получаем, что «сумма» квинты и кварты равна октаве.
Рисунок 2. Зависимость частот звуков гаммы от длины струн.Найдем теперь частотный интервал между звуками «фа» и «соль». Для этого поделим частоту последующей ноты на частоту предыдущей, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Число 9/8 выражает так называемый тон-интервал. С его помощью получают частоты звуков, отличающихся друг от друга на целый тон. Например, если мы хотим узнать частоту звука «ми» по частоте звука «ре», то должны выполнить умножение 13 EMBED Equation.3 1415. Точно так же от «соль» можно перейти к «ля» - 13 EMBED Equation.3 1415, а от «ля» - к «си» 13 EMBED Equation.3 1415, поскольку эти пары звуков отличаются друг от друга на целый тон. Но вот звуки «ми» и «фа», «си» и «до1» различаются на полутон (рисунок 2). Для того чтобы показать, как это выражается математически, поделим частоту звука «фа» на частоту звука «ми»: 13 EMBED Equation.3 1415. Итак, полутон выражается дробью 13 EMBED Equation.3 1415. В самом деле при переходе от «си» и «до1» имеем:13 EMBED Equation.3 1415. Естественно ожидать, что в одном тоне-интервале содержится два равных полутона. Проверим, так ли это. Если представить полутон 13 EMBED Equation.3 1415 и считать, что два полутона составляют целый тон, то математически это выражается равенством 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. На самом же деле полутон выражается дробью 13 EMBED Equation.3 1415.Очевидно расхождение между реальным числом, выражающим полутон и его значением, вытекающим из гипотезы о том, что два полутона составляют целый тон. Как видим, расхождение небольшое. В реальности имеем 1,053, а гипотетически 1,061. Эта неточность получила название пифагоровой коммы. Она свидетельствует о несовершенстве пифагоровой теории музыки, поскольку не давала возможности точно настроить инструменты. Тот факт, что два полутона «не укладывались» в целый тон, улавливался чутким ухом музыканта.На протяжении многих столетий музыканты настраивали инструменты так, как это делали в Древней Греции. Однако этот настрой не мог казаться им полностью подходящим, поскольку в нем сохранялась «пифагорова комма». Она была следствием несовершенства не только пифагорейской музыкальной гаммой, но и учения о числе. Теорию музыки оказалось возможным улучшить только после достаточного развития математики иррациональных величин. Прошла целая эпоха. Логарифм и восприятие звукаКогда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, мы не задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действа. Существует наука – музыкальная акустика, объединяющая физику, музыку и математику. Тон – важное понятие акустики, представляет собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, голоса. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, начнем с описания уха. Оно по своему устройству напоминает музыкальный инструмент. Одна из частей уха называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части уха действительно напоминает улитку. Она представляет собой спирально-закрученную трубку, образованную из 2,5 витка. Контур «улитки» среднего уха можно соотнести с логарифмической спиралью в математике.Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. В логарифмической спирали углу поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой, а логарифм этого расстояния. На рисунке 3 видно, что эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс под одним и тем же углом.
Рисунок 3. Логарифмическая спиральПервым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (1596-1650). Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее удивительные свойства, в частности инвариантность (сохранение угла), удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы. Рассмотрим характеристики звука. Сила звука – это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Эта физическая величина, как это ни странно выглядит, не выражает величины нашего звукового ощущения – громкости. Если мы будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. Такое явление объясняется разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты. Если провести эксперимент, увеличивая силу какого-нибудь в 2, 3, 4 раза, то окажется, что наше звуковое ощущение (громкость звука) во столько же раз не увеличивается. В 1846 физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. В 1860 году ученый Фехнер подверг закон Вебера математической обработке, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения: 13 EMBED Equation.3 1415, где S-ощущение, J0 – первоначальное раздражение, J – последующее раздражение, k – коэффициент пропорциональности. Например, при увеличении силы звука в 100, 1000 и т. д. раз ощущение увеличивается в 2, 3 и т. д. раз (при k = 1) [5]. Логарифмы и равномерная темперацияНа протяжении многих столетий пифагорова комма античной гаммы не давала покоя композиторам и музыкантам. Ее распределение в музыкальной гамме было неравномерно и затрудняло модуляции (перевод мелодии из тональности в тональность). Изобретались разные музыкальные системы, которые пытались решить эту проблему. Нужен был особый подход, который должен был быть математически точным и музыкально приемлемым. В начале 18 века, когда уже сложилась алгебра иррациональных величин, наметились пути решения этой старой многотрудной проблемы. Работы немецких музыкантов Веркмайстера и Нейгарда дали начало ее решению и привели впоследствии к созданию 12-звукового равномерно темперированного строя. В новом 12-ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов: «до1»-«до-диез»; «до-диез»-«ре» и т. д. Определим теперь зависимость между частотами звуков строя. Пусть х – величина, показывающая, во сколько раз частота верхнего звука больше частоты нижнего. Примем частоту самого нижнего звука октавы за 1. Известно, что частота верхнего звука октавы больше частоты ее нижнего звука в 2 раза, а при переходе к каждому их 12 полутонов частота увеличивается в х раз. Получаем уравнение 1:х12 = 1:2, х12 = 2, х = 13 EMBED Equation.3 1415= 1,05947. Полученное число называется коэффициентом темперированного строя. С его помощью можно найти частоты каждого звука музыкальной гаммы. Как правило, музыканты настраивают свои инструменты по звучащему «ля» - 440 гц. Зная частоту звука «ля» и используя k = 13 EMBED Equation.3 1415, можно получить все частоты звуков первой октавы фортепиано. Например, частота звука «ля-диез» равна 440 * 13 EMBED Equation.3 1415= 440 *1,059 = 466,16 гц, а «соль-диез» - 440: 13 EMBED Equation.3 1415 = 415,30 гц. В таблице 1 приведены все частоты звуков первой октавы. Почему именно эти частоты положены в основу равномерно темперированного строя? Для некоторых музыкантов, например, для тех, кто играет на скрипке, виолончели, контрабасе строго фиксированная частота звука не является особой необходимостью, поскольку смычок музыканта может извлекать из струн звуки, частоты которые очень мало отличаются друг от друга, звуки изменяются плавно. Но как достичь музыкального согласия, если струны инструментов допускают лишь фиксированное звучание? К таким инструментам относятся фортепиано, орган, арфа и др. Само их устройство позволяет использовать только звуки определенной частоты.
