Главная » Реферат » Многочлены бернштейна реферат

Многочлен Бернштейна. Многочлены бернштейна реферат


Многочлены Бернштейна | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Предположим, что функция задана в отрезке [0,1] в точках , при некотором фиксированном n. В этом случае можно построить многочлен Бернштейна:

Можно доказать, что при многочлены стремятся к функции равномерно по x; кроме того, для любого конкретного целого имеет место предельное соотношение для производных:

Наконец, известно, что если число удовлетворяет неравенству на всем отрезке [0,1], то для любого из этого отрезка выполняется неравенство: .

Это, конечно, позволяет оценивать ошибку, которая возникает при соответствующей … интерполяционной замене.

Сказанное выше для случая функции одной переменной можно обобщить на случай двух и более переменных. Мы ограничимся обобщением только на случай двух переменных.

Итак, пусть имеется функция на квадрате

,

причем реально она задана в узлах решетки

,

при заранее фиксированных натуральных числах и . Построим по этой информации следующий многочлен от двух переменных:

,

где — биномиальные коэффициенты. Это — многочлен Бернштейна для заданной функции на заданной решетке. С его помощью так же можно осуществлять интерполяцию, принимая его значение в той или иной точке квадрата за значение самой функции. Можно доказать, что для любой точки квадрата имеет место неравенство:

,

которое позволяет оценить погрешность интерполяции. (Здесь константы и удовлетворяют в рассматриваемом квадрате неравенствам).

.

Замечание.Случай одной переменной рассматривался выше на отрезке [0, 1], а случай двух переменных — в единичном квадрате. В действительности, рассмотрения возможны на любом отрезке [a,b] и на любом прямоугольнике [a,b;c,d]. Для этого в исходной ситуации (т.е. на произвольном отрезке или на произвольном прямоугольнике нужно сделать линейную замену переменных).

Подробнее: пусть функция задана в точках отрезка , где при некотором фиксированном

Положим

тогда

если теперь в положить , то возникнет ситуация функции , заданной уже на отрезке [0, 1]. Аналогично, в случае двух переменных надо сделать замену:

,

после чего возникнет ситуация единичного квадрата.

 

refac.ru

definition of МНОГОЧЛЕН БЕРНШТЕИНА and synonyms of МНОГОЧЛЕН БЕРНШТЕИНА (Russian)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. [1][2]

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастелье.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики, полиномы Бернштейна, заключённые в промежуток x ∈ [0, 1], стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n.

где \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства \Pi_n многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x)

называется многочленом (полиномом) Бернштейна или многочленом в форме Бернштейна степени n.Коэффициенты f\left(\frac{k}{n}\right) называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

b_{0,0}(x) = 1 \,b_{0,1}(x) = 1-x \, b_{1,1}(x) = x \,b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \,b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \, b_{2,2}(x) = x^2 \ .

Свойства

Этот раздел не завершён.Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Леммы о моментах

\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = 1 для любых n и x, так как \sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = (x + 1-x)^{n} = 1^{n}

\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n) = 0 для любых n и x

\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n)^2 = x(1-x)/n для любых n и x

Аппроксимация непрерывных функций

Этот раздел не завершён.Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

См. также

Примечания

  1. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М.: 1952 Т. 1. — С. 105-106.
  2. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М.: 1954 Т. 3. — С. 310-348.

dictionary.sensagent.com

Многочлен Бернштейна — википедия орг

Определение

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

bk,n(x)=(nk)xk(1−x)n−k,k=0,…,n.{\displaystyle b_{k,n}(x)={\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k},\qquad k=0,\ldots ,n.} 

где (nk){\displaystyle {\binom {n}{k}}}  — биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства Πn{\displaystyle \Pi _{n}}  многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

Bn(f;x)=Bn(x)=∑k=0nf(kn)bk,n(x){\displaystyle B_{n}(f;x)=B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)b_{k,n}(x)} 

называется многочленом Бернштейна или точнее многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты f(kn){\displaystyle f\left({\frac {k}{n}}\right)}  называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

b0,0(x)=1{\displaystyle b_{0,0}(x)=1}  b0,1(x)=1−x{\displaystyle b_{0,1}(x)=1-x}  b1,1(x)=x{\displaystyle b_{1,1}(x)=x}  b0,2(x)=(1−x)2{\displaystyle b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}}  b1,2(x)=2x(1−x){\displaystyle b_{1,2}(x)=2x(1-x)}  b2,2(x)=x2 .{\displaystyle b_{2,2}(x)=x^{2}\ .} 

Свойства

Дифференцирование

bk,n′(x)=nbk,n−1(x)+nbk−1,n−1(x){\displaystyle b'_{k,n}(x)=n\,b_{k,n-1}(x)+n\,b_{k-1,n-1}(x)} 

bk,n(l)(x)=n!(n−l)!∑j=0l(lj)bk−j,n−l(x){\displaystyle b_{k,n}^{(l)}(x)={\frac {n!}{(n-l)!}}\sum _{j=0}^{l}{\binom {l}{j}}b_{k-j,n-l}(x)} 

Леммы о моментах

∑k=0nbk,n(x)=1{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)=1}  для любых n и x, так как ∑k=0nbk,n(x)=(x+1−x)n=1n{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)=(x+1-x)^{n}=1^{n}} 

∑k=0nbk,n(x)(x−k/n)=0{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)(x-k/n)=0}  для любых n и x