Таблица 1. Частоты звуков первой октавы и их логарифмы.Составим новую таблицу. Запишем логарифмы частот звуков равномерно темперированной гаммы по основанию 2, а также логарифмы по основанию 2 частот соответствующих интервалов гаммы, то есть от звука «до» до данного звука. В четвертом столбце таблицы 2 на первом месте получим:13 EMBED Equation.3 1415, на втором месте – логарифм отношения частот звуков «до»-«до-диез» (малая секунда), на третьем месте – логарифм отношения частот звуков «до»-«ре», на пятом – отношение частот звуков «до»- «ми» (большая терция): 13 EMBED Equation.3 1415Удобнее не искать каждый раз логарифмы отношений частот, а использовать свойство логарифмов: логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел. Например, чтобы получить логарифм интервала кварта («до»-«фа»), достаточно найти разность 8,448-8,031 = 0,417Возьмем некоторый отрезок. Разделим его на 12 равных частей, получим шкалу с шагом 13 EMBED Equation.3 1415(рисунок 4). Внизу отметим значения логарифмов отношений частот. Заметим, что разность между логарифмом интервала, то есть числом 13 EMBED Equation.3 1415, и длиной отрезка, равной 13 EMBED Equation.3 1415, где k = 0, 1, 2,,12 весьма мала. В этом можно убедиться, например, по модулю разности, соответствующей звуку «ре»:13 EMBED Equation.3 1415
Рисунок 4. Шкала интервалов.Итак, логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные 13 EMBED Equation.3 1415, которые соответствуют полутонам. Таким образом, два равных полутона стали почти точно составлять целый тон [6].Использование логарифмической шкалы дает возможность равномерно распределить пифагорову комму по всему строю. Если разделить ее на 12 равных частей и распределить между 12 квинтами этого строя, то каждая квинта уменьшится на 1/108 тона (1/9 : 12). Это совсем незаметно на слух и вполне приемлемо для музыкальных созвучий. С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке. Среди них октава - 13 EMBED Equation.3 1415,квинта – 13 EMBED Equation.3 1415,кварта – 13 EMBED Equation.3 1415,секста – 13 EMBED Equation.3 1415,терция – 13 EMBED Equation.3 1415,секунда –13 EMBED Equation.3 1415,септима – 13 EMBED Equation.3 1415.Была придумана еще более мелкая единица – цент, равный одной сотой темперированного полутона или 1/1200 октавы. Применение цента используется в музыкальных опытах, которые приводят к созданию все новых и совершенных музыкальных инструментов. Если принять в качестве стандартной высоты основного тона музыкальной настройки частоту звука «ля» 440 гц, то частоту любого другого тона можно выразить так: в октавах 13 EMBED Equation.3 1415,в полутонах 13 EMBED Equation.3 1415,в центах 13 EMBED Equation.3 1415Из этих формул следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.Данные формулы полезны тем, что с их помощью по частоте одного звука можно находить частоту другого звука [7]. ЗаключениеМежду математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства» [2].Список литературыЗильберковит М. Мир музыки. М., 1998.А. И. Азевич. Двадцать уроков гармонии. М., 1998.Волошинов А. В. Пифагор. М., 1992.Гарднер М. Путешествие во времени. М., 2001.Волошинов А. В. Математика и искусство. М., 1990.Тростников В. И. Алгебра гармонии. М., 1999.Теория современной композиции. Музыка, 2005.
13PAGE 15
13PAGE 14215
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
educontest.net
Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса. А. Эйнштейн
Нам известен пифагоров строй, т.е. математическое выражение интервальных коэффициентов, лидийской гаммы, или, в современной терминологии, строй натурального мажора:
1 9 81 4 3 27 243 2
8 64 3 2 16 128
до ре ми фа соль ля си до
9 9 256 9 9 9 256
8 8 243 8 8 8 243
Здесь цифры внизу обозначают интервальные коэффициенты соседних ступеней гаммы; напомним, что 9/8 есть тон, а 256/243- полутон. Основные консонансные (консонанс — согласованное сочетание двух звуков ) интервалы в пределах октавы — квинта и кварта — являются соответственно средним арифметическим и средним гармоническим частот основного тона и октавы. Кроме того, октава, квинта, кварта и тон образуют геометрическую пропорцию:
октава / квинта = кварта / тон.