∑k=0nbk,n(x)(x−k/n)2=x(1−x)/n{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)(x-k/n)^{2}=x(1-x)/n}  для любых n и x

Аппроксимация непрерывных функций

См. также

Примечания

  1. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1952. — Т. 1. — С. 105-106.
  2. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1954. — Т. 3. — С. 310-348.

www-wikipediya.ru

Многочлен Бернштейна — WiKi

Определение

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

bk,n(x)=(nk)xk(1−x)n−k,k=0,…,n.{\displaystyle b_{k,n}(x)={\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k},\qquad k=0,\ldots ,n.} 

где (nk){\displaystyle {\binom {n}{k}}}  — биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства Πn{\displaystyle \Pi _{n}}  многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

Bn(f;x)=Bn(x)=∑k=0nf(kn)bk,n(x){\displaystyle B_{n}(f;x)=B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)b_{k,n}(x)} 

называется многочленом Бернштейна или точнее многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты f(kn){\displaystyle f\left({\frac {k}{n}}\right)}  называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

b0,0(x)=1{\displaystyle b_{0,0}(x)=1}  b0,1(x)=1−x{\displaystyle b_{0,1}(x)=1-x}  b1,1(x)=x{\displaystyle b_{1,1}(x)=x}  b0,2(x)=(1−x)2{\displaystyle b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}}  b1,2(x)=2x(1−x){\displaystyle b_{1,2}(x)=2x(1-x)}  b2,2(x)=x2 .{\displaystyle b_{2,2}(x)=x^{2}\ .} 

Свойства

Дифференцирование

bk,n′(x)=nbk,n−1(x)+nbk−1,n−1(x){\displaystyle b'_{k,n}(x)=n\,b_{k,n-1}(x)+n\,b_{k-1,n-1}(x)} 

bk,n(l)(x)=n!(n−l)!∑j=0l(lj)bk−j,n−l(x){\displaystyle b_{k,n}^{(l)}(x)={\frac {n!}{(n-l)!}}\sum _{j=0}^{l}{\binom {l}{j}}b_{k-j,n-l}(x)} 

Леммы о моментах

∑k=0nbk,n(x)=1{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)=1}  для любых n и x, так как ∑k=0nbk,n(x)=(x+1−x)n=1n{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)=(x+1-x)^{n}=1^{n}} 

∑k=0nbk,n(x)(x−k/n)=0{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)(x-k/n)=0}  для любых n и x

∑k=0nbk,n(x)(x−k/n)2=x(1−x)/n{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)(x-k/n)^{2}=x(1-x)/n}  для любых n и x

Аппроксимация непрерывных функций

См. также

Примечания

  1. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1952. — Т. 1. — С. 105-106.
  2. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1954. — Т. 3. — С. 310-348.

ru-wiki.org

Реферат Многочлен

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной — функции вида

F(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n,

где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

1. Определение

Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n},

где I=(i_1,i_2,\dots,i_n) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c_0+c_1x^1+\dots+c_nx^n.

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

R[x_1,x_2,\dots,x_n].

.

2. Связанные определения

3. Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x4 − 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

4. Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] определяет полиномиальную функцию

p_R:A\to A.

Чаще всего рассматривают случай A = R.

В случае, если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f_p:R^n\to R полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p_1(x)\equiv x и p_2(x)\equiv x^2 из \Z_2[x] определяют тождественно равные функции \Z_2\to\Z_2.

5. Свойства

6. Вариации и обобщения

Литература

wreferat.baza-referat.ru

Многочлен Бернштейна - это... Что такое Многочлен Бернштейна?

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. [1][2]

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики, полиномы Бернштейна, заключённые в промежуток x ∈ [0, 1], стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n.

где \binom{n}{k} — биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства \Pi_n многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x)

называется многочленом (полиномом) Бернштейна или многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты f\left(\frac{k}{n}\right) называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

b_{0,0}(x) = 1 \, b_{0,1}(x) = 1-x \, b_{1,1}(x) = x \, b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \, b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \, b_{2,2}(x) = x^2 \ .

Свойства

Заготовка раздела Этот раздел не завершён.

Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Леммы о моментах

\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = 1 для любых n и x, так как \sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = (x + 1-x)^{n} = 1^{n}

\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n) = 0 для любых n и x

\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n)^2 = x(1-x)/n для любых n и x

Аппроксимация непрерывных функций

Заготовка раздела Этот раздел не завершён.

Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

См. также

Примечания

  1. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1952. — Т. 1. — С. 105-106.
  2. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1954. — Т. 3. — С. 310-348.

dikc.academic.ru

Реферат Приведённый многочлен

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной — функции вида

F(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n,

где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

1. Определение

Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n},

где I=(i_1,i_2,\dots,i_n) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c_0+c_1x^1+\dots+c_nx^n.

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

R[x_1,x_2,\dots,x_n].

.

2. Связанные определения

3. Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x4 − 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

4. Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] определяет полиномиальную функцию

p_R:A\to A.

Чаще всего рассматривают случай A = R.

В случае, если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f_p:R^n\to R полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p_1(x)\equiv x и p_2(x)\equiv x^2 из \Z_2[x] определяют тождественно равные функции \Z_2\to\Z_2.

5. Свойства

6. Вариации и обобщения

Литература

wreferat.baza-referat.ru

Смотрите также