Таким образом, музыкальная гамма разделена на пропорциональные части: она буквально пронизана пропорциями, а пропорциональность, как мы знаем, является одним из объективных критериев красоты. Однако на этом математика музыкальной гаммы не кончается, а, скорее, только начинается.
Прежде всего, из соотношения видно, что расстояния между соседними ступенями пифагорова строя неодинаковы. Поэтому, во-первых, от ноты до можно было играть только в лидийском ладу, а чтобы сыграть от этой ноты, скажем, в дорийском ладу, необходимо было перестраивать почти все струны лиры. Во-вторых, от ноты ре получался уже не лидийский, а фригийский лад и, вообще, от каждой новой ноты начинался новый лад ( 7 ладов — по одному на каждую из 7 нот октавы). Поэтому, чтобы сыграть мелодию в лидийском ладу от другой ноты (чего, безусловно, требовали ограниченные возможности человеческого голоса: один поет выше, другой — ниже), лиру, также следовало перестраивать. (Конечно, если всю жизнь играть в одном ладу и одной тональности, то семи нот в октаве будет вполне достаточно. До сих пор прекрасно обходятся семью звуками некоторые гармошки и другие инструменты).
Итак, для того, чтобы иметь возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность, строй должен быть равномерным, т.е. иметь одинаково высотные расстояния (интервальные коэффициенты) между звуками. Казалось бы, что проще: нужно разделить каждый тон — интервал пополам на два полутона, т.е. получить еще пять дополнительных звуков, и шкала пифагорова строя станет равномерной. Но вот тут то и таилась основная трудность.
Дело в том, что половина тона (V9/8~1,0607) в точности не равна полутону (256/243~1,0545). Поэтому если в качестве единого масштаба строя взять полутон V9/8, т.е. заменить на него имеющиеся два полутона 256/243, то эти 12 новых полутонов приведут нас не точно в октаву, а чуточку выше: (V9/8) 12=(9/8)6=2,0273. Интервал между октавой, полученной шагами по 12-равномерным полутонам V9/8, и чистой октавой равен и называется пифагоровой коммой (коммой в музыкальной акустике называется интервал, не превышающий 1/9 целого тона. Пифагорова комма приблизительно равна 1/9 тона).
Представляя пифагорову комму в виде
мы получим ещё один важный результат: 12 квинт с точностью до пифагоровой коммы равны 7 октавам.
Но , т.е. новый полутон содержал иррациональное число V2, которого пифагорейцы боялись, как огня. Взять столь “некрасивое” число в качестве единицы измерения музыкальной гаммы было немыслимым для пифагорейцев: это противоречило всей философии целочисленных отношений. Поэтому пифагорейцы пошли другим путём: в качестве основы музыкальной гаммы они взяли квинту, красивое число 3/2.
Рассмотрим ряд, составленный из степеней числа 3/2:
......
Оказывается, с помощью этого красивого симметричного ряда можно получить все интервальные коэффициенты пифагорова строя. Начнем с середины ряда и все получаемые звуки будем сводить в одну октаву, умножая или деля их интервальные коэффициенты на нужные степени числа 2 (интервальный коэффициент октавы)ю Новые звуки будем обозначать либо ближайшим снизу основным звуком с добавлением слова “диез ” () при движении по квинтам вверх, либо ближайшим сверху основным звуком с добавлением слова “бемоль ” () при движении по квинтам вниз. Это означает соответственно повышение или понижение основного звука. Итак,
соль
ре
ля
Как видим, двигаясь по квинтам вверх и вниз от основного тона, мы получили все ступени пифагорова строя, каждая из которых в свою очередь может быть повышена, понижена, дважды повышена или понижена и т.д. Процесс этот, к сожалению, бесконечен. Точного октавного повторения основного тона (до) мы так и не получим. (Легко видеть, что си-диез и ре-бемоль-бемоль совпадают с основным тоном (до) опять же с точностью до пифагоровой коммы.) Следовательно, и точно разделить октаву на целое число частей этим методом мы не сможем.
Таким образом, желая разделить пять тонов на полутона, мы получили, по крайней мере, 10 промежуточных звуков.
Какие из этих дополнительных звуков взять: с бемолями или с диезами”? Для музыкантов, играющих на инструментах с нефиксированной высотой звуков (скрипачей, например), эта проблема не стоит. Они берут и те, и другие. В результате звучание скрипки становится более выразительным и контрастным, так как в ладе обостряются тяготения неустойчивых звуков к устойчивым. Этим во многом объясняется то “волшебное пение” скрипки, которое доступно ей одной.
Что касается инструментов с фиксированной высотой звуков, то введение 10 дополнительных звуков на 7 основных слишком бы усложнило и инструменты, и игру на них. Тем более, что и это не решщало окончательно проблему и более тонкие построения требовали всё новых и новых звуков. На сегодня в теории музыки известна масса строев с числом ступеней от 17 до 84! Но все они так и остались в кабинетах теоретиков. Практика же, руководствуясь мудрым критерием простоты (и красоты ), оставила только пять дополнительных звуков: по одному в каждом из целых тонов. Они и стали чёрными клавишами (дополнительными) фортепиано.
Так в октаве стало 12 звуков. Поскольку каждая пара дополнительных звуков отличалась лишь на пифагорову комму (это легко проверить), то их попросту приравнивали между собой (до-диез стал равен ре-бемолю и т.д.). Такое приравнивание звуков с одинаковой высотой, но разными названиями в теории музыки называется энгармонизмом. Тонкости ладового звучания были принесены в жертву простоте. Инструменты же с числом звуков в октаве, превышающим 12, можно увидеть только в музеях. В московском Музее музыкальной культуры имени М. И. Глинки хранится рояль русского писателя, музыканта и музыковеда В. Ф. Одоевского (1804-1869), в каждой октаве которого 17 клавиш.
Квинтовая цепь пифагорова строя дала простой способ настройки инструментов с фиксированной высотой звуков: органов, клавесинов, фортепиано. От основного тона (сегодня по общему признанию им является звук ля первой октавы) откладывалось? октав — скелет музыкальной шкалы. Эти октавы заполнялись 12 звуками вверх и вниз. Какие из звуков взять за дополнительные — повышенные или пониженные, — особого значения не имело. Важно было другое: пифагорова комма оставалась внутри октавы. Её можно было переместить в любое место октавы, но нельзя было сделать только одного: нельзя было от неё избавиться! И она продолжала портить кровь музыкантам на протяжении столетий. Почему?
Если взять пифагоров строй с пониженными дополнительными звуками:
си до ре ми фа соль ля си до1
.243 1 256 9 32 81 4 1024 3 128 27 16 243 2 512
256 243 8 27 64 3 729 2 81 16 9 128 243...
то в таком строе все квинты будут звучать чисто (иметь интервальный коэффициент 3/2), кроме одной. Квинта си — соль-бемоль будет иметь интервальный коэффициент 1024 / 729: 243 / 256 ~ 1,4798, а не 1,5! От чистой квинты она отличается на пифагорову комму: 1,5 / 1,4798 ~ 10136. Такая квинта на органе издавала пронзительный, неприятный звук, похожий на завывание волка, за что и была прозвана “волчьей квинтой” или просто “волком”. Обращением “волчьей квинты ” является “волчья кварта” соль-бемоль — си, которая тоже отличается от чистой кварты (4/3 = 1,333...) на пифагорову комму: 243 / 127: 1024 / 729 ~ 1,3515;
1,3515 / 1,3333 ~ 1,0136. Можно сказать, что вся история развития музыкальных строев была историей борьбы с “волками”. Но об этом — чуть позже.
А сейчас обратим внимание на второй существенный недостаток пифагорова строя. Его заметил ещё во II веке древнегреческий ученый пифагореец Дидим. Дело в том, что пифагорова терция (81 / 64) при гармоническом, т.е. одновременном, исполнении обоих тонов, образующих терцию, звучит слишком напряжённо. Дидим предложил заменить пифагорову терцию (81 / 64) так называемой “чистой терцией” (5 /4 = 80 / 64), которая гармонически звучит значительно приятнее, хотя, как видим, лишь чуть — чуть отличается от пифагоровой терции. Разность пифагоровой и чистой терций (81 / 64: 80 / 64 = 81 / 80 ~ 1,0125) называется дидимовой коммой и приблизительно равна1 / 10 целого тона.
Однако идеи Дидима, как это не раз случалось сучёными Древней Греции, опередили историю почти на полторы тысячи лет. Они не нашли подходящей почвы для развития, увяли, умерли и были воскрешены только в конце XV века...
… В XIV веке в Европе получает широкое распространение орган, ставший официальным инструментом католической церкви. С развитием органа развивается и многоголосие, которого не знала ни Древняя Греция, ни раннее средневековье. В течение столетий орган настраивался в пифагоровом строе. Никакого другого строя средневековье не знало. Но пифагоровы терции звучали на органе особенно жёстко и не давали покоя музыкантам.
В XVI веке выдающийся итальянский композитор и музыкальный теоретик Джозеффе Царлино (1517-1590) воскресил идеи Дидима. Так родился новый квинтово — терцовый строй, названный чистым строем. Новое всегда с трудом пробивает себе дорогу. Учение Царлино подверглось резким нападкам. Любопытно, что среди тех, кто не признавал учения Царлино и вёл с ним непримиримую борьбу, был Винченцо Галилей — выдающийся итальянский лютнист и отец великого революционера Галилео Галилея.
Чистая терция (5 /4), ставшая наравне с квинтой полноправной хозяйкой нового строя, звучит приятнее пифагоровой. Отметим одну поразительную закономерность: интервальный коэффициент чистой терции (её называют также большой терцией) есть среднее арифметическое интервальных коэффициентов основного тона (1) и квинты (3 /2):
А дополнение большой терции (5 /4) до квинты (3 /2) — малая терция (3 /2: 5 /4 = 6 /5) — является средним гармоническим основного тона и квинты:
Оба этих интервала дают приятное звучание; таким образом, закон целочисленных отношений Пифагора расширяется, а внутри музыкальной гаммы появляются ещё две пропорции!
Предполагают, что ещё Архит умел выражать большую и малую терции как среднее арифметическое и гармоническое тона и квинты. Однако письменное свидетельство этому мы находим лишь в объёмном труде “Универсальная гармония” Марена Мерсенна (1588-1648) — монаха францисканского ордена, французского математика, теоретика музыки и философа, учившегося в иезуитском колледже Ла Флеш вместе с Рене Декартом. Труд Мерсенна — нескончаемое исследование об интервалах, полное всеобъемлющих умозрений. На десяти страницах огромного формата автор глубокомысленно обсуждает, например, “является ли унисон консонансом”, и попутно решает вопрос, “как бы человек мог поднять землю”, и т.д. Однако, несмотря на чрезвычайную напыщенность, которая, впрочем, была неотъемлемой чертой всех сочинений того времени, работа Мерсенна содержала интересные идеи и прозрения. В частности, это касалось консонантности и пропорций большой и малой терций. Сегодня большую и малую терции относят к группе несовершенных консонансов.
Но вернёмся к работам Царлино. Выдающейся заслугой его было не только выявление консонантности большой терции (5 /4), но и построение “совершенной гармонии” — объединение большой терции и квинты в гармоническое трезвучие. Это был первый в истории музыки аккорд, а само трезвучие
ныне именуется мажорным и является основой всего гармонического языка музыки. Кроме того, Царлино обнаружил, что если отложить те же большую терцию и квинту вниз от основного тона, то окраска звучания аккорда существенно изменится. Светлые тона мажора подёргиваются пасмурной дымкой иного звучания — минора. Приводя аккорд 2/3: 4/5: 1 к основному тону (умножая на 3/2, т.е. сдвигая вверх на квинту), получаем минорное трезвучие
Так был открыт закон, известный сегодня каждому юному музыканту: смена большой терции на малую переводит мажорное трезвучие в минорное.
Мажорное трезвучие было взято за основу чистого строя. Обрамляя мажорное трезвучие 1: 5/4: 3/2 такими же трезвучиями сверху и снизу и сводя умножением и делением на 2 построенные звуки в одну октаву, получаем чистый строй лидийской гаммы (натурального мажора)
до ре ми фа соль ля си до1
1 9 5 4 3 5 15 2
8 4 3 2 3 8
9 10 16 9 10 9 16
8 9 15 8 9 8 15
Отмечены тоны, изменившиеся по сравнению с пифагоровым строем, цифры внизу обозначают интервалы между ступенями.
Как видим, числовые характеристики чистого строя более простые. Однако сам строй стал менее равномерным: в нём, кроме полутона 15 /16, появились две разновидности целых тонов 9/8 и 10/9. Знакомые с музыкальной грамотой, конечно, увидели, что мажорные трезвучия (4:5:6) чистого строя построены на тонике (до ), субдоминанте (фа), и доминанте (соль ).
С помощью целых тонов 9/8 и 10/9 и полутона 16/15 легко построить чистый строй фригийской гаммы:
9 6 4 3 5 16
1 8 5 3 2 3 9 2
Теперь стало два деления целых тонов чистого строя. Чистый строй в истории музыки сыграл короткую, но заметную роль. Его звучание стало намного ярче и богаче по сравнению с пифагоровым строем. Чистый строй способствовал формированию мажорного и минорного ладов, развитию музыкальной гармонии. Но...
Вместе с достоинствами пришли и недостатки. Всё те же ненавистные музыкантам “волки” поселились теперь уже не на дополнительных, а на основных ступенях чистого строя! Легко проверить, что квинта между II и VI ступенями (ре — ля) является самым настоящим “волком”: 5/3:9/8 = 27/20 = 1,35:
до ре ми фа соль ля си до1 ре1
..1 9 5 4 3 5 15 2 9 ...
8 4 3 2 3 8 4
|
|
Следовательно, настроив орган в чистом строе ноты до, например, органист не мог уже перейти в тональности ре мажор ире минор, т.е. в те тональности, где “волчья квинта” входит в тоническое трезвучие и встречается наиболее часто. Разумеется, приходилось исключать и те тональности, где эта квинта входила в доминанту и субдоминанту, которые также являются основными ступенями лада. Таким образом, органист оказывался что называется связанным по рукам: модуляции, т.е. переходы, в другие тональности были крайне ограничены и опасны, и это лишало музыку значительной части её выразительных средств.
“Волки” продолжали донимать органистов. На фоне “совершенной гармонии” чистого строя это было особенно невыносимо. Забавный случай рассказывают о французском композиторе и теоретике музыки, страстном приверженце чистого строя, Жане Рамо (1683-1764). Однажды Рамо, желая отказаться от предлагаемой ему должности церковного органиста, выпустил из органа столько “волков”, что привёл в ужас святых отцов и убедил их в своей “бесталанности”. Святые отцы поспешили удалиться вместе со своими лестными предложениями.
Однако проблема оставалась. Выгнать “волков” из органа, т.е. найти закон построения нового музыкального строя, а значит, и рецепт новой настройки органа, наряду с музыкантами безрезультатно пытались и математики: Кеплер, Декарт, Лейбниц, Эйлер. О теории гармонии Эйлера шутливо говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов.
Но то, что не смог сделать изощрённый ум математика, сделала обыкновенная смекалка простого органиста...
www.ronl.ru
Л.А.Логинов, многопрофильный комплекс (гимназия-лицей) N 109, г. Москва
Две эти области человеческой деятельности действительно связаны между собой. Причем достаточно сильно. Жаль, что зачастую взаимосвязь между ними люди или не чувствуют, или вообще не знают про нее, или… просто еще не задумывались об этом. Долг учителя – показать это своим ученикам. И не только потому, что это нужно знать всесторонне развитому человеку, но и хотя бы потому, что это просто красиво, интересно и доступно.
Неизбежно встает вопрос о том, когда и как о взаимосвязи физики и музыки рассказывать, какие демонстрации проводить. В программе 9-го класса есть упоминание о природе звука и о кое-каких его характеристиках, но слишком поверхностное. Кроме того, и у учителя в 9-м классе на большее не хватит времени, да и не всем детям это может быть интересно (еще рановато для них). Интерес возникает тогда, когда появляется достаточный запас основных первоначальных знаний по физике и математике, и к тому же когда сам человек приобщается к игре на музыкальном инструменте. Для старшеклассников это, безусловно, гитара. Поскольку в 11-м классе перед изучением электромагнитных колебаний и волн обычно повторяют механические колебания и волны, то рассказать о звуке имеет смысл именно тогда, причем когда уже изучены электромагнитные колебания и учащиеся умеют изучать колебания с помощью электронного осциллографа.
Для успешного усвоения предлагаемого материала необходимо знать следующие разделы программы:
– основные характеристики колебаний;
– гармонические колебания;
– стоячие волны;
– объективные и субъективные характеристики звука;
– сложение колебаний.
Последний раздел, строго говоря, в базовую программу средней школы не входит, но умелый учитель этот материал может очень доходчиво объяснить. Важно подкреплять объясняемое простыми и наглядными примерами.
Начинаем с того, что колебания одной природы (механические с механическими, электромагнитные с электромагнитными) могут складываться. Причем могут складываться колебания, происходящие как в одном направлении, так и во взаимно перпендикулярных. Сейчас мы рассмотрим только первый случай, хотя и второй (фигуры Лиссажу) тоже очень интересен.
Предположим, что мы плывем на корабле. Если бы он плыл, двигаясь строго прямо, то его движение относительно берега можно было бы изобразить прямой линией (рис. 1, а). Корпус судна в такт с работой двигателей совершает колебания. Пассажиры это ощущают как дрожь. Но если учесть, что при этом судно слегка перемещается вверх-вниз, то движение относительно берега можно изобразить «частой» синусоидой небольшой амплитуды (рис. 1, б). Если на море или озере шторм, то судно поднимается и опускается на больших волнах (рис. 1, в), но при этом еще и «дрожит», и движется вперед. Таким образом, на колебания судна, связанные с подъемом-опусканием на волнах, накладываются вибрации от работающих двигателей, и движение судна относительно берега изображается более сложной траекторией: «изрезанной», «зубчатой» синусоидой (рис. 1, г). Итак, основную синусоиду нам «дают» колебания на волнах, а мелкие зубчики — это дрожь от двигателя, т.е. на колебания корабля на волне накладывается вибрация от двигателей.
Теперь можно продемонстрировать сложение электромагнитных колебаний с помощью электронного осциллографа. Для этого два генератора электромагнитных колебаний (например ГЗШ-3) соединяются последовательно и подключаются к вертикально отклоняющим пластинам осциллографа (рис. 2). Генераторы звуковых колебаний (типа ГЗШ-3) удобны тем, что имеют крупное цифровое табло на газосветных индикаторах, которые позволяют учащимся хорошо видеть значения устанавливаемых частот даже в затемненном помещении. Устанавливаем частоту одного генератора поменьше (например 400 Гц), а амплитуду побольше. На другом генераторе, наоборот, частоту побольше, но кратную (например 1200 Гц), при меньшей амплитуде. Меняя значение кратной частоты, демонстрируем учащимся изменение результата сложения колебаний. Обращаем внимание учащихся на то, что получающаяся картина (график) устойчива и хорошо различима только при отношении частот, равном отношению небольших целых чисел (1: 2; 1: 3; 1: 4; 2: 3 и т.п.). Например, на рис. 3 показан график при отношении частот 1: 2. (Разумеется, «глубина зубцов» на синусоиде зависит от соотношения амплитуд складываемых колебаний.)
При наличии времени можно подключить параллельно пластинам осциллографа громкоговоритель (динамик) и полученные сложные электромагнитные колебания превратить в звуковые. При изменении значения кратной (большей) частоты изменяется тембр звука. (Кстати, он меняется и при изменении амплитуды кратной частоты.) После этого объясняем учащимся, что у музыкальных инструментов тембр определяется упругими свойствами струн и (или) размерами резонаторных полостей.
У человека тембр голоса определяется аналогичными факторами, но только роль струн выполняют голосовые связки, а роль резонаторов – полости лицевой части головы и гортань. На тембр влияют также взаимное расположение в ротовой полости зубов, языка, нёба, а также форма сложенных губ. Надо отметить, что среди факторов, влияющих на тембр человеческого голоса, есть регулируемые и нерегулируемые. Так, упругость голосовых связок мы вряд ли изменим, а вот сжать гортань и заговорить «голосом Буратино» можем. Именно поэтому абсолютно точно повторить чей-нибудь голос невозможно, но можно делать неплохие голосовые пародии.
Кстати, при объяснении школьникам темы «Субъективные и объективные характеристики звука» целесообразно показать, как влияет состояние носоглотки на тембр голоса. Для этого голос человека преобразуют в электромагнитные колебания с помощью микрофона, подают на усилитель, а с него на осциллограф. Нота «ля» камертона отображается на экране простой синусоидой – это физически чистый звук. Нота «ля», пропетая учителем, выглядит как синусоида той же частоты, но «изрезанная» кратными частотами. Если зажать пальцами нос и тем самым сымитировать простуду, то эта нота будет иметь другой тембр, т.е. другой набор кратных частот. Эта демонстрация наглядна, доступна для учеников и, что также важно, очень им нравится (особенно учитель, поющий с зажатым носом).
Особый эффект на слушателей производит опыт, показывающий, что тембр голоса зависит и от упругих свойств среды. Этот опыт технологически очень хлопотен, но если есть возможность, то от его демонстрации отказываться не стоит. Если вдохнуть в легкие не воздух, а другой газ, скажем, гелий, то голос сильно изменится.
По мере выхода гелия и поступления воздуха в дыхательные пути голос постепенно будет возвращаться в «нормальное» состояние.
Переходим к музыкальным инструментам. Хорошее звучание многих из них сильно зависит от акустического резонанса. Вводим понятие этого явления. Иллюстрируем его необходимость на примере камертона, который теряет громкость при снятии с резонаторного ящика. Если звуковую волну от камертона направить в высокую мензурку с водой, то образуется стоячая волна. Наилучшее звучание, т.е. резонанс (и пучность на выходе из мензурки), возникает тогда, когда расстояние от горлышка мензурки до поверхности воды равно одному из значений ряда:– длина звуковой волны. Наименьшее из этих расстояний – . Именно такую глубину имеет резонаторный ящик камертона и именно такое расстояние от горлышка мензурки до поверхности воды при акустическом резонансе. Кстати, равенство этих расстояний лучше показать учащимся, приложив ящик к мензурке. Далее поясняем, что резонаторные ящики музыкальных инструментов должны иметь такую форму (очертания) и такое внутреннее устройство (различные переборки, ребра жесткости), чтобы столб воздуха мог резонировать на разных частотах.
Рассмотрим подробнее устройство гитары. Ее резонаторный ящик, образованный двумя деками и боковиной, имеет весьма хитрую форму, и местоположение розетки (входного и выходного отверстия для звука) выбрано не случайно. Дело тут вовсе не в том, что эти формы напоминают женскую фигуру (на что часто обращают внимание лирики). Расстояние от розетки до стенок ящика в разных местах разное, что позволяет воздуху резонировать в ящике на разных частотах (разных нотах).
При ударе по струне (или при щипке струны) в ней тоже возникает стоячая волна с пучностью посередине (рис. 4). (Заметим, что пучность образуется не над розеткой, так что амплитуда в этом месте не самая большая, но вполне достаточная для нормального звучания.) Частота колебаний струны и, следовательно, частота извлекаемого звука зависит от упругих свойств струны. А эти свойства определяются материалом, из которого струна изготовлена, ее толщиной, длиной и силой натяжения. Чем толще струна, тем ниже звук (меньше частота). Чем сильнее натянута струна, тем звук выше. Эти параметры задаются уже при установке струн и настройке гитары. При игре гитарист регулирует, по сути, только один параметр – длину струны, пережимая ее в разных местах. Чем меньше рабочая длина струны, тем выше частота колебаний (выше звук).
Если бы каждая струна колебалась только с одной частотой, то все гитары имели бы практически одинаковое звучание. Небольшие отличия были бы обусловлены особенностями резонаторных ящиков. Но «голоса» гитар различаются. И во многом благодаря струнам. Дело в том, что струна, помимо основного колебания, частота которого задается гитаристом при зажатии струны, участвует и в других колебаниях, больших частот и меньших амплитуд. Это уже упомянутые выше кратные частоты. Их набор и определяет тембр. Сложное колебание с разными частотами хорошо заметно на басовых («толстых», т.е. 4-й, 5-й и 6-й) струнах (рис. 5). Обычно эти частоты в 2, 3, 4, 6, 8 раз выше основной. В зависимости от упругих свойств материала струны эти частоты могут иметь разные амплитуды, т.е. разную громкость звучания на фоне звука основной частоты. Отсюда и разный тембр. Поэтому при смене струн меняется голос гитары (если только новые струны не той же марки, не из той же промышленной партии и не с таким же сроком службы).
Место удара по струне тоже накладывает отпечаток на тембр. Тут дело все в том, что место, где наносится удар пальцем, должно стать пучностью. Середина струны может быть пучностью для основной частоты, но при этом она является узлом для частот вдвое, вчетверо, в восемь раз выше, чем основная (рис. 6). Удар посередине не возбудит колебания с упомянутыми кратными частотами, но может возбудить частоты в 3, 6, 9… раз выше основной. Зато удар на расстоянии 1/3 от конца струны не возбудит звучание последнего набора кратных частот, но может возбудить звучание частот первого набора.
Таким образом, для наиболее сочного, «богатого» звучания струны надо выбирать такое место, которое являлось бы узлом для наименьшего числа кратных частот. Самое лучшее, если место удара не будет узлом ни для каких кратных частот. Короче, не бейте по узлам! Теперь становится ясно, почему розетка деки расположена не под серединой струн и не где попало, а именно там, где вероятность образования узлов наименьшая.
Демонстрируем учащимся, как меняется тембр звучания струны при ударе по ней в разных местах (а не только над розеткой, как это обычно делается при игре). Лучше всего, если учитель сам владеет навыками игры. Тогда он может сыграть несколько раз одну и ту же мелодию, перебирая струны или ударяя по ним в разных местах, – тут разница в оттенке звучания еще заметнее.
Теперь обсуждаем ноты, созвучия и аккорды. Современный нотный строй, в теории музыки называемый темперированным, таков, что одноименные ноты соседних октав различаются по частоте в 2 раза. Например, «ля» первой октавы соответствует частоте 440 Гц, второй – 880 Гц, третьей – 1320 Гц и т.д.
Расстояние (музыкальный интервал) между одноименными нотами соседних октав так и называется – октава. Разумеется, есть и более мелкие интервалы: малая и большая секунды (полутон и тон соответственно), малая и большая терции (1,5 и 2 тона), кварта (2,5 тона), квинта (3,5 тона), секста (4,5 тона), септима (5,5 тона). Даже человеку, не владеющему игрой на гитаре, не очень трудно будет эти созвучия воспроизвести: в обозначениях для гитары они показаны на рис. 7. При воспроизведении имеет смысл спрашивать учащихся, приятно или нет звучит интервал.
Созвучия, соответствующие разным интервалам, воспринимаются слухом и сознанием по-разному: одни звучат более приятно, другие – менее или вовсе неприятно, «грязно», как говорят музыканты. Почему? А вот почему. Каждое созвучие – это одновременное звучание двух (или нескольких) основных частот или результат сложения колебаний. Результаты сложения электромагнитных колебаний мы можем наблюдать на экране осциллографа, т.е. видеть. Вспомним, когда при сложении электромагнитных колебаний получается устойчивая, хорошо различимая, «приятная» для наблюдателя картина? При идеальной кратности частот складываемых колебаний. То же самое и с механическими, в том числе звуковыми колебаниями. Если отношение частот не кратное, то уху как бы непонятно, на какую из «непримиримых» частот настраиваться, оно чувствует диссонанс.
Посмотрим на частоты, соответствующие звукам какого-либо небольшого диапазона. Например, от «до» первой октавы до «ми» второй октавы:
до 261,7 Гц до# 277,2 Гц ре 293,7 Гц ре# 311,1 Гц ми 329,6 Гц фа 349,2 Гц фа# 370,0 Гц соль 392,0 Гц соль# 415,3 Гц | ля 440,0 Гц ля# 466,7 Гц си 493,9 Гц до 523,4 Гц до# 554,4 Гц ре 587,3 Гц ре# 622,6 Гц ми 659,3 Г |
При необходимости легко вычислить значения частот, соответствующих нотам других октав, зная правило удвоения частоты при переходе от одной октавы к
другой. В приведенном списке от каждой ноты до соседней с ней – полутон. Следовательно:
до – до# – малая секунда;
до – ре – большая секунда;
до – ре# – малая терция;
до – ми – большая терция;
до – фа – кварта и т.д.
Если мы посмотрим на соотношения частот в разных созвучиях, построенных, например, от ноты «до» первой октавы, то увидим, что они таковы:
Малая секунда............277,2: 261,7 = 1,059...
Большая секунда..........293,7: 261,7 = 1,122...
Малая терция.............311,1: 261,7 = 1,188...1,2 = 6: 5.
Большая терция.........329,6: 261,7= 1,259… 1,25 = 5: 4.
Кварта.........................349,2: 261,7= 1,310… 4: 3.
Квинта......................392,0: 261,7 = 1,498… 1,5 = 3: 2.
Секста...........................440,0: 261,7 = 1,681...
Септима......................493,9: 261,7 = 1,887...
Октава.........................523,4: 261,7 = 2: 1.
Как видим, те созвучия, которые для слуха более приятны (они в списке выделены), имеют лучшую или даже идеальную кратность частот, либо отношение, очень близкое к отношению небольших целых чисел. Недаром аккорды (и в особенности гитарные) состоят в основном из терций! Добавляя в аккорд новый звук, надо следить за тем, чтобы он образовывал «приятное» созвучие хотя бы с одним из уже имеющихся звуков. Например, при переходе от обычного аккорда (трезвучия) к септаккордам (так называемым «семеркам»), четвертая нота образует терцию с третьей, а поэтому и аккорд звучит красиво. Желательно сыграть пару таких аккордов. Аппликатура наиболее простой пары аккордов «ля-мажор» и «ля-мажор-септаккорд» (А и А7) приведена на рис. 8.
Обратим внимание еще и вот на что. При переходе от ноты к ноте частота звука повышается примерно в 1,06 раза. Этот коэффициент постоянен для всего нотного диапазона. А вот разность частот (Dn) между соседними нотами с ростом частоты (т.е. с повышением тона) увеличивается. Это хорошо видно хотя бы из приведенной выше таблицы. Можно сказать, что в диапазоне частот ноты расположены неравномерно: более низкие ближе друг к другу, а более высокие дальше. Этим и объясняется неравномерность расстановки ладов на грифе гитары: с ростом номера лада порожки располагаются все чаще (рис. 9).
Обратите внимание, что точное значение коэффициента частоты равно 1,059228… Если при переходе от лада к ладу это значение не выдерживается, то с увеличением номера лада ошибка в частоте будет возрастать и гитару будет невозможно настроить правильно. Чем точнее расставлены порожки на грифе, тем гитара дороже, но тем и приятнее звучание, и настраивать гитару легче.
В завершении серии уроков, посвященных рассматриваемой теме (а лучше в конце каждого урока) можно сыграть на гитаре и спеть какую-нибудь песенку. Играть может как учитель, так и кто-либо из учеников. Такое запоминается на всю жизнь, а значит, идет на дело укрепления любви к сложной, но интересной и красивой науке – физике.
www.ronl.ru
